Вариационная задача Дирихле для некоторых классов эллиптических уравнений с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи Каримов Алишер Гашович

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 НОЯ 2009

Душанбе 2009

003484838

Работа выполнена в Курган-Тюбинском Госуниверситете им. Н. Хусрава Республики Таджикистан

доктор физ.-мат. наук, профессор Исхоков Сулаймон Абунасрович

доктор физико-математических, наук, академик АН Республики Таджикистан Раджабов Нусрат

кандидат физико-математических наук, доцент Гадоев Махмадрахим Гафурович

Российско-Таджикский Славянский университет

Защита состоится декабря 2009г. в часов мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047. 007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан.

Автореферат разослан £ $ ¿о 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений и изучению дифференциальных свойств ее решений. Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений часто и естественным образом возникают в процессе моделирования ряда прикладных задач в теории малых изгибаний поверхностей, в газовой динамике и других разделах механики. Как отмечено авторам и многих обзорных работ, существуют разнообразные способы вырождения, которые требуют применения соответствующих разных методов, и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы все результаты этого направления.

Подход к исследованию граничных задач для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений на базе теории вложения весовых функциональных пространств впервые был продемонстрирован в работе Л.Д.Кудрявцева1. Результаты этой работы позже обобщались и дополнялись в работах С.М. Никольского, П.И. Лпзоркина, X. Трнбеля, Л.Д. Кудрявцева, А. Куфнера, C.B. Успенского, Н.В. Мирошина, Б.Л. Байдель-динова, К.Х. Бойматова, С.А. Исхокова и др.

Исследования, проведенные в настоящей диссертационной работе, примыкают к работам указанных выше авторов и по сравнению с ними рассматриваются новые классы вырождающихся эллиптических уравнений.

Цель работы

1. Исследование зависимости гладкости решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в ограниченной области, связанных с нскоэрцитивными билинейными формами, от гладкости граничных функций.

2. Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве RJ = {х = (а/, х„) : хп > 0}.

3. Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в предельно-цилиндрической области и изучение гладкости ее решения в зависимости от гладкости ко-

1 Куд;ыш;еи Л. Д. Прямые и обратные: теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Математического института им. H.A. Стеклова АН СССР, 1959, т. 55, с. 1-182.

эффициснтов дифференциального оператора, правой части уравнения и граничной функции.

Методы исследования. Применяемый в диссертации метод основан на элементах теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.)

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Изучено влияние гладкости граничных функций на гладкость решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся в ограниченной области эллиптических уравнений, связанных с некоэрцитивными билинейными формами.

2. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости вариационных зл-дач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве = {ж = (х', хп) : хп > 0}.

3. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений, связанных с некоэрцитивными билинейными формами, в предельно-цилиндрической области.

4. Доказаны теоремы о повышении гладкости решений вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными грниичпыми условиями для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений, спя чанных с некоэрцитивными билинейными формами, в предельно-цилиндрической области.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств, в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью вырождающихся дифференциальных уравнении в решении прикладных задач механики и других разделов физики.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации обсуждались па международной научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летню независимости Республики Таджикистан (г. Душанбе, 27 октября 2006 г.), на научно-исследовательских семинарах отдела теории функций и функционального анализа ИМ АН Республики Таджикистан "Спектральная теория и разделимость дифференциальных операторов"(руководнтели: доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор | Бойматов К.Х. | и доктор физ.-мат. наук, профессор Исхоков С.Л.) и 2003 2008 гг.: общепнстптутском семинаре Института математики ЛИ Республики Таджикистан (руководитель | см пиара: доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент Л ГI РТ, профессор Рахмонов З.Х.) в 2009 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти научных работах, список которых приведен в конце автореферата. Некоторые из них написаны в соавторстве с научным руководителем С.Л. Исхоковьш, которому принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 99 страницах компьютерного набора. Библиография насчитывает 65 наименований.

Содержание диссертации

Во введении дается краткий исторический обзор результатов по рассматриваемой проблеме, обосновывается актуальность темы. Приводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В диссертации использована двойная нумерация параграфов, причем первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа п главе.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена исследованию гладкости решений вариационных задач Дирихле для эллиптических операторов со степенным вырождением на всей границе ограниченной области п - мерного евклидова пространства К".

