Зависимость критических степеней некоэрцитивных краевых задач от граничных условий

Володин, Юрий Владимирович

Зависимость критических степеней некоэрцитивных краевых задач от граничных условий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Володин, Юрий Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Зависимость критических степеней некоэрцитивных краевых задач от граничных условий»

Автореферат диссертации на тему "Зависимость критических степеней некоэрцитивных краевых задач от граничных условий"

003458975

На правах рукописи

Володин Юрий Владимирович

ЗАВИСИМОСТЬ КРИТИЧЕСКИХ СТЕПЕНЕЙ НЕКОЭРЦИТИВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ОТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Специальность 01.01.02 — "Дифференциальные уравнения"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

003458975

Работа выполнена в Российском государственном социальном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Лаптев Геннадий Иванович,

Российский государственный социальный университет

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Коньков Андрей Александрович,

Московский государственный университет,

кандидат физико-математических наук, Галахов Евгений Игоревич, Математический институт

им. В.А. Стеклова РАН.

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов.

Защита состоится «18» февраля 2009 г. в 16— часов на заседании Диссертационного Совета ДМ 212.157.17 при Московском энергетическом институте по адресу:

105835, ГСП, Москва, Е-250, ул. Красноказарменная, д. 13, кафедра математического моделирования МЭИ (ТУ), ауд. М-710а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Автореферат разослан « » 200$ г.

ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.

Григорьев В.П.

Актуальность темы

В настоящее время большой интерес вызывают задачи, связанные с исследованием отсутствия нетривиальных глобальных решений нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств. Данная тема разрабатывается, в частности, группами иод руководством чл.-корр. РАН С.И. Похожаева (Математический институт им. В.А. Стек-лова РАН), проф. В.А. Кондратьева (Московский государственный университет). Ряд прикладных аспектов исследуется коллективом ученых, возглавляемого одним из крупнейших британских специалистов в области прикладной и вычислительной математики проф. Крисом Баддом (Chris Budd), University of Bath.

Тематика диссертации очень актуальна, ей посвящено множество работ. Исторически одной из первых была изучена задача Коши для параболического уравнения в пространстве K'v х (0, схз), N ^ 3,

ди

— ~Аи = и\ и\ы0 = гго(.т) > 0. (1)

Здесь Д — оператор Лапласа: Д = X^i

Часто рассматриваются положительные решения данной задачи, что, в частности, диктуется и реальным физическим смыслом (например, температура u(x.,t) всегда больше абсолютного нуля).

Классический результат Фужиты в 1966 году, положивший начало всей теории отсутствия решений уравнений с частными производными, формулируется так.

Предложение 1. 1) Если 1 < q < 1-rjj, то задача (1) не имеет глобального положительного решения (то есть решения, определенного на R*v х (0, оо)) ни при каких начальных данных.

2) Если р > 1 4- jj, то глобальные решения существуют.

В 1973 году Хаякава для N = 1, 2 показал, что при q — 1 + ^ глобальные решения также отсутствуют. Позже этот факт также был установлен для старших размерностей N..

Таким образом, появляется так называемый критический показатель нелинейности, разделяющий области значения степени q, в которых задача имеет или не имеет глобального решения.

Отметим, что оказалось также возможным исследовать более общий объект, чем уравнение, а именно — неравенство

— - Ди > uq, и|г—о = ио(х) > 0. (2)

Для задачи (2) предложение 1 также остается справедливым, т.е. задача для более общего объекта — неравенства — имеет тот же ответ, что и задача для менее общего объекта — уравнения.

В классической теории дифференциальных уравнений с частными производными принято различать три основных типа — эллиптические, параболические и гиперболические задачи. Та же терминология сохранилась и используется для неравенств. Приведённое выше неравенство (2) относится к параболическому типу. Для эллиптического неравенства

-Ди > и" (3)

Бидо-Верон в 1989 году доказала отсутствие глобального решения при q < ТТ—2' Даннь™ результат является точным, т.е. для д > -¡^

требуемым решением служит функция

<Х) = + (4)

при малых £ > 0. Задачи, более общие, чем (3), также рассматривались разлчными авторами и для них были найдены критические степени. Наконец, для гиперболической задачи

д2и ди

= щ(х) > 0 (5)

(=0

отметим результат, полученный Като в 1980, об отсутствии глобального решения при д < Необходимо подчеркнуть, однако, что Като доказал свое утверждение при некоторых дополнительных условиях, при которых полученный критический показатель не является неулу чшаемым.

В 1990-е годы удалось добиться значительного успеха в исследовании довольно общих задач. В работах С.И. Похожаева был предложен достаточно универсальный метод, позволяющий в едином ключе получить результаты об отсутствии глобальных решений для всех трех типов дифференциальных неравенств. Этот метод и многие результаты на его основе детально изложены в монографии Э. Ми-тидиери и С.И. Похожаева (Тр. ММАН, Т.234, 2001г.). Монография уже стала классической и стимулировала выход большого количества работ по данным проблемам.

Цель работы

Цель диссертационной работы состоит в получении необходимых условий существования глобальных решений полулинейных дифференциальных неравенств и систем полулинейных дифференциальных неравенств с частными производными высокого порядка, рассматриваемых во внешности шара. Основной интерес представляло изучение зависимости критических показателей от условий на границе области.

Новизна результатов

В диссертации впервые установлены следующие результаты:

1. Метод пробных функций разработан применительно к изучению краевых задач во внешности шара.

2. Методом пробных функций найдены необходимые условия существования глобальных решений для нелинейных краевых задач во внешности шара.

3. Изучена зависимость критических показателей краевой задачи от условий на границе области. При этом рассмотрены различные варианты краевых условий.

Во всех основных теоремах приведены примеры, демонстрирующие неулучшаемость полученных условий существования решений.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы (63 наименования). Общий объем диссертации — 107 страниц.

