Метод теорем сложения и теория усреднения граничных условий в краевых задачах электродинамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГБ О»

БЕЛОРУССКИЙ ОРДЕН Л ТРУДОВОГО КРАСНОГО гилмиш ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УПИПЕРСИТЕТ

Нч прлпях рукописи

ЕРОФЕИПЮ Виктор Тихонович

МЕТОД ТЕОРЕГЛ СЛОШШ И ТЕОРИЯ УСРЕДНЕННЫХ ГРАШГПШХ УСЛОВИИ. В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ лШКТРОД1ШЛМШШ

(01.04.03 - радисхТтпка)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учено» степени доктора физико-матемятичсских наук

Минск - 1993

Работа пынялнппа л Белорусском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф.Кравченко доктор физико-математических наук, профессор Л.Л.Иураев доктор физико-математических наук, профессор 0.Л.Третьяков

Ведущая организация: Институт радиотехники и электроники

ЛИ РФ

Защита состоится 1993 1'ода в

/Н часов на заседании специализированного совета Д С56.03.09 по защите докторских диссертации в Белгосунивер-ситете (220060, Минск, проспект Ф.Скоршш, 4, главный корпус, ком. 206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета .

Автореферат разослан " " _1993 1'ода.

Ученый секретарь сиециализиропапнш'с Сосета, доктор физико-математических

наук / i В.В.Лпянасович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Можно констатировать, что в настоящее время насыщенность окружающего пространства и рабочих помещений электротехникой, радио- и электронными приборами резко увеличилась. 3 связи с этим возрастает интенсивность воздействия на обслуживающий персонал и окружающую среду электромагнитного излучения различной природы. 3 перспективе этот процесс будет расширяться. Зто означает, что экологические проблемы в науке и технике в ближайшее время станут преобладающими. С другой стороны, возрастает взаимное влияние высокочувствительных элементов автоматики, вычислительной техники, электроэнергетических систем и линий электросвязи посредством взаимного воздействия электромагнитных полей. Зто приводит к снижению надежности работы сложных транспортных и электротехнических сооружений, что в конечном итоге сводится к проблемам безопасности целых регионов.

Таким образом, приобретают актуальность проблемы электромагнитной совместимости. В Европейских странах в 1992 году вводятся стандарты по электромагнитной совместимости, предусматривающие испытание электронного и электротехнического оборудования на помехоустойчивость и излучение помех. Продукция, не получившая сертификат, не будет допускаться на Европейский рынок.

Одним из основных подходов к решению этих проблем является разработка оптимальных экранирующих систем. Поэтому разработка эффективных математических методов и алгоритмов расчета электромагнитных экранов различных типов, обеспечивающих снижение воздействия внешних полей, создаваемых поме-хонесущими источниками электромагнитного поля, является актуальной как с теоретической, так и с технической точек зрения. Особый интерес представляют собой многоэлементные электромагнитные системы, требующие комплексного изучения.

В связи со сделанным заключением об актуальности указанной темы в качестве физического объекта исследования диссертации выбраны многоэлементнке многосвязные экранирующие системы, включающие тонкие, массивные, однородные, неоднородные по толщине и слоистые оболочки, анизотропные, пассивные и активные экраны, подвергающиеся воздействию внешних

постоянных, низкочастотных, высокочастотных и нестационарных магнитных и электромагнитных полек, а также сложные электродные системы в технике высоких напряжений.

С математической точки зрения объектом исследования диссертации являются математические модели, принципы математического моделирования экранирующих систем, аналитический метод теорем сложения для решения многосвязных краевых задач электродинамики, теоремы сложения, усредненные граничные условия, моделирующие реальные граничные условия на экранирующих оболочках, и конкретные краевые задачи, используемые для решения технических проблем электродинамики.

Целью работы является развитие методологии теорем сложения и ее совершенствование для расчета сложных многосвязных неоднородных электромагнитных систем, которая предполагает:

1. Вывод новых теорем сложения для потенциалов, их классификация и систематизация на нынешнем уровне развития проблемы.

2. Разработка единой методики вывода новых и обобщение известных усредненных граничных условий на тонких и массивных экранирующих электромагнитных оболочках сложной .структуры. Исследование областей применимости усредненных граничных условий с помощью вычислительного эксперимента.

3. Математическое моделирование сложных экранирующих электромагнитных систем с помощью теорем сложения, усредненных граничных условий и интегральных уравнений. Получение инженерных формул для расчета эффективности конкретных не-осесимметричнкх комбинированных экранов, а также получение расчетных формул для исследования емкостных характеристик сложных электродных систем. Численное исследование конкретных электромагнитных устройств.

Научная новизна заключается в разработке методов исследования многоэлементных электродинамических систем, развитии принципов математического моделирования сложных экранирующих электромагнитных структур. Новые результаты диссертации включают следующее:

I. Получено большое количество новых теорем сложения, связывающих гармонические потенциалы в тороидальных, бисфери-

ческих, параболических, конических, сфероидальных, сферических и цилиндрических координатах, а также получен ряд новых теорем сложения для базисных решений уравнения Гельмгольца, уравнений Максвелла /6,8,20,22/ и уравнения Ламе в теории упругости /13,25/. Впервые в мировой литературе проведена систематизация теорем сложения для уравнений Лапласа и Гельмгольца, полученных до настоящего времени. Результаты работы изданы автором в виде справочника "Теоремы сложения" /I/. Разработанные теоремы сложения являются математической основой для аналитических и численно-аналитических методов решения краевых задач электростатики, магнитостатики и электродинамики для систем из нескольких элементов.