В первой главе диссертации предполагается, что Г!- ограниченная область в Я" с достаточно гладкой (п — 1)- мерной границей дП = Г. г-

натуральное число, р, а- вещественные числа, р > 1.

Символом Со°(П) обозначен класс бесконечно дифференцируемых финитных в О функций. Если В - нормированное пространство с нормой

о

|| и; ВЦ, которое содержит С^П), то символом В обозначается замыкание класса Су3(Л) в пространстве В. Если пространство В вложено в пространстве то символом В' обозначено пополнение по

норме ||/; В'Ц = зир |(/, , где (.,.) - скалярное произведение пространства Ьг($1) и Биргетиш берется по всем ф £ В таким, что Ц^'! ВЦ = 1. Элементы Р 6 В' отождествляются с Соответствующими антилинейными функционалами над В.

Если Вь Вг - нормированные пространства с нормами ||-;В1||, Ц-; В2|| соответственно, то вложение В| —> В2 означает, что все элементы пространства Вх можно рассматривать как элементы пространства Вг и, кроме того, ||и;Вг|| < С||и; В1Ц для любого и 6 В1 с положительной константой С, не зависящей от и.

В §1.1 определены функциональные пространства и

приведены их основные свойства. Норма в этих пространствах определяется равенствами

. Ур

= | Е/Р"Г(.х)\и{к\х)\Чх+ [ \и(х)\Чх \1*1=ГП п

1/р

Здесь и далее к = (к 1, ко,..., кп) - мультшшдскс, |А-| — к] + к2 Н-----К кп

- длина мультшшдекса к,

дх'{'дх>? ■ ■ ■ дх$Г

- обобщенная в смысле С.Л. Соболева производная функции и(х) муль-тииндекса к, р(х) - регуляризованное расстояние от точки х € П до границы дО. области П, то есть бесконечно дифференцируемая положительная функция, эквивалентная расстоянию до границы области.

Пространство V*а(0), при р > 1, определяется также и для целых отрицательных чисел г. В этом случае оно определяется формулой

где q = р/(р - 1).

Свойства пространств Wp U(iï), достаточно хорошо изучены в

работах В.И. Кондрашова, Л.Д. Кудрявцева, C.JI. Соболева, С.М. Никольского, C.B. Успенского, П.И. Лизоркина, В.В. Шанькова, X. Трибеля и др.

Теоремы вложения, прямые и обратные теоремы о следах для пространств Wpa{(2) играют важную роль в теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. Их приложения в исследовании разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений рассматривались в работах Л.Д. Кудрявцева, С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошина, Б.Л. Байдельдинова, где изучены однозначная разрешимость и дифференциальные свойства решений вариационной задачи Дирихле, связанной с билинейной формой

коэффициенты которой имеют форму произведения ограниченной функции и степени регулярнзованного расстояния до границы области.

В этих работах предполагается, что форма (1) удовлетворяет условию коэрцитивности. т.е.

при некоторых Лц > 0, 5 > 0.

Вариационная задача Дирихле, связанная с билинейной формой (1), когда эта форма не является коэрцитивной, рассматривалась в работах К.Х. Бойматова и С.А. Исхокова, где исследовалась однозначная разрешимость этой задачи и изучались дифференциальные свойства ее решений в зависимости от гладкости коэффициентов оператора и правой части уравнения. Однако вопрос о зависимости гладкости решений от гладкости граничных функций в указанных работах не рассматривался. Этому вопросу посвящена, первая глава диссертации.

С целью изучения вопроса зависимости класса решений вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями от гладкости граничных функций введем пространство где т, а - некоторые

целые неотрицательные числа. По определению пространство состоит из всех функций и(х) (х € Г2), допускающих представление

|ВД<Г12

(1)

Re {В[и, и\ + Ао||«; ВДЦ2} > ¿11«; И^а(П)||2 (Vu 6 C^ÎÎ))

и(х) = w(x) + Ф(х),

(2)

где w &W Ф 6 ^Т.+ДФ max{m,<7}, ц = шах{0,т -

а}. Норма в пространстве определяется равенством

II«; w;;r(fi)r = inf{lk; + № и£Г+<1(п)П,

где infimum берется по всем представлениям функции и(х) вида (2).

