Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений

Ершов, Александр Анатольевич

Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ершов, Александр Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Челябинск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений"

На правах рукописи

005531439

Ершов Александр Анатольевич

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 т 2013

Челябинск-2013

005531439

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики в ФГБОУ ВПО "Челябинский государственный университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, академик РАН, профессор кафедры вычислительной математики ЧелГУ A.M. Ильин

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и статистики БГПУ P.P. Гадылылии, капдидат физико-математических паук, доцент кафедры дифференциальных уравпепий БашГУ Р.Н. Гарифуллии

Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

Защита состоится 20 сентября 2013 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Федеральном государственном бюджетном учреждении пауки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112, ауд. 24, факс (8-347) 272-59-36, тел. 273-33-42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ипститута математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математические модели физических явлений в электродинамике, акустике, теории упругости и т.п.. описываются при помощи краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Все краевые задачи можно условно разделить на регулярные^ и сингулярно возмущенные. К последнему типу задач относятся краевые задачи в областях с малыми отверстиями, задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границе, краевые задачи в перфорированных областях и другие.

Значительный вклад в исследование сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич. Н. С. Бахвалов, В. Ф. Бутузов, М. И. Вишик, Р. Р. Гадылыпин, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Л. А. Калякин, О. А. Ладыженская, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, В. К). Новокшенов, О. А. Олейник, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, D. Gómez, R. Hempel, С. Leal, Sh. Ozawa, J. Sánchez-Hubert и многие другие.

В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Лапласа с граничным условием, изменяющимся на одном или двух малых участках. Такие задачи возникают, например, в электротехнике в связи с необходимостью учета контактного сопротивления в случае малого сечения контактов.

В диссертации исследованы поведения решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего размер учаегков изменения граничных условияй, а также получены равномерные асимптотические разложения решений таких краевых задач.

Задачи, подобные исследуемым, начали изучать относительно недавно, что стало возможным во многом благодаря появлению метода согласования, широкие возможности которого были продемонстрированы в монографии A.M. Ильина2. Там, например, исследованы эллиптические краевые задачи, в том числе с переменными коэффициентами, в ограниченной области, из которого исключено малое подмножество. Решения таких задач имеют схожую структуру асимптотики и её коэффициентов со случаями, рассматриваемыми в данной диссертации.

Поведение собственных значений эллиптических краевых задач в ограниченных областях с граничными условиями, изменяющимися на одном малом участке, исследовано в работах P.P. Гадыльшина4,5 .

1Т. Като. Теория яшмупжтгиА линейных опиритороп. М.: Мир, 1972. 74Ü с.

3Ильнн А. М. Согласовавяе асвігатоточсскях разложений решений краевых задач. М.: Паука, 1989. 336 с.

4Гадылышш Р. Р. Расгцеядеыне краткого собственного значения в краевой задаче для мембраны, закришкшюб на малом участке границе // Сяб. матей. журн. 1993. Т. Зі. Л> 3. С. -13-61.

кГадылышга Р. Р. О возмущении спектра Л&иласнааа пря при сиене тала граничного условия на хазой части границы // ЖВМ, 1US6. Т. 36. Л» 7. С. 77-88.

Степень разработанности темы. Контактному сопротивлению и его вычислению посвящено множество работ различных авторов: Р. Хольм, H.H. Поляков, В.В. Филиппов, A.B. Дмитриев, С.Ф. Смирнов, В.Т. Нсумержидкий и др.

Результаты настоящей диссертации позволяют практически полностью закрыть этот вопрос в двумерном случае.

Цель диссертационной работы. Основная цель работы - построение и обоснование полного равномерного асимптотического разложения решений уравнения Лапласа в ограниченной области с граничными условиями, изменяющимися на малых участках.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющиимися на двух малых участках, в двумерной ограниченной области.

2. Построена и обоснована асимптотика некоторых функционалов от исследуемых решений, имеющих физическое приложение, а именно, найдена асимптотика электрического сопротивления пластинчатого образца в случае малых контактов и асимптотика толщины приповерхностного слоя, в котором выделяется заданная часть энергии.

3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющимися на малом участке, в трёхмерной ограниченной области. Выписаны в явном виде первые два члена асимптотических разложений.

Теоретическая значимость:

1. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решение смешанной задачи для уравнения Лапласа в двумерной ограниченной области с гладкой границей, на которой задано условие Неймана, кроме двух малых участков, на которых задано условие Дирихле.

2. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решения аналогичной задачи в трёхмерном случаи с одним малым участком смены типа граничного условия.

Практическая значимость:

1. Найдена асимптотика электрического сопротивления образца, подключенного с помощью двух малых контактов.

2. Найдена асимптотика толщины приповерхностного слоя, в котором выделяется заданная часть энергии, связанной с контактным сопротивлением.