В первой главе изучается дифференциальное неравенство с би-гармоническим оператором, рассматриваемое во внешности некоторого шара. Исследуется вопрос о зависимости критических показателей задачи от условий на границе. Рассмотрены также задачи с сингулярным множителем в шаре.

Во второй главе обобщаются результаты, полученные в первой главе, на неравенства с полигармоническим оператором. Доказывается точность найденных критических показателей. Также здесь изучены задачи с более общей правой частью и системы дифференциальных неравенств.

В третьей главе получены достаточные условия отсутствия глобальных решений полулинейных эволюционных дифференциальных неравенств высокого порядка (как по времени, так и по пространственным переменным) во внешности шара.

Содержание диссертации

Для иллюстрации изучаемых в диссертации проблем обратимся к обыкновенным дифференциальным уравнениям и рассмотрим следующую простую задачу: пусть в каждый момент времени известна скорость точки, движущейся вдоль прямой линии, и пусть она равна /(£). Будем считать также, что известна начальная координата щ в начальный момент времени 4 = 0. Закон движения точки, т.е. её координата и(£), определяется задачей Коши

и'ф = /(4), и(0) = иа.

Решение решение данной задачи имеет вид

u(t) = u0 + J f(T)dT. (6)

Предположим, что скорость непрерывна, тогда формула (6) даёт нам непрерывно дифференцируемое решение, определенное при любых сколь угодно больших значениях времени t.

Аналогичная задача

u'(t) = u(t), u(0) = и0, (7)

когда тело разгоняется пропорционально пройденному расстоянию, также очевидно имеет явное решение, определенное для всех t.

"Ротттоитдсг оттгюттоTTOTJT-TT.TO тгттст тipov + П глаггт^тпотптпст ? nnf\n f7-i.Ut.i-

ми.

Теперь обратимся к внешне, казалось бы, не намного отличающемуся случаю задачи (7):

u'(t) = u2(t), u(0) = щ > 0. (8)

Проинтегрировав это уравнение, находим решение в явном виде

' и W = TZTt W

ио

Данная функция при любых сколь угодно малых начальных данных имеет вертикальную асимптоту при (конечном) значении i0 = l/щ, т.е. решение всегда имеет бесконечный разрыв. Таким образом, можно сформулировать

Предложение 2. При любых положительных начальных данных задача (8) не имеет глобального решения, определенного для всех значений t > 0.

С математической точки зрения исследование такого рода дифференциальных уравнений опирается на теорему Пеано, которая устанавливает существование решения задачи на некотором малом участке [io,io + e)> и так называемую "теорему о продолжении решения", которая дает условия, при которых решение можно продолжать неограниченно по t —► со. В случае задачи (8) решение нельзя продолжить после определенного момента, оно устремляется к бесконечности, иными словами, происходит "взрыв" решения. В зарубежной литературе часто применяют английское словосочетание "blow-up". В задаче (8) локальное (т.е. существующее при t < to = 1/щ) решение есть всегда (при любых положительных начальных данных щ). В общей постановке, когда мы не знаем явного вида решения, естественно возникает вопрос о максимальном времени существования этого локального решения, т.е. об оценках для to-

С физической точки зрения полученный результат означает, что какую бы малую начальную скорость не имело тело, мы можем разогнать его до бесконечной скорости за конечное время (что, очевидно, нереально), если сообщать ему скорость, пропорциональную квадрату расстояния.

В диссертации основное внимание уделено неравенствам вида

(-А)пи(х) > \х\а |ф)|« (10)

во внешности заданного шара с некоторым натуральным т и без предположения о знаке решения. Также рассматриваются соответствующие эволюционные задачи и системы. Постановка таких общих задач не позволяет использовать стандартные подходы (например, усреднение по сфере), поэтому здесь применяется разработанный Митидиери и Похпжйрпым метол пробных функций. Отличительной особенностью данного метода является точность получаемых нелинейных характеристик, обеспечивающих отсутствие нетривиальных решений, и простота доказательства отсутствия таких решений в предельном случае. Кроме того, можно рассматривать довольно широкие классы нелинейных задач в различных областях (например, в полупространстве или в конусах).

В диссертации установлено, что критические степени для задачи (10) существенно зависят от предписанных краевых условий, в частности, могут меняться вместе с краевыми условиями. Подобный факт не был отмечен ранее в научной литературе.

Основное внимание уделено дифференциальным неравенствам с нелинейностями степенного вида. Также важной особенностью исследуемых задач является то, что не накладывается никаких условий на поведение возможных решений в бесконечности.

В первой главе рассматривается стационарное уравнение (10) с т = 2 во внешности шара Вд = {ж 6 { |з:| ^ Щ:

Л2и^\и\д, хеВ'н, д> 1, В'Н = №М\ВН. (И)

Удобно выделить и отдельно рассмотреть два типа краевых условий:

1) граничные условия первого типа

и(х) = д0(х), Аи(х) = д1(х), хедВк\ (12)

2) граничные условия второго типа

^(х)=9о(х), <^(х)=91(х), хедВя; (13)

где до, 31 — некоторые функции, суммируемые по ОВц.

Краевые задачи первого типа для неравенства (11) рассматриваются во втором параграфе первой главы. Решения этих задач будем понимать следующим образом.

Определение 1. Пусть и(х) £ Ц0С(В'п). Функция и(х) называется ослабленным глобальным решением краевой задачи (11), (12), если для любой неотрицательной финитной на бесконечности функции <р(х) е С,са{В'н) такой, что <р\дПк — 0 и А^¡аЯд = 0, верно интегральное неравенство

Iч,\и\<<Ь < IиА2(рсЬ — I (д^ + 9^) Аз. (14)

В'п В'н дВп

Мы также будем исследовать поведение решений, заданных на некоторых ограниченных областях, содержащихся в множестве В'п.

