Об усреднении решений уравнения Пуассона в перфорированных областях с различными краевыми условиями на границе разных полостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава

Задачи усреднения в перфорированной области с классическими краевыми условиями

1.1 Общие обозначения.

1.2 Вспомогательные утверждения.

1.3 Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, ячейка периодичности которой содержит две полости с краевым условием Дирихле на границе одной полости и смешанным краевым условием на границе второй.

Глава

Задачи усреднения вариационных неравенств в перфорированных областях

2.1 Усреднение однородной задачи Синьорипи в области с произвольной плотностью перфорации.

2.2 Усреднение неоднородной задачи Синьорини в периодически перфорированной области

2.3 Усреднение уравнения Пуассона в периодически перфорированной области, содержащей две полости в ячейке периодичности на границе одной из которых заданы однородные условия Синьорини, а на второй смешанное краевое условие.

2.4 Задача с препятствием.

Иллюстрации

Многие задачи механики сильно неоднородных сред, композитных материалов, микроэлектроники приводят к необходимости построения усреднённых моделей этих сред. Требуется построить модель среды, локальные свойства которой резко меняются, и поэтому удобнее перейти от микроскопического описания к макроскопическому, т.е. рассматривать усреднённые характеристики такой среды. Во многих случаях рассматриваемые физические процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными. Математическое описание сильно неоднородных сред часто основано на предположении о наличии у таких сред какой-либо упорядоченной микроструктуры (например, периодической в самой области или периодичности возмущений на границе). Это приводит к рассмотрению краевых задач для уравнений с частными производными в периодически перфорированных областях, краевых задач для областей с быстро осциллирующей границей, задач с осциллирующими коэффициентами. Доказательство теорем существования и единственности решений задач такого вида проводится классическими методами и обычно не вызывает дополнительных сложностей. Между тем нахождение самих решений точными методами не всегда возможно. Приближенные же методы решения задач этого вида требуют непомерного объёма вычислений. Теория усреднения стала тем новым подходом, который позволяет свести решение исходных задач к решению более простых, которые уже могут быть решены по классической схеме.

Рассмотрению данного рода проблем посвящены многие работы, опубликованные в течение последних 50 лет. Наиболее ранними в этой области стоит считать работы Е. де Джорджи и С. Спаньоло [23] - [25], где были введены понятия G-сходимости и усреднения семейства операторов и изучены основные свойства G-сходимости эллиптических операторов второго порядка дивергентного вида. Общая теория G-сходимости бы ла построена О.А. Олейник, В.В. Жиковым, С.М. Козловым в работах [26], [27] и монографии [32]. Вопросы поведения решений краевых задач для уравнений в частных производных для перфорированных областей были рассмотрены в шестидесятые годы двадцатого века в книге В.А. Марченко и Е.Я. Хруслова [17]. Усреднению процессов в периодических средах посвящены монография Н.С. Бахвалова и Г.П. Пана-сенко [28], а также монография Э. Санчес-Паленсия [33]. Кроме того в работах О.А. Олейник, А.С. Шамаева и Г.А. Иосифьяна [20] - [22] получены оценки отклонения решения краевой задачи для эллиптического уравнения и для систем теории упругости в перфорированной области от решения соответствующей усредненной задачи. Вопросы усреденения систем теории упругости рассматирваются в монографии О.А. Олейник, А.С. Шамаева и Г.А. Иосифьяна [1].

Статья О.А. Олейник и Т.А. Шапошниковой [2] посвящена усреднению задачи Неймана в периодически перфорированной области с произвольной плотностью перфорации. В работе [8] рассматривается усреднение смешанной краевой задачи в частично-перфорированой области с произвольной плотностью перфорации. В статье [13] изучен вопрос об усреднении краевых задач в области с непериодической структурой. В совместной работе В. Егера, О.А. Олейник и Т.А. Шапошниковой [6] рассматривается задача усреднения, когда ячейка периодичности имеет две полости на границе одной из которых задано смешанное краевое условие, а на другой — условие Неймана.