Оценки точности асимптотических приближений решений доказываются в непрерывной норме. Асимптотики строятся в два этапа. Вначале, методом согласования асимптотических разложений, проводится формальное построение асимптотических разложений, затем формальные асимптотики строго обосновываются. Обоснование формальных асимптотик осуществляется с помощью оценивания точности выполнения граничных условий и последующего использования принципа максимума.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Получена полная асимптотика суммы ряда, сингулярно зависящего от малого параметра, и которая физически интерпретируется как электрическое сопротивление.

2. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной двумерной области с краевыми условиями, изменяющимися на двух малых участках границы. Приведена физическая интерпретация решения.

3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной трёхмерной области с краевыми условиями, изменяющимися на одном малом участке. Явно выписаны дна первых члена асимптотических разложений.

Степень достоверности результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата. Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами друга х авторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ, на Международной конференции «Дни дифракции-2010» (Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2010). на финале конкурса Августа Мёбиуса (Москва, МЦНМО, 2012), где работа заняла третье место.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1Н7|.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены лично автором. Из шести опубликованных статей пять написаны автором диссертации, и одна в соавторстве A.B. Дмитриевым. Научному руководителю A.M. Ильину принадлежат общий замысел работы, постановки задач, выбор пути и методов их решения и оценка достоверности и согласованности с предполагаемым результатом.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых в совокупности на 14 параграфов и списка литературы, содержа-

щего 79 наименований. Общий объем диссертации - 98 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

В первой главе рассматривается асимптотика одного функционала от решения краевой задачи Неймана для эллиптического уравнения, возникшей на основе следующей физической задачи. Через пластинчатый образец прямоугольный формы пропускается электрический ток Ширина электродов предполагается малой и равной 2е. Данный процесс был смоделирован H.H. Поляковым6 с помощью следующей краевой задачи для электрического потенциала.

+ 0<*<а,0 <у<Ъ,

от/ ах oyi д* ={

дх д'-р ду

-Ти/(2єах(і), у € (6/2 - є, Ь/2 + є), х=о,а _ I 0, уе(Ь,Ь/2-г)и(Ь/2 + е,Ь),

= 0, і Є (0,а),

• l Г0,6 с

где а, b,d — длина, ширина и толщина образца. ах, ау — удельная проводимость вдоль и поперёк образца.

В результате исследований H.H. Полякова6 было получено выражение в виде ряда для электрического сопротивления

л_ а 2 f,sm2(^ я)*Ь(¥у%")

axdb y/ä^äyd-K (^fn)2 п

Асимптотику R выписать не так просто, поскольку при є = 0 ряд расходится. Однако, г» ходе опытов, описанных в монографии A.B. Дмитриева7, обнаружились асимптотические закономерности измерений R. В первом параграфе строго обосновано, что сумма такого ряда, сингулярно зависящая от малого параметра є, имеет следующую асимптотику при є -» 0

Ä = + -7=^=7-1 - £ г- ) + <>{є*1пє),

axdb 4пг (f y^n)-

6Поляков H. H. Об нэмеревлн юэффнцаента Холла л вле&тропроводимости анязотропаых ироводавков // Заводская лабораторна. 1989. Л* 3. С. 20-22.

7 Дмитриев А. В. Науише основы разработка способо» свяжекоя удельного элвхтрнческого сопротивления графя тировав ных электродов. Челябинск: Изд-во ЧГПУ, 2005. 10? с.

и дана точная оценка остатка. Во втором параграфе построено полное асимптотическое разложение суммы этою сингулярного ряда. В частности, доказано. что при £ —> О

д- а I 2 Ы/'4 т егЧ^п

сгАЬ ^ГЖ/Ь \ 11 4тге ^ п сЬ +

I ( 1 , 1 у- пе-У\ /2ТСЧ2

и ' +

+ + °<£)>

Основные результаты первой главы опубликованы в работах [1], [4].

Во второй главе рассматривается следующая задача. Пусть П — ограниченная односвязная область в К2 с гладкой границей Ш, которая имеет два прямолинейных участка АВ и СВ. На этих отрезках находятся две точке Ох и О2, не совпадающие с точками Л, В. С, /А

Введём две системы координат Одахг и СЬУ1У2, направив оси Охжг и О2У2 по направлению внутренней нормали так. как показано на рис. 1.

Обозначим за ъ = {ж : х2 = 0, < е}, у2 = {у ■ У2 = 0, \у2\ < «г}, сУ71 = {ж : ж = (±г.0)}.. ¿Ь/2 = {у ; у = (±ог,0)}, где 0 < £ « 1. « > 0. Задача состоит в построении и обосновании асимптотики функции и{х. е) е и г>72 }) П С(П) по малому параметру е, являющейся решением

смешанной краевой задачи:

' Аи = 0, хв П,

«(¡П, 0) = щ ^)» € >

«(®(»1.0)) = ^(т1), VI € [-ае.ае],

где п - внешняя нормаль, ф е С30(Ж), € ^([-Ь 1]), € С^-с^а]). Существование и единственность решения данной задачи в рассматриваемом классе функций можно доказать, например, с помощью конформного отображения области на полуплоскость и последующего использования формулы Келдыш а- Седо в а8.