2. Проведена систематизация усредненных граничных условий в электродинамике. Усовершенствована методика вывода новых усредненных граничных условий на экранирующих оболочках для различных режимов возбуждения поля: для статических, низкочастотных, высокочастотных и нестационарных полей.

3 частности, получены усредненные граничные условия на тонких и массивных электромагнитных экранах:

- выведены усредненные граничные условия на неоднородных по толщине проводящих экранах, в частности, получены граничные условия на тонких слоистых оболочках;

- выведены усредненные граничные условия на тонких активных проводящих экранах;

- обобщены усредненные граничные условия на тонких анизотропно проводящих электромагнитных экранах и граничные условия Леонтовича на анизотропных массивных телах для различных диапазонов частот;

- выведен ряд новых усредненных граничных условий для нестационарных электромагнитных полей на тонких проводящих экранах и массивных телах;

- исследованы границы применимости усредненных граничных условий различных типов в зависимости от частоты и параметров экрана.

3. 3 литературе тлеется значительное количество работ, в которых изучаются экранирующие свойства изолированных тонких экранов. Для примера, назовем работу А.Д.Ронинсона "Аномальное экранирование магнитостатических и электро-

статических полей" (Электричество, 1." 10, 1332), в которой численно исследуются отражательные свойства одиночных геометрически правильных экранов. Практически отсутствуют работы по исследованию многослойных экранов, состоящих из оболочек различной формы, учитывающие взаимодействие отдельных элементов. 3 рассматриваемой диссертации разработана методика аналитического решения целого класса краевых задач электростатики, магнитостатики и экранирования электромагнитных полей для многосвязных структур:

- в случае задач экранирования разработана методика расчета (основанная на теоремах сложения) комбинированных экранов, состоящих из комбинаций: цилиндр и сфера, параболоид и сфера, плоскость и сфера, цилиндр и сфероид и т.д. Решен ряд задач экранирования магнитных полей различными экранами с компенсирующими токами. Основные положения метода для однородных экранов изложены в монографии "Электромагнитные поля в экранирующих оболочках" (в соавторстве с С.М.Аполлонским). Аналогов монографии в научной литературе не имеется. Асимптотическими методами в диссертации также получены приближенные формулы для расчета коэффициентов экранирования, оценивающих эффективность комбинированных экранов. Разработанная методика позволяет произвести расчет многосвяз-нкх неоднородных экранирующих систем, включающих различные комбинации тонких, массивных, однородных, неоднородных по толщине, слоистых, анизотропных и активных оболочек, расчет которых другими методами проблематичен;

- на основании метода теорем сложения решен ряд новых задач электростатики по расчету емкостных характеристик слоеных неосесимметричных комбинаций электродов геометрически правильной формы: цилиндр и сфера, конус и сфера, цилиндр и сфероид, два тора и т.д. Получены асимптотические формулы для емкостей. Разработана методика, основанная на сочетании метода теорем сложения и методов парных сумматорных и интегральных уравнений, с помощью которой произведен расчет электростатических систем из двух и трех электродов, содержащих идеально проводящие элементы в виде неполных координатных поверх-

нсстей: конечный полый цилиндр я сфера, параболоид и сферический сегмент, шлиндр и тороидальный сегмент, тор и два диска и т.д. /14,16-18/; - разработан ряд новых типов интегральных уравнений для решения краевых задач экранирования в случае тонких неоднородных по толщине цилиндрических экранов произвольного поперечного сечения /30,31/.

Практическая и теоретическая значимость работы. Математические модели, методики, приемы и формулы, разработанные з диссертации, значительно расширяют классы краевых задач электродинамики для сложных неоднородных неосесшметричных областей решаемых аналитически и численно аналитически.

Часть результатов диссертации, опубликованных в виде справочника "Теоремы сложения" /I/, составляют математическую основу диссертации и имеют большую практическую ценность, так как имеющаяся литература по данной тематике разрознена, обширна и требует больших усилий для ее практического применения. 3 книге теоремы сложения (формулы переразложения для потенциалов) классифицированы, изложены единообразно и удобны при использовании. Разработанное большее количество формул обладает значительными потенциальными возможностями, так как многообразие аналитически решаемых задач электродинамики для нескольких тел в большой степени определяется наличием соответствующих теорем сложения.

Математические модели, основанные на развитей в диссертации теории усредненных граничных условий, позволяют не производить сложный расчет полей в тонких экранирующих слоях со сложными материальными структурами, такими как неоднородные по толщине, слоистые, анизотропные, ферромагнитные и композиционные материалы, и имеют достаточно зысокую точность для описания экранирующих свойств.

Разработанные математические методы, алгоритмы и программы дают основу для проектирования сложных экранирующих комплексов з различных разделах техники: для создания элементной базы с тонкими экранирующими покрытиями элементов радио- и электронных приборов, улучшающих электромагнитную совместимость технических средстз; для расчета экранирующих сзойств обтекателей, кожухов электроэнергетических установок, снижающих воздействие на окружающую среду электромагнитного