В последние годы успешно развивается теория усреднения различных вариационных неравенств, соответствующих краевым задачам с различного рода ограничениями на границе. Так в работе Даль Мазо [30] изучено асимптотическое поведение задачи минимизации функционала fQ (\Du\2 + д(х,и)) dx с двусторонними препятствиями типа фе < и < i}j£, где {ф£},{фе} ~ последовательности произвольных функций из Rn в R. Работа [29] описывает усреднение решений последовательности вариационных неравенств для бигармонического оператора с переменным двусторонним препятствием. Г.А. Иосифьяном в [14] получены теоремы усреднения для задачи минимизации квадратичных интегральных функционалов на множестве допустимых функций, удовлетворяющих быстро осциллирующим периодическим ограничениям на границе перфорированной области. Публикация [9] освещает вопросы усреднения односторонних краевых задач для упругих тел с изрезанной поверхностью. В статье С.Е. Пастуховой [31] рассматривается задача искусственной кли-матизации в области с осциллирующей границей. Для нее получен вид предельной задачи и доказана слабая сходимость в Н1(0,).

В первой главе диссертации изучается асимптотическое поведение решения уравнения Пуассона в перфорированных областях когда ячейка периодичности содержит две полости, на границе одной из которых задано краевое условие Дирихле, а на другой смешанное краевое условие. Получены предельные теоремы для различных размеров полостей. Основной текст предваряется двумя вводными параграфами в которых вводятся общие обозначения и приводится доказательство лемм, общих для всей работы. Часть результатов первой главы была опубликована в [34].

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи усреднения вариационных неравенств. В §2.1 изучен случай, когда в ячейке периодичности содержится одна полость, и на ней заданы однородные условия Синьорини. Показана зависимость предельной задачи от размеров полости перфорации.

В §2.2 изучено усреднение уравнения Пуассона в области ячейка которой содержит одну полость на которой заданы неоднородные условия Сииьорини. Полость имеет так называемый критический размер lim а"-1^""" = С\ = const > 0. Результаты этого параграфа были опубликованы в [35].

В §2.3 изучается задача усреднения вариационного неравенства в периодически перфорированной области, имеющей две полости различного масштаба в ячейке периодичности. На границе одной из этих полостей задано смешаное краевое условие, а на границе второй — однородные условия Синьорини. Получена предельная вариационная задача и доказана теорема о сходимости решения и£ исходной задачи к решению усредненной задачи при е —» 0. Данные результаты вошли в статью [37].

В §2.4 проводится исследование асимптотического поведения решений задачи с препятствием в области, перфорированной вдоль гиперплоскости с нулевым условием Дирихле на всей границе. Результаты данного раздела опубликованы в [36].

Далее сформулированы основные результаты, полученные в работе.

Пусть Q — гладкая ограниченная область в Rn, п > 3, Q = {х £ Rn : 0 < Xj < 1, j = 1,.,п} — единичный куб в Rn;Go,G\ — множества, диффеоморфные шару, причём Gq Г) G\ = 0, Gi С Q, г = 0,1. Определим Si = dGi — границы соответствующих полостей, аге — параметры, зависящие от е. Будем обозначать аВ = {x\a~lx е В}.

Определим периодическую структуру Ge во всём Rn полагая Ge =

U [sz + \Ja\Gi 1 , где Z — множество векторов г = (zi,.,zn) с цеzez \ i J лочисленными координатами, значения параметра г определяется в каждой задаче отдельно. Если полость всего одна, то мы будем его опускать. Теперь рассмотрим область Q£ = Q \ Ge и введём обозначения S£ = dQ£ П Q, Ге = <9Q \ S£. Для ячейки периодичности будем использовать обозначение У£ — eQ \ |J при этом i здесь так же определяется i конкретной задачей.