Определение 2. Пусть ограниченная область является подмножеством Вд и Й Э {Д < |гг:| ^ По). Локальным решением краевой задачи (11), (12) называется функция и{х) Е Цис(П), для которой выполнено неравенство (14) для любой неотрицательной финитной на бесконечности функции <р(:г) 6 Ссо(В'11) такой, что <р \дв =0

и <р = 0 для |х| ^ До.

Теорема 1. Пусть функция до е Ь1{дВя) произвольна, а функция дх <Е Ь1(дВц) удовлетворяет условию

У 51 сЬ < 0,

дВп

кроме того, Л,т > 4 я 1 < < Тогда задача (11), (12) не имеет нетривиальных ослабленных глобальных решений. Если же д > -¡^ц, то такие решения существуют.

Представляет также интерес оценка той области в В'ю где определены возможные локальные решения поставленной задачи.

Предложение 3. Пусть 1 < д < ^^ при N > А. И пусть задано локальное решение и = и(х) задачи (11), (12), причём

ai = 9i ds < 0.

Тогда верхняя граница радиуса Я<) шарового слоя В^ \ В л, содержащегося в области определения и(х), не превосходит числа

Яо ^ 1—Гу, 7 ~

|ai|7' ' N-q{N-4)' где со — некоторая постоянная.

Рассмотрим теперь задачу (11), (12) с другими ограничениями.

Теорема 2. Пусть функции до, д\ е Ьг(дВц) удовлетворяют условиям

I J 91 ¿я > 0.

ЭВп дВя

И пусть д > 1 при N = 1. 2, либо 1 < д < при N > 2. Тогда задача (11), (12) не имеет нетривиальных ослабленных глобальных решений. Если же д > то такие решения существуют.

Для данной задачи также получена оценка области существования возможных локальных решений.

Предложение 4. Пусть д > 1 при N = 1,2, либо 1 < д < при N > 2. И пусть и = и(х) — локальное решение краевой задачи (11), (12) такое, что

У 50 сЬ < 0, ах = J д1 ёй > 0.

а0 =

дВн дВн

Тогда верхняя граница радиуса Но шарового слоя В^ \ Вя, содержащегося в области определения и(х), не превосходит числа

тз д - 1

Щ^\а0Г 7 М + 2-д{Ы-2) с некоторой постоянной со-

Возможен ещё вариант условий, при которых для любого д > 1 существует глобальное решение, отличное от тождественного нуля.

Теорема 3. Пусть функции д0, д\ е Ь1(дВц) удовлетворяют условиям

J ЗосЬ>0, J 51 ск>0.

дВн дВн

И пусть N > 1 и д > 1, тогда краевая задача (11), (12) не имеет критических степеней, т.е. для любого д > 1 существует ослабленное глобальное решение этой задачи.

В третьем параграфе изучены краевые задачи второго типа (13). Решения таких задач понимаются следующим образом.

Определение 3. Пусть и(х) € Ц0С(В'Я). Функция и(х) называется ослабленным глобальным решением краевой задачи (11), (13), если для любой неотрицательной финитной на бесконечности функции <р(х) £ СХ(Щ) такой, что §^\дВн = = 0, верно интегральное

неравенство

J^p\u\qdx^ JuA2^pdx+ J {д\<р + ЗоЛ^) (15)

в'я в'к авя

Теорема 4. Пусть функция до 6 Ь1 (дВц) произвольна, а функция д\ € Ь1(дВц) удовлетворяет условию

I (16)

8ВЯ

И пусть ц > I при 1 ^ N ^ 4 и д ^ дщ при N > 4. Тогда задача (11), (13) не имеет нетривиальных ослабленных глобальных решений.

Определение 4. Пусть ограниченная область О является подмножеством В'к и П э {Я ^ |ж| ^ До}. Локальным решением краевой задачи (11), (13) называется функция и{х) £ Ь?0С(Г2), для которой выполнено неравенство (15) при любой неотрицательной функции Ых) е Сх(В'и) такой, что Ш\а„ = = о и р = 0 для \х\ ^ Д0-

Предложение 5. Пусть 1 < д < оо при 1 ^ Л" 4, либо 1 < а < < т^— при N > 4. И пусть и — и{х) — какое-либо локальное решение задачи (11), (13), удовлетворяющее условию

0'2 ~ J 91 < 0.

9ВЯ

Тогда верхняя граница радиуса По шарового слоя Br., \ Br, содержащегося в области определения и(х), не превосходит числа

Р < _ q~l

^¡а2Г' 1 N + 4q~Nq

с некоторой постоянной сц.

Для задачи (11), (13) с условиями

J g0ds >0, J ds > 0, gQ, 9i € L\dBR),

8BS 0BR

глобальное решение существует при всех q > 1, например, функция u — s с подходящими положительными параметрами е и а. То есть в данном случае, критические показатели отсутствуют.

Критические показатели появляются снова, если наложить ограничения

J gods ^ 0, J gids> 0, (17)

9Br 9Br

где go, & 6 L\dBR).

Теорема 5. Пусть q > 1 при N = 1,2, либо q < при N > > 2. Тогда задача (11), (13) с условиями (17) не имеет глобальных ослабленных решений.

В четвертом параграфе исследуются критические показатели для дифференциальных неравенств с бигармоническим оператором в шаре.

Рассмотрим задачу

(А2и>\хГ-Пд *BR,

fdBnAuds<°-

В диссертации исследованы различные варианты условий на границе и показывается, что при некоторых условиях может появиться критический показатель 1 < q* < оо.

Решения данных задач понимаются в смысле следующего определения.