— с —

излучения; для снижения уровней электромагнитных полей б рабочих отсеках транспортных средств; для экранирования каналов различного профиля, содержащих линии связи и кабельные линии различного назначения, а также могут быть использованы для проектирования в технике высоких напряжений. Методы, математические модели и алгоритмы разрабатывались в рамках четырех госбюджетных и трех хоздоговорных НИР.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзных и Республиканских конференциях к семинарах: на Третьей, Четвертой, Пятой и Шестой конференциях математиков Беларуси (1371 г., Минск; 1975 г., Минск; 1980 г., Гродно; 1992 г., Гродно); межвузовской школе-семинаре "Функциональные методы в уравнениях математической физики" (ТГУ, Таскент, 23-28.7.1978); Всесоюзной конференции "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики" (МГУ, Москва, 19-21.П.1979); Республиканской конференции "Применении математических методов и вычислительной техники при решении народохозяйственных задач" (Гомель, 1956 г.); Л1 Республиканской конференции молода; ученых по физики, посвященной-60-летию образования СССР (Минск, 1982 г.) и других конференциях молодых ученых; П Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (ЗПИ, Винница, 10-13.IX.1991 г.); Всесоюзном симпозиуме "Проблемы электромагнитной совместимости технических средств" (Суздаль, 18-2С.ХП.1991 г.); в НИК постоянного тока на семинаре проф. Ю.Я.Косселя (199С, 1991 гг., Ленинград); П научно-технической конференции по электромагнитной совместимости (С.-Петербург, 8-10.IX.1992 г.); в ШЛИ им. В.А.Стеклова на семинаре по теории дифракции и распространению волн проф. В.И.Бабича (С.-Петербург, 1993 г.); в Государственном техническом университете на кафедре теоретических основ электротехники проф. В.Л.Чечурину и проф. Ковгородцеву (С.-Петербург, 1993 г.); на Международном симпозиуме по электромагнитной совместимости (С.-Петербург, 21-26.У1.1993 г., тезисы доклада включены в программу).

Основные результаты, выносимые на защиту: I. Разработка математической модели для исследования сложных многосвязных электромагнитных структур, основанной на фор-

мулировании краевых задач для уравнений Максвелла с точными и усредненными граничными условиями, идеализирующими сложные граничные поверхности и отдельные объемные элементы системы.

2. Применение и развитие метода теорем сложения и интегральных уравнений для решения краевых задач экранирования электромагнитных полей с усредненными граничными условиями, моделирующих неосесимметричные электромагнитные структуры, и получение расчетных формул для решения конкретных инженерных задач.

В пределах указанной концепции на защиту выносятся следующие конкретные результаты:

- классификация и систематизация теорем сложения на современном уровне развития проблемы; вывод большого количества теорем сложения для уравнений Лапласа, Гельмгольца, уравнений Максвелла и Ламе, сзязызающих базисные поля в различных локальных криволинейных ортогональных системах координат; новые свойства и соотношения для специальных функций математической физики;

- методика аналитического решения краевых задач электростатики с помощью теорем сложения и ее реализация для расчета сложных электродных систем; аналитические расчетные формулы для емкостей конкретных комбинаций геометрически правильных идеально проводящих тел: емкости для сферического и сфероидального проводников з присутствии заземленного цилиндра, емкости двух тороидальных проводников и т.д.; сочетание методов теорем сложения и парных сумматор-ных и интегральных уравнений для расчета электродных систем: сферический проводник и идеально тонкий конечны;! полый цилиндр, цилиндр и тороидальный сегмент, тор и два .диска, параболоид и сферический сегмент и т.д.; численная реализация метода на конкретных примерах;

- разработка единой методики вывода новых и обобщение известных усредненных граничных условий на тонких электромагнитных экранах и сложных поверхностях массивных тел в случае низкочастотных, высокочастотных и нестационарных полей; усредненные граничные условия различных типов на неоднородных по толщине проводящих экранах и тонких слоистых оболочках произвольной форглы; усредненные граничные

условия на тонких однородных проводящих активных экранах произвольной формы, для которых текущие пс экрану токи рассматриваются как параметры, управляющие эффективностью экранирования; обобщения усредненных граничных условий на тонких анизотропно проводящих электромагнитных оболочках и граничные условия Леонтовича на массивных анизотропных телах для различных диапазонов частот, учитывающие дифференциальную часть второго порядка; усредненные граничные условия второго порядка для нестационарных электромагнитных полей на тонких проводящих экранах и массивных телах, учитывающих начальное состояние экранирующей системы; усредненные граничные условия для изображений; исследование границ применимости усредненных граничных условий для тонких экранов методами вычислительного эксперимента; - математическое моделирование сложных экранирующих электромагнитных систем с помощью теорем сложения, усредненных граничных условий к интегральных уравнений; математические модели источников магнитного поля; разложения, представляющие на основании теорем сложения магнитные поля произвольно ориентированных в пространстве круговых токов, цилиндрических катушек с током и соленоидов в сферических, цилиндрических, сфероидальных, параболических и других криволинейных координатах; асимптотические формулы для расчета стационарных, низкочастотных магнитных полей к коэффициентов экранирования внутри комбинированных экранов, состоящих: из двух тонких проводящих вложенных сферических оболочек, из цилиндрической и сферической оболочек, из параболической оболочки под воздействием магнитного поля различных источников (произвольно ориентированных круговых низкочастотных токов, соленоидов) и других комбинаций обо- ' лочек различной формы; формулы для расчета двух (трех) компенсирующих низкочастотных круговых токов при условии минимизации магнитного поля внутри сфероидального экрана из цилиндрической и сферической оболочек; интегральные уравнения различных типов для неоднородных по толщине экранирующих оболочек произвольной формы, разработанные на базе усредненных граничных условий; численное исследование эффективности экранирования конкретных экранов в зависимости от частоты поля, характеристик материала экрана и в

зависимости от формы.

