Осреднение и локализация решений некоторых краевых задач для полулинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ПИКУЛИН Сергей Владимирович

Осреднение и локализация решений некоторых краевых задач для полулинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 ФЕВ 2013

Москва - 2012

005050160

005050160

Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук МАТЕВОСЯН Овик Амаякович.

Официальные оппоненты:

ПОКРОВСКИЙ Андрей Владимирович, доктор физико-математических наук (Институт математики Национальной академии наук Украины, старший научный сотрудник отдела комплексного анализа и теории потенциала),

ДЕНИСОВ Василий Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент (факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, доцент кафедры общей математики).

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук.

Защита диссертации состоится «24» января 2013 г. в 15:00 на заседании Диссертационного совета Д 002.017.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Вычислительном центре им. А.А.Дородницына Российской академии наук по адресу: 119333, Москва, ул. Вавилова д. 40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН по адресу: Москва, ул. Вавилова д. 40.

Автореферат разослан декабря 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н. ЗУБОВ Владимир Иванович

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению свойств решений квазилинейных уравнении второго порядка с равномерно эллиптической главной частью в перфорированных областях.

Примером такого уравнения является следующий аналог стационарного уравнения Фуджиты (х 6 Мп):

Aw— |x|s |u|CT sign и = 0, 0 s > 0. (1)

Для уравнений данного вида рассматриваются краевые задачи Дирихле и Зарембы в ограниченных липпгицевмх областях Г2, содержащих конечное число одинаковых полостей шаровой или цилиндрической формы. Решения укапанных задач в классе И^1 (П) П L^iï) понимаются в обобщенном смысле. Известно1,2, что для функций из в липптицевой области il определены их следы на 0Q. принадлежащие пространству Ш}/2{дП). Исходя из этого, краевые условия типа Дирихле, отвечающие

1 /9

функциям класса Loo(diï), задаются в виде следов функций

класса W^iî) П Loo (Я), определенных во всей области.

Поведение решений красных задач такого вида имеет ряд особенностей, не возникающих в линейном случае; в частности:

1) при а 6 (0,1) и выполнении однородного условия Дирихле или Неймана, на. «внешней» границе области носитель ограниченного решения локализован в окрестности полостей, размер которой зависит от входных данных (эффект локализации носителя);

2) при достаточно больших а > 1 и достаточно быстром'стремлении размеров полостей к нулю одновременно с ростом их количества, при фиксированном условии Дирихле на внешней границе наблюдается сходимость решений к решению предельной задачи в неперфорированной области; при этом предельная задача не зависит от краевых условий на границах полостей.

1 il. Adams Sobolcv Spares. Now York: Aeailemic Press, 1975.

'It. Cmrhn Сингулярные интегралы п своПетва функций. Ni-: Мир, 1073.

Актуальность темы. Полулинейные уравнения г. частных производных эллиптического типа с измеримыми коэффициентами активно изучались многими авторами. В.А.Кондратьев и Е. М.Лаиднс установили Ряд качественных свойств решений таких уравнений3'4. В работах О. А. Олейпик и В. А. Кондратьева изучено поведение решений полулинейных уравнений в (полу)бескопечиом цилиндре с условием Неймана на боковой поверхности цилиндра. Вопросы существования решений и их асимптотического поведения в цилиндрических областях изучались в работах Ю.В.Егорова. В.А.Кондратьева, О. А. Олейпик и ряда других авторов.

Исследованию разрешимости уравнений со степенной нелинейностью и изучению свойств их решений в случае оператора Лапласа в главной части посвящена обширная литература (.1. В. Keller, R. Osserman, L. Veron, H.Brezis, С. И.Похожасв и др.); уравнения более общего вида рассматривались в работах H.A.Levine, L. Е. Paine, О.А.Олейник и других авторов. В связи с эффектом локализации носителя отметим результаты А. А. Конькова о компактности носителя решений некоторых нелинейных неравенств в неограниченных областях''.

Теории осреднения линейных уравнений посвящено большое количество статей и монографий0'''S'9'1011. Осреднением квазилинейных эллиптических уравнении в перфорированных областях и областях с каналами

'■ В. .-1. Kimi)pamura, Е. М. ЛшиУис Полулппейпыо урапиеипя второго порядка с неотрицательной \"л||лкт<'рпсти'Г'ткоп формой ' : Мл том. '.аметкп. 1988. Т. 44, №4. С. 457-4GS.

' П -1. Kenui;ximuen, Е.М.Ландис О к.гит-тонных свойствах решений одного нелинейного уравнения второй» порядка ■ Матем. сборник. 1988. Т. 135(177), №3. С.346 -300.

Г,Л. A. Коньков О решениях ква лплппеГшмх -эллиптических неравенств, обращающихся в пуль в окрестности бесконечности /'/ Матем. таметкн. 2000. T.G7, .V 1. С- 153-15G.

'7/. С. Б/иоплон. Г. П. Панаггнко Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука. 1984.

7 /?. Л. Марченко. Е. Я. Xpijc-wa Краевые 1адачп в облагтях с мелкотсрпистоп границей. Киев: Наукова думка, 1074.

* В. В. Жикоа. С- М- h'li.i.KKi. О. А. О.мйник Усреднение дифференциальных операторов. М.: Фтматлнт, 1993.

''() Л. Олейпик, Г. Л. Иосиф*,ян. .4. С. Шамагв Математические чадачн теории сильно неоднородных упругпх сред. М.: Издательство МГУ, 199(1.

"V9. С,aM-i.cc Пал1:нгил Неоднородные сред|,г п теория колебаний. М.: Мир, 1984.

n A. Bensoiot.ian, J.-L. Linns. С. Рщнти-окти Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.

занимался И. В. Скрыппик12. Задачи осреднения для эллиптических и параболических операторов в различных постановках изучались также в работах Г. А. Чечкнна13, Т. А. Шапошниковой14 и других авторов15. Как правило, при осреднении накладываются определенные ограничения на входные данные задачи, такие как периодичность, близость полостей к некоторому многообразию и т. п. Отметим, что в данной работе по используются условия периодичности изменения коэффициентов или расположения полостей. Некоторые результаты диссертации имеют аналоги в теории полулинейных параболических уравнений10.