Приведём ряд обозначений для формулировки основного результата второй главы.

Обозначим ^ = \/х( + г2 = \/у{ +У2, £ = (&»&)» V = (Ш.%). Г1 =

{£ : £2 = 0. -1 < 6 < 1}, Г2 = {77 : т/г = 0, -а < тц < а}, 8ГХ = {С : € = (±1,0)}. 9Г2 = {ч : V = (±а. 0)}.

Пусть функции й0(О € С°°({4 : & > 0}\Гг) П : & 0}), «*,(£) € С130({т/: т/2 > 0}\Г2) П : Щ ^ 0}) являются ограниченными решениями следующих краевых задач:

Д«Ь = 0, & > 0,

% = £ ^ гь

Айо = 0, щ > 0,

т = V £ г2,

дГ)2

По формуле Келдыша-Седова можно выписать их явные решения:

С«

Ш)

У 1

0 -1

(ШС,

"Лаврентьев М. А., Шзбат В. В. Методы теория фунщнй комплексного переметного. М.: Наука, 1073. 736 с.

где Ce = Îi + ßi(z) =

[z — Ct

где С») = Vi + ir]2, A(z) = W-, причём в обеих функциях ßi и ß2 рас-

V z + а

сматриваются те ветни корня, которые положительны на интервалах действительной оси (1,оо) и («, оо) соответственно и аналитически продолжены на верхнюю полуплоскость.

Обозначим /?оо = lim Яоо = 1Ьп щ(т))>

¡£]-юо ' ІЧІ-ЮС

Z(Q, é) = - f ip(x)dS. h = 3i(02), h = РгСОг),

7Г J

m _

где функция g\{x) € Cx(fl) является решением задачи

Agi = 0, x Є il,

Ш = о,

функция 52Є 610С(П) является решением задачи

' Ад2 — 0, ж Є П,

dg-i О In ri О In ті ^ .. .

■тг^ — —т;—- - -5-=. х Є diî\{Oi П 02}, ön _ an on . 52(0) = 0.

Также обозначим

Z Ы- + Z■ ln(2|OJhI) + + Я0,о - Яо,о

д,(е) =--—г-•

21n - + 21a(2|0i02|) - Ina - I2

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 2.1. Для любых M > 0 иО < ß < 1 функция и(х, є), являющаяся решением задачи (1), имеет следующие равномерные асимптотические разложения при s —> 0;

ос

U(X,S) =]Г £), Г! ^ Ме'\ Г2 ^ Мє?,

к=О

ОС

и(х, г) =]Г (р £) ' ri < Me'Ji

ОС

«(я, е) = £ «S (f> £) > Г2 < Ме*,

где

з=о

no(x,£) = (Z~Do(e))]n^+

+ {Z- D0(e)) In2 + /?о,о + 9i(x) + D0(e)(g2(x) - In \Ch02\) = |lni + 0(l),

e) = fiö(0 + № V>) - A>00) ь ICe + ул|-1|> №0(77, e) = Mn) + Ще) Ь ^

t+W71

а остальные функции Uk € C°°(i2\{Oi U O2}), v} € ({£ : £2 > 0}\аГх) П <7 ({£ : fc > 0}), Щ € С00 ({г?: % ^ 0}\ЗГ2) П С 0}).

Также приведен алгоритм последовательного построения Uk и Vj методом согласования асимптотических разложений. Заметим, что хотя асимптотические коэффициенты uk{x, s), г) и v>j(rj, е) также зависят от е, но это это более слабая зависимость — все они являются рациональными функциями от Ins.

Используя этот результат, можно построить более сложную, но более точную математическую модель процесса протекания тока через платинчатый образец, в которой потенциал моделируется решением смешанной краевой задачей для эллиптического уравнения. Соответственно, можно получить следующую асимптотику для электрического сопротивления:

+ -7=^=П-[ Ь—- V - - ' -- )+0(е). axdb VW^V те ^inch(f у/Щп)У

Основные результаты второй главы опубликованы в работах [6], [2|, [3]. В третьей главе диссертации рассмотрен случай пространства размерности п — 3.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть теперь х = (х\,х2,хз). Л - ограниченная односвязная область в К3, совпадающая в окрестности начала ко-

ординат с полупространством х3 > 0, дії Є С°°, у - ограниченная одно-связная область на плоскости х3 = 0, ду Є Сх, а 0 < г « 1. Обозначим % = {х : хе~х Є 7} (см. рис. 2). |

Наша цель заключается в построении и обосновании асимптотического разложения по малому параметру £ гармонической в il функции и S Сх{И\дъ)П C(ÏÏ) со следующими смешанными граничными условиями

®eÔÎÏ\7ei u = ^(œ), (2)

дп

где п - внешняя нормаль, гр, if € Сх(дП). Из работы С. Заремба9 и теорем о повышении гладкости решений эллиптических уравнений10 следует существование и единственность гармонической функции со смешанными граничными условиями (2) в рассматриваемом классе функций.