В §1.2 рассматривается билинейная форма (1), первоначально определенная на функциях u,v £ Co°(il). Предполагается, что коэффициенты ан(х)-измеримые в П комплекснозначные функции, удовлетворяющие условиям:

I) существуют положительное число М > 0 и вещественное число о такие, что

для всех х 6 П и всех мультииндексов к, I, -у таких, что |fc|, |i| < г, j->| < (mi]- фиксированное целое неотрицательное число);

II) существует число е е (0,7г) такое, что

| arg Л(х, С)| < я- - е, (х 6 П, С = {&}|*|<г С С),

где

Л(а;, С) = 2 аФ)(кО

¡k\,tt\<r

(считается, что функция argz принимает значения из интервала (—7Г,7г]);

III) существует комплекснозначная непрерывная и отличная от нуля в Q функция <р(х) такая, что

iCtl2 < М1Яе{^(х)Л(х, С)} (16Й, С = {öt}|t|<r С С).

|*|=г

Пусть выполняется условие

1 1

--<а<г--, (3)

и пус;ть s0 ~ целое число, удовлетворяющее неравенствам

1 ^ 1 Г_а_2 2

Рассматривается вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями.

О

Задача £)//. Для заданного функционала Р е (\у !>а(П))' требуется найти функцию и € „(П), удовлетворяющую уравнению

В[ы, г] + у) =< Р,г;> Уи 6 С^П) (4)

и граничным условиям

д"и | _

_|г = 0)5 = о)5о-1.

Справедлива следующая Теорема 1.2.1. Пусть

а + !*{1,2,-,г} (5)

и выполнены условия 1)-Ш), (3). Тогда существует число Ло > 0 такое, что при А > Ао для любого заданного элемента F 6 У2'™_"аг+П1(П), где т-цг.юп чиыо такое, что 0 <т < то, существует единственное решение и(.г) задачи Оц. Это решение принадлежит пространству ,

и при этом справедлива оценка

< щр-^ит

где число М > 0 не зависит от Г и от А.

В §1.3 исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями и изучается вопрос зависимости класса решений от гладкости граничных функций.

о

Задача Ду Для заданного функционала ^ 6 (1У £и заданных

граничных функций € В2 2(Г), 5 = 0,5ц — 1, требуется найти функцию и(х) б И^2г;а(П), удовлетворяющую уравнению (4) и граничным условиям

д5и

— г = 5 = 0, 1, . . . , 5() — 1.

Разрешимость задачи Ду изучается при более жестком ограничении на рост коэффициентов пы(х), чем в §1.2. Вместо условия I) требуется выполнение условия

IV) существует число М > 0 такое, что

где Р(\к\) = а - г + |А|, если s0 < |*| < г, и /?(|А;|) = 0, если 0 < |fc| < sq — 1. Здесь (3 > — g- фиксированное число и мулътииндекс 7 такой, что Ы < "го-

Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия II)-IV), (3), (5). Тогда существует число Ац > 0 такое, что при А > Ло для любого заданного функционала F € Vr2"l^tr_m(i7), где m- целое число такое, что 0 < m < mo, и заданных граничных функциях <ps е а " 1/'2(Г), s = 0, Sq — 1, задача Dдг имеет единственное решение. Это решение принадлежит пространству Wj fi), и справедливо неравенство

и«; < мт v2m-:+mrn\+£ ы ^Иоиь

s=0

где константа M > 0 не зависит от F, {^»Islo*.

Рассмотрим оператор Р = (В,Т), где В- оператор, задаваемый равенством

В[и, V} + Х(и, v) =< Bu, V > Vu G WÎ^Îl) Vu e C0°°(fi),

и T - оператор следа. Каждой функции и 6 lV2r(((f2) оператор Р сопоставляет вектор-функцию с so 4-1 компонентами

Теорема 1.3.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.1, целые числа т,<т такие, что 0 < m < mo, 0 < о < mo- Тогда сужение оператора Р = {В]Т) на класс УУ^'^П) есть алгебраический и топологический изоморфизм

«0-1 5=0

Сформулированный в теореме 1.3.2. результат является обобщением соответствующих результатов работ B.JI. Байдельдннова (ДАН СССР, 1984; Труды МИАН, 1985) на случай некоэрцитивных билинейных форм.