Определение 5. Пусть N > 4, и(х) е C(BR \ {0}) П С\ВН \ BRo), где До < Д. Функция и(х) называется слабым решением задачи (18), если для любой неотрицательной функции ip(x) £ W^(Br) такой, что Ч>\дВр = 0 и <р(х) = 0 в некоторой окрестности точки х = 0, выполнено интегральное неравенство

/ + - ем.) dS + / «д^ > / ,19,

0BR Br BR

Предложение 6. Пусть N > 4 и о ^ 4. Краевая задача ^ \х\ " • В BR,

IdBRuds> 0, JdBn Auds > 0

имеет нетривиальные решения при всех q > 1.

Рассмотрим теперь задачу

|д2и>|хр>|? В Br,

Теорема 6. Пусть N > 4, a > 4 и 1 < q ^ Тогда задача (20) не имеет нетривиальных слабых решений.

Во второй главе результаты первой главы обобщаются на неравенство (10) для любых m и а. А также рассматриваются системы дифференциальных неравенств.

В задачах с краевыми условиями существенную роль начинает играть вид фундаментального решения дифференциального оператора, поэтому класс нелинейных задач, которые можно изучать с помощью метода пробных функций несколько сужается, так как фактически приходится искать фундаментальное решение рассматриваемого оператора и большое внимание здесь уделяется построению пробных функций. Также существенной особенностью задач с краевыми условиями является то, что они могут иметь несколько критических показателей, зависящих от этих условий.

(20)

Рассмотрим задачу

{~А)ти ^ \u\Q, u{x):B'r-^R, (21)

где q > 1, m — натуральное число. Условия на границе дВц заданы следующим образом

it(i)(x) = gi{x), х е dBR i = 0, 1,..., m - 1, (22)

тдедгеЬ1(дВя),г = 0, l,...,m-l. Введём обозначения

J giás = a,_, i — 0, 1,..., m — 1,

дВа

где a¿ — некоторые действительные числа.

Через а будем обозначать точку m-мерного пространства Rm :

а = (ао, аь..., flm_i), га G N.

Определение 6. Ослабленным глобальным решением краевой задачи (21)—(22) называется функция и(х) 6 Ц0С(В'Н) такая, что для любой неотрицательной финитной на бесконечности функции tp(x) 6 € С°°(В'}г) такой, что 9(í)\qbr = 0 = 0, 1,..., n), верно интегральное неравенство

j v\u\qdx^ J'wplm)áx+ J (23)

В'п В'н дВп

Определение 7. Пусть q* > 1 и краевая задача (21)—(22) не имеет ослабленных глобальных решений при q ^ q*, а при q > q* такие решения уже существуют. Число q* в таком случае называется точным критическим показателем краевой задачи (21)-(22). Введём в рассмотрение множества М\ — {а € 3Rm| am_i > 0};

Я-{ае H (-1 )пат-п < о, (-1)т"Ч > О,

i = ra — п + 1,..., m - l}, если т^2ип = 2.....т;

Mm+i = {а6 Кт| (—l)m_ia, > 0, i = 0,..., m - l}.

Теорема 7. Пусть m и N ^ 3 — натуральные числа. Краевая задача (21)-(22) cae Мп, N > 2(т - п + 1) (при n = 1,..., m) имеет критический показатель

N + 2(n-l)

ln N — 2(т — п + 1)"

Если же m > 2 и 3 < Лг ^ 2(m - n 4- 1) (при n = 1,..., m — 1), то задача не имеет нетривиальных ослабленных глобальных решений при всех q > 1, то есть ç* = +оо.

Результат данной теоремы точен, что подтверждается соответствующими примерами решений.

Рассмотрим теперь задачу, которая может иметь нетривиальные глобальные решения при всех q > 1.

Предложение 7. Пусть m и N — натуральные числа. Краевая задача (21)—(22) с a £ Mm+1 имеет глобальные решения, не равные тождественно нулю, при всех q > 1.

Во втором параграфе рассматривается неравенство с общей правой частью

(-A)mu > f{x, u), u{x): Бд —> R, (24)

где f(x, u) > |i|° M9, a > 0, q > 1. Условия на границе öBr по-прежнему заданы соотношениями (22).

Определение 8. Глобальным решением краевой задачи (24)—(22) называется функция и(х) G C2m(B'R), удовлетворяющая заданным условиям на границе и неравенству (24) в каждой точке множества B'R.

Теорема 8. Пусть m и N ^ 3 — натуральные числа. Краевая задача (24), (22) с а е М„, N > 2(m — n + 1) (при n = 1,..., т) имеет точный критический показатель

* - N + 2(n-l) + a Чп ~ N - 2(m - n + 1)' Если же 2 (m — n + 1) (при п — 1,..., m — 1), то задача

не имеет нетривиальных глобальных решений при всех q > 1, то есть

Чп =

В третьем параграфе изучены системы

{(-££>!#: (25)

Здесь р, q > 1, m — натуральное число. Условия на границе ЗВд заданы следующим образом

г — 0, 1, ...,тп — 1. (26)

1 М(<) = 9г,

\ = ы,

Введём также обозначения

где аг, Ь, — некоторые действительные числа, и рассмотрим векторы а = (а0, ат-1) п Ь = (Ь0,Ьт_ {).

Определение 9. Глобальным решением краевой задачи (25)—(26) называется пара функций и(х), и(х) € С2т(В'п), удовлетворяющая заданным условиям на границе (26) и неравенству (25) в каждой точке множества Вц.

Теорема 9. Пусть тп и N ^ 3 — натуральные числа. Краевая задача (25)-(26) с а, Ъ £ Мп,

N т(тах{р, д} + 1)

— <т-п + 1Н--*---где п = 1,..., тп,

2 рд-1

не имеет нетривиальных глобальных решений.

