Об асимптотике и точных интегральных оценках решений краевых задач в областях, перфорированных вдоль границы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ИИ4600241

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи

Королева Юлия Олеговна

УДК 517.956.4

ОБ АСИМПТОТИКЕ И ТОЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОЦЕНКАХ РЕШЕНИЙ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ, ПЕРФОРИРОВАННЫХ ВДОЛЬ ГРАНИЦЫ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

1 АПР 2070

004600241

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Чечкин Григорий Александрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, 1 профессор Филиновский Алексей

Владиславович

кандидат физико-математических наук Пятницкий Андрей Львович Ведущая организация: Владимирский Государственный

Гуманитарный Университет

Защита состоится 09 апреля 2010 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу 119991, РФ, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 9 марта 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

И.Н. Сергеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Задачи усреднения с мелкомасштабной структурой около границы рассматривались разными авторами. Такие модели включают в себя задачи в областях с быстро осциллирующей границей, задачи в областях с концентрированными массами, расположенными около границы, задачи с быстрой сменой типа краевых условий на фиксированной и мелкозернистой границе, в частности, в областях, перфорированных вдоль границы, и др. (см. монографии В.А.Марченко и Е.Я.Хруслова1, А.Л.Пятницкого, Г.А.Чечкина и А. С. Шамаева2 и список литературы в них). Изучение свойств таких задач является важным для многих приложений.

В диссертационной работе получены результаты о решениях краевых задач в областях с микронеоднородностями около границы. Эти результаты применяются для исследования асимптотики по малому параметру константы в неравенстве Фридрихса для областей с микронеоднородностями. Классическое неравенство Фридрихса было доказано К. Фридрихсом ещё в 1927 г.3 для случая, когда функция имеет нулевой след на границе области. После этого было получено достаточно много обобщений этого неравенства на случай, когда функция обращается в ноль на подмножестве границы, см. монографию В. Г. Мазьи4 Однако, в доказанных теоремах константа в неравенстве Фридрихса выражена в терминах ёмкости, подсчет которой является нетривиальной задачей в случае областей с перфорацией сложной микроструктуры. В настоящей диссертационной работе получены достаточно тонкие результаты о зависимости константы в неравенстве Фридрихса от характерного размера микронеоднородности области для широкого круга перфорированных областей.

1 Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

2Пятницкий А. Л., Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская". 2007.

3 Friedrichs К. Spectraltheorie halbbeschränkter Operatoren und Anwendung auf die Spectralzle-gung von Differentialoperatoren. I, II. // Math. Anal. 1934. V. 109. P. 463-487, 685-713.

*Мазъя В. Г. Пространства C.JI. Соболева. Изд. Ленингр. Унив., Ленинград, 1985.

Неравенства типа Фридрихса широко используются при доказательствах теорем вложений, а также при получении равномерных оценок семейств решений граничных задач с параметром.

Цель работы. Целью работы является исследование асимптотических свойств решений краевых задач в областях с микронеоднородностью около границы, а также исследование зависимости константы в неравенстве Фридрихса от малого параметра, характеризующего размер и период микронеоднородности, для функций из соответствующих соболевских классов.

Целью работы является также построение точных асимптотических формул для констант в неравенствах типа Фридрихса в областях с микронеоднородностью.

Методика исследования. В работе широко применяются как методы теории функциональго анализа, так и методы теории дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, используются методы спектрального анализа дифференциальных операторов, интегральных оценок, методы теории усреднения, метод согласования асимптотических разложений.

Научная новизна, Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные из них следующие:

• Получена точная асимптотика константы в неравенстве Фридрихса в фиксированных областях с микронеоднородностями около границы, зависящими от малого параметра

• Доказана справедливость неравенства типа Фридрихса для функций из соболевского класса Я1, имеющих нулевой след на малых множествах, образующих непериодическую перфорацию области около границы, и показана, близость константы в неравенстве к константе из классического неравенства Фридрихса

• Получена точная асимптотика константы для неравенства Фридрихса по малому параметру, характеризующему размер микронеоднородности, в случае двумерной области, периодически перфорированной вдоль границы.

Теоретическая и практическая значимость. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть полезны специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений с частными производными и функциональго анализа. В частности, полученные в диссертации результаты вносят существенный вклад в теорию интегральных неравенств и в теорию вложения соболевских пространств.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях научного семинара "Теория усреднения" под руководством д.ф.-м.н. Г.А.Чечкина (механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова) в 2003-2010 г.

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях:

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского, Москва, МГУ, 2007;

• Всеросскийская конференция молодых ученых, Москва, МГУ, 2008;

• Международная конференция "Analysis, Inequalities and Homoge-nization Theory" Midnight sun conference in honor of Lars-Erik Pers-son, June 8-11 2009, Luleä, Sweden.

Работа поддержана грантом РФФИ № 09-01-00353-а (руководитель Г.А.Чечкин), и грантами Президента РФ для поддержки ведущих научных школ НШ-1698.2008.1, НШ-7392.2010.1, НШ-7387.2010.1, НШ-7429.2010.1.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приводится в конце автореферата [1—6].

Структура и объем работы. Диссертация занимает 100 страниц текста и состоит из введения, двух глав, разбитых на пять параграфов, и списка литературы, включающего 97 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная — номер главы, номер параграфа

и собственный номер, например, лемма 3.2.1 — лемма 1 второго параграфа третьей главы.

Основное содержание работы.

Первая глава. Первая глава посвящена краевым задачам в фиксированных областях, зависящих от малого параметра, с микронеоднородностями около границы и задачам в областях, перфорированных вдоль границы. Исследуется зависимость константы в неравенстве Фридрихса от малого параметра, характеризующего размер микронеоднородности.

о

Всюду далее используются следующие обозначения: Я1^) -множество функций из Я1 (О), имеющих нулевой след на дП; Я1 (О, Г£) - множество функций из Я1(П) с нулевым следом на Ге, где множество Ге С 80, зависит от малого параметра, характеризующего микронеоднородную структуру области.

В первом параграфе рассматривается задача с микронеоднородностью около границы. Предполагается, что краевые условия быстро меняются на фиксированной границе. А именно, рассмотривается область П С К2 с достаточно гладкой границей длины 1, такая, что

= П = Г| = и(гу, г^ п = 0,

г »

тев Г|4 = е6(е), тев (Г^ и Г^) = 6(е), 5(£) = ° (¿[) ПРИ £

где куски Г|,- и Г|{ чередуются (см. рис. 1).

Здесь в качестве Ге = Г|. Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 1 (1.1.1). Пусть п = 2. Тогда для и е Я^П.Ге) справедливо следующее неравенство Фридрихса:

У и2 йх < Ке J |'Щ2 (1х, К£ = Ко + р(е), п п

Рис. 1: Двумерная область где Ко - постоянная в классическом неравенстве типа Фридрихса,

о

справедливом для всех и £ Я1 (fi), а

<p(e)~(|ln<i|)-* + (5(e) |lne|)*

при £ —> 0.