Во второй главе диссертации исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений в полупространстве R* = {х = (х',хп),хп > 0}. Коэффициенты дифференциального оператора могут

обращаться в нуль или в бесконечность на гиперплоскости хп = 0 и при х„ —* оо. Глава состоит из трех параграфов.

Первый параграф второй главы (§2.1) содержит формулировки основных результатов. Второй параграф (§2.2) посвящен доказательству теоремы об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями. В третьем параграфе (§2.3) доказывается теорема об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями.

Исследования, проведенные во второй главе диссертации, примыкают к исс ледованиям С. А. Исхокова и по сравнению с ними ослаблены условия на коэффициенты рассматриваемого уравнения.

Пусть функция ¡р(1) е С°°(Я+) такая, что 0 < <р(0 < 1 для всех £ > 0; = 1 па отрезке [0,1/2] и <р{€) = 0 для всех 4 > 1.

Для двух вещественных чисел а,(3 вводятся весовая функция ^ (¿) = с£(£)£~° + (1 — ¡р( 1))^ (I € Е1) и следующие весовые классы функций и(х), определенных в полупространстве

Ц,,-Ж) =

1 /р

I х^и^^Чх |

11/р

4*1=4

и(х) : ||«;^_а(Л+)|| = {Е /^пРп\и(к){х)\^,Р < +оо

и{х): = |Е I^(х)\и^(х)\ЧхуР < +оо

= |||и; + IIй;< +оо|.

о

Свойства пространств И/рад7(Д!+), IV изучены С.А. Ис-

хоковым2. В частности, доказано, что если выполнены условия

-а + 1/2 ^ {1,2, - • • , г}, (3 + 1/2 ^ {1,2, • • • ,г}, -г + 1/2 < а <-1/2, г-0+ 1/2 <50, /? < г - 1/2, и

схоков С.А. О гладкости решения вырождающихся дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1905, т. 31, №4, стр. 641-653.

то для любого мультииндекса к : |/с) < г существует число Сщ > 0 такое,

ЧТО 1/2

{/2 < СщЦщЬ^ЮЦ (7)

т

для всех и € С^(Н^) . В условиях (6) целое число во такое, что т + а — 1/2 < во < г + а + 1/2.

Рассмотрим билинейную форму

Р[и,«]= / аИ{х)и{к\хуЩх)йх, (8)

коэффициенты которой являются комплекснозначными функциями и удовлетворяют условиям:

ы*)| < Мо1»(хп)х;;-г+^\ (9)

Яе £ аФЫ, > Мооа,0{хп) £ Ы2 (Ю)

для всех х € и любого набора комплексных чисел

Задача Вц. Для заданного функционала Р € тре-

буется найти решения С/(х) уравнения

р\и,у]=<р,у> у«/е 6^(72+), (И)

принадлежащее пространству IV -{¡К,)■

Результат о решимости этой задачи сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия (6).(9),(10) и неравенство М0-М £ у/с^Сщ > 0, (12)

|*|+|»|<2г-1

где Мо - константа из условия (10), М - из условия (9), а числа Сщ (|А'| < г) такие же, как в (7). Тогда для любого заданного функционала Р £ 5¡аД-Д-^п)) задача Оц имеет единственное решение и справедливо неравенство

\\и-,Щ;пА1{К) И ^

г.-е (и-

где число С > 0 не зависит от Р.

Символом С^(Я^) обозначим множество бесконечно дифференцируемых функций, которые обращаются в нуль при достаточно больших х„, а символом обозначим замыкание множества С^(Л^) в мет-

рике пространства И^д-^^С). Из результатов работы П.И. Лнзоркина3 следует, что если выполняются условия (6), то условие принадлежности

О

решения (1(х) уравнения (10) пространству IV 2-а в задаче £>я

равносильно условию

= 0, 5 = 0,50-1- (13)

т„=0

Переходим к изучению разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями (13). Рассмотрим следующую задачу.