Положим (и)и = pj f udx, где |cj| — мера Лебега множества и.Через и

H\{uj,~i) обозначено замыкание по норме Н\(и) множества бесконечно дифференцируемых в со функций v, обращающихся в нуль в окрестности

3=1

Введём дополнительные обозначения. Для задачи, рассмотренной в первой главе, будем считать, что полость Go — открытый шар. Положим Т? = ci?Gq> Т£м = a^Gu где af < ае, af < с2е, сх = с2 = const, Т} -шар, концентрический с Т/*, имеющий радиус bos, где bo = const > О, причем Tjf]Tf = 0. Определим Gf = £ (Т£м + ze) и G? = £ (Т? + ze), zez zqz где Z — множество n-мерных векторов с целочисленными координатами.

Кроме того^С£ = Gf U Ggji? = dG? р| Г2, Sf = dGf Обозначим:

YeD = eQ\ Tf, YeM = eQ\ Тем, Г£ = Y? fl YeM( см. рис. 5).

Рассмотрим в 0,£ краевую задачу

-Аи£ = f в Q£,

- + bu£ = 0 на Sf, (1) и£ = 0 наГеиЗ?, где и — единичная внешняя нормаль к S^1, / — гладкая функция в = const > 0. Под решением задачи (О будем понимать функцию щ е Нi(fi£,r£U Sf), удовлетворяющую интегральному тождеству b J (pu£ds -f J V<pVu£dx = J f(pdx (2)

S™ n г n г для произвольной функции (р е Н\(0,£, Ге U Sf).

Доказаны теоремы, описывающие усреднение данной задачи при различных размерах полостей.

Теорема 1. Пусть и£ — решение задачи (1) и выполнены следующие условия на размеры полостей: lim(a¥)n-l£-n = const > 0, lim(af )n~Vn = const > 0. (3)

Пусть uq — решение задачи

A^o + (д + ЬС\)щ = f в Q, uq = 0 на dft, n > 3, где fi = (n- 2)w(n)lim(a?)n-2e-n,Ci = \dGx\lim(af )n~le~n, (4) ш(п) — поверхность единичной сферы в Rn. Тогда

Ike - Mo|U2(e) 0 при £ 0.

Теорема 2. Пусть и£ — решение задачи (1) и выполнены следующие условия на размеры полостей lim(а?)п~2£-п = Со = const > 0, lim(af )l~n£n = оо. £—>0 £—»0

Пусть uq — гладкое решение задачи

Ащ + ЦЩ = / в Q, где // = (п — 2)и(п)Со, щ = 0 на dVt,

Тогда имеет место оценка: ие ~ uo|U2(n,) <Ki (е + (a?)n-le-n + |С0 - (af )»" V»| + af + (a?)2)

Теорема 3. Пусть функция и£ — решение задачи (1) и выполнены следующие условия на размеры полостей lim(af)1"Vl = 0, lim(af)n-2e~n = оо.

Тогда имеет место оценка

Мкда.) < ((af J1? + (af)H-) ||/||ып).

Теорема 4. Пусть функция ие — решение задачи (1) и выполнены следующие условия на размеры полостей lim(af )n"Vn = 0, \dGi\ Jim(af )n"1e"n = CY = const > 0, щ — решение задачи

-Ди0 + ЬС\щ - /, х е щ е #°(Q).

Тогда

IK - «о||я1(Пв) < К3{(ам£-1Г'2 + \р£ - ЬСг\ + (afrV"}, где р£ = -Ь meas(dTeM)/meas(YeM) =

Теорема 5. Пусть f € .^(fi), ^ € Rn — область с гладкой границей. Функция и£ — решение задачи (1) и выполнены следующие условия на размеры полостей lim(af )1~пеп = 0, lim(a? )n"Vn = 0. £—»0 £—»0

Тогда справедлива оценка

Ык(П.) < ((af + (a?)»-Vn) .

Во второй главе рассматриваются задачи в периодически перфорированной области, на границе полостей которой заданы условия типа неравенств.

Параграф 2.1 посвящен усреднению уравнения Пуассона в области, ячейка периодичности которой содержит одну полость с однородными краевыми условиями Синьорини на её границе. Получены теоремы, показывающие зависимость вида предельной задачи от размеров полости перфорации.