В ряде работ Е. П. Долженко, Л.Карлесона, А.В.Покровского1' доказаны критерии устранимости замкнутого множества для некоторых эллиптических уравнений в терминах хаусдорфовой меры множества. Теоремы об осреднении настоящей работы являются некоторыми аналогами таких критериев. При этом условиям типа, равенства, нулю хаусдорфовой меры в теории устранения особенностей соответствуют условия па скорость убывания размеров полостей.

Теоремы о существовании «мёртвой зопы», то есть такого подмножества (положительной меры), на котором решение уравнения обращается в нуль, известны для квазилинейных эллиптических18 и параболических уравнений. Отметим в связи с этим эффект пространственной локализации возмущения19.

12II. В. Скрыппик Методы исследования нелинейных эллиптических граничных la дач. М.: Наука, 1990.

1:îr. А. Чсчкин Ус]1едненпе краевых (адач с сингулярным возмущением граничных условий /7 Матем. сборник. 1993. Т. 184. .Мб. С.99-150.

11 Т. А. Шапошникова 05 усреднении некторых краевых 1адач п областях, содержащих тонкие капали ¡ / Труды сешшара пкг. П.Г.Петровского. 2004. Т.2 I. С.324-340.

1 'A. Damlamian, Li Ta-Tsim Boundary líomo^eiiizat и m for elliptic problems. / / J. Math. Pures Appl. 1987. Vol. CO. no. 9. Г. 351-301.

"' f). Л. Матевосян, II. В. Филилюнова Об усреднении полулинейных параболических операторов в пер<|юрпровапном цилиндре / . Матем. заметки. 2005. Т. 78, .V" Л. С.390-408.

А. В. Покроагкий Устранимые особенности решений нелинейных эллиптических уравнений // Успехи мат. паук. 2007. Т.02. jYj3 (375). С. 215-210.

|ЛP. Piirri. .I.Senin The strong maximum principle revisit«! /'/' .1. Differential Equations. 2004. Vol. 190. No. 1, P. 1-00.

1 " Л. A. CakifipCKuù, В. А. Галактионоп. С. П. КцрОю.иоа, А. П. Mиг.аалло Режимы с обострением n i.via'iax для кпаанлнпейпых параболических уравнении. М.: Наука, 1987.

Целью диссертационной работы является:

1) изучение свойств решении квазилинейных уравнении второго порядка с равномерно эллиптической главной частью и нелинейным членом, зависящим от неизвестной функции степенным образом, в областях со сферической и цилиндрической перфорацией методами теории устранения особенностей и качественной теории квазилинейных уравнений;

2) исследование задачи осреднения для полулинейных эллиптических уравнении в областях, содержащих полости шаровой или цилиндрической формы;

3) изучение эффекта локализации носителя решения краевых задач Заромбы и Дирихле для полулинейных эллиптических уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) для п > 3 и достаточно больших значений показателя нелинейности а > 1 найдены условия, при которых решения задачи Дирихле в последовательности перфорированных областей сходятся (в подходящем смысле) к решению предельной задачи в неперфорированной области; получена оценка скорости сходимости, полиномиальная по малому параметру; доказано, что при значениях показателя нелинейности, превышающих определенную критическую величину, и при достаточно быстром убывании размеров полостей одновременно с увеличением их количества достигается сходимость к предельному решению почти всюду в области;

2) при п > 3, а > 1 установлены условия сходимости к нулю интегрального выражения, включающего разность предельного решения и решений в перфорированных областях, а также градиент этой разности;

3) в случае п > 2 и сг € (0,1) установлен эффект локализации носителя: ограниченное решение задачи Зарембы обращается в нуль на достаточном удалении от той части границы области, где краевое условие неоднородно; получена оценка на размер зоны локализации;

4) для случая задачи в перфорированной области с однородным условием Дирихле па внешней границе при п > 3 и а € (0,1) получена уточненная оценка на размер зоны локализации.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ [1-7], список которых приведен в конце- автореферата.. Статьи [1-3] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация. Результаты работы докладывались па заседаниях семинара «Качественная теория уравнении в частных производных» кафедры дифференциальных уравнении механико-математического факультета

МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф. В.А.Кондратьева и проф. Е. В. Радкег.ича, а также под руководством проф. В. В. Жикова, проф. Е. В. Радкевича, проф. А. С. Шамаева; на семинаре «Методы решения задач математической физики» Федерального государственного бюджетного учреждения пауки Вычислительного центра им. А. А. Дородницына. Российской академии наук под руководством проф. А. А. Абрамова, проф. В.И.Власова, проф. Б. В. Пальцева; па семинаре отдела математической физики Математического института, им. В. А.Стеклова РАН под руководством проф. А. К. Гущина и проф. В. П. Михайлова; па Международной конференции «Fourth Arbeitstagung of the Second Series» (Bonn, 1999); на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» им. И.Г.Петровского (Москва, 2011 г.); на Международной молодёжной конференции — школе «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (Дубна. 2012 г.); на Третьей международной конференции «Математическая физика и сё приложения» (Самара, 2012 г.).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут представлять интерес для специалистов в области квазилинейных уравнений математической физики и теории осреднения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит нз введения, двух глав и списка литературы. Общим объем работы составляет 99 страниц, из которых 85 страниц занимает текст диссертации. Список литературы включает 99 наименовании и занимает 11 страниц.

Обзор содержания диссертации

В диссертации рассматриваются краевые задачи для квазилинейного уравнения вида

t,j=l х 3 '

в строго липпшцсвой ограниченной области О и её подобластях, где О < а 1 — показатель нелимйноспш, а(х) >0 — измеримая функция. При этом старшая часть уравнения является равномерно эллиптическим оператором с коэффициентами Oy- G L^Cl).

Во введении к диссертации отмечена актуальность тематики, ука,-заны цели работы и кратко изложено ее содержание. Кроме того, приведен список основных обозначений, даны определения ряда функциональных пространств, используемых г. диссертации, а также сформулированы некоторые известные факты теории обобщенных решений класса W2l(f2) эллиптических краевых задач, такие как принцип максимума и принцип сравнения.