Задача Ду Для заданного функционала Т7 € ^И' 2;п.(3.-((^п)) и за~ данного набора граничных функций

К 6 Вг2+а ' ЦК-г), г = 0,50 - 1, (14)

где £?£(./?,,-1) означает класс Бесова, требуется найти решение уравнения (11), принадлежащее пространству ^р1а/з7(й,Т) и удовлетворяющее граничным условиям

д'ц дх1

= г = 0, вц — 1.

х„=0

Разрешимость задачи О^ изучается при более жестких ограничениях нарост коэффициентов билинейной формы Р[и,и]. Обозначим

^о = {х = (х', хп) € Нп 0 < х„ < 1} .

Предположим, что выполняются условия:

М*)| < Мах;2и-2^1'1+1'1 (хеп„) (15)

для всех мультииндексов к, I таких, что )к\, |/| < г, 50 < |А;) < г;

Ых)\ < М2х6п-(а+г)+М (х€П0) (16)

3Лйзоркии П. И. О замыкании множества финитных функций в весовом пространстве XV 1рф //

Доклады АН СССР. 1978.. т.239, с. 789 - 792.

для всех мультииндексов к,1 таких, что |/| < г, 0 < |/с| < ¿о — 1;

|о«(*)1 < МзхЩ-^МЧ (х е #/П0). (17)

В условии (16) 6 - некоторое фиксированное число больше чем > —

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия (6), (9), (12), (15) - (17). Тогда для любого заданного функционала F 6 ({V г-.аД-Д^п)) 11 любого набора граничных функций (14) задача -Од- имеет единственное решение и{х), и имеет место следующее неравенство

{II <11

р, ыЖ)) + Е 11^вГ'~,ч(Д»-.)11

II " 1=0

где число С > 0 не зависит от Р и от набора граничных функций (14).

Третья глава диссертации посвящена исследованию однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в предельно-цилиндрической области (определение см. ниже), ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами. Здесь также изучаются дифференциальные свойства решения этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов дифференциального оператора, правой части уравнения и граничных функций. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в предельно-цилиндрической области, билинейные формы которых удовлетворяют условию коэрцитивности, ранее изучалась С.А. Исхоковьш (1999).

Пусть п > 2 и С — ограниченная область в (п — 1) - мерном евклидовом пространстве Л"-1, граница которой удовлетворяет условию конуса и не является линией уровня многочлена степени < г — 1 по переменным XI, ■ ■ ■ ,х„_1. Пусть ш(£) (—оо < £ < оо) ограниченная сверху, положительная, непрерывная функция. Обозначим через П - следующую предельно-цилиндрическую область в п - мерном евклидовом пространстве Я": О, = {х = (х',х„) € Я."-,х'/и;{хп) 6 (3}, где х' = (яь...,хп^г) €

Далее предполагается, что

(Иэ1{х,ТХп) < МсШ(х,дП) (18)

для всех х = (х',хп) £ П, где Г1п = {(х' ,хп),х'/ы(хп) € дС}.

Пусть У(т) - положительная дифференцируемая в интервале (0, с?) функция, которая удовлетворяет условиям

= У(2т)~У(т). (19)

Здесь и далее символ " ~ " означает наличие двухсторонней оценки с положительными константами.

Пусть р(х) - регуляризованное расстояние от точки х &С1 до границы д£1 и функция Iр(х) такая, что <р(х) ~ У(р(х)). Пусть г - натуральное, а, р - вещественные числа и 1 < р < оо.

Обозначим через Ьт пф(П) класс функций и(х), х 6 П, имеющих обобщенные в смысле Соболева производные г) порядка г (|/с| = г) с конечной полунормой

11«; = \ £ / 11Ч-ГП

Символом И^ а ДП) обозначим весовое пространство функций и(х) из класса V ^(П) - с конечной нормой

Пусть а^г(х) (|/г|, |/| < г, гбП)- измеримые в П, комплекснозняч-ные ограниченные функции и р/Д.г) = </7(:г)ра_г4!А'(х). где а - некоторое вещественное число (па которое далее будут наложены дополнительные ограничения).