В данном случае Go диффеоморфна шару, G£ = U(fleG?o + ez),Ye = eQ \ o^Go, S£ — d£le = \ (Г£, Г£ = дП\ dtt£

В области Q£ рассмотрим следующую задачу:

-Аие = / в Q£, и£ = 0 на Г£. ^

0,ff = 0 на S£ п.в., где v — единичный вектор внешней нормали к 5е;/ G 1/2(П).

Под обобщенным решением задачи (5) понимаем функцию и£ е К£ = {v G Я^Ог, Ге)|г; < 0 п. в. на удовлетворяющую вариационному неравенству:

J — ue)dx > J f(g — u£)dx (6) ne slt для произвольной функции g e K£. Предположим, что lim an~2£~n = Go = const > 0, n > 3. (7)

Пусть щ обобщенное решение нелинейной краевой задачи

-Aw0 + = /, х € Q; ио = 0,а:еЗП. (8)

Под обобщенным решением понимается функция щ € #?(Q) которая удовлетворяет интегральному тождеству

J S/uoVgdx + С J Uq gdx = J fgdx

Q П П для любой g e Здесь u+(x) = sup(u(:r), 0).

Теорема 6. Предположим, что выполнено условие (7). Пусть и£ — обобщённое решение задачи (5), щ — обобщённое решение задачи (8). Тогда ||щ - щ\\ь2(пс) 0,е 0.

Пусть lim a"~2e~n = 0. (9)

0 Е

Рассмотрим щ — решение задачи

Дио = f,x е П,и0 е Н^(О,). (10)

Тогда верна следующая теорема

Теорема 7. Предположим, что имеет место (9); щ — обобщённое решение (5); щ — обобщённое решение краевой задачи (10). Тогда

Предположим, что lim а2~пеп = 0 и а£ = о(е). (11)

0 Е '

Пусть и0 G К0 = {g е (П) : д < 0 п. в. в Q} — обобщённое решение задачи

Аий + f> 0, w0 < 0, (Ли0 + f)u0 = 0 п. в. в П,и0 = 0, ж е Ш. (12)

Под обобщенным решением понимается функция, удовлетворяющая вариационному неравенству

J VuoV{g — uo)dx > Jf(g — uo)dx (13) n n для любой g e Ко.

Доказана следующая теорема

Теорема 8. Пусть и£ — обобщённое решение задачи (5) и выполнено условие (11), функция щ € W2,P(Q) П < оо — решение задачи

12). Тогда ||и£ - и0||Я1(пг) —> 0, е: —> 0.

В §2.2 рассматривается усреднение уравнения Пуассона в области, с ячейкой периодичиости содержащей одну полость на которой заданы неоднородные условия Синьорини. Предположим, что lim a"-1£~n = Ci = const > 0. (14)

0 £

Рассмотрим следующую задачу f-Au£ = f(x) в

Щ < д{х) на5£п.в., h{x) на S£ п.в., (15)

Он, Ои

Ue - д(х)) (f^ - h(x)) = 0 на 5е п.в., и£ = 0 на Ге, где / G Z/2(^), h € д G — единичный вектор внешней нормали к S£.

Обобщенным решением задачи (15) называется функция щ G К£ = {г; G H\(Qe, Ге) : v < д(х) п. в. на S^}, удовлетворяющая неравенству:

J Vu£V(i> — ue)dx > J f(v — u£)dx + J h(v — ue)ds (16) ne ns sc для произвольной v e k£.