Кроме того, в данном параграфе рассмотрена аналогичная геометрическая конструкция в случае п > 3. Мы предполагаем, что 9Г2 = 5иГ,5пГ = 0,Г принадлежит гиперплоскости хп = 0 и функция и обращается в ноль на малых периодически распределенных по Г пятнах размера £Î(e). Здесь мы предполагаем, что 6(е) = о(еп~2) при е 0.

Для соответствующего класса Я1(0, Ге) установлена справедливость следующего неравенства типа Фридрихса.

Теорема 2 (1.1.2). Пусть п > 3. Тогда для и G Я^Ц U S)

справедливо следующее неравенство типа Фридрихса:

J и2 dx<KeJ | Vu|2 dx, К£ = К0 + <р(е),

п п

где Ко — константа в классическом неравенстве Фридрихса,

о

справедливом для и € Я1 (fi), а

4>(е) ~ et'1 + (6(е)£2~п)>

Рис. 2: Многомерная область

при £ —> 0.

В качестве примера в первом параграфе приведена формула для константы в неравенстве Фридрихса для кругового диска.

Во втором параграфе доказаны теоремы усреднения для задачи в двумерной области с периодической перфорацией вдоль границы.

Опишем подробнее геометрию области. Пусть - область в К2, лежащая в верхней полуплоскости, граница которой Г является кусочно-гладкой и состоит из нескольких частей: Г = Г1иГ2иГзиГ4, где Г4 — отрезок [—на оси абсцисс, Г2 и Гд принадлежат прямым XI = — | и £1 = | соответственно, Г\Г4 — гладкая. Всюду далее е — 2/7+1 ~ малый параметр, N — натуральное число, N 1.

Будем также использовать следующие обозначения. Пусть В —

Рис. 3: Структура области П,

произвольная двумерная область с гладкой границей, лежащая в круге

Пусть, кроме того,

В> = {хеП: £-\хг - ^ х2) 6 В}, $ В^Ц В>, Г£ = ЭВе.

э

Определим область £1е как 0\ВС (см. рис. 3). Основными результатами данного параграфа являются следующие утверждения.

Теорема 3 (1.2.1). Пусть / € ¿г(^), Я — произвольный компакт / • *на комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений спектральной задачи

—Дцо = Лоио в

щ = 0 на Г4, (1)

.^ = 0 каГ\Г4.

Тогда:

1) существует число £о > 0 такое, что при любом £ < £о и любом Л 6 <5 решение краевой задачи

'-Аи£ = \и£ + / вП£,

< ие = 0 на Ге, (2)

^ = 0 па Г.

•'* существует и единственно, а также справедлива равномерная по £ и А оценка

ЦСУ1 < с||/||01 (3)

где || • Ць || • ||о соответственно нормы в пространствах и

Ь2(П).

2) для решения краевой задачи (2) имеет место сходимость

\\ие — СД)||1 0 при £ —> 0, (4)

где Uq — решение предельной (усреднённой) краевой задачи '-AU0 = XU0 + f efl,

< U0 = 0 наТ4, (5)

^ = 0 каГ\Г4.

Теорема 4 (1.2.2). Пусть Ло — собственное значение кратности N предельной спектральной задачи (1). Тогда:

1) к собственному значению Ло сходится N собственных значений (с учётом совокупной кратности) возмущённой спектральной задачи

—ДеиЕ = Л£ие в il£, < и£ = 0 на Ге, (6)

^ = 0 на Г;

2) если А£д, ..., ~ собственные значения задачи (6), которые сходятся к Ло, a u£ti,...,u£^ — соответствующие собственные функции, ортонормированные в Lz^l), то для любой последовательности —> 0 существует подпоследовательность

к—* со

Еу —» 0, такая что при е — Ек —> 0 верна сходимость

\\ue,j ~ «ojlli О,

где Иод,... ,Uo,jv — собственные функции спектральной задачи (1), соответствующие Ло, ортонормированные в ¿2(0).

Чтобы применить стандартные методы доказательства теорем усреднения для различных типов сингулярных возмущений, см., например,567к конкретной рассматриваемой нами задаче, в работе доказана следующая лемма.

6Бикметов А. Р. Асимптотика собственных элементов граничных задач для оператора Шрёдингера с большим потенциалом, локализованном на малом множестве. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 4. С. 667-682.

вГадылыиии Р. Р. Метод согласования асимптотических разложений в сингулярно возмущенной краевой задаче для оператора Лапласа. // Итоги науки и техники. Совр. матем. и ее прилож. Тематические обзоры. 2003. Т. 5. С 3-32.

7 Че-чхин Г. А. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций эллиптического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе "лёгких" концентрированных масс. Двумерный случай. // Известия РАН. Серия математическая. 2005. Т. 69. № 4. С. 161-204.

Лемма 1 (1.2.1). Пусть уе <5 Я:(0£, Ге) и уе V* при е О слабо в Н1^). Тогда V* € Я1(П,Г4).

Кроме того, стандартными методами выведена оценка решения в окрестности собственного значения, которая в дальнейшем будет использована для обоснования асимптотического разложения первого собственного значения.

Лемма 2 (1.2.5). Пусть Ао - собственное значение краевой задачи Дирихле (1) кратности N:

Тогда при X, близких к Ло, для решений краевой задачи (2) имеет место оценка

\\и£\\г<СУ- 11/110

где А^,..., — собственные значения задачи (6), сходящиеся к

Л0.

Если, к тому же, решение 1/£ ортогонально в собственной

функции ир~1 задачи (6), соответствующей У£+р, то имеет место оценка

\т\г<с £ 11/1,0

г-

=1 — л

Третий параграф обобщает результаты, полученные во втором параграфе, на случай непериодически перфорированных вдоль границы как плоских, так и многомерных областей. В частности, доказаны теоремы усреднения, выведено неравенство типа Фридрихса для функций из соболевского класса Я1 (О), имеющих нулевой след на малых непериодически распределенных множествах, образующих перфорацию вдоль границы. Кроме того, с использованием теорем усреднения показана близость константы в полученном неравенстве к константе из классического неравенства Фридрихса.

Вторая глава. Во второй главе строится и строго обосновывается двучленная асимптотика первого собственного значения спектральной

задачи (6), из которой получается оценка на скорость сходимости констант в неравенстве Фридрихса.

В первом параграфе второй главы построена двучленная асимптотика по параметру е собственного значения Xе спектральной задачи (6).

Итак, пусть £1С, Г£ - множества, определенные во втором параграфе первой главы. Кроме того, от множества В потребуем симметричности относительно оси ординат. Основным содержанием первого параграфа второй главы является доказательство следующей теоремы, которое опирается на Теоремы 3, 4 и Леммы 1, 2.

Теорема 5 (2.1.1). Пусть До — простое собственное значение задачи (1). Тогда асимптотика собственного значения Xе, сходящегося к Ао при е —» 0, имеет вид

Хе = Х0 + еХ 1 + о(еЬ») (7)

для любого ц, 0 < (л < где

X! = -<7(Я) I (8)

г„

а С{В) - положительная постоянная, зависящая от множества В.