Первая глава посвящена задаче Дирихле для уравнения (2) в областях, содержащих шаровые полости, в случае, когда коэффициент а(х) отделен от пуля: а(х) > Oq = const > 0. Результаты данной главы вытекают из качественных свойств решении, установленных В. А. Кондратьевым и Е. М. Ланднсом20. а также опираются па двусторонние оценки положительного фундаментального решения равномерно эллиптического оператора второго порядка21.

В параграфе 1 главы I изучаются свойства решений задачи Дирихле в области, имеющей форму единичного куба, в п мерном евклидовом пространстве (п > 2) с единственной шаровой полостью, лежащей внутри куба. Предполагается, что на гранях куба задано однородное условие

~"В. Л I\<tiLi![utmi,< ti. Е. M. JltmOuc О качостиошплх г №iim:,i\ peniomiii одного псдиисГпюго урапнепня второго порядка / ' Матсм. сборник. 1935. Т. 130(177). .V'Л. Ci.34Г>-300.

_1H'. Littmann. G. Stampacchin, II. F. Weinbcrqer Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients / Ann. Scuola Nona. Sup. Tisa (3). 19ПЗ. V 17, no. 1-2. P.43-77.

Дирихле., а па границе, полости— неоднородное, краевое условие. Основными результатами параграфа являются:

1) найденные достаточные условия наличия у решения «мёртвой зоны» при a G (0,1) и установленные оценки размера носителя решения;

2) доказанная сходимость решений к пулю при стремлении размера шаровой полости к пулю в случае, когда п > 3 и а > п/(п — 2), а также установленная оценка, скорости сходимости.

Эффект «мёртвой зоны», возникающий при <т € (0,1), заключается в том, что если решение на. границе полости не. превышает по модулю константы M > 0, то оно обращается в пуль в тех точках, которые удалены от полости более, чем на величину {М/с{)~. Здесь Ci — некоторая константа, зависящая только от коэффициентов уравнения и от показателя с. Если п > 3, то оценка на размер зоны локализации решения может быть улучшена: при достаточно больших значениях M этот размер не превосходит величины, пропорциональной М1. где

1 -а 1 -а

7 ~ п - (п - 2) а < 2

В случае п > 3, сг > п/(п — 2) рассматривается семейство задач, параметризованное числом е —»■ 0, в кубе с шаровой полостью переменного радиуса Re, имеющей центр в фиксированной точке. Показано, что если размер полости убывает достаточно быстро:

Rc = о(е7) при е 0, где 7 = -—-, (3)

(п — ¿) а — п

то супремум модуля решения по внешности шара радиуса := концентрического с полостью, стремится к пулю при любом do > 0. Отметим, что величина Ме, ограничивающая решение на границе полости для заданного может расти при е —> 0 неограниченно быстро.

Параграф 2 главы I посвящен задаче осреднения решений уравнения (2) в областях Q£, получаемых из области Î2 общего вида выбрасыванием конечного числа m шаровых полостей одинакового малого радиуса.

Предполагается, что выполнены неравенства

п

п > 3, а >

п-2

Параметр е —> 0 связан с m соотношением £ = m-1. Одновременно с неограниченным ростом количества полостей согласованным образом уменьшаются их размеры. В частности, общий объем полостей стремится к пулю. На внешней границе; diî задано условие Дирихле щ = <р < 0. одинаковое для всех значении е. а па границе полостей задало некоторое условие Дирихле ие = <ре > 0, зависящие от е. Доказало, что в этом случае обобщенные решения ие в перфорированных областях fi£ сходятся при выполнении условия (3) к решению и(х) в области fi с краевым условием и = ip на ЗП в следующем смысле: супремум величины и€ — и > 0 по внешности объединения шаров фиксированного радиуса do, концентрических с полостями, стремится к нулю при любом do > 0. Отметим, что зто влечёт равномерную сходимость на каждом компакте Е С fi, содержащемся во всех областях Î2e вместе с некоторой своей окрестностью. В том случае, когда ip = 0. а для радиусов Rc выполняется условие

Rc = О (О при £ 0, где 7 >

более сильное, чем (3), установлена интегральная сходимость иЕ к нулю вместе с градиентами:

<+1 + IVtfe

/ 1 + Ue

■ dx —► 0 при e —» 0,

где П2*. — множество, полученное из П исключением, шаров радиуса (2^), концентрических с полостями.

Во второй главе изучаются задачи Дирихле и Зарембы для уравнения (2) в областях, содержащих полости одинаковой цилиндрической формы (под цилиндром радиуса И понимается Е окрестность некоторого аффинного подпространства. К", не обязательно одномерного, пса цилиндра). Коэффициент а{х) может иметь изолированный пуль

порядка s > 0 в некоторой точке из il, принимаемой па начало координат: а(х) > оо |а;|5. где ао = const > 0.

В параграфе 1 главы II установлены общие свойства решений рассматриваемых краевых задач: разрешимость задач Дирихле и Зарембы в подходящем классе функции, вариационный принцип, условия непрерывности решения но Гёльдеру вплоть до границы области, возможность аппроксимации обобщенного решения уравнения с измеримыми коэффициентами решениями уравнений того же вида с бесконечно гладкими коэффициентами.

Задача Зарембы в области il С R", п > 2 имеет следующий вид:

где. ау = ац € ¿«¡(Я), а(х) — положительная в П измеримая функция, 0 / Г С дО. -- замкнутое подмножество, £ М^1 (Г2) П Ьоо(0), п — единичный вектор внешней нормали к дО.. Если Г — д£1, то задача (4) является задачей Дирихле. Условия разреши мости задач Зарембы и Дирихле даются следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть выполнено по крайней мере одно т условий:

1) Г = дО. (задачи Дирихле);

2) область П литшщсаа, при этом (о(х)-1^) € Ь\{р,).

Тогда для щюи.то.-п,на?о € И^П) П ¿оо(^) существует единственное решение и € ^(П) П Ьоо(П) задан/и. (4).

Решение задачи (1) строится методом приближений Галёркина. Доказательство сходимости приближений опирается па свойства коэрцитнв-иости и слабой компактности нелинейного оператора, соответствующего краевой задаче22.