Публикации. Результаты диссертации содержатся з 53 научных печатных работах, среда которых 2 монографии. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад. Содержание диссертации отражает личный зклад автора в решение рассмотренных задач. Соавтор ряда работ, вошедших в диссертацию, доктор технических наук, профессор государственного морского технического университета (С.-Петербург) Аполлонский С.1,1. принимал участие з формировании направления исследований, связанного с проблемами экранирования электромагнитных полей, выступал как консультант по техническим аспектам. Автору принадлежит всесторонняя разработка метода теорем сложения з сочетании с различными другими аналитическими методами, разработка принципов построения усредненных граничных условий для экранов различных типоз, их применение и обоснование.

При выполнении плановых КИР Зрсфеенко З.Т. сотрудничал с Е.А.Ивановым, И.С.Козловской, Г.Ч.Шупкевичем, А.п. Крючковым, А.И.Глушцсзым, Н.Ы.Юделевич, А.З.ГЛсшинским, З.А.Лабудой и др.

Структура работы. Диссертация состоит из предисловия, двух частей, каждая из которых содержит две главы, и списка литературы, включающего 284 наименования. Каждая часть имеет зведение. Работа изложена на 352 страницах, включая ЗС рисунков и 14 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

3 предисловии определены физические и математические объекты исследований, сформулированы цели научных разработок, обоснована актуальность диссертационной работы, списаны и обоснованы методы исследований. Проведено обсуждение состояния изучаемых научных проблем, показана научная новизна полученных результатов и их практическая значимость. Сформулированы защищаемые положения.

Первая часть диссертации полностью посвящена раззитшэ математического аппарата теорем сложения и методам их использования применительно к задачам электростатики.

- 1С -

Метод разделения переменке: е сочетании с принцип 01.: суперпозиции получил развитие в методе теорем сложения для решения краевых задач электродинамики в многосвязных областях.

Теоремы сложения (формулы переразложения) представляют собой формулы

^ с%) ^Цс^^с сл (I)

к.

выражающие в виде оядое или интегралов базисные решения СС5 с разделенными переменными исходного уравнения (уравнений Лапласа, Гельмгольца, Максвелла и Ламе) в одной криволинейной ортогональной системе координат через базисные решения ^ с разделенными переменными в другой криволинейной ортогональной системе координат.

Впервые метод теорем сложения систематически был применен Е.А.Ивановым к решению краевых задач дифракции электромагнитных волн на двух телах. Многие другие авторы (А.М.Родов, З.П.Шестопалоз, В.Ф.Кравченко, А.В.Мошинский, А.А.Кар-пук, А.К.Глушцов, В.И.Адамович, с.М.Наркун, С.Ф.Климчук, Л.А.Марневская, А.А.Пальцев, И.Е.Гаврис, Ю.А.Тучкин, С.С.Виноградов и др.) использовали его для аналитического решения и численной реализации задач электродинамики, но характерной особенностью этих работ являлось то, что метод теорем сложения применялся лишь для однотипных элементов (нескольких сфер, нескольких цилиндров и т.д.). Автор диссертации впервые разработал необходимые теоремы сложения и применил их для решения краевых задач математической физики в многосвязных областях, включающих разнотипные элементы. Предложил ряд новых методов построения теорем сложения, с помощью которых независимо от других авторов получено большое количество формул с коэффициентами, представленными в оригинальной форме.

В монографии У.Миллера "Симметрия и разделение переменных" разработан теоретико-групповой метод построения криволинейных ортогональных систем координат и теорем сложения для различных уравнений математической шизики, но получение практически: формул в силу громоздкости теоретических конструкций затруднительно. В работах же З.С.Проценко, А.И.Соловьева, А.Г.Николаева разработан единый подход для построения новых формул переразложения, удобный для практического применения.

Метод основан на постановке вспомогательной краевой задачи для соответствующего уравнения, представлении решения этой задачи в виде функциональных рядов или интегралов и предельном переходе к частным значениям кризолинейных координат.

3 перзой глазе первой части дано определение базисных решений уравнения Лапласа с разделенными переменными в криволинейных ортогональных системах координат. Предстазлены простейшие теоремы сложения для основных криволинейных координат. Проведен строгий вывод различными методами теорем сложения, связывающих базисные решения для различных комбинаций цилиндрических, сфероидальных, сферических, тороидальных, вырожденных бисферических координат. Сформулированы и доказаны соответствующие теоремы.

Сформулируем некоторые теоремы сложения для гармонических потенциалов:

I. Имеют место следующие формулы, связывающие тороидальные и цилиндрические гармонические функции /4/:

оо _

СЛ).

где

«V«: У (¿пь)! ¿г/* и^'^т. ^ыт-т J >

>- /С—*/

* ' (¿/С)! * ^

[?' - цилиндрические, {^р^} - тороидальные коорди-

наты .

2. Имеет место формула, представляющая тороидальные гармонические функции в системе координат через тороидальные фикции в системе , сдвинутой вдоль оси Ог на величину а, /5/:

S--0" *

а , ^ -л

где

с

(-V Л С, СЛ (cLi-LC^i-LCj Г,;

ЗГ amXlCcL^cc^-LC.fCcL+LC.-üC^^C^ С^-АС, C^i

3. Имеют место формулы, сказывающие бисферическке и сферические гармонические функции в системах координат Oi к Q , сдвинутых относительно друт друга на величину а, вдоль оси Oz /19/:

- , ч / / / ю-т, rs/c-rn. i

Qo+hb)! ar mii

.К.

- полиномы Лагерра; {и-^у^- зырожденные бисферичес-кие координаты; - сферические координаты.

4. Имеют место формулы, связывающие бисферические гармонические функции и функции кругового конуса з системах и Ол , сдвинутых относительно друг друга на зеличину ¿г-вдоль оси

Ог :

в»

—°о л А

где

Приведем некоторые теоремы сложения /I/, полученные автором, но не включенные з ссноенс-й текст з силу ограниченности объема .диссертации.