Для формулировки основного результата третьей главы приведем ряд обозначений.

Обозначим г = |х|, О = (0,0,0),

Известно, что

ж\ о

"Zaremba S. Sur un problème mixte relatif a l'éqaiticm de Laplace // Bulletin de l'Académie de« science» de Cracovie, Classe des sdencoe mathématiques et naturelles, série A. 1910. P. 313-Î44.

10MwxaRjmn В. П. Дифференциальные у1*шнепия » частных ггршютодны*. M.: Наука, 1976. 3«) с.

Следовательно,

ао\о

Поэтому существует решение щ Є С°°(Я) краевой задачи ' Ащ = 0, х Є П,

щ(0) = 0.

Обозначим $ = Р = |£|, Ш-+ = {£ : 4з > 0}, Щ; = {£ : & £ 0},

Г — {? : £з — 0, £ ^ 7}, где 7 — диск уже на плоскости = 0. Из вспомогательной леммы 3.3, доказательство которой приведено в диссертации,

слсдует существование реіпения Е Є Сх ПС (к^) краевой задачи

ДЬ' = 0, ¿ЄВ^., я = і, £ Є ъ

дЕ п л т,

Е 0, р оо.

Обозначим через Су > 0 ёмкость11,12 диска 7. Известно13, что если 7 — единичный круг, то

о -1І/2 о

Е(£) — — arctg 7Г

с, = -,

' Lp2 - 1 + «Р2 - I)2 + 4^1) V2J • . 7Г '

а сслн 7 — эллипс с осями a и Ь вдоль координатных осей и £2 соответственно. то

ас

a f dt a

c,=

ад

ас /

2K(c/a) J s/(L + d*){L + б2)/ ' *(c/a)

т/2

где с = \/а2 - б2, #(2) = J -

\/l — 22 Sin2 і

— полный эллиптический ин-

теграл 1-го рода, /г(£) — наибольший действительный корень кубического

11 Полин Г., ОгЕ Г. Иаолеряисгряческие лерактетпэ в математической фнэккс. M.: Пдоларстаеипое юд-во фшяко-магемагачесмИ литературы, 1962.336 с.

"Ландкпф Н. С. Ослокм ожремягооЯ теория потепфмла. V.! Наук», 1966. 818 с. Ландау Л. Д., Лифпищ Е. М. Теоретическая физака (в Ш т). T. VHI. Электродинамика сплошных сред. М.: Фязматлнт, 2005. 656 с.

уравнения

4-—+ — = 1

а2 + Л б2 + Л Л Основным содержанием третьей главы является доказательство следующего утверждения:

Теорема 3.1. Для любых М > 0 и 0 < а < 1 гармоническая в П функция и(х,е), удовлетворяющая смешанным условиям (2). имеет следующие равномерные асимптотические разложения при £ -> 0:

ос

где

и(х>е) = ^1гкик( х), г>Ме'\

иМ = ¿>4 (*) , г^Ме", к=-1 Ь

и_1(а) =----,

«-1(0 -1),

. ч - , ч ' /Пч , ХМ)

щ{х)=щ{х)+т+—-—,

остальные функции и^ €

Также приведен алгоритм последовательного построения ик и V, методом согласования асимптотических разложений. Основные результаты третьей главы опубликованы в работе [5].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Физической интерпретацией асимптотики в первой и второй главе является процесс протекания электрического тока через пластинчатый проводник некоторой формы формы, т.е. рассмотрен двумерный процесс протекания тока. В третьей главе такую интерпретацию привести нельзя, поскольку не хватает второго малого участка, однако построенная там асимптотика весьма полезна для перехода к случаю двух участков. Отметим, что нахождение

асимптотики электрического сопротивления трёхмерного образца, подключённого с помощью малых контактов, тоже является в некоторой степени актуальной задачей.

Рассмотрим задачу построения асимптотики электрического сопротивления цилиндра относительно малого сечения контактов. Математически задачу можно поставить следующим образом.

Обозначим г = + 4, Я = {я : 0 < г < а,0 < х3 < Л} - цилиндр радиуса а и высоты /г, 71 = {х : х3 = 0,г < е}, 7з = {х : х3 = к, г < г}, «1 = {я : х3 = 0, г = а), а2 = {х\х3 = к, г = а}.

И пусть функция и(х) из класса бесконечно-дифференцируемых внутри области непрерывных вплоть до границы дИ и имеющих производную по нормали на гладких участках границы функций, является решением следующей краевой задачи:

Ди = 0, х € П, и = 1, X е ъ, и = х 6 72, ои

^ = 0, жеШ\{71и72иа1иа2}. Требуется найти асимптотику интеграла

0, е)с13 при е 0.