Рассмотрим билинейную форму

В[и,«]= ]Г [ рк(х)р1(х)ак1(х)и(х)уМ(х)с1х, ' (20)

первоначально определенную на всех и, и € Со°(Л). Число всевозможных п-мерных мультниндексов, длинной не больше г, обозначим через ж = ве(г). На множество П х С':с введем функцию

|*-|,!1|<г

п предположим, что для всех I 6 Я, ( £ С '1' она удовлетворяет условиям

|агеЛ(*-,01<7г-е, (21)

£|&|2<МДе{7(*ММЬ (22)

|Ь|=г

где £ - некоторое число из интервала (0,7т) и комплексиозпачная функция ~, (х) непрерывна, и отлична от нуля в 12.

Рассматривается следующая вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями.

Задача Dx.ii ■ Для заданного функционала Рё ^ ;>еб>

ется п.II! ш решение У(х) уравнения

B[U, v] + \{U, v) = (F, t»), Vi; 6 f„x(П)-

(23 i

принадлежащее пространству W '2 n d(il).

С целью изучения гладкости решении задачи Од;/ в зависимости от гладкости коэффициентов аы(т) и правой части уравнения F предположим, что

|a<?(x)| < A/,p-l"l(i) (х € П; |g| < m), (24)

где m - некоторое натуральное число. Теорема 3.1.2. Пусть

а + |^{1.2,...)г}, г — а > О

и выполнены условия (18), (19), (21), (22). Пусть функция w[xn) в определении области (2 такая, что lim w(x„) — 0, а функция у(.т) в условии

(22) ограничена в £1 и для любого числа v > 0 существует число й„ > О такое, что |7(х) - -у(у)| < v для всех х,у € f2\ß(0, RJ). где В(0, Д„) -шар радиуса Я„ с центром в начале системы координат. Пусть выполнено условие (24) us - целое 'число из отрезка [0, т\.

Тогда существует число Лц > 0 такое, что если А > Лц . то для любого элемента F € 2^,-« существует единственное решение

о

задачи Оуц. оно принадлежит пространству W г-и+^Ф) и справедлива оценки

< м

^ (и- ^..„(П))'

где число М > 0 не зависит от А € [Ао, +оо] и от функционала F.

Далее рассматривается вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями. Обозначим через д (п — 1)-мсриый открытый шар. который содержится в области С и удовлетворяет условию сИв^х', дв) > С > 0 Ух'6 д.

Определяется весовое пространство функций и(х) (х е Н) с.

конечной нормой

=

1 /р

к-г.

где

По = •! X - (х', х„) € Яп; * ■ € д >. I ги(х„) ]

Пространство при (р(х) 1 обозначим черга При

о - - £ {1,2. ••• , г}, с точностью до эквивалентности норм, выполняется Р

равенство

Задача /Л.Л'- Для заданного функционала Р 6 ^Т '2 „(П)^ и заданной функции Ф 6 Т2.а(0) требуется найтн решение 11 (х) уравнения (23),

о

удовлетворяющее условию [/ — Ф 6Т

I 'езулг.тат о разрешимости задачи .Од,.у сформулируем с учетом изуче-ння гладкости се решения.

Теорема 3.1.4. Пусть выполнены, условия (18). (21), (22) и числ,о Ао, функции и>(х„), -у(х) такие же, как.в теорема 3.1.2, а функция <р{х), участвующая в определении билинейной формы (20), тождественно равна единице.

Пуетх» а + | {1,2, ■• • , г}. — ^ < а < г — | и пусть существует натуральное число т т.акос, чт.о

\а-ы(х)\ — (хбП)

Лая всех мулътииндексов к, А, (¡г таких, что < г, < т.

Тогда при А > А0, Г е (г з^)) > ф(ж) 6 где целое

число в 6 [0, т\, решение II(х) задачи принадлежит пространству

и справедлива следующая оценка

£ м (т Га-.(П))| + .

где число М > 0 не зависит от А, ^ и Ф.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору С.А. Исхокову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Публикации по теме диссертации

1. Исхоков С.А., Каримов А.Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2004, том ХЬУИ, №4, с. 68-74.