В третьей главе находятся достаточные условия отсутствия глобальных решений полулинейных эволюционных дифференциальных неравенств высокого порядка (как по времени, так и по пространственным переменным). Следует отметить, что все другие известные методы здесь неприменимы из-за отсутствия линейной теории рассматриваемых задач.

Пусть к, тп £ К, > 1. Рассмотрим эволюционное дифференциальное неравенство

дки

_ + (ХЛ) еВ'нх (0,-гоо). (27)

При к = 1 и тп = 1 мы имеем неравенство с с параболическим оператором, а при 1 = 2ит = 1-с гиперболическим. Рассмотрим ещё начальные

дк~1и

и{х, 0) = щ(х), • - -, 0) = ми(4 ик-х(®) ^ 0, хе ВК (28)

и граничные условия

(—Д)1«(а;, ¿) аж = а,г = 0,..., гл — 1. (29)

дВя

Здесь — локально интегрируемые на (0, +оо) функции. Решения этой задачи понимаются в следующем смысле: Определение 10. Решением начально-краевой задачи (27)-(29) называется функция и(х, ¿) класса С2т,к(В'К х (0, +оо)), удовлетворяющая условиям (29) при всех I £ (0,+оо), а также условиям (28) и неравенству (27) при всех х £ В'н, Ь еЖ+.

Мы будем изучать случай, когда функции а1 (£) сохраняют знак при всех I £ Ж+. Введём в рассмотрение следующие множества

М = {К ■ ■ ■, «ш-г) € С(К+) х • • • х С(К+)| ат_х ^ 0};

= { (а0, • • ■, ат_ 1) е С(М+) х • ■ • х С(Е+) | (-1 )"ат_„ < 0,

(—1)т"га,; >0, г = т — п + 1,..., т — 1}, если т^2ип = 2,...,т;

-Мт+1 = {(ао, ..., £ С(К+) х • • • х С(К+)| > 0,

г = 0,..., ш — 1}.

Теорема 10. Пусть N ^ 3, тп — натуральные числа. И пусть (ао, ..., ат-\) £ Мп С1 < п ^ т). Краевая задача (27)-(29) при N > > 2 (т - п - + 1) не имеет нетривиальных глобальных решений

при q ^ q*n, где

, _ N + 2(т/к + п - 1) 9n~ N + 2(m/k + n-m-iy

Если же выполнено условие 3 ^ JV ^ 2(тп — n — m/fc + 1), то задача не имеет нетривиальных решений при всех q > 1.

В частности, при & = 1, т = 1ип = 1 получаем хорошо известный показатель Фужиты-Хаякавы q*F = 1 + а при к = 2, m = 1 и п — 1 — показатель Като q*K = Отметим ещё, что в данной работе не рассматривается вопрос неулучшаемости q*n, однако в приведённых двух случаях критические показатели являются точными.

Апробация

В целом результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ под руководством проф. A.A. Амосова и Ю.А. Дубинского, на семинаре математического института В.А. Стеклова под руководством проф. С.И. По-хожаева и В.А. Кондратьева, на научном семинаре кафедры высшей математики РГСУ, отдельные части диссертации доложены на международных конференциях: "Современные проблемы математики, механики и информатики" в ТулГУ, Тула, 2002; "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", памяти И.Г.Петровского, МГУ, Москва, 2007; а также на всероссийских конференциях: "Современные проблемы математики, механики и информатики", ТулГУ, Тула, в 2001 и в 2002 годах; на ежегодных математических чтениях "Математические методы и приложения", Руза, в 2005 и 2006 годах; "Математическое моделирование социальных процессов и современные образовательные технологии" в рамках VII Международного социального конгресса, Москва, РГСУ, 2007.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, библиографическое описание которых даётся ниже.

1) Володин Ю.В. Об отсутствии глобальных решений полулинейных эллиптических неравенств и систем неравенств // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Инф. 2001. Т. 7. Вып. 1. С. 6168.

2) Володин Ю.В. О критических показателях некоторых полулинейных краевых задач с бигармоническим оператором во внешности шара // Матем. заметки. 2006. Т. 79. Вып. 2. С. 201-212.

3) Володин Ю.В. Критические степени для полулинейных краевых задач с бигармоническим оператором во внешности шара // Современные проблемы математики, механики и информатики: Тез. докл. Всероссийской научной конференции. 2022 ноября 2002 г./ Тульский гос. ун-т. - Тула: ТулГУ, 2002. С. 10-11.

4) Володин Ю.В. Критические показатели некоторых полулинейных краевых задач с полигармоническим оператором во внешности шара // Современные проблемы математики, механики и информатики: Тез. докл. Международной научной конференции. 18-21 ноября 2003 г./ Тульский гос. ун-т. — Тула: ТулГУ, 2003. С. 14-16.

5) Володин Ю.В. Критические показатели для сингулярных по-

ттттттт/гиотлит-т^г Лт>гт»огм1/гг>х*т4,ттопт/*т*V иопоооилто -о тттотчо / / гРту*гт»т-т

«1 ^ V ^ К^^ми^ААЪ Ж и и Д I I у, ! ^ л.

одиннадцатых математических чтений МГСУ: Математические методы и приложения. 26-29 января 2003 г./ МГСУ. — М.: Изд-во РГСУ, 2003. С. 54-59.

6) Володин Ю.В. Критические показатели некоторых эволюционных полулинейных дифференциальных неравенств высокого порядка // «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», памяти И.Г.Петровского: Тез. докл. Международной научной конференции. 21-26 мая 2007 г./ МГУ. - М.: МГУ, 2007. С. 334-335.

7) Володин Ю.В. Об отсутствии глобальных решений систем дифференциальных неравенств высокого порядка // Труды семнадцатых математических чтений РГСУ: Математические методы и приложения. 31 января - 3 февраля 2008 г./ РГСУ. — М.: РГСУ, 2008. С. 27-37.