Г<£

С учётом результатов третьей главы легко заметить, что

2е2 ] х>2

aгctg

Г2 - £2 + ((Г2 - £2)2 + 4£2Ж|)1/2] Зе2 П1/2Ч

_. ¿е- _

аГС ё [г2 - £2 + ((г2 - £2)2 + 4в2(Л - хг)2)У2\ ) + Используя это асимптотическое приближение, можно вычислить

у + 0{ 1). Здесь дифференцирование по х3 законно, по-

ди

8*3 хз=о ~ тгл/£2 - Г2 скольку и е <7°°, а асимптотические ряды нельзя дифференцировать только по малому параметру. Отсюда,

г<е

Итак, по закону Ома мы получаем, что электрическое сопротивление

г. А</ _ 2 _ 1 , от

|/(е)| 4 е + 0(£2) 2е Л)'

Но этот главный член был уже известен в работе Р. Хольма14, однако интерес представляет, по-крайней мере, ещё один следующий член асимптотического разложения. Его получение является ближайшей перспективой дальнейшей разработки темы.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., академику РАН. профессору Ильину Арлену Михайловичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК:

[1| Ершов, A.A. Асимптотика решения задачи Неймана с дельтообразной граничной функцией / А.А.Ершов // Журнал вычислительной матемаг тики и математической физики. - 2010. - Том 50. №3. - С. 479-485.

[2J Ерптов, A.A. Асимптотика решения уравнения Лапласа со сметанными условиями на границе / А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Том 51. №6. - С. 1064-1080.

[3] Дмитриев, A.B. Контактное электрическое сопротивление чешуек в экс-трудировапиых заготовках композиции на основе природного явнокри-сталлического графита / А.В.Дмитриев, А.А.Ершов // Химия твёрдого топлива. - 2011. - Том 45. №6. - С. 53-60.

[4] Ершов, АЛ. К задаче об измерении электропроводности / А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53. № 6. - С. 1004-1007.

[5| Ершов, A.A. О смешанной задаче для гармонической функции / А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53. № 7. - С. 1094-1106.

Публикации в других изданиях:

[6] Ершов, A.A. Асимптотика решения краевой эллиптической задачи со смешанными условиями на границе / А.А.Ершов // Вестник Челябинского государственного университета. Сер. Математика. Механика. -2010. - Вып. 12. № 23 (204). - С. 12-19.

14Хольм р. Электрические контакты. М.: Иностранная литература, 1961. 314 с.

[7] Асимптотика решения смешанной краевой эллиптической задачи: тезисы международной конференции «Дни дифракции-2010» / Ершов A.A.- С.-П.: СПбГУ, 2010. - С. 29.

Ершов Александр Анатольевич

АСИМПТОТИКА РЕШЕІЇИЙ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 20.06.2013г. Формат 60x841/16 Объем 0,9 уч.-юд. л. Заказ № 532. Тираж 100 эю. Отечатано на ргоографе в типографии ФГБОУ ВПО ЧГПУ 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 69

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ершов, Александр Анатольевич, Челябинск

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Челябинский государственный университет"

На правах рукописи

Ершов Александр Анатольевич

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические ф системы и оптимальное управление

СО О)

О (V) Диссертация на соискание ученой степени кандидата

со

О физико-математических наук

о Научный руководитель

О д.ф.-м.н., профессор Ильин А. М.

Челябинск-2013

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Асимптотика суммы ряда, сингулярно зависящего от малого параметра 18

§1. Асимптотика решения задачи Неймана с дельтаобразной граничной функцией........................ 18

§2. Полная асимптотика....................... 24

§3. Приложение............................ 27

Глава 2. Асимптотика решения уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющимися на двух малых участках (двумерный случай) 30

§1. Постановка задачи................................................30

§2. Формулировка результатов......................................33

§3. Вспомогательные утверждения..................................36

§4. Доказательство теоремы 2.1......................................44

§5. Физическая интерпретация......................................55

§6. Асимптотика толщины слоя, в котором выделяется заданная

часть энергии....................................................58

Глава 3. Асимптотика решения уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющимися на малом участке (трехмерный случай) 65

§1. Постановка задачи........................ 65

§2. Формулировка результатов................... 66

§3. Вспомогательные утверждения ...... .......... 69

§4. Доказательство теоремы 3.1......................................74

Заключение 84

Список литературы 86

Список иллюстративного материала 96

Введение

Актуальность работы. Математические модели физических явлений в электродинамике, акустике, теории упругости и т.п., описываются при помощи краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Все краевые задачи можно условно разделить на регулярные (см. [39]) и сингулярно возмущенные. К последнему типу задач относятся краевые задачи в областях с малыми отверстиями, задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границе, краевые задачи в перфорированных областях и другие.