Замечание 1. Из построенных асимптотик (формулы (7) и (8)) следует неравенство

Ае < Ао, (9)

которое из вариационных соображений не очевидно.

Во втором параграфе второй главы мы применяем доказанные нами теоремы усреднения, вариационный принцип и построеннную асимптотику (7) для оценки разности констант в неравенстве Фридрихса. Основным результатом данного параграфа является следующая теорема.

Теорема 6 (2.2.1). Для функции ие € //^(О, Ге) справедливо неравенство типа Фридрихса

Juldxdy < Ме J dxdy, п п

где

КА 1 L Д1

+ О (ei-'1) , 0 < ц < i

Благодарность.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему учителю доктору физико-математических наук Григорию Александровичу Чечкину за постановку задач и их многочисленные плодотворные обсуждения.

Основные публикации автора по теме диссертации

1. Королева Ю. О. О неравенстве Фридрихса в трехмерной области, непериодически перфорированной вдоль части границы. // Успехи мат. наук. 2010. Т. 65. № 2. С. 181-182.

2. Гадыльшин P.P., Королева Ю.О., Чечкин Г. А. О собственном значении лапласиана в области, перфорированной вдоль границы. // Доклады РАН. 2010. Т. 432. Л* 1. С. 1-5.

(Гадыльшин P.P. - обоснование асимптотического разложения собственного значения; Королева Ю.О. - построение асимптотического разложения и доказательства вспомогательных лемм; Чечкин Г.А. - построение вспомогательных задач и леммы, связанные с ними)

3. Chechkin G. A., Koroleva Yu. О. and Persson L. -E. On the precise asymptotics of the constant in the Friedrich's inequality for functions, vanishing on the part of the boundary with microinhomoge-neous structure. //J. Inequal. Appl. 2007. Article ID 34138,13 pages, 2007.

(Chechkin G.A. - теорема о скорости сходимости собственных зачений вспомогательных спектральных задач; Koroleva Yu.O. - теоремы об асимптотиках констант в неравенствах Фридрихса; Persson L.-E. - введение)

4. Chechkin G. A., Koroleva Yu. О., Meidell A. and Persson L. -E. On the Friedrichs inequality in a domain perforated nonperiodically along

the boundary. Homogenization procedure. Asymptotics in parabolic problems. // Russ. J. Math. Phys. 2009. V. 16 № 1. P. 1-16.

(Chechkin G.A. - теорема о сходимости собственных элементов вспомогательных спектральных задач; Koroleva Yu.O. - лемма о слабой сходимости и теорема о сходимости констант в неравенствах Фридрихса; Meidell А. - аналогичные результаты для параболического случая; Persson L.-E. - введение)

5. Королева Ю.О. О константе в неравенстве Фридрихса. // В: Сборнике тезисов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" посвященной юбилею И. Г. Петровского (XXII Совместное заседание семинара им. Петровского и Московского Мат. Общества (Россия, Москва, 2007, 21-26 Мая). М.: Изд. МГУ им. М.В. Ломоносова. 2007. С. 153-154.

6. Koroleva Yu. О. On the Friedrichs inequality in a cube perforated periodically along the part of the boundary. Homogenization procedure. // Research Report, №2, Department of Mathematics, Luleä University of Technology, (34 pages), 2009.

Подписано в печать ¿¡3. /¿7 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,0 Тираж ^ОО экз. Заказ {?

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение

1 Обзор литературы.

2 Структура работы.

1 Усреднение спектральных задач и неравенство типа Фридрихса.

§1.1 Задачи с частой сменой типа краевых условий на фиксированной части границы.

1.1.1 Основные результаты.

1.1.2 Доказательство основных теорем и некоторые вспомогательные результаты.

1.1.3 Некоторые частные случаи.

§1.2 Задачи в областях, перфорированных периодически вдоль границы, с частой периодической сменой типа краевого условия на мелкозернистой границе.

1.2.1 Доказательство вспомогательной леммы.

1.2.2 Доказательства основных результатов.

1.2.3 Оценка решения в окрестности собственного значения.

§1.3 Задачи в областях, перфорированных нспериодически вдоль границы, с частой непериодической сменой типа краевого условия на мелкозернистой границе.

1.3.1 Двумерный случай.

1.3.2 Трехмерный случай.

2 Асимптотическое разложение собственных значений и точные константы в неравенстве типа Фридрихса.

§2.1 Асимптотические разложения собственных значений граничных задач.

2.1.1 Формулировки основных результатов.

2.1.2 Доказательство основной теоремы.

2.1.3 Доказательство вспомогательных лемм.

§ 2.2 Асимптотика константы в неравенстве Фридрихса.

1 Обзор литературы.

Краевые задачи с мелкомасштабной структурой около границы рассматривались разными авторами. Такие задачи подразделяются на задачи в областях с быстро осциллирующей границей, задачи в областях с концентрированными массами, задачи с быстрой сменой типа краевых условий на фиксированной и мелкозернистой границе, например, в областях, перфорированных вдоль границы, см. монографии [26], [38], [45], [48] и список литературы в них.

Граничные задачи с быстро меняющимся типом краевых условий на фиксированной границе области изучались многими математиками, такими, как Д. И. Борисов, Р. Р. Гадылыиин, О. А. Олейник, Г. А. Чечкин, Е. Я. Хруслов, A. Damlamian, Li Та-Tsien, M.Lobo, M.E.Perez и др.(см. [6]-[13], [38], [43], [44], [48], [55], [56], [59], [60], [61], [75], [78], [88] и [89]). Предполагается, что граница области разделяется на две части с микропеоднородной структурой, которые чередуются, на каждой из этих частей ставится свое граничное условие. Одна из частей подчиняется условию Дирихле, а другая - условию Неймана или смешанному типу граничного условия. При этом предполагается, что каждая часть границы состоит из большого числа непересекающихся компонент, мера каждой из которых зависит от малого параметра, характеризующего характерный размер микронеоднородности границы, и стремится к нулю при стремлении малого параметра к нулю. Процедура усредпения таких задач достаточно хорошо изучена (см., например, [3], [6], [25], [55], [60], [70], [78], [79], [88] и [89]). В статьях [60], [25], [71] и [43] рассматриваются задачи, где граничное условие Дирихле чередуется с условием Неймана или со смешанным типом краевого условия. Получены некоторые оценки на скорость сходимости в предположении, что каждая малая компонента границы стягивается в точку. В [60] рассмотрены краевые задачи с различными типами условий на границе, выставленными на малых чередующихся участках границы. В частности, описано поведение решений таких задач при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего период смены чередующихся граничных условий. Кроме того, автором получены оценки разности между решениями исходных задач и решением соответствующих предельных задач. Наряду с этим исследованы спектральные свойства рассматриваемых задач. Следует отметить, что в [60] впервые была дана полная классификация типов предельных задач, соответствующих возмущеннной (исходной) задаче, в зависимости от величины малого параметра, характеризующего частоту смены типов граничных условий и их относительные длины. В [25] были рассмотрены граничные задачи в многомерных областях с частой сменой типов краевых условий на границе. В частности, было доказано, что предельные задачи зависят от асимптотики первого собственного значения спектральной задачи, рассматриваемой на ячейке периодичности. Автором была построена эта асимптотика при стремлении малого параметра к нулю и применена для оценки скорости сходимости решений задач с малым параметром к решению соответствующей предельной задачи.