2. Исхоков С.А., Каримов А.Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами // Математические заметки ЯГУ, 2005, том 12, выпуск 1, с.74-86.

3. Каримов А.Г. О разрешимости вариационной задачи Дирихле в полупространстве //Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2006, том 49, №4, с. 306-310.

4. Исхоков С.А., Каримов А.Г. Вариационная задача Дирихле в предельно-цилиндрической области, порожденная некоэрцитпвной формой //Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2006, том 49, №8, с. 696-703.

5. Каримов А.Г. О вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Материалы международной конференции "Математика и информационные технологии", Душанбе, 27.10.2006, с.31-33.

Подписано в печать 19.10.09. Формат 60x84. Тираж 100 экз. Цена договарная.

Отпечатано в типографии ООО «ХовароН» УлДж.Расулова 6/1

1. БаЙДЕЛЬДИНОВ Б. Л. Об одном аналоге первой краевой задачи для эллиптического уравнения порядка 2т со степенным вырождением на границе // Доклады АН СССР. 1983, т.270, №5, с.1038 - 1042.

2. Бесов о. в., Ильин в. П., Кудрявцев Л. Д.,Лизоркин П.И., никольский С.М. Теоремы вложения классов дифференцируемых функций многих переменных //Дифференц. уравнения с частными производными.- М.: Наука, 1970.- с. 38 63.

3. БОЙМАТОВ К. X. Распределение собственных значений вырождающихся эллиптических операторов в предельно-цилиндрических областях // Доклады АН СССР, 1989, т. 308, №1, с.11-14.

4. БОЙМАТОВ К. X. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрцитивными формами // Доклады АН России, 1994, т. 339, №1, с.5-10.

5. БОЙМАТОВ К. X. Граничные задачи для некоэрцитивных форм // Доклады АН РТД998, т. XLI, №10, с.10-16.

6. БОЙМАТОВ К. X., ИСХОКОВ С.А. О разрешимости и спектральных свойствах вариационной задачи Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой //Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН. 1997, т.214, с. 107-134.

7. БОЙМАТОВ К. X., Исхоков С.А. О собственных значениях и собственных функциях матричных дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Вестник Хорогского Университета. Естественные науки, 2000, №2, с.13-24.

8. БОЙМАТОВ К. X., СЕДДИКИ К. Граничные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированных с некоэрцитивными формами // Доклады АН России, 1997, т. 352, №3, с.295-297.

9. ГАДОЕВ М. Г., ОЛИМОВ М.И. Об асимптотике спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов в предельно-цилиндрических областях // Доклады АН РТ, 1993, т.36, №2, с. 79-82.

10. ГОХВЕРГ И. Ц., КРЕЙН М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве М.: Наука, 1965, 448 стр.

11. ИСХОКОВ С.А. О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Доклады Академии наук (Россия), 1993, т. 330, №4, стр. 420-423.

12. ИСХОКОВ С.А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Доклады Академии наук (Россия), 1995, т. 342, №1, стр. 20-22.

13. ИСХОКОВ С.А. О гладкости решения вырождающихся дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1995, т. 31, №4, стр. 641-653.

14. ИСХОКОВ С.А. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Доклады Академии наук (Россия), 1995, т. 345, №2, стр. 164-167.

15. ИСХОКОВ С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов с пестепенным вырождением, порожденных некоэрцитивными // Доклады Академии наук (Россия), 2003, т. 392, №5, стр. 606609

16. ИСХОКОВ С.А., УСМАНОВ Н. У. Обобщенная задача Дирихле для одно-го класса вырождающихся эллиптических систем дифференциальных уравнений в цилиндрической области // Доклады АН Республики Таджикистан, 1993, т. 36, №12, стр. 424-428.

17. ИСХОКОВ С.А., УСМАНОВ Н. У. Вариационная задача Дирихле в предельно-цилиндрической области //В сб.: "Дифференциальные и интегральные уравнения". Душанбе. 1997, стр. 43-47.

18. КАТО Т. Теория возмущений линейных операторов М.: Мир, 1972, 740 стр.

