О некоторых смешанных краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся внутри и на границе области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

1. СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Теоремы единственности и существования решения задачи

2. СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ И НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ

2.1. Постановка краевой задачи.

2.2. Однозначная разрешимость задачи.

3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ,

С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ.

3.1. Постановка краевых задач.

3.2. Теорема о единственности решения поставленных задач и явные формулы решения краевых задач.

При решении многих важных вопросов прикладного характера, а именно в газовой динамике, теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и других областях математической физики, встречаются вырождающиеся эллиптические уравнения. Поэтому в последние десятилетия краевые задачи для таких уравнений привлекают внимание многих авторов.

Первые работы по вырождающимся эллиптическим уравнениям относятся к уравнению вида г) 11 г) ?/ рассматриваемому в области И, ограниченной отрезком АВ оси х и гладкой кривой Г, выходящей из точек А и В, лежащей в полуплоскости у > 0. Для уравнения(1) задача Дирихле и задача ДО", в которой на Г заданы значения искомой функции, а на АВ поставлено условие = были подробно исследованы Ф. Трикоми [62], С. °у у= О

Геллерстедтом [76], Е. Хольмгреном [78], Ф. И. Франклем [65], К. Е. Бабенко [2] и другими.

Ф. Трикоми в фундаментальной работе [62] изучил разрешимость задачи Дирихле для нормальной области £>о, а затем, применяя альтернирующий метод Шварца, и для областей общего вида. Нормальной областью для уравнения (1) будем называть область I), у которой кривая Г совпадает с "нормальной" кривой, представленной уравнением х - ж0)2 + —Ут+2 = к2 (у> 0). [т + ¿у

С. Геллерстедт [76] показал, что задача Дирихле и задача N могут быть решены при помощи функции Грина, которая в случае нормальной области выписывается в явном виде. Ранее функция Грина задачи N в явном виде была получена Е. Хольмгреном [78]. В случае произвольной области И регулярная часть функции Грина ищется в виде потенциала двойного слоя с плотностью Для плотности //(£) получается уравнение Фредгольма, причем предполагается, что концы кривой Г совпадают с дугами нормальной кривой. Ф. И. Франклю в статье [65] удалось избавиться от этого ограничения. Он сводит обе рассматриваемые краевые задачи к уравнениям Фредгольма, причем предполагается, что кривая Г подходит к оси х в точках А и. В под прямым углом. Если же Г не удовлетворяет этому условию, то на концах кривой Г ядро интегрального уравнения обращается в бесконечность порядка единица и, следовательно, неприменима теория Ф. Рисса — Шаудера вполне непрерывных операторов в пространстве Банаха. Л. Вольферсдорф показал, что в этом случае также имеет место альтернатива Фредгольма. В статье [11] он исследовал задачу Неймана для уравнения Трикоми (1). Н. Е. Товмасян [61] изучил задачу Дирихле и задачу Ы, когда граничные данные имеют разрыв в конечном числе точек, находящихся на АВ.

А. В. Бицадзе [4] доказал существование и единственность решения задачи Дирихле для уравнения д^и д2и ди д и

М. В. Келдыш [28] установил, что постановка первой краевой задачи для уравнения сРи д^и Ои ди д^ + ут д^ + У) + ^ + С(Ж' ^ М = ° (2) зависит от показателя га и от поведения коэффициента Ь(х,у) при у —Ь 0. Если выполнено одно из условий

1) га < 1, 2) т = 1, Ь(ж,0) < 1,

3) 1 < т < 2 , &(>, 0) < 0, 4) га > 2 , Ь(х,0) < 0 , то граничное значение надо задавать на всей границе области И. Если же

5) т = 1, Ъ(х, 0) > 1, 6) 1 < га < 2, Ь(ж,0) >0,

7) га > 2, Ь(ж,0) > 0, то часть границы, совпадающей с линией вырождения, освобождается от граничного условия. В этих случаях М. В. Келдыш доказал существование и единственность первой краевой задачи.