В [70] рассматривались задачи для оператора Лапласа в трехмерной области с частой сменой типов граничных условий. Предполагалось, что граница области состоит из двух частей, одна из которых имеет чисто периодическую микроструктуру. Например, это могут быть часто чередующиеся пятна или периодически распределенные отверстия (в случае неограниченной области с перфорированной перегородкой внутри). В первом случае мы имеем дело с ограниченной областыо, имеющей микронеоднородную структуру на границе, тогда как во втором случае - с двумя областями, соединенными через отверстия. Для второго случая были рассмотрены задачи как в предположении, что обе подобласти ограничены, так и в предположении, что одна из подобластей неограничена. В частности, авторами представлена полная классификация типов предельных задач в зависимости от соотношений малых параметров, характеризующих частоту смены типов граничных условий и их относительные размеры. Кроме того, были доказаны теоремы об усреднении задач в рассматриваемых областях и теоремы о сходимости собственных элементов соответствующих спектральных задач.

Следует упомянуть, далее, что в работах [6], [7], [11], [67], [12], [13], [61], [20], [21] и [17] были построены асимптотики решений некоторых граничных задач с быстро осциллирующим типом условий на границе. Причем в статьях [7], [11], [13], [20], [21] и [17] были рассмотрены двумерные задачи, а в остальных работах - трехмерные.

В [61] было построено асимптотическое разложение для решения уравнения Пуассона в многомерном слое в случае, когда на малых участках границы, стягивающихся в точку, периодически чередуются типы граничных условий. В [6] и [12] были построены полные разложения собственных элементов для оператора Лапласа в цилиндре с частой сменой условий Дирихле и Неймана на поверхности цилиндра. В [12] рассмотрена спектральная задача с условием Дирихле на поверхности цилиндра. Предполагалось, что куски границы, на которых выставлено условие Дирихле, имеют тот же порядок малости, что и части с условием Неймана. В [6] изучен случай, соответствующий предельным задачам Неймана и задачам со смешанным типом условий на границе. В обеих работах [6] и [12] автор доказал, что исходная задача имеет только собственные значения кратности один или два. В статье [6] построены ведущие члены асимптотического разложения для собственных значений и собственных функций как в случае с условием Неймана, так и в случае смешанной краевой задачи. Также была доказана сходимость собственных значений к соответствующим предельным собственным значениям кратности один. В [10] рассмотрена сингулярно возмущенная спектральная задача для уравнения Лапласа в цилиндре с часто чередующимися типами граничных условий на поверхности. При этом предполагается, что внешняя поверхность разбита на большое количество неодинаковых полос, на которых чередуются условие Дирихле и Неймана. Был рассмотрен случай, когда предельной задачей является задача Дирихле. Были построены ведущие члены асимптотического разложения собственных элементов при условии, что ширина полос меняется медленно. Кроме того, для случая быстрого изменения ширины полос были получены некоторые оценки на скорость сходимости. Результаты, полученные в [10], обсуждались также в [67].

Граничные задачи в перфорированных областях изучались многими авторами (см., например, [1]-[2], [35]-[36], [40], [45], [49]-[51], [65], [69]-[75], [80], [84], [85] и [95]). В этих статьях и монографиях рассматривались как линейные, так и нелинейные задачи в областях с различными видами перфорации. Опишем вкратце некоторые наиболее значимые результаты.

Граничные задачи в перфорированных областях с периодически распределенными по области полостями при условии, что период перфорации и размер полостей имеют одинаковый порядок, изучались в работах О.А.Олейник и ее учеников (см., например, [28], [91] и [45]). Случай, когда размер полостей меньше периода перфорации, рассматривался в [76], [84] и [85].

Работа [1] (см. также краткие заметки [2]) посвящена анализу граничных задач в перфорированных областях в случае, когда диаметр отверстий много меньше расстояния межу ними. Были доказаны теоремы усреднения для задачи с условием Неймана на внешней границе и условием Дирихле на границах малых множеств. Была получена оценка разности между решениями исходной и усредненной задач. Кроме того, автором были изучены спектральные свойства таких задач и получены оценки близости собственных элементов.

В [40] рассмотрена задача Дирихле с непериодически разбросанными включениями. Была доказана слабая сходимость в L2 решений в терминах сходимости гармонических емкостей малых множеств. Граничные задачи в перфорированных областях для нелинейных дифференциальных операторов рассматривались, например, в [35], [36], [49], [50], [51] и [95]. В монографии [49] изучаются граничные задачи для нелинейных эллиптических уравнений произвольного порядка. Первая половина книги посвящена вопросам разрешимости таких задач, тогда как вторая - свойствам обобщенных решений. Авторами рассмотрено усреднение семейства нелинейных граничных задач как в областях с мелкозернистой структурой, так и в областях с тонкими соединениями. В частности было показано, что решения граничных задач такого рода близки к решениям конкретных нелинейных задач в неперфорированных областях. Задача Дирихле для нелинейного уравнения в перфорированной области рассматривалась, например, в [49], [50] и [51]. Нелинейным задачам в семействе областей, имеющих мелкозернистую структуру на границе, а также вопросам сходимости собственных значений нелинейной задачи Дирихле в таких областях посвящена статья [95]. В частности,

П*) {s) было рассмотрено семейство следующих областей: Qs = Q \ (J F^, 1 где Q С Мп - произвольная область и F}s\ г = 1,. I(s) < 00, s (Е N -конечное число непересекающихся замкнутых областей, содержащихся в Г2. Дополнительно предполагалось, что диаметры F^s\ расстояния между двумя соседними множествами и расстояния от множеств до границы Q стремятся к нулю при s —-> 00. В такой области были рассмотрены следующие нелинейные задачи: п

I2-£:fj(xius(x)^us(x)) ~ fQ{x,us(x): X7us(х)) =

7=1 ' (1 1) us(x)), xe£ls: us(x) — 0, x € dfls.

Было доказано, что при некоторых предположениях на функции д0, fj, j = 0,., п, следующая задача является предельной для (1.1): п

- Mx,u(x),Vu(x)) + cq(x,-u(x)) = j=1 J Xg0(x,u(x)), xGQ, u(x) = 0, x G dQ.

1.2)

Кроме того, была доказана сходимость собственных элементов исходной задачи к соответствующим собственным элементам усредненной задачи. А именно, пусть As - собственные значения (1.1), а Л - собственное значение (1.2); кроме того, пусть us(x) и и(х) - соответствующие собственные функции. Тогда lim As = Л, а s—>оо последовательность сходится при s —> оо к и(х) сильно в для г < т и слабо в W^(O), здесь т > 2 - фиксированный параметр.

Краевые задачи с перфорацией вдоль границы или многообразия рассматривались, например, в [80], [90], [38, Г. I, §3] и [94].