5. Разложение цилиндрических гармснпчес:-:их функций в системе координат 01 по цилиндрическим функциям з сдвинутой на величину & и повернутой на угол оС системе координат О^ \

Оп)^*** -2Г

— сю —со

т-та

'' ¿¿/у»* я'У"-*"***

6. Имеют месте формулы, связывающие сферические и параболические реиекия уравнения Гельмгсльца /1С/:

3 = 0

Ы^Ч^Ъс.**-!. 41 ¿ыГм*?

Л» —

?де

_ (*>п,+1)(к-»1.)! лО)

Ж}/ (s-f.fr)!

/и-> О,

/3 = ¿л+лг- у—^ >=)!<$+*

'пин, — ./А.у . / *

к.-о Iе-: (ьг+*=■)!

/с - волновое число, параболические координаты.

Автором получен также ряд других теорем сложения для скалярного уравнения Гельмгольца, векторных уравнений Максвелла и Ламе /6-8,13,20,22-25/.

Во второй главе реализован аналитический метод решения краевых задач для сложных электростатических систем, основанный на методе теорем сложения и других аналитических методах: методе малого параметра, методе парных интегральных и сумма-торных уравнений. В монографии Я.С.Уфлянда "Метод парных уравнений в задачах математической физики" разработаны аналитические методы решения задач электростатики для электродов з виде одиночных неполных координатных поверхностей. 3 книге

- .1.0 -

З.Е.Шестопалова "Сумкаторные уравнения в современней теории дифракции" решаются задач!: для систем из однотипных неполных координатных поверхностей. 3 работах К.Я.Пооселя, с.С. Кочаноза, Ы.Г.Струнского, Е.С.Колеч1щкогс приводятся расчетные аналитические формулы для емкостей изолированных электродов и простейших систем электродов. Формулы для сложных систем, состоящих из разнотипных элементов, отсутствуют.

Азтором диссертации устраняется этот пробел и разрабатываются асимптотические формулы для расчета емкостей неосе-симметричных систем:

I. Емкость сферы в присутствии заземленного кругового цилиндра .

С =__ ,

ж я(х-

где

О»

£=-<=>* о

р , £ - радиусы цилиндра и сферы, -С - расстояние между осью цилиндра к центром сферы.

2. Емкость сфероида в присутствии заземленного кругового цилиндра .

4т£ С. п,

С =-—-, V

^ С*в) иг.)+€-»*]

$ = —оо О

О

&, &> - большой я малый радиусы сфероида.

3. Емкость сферы в присутствии заземленного кругового конуса.

где

, СоЬв^ ; си- расстояние от вершины конуса до центра сферы, угол конуса, ЗГ-Л&м - угол отклонения сферы от оси конуса.

4. Конденсаторная емкость двух торов.

с 1

где г- Ь*^ С = /г,

^ = \ а. - рас-

стояние между торами.

На основании метода парных интегральных уравнений и метода теорем сложения вычислены емкости:

5. Конденсаторная емкость полого конечного цилиндра и сферы.

^ ^есс /о\< „

р.,*..

г ^ г+и V ТГ0"^)8 >

си- радиус цилиндра, Я. - радиус сферы, - высота цилиндра.

Произведен расчет ряда других электростатических систем /16-19/.

Зтсоая часть диссертации посвящена теории усредненных граничных условий и построению на их основе математических моделей для тонких и массивных экранов, а также аналитическое решению конкретных задач экранирования электромагнитных полей сложными многосвязными экранами с использованием тес-рем сложения и интегральных уравнений.

Плодотворная идея об усредненных граничных условиях в электродинамике восходит к Гй.А.Леонтовичу к С.П.Рытову, когда или были сформулированы импедаксные граничные условия на поверхности сильно проводящего массивного тела в диэлектрике. В последующем, в работах Х.Д.Гарба, Ю.Т.Смакова, Я.Р. Гринберга, А.Н.Кравченко, Л.П.Хижняка были получены импедан-скые граничные условия для массивного тела с тонкими однослойными и многослойными однородными покрытиями, обобщающими условия Леонтозича. Эта идея также успешно была использована З.П.Курушиным, А.Т.Фиалковским, Е.И.Нефедовым, '¿.К.Кокторо-вичем, С.А.Третьяковы'/: для формулирования импеданскых граничных условий на анизотропных телах и телах с анизотропными покрытиями. В нелинейном случае, когда магнитная проницаемость тела зависит от напряженности магнитного поля, импе-дансные граничные услозия разрабатывались Л.Р.Нейманом, К.Л. [»'.аергойзом, К.В.Пентеговым и др. для нестационарных полей импедансные граничные условия были сформулированы Е.Е.Лакее-вым.

Идея М.А.леонтовича оказалась плодотворной и для решения задач экранирования электромагнитных полей, когда при постановке краевой задачи тонкий реальный экран заменялся идеальной поверхностью, на которой вводились усредненные граничные условия специального вида. К постановке усредненных граничных условий на сильно проводящих однородных экранах обращались многие авторы (С.Ы.Штейнман, Л.А.Цейтлин, Ю.А. Карташов, З.А.Франке, С.В.Гунов, З.Е.Спилберг, и.Е.Ройтгарц,

С.М.Аполлонский, Г.З.Парантаез, Ю.Д.Яхно,. Н.Л.Судов), которые формулировали граничные условия для различных диапазонов частот и исследовали области их применимости. Для неоднородных по толщине тонких экранов упрощенные граничные условия были получены з работах А.Прайса, З.Н.Боброва, З.И. Дмитриева, а для анизотропных - в работе К.А.Кузьмина. Усредненные граничные условия для двухслойных тонких экранов применялись А.Б.Ковгородцевым, В.М.Петровым для решения задач экранирования импульсных полей.