Подписано в печать Зак. Тир. ^00 щ.л. Ю

Полиграфический центр МЭИ(ТУ) Красноказарменная ул.,д. 13

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Володин, Юрий Владимирович

Введение

Глава 1. Бигармоническое неравенство во внешности шара

1.1. Описание метода пробных функций

1.2. Задачи с бигармоническим оператором во внешности шара с краевыми условиями первого типа

1.3. Задачи с бигармоническим оператором во внешности шара с краевыми условиями второго типа

1.4. Сингулярные полулинейные бигармонические неравенства в шаре

Г л а в а 2. Полулинейные краевые задачи высокого порядка

2.1. Модельная задача

2.2. Неравенства с общей правой частью

2.3. Системы неравенств

Г л а в а 3. Эволюционные задачи высокого порядка

3.1. Вспомогательные результаты

3.2. Эволюционные краевые задачи высокого порядка во внешности шара

Введение диссертация по математике, на тему "Зависимость критических степеней некоэрцитивных краевых задач от граничных условий"

Общая характеристика работы

В настоящее время большой интерес вызывают задачи, связанные с исследованием отсутствия нетривиальных глобальных решений нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств. Данная тема разрабатывается, в частности, группами под руководством чл.-корр. РАН С.И. Похожаева (Математический институт им. В.А. Стек-лова РАН), проф. В.А. Кондратьева (Московский государственный университет). Ряд прикладных аспектов исследуется коллективом ученых, возглавляемого одним из крупнейших британских специалистов в области прикладной и вычислительной математики проф. Крисом Баддом (Chris Budd), University of Bath.

В диссертации установлены следующие результаты :

1. Метод пробных функций разработан применительно к изучению краевых задач во внешности шара.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].

Тематика диссертации очень актуальна, ей посвящено множество работ. Исторически одной из первых была изучена задача Коши для параболического уравнения в пространстве M.N х (0, оо), N ^ 3, ди „ . . . ~Au = uq, u\t=o = щ(х) > 0. (0.1)

Здесь А — оператор Лапласа: А = ^Zili ¿f?

Часто рассматриваются положительные решения данной задачи, что, в частности, диктуется и реальным физическим смыслом (например, температура и(х, t) всегда больше абсолютного нуля).

Классический результат (Фужита [6], 1966 г.), положивший начало всей теории отсутствия решений уравнений с частными производными, формулируется так.

Предложение 0.1. 1) Если l<q<l-\■^, то задача (0.1) не имеет глобального положительного решения (то есть решения, определенного на х (0, оо)) ни при каких начальных данных.

2) Если q > 1 + то глобальные решения существуют.

Позже Хаякава [7] для N — 1, 2 показал, что при <7 = 1 + -^ глобальные решения также отсутствуют. Для старших размерностей N этот факт был установлен в [8, 9].

Таким образом, появляется так называемый критический показатель нелинейности, разделяющий области значения степени д, в которых задача имеет или не имеет глобального решения.

Отметим, что оказалось также возможным исследовать более общий объект, чем уравнение, а именно — неравенство ди -Аи^ и4, = ио(ж) > 0. (0.2)

Для задачи (0.2) предложение 0.1 также остается справедливым, т.е. мы сталкиваемся с довольно неожиданным фактом: задача для более общего объекта — неравенства — имеет тот же ответ, что и задача для менее общего объекта — уравнения.

В классической теории дифференциальных уравнений с частными производными принято различать три основных типа — эллиптические, параболические и гиперболические задачи. Приведенное выше неравенство (0.2) относится к параболическому типу. Та же терминология сохранилась и используется для неравенств.

Для эллиптического неравенства

-Аи ^ и4 (0.3)

Бидо-Верон [10] доказала отсутствие глобального решения при q ^ ^ Данный результат является точным, т.е. для ц > требуемым решением служит функция при малых е > 0. Задачи, более общие, чем (0.3), рассмотрены в книге [11] и в статьях [12, 13, 14].

Наконец, для гиперболической задачи отметим результат Като [15] об отсутствии глобального решения при Я ^ ^гр Необходимо подчеркнуть, однако, что Като доказал свое утверждение при некоторых дополнительных условиях, при которых полученный критический показатель не является неулучшаемым.

Все три приведенных выше результата доказывались разными методами. Тем не менее можно заметить некоторую общность данных результатов в плане структуры критических показателей: они получаются друг из друга, если просто добавлять единичку к числителю и знаменателю. Данный факт не является случайным, и, по-видимому, впервые это было отмечено в работах С.И. Похожаева с соавторами [16, 17]. Там же был предложен достаточно универсальный метод, позволяющий в едином ключе получить результаты об отсутствии глобальных решений для всех трех типов дифференциальных неравенств. Этот метод и многие результаты на его основе детально изложены в монографии Э. Митидиери и С.И. Похожаева [11]. Монография уже стала классической. Её развитие можно найти в новых работах указанных авторов [18, 19, 20, 21, 22, 23]. и{х) —

1 + М2)1/^-!)

0.4)

0.5)

Содержание диссертации

Для иллюстрации изучаемых в диссертации проблем обратимся к обыкновенным дифференциальным уравнениям и рассмотрим следующую простую задачу: пусть в каждый момент времени известна скорость точки, движущейся вдоль прямой линии, и пусть она равна /(¿). Будем считать также, что известна начальная координата по в начальный момент времени Ь = 0. Закон движения точки, т.е. её координата и{Ь), определяется задачей Коши о

Предположим, что скорость непрерывна, тогда формула (0.6) даёт нам непрерывно дифференцируемое решение, определенное при любых сколь угодно больших значениях времени t. Аналогичная задача когда тело разгоняется пропорционально пройденному расстоянию, также очевидно имеет явное решение, определенное для всех ¿.

Решения, определенные для всех £ ^ 0, называются глобальными.