В [38, Г. I, §3] изучены задачи с перфорацией вдоль фиксированных кривых. В частности, была доказана равномерная сходимость решений исходных задач в компактных подобластях, содержащих кривую, к решениям предельной задачи. В [94] рассмотрена задача в области, разделенной перфорированной перегородкой. Была доказана слабая сходимость решений задач с малым параметром к решению предельной задачи. В некоторых специальных случаях получены оценки на скорость сходимости.

В [80] рассмотрена задача в тонкой пластине с условием Неймана на поверхности. Эти исследования продолжают изучение вопросов, поднятых В.О. Марченко и Е.Я. Хрусловым (см. [38]) и Е. Sanchez-Palencia (см. [94]): плоскость хп — 0, перфорированная е-псриодически распределенными малыми отверстиями диаметра г(е) < |, разделяет n-мерную ограниченную область G на две подобласти G+ и G~. Изучается поведение решений ие граничных задач в области G при £ —» +0. В [80] была рассмотрена аналогичная прпоблема для "тонкой" пластины толщины h{e) с циллиндрицескими отверстиями высоты h{e) (см. рис. 1.1 и 1.2).

2ге £

CUT^CZl • CU ■ !=□ • I-гт 2Н

Рис. 1.1: Пластина в случае п — 2.

21, о

Рис. 1.2: Пластина в случае п = 3.

Функция ие - решение уравнения

Аи + и — /, подчиненного условию Неймана на поверхности каналов, и условию Дирихле на границе области, получаемой из G после удаления каналов. Решение и£ сходится к и+ в G+ и к и в G при е, h{e) и г(е) стремящихся к нулю. Было доказано, что эти функции являются решениями рассмотренного выше уравнения и удовлетворяют условию Дирихле на границе области, получаемой из G после удаления каналов, а вдоль гиперплоскости хп = 0 возникает скачок ди+ 1,4. ч дт7 2 U -U~] где 0 < fi < +оо -некоторая постоянная, an- внешняя нормаль к G+ и G~. Кроме того, в случае п > 3 была установлена точная зависимость постоянной ц от функций г(е) и h(e) при е —> 0. Было установлено, в частности, что ц = 0, если диаметр каналов "слишком маленький" или канал "слишком длинный"; fi > 0, если диаметры каналов "достаточно большие", но каналы не "слишком длинные" (в последнем случае ц = оо). Во всех этих случаях получены точные критические функции г*(е), /г*(г), а также точное критическое значение константы /i, которые позволяют отделить один случай от другого. Показано, что значение [i задается функционалом, весьма схожим с емкостью множества. Кроме того, было показано, что в двумерном случае при изучении аналогичных задач возникают некоторые проблемы, поэтому некоторые вопросы до сих пор остаются открытыми.

В статье [90] обсуждается асимптотическое поведение решений граничных задач в областях, перфорированных вдоль многообразий с различными типами условий на границе полостей. Доказаны теоремы усреднения и получены оценки для скорости сходимости решений. В частности, было показано, что скорость сходимости зависит от размеров перфорации.

В статье [36] была изучена вырожденная квазилинейная задача Дирихле в области с непериодической перфорацией около границы. В частности, были получены условия существования предельной задачи и доказана слабая сходимость решений в пространстве Z>2- В [35] исследованы вопросы асимптотического поведения квазилинейного параболического уравнения в области с мелкозернистой структурой на границе. В частности, в терминах сходимости гармонической емкости малых множеств, образующих зернистую структуру границы, была сформулирована теорема о слабой сходимости в Ьч решений.

В статьях [65], [69], [63] и [92] расматривались некоторые задачи со случайной структурой перфорации.

В частности, в [65] было изучено стохастическое дифференциальное уравнение в областях со случайной перфорацией. При этом был использован как аппарат для исследования решений нестохастических дифферендиальных уравнений в областях со случайной структурой, так и методы, применимые к стохастическим дифференциальным уравнениям в фиксированных областях. Была получена задача, являющаяся предельной для стохастического дифференциальное уравнение в области со случайной перфорацией, в частности, вдоль границы.

В статье [92] авторами рассмотрены собственные значения граничной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области со случайной перфорацией. Рассматривается последовательность независимо и случайно распределенных в области М G К3 точек {wi,., wn}, а также последовательность шаров {Вк — B(wk,r)}, с центрами в точках {wk} и фиксированного радиуса г = где а > 0 - фиксированное число, а параметр т = 1,2,., которая и образует перфорацию области М. Кроме того, предполагается, что N « т^, (3 < 3. Мера каждого из шаров {!?/„•} стремится к нулю при т —> со. Авторы обозначают через ^{{w^}) 3~е собственное значение задачи Дирихле для Лапласиана в области M\(J Bk\ каждое Hj можно рассматривать как случайную переменную fij(wi,., wjy) на призведении пространств М х • • • х М (N раз). В [38] было показано, что для (3=1 fij({w}) сходится п.в. в М к j'-му собственному значению fij оператора Шредингера Н = — Д + 4тгаУ, где V имеет смысл плотности распределения каждой переменной wАвтор статьи [92] доказал центральную предельную теорему для случайных переменных Hj({wk)) при m —> оо. Показано, что = fij m"lSj, где Sj подчиняются гауссовскому распределению с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, зависящей от j-й собственной функции Ам-Авторами также было построено приближение для функции Грина G{x\y) для оператора Ам\иВк, кроме того, была оценена разность между G и ее приближением.

Асимптотическое поведение решения в области, случайно перфорированной вдоль границы, было изучено в [69] (см. также короткую заметку [63]). Было доказано, что решение исходной задачи со случайной структурой слабо сходится в пространстве

Соболева Нк решению неслучайной (детерминированной) задачи с усреднёнными граничными условиями.

Нашей целью является получение интегральных оценок для функций, определённых в области с микронеоднородностью около границы.

Хорошо известно следующее классическое неравенство Фридрихса (см., например, [41, Гл. III, §5]) в ограниченной области: где функция и € i71(Q), а константа Kq зависит только от области Q. Впервые неравенство такого типа было получено К. Фридрихсом (см. [82]). Оно имело следующий вид:

Позднее, в монографии [77] были получены достаточные условия для справедливости следующего неравенства Пуанкаре: где постоянная тп зависит от области Q. Неравенствами типа Фридрихса и Пуанкаре занимались многие математики, получено достаточно много интересных результатов.

В [37] были доказаны некоторые общие теоремы, из которых следует справедливость неравенств типа Фридрихса для функций из специальных соболевских классов, определенных на п-мсрном кубе. Отметим, что доказательства этих теорем использовали теорию изопериметрических неравенств. В счастности, были получены верхние и нижние оценки для точной константы. Было

1.3) о показано, что точная константа в неравенстве типа Фридрихса обратнопропорциональна гармонической емкости (см. определение, например, в [37, Г.1, §2]) того множества, на котором функция обращается в ноль. Было показано, что критерием справедливости неравенства Фридрихса является положительность гармонической емкости. Это означает, что неравенство типа Фридрихса может быть верным (при некоторых дополнительных предположениях на геометрию области) и для функций из Н1^), обращающихся в ноль не на всей границе области, а только лишь на ее малых участках положительной суммарной ёмкости. В диссертации дано доказательство неравенств типа Фридрихса для функций из Н1, как обращающихся в ноль на малых периодически чередующихся участках границы, так и на границах малых полостей, образующих перфорацию вдоль границы. Показана близость константы в неравенстве Фридрихса к точной константе в классическом неравенстве Фридрихса, где функция обращается в ноль на всей границе области.