-2Ю. А. ДцПиискии Не.пшеппие эллиптические и параГюличеекне уравнения // Итоги пауки и техн. Сер. Соврем, проГ.л, мат. ВИНИТИ. 1070. Т.О. С. 5-1.10.

u = tp на Г,

(4)

В параграфе 2 главы II получен ряд вспомогательных результатов, а также сформулированы некоторые известные свойства гладких функций, в том числе — интегральная теорема о среднем и теорема Морса. Используемые в первой главе теоремы В. А. Кондратьева, Е. М.Ландиса о поведешш решений уравнения в областях, лежащих внутри шара, обобщены па. случай, когда на части границы выполняются условия Неймана., а коэффициент а(х) имеет изолированный нуль порядка s. Показано, что если решение, задачи Дирихле г. области Лй := Q \ BR, имеющей т цилиндрических полостей радиуса R с осями Yk коразмерности п' > 3. удовлетворяет однородному краевому условию на dil, то при 1бП: dist (а:, иУ^) > R выполняется оценка

к*)| (5)

где уб зависит только от п,п' и от константы эллиптичности А, число М ограничивает сверху модуль решения и(х) на дПа (а следовательно, и во всей области Г2Й). В случае а > 1, а(х) = Oq ]cc|s доказана аналогичная оценка с правой частью, не зависящей от М. В этих предположениях при х € f2: dist (х, UY)c) > 2R верно неравенство

|u(i)|<Am (дп'-з»'-»/^-!)) dist (х, UYk)2~n',

где а' := а/(а — 1), /?2 зависит от п, п', А, <т, s, ао.

В параграфе 3 главы II докапаны теоремы о локализации и сходимости решений, составляющие основные результаты диссертации.

Теорема 2. Пусти и € П Lx{Vl) — обобщенное решение зада-

чи (4) в строго липшицевой области Л С К", п > 2, причем, а 6 (0,1), а(х) > а0 |a;|s о Л. а0 = const > 0, 0 < s < an, tp 6 И^(Л) П £,ТО(Л), и выполняется оценка \tp\ < М = const > 0 па Г. Пусть Г0 С Г — такое замкнутое подмноже.етпо. что <р = 0 па Го- Положим

Гг := Г2 := Ш\Т П Г0.

Тогда существует число С\, зависящее только от п, a, s. ад и от константы эллиптичности. А, что и = 0 в fii, где

fil :

Для случая задачи Дирихле в цилиндрически перфорированной области с однородным условием па внешней границе размер зоны локализации решения допускает другую оценку, которая при достаточно малых значениях радиуса полостей и больших значениях М может оказаться более сильной, чем в теореме 2.

Теорема 3. Пусть п > 3 и выполнены условия теоремы 2. Пусть {У*} — конечное, множество (к — 1,...,тп) аффинных подпространств в М" кораз.м.ериости п' > 3. Обозначим, через объединение замкнутых цилиндров радиуса Я с осями. У^. Предположим, что для. некоторого Я > 0 выполняются следующие, соотношения:

Тогда существует число dx > 0, зависящие от п,п', Х,а,ац, s. но не от. Я, тп, M такое, что если, выполнено условие

Перейдем к формулировке результатов об осреднении задачи Дирихле. Пусть fi С К" — ограниченная строго лнпшицепа область, п > 3, Пе := fi \ Ве — последовательность цилиндрически перфорированных областей, где Ве — объединение конечного числа, m = m(e) = е-1 цилиндров одинакового радиуса. Яе с осями Уе,к коразмерности п' > 3. Величина £ рассматривается в качестве параметра, Яе —» 0 при £ —> 0.

Г1 С (дп П BR) с г = дп.

тМ > с[

то и = 0 на множестве Щ :=(l\ Bd. где

Рассмотрим обобщенные решения следующих задач:

и = tp па дП,

где а > 1, и, ip е П L^Q). а(х) > а0 |i|s. а0 = const > 0, s > О,

i,j=l

ICT-1

uF = 0 г. iî£

v.c = (pE на dfle,

где u£, ipe 6 W}(ne) П Loo(^e), 4>c = Ч> на dSl П

В теоремах 4 —G, сформулирог.аппых ниже, предполагается выполнение следующего условия:

n' + s с > —,—х-

п —2

В этом случае справедливо неравенство

<7-1

(G)

Ъ :=

> 0.

1 ' (п' - 2) <7 - (п' + s)

Через ilf обозначается подмножество Пе. лежащее вне замкнутых цилиндров радиуса R > Re с осями У^/ь

Теорема 4. Пусть выполняется условие. (G). •тела 7 > 7S, v > 0, q > 0 удовлетворяют следующему равенству:

v+ (n'-2)q = 7/7»-'1-

Допустим., что Д, = 0(е7). ~ ¿о £' »/'" £ 0- do = const > 0. Тогда выполняется соотношение

sup \ие — = 0(£") при е> 0.

Теорема 5. Пусть выполняется, условие (G). кроме того Rg = о(е7) при е 0, 7 > 7s, ds ~ d0£4" при. в -* 0. где qs := (7/7^ - 1)/(гг' - 2), do = const > 0. Тогда

sup Iщ — ii| —» 0 при е —> 0. Ш'

Следствие. Если, ныполиепы условия теоремы. 5. и компактное, подмножество Е С Г2 вместе е некоторой своей окрестностью лежит в 0,с при. всех достаточно малых е. то ие —> и равномерно на Е.

Теорема 6. Пусть выполнено (С), Яс = 0(е7) при е —> 0, где

7 > (3 - 4/п') у,-

Доопределим иЕ в П\Ое произвольным обрамм. Тогда иси при, е —> О почти. всюду в П. и. соотношение

|«£(а;) — и(:г)| = при е —¥ О,

выполнено для почти, всех х 6 П, VI/ 6 (0 , 'у/ъ — 3 + 4/п').

Следующая теорема описывает интегральную сходимость решений вместе с градиентами к решению предельной задачи.