0.6) и'{€) = ?х(0) = щ,

0.7)

Теперь обратимся к внешне, казалось бы, не намного отличающемуся случаю задачи (0.7):

Проинтегрировав это уравнение, находим решение в явном виде

Данная функция при любых сколь угодно малых начальных данных имеет вертикальную асимптоту при (конечном) значении^ = l/^o, т.е. решение всегда имеет бесконечный разрыв. Таким образом, можно сформулировать

Предложение 0.2. При любых положительных начальных данных задача (0.8) не имеет глобального решения, определенного для всех значений t > 0.

С математической точки зрения исследование такого рода дифференциальных уравнений опирается на теорему Пеано, которая устанавливает существование решения задачи на некотором малом участке [to, to+e), и так называемую "теорему о продолжении решения", которая дает условия, при которых решение можно продолжать неограниченно по t —> оо. В случае задачи (0.8) решение нельзя продолжить после определенного момента, оно устремляется к бесконечности, иными словами, происходит "взрыв" решения. В зарубежной литературе часто применяют английское словосочетание "blow-up". В задаче (0.8) локальное (т.е. существующее при t < to = 1/щ) решение есть всегда (при любых положительных начальных данных щ). В общей постановке, когда мы не знаем явного вида решения, естественно возникает вопрос о максимальном времени существования этого локального решения, т.е. об оценках для ¿оu'(t) = u2(t), гг(0) = u0 > 0.

0.8)

0.9)

Диссертация состоит из введения и трёх глав.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Володин, Юрий Владимирович, Москва

1. Володин Ю.В. Об отсутствии глобальных решений полулинейных эллиптических неравенств и систем неравенств / / Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Инф. 2001. Т. 7. Вып. 1. 61-68.

2. ВОЛОДИН Ю.В. Об отсутствии глобальных решений эллиптических неравенств во внешности шара. Диф. уравн. и прикл. зад. Сб. науч. тр. Тула: ТулГУ, 2001. 35-36.

3. ВОЛОДИН Ю.В. Критические показатели для сингулярных полулинейных бигармонических неравенств в шаре // Труды одиннадцатых математических чтений МГСУ: Математические методы и приложения. 26-29 января 2003 г./ МГСУ. - М.: Изд-во РГСУ, 2003. 54-59.

4. ВОЛОДИН Ю.В. О критических показателях некоторых полулинейных краевых задач с бигармоническим оператором во внешности шара // Матем. заметки. 2006. Т. 79. Вып. 2. 201-212.

5. ВОЛОДИН Ю.В. Об отсутствии глобальных решений систем дифференциальных неравенств высокого порядка / / Труды семнадцатых математических чтений РГСУ: Математические методы и приложения. 31 января - 3 февраля 2008 г./ РГСУ. - М.: РГСУ, 2008. 27-37.

6. FUJITA Н. On the blowing up of solutions of the Cauchy problems for щ = Аи + и1+а И J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA. 1966. V. 13. P. 109-124.

7. HAYAKAWA K. On the nonexistence of global solutions of some semilinear parabolic equations // Proc. Japan Acad. 1973. V. 49. P. 503-505.

8. KOBAYASHI K., SIRAO Т., TANAKA H. On the blowing up problem for semilinear heat equation // J. Math. Soc. Japan. 1977. V. 29. P. 407-424.

9. ARONSON D., WEINBERGER H.F. Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics // Adv. Math. 1978. V. 30. P. 33-76.

10. КУРТА В.В. О единственности решений задачи Дирихле для уравнений типа средней кривизны / / Матем. заметки. 1993. Т. 53, № 4 . 53-61.

11. КУРТА В.В. К вопросу об отсутствии положительных решений у эллиптических уравнений / / Матем. заметки. 1999. Т. 65, № 4 . 552-561.

12. КОНЬКОВ А.А. О поведении на бесконечности решениях одного класса нелинейных уравнений второго порядка // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 1 . 30-39.

13. КАТО Т. Blow-up of solutions of some nonlinear hyperbolic equations // Commun. Pure and Appl. Math. 1980. V. 33. P. 501-505.

14. POHOZAEV S., TESEI A. Blow-up of nonnegative solutions to quasilinear parabolic inequalities // Rend. Mat. Ace. Lincei. s. 9. 2000. V. 11. P. 99-109.

15. POHOZAEV S.I., VERON L. Blow-up results for nonlinear hyperbolic inequalities // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 2000. V. 29, N 2 . P. 393-420.

16. МИТИДИЕРИ Э., ПОХОЖАЕВ С И . Лиувиллевы теоремы для некоторых классов нелинейных нелокальных задач // Тр. МИ АН. 2005. Т. 248. С 164-184.

17. ГАЛАКТИОНОВ В.А., ПОХОЖАЕВ С И . Отсутсвие глобальных решений нелинейных смешанных задач / / Докл. РАН. 2007. Т. 412, № 4 . С 444-447.

18. ПОХОЖАЕВ С И . О разрушении решений нелинейных смешанных задач // Тр. МИАН. 2008. Т. 260. 213-226.

19. ПОХОЖАЕВ С И . О разрушении решений уравнения Курамо- то-Сивашинского // Машем, сб.. 2008. Т. 199, № 9 . 97-106.

20. ГАЛАКТИОНОВ В.А., ПОХОЖАЕВ С И . , МИТИДИЕРИ Э. Существование и отсутсвие глобальных решений уравнения Курамо-то-Сивашинского // Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 4 . 439-442.

21. КАРИСТИ Г., ПОХОЖАЕВ С И . , МИТИДИЕРИ Э. Локальные оценки и теоремы Лиувилля для одного класса квазилинейных неравенств // Докл. РАН. 2008. Т. 418, № 4 . 453-457.