3 первой главе второй части разрабатывается единый подход к выводу усредненных граничных условий для комплексных амплитуд и для нестационарных электромагнитных полей. Методика основана: на предположении, что в толщине сильно про-зодящей тонкой оболочки или в приповерхностном слое массивного тела поле является локально плоским, распространяющимся вдоль нормали к поверхности; на решении вспомогательной краевой задачи для электромагнитного поля в плоском слое и на усреднении уравнений Максвелла по толщине слоя.

Получены некоторые обобщения усредненных граничных условий :

I. Обобщение импедансных граничных условий на поверхности Г анизотропно проводящего массивного тела. Для комплексных амплитуд на поверхности имеем

¡к*Ё] = ([г*[Я*«:]/ *

* «яг+Гбг; и«. °

+ £ + г*

^ = {-¿¿-(^ + Ъ* 4/ - ^

Ху'/с • ^смпоненты тензора проводимости; р - магнитная проницаемость тела.

(2)

где

л потенциальном приближении для магнитного и электрического потенциалов граничные удлсзия имеют вид

Щ = (^ ^[^слЛ , Е^-^и^

Л- - единичная нормаль к Г~.

На основании условий (2) решена задача дифракции электромагнитных волк на анизотропном шаре.

2. Граничные условия для нестационарных полей на поверхности Г массивного изотропного тела.

Граничные условия с учетом начальных условий в приповерхностном слое массивного тела :

о . _

ГЛе 1?*[н1х *]]к* о = Т, оА о,

Граничные условия в потенциальном приближении:

Г-Фк-^ъ^Ш^'Г^^фг' (5!

- (те, Ч>]).

Граничные условия для изображений импульсных полей: гле д,

О г-

3. Граничные условия на поверхности тонкого экрана / с учетом поверхностных токозJ .

- ¿"^[я + Н<)*&]]л (7)

^[дла/^сЛ/, я.]-где ^ = ^^(^-Л), г^г+с^,«:^

А - толщина экрана; у , р , £ - характеристики экрана. Решена задача' экранирования для сферического экрана с усредненными граничными условиями, интерполированными на срединную поверхность экрана.

4. Граничные условия на поверхности тонкого неоднородного по толщине экрана.

Граничные условия на экране с линейно-неоднородной проводимостью:

+ [г* < н*))]л

(8) •

д 0

о

I--- £(£1 ¿-ГКО).

Для коэффициентов функции Эйри , заменяются на производные Ас(%) , Вс'С?)-

Граничные условия в потенциальном приближении:

А-А|г = - (Ъ [г (9)

где ,у^ - магнитные проницаемости среды по обе стороны экрана.

Получены также другие разновидности усредненных граничных условии: методом 3КБ для экранов с произвольной неоднородной проводимостью, для слоистых экранов, для нестационарных полей.

С помощью вычислительного эксперимента исследозаны области применимости усредненных граничных условий в зависимости от частоты, толщины и кривизны экрана и в зависимости от глубины проникновения. Проведено сравнение точных решений задач экранирования и приближенных решений с использованием усредненных граничных условий.

5. Обобщение граничных условий на тонких анизотропно проводящих экранах.

М - 4> Ф [^г^М^ *•>

/гАг = [я* [л* я]].

Граничные условия в низкочастотном приближении:

А ^ -А = ^ ^[с^и¿^ъ,)**])*

Л л. л л

где матрицы 0 выражаются через тензор проводи-

мости.

Произведен расчет сферического тонкого анизотропного экрана со специальной анизотропией.

Исследованы экранирующие свойства.

Зо второй главе разрабатываются математические модели многосвязных экранирующих систем, основанные: на замене тонких проводящих и намагниченных элементов системы идеальными поверхностями с соответствующими усредненными граничными условиями (7)—(IX) на них, на исключении из рассмотрения полей внутри массивных экранов и введении на их поверхностях импе-дансных граничных условий (2)-(6); на замене реальных источников поля произвольно ориентированными круговыми токами, соленоидами и катушками с током. 3 результате такой идеализации задача экранирования сводится к некоторой краевой задаче для уравнения Лапласа, Гельмгольца или для уравнений Максвелла в диэлектрической области с граничными условиями сопряжения, связывающими поля в соседних подобластях. 3 случае различных комбинаций геометрически правильных граничных поверхностей, определяющих комбинированный экран, для решения краевых задач экранирования разработан метод теорем сложения. Метод основан на представлении полей в локальных криволинейных координатах, привязанных к отдельным поверхностям, и применении теорем сложения (I), позволяющих точно удовлетворить граничным условиям на каждой поверхности. 3 результате возникают бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, содержащих, как правило, малые параметры, определяющие взаимное расположение отдельных оболочек. Используя малый параметр, получаем асимптотическое решение краевой задачи экранирования. Для представления помехонесу-щих низкочастотных магнитных полей произвольно ориентированных круговых токов, соленоидов и катушек с током также используются теоремы сложения, позволяющие записать первичное поле в требуемых криволинейных координатах.

3 частности, получено разложение магнитного потенциала кругового тока в сферических координатах:

РО и.

«-=12111 а-^СъЛ, % > я> К)мх***^,

- -

четное; {Ъо ~ сферические координаты центра кругово-

го тока; {&о>%} ~ угль'« определяющие ориентацию тока;

Ц. - радиус кругового тока.

Получен ряд других разложений, представляющих источники поля в цилиндрических, сфероидальных и параболических координатах.