Значительный вклад в исследование сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, М. И. Вишик, Р. Р. Гадылыпин, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Л. А. Ка-лякин, О. А. Ладыженская, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, D. Gomez, R. Hempel, С. Leal, Sh. Ozawa, J. Sánchez-Hubert и многие другие (см, например, [1], [2], [3], [4]-[7], [65], [8], [10], [11]-[22], [66], [67], [23], [31], [32] [36], [38], [40], [44], [45], [46], [48], [49], [51]-[53], [71]-[73], [56], [76], [58], [60], [62], [63], [68], [69], [70], [74], [75], [77], [78]).

В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Лапласа с граничным условием, изменяющимся на малых участках. Такие задачи возникают, например, в электротехнике в связи с необходимостью учёта контактного сопротивления в случае малого сечения контактов.

В диссертации исследованы поведения решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего размер участков из-

менения граничных условияй, а также получены равномерные асимптотические разложения решений таких краевых задач.

Степень разработанности темы. Задачи, подобные исследуемым, начали изучать относительно недавно, что стало возможным во многом благодаря появлению метода согласования, широкие возможности которого были продемонстрированы в монографии A.M. Ильина [35]. Там, например, исследованы эллиптические краевые задачи, в том числе с переменными коэффициентами, в ограниченной области, из которого исключено малое подмножество. Решения таких задач имеют схожую структуру асимптотики и её коэффициентов по сравнению с теми, которые рассмотрены в настоящей диссертации.

Поведение собственных значений эллиптических краевых задач в ограниченных областях с граничными условиями, изменяющимися на одном малом участке, исследовано в работах [15], [16].

Целью работы является нахождение алгоритмов последовательного построения с последующим обоснованием всех членов асимптотики решений некоторых краевых задач, которые сингулярно зависят от малого параметра.

Краткое содержание диссертации. Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.

В первой главе рассматривается асимптотика одного функционала от решения краевой задачи Неймана для эллиптического уравнения, возникшей на основе следующей физической задачи. Через пластинчатый образец прямоугольный формы пропускается электрический ток/12. Ширина электродов предполагается малой и равной 2е. Данный процесс был смоделирован в [55] с помощью следующей краевой задачи для электри-

ческого потенциала.

= 0, 0<х<а, 0<у<Ь, -Il2/{2eaxd), у € (6/2 - е,Ь/2 + е), О, у е (6,6/2 -е) U (6/2+ £,6),

= 0, ж б (0,а),

у=о,г>

где а, 6, d — длина, ширина и толщина образца, ах, ау — удельная проводимость вдоль и поперёк образца.

В результате исследований Полякова H.H. [55] было получено выражение в виде ряда для электрического сопротивления

R =

а^Ь ' у/Щ&Цйп^ (^п)2

Асимптотику К выписать не так просто, поскольку при е = 0 ряд расходится. Однако, в ходе опытов, описанных в книге [24], обнаружились асимптотические закономерности измерений К. В первом параграфе строго обосновано, что сумма такого ряда, сингулярно зависящая от малого параметра е, имеет следующую асимптотику

Rl2

£ b V стх

axdb ^axaydiT \ 4тгг ¿inch^./^n)

V О \/ &х '

+0(е2Ine), £ —О,

и дана оценка остатка. Во втором параграфе построено полное асимптотическое разложение суммы этого сингулярного ряда. В частности, доказано, что при е —у О

е3/26

оо

-Е

_тга /2Ц_П g 6 V <7 X

axdb y/axayd7T \ 4тге /<in)

\ О \/ С-г '

/1 2 ^ /27Г5Ч4 \

Основные результаты первой главы опубликованы в работах [26], [29].

Во второй главе рассматривается следующая задача. Пусть О, — ограниченная односвязная область в К2 с гладкой границей <90, которая имеет два прямолинейных участка АВ и СВ. На этих отрезках находятся две точке 0\ и Ог, не совпадающие с точками А, В, С, И.

Введём две системы координат 0\Х\Х2 и О2У1У2, направив оси 0\Х2 и О2У2 по направлению внутренней нормали так, как показано на рис. 1.

Обозначим за 71 = {ж : х2 = 0, |:п| ^ г}, Ъ ~ {у У2 = О, Ы ^ ае}, = {х : х = (±е, 0)}, 572 = {у :у = (±ае, 0)}, где 0 < £ « 1, а > 0. Задача состоит в построении и обосновании асимптотики функции и(х,е) е С°°(0\{571и072})ПС(0) по малому параметру е, являющейся

решением смешанной краевой задачи:

An, = о, х е гг,

ди

— = ф{х), х€дП\{Ъ0Ъ], u(xi, 0) = v^i » a^iG [-£,£], и(х(уъ 0)) = (р2 (^j, у\ € [-ае, ае]

дп

(0.1)

где п — внешняя нормаль, ф е С°°(Ш), <pi G С°°([—1,1]), € С00([—а, а])

Существование и единственность решения данной задачи в рассматриваемом классе функций можно доказать, например, с помощью конформного отображения области на полуплоскость и последующего использования формулы Келдыша-Седова [41, гл.III, §3].