Когда для уравнения (2) в области И задача Дирихле не разрешима, естественно заменить условие ограниченности Пт и(х,у) условием

Ит ф(х,у)и(х,у) = <р(х), 0 где ф{х,у) — известная функция, причем Ншф(х,у) = 0, а ср(х) — у-+о заданная непрерывная функция. В такой постановке краевая задача для уравнения (2) была впервые сформулирована А. В. Бицадзе [4], а затем рассмотрена в работах С. А. Терсенова [59], [60], Хоу Чун-и [72] и других.

Для уравнения (2) О. А. Олейник [48] рассмотрела задачу с косой производной h Au = (р на Г (А < 0) (3)

77 в тех случаях, когда часть границы, совпадающей с линией вырождения, освобождается от граничных условий. Н. Д. Введенская [6] для уравнения (2) при условии, что для него всегда разрешима задача Дирихле, доказала существование и единственность решения краевой задачи, в которой на Г поставлено условие (3), а на АВ заданы значения искомой функции.

С. Г. Михлин [42], [41] применил вариационные методы при доказательстве разрешимости первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения в ограниченной области D С ( хп > 0) и примыкающей частью Гд (поверхность вырождения) своей границы Г к плоскости хп = 0. Он нашел простое достаточное условие на коэффициенты (выраженное в алгебраической форме), при котором решение первой краевой задачи сводится к решению некоторого уравнения с вполне непрерывным оператором.

М. И. Вишик [10] рассмотрел основные краевые задачи для уравнения п д ( ди\ п ди д^Ааф) w+£ ы(х) si+с(х) и = /(ж)> (4) эллиптического в точках х с хп > 0 и параболического в точках х° с х®п = 0. Уравнение (4) изучается в области D, расположенной в хп > 0 и имеющей часть границы Го в плоскости хп — 0. М. И. Вишик показал, что на постановку первой и второй краевых задач в основном влияет только показатель, аналогичный т (см. уравнение (2)), и в случае т > 1 коэффициент Ъп(х). Им доказаны теоремы о разрешимости и единственности решения этих краевых задач, а также установлены некоторые спектральные свойства этих задач.

Дальнейшее развитие теория краевых задач для вырождающихся уравнений получила в работах Л. Д. Кудрявцева [30],[31], М. А. Лаврентьева [33], Г. Фикера [64], А. М. Ильина [20],[21], И. Н. Векуа [8],[9], И. Л. Кароля [25], М. М. Смирнова [57],[58], М. С. Салахитди-нова [55], В. П. Михайлова [40], О. А. Олейник [48], И. М. Петрушко

50], А. М. Нахушева [46], В. Н. Врагова [12], В. В. Катрахова [26], А. И. Кожанова, Н. В. Ларькина [35], И. Е. Егорова [16], А. Г. Подгаева

51], С. Г. Пяткова, В. А. Брюханова [5] и др. Обширную библиографию работ в этом направлении можно найти в [4], [57], [58], [59], некоторые из них содержатся в списке литературы.

Отметим, что большинство работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям такие как [4], [5], [10], [12], [15], [17], [21], [28], [35], [48], [57], [59], [62], [64], [65], [76], [78], [85] и многие другие посвящены краевым задачам, когда на линии вырождения задаются либо условие Дирихле, либо условие Неймана, либо линия вырождения освобождается от граничных условий. Особенностью данной диссертационной работы является то, что в рассмотренных нами краевых задачах из глав 1 и 2 на одной половине линии вырождения задается нормальная производная с весом, а на остальной границе задаются значения искомой функции.

Заметим, что некоторые модельные задачи для вырождающихся эллиптических уравнений были исследованы Хе Кан Чером в статьях [67-71]. Отличием краевых задач из главы 3 от задач, рассмотренных ранее Хе Кан Чером, является то, что в них эллиптическое уравнение имеет вырождение не только на границе области, а еще и внутри области.