Методом теорем сложения и усредненных граничных условий решены следующие конкретные задачи экранирования: I. диффузия низкочастотного магнитного поля произвольно ориентированной катушки с током з экранирующую систему, состоящую из двух сферических оболочек общего расположения. Получены асимптотические формулы для магнитного поля в центре внутренней сферы:

/4 - (А^-^А^^^Л

=¿181) (А о. + к А^) ^ ^ Нг = -1В[А0, - ^(А^^-зА^^СХ^)],

где

А.- толщины экранов; ^ ~ проводимости; у/. - магнитные проницаемости; - радиусы экранов; сферичес-

кие координаты, определяющие центр внутренней сферы; -

расстояние до центра катушки.

Произведен расчет экранирующих свойств такой системы. 2. Диффузия низкочастотного магнитного поля кругового тока в полость комбинированного экрана, состоящего из цилиндрической и сферической оболочек. Получены асимптотические формулы для расчета магнитного поля в центре сферы:

^ /Я ¿ну. ЦтЖ/фШ^ г

' 4 «>К.б£Х

Аналогичные формулы для других компонент. Едесь Ц -радиус цилиндра, Я. - смещение сферы от оси цилиндра,

Ус» } ~ цилиндрические координаты центра кругового тока,

Произведен расчет некоторых экранов с компенсирующими круговыми токами, которые определяются из условия обращения з нуль поля з окрестности фиксированных точек в полости оболочки.

3. Компенсация низкочастотного магнитного поля внутри комбинированного экрана (цилиндр и сфера) с помощью двух круговых токов.

Б случае с одним компенсирующим током и с одним по-мехонесущим током X получаем достаточно простую асимптотическую формулу для вычисления компенсирующего тока:

где

Р(?)=

>\ ь + / ¿¿у__^

КЬ)- с/?*кЪ)

С = _

А* _✓

>с , ЛА~ радиус и толщина цилиндрической оболочки; /у-радиусы круговых токоз; . - смещение круговых токов здоль цилиндра.

4. Решена задача компенсации статического магнитного поля внутри сфероидального экрана с помощью трех произвольно ориентированных токов.

Решен ряд других задач экранирования /2/ с другими комбинациями геометрически правильных оболочек.

Для исследования экранирующих оболочек произвольной формы в диссертации разработаны некоторые типы интегральных уравнений. На базе усредненных граничных условий получены уравнения для цилиндрических экранов с произвольным поперечным сечением. 3 частности, получены интегральные уравнения для слоистых, неоднородных по толщине и сверхпроводящих оболочек. 3 случае сверхпроводящих оболочек без учета токоз смещения и нормальной проводимости имеем уравнения

^ (Р.) + гё, (Р> + ¿?„ (Р», (Р)]с1^ = & (р,1

Отметим, что интегральные уравнения с использованием импедансных и усредненных граничных условий исследовали многие авторы: Е.Н.Васильев, З.З.Кравцов, А.С.Ильинский, В.Ф.

Г

Кравченко, З.П.Краснов, Ю.Н.1;лличев, О.В.Гримальский, Н.Л.

Судов, И.С.Козловская, А.И.Глушцов.

ВЫВОДЫ

1. 3 работах автора диссертации разработаны новые классы теорем сложения, связывающих базисные скалярные и векторные функции с разделенными криволинейными координатами, которые являются решения дифференциальных уравнений электростатики, магнитостатики и уравнений Максвелла. Теоремы сложения для уравнений Лапласа и Гельмгольца, классифицированные и опубликованные автором в виде справочного издания, содержат наиболее простые и важные с практической точки зрения формулы.

2. Методы применил теорем сложения, разработанные в диссертации, показывают, что теоремы сложения являются эффективным средством для аналитического решения краевых задач магнитостатики и электростатики и краевых задач для квазистационарных полей в случае многосвязных неосесимметричных областей с геометрически правильными границами, решение которых другими методами проблематично. 3 сочетании с асимптотическими методами и методом парных сумматорных и интегральных уравнений теоремы сложения позволяют получить достаточно простые инженерные формулы для величин, характеризующих электромагнитные системы.

3. Разработанные некоторые методы построения усредненных граничных условий для электромагнитных полей, вводимых на срединной поверхности тонких сильно проводящих и магнитных экранов со сложной материальной структурой экранирующего слоя, достаточно просты и могут быть использованы для вывода новых усредненных граничных условий и для обобщения известных частных случаев. Численное сравнение точных решений модельных задач экранирования и приближенных решений, показало, что для частотпри и относительная погрешность составляет менее при этом, векторные и скалярные усредненные граничные условия в потенциальном приближении эквивалентны (¿-глубина проникновения, Я - радиус кривизны, А - толщина экрана).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Теоремы сложения. Минск: Наука и техника, IS89. 256 с.

2. Электромагнитные поля в экранирующих оболочках. Минск: Университетское, 1988. 245 с. (в соавторстве с С.М.Апол-лонским).

3. Теоремы сложения и интегральные преобразования на классах гармонических функций// Дифференц.уравнения. 1983. Т.19, I 5. С. 809-818.

4. Теоремы сложения, связывающие тороидальные, цилиндрические и сферические гармонические функции// Дифференц.уравнения. 1983. Т.19, В 8. С. 1416-1427.

5. Теоремы сложения для тороидальных функций// Докл. АН БССР. 1985. Т.29, Jé 7. С. 588-591.

6. Теоремы сложения для потенциалов электромагнитного поля// Вестник Белорус.гос.ун-та. Cep.I. 1986. Jé 2. С. 50-53.