Теорема 7. Допустим,, что выполняются условия,

, п п'

-а >

п + s п' — 2 '

_Y

Re = 0(е7) при. е —> 0, где. у >

(п' — 2) а' — п'

Полом'и M

Зафиксируем числа So > 0 и Ц > 0 такие, что 7 < fi < и. пусть S£ ~ So repu £ —0. Тогда выполнено соотношение

--г (|V(ue - u)|2 + а(х) |ue - u|ff+1) dx = о(e") при. e 0

1 + ыЕ — u

/

о1дя. некоторого v > 0.

Положения диссертации, выносимые на защиту

1. Установлены достаточные условия возникновения эффекта «мёртвой зоны» для решении полулинейных эллиптических уравнений с измеримыми коэффициентами, обладающих равномерно эллиптической главной частью и имеющих в младшем члене степенную нелинейность с положительным показателем, меньшим единицы.

2. Получены оценки размера зоны локализации решения при возникновении «мёртвой зоны» для задачи Зарембы в строго лнпшицевой области и для задачи Дирихле в области с шаровыми или цилиндрическими полостями.

3. Найдены условия сходимости решений полулинейного эллиптического уравнения с показателем нелинейности, большим единицы, в областях из семейства цилиндрически перфорированных областей с общей «внешней» границей, на которой заданы фиксированные условия Дирихле, к решению предельной задачи в пеперфорировапной области при согласованном стремлении к нулю размеров полостей одновременно с. неограниченным ростом их количества. Получены оценки скорости сходимости решений к предельной функции, а также условия интегральной сходимости решений вместе с градиентами.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю к.ф.-м.н. Овику Амаяковпчу Ма.тевосяну за постановку задач и внимание к работе.

Список публикаций по теме диссертации

1. Матсмосян О. А., Пикулии С. В. Об усреднении елабонелииейных дивергентных эллиптических операторов в перфорированном кубе V Математические заметки. 2000. Т. 08, Л*3. С. 390-398.

2. Матехтсяи О. А.. Пикулии С. В. Об усреднении полулинейных эллиптических операторов в перфорированных областях / / Математический сборник. 2002. Т. 193, №3. С. 101-111.

3. Pi.hdiH S. V. Behavior of solutions of semiliiieav elliptic equations in domains with complicated boundary / / Russian Journal of Math. Physics. 2012. Vol. 19, no. 3. P. 401-401.

4. Матсвпсян О. .4.. Пикулии, С. В. Усреднение решений эллиптических операторов с нелинейным поглощением в перфорировать областях. Препринт МГУ им. М. В. Ломоносова, 27 страниц. Москва: МАКС Пресс, 2000.

5. Matevossian II. A., Pikouline S. V. The homogenization of solutions of elliptic differential operators with weak lionlinearity in perforated domains. // Proceedings of the Mathematische Arbeitsfcagung on the «Fourth Arbeitstagungof the Second Series» (Bonn, June 18 — 24,1999). Bonn: Max-PUmck-Instit,ut fur Mathe.ma.tik, 1999. P. 425.

G. Пикулии, С. В. Локализация носителя и усреднение решений полулинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях // «Математическая физика и ее приложения». Третья международная конференция (Самара., 27 августа. — 1 сентября 2012 г.). Материалы конференции. Самара: СамГТУ, 2012. С. 232-233.

7. Пикулии. С. В. Осреднение решений некоторых квазилинейных эллиптических уравнений и эффект «мертвой зоны» «Современные проблемы прикладной математики и информатики». Международная молодежная конференция — школа (Дубна, 22 -27 августа 2012 г.). Те:¡псы докладов. Дубна: ОИЯИ, 2012. С. 1G1-1G3.

Объем: 1,5усл.п.л. Подписано в печать: 17.12.2012 Тираж: 100 экз. Заказ № 9369 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, ул. Ленинский проспект, д. 2 (495) 978-66-63; www.reglet.ru

Введение

0.1. Общая характеристика работы.

0.2. Обзор содержания диссертации.

0.3. Основные обозначения.

0.4. Основные определения и некоторые известные факты.

I Сферически перфорированные области

§ 1 Задачи в перфорированном кубе.

1.1. Локализация носителя решения.

1.2. Сходимость решений.

§ 2 Осреднение задачи с неоднородным краевым условием.

2.1. Сходимость решений.

2.2. Интегральная сходимость градиентов.

II Цилиндрически перфорированные области

§ 1 Свойства решений.

1.1. Функциональные пространства.

1.2. Разрешимость задач Дирихле и Зарембы.

1.3. Вариационный принцип и ограниченные решения.

1.4. Аппроксимация обобщенных решений.

§ 2 Вспомогательные результаты.

2.1. Свойства меры с плотностью |х|р.

2.2. Некоторые свойства гладких функций и классических решений.

2.3. Оценка решения в центре шара при о > 1.

2.4. Обнуление решения в центре шара при а < 1.

2.5. Оценки решений задачи Дирихле.

§ 3 Теоремы о локализации и сходимости.

3.1. Локализация носителя.

3.2. Сходимость решений.

3.3. Интегральная сходимость решений вместе с градиентами.

0.1. Общая характеристика работы. Диссертация посвящена изучению свойств решений квазилинейных уравнений второго порядка с равномерно эллиптической главной частью в перфорированных областях.

Примером такого уравнения является следующий аналог стационарного уравнения Фуджиты (х £ Мп):

Агь — |гг|ст signw = 0, 0 < <т ^ 1, s > 0. (0.1)

Для уравнений данного вида рассматриваются краевые задачи Дирихле и Зарембы в ограниченных липшицевых областях ГI, содержащих конечное число одинаковых полостей шаровой или цилиндрической формы. Решения указанных задач в классе W^fi) П L^Ct) понимаются в обобщенном смысле. Известно [61], что для функций из И^О) в липшицевой области О, определены их следы на dQ, принадлежащие пространству W^idSÍ). Исходя из этого, краевые условия типа Дирихле, отвечающие функциям класса W^2(dCí) ПЬоо^дй), задаются в виде следов функций класса W^Q) HL^Q), определенных во всей области.