При исследовании поставленных нами задач мы опирались на теорию функций комплексного переменного и ее приложению к решению сингулярных интегральных уравнений. Теория сингулярных уравнений зародилась в начале настоящего столетия в трудах классиков математики Д. Гилберта и А. Пуанкаре, была существенно продвинута в начале 20-х годов работами Ф. Нетера и Т. Карлемана и получила бурное развитие благодаря исследованиям таких математиков, как Ф. Д. Гахов, И. Н. Векуа, Н. П. Векуа, Д. А. Квеселава, В. Д. Купрадзе, Л. Г. Магнарадзе, С. Г. Михлин, Н. И. Мусхелишвили, И. И. Привалов, Б. В. Хведелидзе, Д. И. Шерман и другие.

Так называемая задача Римана впервые была исследована Д. Гилбертом, который дал решение однородной краевой задачи Римана. Пользуясь условиями того, что произвольная комплексная функция является краевым значением аналитической функции, Гилберт [77] составил интегральное уравнение Фредгольма, которому удовлетворяет решение задачи. В дальнейшем авторы, рассматривавшие общий случай краевой задачи, шли по тому же пути сведения задачи к интегральному уравнению, используя в качестве аппарата интегралы типа Коши.

Общая теория сингулярных интегральных уравнений была впервые разработана Ф. Нетером [80], который установил ряд свойств сингулярных уравнений, известных теперь под названием теорем Нетера.

В работе Т. Карлемана [74] было дано решение характеристического уравнения с ядром Коши в частном случае, когда коэффициенты уравнения постоянные и контур есть отрезок оси абсцисс [0 ; 1]. Здесь же был указан способ регуляризации решением характеристического уравнения.

Теория Ф. Д. Гахова [14] решения краевой задачи Римана применяется при исследовании сингулярных интегральных уравнений.

И. Н. Векуа в монографии [7] дал исчерпывающее решение характеристического уравнения и тщательно разработал метод регуляризации решением характеристического уравнения, который Н. И. Мусхелишвили [43] был назван методом Карлемана — Векуа.

Разработка основных вопросов теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши (включая случаи разрывных коэффициентов и незамкнутого контура), базирующаяся на решении краевой задачи Римана, была произведена в основном трудами грузинских математиков.

Целью данной работы является постановка и исследование смешанных краевых задач для некоторых эллиптических уравнений, вырождающихся внутри и на границе заданных областей. Требуется доказать существование и единственность решений поставленных задач.

В диссертации установлены следующие новые результаты. Даны корректные постановки и исследованы

1). Краевая задача для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе области со смешанными краевыми условиями Неймана с весовой функцией или Дирихле на линии вырождения и условием Дирихле на остальной эллиптической части границы.

2). Краевая задача для эллиптического уравнения, вырождающегося внутри и на границе области, в которой на одной половине линии вырождения задана частная производная с весом, а на остальной границе заданы значения искомой функции.

3). Краевая задача для вырождающегося внутри области эллиптического уравнения, в которой на граничной линии вырождения, за исключением начала координат, задано условие Неймана с весом, а на границе, принадлежащей области эллиптичности уравнения, поставлено условие Дирихле.

4). Первая краевая задача для эллиптического уравнения, вырождающегося внутри и на границе области.

Для всех указанных выше задач доказаны теоремы существования и единственности решений.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на V Международной конференции женщин - математиков " Математика. Экономика", г. Ростов-на-Дону, 1997, на II международной конференции по математическому моделированию, г. Якутск, 1997, на Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике, г. Новосибирск, 1998, на краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов, г. Хабаровск, 1999 и 2000, а также в Дальневосточной математической школе - семинаре имени академика Е. В. Золотова, 1999, на семинаре "Дифференциальные уравнения" (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А.Г.), на семинаре ХГТУ "Неклассические уравнения математической физики" (рук. д.ф.-м.н., проф. Хе Кан Чер), на семинаре "Численные методы" ВЦ ДВО РАН (рук. д.ф.-м.н., проф. Смагин С.И.), на научном семинаре в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. д.ф.-м.н. чл.-корр. РАН Кузнецов Н.В.).