Пусть Ко = {и е Hi (О,) : и(х) < д(х) п.в. в С1}. Введем функцию щ € Ко как обобщенное решение задачи с препятствием

Aif0 < f(x) + C0h(x) в П; щ(х) — д(х))(Ащ + f(x) + Coh(x)) = 0 п.в. в Q; ^^

Щ < д(х) п.в. в ft; щ = 0 на ЗГ2, где Со = Cimes|c?Cr|. Функция щ является обобщенным решением (17), если она удовлетворяет вариационному неравенству

J Vu0V(w - uQ)dx > J{f + C0h) (w - u0)dx, (18) n n для произвольного элемента w €

Теорема 10. Пусть и£ — обобщенное решение задачи (15), h 6 Cl(Tt),g в Я?(П) П С2(П); w0 6 Я? П С!(П) — обобщенное решение задачи (17). Предположим, что выполнено условие (14). Тогда

Ik - Мнм.) < + |С! - аГ^Т).

Параграф 2.3 содержит решение задачи усреднения для случая, когда в ячейке периодичности Ye = eQ \ (eG\ U а£С?2) имеются две полости, на границе одной из которых задано смешанное краевое условие, а на другой краевое условие Синьорини. Предположим, что limairV" = Со = const >0, (19) е—»0 е область Q звёздная относительно некоторого шара и имеет границу д£1 € С2+а, 0 < а < 1. Обозначим Sf = d^2(eGi + П fi, Sf = + zez zeZ ze) П Q. В области Qe = Q \ X) {Y£ + ez) рассмотрим следующую задачу: zeZ

-Ащ = f в Q£,

Щ<0,§%< О,и£§% = 0 на Sf п.в., на Sf п.в., на Г£. дие дим

UF = О Ьи£ = О

20)

Здесь b =const > 0, / € Са(П),0 < а < 1 ;i/s,i/M — единичные вектора внешней нормали к Sf и Sf соответственно. Пусть К£ = {и е Ге) : w < 0 п.в. на Sf}. Обобщенным решением задачи (20) называется функция щ € К£, удовлетворяющая неравенству:

J Vu£V(v — u£)dx + b J u£(v — u£)dSx > J f(v — u£)dx (21) n£ ne для произвольной функции V € K£.

Рассмотрим вспомогательную задачу на ячейке

Ав£ = /ieb Ye, = -Ъ на da£G2,

0 = OHa0eGi, №)п = 0вУе,

22) где

Не = дС2\

1-| Gi\ - (а£е~'Г\С2\

23) определяется из условия разрешимости этой задачи.

Введем 1-периодические по у = е~1х функцию Nj(y), как решение краевой задачи

ANj = 0 bQ\Gu Определим коэффициенты hij по формуле щ\

24)

Обозначим L(wo) = E^jfe + Cw0 + /, где С = Функция wq е Ко = {и е Hi(£l) : и(х) < 0 п.в. в Q} определяется как решение задачи

L(w0) >0, Wq < 0, wqL(wq) = 0 п.в. в f2. (26)

Обобщенным решением задачи (26) называется функция wq € Ко, удовлетворяющая неравенству:

5 J hij дх- ^дх W° dx ~ ^ J W°^ ~~ w°}dx - J ~ wo)dx ij n % 3 n n для произвольной ip € Ко.

Теорема 11. Пусть и£ - обобщенное решение задачи (20) в перфорированной области Q£, в которой выполнено соотношение (19). Функция wq б С1+а(0),0 < ос < 1, является обобщенным решением (26) и в£ -решение задачи (22), Nj определяются как решение задачи (24), h^ определены формулой (25). Тогда при г —» 0 u£- i Wq + 9£wq + х\ 8wq i -j=i J

0.

Я,(П)

В §2.4 рассмотрена задача с препятствием в области, перфорированой вдоль гиперплоскости.

Пусть Q — ограниченная область в R" (п > 2) с гладкой границей дО,', 7 = Q П {х G R71 : xi = 0} ф 0. Обозначим Q = {х е Rn : \xj\ < 1, j = 1,., n}; G0 = {x e R" : \x\ < a}, 0 < a < 1; Ge = (J (aeGo + 2ez), a£ zez

0,e —» 0; Z — множество векторов z — (0, Z2,., zn) с целочисленными координатами Zj,j = 2,.,n. Положим = Q \ Ge (см. рис. 1). Предположим, что lima2""^71-1 = Со, при п > 3, и, limd lnaJ-1 = С\. если п = 2. (27)

-0 £ 7 Г — 1 1 где Cq,Ci — неотрицательные константы.