Поведение решений краевых задач такого вида имеет ряд особенностей, не возникающих в линейном случае; в частности:

1) при a G (0,1) и выполнении однородного условия Дирихле или Неймана на «внешней» границе области носитель ограниченного решения локализован в окрестности полостей, размер которой зависит от входных данных (эффект локализации носителя);

2) при достаточно больших а > 1 и достаточно быстром стремлении размеров полостей к нулю одновременно с ростом их количества при фиксированном условии Дирихле на внешней границе наблюдается сходимость решений к решению предельной задачи в неперфорированной области; при этом предельная задача не зависит от краевых условий на границах полостей.

Актуальность темы. Полулинейные уравнения в частных производных эллиптического типа с измеримыми коэффициентами активно изучались многими авторами. В.А.Кондратьев и Е. М.Ландис [23, 22] установили ряд качественных свойств решений таких уравнений. В работах O.A. Олейник и В.А.Кондратьева [73, 74, 18, 17, 19, 20] изучено поведение решений полулинейных уравнений в (полу)бесконечном цилиндре с условием Неймана на боковой поверхности цилиндра. Вопросы существования решений и их асимптотического поведения в цилиндрических областях изучались в работах Ю.В.Егорова, В.А.Кондратьева, О.А.Олейник [И, 12] и др. В статье Ю.В.Егорова, В.А.Кондратьева [71] рассмотрена задача с нелинейным граничным условием. Свойства решений квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в неограниченных областях изучались в работах А.А.Конькова [24, 25, 26, 27]. В связи с эффектом локализации носителя следует отметить теоремы о компактности носителя решения некоторых нелинейных неравенств в неограниченной области [26].

Исследованию разрешимости уравнений со степенной нелинейностью и изучению свойств их решений в случае оператора Лапласа в главной части посвящена обширная литература: [72, 87, 97, 65, 99, 98, 75]; уравнения более общего вида изучались в работах [79, 63, 47, 86, 78, 77].

Теории осреднения линейных уравнений посвящено большое количество статей и монографий, в частности: [32, 62, 2, 49, 68, 39, 13, 86]. Осреднением квазилинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях и областях с каналами занимался И. В. Скрыпник [50, 51, 52, 53]. Задачи осреднения для эллиптических и параболических операторов в различных постановках изучались также работах Г. А. Чечкина [56], Т. А. Шапошниковой [60], А. С. Шамаева [59] и других авторов. Как правило, в задачах осреднения накладываются определенные ограничения на входные данные, например: близость полостей к некоторому многообразию [31, 81], периодичность коэффициентов [62], периодичность расположения полостей [2, 40] или другие условия [91]. Также обычно задачи осреднения включают в себя те или иные краевые условия на границах полостей, такие как условие Неймана [15], Дирихле [86], или условия различных типов на разных участках границы [3, 67]. Использование в диссертации методов теории устранения особенностей [94, 95, 96, 54, 55], а также качественной теории линейных [29, 4, 30] и полулинейных [22, 23, 21] эллиптических уравнений, позволяет не делать в задачах осреднения дополнительных предположений о поведении решений на границах полостей, о периодичности коэффициентов, либо об упорядоченности расположения полостей внутри области.

В работах Е.П.Долженко [7, 8, 9], Л.Карлесона [66], А.В.Покровского [43, 44, 45, 46] и других авторов доказан ряд критериев устранимости замкнутого множества для эллиптических уравнений в терминах хаусдорфовой меры этого множества. Теоремы об осреднении настоящей работы являются некоторыми аналогами таких критериев. При этом условиям типа равенства нулю хаусдорфовой меры в теории устранения особенностей соответствуют условия на скорость убывания размеров полостей. Некоторые результаты диссертации имеют аналоги в теории полулинейных параболических уравнений [58, 36, 37].

Теоремы о существовании «мёртвой зоны», то есть такого подмножества (положительной меры), на котором решение уравнения обращается в нуль, известны для квазилинейных эллиптических [70, 76, 89, 1, 90] и параболических [57, 6] уравнений. Для нелинейных параболических задач известен также эффект пространственной локализации возмущения [48].

Целью диссертационной работы является:

1) изучение свойств решений квазилинейных уравнений второго порядка с равномерно эллиптической главной частью и нелинейным членом, зависящим от неизвестной функции степенным образом, в областях со сферической и цилиндрической перфорацией методами теории устранения особенностей и качественной теории квазилинейных уравнений;

2) исследование задачи осреднения для полулинейных эллиптических уравнений в областях, содержащих полости шаровой или цилиндрической формы;

3) изучение эффекта локализации носителя решения краевых задач Зарембы и Дирихле для полулинейных эллиптических уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) для п > 3 и достаточно больших значений показателя нелинейности и > 1 найдены условия, при которых решения задачи Дирихле в последовательности перфорированных областей сходятся (в подходящем смысле) к решению предельной задачи в неперфорированной области; получена оценка скорости сходимости, полиномиальная по малому параметру; доказано, что при значениях показателя нелинейности, превышающих определенную критическую величину, и при достаточно быстром убывании размеров полостей одновременно с увеличением их количества достигается сходимость к предельному решению почти всюду в области;

2) при п > 3, а > 1 установлены условия сходимости к нулю интегрального выражения, включающего разность предельного решения и решений в перфорированных областях, а также градиент этой разности;

3) в случае п > 2 и а € (0,1) установлен эффект локализации носителя: ограниченное решение задачи Зарембы обращается в нуль на достаточном удалении от той части границы области, где краевое условие неоднородно; получена оценка на размер зоны локализации;

4) для случая задачи в перфорированной области с однородным условием Дирихле на внешней границе при п > 3 и (7 6 (0,1) получена уточненная оценка на размер зоны локализации.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Публикации. Опубликовано 7 работ [88, 35, 33, 34, 82, 41, 42] по теме диссертации, из которых 3 — в источниках, рекомендованных ВАК.

Апробация. Результаты работы докладывались на заседаниях семинара «Качественная теория уравнений в частных производных» кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф. В.А.Кондратьева и проф. Е. В. Радкевича, а также под руководством проф. В.В.Жикова, проф. Е. В. Радкевича, проф. А. С. Шамаева; на семинаре «Методы решения задач математической физики» Федерального государственного бюджетного учреждения науки Вычислительного центра им. А.А.Дородницына Российской академии наук под руководством проф. А. А. Абрамова, проф. В.И.Власова, проф. Б.В.Пальцева; на семинаре отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН под руководством проф. А. К. Гущина и проф. В. П. Михайлова; на Международной конференции «Fourth Arbeitstagung of the Second Series» (Bonn, 1999); на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» им. И.Г.Петровского (Москва, 2011 г.); на Международной молодёжной конференции — школе «Современные проблемы прикладной математики и информатики» (Дубна, 2012 г.); на Третьей международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Самара, 2012 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы и пункты.