22. ЛАПТЕВ Г.И. Критические степени для полулинейных эллиптиче- ских задач в RN, содержащих градиент. Диф. уравн. и прикл. зад. Сб. науч. тр. Тула: ТулГУ, 1999. 88-96.

23. МИТИДИЕРИ Э., ПОХОЖАЕВ С И . Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в M.N // Тр. МИАН. 1999. Т. 227. 192-222.

24. МИТИДИЕРИ Э., ПОХОЖАЕВ С И . Свойство положительности решений некоторых нелинейных эллиптических неравенств в M.N // Докл. РАН. 2003. Т. 393, № 2 . С 159-164.

25. КУРТА В.В. Об отсутствии положительных решений у полулинейных эллиптических уравнений / / Тр. МИАН. 1999. Т. 227. 162-169.

26. ЛАПТЕВ Г.Г. Об отсутствии решений эллиптических дифференциальных неравенств в конических областях / / Матем. заметки. 2002. Т. 71, № 6 . 855-866.

27. ЛАПТЕВ Г.Г. Отсутствие решений дифференциальных неравенств и систем гиперболического типа в конических областях / / Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66, № 6 . 65-90.

28. LAPTEV G.G. Some nonexistence results for higher-order evolution inequalities in cone-like domains / / Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 2001. V. 7. P. 87-93.

29. ЛАПТЕВ Г.Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференциальных неравенств / / Тр. МИАН. 2001. Т. 232. 223-235.

30. DATTI P. Nonlinear wave equations in exterior domains // Nonlin. Anal. 1990. V. 15. P. 321-331.

31. LEVINE H.A., ZHANG Q.S. The critical Fujita number for a semilinear heat equation in exterior domains with homogeneous Neumann boundary values // Proc. Roy. Soc. Edinburgh A. 2000. V. 130. P. 591-602.

32. ЛАПТЕВ Г.Г. Отсутсвие решений эволюционных дифференциальных неравенств высокого порядка / / Сиб. матем. журн.. 2003. Т. 44, № 1 . 143-159.

33. GIDAS В., SPRUCK J. Global and local behaviour of positive solutions of nonlinear elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1981. V. 34. P. 525-598.

34. ВОЛОДИН Ю.В. Об отсутствии глобальных решений полулинейных краевых задач с полигармоническим оператором / / Труды четырнадцатых математических чтений РГСУ: Математические методы и приложения. 28-31 января 2005 г./ РГСУ. — М.: РГСУ, 2005. 16-19.

35. Володин Ю.В. Об отсутствии глобальных решений полулинейного дифференциального неравенства / / Труды шестнадцатых математических чтений РГСУ: Математические методы и приложения. 1-3 февраля 2007 г./ РГСУ. - М.: РГСУ, 2007. 43-44.

36. МИТИДИЕРИ Э., ПОХОЖАЕВ С И . Отсутствие глобальных положительных решений квазилинейных эллиптических неравенств / / Докл. РАН. 1998. Т. 359, № 4 . 456-460.

37. ПОХОЖАЕВ С И . Общий подход к теории отсутсвия глобальных решений нелинейных уравнений и неравенств с частными производными // Тр. МИАН. 2002. Т. 236. С 285-297.

38. ПОХОЖАЕВ С И . Свойство положительности решений некоторых нелинейных эллиптических неравенств в WLN // Докл. РАН. 2003. Т. 393, № 2 . С 159-164.

39. ЛАПТЕВ Г.Г. Отсутствие глобальных положительных решений систем полулинейных эллиптических неравенств в конусах // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64, № 6 . 107-124.

40. ЛАПТЕВ Г.Г. Отсутствие решений полулинейных параболических дифференциальных неравенств в конусах // Матем. сб. 2001. Т. 192. 60-76.

41. LAPTEV G.G. Absence of solutions to evolution-type differential inequalities in the exterior of a ball / / Russ. J. Math. Phys. 2002. V. 9, N 2 . P. 180-187.

42. LAPTEV G.G. Nonexistence results for higher-order evolution partial differential inequalities / / Proc. Amer. Math. Soc. 2003. V. 131, N 2 . P. 415-423.

43. ЛАПТЕВ Г.Г. Априорные оценки сильных решений полулинейных параболических уравнений // Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 4 . 564-572.

44. ЛАПТЕВ Г.Г. Об отсутствии глобальных решений квазилинейных эллиптических неравенств, содержащих градиент / / Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Инф. 1999. Т. 5. Вып. 1. 135-143.

45. ЛАПТЕВ Г.Г. Об отсутствии глобальных решений нелинейных разностных неравенств // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Инф. 2001. Т. 7. Вып. 1. 101-109.

46. Коньков А.А. О неотрицательных решениях квазилинейных эллиптических неравенств // Изв. РАН. Сер. матем. 1999. Т. 63, № 2 . 41-127.

47. KON'KOV A.A. Behavior of solutions of nonlinear second-order elliptic inequalities // Nonlinear Anal. 2000. V. 42, N 7 . P. 1253-1270.

48. КОНДРАТЬЕВ В.А., Коньков А.А. О свойствах решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка // Матем. сб. 1994. Т. 185, № 9 . 81-94.

49. НГУЕН МАНЬ ХУНГ. Об отсутствии положительных решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в конических областях // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 4 . 533-539.

50. КОНДРАТЬЕВ В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Труды ММО. 1967. Т. 16. 209-292.

51. CARISTI G., D'AMBROSIO L., МИТИДИЕРИ Э. Liouville Theorems for Some Nonlinear Inequalities / / Тр. МИАН. 2008. T. 260. С 97-118.

52. БЕСОВ О.В., Ильин В.П., Никольский С М . Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

53. САМАРСКИЙ А.А., ГАЛАКТИОНОВ В.А., КУРДЮМОВ С П . , МИХАЙЛОВ А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.