В области Q£ рассмотрим задачу с препятствием / < 0, щ > ip вП£, (z\и£ + /) (и£ — ср) = 0 в и£ = 0 на

Предположим, что функции / е Z/2(fi), Ч> £ C2(Q) и tp < 0 п. в. в О.

Под обобщенным решением задачи (28) понимаем функцию и£ G К£ = {и € Hi(Q£)\u > ip п.в. в Пе}, для которой выполняется неравенство

J Vu£V(v - u£)dx > J f(y - u£)dx, (29) где v — произвольный элемент из К£.

Введем функцию щ е Ко = {и е : и > ip п.в. в Q}, удовлетворяющую неравенству

J VuqS7(v — uo)dx + р, J щ(у — uo)dx > J f(v — uo)dx, (30) ft 7 П для произвольного элемента v G Ko\x = (x2,. ,xn); ц = (n — 2)an""2w(n)C^"1, если n > 3, и p = Щ, если n = 2.

Обозначим Уе = eQ \ cl£Gq. Перенумеруем все ячейки вида Ye + 2ez, z = (0, z2,., zn) G Z, имеющие непустое пересечение с Q, и обозначим j-ю ячейку через Yj, j = 1,., N(e). Здесь N(e) = del~n, d = const > 0. Пусть Pj — центр этой ячейки, TJ? — шар радиуса г < е с центром РК

Рассмотрим шаровой слой Т1\Т£ае, лежащий в j-й ячейке YJ, и функцию <■* = »^ = ('" £)' •«=2

Построим функцию ш£, полагая uj£ = при х е Т( \ Т£ас, j =

N(e)N(e)

1, • • • , N(e)i ш£ = 0 при х G U TLe] uj£ = 1 при х € Rn \ U TL з=\ j=1 2

Теорема 12. Пусть и£ — обобщенное решение задачи (28) и выполнены условия (27); щ — обобщенное решение неравенства (30). Тогда справедливы соотношения

II- Ио^еНя^Пе) 0, при £ -» 0,

J\Vue\2dx —> J \Vuo\2dx + р J u\dx, e 0. n n 7

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т.А. Шапошниковой за постановку задач и внимание к данной работе.

1. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С., Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред.// М.:МГУ, 1990.

2. Oleinik О.A., Shaposhnikova Т.A. On homogenization problems for the Laplace operator in partially perforated domains with Neumann's condition on boundary of cavities.// Rend. Mat. Acc. Lincei. s. 9. v.6 1995, p. 133-142.

3. Киндерлерер Д. Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения.// М.: Мир, 1983.

4. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости.// М.: Мир, 1974.

5. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.// М.:Мир 1979.

6. Jager W., Oleinik О.A., Shaposhnikova Т.A. On homogenization of solutions of the Poisson equation in a perforated domain with different types of boundary condition on the different cavities.// Appl. Analysis v.65, № 3-4, 1997, c.205-223.

7. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.// М. Мир, 1972.

8. Oleinik О.A., Shaposhnikova Т.A. On the homogenization of the Poisson equation in partially perforated domains with arbitrary density of cavities and mixed type conditions on their boundary.// Rend. Mat. Acc. Lincei. s. 9. v.7 1996, c. 129-146.

9. Иосифьян Г.А. О некоторых односторонних краевых задачах для упругих тел с изрезанной границей //Тр. Семинара имени И.Г. Петровского. 2001. 21. с.240-298.

10. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами.// М.:Наука 1990.

11. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.// М.гНаука 1988.

12. D. Cioranescu, J. Saint Jean Paulin Homogenization in open sets with holes.// J. Math. Anal. Appl. v. 71 1979, p.590-607.

13. Олейник О.А., Шапошникова Т.А. Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с непериодической структурой.// Дифф. уравнения Т.34 N.5 1998, с.647-661.