1. Антонцев С. Н., Шмарев С. И. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 5. С. 963-984.

2. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Москва: Наука, 1984.

3. Гадылынин Р. Р., Чечкин Г. А. Краевая задача для лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, № 2. С. 271-287.

4. Гервер М. Л., Ландис Е. М. Одно обобщение теоремы о среднем для функций многих переменных // ДАН СССР. 1962. Т. 146, № 4. С. 761764.

5. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка. Москва: Наука, 1989.

6. Глаголева Р. Я. Достаточное условие существования "мертвой зоны" у решений вырождающихся полулинейных параболических уравнений и неравенств // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 6. С. 824-831.

7. Долженко Е. П. О «стирании» особенностей аналитических функций // УМН. 1963. Т. 18, № 4(112). С. 135-142.

8. Долженко Е. П. О представлении непрерывных гармонических функций в виде потенциалов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 5. С. 1113-1130.

9. Долженко Е. П. Об особых точках непрерывных гармонических функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 6. С. 12511270.

10. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. ВИНИТИ. 1976. Т. 9. С. 5-130.

11. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. Об одной проблеме О.А.Олейник // УМН. 1997. Т. 52, № 318. С. 159-160.

12. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 3. С. 45-68.

13. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: Физматлит, 1993.

14. Заремба С. Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа // Успехи мат. наук. 1946. Т. 1, № 3-4(13-14). С. 125-146.

15. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1981.

16. Кондратьев В. А. О некоторых нелинейных краевых задач в цилиндрических областях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1996. Т. 19. С. 235-261.

17. Кондратьев В. А. О решениях нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрических областях / / Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2, № 3. С. 863-874.

18. Кондратьев В. А. О положительных решениях слабо нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей / Тр. МИАН, 250. Москва: Наука, 2005. С. 183-191.

19. Кондратьев В. А. Об асимптотичесикх свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 2006. Т. 25. С. 98-111.

20. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Матем. сборник. 1988. Т. 135(177), № 3. С. 346-360.

21. Кондратьев В. А., Ландис Е. М. Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. заметки. 1988. Т. 44, № 4. С. 457-468.

22. Коньков А. А. О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 1. С. 30-39.

23. Коньков A. A. Positive Solutions of Nonlinear Second-Order Elliptic Inequalities in Unbounded Domains // Russian J. Math. Phys. 1997. Vol. 5, no. 1. P. 119-122.

24. Коньков А. А. О решениях квазилинейных эллиптических неравенств, обращающихся в нуль в окрестности бесконечности // Матем. заметки. 2000. Т. 67, № 1. С. 153-156.

25. Коньков А. А. Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств // Уравнения в частных производных, СМФН, Москва: МАИ. 2004. Т. 7. С. 3-158.

26. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Москва: Наука, 1973.

27. Ландис Е. М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных) // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, № 1(109). С. 3-62.

28. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. Москва: Наука, 1971.

29. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи с мелкозернистой границей // Матем. сб. 1964. Т. 65 (107), № 3. С. 458-472.

30. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

31. Матевосян О. А., Пикулин С. В. Об усреднении слабонелинейных дивергентных эллиптических операторов в перфорированном кубе // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 3. С. 390-398.

32. Матевосян О. А., Пикулин С. В. Усреднение решений эллиптических операторов с нелинейным поглощением в перфорированнх областях.Препринт МГУ им. М. В. Ломоносова, 27 страниц. Москва: МАКС Пресс, 2000.

33. Матевосян О. А., Пикулин С. В. Об усреднении полулинейных эллиптических операторов в перфорированных областях // Матем. сборник. 2002. Т. 193, № 3. С. 101-114.

34. Матевосян О. А., Филимонова И. В. Об усреднении полулинейных параболических операторов в перфорированном цилиндре // Матем. заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 396-408.

35. Матевосян О. А., Филимонова И. В. Об усреднении слабо-нелинейных параболических операторов в перфорированном цилиндре // Изв. вузов. Матем. 2005. Т. 193, № 9. С. 29-37.

36. Натанзон И. П. Теория функций вещественного переменного. Москва: Наука, 1974.

37. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Издательство МГУ, 1990.

38. Олейник О. А., Шамаев А. С. Некоторые задачи усреднения в механике композиционных материалов и пористых сред. Киев: Наукова думка, 1986. С. 185-190.

39. Покровский А. В. Устранимые особенности решений дивергентных эллиптических уравнений второго порядка // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 3. С. 424-433.

40. Покровский А. В. Устранимые особенности решений уравнения минимальных поверхностей // Функц. анализ и его прил. 2005. Т. 39, № 4. С. 62-68.

41. Покровский А. В. Устранимые особенности решений нелинейных эллиптических уравнений // УМН. 2007. Т. 62, № 3(375). С. 215-216.

42. Покровский А. В. Устранимые особенности решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка // Функц. анализ и его прил. 2008. Т. 42, № 2. С. 44-55.

43. Похожаев С. И. Об эллиптических задачах с суперкритическим показателем нелинейности // Матем. сб. 1991. Т. 182, № 4. С. 467-489.

44. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. Москва: Наука, 1987.

45. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. Москва: Мир, 1984.

46. Скрыпник И. В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнении // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. 1976. Т. 9. С. 131-254.

47. Скрыпник И. В. Усреденение квазилинейных эллиптических задач в перфорированных областях // Успехи мат. наук. 1985. Т. 244, № 40:4. С. 197-198.

48. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. Москва: Наука, 1990.

49. Скрыпник И. В. Асимптотика решений нелинейных эллиптических задач в перфорированных областях // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 10. С. 6790.

50. Туваев М. В. Устранимые особые множества для уравнений видаМатем. заметки. 1992. Т. 52, № 3. С. 146153.