По теме диссертации опубликовано 7 работ, в которых отражено ее основное содержание.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Александров А. В. Задача Пуанкаре для эллиптических систем второго порядка на плоскости в классах типа Харди // Дифференциальные уравнения. 1997. Т.33. N 8. С. 1069-1075.

2. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа. Докт. дисс. Библиотека Матем. ин-та АН СССР, 1952.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973.

4. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

5. Брюханов В.А. О первой и третьей краевых задачах для некоторых классов эллиптических уравнений, вырождающихся на границе. Канд. дисс. Новосибирск, 1973.

6. Введенская Н.Д. Об одной краевой задаче для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // ДАН СССР. 1953. Т. 91. N 4. С. 711-714.

7. Векуа H.H. О сингулярных линейных интегральных уравнениях // ДАН СССР. 1940. Т.26. N 8. С. 335-338.

8. Векуа H.H. Новые методы решения эллиптических уравнений. Гостехиздат, 1948.

9. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции и их применения. Физматгиз, 1959.

10. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Матем. сб. 1954. 35(77). N 3. С. 513-568.

11. Вольферсдорф Л. О сингулярной эллиптической задаче Неймана для уравнения Трикоми // Изв. вузов, Математика. 1962. 1 (26). С. 14-19.

12. Врагов В.Н. О первой краевой задаче для одного класса эллиптических уравнений, вырождающихся на границе. Канд. дисс. Новосибирск, 1971.

13. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Учеб. пособие. Новосибирск: НГУ, 1983. 84 с.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

15. Диденко В.П. Первая краевая задача для некоторых эллиптических систем дифференциальных уравнений с вырождением на границе // Сиб. мат. журн. 1965. Т.6. N 4. С. 814-831.

16. Егоров И.Б. Аналитичность решений сингулярных эллиптических уравнений // Мат. сб. 1987. Т. 133(175). С. 147-153.

17. Евсин В.Н. Задача Хольмгрена для одного уравнения с сингулярными коэффициентами // Дифф. уравнения. 1973. Т.9. N 1. С. 47-48.

18. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик JI.C., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

19. Зайнулабидов М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5. N 1. С. 99108.

20. Ильин A.M. О задаче Дирихле для уравнения эллиптического типа, вырождающегося на некотором множестве внутренних точек области // Докл. АН СССР. 1935. Т. 102. N 1. С. 9-12.

21. Ильин A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения // Мат. сборн. 1960. 50(92), N 4. С. 443-498.

22. Ильин A.M. Сингулярные возмущения вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений // Теория и прил. методов мал. параметра: Конф., посвящ. 90-летию со дня рожд. акад. А. Н. Тихонова, Обнинск, 2-6 июля, 1996. Тез. докл. -Обнинск, 1996. С. 39.

23. Иосида К. Функциональный анализ, М., "Мир", 1967.

24. Исамухамедов С.С. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода. Канд. дисс. Ташкент, 1975.

25. Кароль И.Л. К теории уравнений смешанного типа // ДАН СССР. 1953. Т.88. N 3. С. 397-400.

26. Катрахов B.B. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб. 1980. Т.112. N 3. С. 354-379.

27. Квадрас Б. В. О существовании регулярных решений у сильно вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. N 10. С. 1376-1385.

28. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. Т.77. N 2. С. 181-183.

29. Кожанов А.И. Априорные оценки обобщенных решений квазилинейных эллиптических вырождающихся уравнений // Дифференц. уравнения. 1976. Т.12. N 1. С. 69-78.

30. Кудрявцев Л.Д. О решении вариационным методом эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1956. Т. 108. N 1. С. 16-19.

31. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989. 736с.

32. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832 с.

33. Лаврентьев М.А. , Бицадзе A.B. К проблеме уравнения смешанного типа // ДАН СССР. 1950. Т.70. N 3. С. 373-376.

34. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

35. Ларькин H.A. О разрешимости некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа. Канд. дисс. Новосибирск, 1975.

36. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981. 384 с.

37. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями // Проблемы математического анализа. Л.: ЛГУ, 1977. Вып. 6. С. 85-145.

38. Маричев О.И. Весовые задачи Неймана и Дирихле в полуплоскости для обобщенного уравнения Эйлера Пуассона - Дарбу //Известия АН БССР. 1976. 4. С. 128—131.

39. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

40. Михайлов Л.Г. Эллиптические уравнения с сингулярными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1962. Т.26. N 2. С. 293-312.

41. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.ЮГИЗ, 1949.

42. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Гостехиздат,1957.

43. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

44. Нагумо М. Лекции по современной теории уравнений в частных производных. М.: Мир, 1967.

45. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

46. Нахушев A.M. Об одной задаче смешанного типа для уравнения у(у 1 )ихх + иуу = 0 // ДАН СССР. 1966. Т.166. N 3.

47. Олевский М.Н. Решения задачи Дирихле, относящейся к уравнению Ди + f-^r — р для полусферической области // Докл. АН СССР. 1949. Т.64. N 6. С. 767-770.

48. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области // ДАН СССР. 1952. Т.87. N 6. С. 885-886.

49. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Физматгиз, 1961.

50. Петрушко И.М. О фредгольмовости некоторых краевых задач для уравнения ихх + уиуу + а(х, у) иу + ß(x, у) их + j(x, у) и = f{x, у) В смешанной области // Дифф. уравнения. 1968. Т.4. N 1. С. 123-135.

51. Подгаев А.Г. Альтернирующий процесс для многомерного вырождающегося уравнения // Динамика неоднородной жидкости (Динамика сплошной среды. Вып. 56). Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1982. С. 122-131.

52. Поливанов H.H. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения. Сердика. Българско математическо списание. 1975. N 1. С. 295-310.

53. Раджабов Н., Саттаров A.C., Джабиров Д.К. Аналог формулы Пуассона для одного уравнения второго порядка эллиптического типа с двумя сингулярными линиями // ДАН Таджикской ССР. 1977. Т. XX, 12. С. 3-7.

54. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. Часть 2: учебное пособие. Душанбе: Тадж. ГУ, 1981. 171 с.

55. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа, изд-во Фан, Уз.ССР, 1974. 156 с.

56. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

57. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

58. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.

59. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Спецкурс для студентов-математиков. Новосибирск: НГУ, 1973. 144 с.

60. Терсенов С.А. О первой краевой задаче для уравнения эллиптического типа с сингулярными коэффициентами внутри области // ДАН СССР. 1976. Т.231. N 3. С. 543-546.

61. Товмасян Н.Е. Некоторые краевые задачи для уравнений Лапласа с разрывными граничными данными // Сиб. мат. журн. 1964. Т.5. N 1. С. 174-185.

62. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

63. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. Изд-во иностранной лит-ры, 1960.

64. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-парабодических уравнений второго порядка // Сборн. пер. Математика. 1963. Т.7. N 6. С. 99-120.

65. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 712 с.

66. Франкль Ф.И. К теории уравнения уххх + гуу — 0 // Изв. АН СССР, сер. матем. 1946. Т.10. N 2. С. 135-166.

67. Хе Кан Чер. Смешанная краевая задача для двух вырождающихся эллиптических уравнений // Динамика сплошной среды.1976. 24. С. 115-123.

68. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа // Сиб. мат. журн.1977. Т. 18, VI. С. 1426-1429.

69. Хе Кан Чер. О первой краевой задаче для уравнения эллиптического типа, вырождающегося внутри области // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР. 1984. С. 143—154.