7. Взаимное переразложение цилиндрических волновых функций, отнесенных к разным системам отсчета// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.наук. 1980. Jé 4. С. 11-14.

8. Формулы взаимного переразложения сферических и цилиндрических решений уравнений Максвелла// Дифференц.уравнения. 1978. Т.14, Jé 6. C.I06C-I064. (в соавторстве с С.Н.Кардашем)

9. Формулы взаимного переразложения цилиндрических и сфероидальных волновых функций// Дифференц.уравнения. 1978.

Т.14, Jé 5. С. 915-918.

1С. Теоремы сложения для параболических и сферических волновых функций// Применение мат.методов и выч.техники при решении народсхозяйственных задач. Гомель, 1936. С.228-229

11. Теоремы сложения для гиперболических и сферических гармонических функций. Казань, 1986. Деп. ВИНИТИ 30.С3.87, Ji 225С В-87. (в соавторстве с В.Ю.Федоровым).

12. Теоремы сложения, связывающие сфероидальные решения с цилиндрическими и сферическими решениями уравнения Лапласа. Минск, 1979. Деп в ВИНИТИ 2.08.1979, Jé 2879-79. (в соавторстве с Н.В.Кочерго).

13. Теоремы сложения и решение краевых задач математической физики. Минск: БГУ, 1981. 33 с. (Ротапринт).

14. Решение задач электростатики для полого конечного цилиндра в присутствии сферического проводника// 1ТФ, 1982. Т.52, внп.З. С. 412-418.

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24,

25

26

27,

28,

Задача электростатики для двух тороидальных прово,цников// ЬТФ. 1986. Т.56, вып.8. С. I64I-I643. ' Об одной краевой задаче для цилиндра с неполным сферическим включением// Вести АН БССР. Сер.физ.-мат.наук. 1983. is I. С. 38-43. (в соавторстве с ГЛ.Шушкевичем). Расчет задач электростатики для параболоида со сферическими сегментами// Вестник Белорус.гос.ун-та. Cep.I. IS83. Л 3. С. 45-49. (в соавторстве с Г.Ч.Шушкевичем). Задача электростатики для цилиндра с тороидальным сегментом// Вестник Белорус.гос.ун-та. Cep.I. 1986. й 2. С. 3639. (в соавторстве с М.А.Гутьеррес). Решение задач электростатики для двух касающихся сфер, вырожденного тора в присутствии различных проводников. Минск, 1979. Деп. в ВИНИТИ 3.01.1980, & 61-80. Дифракция электромагнитных волн на двух скрещивающихся цилиндрах. Минск, 1983. Деп. в ЕелНИИНТИ 5.C8.I983, JS 758 Ее-Д83.

Дифракция электромагнитных волн на кусках шарового слоя. В сб. Функциональные методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1980. С. 22-25. Решение задач дифракции в плоско-слоистом пространстве с шаровыми включениями, I. Минск, 1977. Деп. в ВИНИТИ 26.CI.1978, И 315-78. (в соавторстве с А.Н.Крючковым). Решение одной краевой задачи для уравнения Гельмгольца в слоистом пространстве с шаровым включением// Дифферент. уравнения. 1978. Т.14, й 8. С. 1439-1447. Метод теорем сложения в задачах для цилиндрического волновода, содержащего сферу. Минск, 1985. Деп. в ВИНИТИ 29.08.1985, Л 6408-85.

Упругий стержень с шаровой полостью// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.наук. 1976, I. С. 48-55.

Обобщение импедансных граничных условий Леонтовича// Изв. вузов. Электромеханика. 1991. .'1з 8. С. 38-39. (в соавторстве с С.М.Аполлонским).

Усредненные граничные условия на анизотропно прово,дящих электромагнитных экранах// У1 Конференция математиков Беларуси. Тезисы докл. 4.2. Гродно, IS92. С. 14. Приближенные граничные условия для задач экранирования электромагнитных полей тонкими слоистыми экранами// Тео-

ротическал электротехника. Н>(Л. limt.M. (п гоат г'ротпс с И.О.Козловской).

29. Расчет магнитных полей п комбинирмпашкч! оСюлочкп// Ibn. нузоп. Электромеханика. 1900. Л 1.1. (I. ii-il). (в ооаптор-етвс о О.М.Лполлопскшл).

30. Интегральные уравнении п задачах окранирчпашш злоктро-магнитных полей для цилиндрических тпл// ДтЫшрепи. уравнения. 1992. JC 2. С. 2-12-247. (в соппторстпе с; И.С. Козловской).

31. Интегральные уравнения для слоистого цилиндрического пи-рана. Минск, 1992. Леи. в 1ШИИТИ (0.01.1992, » П9-П92. (в соавторстве с И.С.Козловской)

32. Экранирующие системы длл улучшения ОМС ТО// Всесоюзный симпозиум "Проблемы электром. on'wrr. техн. сроком". Тезисы "докл. Суздаль, 1991. 0. СВ. (в соавторство с С.М. Аполлонским).

33. Численное исследование слоистих з.мпктормагшшшх экранов с помощью усрсдлешшх граничных условий// Тозион докл. 11 научн.-тохлпч.конф. "Электром. сопмеот. техн. средств". С.-Петербург, 1992. С.94. (в соавторство с И.О.Козловской)

Подписано к печати /9.05 93 Формат 00x14 1/16. Бумага \Ь I. Объем 2,0 п.л. Олказ г 38 Тираж '.Hí ?кз.

Отпечатано на ротячринт« Ьплгосушнтроитста 2'ЛЛГ>0, г.Минск, ул.Кобгл'йшспп, V.