19. КОНДРАШОВ В. И. Об одной оценке для семейств функций, удовлетворяющих некоторым интегральным неравенствам // ДАН СССР.-1938.-Т. 18,- №4-5.-С. 253-254.

20. ЛИЗОРКИН П. И. О замыкании множества финитных функций в весовом пространстве // Доклады АН СССР. 1978, т.239, №4, с. 789- 792.

21. ЛИЗОРКИН П. И. К тории вырождающихся эллиптических уравнений //Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1985, т. 172, с. 235 271.

22. ЛИЗОРКИН П. И., МИРОШИН Н. В. О гладкости решения первой краевой задачи для одного модельного вырождающегося эллиптического оператора второго порядка // Дифференциальные уравнения, 1986, т.22, №11, с.1945 1951.

23. ЛИЗОРКИН П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением // ДАН СССР.-1981.-Т. 259.-М.-С. 21-23.

24. ЛИЗОРКИН П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением. Вариационный метод //Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1981, т. 157, с.90 118.

25. ЛИЗОРКИН П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью //Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1983, т.161, с.157 183.

26. Лионе Ж.-Л., МАДЖЕНЕС Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971, 372 стр.

27. МИРОШИН Н.В. К вариационной задаче Дирихле для вырождающихся на границе эллиптических операторов // Доклады АН СССР. 1988, т.298, №5, с.1069 1072.

28. НИКОЛЬСКИЙ С. М. О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференцируемых функций многих переменных //Успехи мат. наук. -1961-Т.16-№5-С.63-114.

29. НИКОЛЬСКИЙ С. М. Приближений функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. М.: Наука, 1977, 455 с.

30. НИКОЛЬСКИЙ С. М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе //Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1979, т.150, с.212 238.

31. Никольский С.М., ЛИЗОРКИН П.И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе// ДАН СССР.-1964.-Т. 159,- №3.-С. 512-515.

32. РОЗЕНБЛЮМ Г. В. О собственных числах первой краевой задачи в неограниченных областях // Математический сборник, 1972, т. 89(131),№2(10), стр. 234 247.

33. РЫБАЛОВ Ю. В. О краевой задаче в полупространстве с граничными условиями на бесконечности // Дифференциальные уравнения, 1979, т. 15, №12, с. 2193 2204.52. соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974, 808 с.

34. СТЕЙН PI. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир 1973, 342 с. х

35. ТРИБЕЛЬ X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы,- М.: Мир.- 1980.- 664 с.

36. ТРИБЕЛЬ X. Теория функциональных пространств. М.: Мир. 1986г. 448 стр.

37. УСПЕНСКИЙ С. В. О теоремах вложения для весовых классов // Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, 1961, т. 60, с. 282-303.

38. ШАНЬКОВ В. В. Оператор усреднения с переменным радиусом и обратная теорема о следах // Сибир. матем. журнал.- 1985.- Т.26 №6 -с.141-152.

39. ISKHOKOV S. A. On solvability and smoothness of a solution of the variational Dirichlet problem for degenerate elliptic equations in the half-space // Математические заметки ЯГУ. 1998, т. 5, №2, стр. 85-105.

40. ISKI-IOKOV S. A. The Variational Problem for a Degeneration Elliptic Equation in a Limit Tube Domain.//Математические заметки ЯГУ. 1999, v. 6, №1, pp. 60 - 76.

41. ИСХОКОВ С.А., КАРИМОВ А.Г.О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами // Доклады Академии Наук Республики Таджикистан, 2004, том XLVII, №4, с. 68 74.

42. ИСХОКОВ С.А., КАРИМОВ А.Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами // Математические заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, Выпуск 1. С.74-86.

43. ИСХОКОВ С.А., КАРИМОВ А.Г. Вариационная задача Дирихле в предельно-цилиндрической области, порожденная некоэрцитивной формой //Доклады Академии Наук Республики Таджикистан, 2006, том 49, №8, с.

44. КАРИМОВ А.Г. О разрешимости вариационной задачи Дирихле в полупространстве //Доклады Академии Наук Республики Таджикистан, 2006, том 49, №4, с.

45. КАРИМОВ А.Г. О вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Материалы международной конференции "Математика и информационные технологии", Душанбе, 27.10.2006, с.31-33.N