70. Хе Кан Чер. О представлении решений для одного класса вырождающихся уравнений //Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1985. С. 205-208.

71. Хе Кан Чер. Обобщенная интегральная формула Пуассона для части шара // Ред. Сиб. мат. журн. 1987. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 31. 07.87, N 5486. -В 87. -(см. Аннотацию: Сиб. мат. журн. -1988. -Т.30, N 1. - с. 225).

72. Хоу Чунь-и. Задача Дирихле для одного класса линейных эллиптических уравнений второго порядка с параболическим вырождением на границе области // Sc. Rec. new. ser. 1958. 2. N 8. С. 244-249.

73. Янушаускас А. Некоторые граничные задачи для эллиптических уравнений, порядок которых вырождается // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. N 6. С. 1035-1042.

74. Carleman T. Sur la resolution de certaines equations integrales // Arkiv Mat., Astr., och Phys. 1922. V.16. N 26. P.l-19.

75. Costabel Martin, Dauge Monique. A singularly perturbed mixed boundary value problem // Commun. Part. Differ. Equat. 1996. V.21. N 11-12. P. 1919-1949.

76. Gellerstedt S. Sur un Probleme aux Limites pour L'Equation y2szxx + zyy = 0 //Arkiv Mat., Astr., och Fysik. 1935. 25 A, N 10. P. 1-12.

77. Hilbert D. Uber eine Anwendung der Integralgleichungen auf einige Randwertaufgaben. Gottingen, 1907.

78. Holmgren E. Sur un problème aux limites pour l'équation ymzxx + Zyy = 0, Arkiv Mat., Astr., och Fysik. 1926. N 14, 19 B.

79. Mingqi Yu, Xiting Liang. Everywhere Holder continuity of solutions of certain degenerate elliptic system // J. Math. Anal, and Appl. 1996. V.203. N3. P. 654-671.

80. Noether F. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen // Math. Ann. 1921. V.82. P.42-63.

81. Serra Cassano F. On the local boundedness equations // Ball. Unione mat. ital. B. 1996. V.10. N 3. P. 651-680.

82. Usanetashvili M. The Dirichlet problem for a second order elliptic system with parabolic degeneration on a part of boundary // Сообщ. АН Грузии. 1997. T.155. N 1. С. 29-30.

83. Usanetashvili M. Weighted problems for second order elliptic equtions degenerated on a whole boundary // Сообщ. АН Грузии. 1997. T.155. N 2. C. 168-169.

84. Weinstein A. Discontinuous Integrals and Generalised Potential Theory // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. Vol. 63. N 2. P. 342354.

85. Хан Сун Э. Краевые задачи для вырождающегося внутри и на границе области эллиптического уравнения // Тезисы докладов V Международной конференции женщин математиков "Математика. Экономика." Ростов-на-Дону, 1997. С. 38-39.

86. Han Sun Е. Boundary Value Problems for an Elliptic Degenerate in the Interior and on the Boundary of a Domain // Математические заметки ЯГУ. 1997. T.4. Вып. 1. С. 110-114.

87. Хан Сун Э. О смешанной краевой задаче для модельного вырождающегося эллиптического уравнения // Тезисы докладов

88. Международной конференции по математическому моделированию. Якутск, 1997. С. 56-57.

89. Хан Сун Э. О смешанной краевой задаче для эллиптического уравнения с двумя линиями вырождения // Тезисы докладов

90. I Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск, 1998. С. 44.

91. Хан Сун Э. О смешанной краевой задаче для модельного вырождающегося эллиптического уравнения // Дальневосточный математический сборник. 1998. 6. С. 22-28.

92. Хан Сун Э. Смешанные краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений // Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара имени академика Е. В. Золотова. Владивосток, 1999. С. 82-83.

93. Хан Сун Э. Смешанная краевая задача для эллиптического уравнения с двумя линиями вырождения // Препринт N 39 ВЦ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999. 16 с.