В диссертации доказаны теоремы усреднения как для задач с частой сменой типов граничных условий, так и для модельных задач с перфорацией вдоль границы. Результаты доказанных теорем применяются к изучению константы в неравенстве типа Фридрихса для функций из пространства Н1, обращающихся в нуль на границах полостей. Для случая периодической смены типа граничных условий и случая периодической перфорации вдоль границы получены точные асимптотики констант в неравенстве Фридрихса.

2 Структура работы.

В первой главе диссертации рассмотрены модельные задачи для оператора Лапласа в областях как с быстро меняющимся типом граничного условия, так и в областях с перфорацией вдоль границы.

В §1.1 рассмотрена задача с частой сменой типа граничных условий. Доказано неравенство типа Фридрихса для функций из пространства Н1, обращающихся в ноль на малых чередующихся участках границы области. Построена асимптотика точной константы в данном неравенстве при стремлении малого параметра, характеризующего размер малых частей границы; полученная асимптотика позволяет уточнить скорость сходимости точной константы в полученном неравенстве к константе в классическом неравенстве Фридрихса, справедливом для функций из соболевского о пространства Hl(Q). Результаты §1.1 опубликованы в [73] (см. также [31]).

В § 1.2 рассмотрены граничные задачи в двумерной области, периодически перфорированной вдоль части границы. Предполагается, что на внешней границе выставлено однородное условие Неймана, а на границе полостей — однородное условие Дирихле. Доказана сходимость решений и собственных элементов исходной задачи, соответственно, к решениям и собственным элементам предельной (усреднённой) задачи.

В §1.3 рассмотрены модельные задачи с непериодической перфорацией вдоль границы. Раздел 1.3.1 (см. также [72]) посвящен асимптотическому анализу функций, зависящих от малого параметра, описывающего микронеоднородную структуру двумерной области, в которой эти функции определены. Рассмотрены граничные задачи в непериодически перфорированной вдоль части границы области, для простоты являющейся прямоугольником. Граничное условие Дирихле выставлено на границах малых кругов, образующих перфорацию, а условие Неймана - на внешней границе области. Предполагается, что диаметры кругов и расстояния между ними имеют одинаковый порядок. Доказано неравенство типа Фридрихса для функций из пространства Н1, обращающихся в ноль на малых полостях перфорации. Основным результатом данного параграфа является сходимость решений задачи в перфорированной области к решению соответствующей предельной задачи с условием Дирихле на всей границе области. Кроме того, доказана сходимость собственных элементов соответствующих спектральных задач. Эти результаты применены для оценки разности констант в неравенствах типа Фридрихса. Аналогичные результаты для трехмерной области получены в разделе 1.3.2 (см. также [32]).

Вторая глава диссертации посвящена постороению асимптотических разложений собственных значений краевых задач и его строгому обоснованию. В §2.1 методом согласования асимптотических разложений построена двучленная асимптотика собственного значения А£ граничной задачи, рассматренной в §1.2, сходящегося к простому собственному значению До предельной задачи при £ —> 0. Из построенных асимптотик будет, в частности, следовать неравенство

А£ < А0, которое из вариационных соображений не очевидно.

Я выражаю самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Чечкину Григорию Александровичу за постановку задач и постоянное внимание на протяжении работы над диссертацией. Хочу также поблагодарить д.ф.-м.н. Гадылынина Рустема Рашитовича за неформальное участие в написании совместных работ, за профессиональную поддержку и помощь. Я также признательна своим коллегам Романову Максиму Сергеевичу и Спиридонову Сергею Викторовичу за ценные советы и замечания.

включение e*bZ'

Hi(U\B), причем 5 — любое число, удовлетворяющее неравенствам 5 < 5о и 5 < 7г.

Лемма 2.1.10. Пусть e6°^F £ Ь2(П \ В) и 50 > 0. Тогда существует единственное обобщённое решение задачи

-A (.Z = F Z = О dz ди О еП\5 на дВ U дТРуу, на 7.

Для, Z верно включение e6&Z £ Hl(Jl\B), причем 5 удовлетворяющее неравенствам 5 < 5q и 5 < тт.

Доказательство леммы 2.1.1. Рассмотрим задачу любое число,

ДСУ = О в П\В, на дВ, дУ дЬ — 1 на 7,

2.1.47) и при =

В силу леммы 2.1.9 существует обобщенное решение этой краевой задачи, для которого справедливо представление y(0 = c(B) + z'(0, где Z'(£) удовлетворяет утверждению леммы 2.1.9 при 5 < тг. Из симметричности В относительно оси = 0 следует четность функции Y по переменной Обозначим UR — П П {£2 > R}, 7д = {£ £ П, £2 = Vr = ^L • Очевидно, что при достаточно большом R функция /r

Y является и единственным классическим ограниченным решением краевой задачи 0 вПй, || = yR на 7д, ^§ = 0 при & = ±\.

Поэтому с учетом четности функции У по переменной получаем равенство

У(£) = С(В) + 0{е~2^) при ^2-^+00, а, следовательно, и равенство (2.1.4).

Осталось показать справедливость формулы (2.1.5). Обозначим Пд = П П {£2 < R}- Домножим уравнение задачи (2.1.47) на X и проинтегрируем его по Пд \ В. Дважды интегрируя левую часть полученного равенства по частям и переходя к пределу при R + оо, получаем

7 дВ ав

Домножим уравнение задачи (2.1.47) на Y, проинтегрируем полученное равенство по Пд \ В по частям и затем перейдем к пределу при R —> -foo. В результате получаем, что

О = - j \VY? de + J Y ds^ 4- Jy (2.1.49) п\в dB 7

Из (2.1.48) и (2.1.49) выводим:

С(В) = J |VY|2 dS - jds(. {21Щ

П\B дВ

Интегрируя по частям левую часть равенства

О = J &Д в получаем, что

2-1.51) В дВ где vb ~~ вектор внешней нормали к В. Из (2.1.50) и (2.1.51) вытекает равенство (2.1.5). О

Доказательство леммы 2.1.5. Справедливость этой леммы доказывается аналогично первой части предыдущей леммы, опираясь на лемму 2.1.10 (вместо леммы 2.1.9). □

§ 2.2 Асимптотика константы в неравенстве Фридрихса.

В § 1.2 было доказано неравенство Фридрихса для двумерной области с перфорацией вдоль границы. Используя теоремы 1.2.1 и 1.2.2, получаем справедливость следующих неравенств типа Фридрихса для любой и£ G tf^Qjiy^o G Я1 (ft, Ti):

J uldxdy<M£J\Vue\2dxdy

0 fi

J u2dxdy<M.o J \Vu0\2dxdy, fi S2 где константа A4q не зависит от е.