51. Туваев М. В. Усреднение решений эллиптического уравнения с нелинейным поглощением в перфорированной области // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 6. С. 846-847.

52. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 6. С. 99-150.

53. Чистяков В. В. О некоторых качественных свойствах решений недивергентного полулинейного параболического уравнения второго порядка // УМН. 1986. Т. 41, № 5(251). С. 199-200.

54. Чистяков В. В. О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1991. Т. 15. С. 70-107.

55. Шамаев А. С. Осреднение решений и собственных значений краевых задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях // УМН. 1982. Т. 37, № 2(224). С. 243-244.

56. Шапошникова Т. А. Об усреднении некторых краевых задач в областях, содержащих тонкие каналы // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2004. Т. 24. С. 324-340.

57. Adams R. Sobolev Spaces. New York: Academic Press, 1975.

58. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.

59. Brezis H. Semilinear equation in M.N without condition at infinity // Appl. Math. Optim. 1984. Vol. 12. P. 271-282.

60. Brezis H., Browder F. Strongly nonlinear elliptic boundary-value problems // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sc. 1978. Vol. 5. P. 587-603.

61. Brezis H., Veron L. Removable singularities for some nonlinear elliptic equations // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1980. Vol. 75, no. 1. P. 1-6.

62. Carleson L. Removable singularities for continuous harmonic functions in Rn // Math. Scand. 1963. Vol. 12. P. 15-18.

63. Chechkin G. A., Gadyl'shin R. R. On boundary-value problems for the laplacian in bounded and in unbounded domains with perforated boundaries // Journal of Differential Equations. 2005. Vol. 216, no. 2. P. 502522.

64. Damlamian A., Li Ta-Tsien. Boundary homogenization for elliptic problems // J. Math. Pures Appl. 1987. Vol. 66, no. 9. P. 351-361.

65. De Giorgi E. Sulla differentiabilita e l'analiticita delle estremali degli integrali multipli regolari // Mem. Acad. Sci. Torino. 1957. Vol. III, no. 1-2. P. 25-43.

66. Diaz J.I. Nonlinear partial differential equations and free boundaries. Vol. 1: Elliptic equations. Research Notes in Mathematics, Vol 106. Boston: Pitman, 1985.

67. Keller J. В. On solutions of Au = f(u) // Comm. Pure Appl. Math. 1957. Vol. 10, no. 4. P. 503-510.

68. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. Some results for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains // Operator Theory: Advances and Applications. 1992. Vol. 57. P. 185-194.

69. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains // J. Partial Diff. Equ. 1993. no. 1. P. 10-16.

70. Kuzin I., Pohozaev S. Entire Solutions of Semilinear Elliptic Equations. Birkhauser, 1997.

71. Landis E. M. Some properties of the solution of degenerating semilinear elliptic inequalities // Russian J. Math. Phys. 1993. Vol. 1, no. 4. P. 483-494.

72. Laptev G. I. Solvability of quasilinear elliptic second order differential equations in Rn without condition at infinity // Adv. Math. Research. 2003. Vol. 4. P. 1-18.

73. Leoni F. Nonlinear elliptic equations in Rn with „absorbing" zero order terms // Adv. Differential Equations. 2000. Vol. 5, no. 4-5. P. 681-722.

74. Levine H. A., Paine L. E. On the nonexistence of entire solutions to nonlinear second order elliptic equations // SIAM. J. Math. Anal. 1956. Vol. 7, no. 3. P. 337.

75. Littmann W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). 1963. Vol. 17, no. 1-2. P. 43-77.

76. Lobo M., Oleinik O. A., Pérez M. E., Shaposhnikova T. A. On Homogenization of Solutions of Boundary Value Problems in Domains, Perforated along Manifolds // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa CI. Sei. (4). 1997. Vol. 25, no. 3-4. P. 611-629.

77. Morse A. P. The Behavior of a Function on Its Critical Set // Annals of Mathematics Second Series. 1939. Vol. 40, no. 1. P. 62-70.

78. Moser J. A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1960. Vol. 13. P. 457-468.

79. Nash J. Continuity of the solutions of parabbolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. Vol. 80. P. 931-954.

80. Oleinik O. A. Some Asymptotic Problems in the Theory of Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1996.

81. Osserman R. On the inequality An > f(u) // Pacific J. Math. 1957. Vol. 7, no. 4. P. 1641-1647.

82. Pikulin S. V. Behavior of solutions of semilinear elliptic equations in domains with complicated boundary // Russian J. Math. Physics. 2012. Vol. 19, no. 3. P. 401-404.

83. Pucci P., Serrin J. The strong maximum principle revisited //J. Differential Equations. 2004. Vol. 196. P. 1-66.

84. Pucci P., Serrin J. Dead cores and bursts for quasilinear singular elliptic equations // SIAM J. Math. Anal. 2006. Vol. 38. P. 259-278.

85. Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps // Bull. Amer. Math. Soc. 1942. Vol. 48. P. 883-890.

86. Stampacchia G. Le problème de Dirichlet pour les équations elliptique second ordre à coefficients discontinus // Ann. Inst. Fourier. 1965. Vol. 15, no. 1. P. 189-257.

87. Vasquez J. L., Véron L. Removabale Singularities of Strongly Nonlinear Elliptic Equations // Manuscripta Math. 1980/81. Vol. 33. P. 129-144.

88. Vasquez J. L., Véron L. Singularities of elliptic equations with an exponential nonlinearity // Math. Anal. 1984. Vol. 269. P. 119-135.

89. Vasquez J. L., Véron L. Isolated singularities of some semilinear elliptic equations // Journal of Diff. Equations. 1985. Vol. 60. P. 301-322.

90. Véron L. Solutions singulière d'équations elliptiques semilineaires // C. R. Acad. Sci. 1979. Vol. 288, Ser. A. P. 867-869.

91. Véron L. Comportement asymptotique des solutions d'équations elliptique semi-lineaires dans R^ // Ann. Mat. Pura Appl. 1981. Vol. 127. P. 25-50.

92. Véron L. Singular solutions of some nonlinear elliptic equations // Nonlinear Analysis Theory, Methods and Appl. 1981. Vol. 5, no. 3. P. 225-242.