Приведём ряд обозначений для формулировки основного результата второй главы.

Обозначим п = |ж|, г2 = |у|, £ = (6,6), V = (m,^), Р\ = Р2 = Ы, Г1 = {£ : 6 = 0, -1 < & < 1}, Г2 = {г) : т?2 = 0, -а < щ < а}, öTi = {£ : £ = (±1,0)}, дТ2 = {rj: т] = (±а, 0)}.

Пусть функции €b«) G С°°({£ : & > О}\0ГО П С({£ : 6 > 0}), гйо(£) € С°°({г] : щ ^ 0}\ЗГ2)Г\С({г] : щ ^ 0}) являются ограниченными

решениями следующих краевых задач:

' Дг>о = 0, 6 > 0,

< щ = ^i(fi), £ е Гь

¿>6

'о

А^о = 0, 772 > 0, < = <P2(77l), Г] ^ Г2,

= 77 € {77 : 772 = 0>\Г2.

'о

По формуле Келдыша-Седова можно выписать их явные решения:

-1

(0.2)

где = Vttt'

т+т

MV) = M0) + Re /

t-c,

dtdc,

— а

где ß2{z) = ... ,

V ^ + а

причём в обеих функциях ß\ и ß2 рассматриваются те ветви корня, которые положительны на интервалах действительной оси (1, оо) и (а, со) соответственно и аналитически продолжены на верхнюю полуплоскость.

Обозначимо = lim йо(£)>Яоо= lim wq(ti), = — / фСx)dS,

Pl-S-OO ' P2->0O 7Г J

_dÜ

Ji(f2,-0) = 0i(O2), /г(^) = 02(02), где функция ^(ж) £ C°°(Q) является решением задачи

Д<71 = 0, а: € О, l <7i(0) = 0,

функция (^(z) € С°°(Г2) является решением задачи

Ад2 = 0,

dg2 dlnri d In г2

, а; €<9П\{01П02},

дп дп дп

92(0) = 0.

Также обозначим

Z-ln- + Z- 1п(2|0102|) + h + Е0,0 - Но,о D0(e) =--.

21n- + 21n(2|0i02|) - Ina -/2

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 2.1. Для любых М>0и0</3<1 функция и(х,г), являющаяся решением задачи (2.1) -(2.4), имеет следующие равномерные асимптотические разложения при е —0:

(х, г) £kuk(x, е), П ^ Мер, г 2 ^ iWV3,

к=0 оо

(ж, е) = ^ (-, е) , П^

з=о £

оо

(х, г) = £ £jwi (-' £) ' Г2 <

где

+ - D0(e)) ln2 + Eq,0 + Si(x) + ~ h |0i02|),

=«o«) + № VO - A>(e)) ln|<ç + i/C| - 1|,

гУо(гу, s) =w0(ri) + Dq(s) ln ^

а остальные функции щ £ \{Ох и Ог}),

^ € ({£ : 6 £ 0}\аГ0 П С ({£ : & > 0}), € С°° ({г?: щ > 0}\дГ2) П С ({г/ : т > 0}).

Также приведен алгоритм последовательного построения щ и методом согласования асимптотических разложений. Заметим, что хотя асимптотические коэффициенты щ(х, £), у^х, е) и ги^х, е) также зависят от е, но это это более слабая зависимость — все они являются рациональными функциями от 1п£. Также заметим, что почти во всей области О, кроме двух малых окрестностей точек 0\, 02, решение задачи в самом главном

ведёт себя как щ(х, е) —^ ' ^ 1п -.

Используя этот результат, можно построить более сложную, но более точную математическую модель процесса протекания тока через платин-чатый образец, в которой потенциал моделируется решением смешанной краевой задачей для эллиптического уравнения. Соответственно, можно получить следующую асимптотику для электрического сопротивления:

о а 2 Л Ь ^ ^

<7Х(1Ъ 7Г£ А)/

Основные результаты второй главы опубликованы в работах [27], [28], [25].

В третьей главе диссертации рассмотрен случай пространства размерности п — 3.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть теперьх = (жх, Х2, £3), О - ограниченная односвязная область в М3, совпадающая в окрестности начала координат с полупространством > 0, дП € С°°, 7 — ограниченная односвязная область на плоскости = 0, ду € С°°, а 0 < е 1. Обозначим 7е = {сс : х£~г € 7} (см. рис. 2).

Рис. 2.

Наша цель заключается в построении и обосновании асимптотического

разложения по малому параметру в гармонической в О функции и € С°° П С(^2) со следующими смешанными граничными условиями

Ои

— = ф{х), X е и = <р(х), хЕ%, (0.3)

где

п - внешняя нормаль, ф, (р € С°°(сЮ). Из работы С. Заремба [79] и теорем о повышении гладкости решений эллиптических уравнений (см., например, [47, гл. IV, §2, п. 3]) следует существование и единственность гармонической функции со смешанными граничными условиями (0.3) в рассматриваемом классе функций.