Теорема 2.1.1 позволяет уточнить асимптотику константы Л4£.

А именно, в силу вариационного принципа, Л4£ = тг и Л4о = -тт. е 0

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 2.2.1. Для функции и£ 6 Я1(0,Ге) справедливо неравенство типа Фридрихса u2dxdy<M£J \Чи£\2 dxdy,

Q fi где 1 . Ax l£ xl = -C(B)J(^yds<o,

Ti а постоянная C(B) определена равенством (2.1.50) из §2.1.

1. Беляев А. Г. О сингулярно возмущенных краевых задачах. // Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., Москва: МГУ им.М.В.Ломоносова, 1990.

2. Беляев А. Г. Усреднение граничной задачи с третьим краевым условием для уравнения Пуассона в области, перфорированной вдоль границы.// Успехи матем. наук. 1990. Т. 45. № 4. С. 123.

3. Беляев А.Ю., Чечкин Г. А. Усреднение операторов с мелкомасштабной структурой граничных условий. // Матем. заметки. 1999. Т. 65, № 4. С. 496-510.

4. Бикметов А. Р. Асимптотика собственных элементов граничных задач для оператора Шрёдингера с большим потенциалом, локализованном на малом множестве. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 4. С. 667-682.

5. Бикметов А. Р. Асимптотические разложения собственных элементов оператора Шрёдингера с возмущением, локализованном на малом множетве. / / Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., Уфа: БашГПУ, 2008.

6. Борисов Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий. // Мат. сборник. 2002. Т. 193. № 7. С. 37-68.

7. Борисов Д. И. Двух-параметрическая асимптотика в граничной задаче для Лапласиана. // Матем. заметки. 2001. Т. 70. № 4. С. 520-534.

8. Борисов Д. И. Двупараметрические асимптотики собственных чисел Лапласиана с частым чередованием граничных условий. // Вестник молодых ученых. Серия прикладная математика и механика. 2002. № 1. С. 36-52.

9. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий. // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67. № 6. С. 23-70.

10. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки скорости сходимости в трехмерной краевой задаче с частой сменой граничных условий. // Сибирский математический журнал. 2004. Т. 45. № 2. С. 274-294.

11. Борисов Д. И. О Лапласиане с часто и непериодически чередующимися граничными условиями. // Доклады АН. 2002. Т. 383. № 4. С. 443-445.

12. Борисов Д. И. О сингулярно возмущенной краевой задаче для Лапласиана в цилиндре. // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 8. С. 1071-1078.

13. Борисов Д. И., Гадыльшин Р. Р. О спектре Лапласиана с часто меняющимся типом граничнных условий. // Теоретическая и математическая физика. 1999. Т. 118. № 3. С. 347-353.

14. Владимиров В. С. Уравнения Математической Физики. М: Наука, 1976.

15. Гадыльшин Р. Р. Метод согласования асимптотических разложений в сингулярно возмущенной краевой задаче для оператора Лапласа. // Итоги науки и техники. Совр. матем. и ее прилож. Тематические обзоры. 2003. Т. 5. С 3-32.

16. Гадылъшин Р. Р. О краевой задаче для лапласиана с быстро осциллирующими граничными условиями // Докл. РАН. 1998. Т.362 № 4 С. 456-459.

17. Гадылъшин Р. Р. Усреднение и асимптотики в задаче о часто закрепленной мембране. // ЖВМ и МФ. 2001. Т. 41. № 12. С.1857-1869.

18. Гадылъшин Р. Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I. Сходимость и оценки. // Матем. заметки. 1993. Т. 54 № 6. С. 10-21.

19. Гадылъшин Р. Р. Метод сходимости асимптотических разложений в сингулярно-возмущенной граничной задаче для оператора Лапласа. // Ж. Мат.Наук. 2005. Т. 125 № 5. С.579-609.

20. Гадылъшин Р. Р. Об асимптотике собственных значений для периодически закрепленной мембраны. // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. № 1. С. 3-19.

21. Гадылъшин Р. Р. Асимптотики собственных значений краевой задачи с быстроосциллирующими граничными условиями. // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 4. С. 540-551.

22. Гадылъшин Р. Р. О краевой задаче для лапласиана с быстро осциллирующими граничными условиями. // Докл. РАН. 1998. Т.362 № 4. С.456-459.

23. Гадылъшин Р. Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I. Сходимость и оценки. // Матем. заметки. 1993. Т. 54. № 6. С. 10-21.

24. Гадылъшин P.P., Королева Ю. О., Чечкин Г. А. О собственном значении лапласиана в области, перфорированной вдоль границы. // Доклады РАН. 2010. Т.432 № 1 С. 1-5.

25. Гадыльшин P.P., Чечкин Г. А. Граничная задача для Лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области // Сиб. мат. журнал. 1999. Т.40 N2 2 С. 271-287.

26. Жиков В. В., Козлов С.М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМатЛит, 1993.

27. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

28. Иосифьян Г. А., Олейник О. А., Шамаев А. С. Асимптотические разложения решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений и систем теории упругости в перфорированной области. // Доклады АН СССР. 1985. Т. 284 № 5. С. 1062-1066.

29. Иосифьян Г. А., Олейник О. А., Шамаев А. С. О предельном поведении спектра последовательности операторов, определенных в различных гильбертовых пространствах. // Успехи мат.наук. 1989. Т.44 № 3 С. 157-158.

30. Колмогоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

31. Королева Ю. О. О неравенстве Фридрихса в трехмерной области, непериодически перфорированной вдоль части границы. // Успехи мат.наук. 2010. Т.65 № 2 С. 181-183.

32. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987, 749 с.

33. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

34. Ламонов С. А. Сходимость решений первой граничной задачи для квазилинейных эллиптических уравнений в областях с мелкозернистой границей. // Мат. Физ. Нелин. Мех. 1984. Т. 36. № 2. С. 60-63.

35. Мазья В. Г. Пространства С.Л. Соболева. Изд. Ленингр. Унив., Ленинград, 1985.

36. Марченко В. А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

37. Марченко В. А., Хруслов Е.Я. Усреднённые модели микронеоднородных сред. Киев: Наукова думка, 2005.

38. Михайленко В. Г. Краевые задачи с мелко-зернистой границей для эллиптического дифференциального оператора второго порядка. I & II // Теория функций, функциональный анализ и приложения. 1968. Ж 6. С. 93-110 к 1969. Ж 9. С. 75-84.

39. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

40. Назаров С. А. Соединение сингулярно-вырождающихся областей различных предельных размерностей. // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. Университета. 1995. Вып. 18, С. 3-78.

41. Олейник О. А., Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстро меняющимся типом граничных условий. // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48. № 6. С. 163-164.

42. Олейник О. А., Чечкин Г. А. Об одной задаче граничного усреднения для системы теории упругости. // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49. № 4. С. 114.

43. Олейник О. А., Иоеифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. //Москва: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.