14. Иосифьян Г.А. Об усреднении некоторых задачах с быстро осци-лирующими ограничениями // Тр. Семинара имени И.Г. Петровского. 2003. 23. с. 188-205.

15. Yosifian G.A. On some homogenization problems in perforated domains with nonlinear boundary conditions. // Applicable Analysis, 65(1997), p. 255-288.

16. Иосифьян Г.А. Об усреднении системы теории упругости в перфорированной области с краевыми условиями типа реакций на границе полостей.// Доклады РАН, 361:5(1998).

17. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей.// Наукова Думка, Киев 1974.

18. Lobo M., Oleinik O.A., Perez M.E., Shaposhnikova T.A. On homogenization of solutions of boundary value problems in domains, perforated along manifolds.// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) vol. XXV (1997), p. 611-629.

19. Шамаев А.С. Осреднение решений и собственных значений краевых задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях.// УМН, 1982, т.37, №2, с.234-244.

20. Шамаев А.С. Спектральные задачи в теории усреднения и сходимости.// ДАН СССР, 1981, т.259, №2, с.294-299.

21. Иосифьян Г.А., Олейник О.А., Шамаев А.С. Усреднение собственных значений и собственных функций краевой задачи теории упругости в перфорированной области. // Вестн. МГУ, сер.1, матем. и мех., 1983, №4, с.53-63.

22. Spagnolo S. Sulla convergenza di sduzioni di equazioni paraboliche ed elliptiche.// Annalodella ScuolaNorm. Sup. Piza, 1968, 22, Fas. IV, p. 573-597.

23. De Giorgi E., Spagnolo S. Sulla convergenza degli integrali dell'energia peroperatori elliptici del 2 ordine.// Boll. Un. Mat. Ital.,(4), 1973, v.8.,p.391-411.

24. Spagnolo S. Convergence in energy for elliptic operators.// Proc. 3rd Symp, Number Solut. Part. Diff. Equations. College park, 1976, p. 469-498.

25. Жиков В.В, Козлов С.М, Олейник О.А., Ха Тьен Нгоан Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов.// УМН, 1979, т.34, вып. 5(209), с.65-133.

26. Жиков В.В, Козлов С.М, Олейник О.А. О G-сходимости параболических операторов.// УМН, 1981, т.36, вып. 1(217), с.11-58.

27. Бахвалов Н.С. Панасенко Т.П. Осреднение процессов в периодических средах.// М.: Наука, 1984.

28. Dal Mazo G.,Paderni G. Variotional Inequalities for the Biharmonic Operator with Variable Obstacles// Annali di Matematica pure ed applicata (IV), Vol. CLIII, 1988 p. 203-227

29. Dal Mazo G. Assymptotic behaviour of minimum problems with bilateral obstacles// Annali di Matematica pure ed applicata (IV), Vol. 129, 1981 p. 327-366

30. Пастухова C.E. Эффект осцилирующей границы при усреднении одной задачи климатизации// Дифф. уравнения Т.37 №9 2001, с.1216-1222.

31. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов.// М.: Физ.-мат. лит-ра, 1993.

32. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний.// М.: Мир, 1984.

33. Воробьёв А.Ю. Об усреднении одной краевой задачи в периодически перфорированной области.// Вестн. МГУ, сер.1, матем. и мех., 2001, №6, с.3-9.

34. Воробьёв А.Ю. Шапошникова Т.А. Об усреднении неоднородной задачи Синьорини для уравнения Пуассона в периодически перфорированной области.// Дифф. уравнения Т.39 №3 2003, с.359-365.

35. Воробьёв А.Ю. Шапошникова Т.А. Об усреднении одной задачи с препятствием.// Вестн. МГУ, сер.1, матем. и мех., 2003, №5, с.8-17.

36. Воробьёв А.Ю. Об усреднении уравнения Пуассона в перфорированной области с условием Синьорини и третьим краевым условием на границе полостей.// Дифф. уравнения Т40 №3 2004, с. 1-12.