Для формулировки основного результата третьей главы приведем ряд обозначений.

Обозначим г = \х\, О — (0, 0,0),

= ± I фюм.

дп

Известно, что

дп\о

Следовательно,

дП\0

Поэтому существует решение щ € С°°(Г2) краевой задачи /

Ащ = 0, х £ Г2, щ(0) = 0.

Обозначим £ = Р = ICI, = {С : 6 > 0}, R3+ = {£ :

Ь > 0}, Г = {£ : £3 = 0, £ g 7}, где 7 — диск уже на плоскости £3 = 0. Из вспомогательной леммы 3.3, доказательство которой приведено в диссертации, следует существование решения i? £ С°° (ш:

краевой задачи

' АЕ = 0, £ €

^ 7,

в& = 0- Ç6r' Е 0, p-t 00.

Обозначим через с7 > 0 ёмкость диска 7 (см, например, [54, гл.2, §1], [43, гл.2, §3]). Известно (см, например, [42, гл.1, §4]), что если 7 — единичный круг, то

1/2

Е=1, дЕ

= - arctg

7Г

с,у — ,

2 7Г

[/>2-1 + ((у02-1)2+4Й)1/2] а если 7 — эллипс с осями а и Ь вдоль координатных осей £1 и £2 соответственно, то

оо

т) =

2К(с/а) J ^/{t + a2){t + b2)t h(Û

С'у

ЯГ(с/а)'

тг/2

где с - \/а2 — б2, = / -

«Й

л/1 - z2 sin21

полный эллиптический ин-

теграл 1-го рода, Л(£) — наибольший действительный корень кубического уравнения

+ ^ = 1.

а2 + к Ъ2 + К к Основным содержанием третьей главы является доказательство следующего утверждения:

Теорема 3.1. Для любых М>0и0<а<1 гармоническая в О функция и(х,е), удовлетворяющая смешанным условиям (0.3), имеет следующие равномерные асимптотические разложения при г —>■ 0:

(х,е) = У] £кщ(х), г^М£а,

к=-1 00

(х, е) = X] екук (-) , г<Меа,

где

и-\(х) =--

/ N ~ / \ ф)

щ{х) = щ(х) + (р{0) Ч--,

МО = ^(0),

остальные функции щ € С°°(П\0), vj е С00 (мЗДдт) П С .

Также приведен алгоритм последовательного построения ик и и,- методом согласования асимптотических разложений.

Основные результаты третьей главы опубликованы в работе [30].

Научная новизна заключается в следующем:

Теоретическая значимость:

2. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решения аналогичной задачи в трёхмерном случаи и с одним малым участком смены типа граничного условия.

Практическая значимость:

1. Найдена асимптотика электрического сопротивления образца, под-лючённого с помощью двух малых контактов.

Методы исследования. Решения краевых задач понимаются в классическом смысле, т.е. рассматриваются решения, бесконечно дифференцируемые в области и непрерывные вплоть до границы, или большей гладкости. Оценки точности асимптотических приближений решений доказываются в непрерывной норме. Асимптотики строятся в два этапа. Вначале методом согласования асимптотических разложений проводится формальное построение асимптотических разложений, затем формальные асимптотики строго обосновываются. Обоснование формальных асимп-

тотик осуществляется с помощью оценивания точности выполнения граничных условий и последующего использования принципа максимума.

На защиту выносятся следующие основные положения:

3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной трёхмерной области с краевыми условиями, изменяющимися на одном малом участке. Явно выписаны два первых члена асимптотических разложений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ, на Международной конференции «Дни дифракции-2010» (Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2010), на финале конкурса Августа Мёбиуса (Москва, МЦНМО, 2012), где работа заняла третье место.

Публикации. Содержание работы отражено в 6 статьях, в том числе 5 статьях в журналах и изданиях, включенных в перечень ВАК для

кандидатских диссертаций.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., академику РАН, профессору Ильину Арлену Михайловичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

ГЛАВА 1

АСИМПТОТИКА СУММЫ РЯДА, СИНГУЛЯРНО ЗАВИСЯЩЕГО ОТ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

1. Асимптотика решения задачи Неймана с дельтаобразной

граничной функцией

В этом параграфе рассматривается задача Неймана для уравнения Лапласа, возникшая на основе следующей физической задачи. Через прямоугольный проводник с малыми контактами пропускается электрический ток. Необходимо в зависимости от различных параметров приближённо найти сопротивление проводника. Ранее в статье [55] была найдена формула для электрического сопротивления в виде ряда. Также там были найдены формулы для других физических величин и их простые асимптотические приближения. Однако для сопротивления асимптотика не была найдена. Тем не менее в ходе опытов, описанных в книге [24], обнаружились асимптотические закономерности измерений. В частности, отмечена логариф