44. Перез М.Е., Чечкин Г. А., Яблокова Е.И. О собственных колебаниях тела с "легкими" концентрированными массами на поверхности. // Успехи мат. наук. 2002. Т. 57. № 6(348). С. 195196.

45. Планида М. Ю. О сходимости решений сингулярно возмущённых краевых задач для лапласиана. // Матем. заметки. 2002. Т. 71. № 6. С. 867-877.

46. Пятницкий А. Л., Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская". 2007.

47. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

48. Скрыпник И. В. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических задач в областях с отверстиями. // Мат. Сб. 1993. Т. 184 № 10. С. 67-90.

49. Скрыпник И. В. Новые условия для усреднения нелинейных задач Дирихле в областях с отверстиями. // Укр. Мат. Ж. 1996. Т. 48. № 5. С. 675-694.

50. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

51. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщённых функций. М: Наука, 1989.

52. Черданцев М. И., Асимптотика собственного значения оператора Лапласа в обсласти с сингулярно возмущенной границей. // Мат. заметки. 2005. Т. 78. № 2. С.299-307.

53. Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка с осциллирующими граничными условиями. // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных.- Новосибирск.: ИМ СОАН СССР, 1988. с. 95-104.

54. Чечкин Г. А. О частично закрепленной мембране. // Бюллетень СМО, Новосибирск. 1989. С. 30-32.

55. Чечкин Г. А. Усреднение граничных задач с сингулярным возмущением граничных условий. // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 6, С. 99-150.

56. Чечкин Г. А. Оценка решений граничных задач в областях с концентрированными массами, расположенными периодически вдоль границы: случай легких масс, // Мат. заметки. 2004, Т.76, № 6, С 928-944.

57. Чечкин Г. А. Спектральные свойства эллиптической задачи с быстро осциллирующими граничными условиями. // Краевые задачи для неклассических уравнений в частных производных.-Новосибирск.: ИМ СОАН СССР, 1989. с. 197-200.

58. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий, j j Мат. сборник. 1993. Т. 184. № 6. С. 99-150.

59. Чечкин Г. А. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимся типом граничных условий. // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1996. Т. 19. С. 323-337.

60. Amirat Y., Chechkin G.A., Gadyl'shin R. R. Asymptotics of simple eigenvalues and eigenfunctions for the Laplace operator in a domain with oscillating boundary. //J. Сотр. Math. Math. Ph. 2006. V.46. № 1. P.102-115.

61. Arato N. M. Limit Boundary Value Problems in Regions with Random Fine Grained Boundaries. // Appl. Math. Lett. 1995. V. 8. № 4. P. 1-6.

62. Belyaev, A. G., Chechkin G. A., Gadyl'shin R. R. Effective Membrane Permeability: Estimates and Low Concentration Asymptotics. // SIAM J. Appl. Math. 2000. V. 60. № 1. P. 84-108.

63. Borisov D. I. The asymptotics of the eigenelements of the Laplacian in a cylinder with frequently oscillating boundary conditions. // C.R. Acad. Sci. Paris, Ser.IIb. 2001. V. 329. № 10. P. 717-721.

64. В oris о v D. I. On a model boundary value problem for Laplacian with frequently alternating type of boundary conditions. // Asympt. Anal. 2003. V. 35 № 1. P. 1-26.

65. Chechkin G.A., Chechkina T.P., D'Apice C. and De Maio U. Ho-mogenization in Domains Randomly Perforated Along the Boundary. // Descrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. В (DCDS-B). 2009. V. 4 № 12. P. 713-730.

66. Chechkin G.A., Perez M.E. and Yablokova E.I. Non-periodic boundary homogenization and "light" concentrated masses, j j Indiana Univ. Math. J. 2005. V. 54. № 2. P. 321-348.

67. Cioranescu D. and Murat F. Un terme etrange venu d'ailleurs I,II. // In: Nonlinear partial differential equations and their applications. College de France Seminar, Res. Notes Math. 1982. V. 60, 70 № 2-3. P. 98-138 P. 154-178.

68. Courant R. and Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Wiley, New York, 1989.

69. Damlamian A. and Li Та Tsien. Boundary homogenization for elliptic problems. //J. Math. Pure Appl. 1987. V. 66 № 4. P. 351-361.

70. Davila J. A nonlinear elliptic equation with rapidly oscillating alternating boundary conditions. // Asymptotic. Anal. 2001. V. 28 № 3-4. P. 279-307.

71. Del Vecchio T. The thick Neumann's Sieve. // Ann. Mat. Рига Appl. 1987. V. 147 № 4. P. 363-402.

72. Evans L. C. Partial differential equations. // Graduate Studies in Mathematics, V. 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.

73. Friedrichs K. Spectraltheorie halbbeschrankter Operatoren und An-wendung auf die Spectralzlegung von Differentialoperatoren. I,II. // Math. Anal. 1934. V. 109. P. 463-487, 685-713.

74. Gadyl'shin R. R. Asymptotics of the minimum egenvalue for a circle with fast oscillating boundary conditions. // C.R.Acad.Sei. Paris. Ser. I. 1996. V. 323 № 3. P. 319-323.

75. Kacimi H. Homogenisation des problems de Dirichlet avec des petits trous. // These 3-eme cycle, University Paris. VI, 1986.

76. Koroleva Yu. 0. On the Friedrichs inequality in a cube perforated periodically along the part of the boundary. Homogenization procedure. // Research Report, №2, Department of Mathematics, Lulea University of Technology, (34 pages), 2009.

77. Landkof N. S. Foundations of Modern Potential Theory. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972.

78. Lobo M., and Perez M. E. Asymptotic Behavior of an Elastic Body With a Surface Having Small Stuck Regions. // Math Modelling Numerical Anal. 1988. V. 22 № 4. P. 609-624.

79. Lobo M., and Perez M. E. Boundary Homogenization of certain elliptical problems for cylindrical bodies. // Bull. Soc. Math. Ser. 2. 1992. V. 116 № 3. P. 399-426.

80. Lobo M., Oleinik O.A., Perez M.E. and Shaposhnikova T. A. On Homogenization of Solutions of Boundary Value Problems in Domains, Perforated Along Manifolds. // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, CI. Sci., IV Ser. 1997. V. 25 № 3-4. P. 611-629.

81. Ozawa S. Approximation of Green's Function in a Region with Many Obstacles. // Geometry and Analysis of Manifolds (Katata/Kyoto, 1987), pp. 212-225, Lect. notes in Math. V. 1339, Berlin: Springer Verlag, 1988.в ь

82. Polya G. and Szego G. Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics. Princeton Univ. Press, Princeton, 1951.

83. Sdnchez-Palencia E. Boundary value problems in domains containing perforated walls. // Nonlinear partial differential equations and their applications. Coll. de France Semin., Res. Notes Math. 1982. V. 70 № 3. P. 309-325.

84. Skrypnik I. V. and Narnleeva Yu. V. Convergence of Eigenvalues and Eigenfunctions of Nonlinear Dirichlet Problems in Domains with Fine-Grain Boundary. // Ukrainian Math. J. 2003. V. 55. № 6. P. 993-1011.

85. Yosida K. Functional analysis. // Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995.