Решение краевых задач для некоторых вырождающихся В-эллиптических уравнений методом потенциалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

003452808

Хисматуллин Айрат Шамилевич

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ В - ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Казань — 2008

003452808

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Татарского государственного гуманитарно - педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Мухлисов Фоат Габдуллович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Зарубин Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Бурмистров Борис Николаевич

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится " 4 " декабря г. в 11 1 (> "часов на заседании диссертационного совета Д.212.081.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, Ул. Профессора Нужина, д. 1/37, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. Н. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф. - м. н., доцент

г*._____-—-— Липачев Е. К.

0Ни

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Вырождающиеся и сингулярные эллиптические уравнения представляют собой один из наиболее важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упругости, механике сплошной среды и др. К числу первых в этой области относится работа М. В. Келдыша (1951), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий. После М. В. Келдыша постановки краевых задач были распространены на широкие классы уравнений С. М. Никольским, А. В. Бицадзе, Л. Д. Кудрявцевым, И. А. Киприяновым, П. И. Лизоркиным, М. И. Вишиком, В. В. Грушиным, X. Трибелем, Ф. Г. Мухлисовым и многими другими. Некоторые результаты в данной области отражены в монографиях А. В. Бицадзе, М. М. Смирнова и X. Трибеля, там же имеется обширная библиография.

Одним из интенсивно развивающихся направлений здесь является исследование краевых задач для эллиптических уравнений с оператором Бесселя.

Уравнение эллиптического типа, по одной или нескольким переменным которых действуют операторы Бесселя и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И. А. Киприяновым были названы В - эллиптическими.

Первые работы по В - эллиптическим уравнениям относятся к уравнению вида

где ВХр = хр - оператор Бесселя, к > 0 - постоянная.

(1)

В 1948 г. А. Вайнштейном были построены фундаментальные решения уравнения (1) при р = 2 и изучены их свойства. В этом же году И. Н. Векуа доказал корректность постановки задачи Дирихле для уравнения (1) при р=2иО<А;<1в полуплоскости у > 0. Эта работа послужила основой для дальнейших исследований М. Н. Олевского, С. П. Пулькина, В. Ф. Волкодавова, Ю. П. Кривенкова и др.

Период наиболее интенсивного развития теории В - эллиптических уравнений приходится на последние три десятилетия. Начало этому положила фундаментальная работа И. А. Киприянова (1967), где была создана теория весовых пространств, которая впоследствии была применена к изучению краевых задач для В - эллиптических уравнений с граничными условиями на нехарактеристической части границы. На характеристической части ставились однородные условия типа условий четности.

Далее, в работах Н. Р. Раджабова построены поверхностные потенциалы простого и двойного слоев и применены к исследованию краевых задач для уравнения (1) при условиях, когда нехарактеристическая часть границы есть поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр — 0 прямой угол. А. Ю. Сазоновым эти результаты обобщены на общие линейные В - эллиптические уравнения с переменными коэффициентами при тех же ограничениях на нехарактеристическую часть границы области.

Число опубликованных к настоящему времени работ по вышеуказанным двум направлениям значительно.

Вопросы же о существовании и единственности решения краевых задач для вырождающихся В - эллиптических уравнений до последнего времени оставались открытыми.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию краевых

задач для вырождающихся В - эллиптических уравнений

Тв(и) = утВхи+~=: О, (2)

где т > 0, к > 0;

В2и

Ев(и)=Вхи + ут-^ = 0, (3)

где то > 4, к >

= (4)

где 0 < а < 1, к > 0.

Цель работы. Постановка краевых задач для уравнений (2) -(4) и доказательство существования их единственного решения.

Методы исследования. В работе применяются результаты и методы классической теории потенциала, теории функции действительной переменной, дифференциальных и интегральных уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Построены фундаментальные решения вырождающихся В - эллиптических уравнений (2) - (4).

2. Изучены основные свойства решений этих уравнений и, в частности, принцип максимума и их поведение при у 0.

3. Даны постановки краевых задач для вышеуказанных уравнений и доказаны теоремы о единственности их решения.

4. Построены потенциалы простого и двойного слоев и исследованы их свойства и, в частности, доказаны теоремы о предельных значениях потенциала двойного слоя и конорыальной производной потенциала простого слоя на границе области.

5. Доказаны теоремы о существовании решения краевых задач для вышеуказанных уравнений методом потенциалов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для многомерных вырождающихся эллиптических уравнений и В - эллиптических уравнений и найти приложение в осесимметрических задачах теории потенциала, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.

Апробация работы. Данные результаты обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно - педагогического университета (руководитель - Мухлисов Ф. Г.). Основные результаты работы докладывались на научной конференции, посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 2001); третьей Всероссийской молодежной научной школы - конференции "Лобачевские чтения - 2003"(Казань, 2003); Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2004); пятой Международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки"(Казань, 2004); семинаре, посвященном 60-летию профессора В.Н. Врагова (Новосибирск, 2005); Четвертой молодежной научной школы-конференции (Казань, 2005); третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2006); на научно-практических конференциях на кафедре математического анализа ТГГПУ и при кафедре дифференциальных уравнений КГУ; Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, Россия, 5-12 октября 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [9].

Структура и объем работы. Диссертация содержит 107 страниц и состоит из введения, трех глав, разбитых на 16 параграфов и списка литературы из 51 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введение дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, а также кратко охарактеризованы результаты автора, изложенные в последующих главах.

В первой главе доказывается существование единственного решения основных краевых задач для вырождающегося В - эллиптического уравнения (2).

В §1 строится фундаментальное решение уравнения (2), которое имеет логарифмическую особенность.

В §2 дается интегральное представление решения уравнения (2), на основе этого представления изучаются его свойства и, в частности, доказывается теорема о принципе максимума.

В §3 дается постановка основных краевых задач для уравнения (2) и доказывается единственность их решения. Рассматриваются следующие краевые задачи:

Внутренняя задача Дирихле (Задача D{). Требуется найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

u(x,y)eC{D+)nC2B{D+)-

Тв(и) = 0, (x,y)GD+-и[х,у) = о(1) при у -> 0;

где Cm(r+) - множество функций ¡р(£,г]) из С (Г+), удовлетворяющих условию </з(^,г7) = o(j]m) при г) -» О, C2B{D+) - множество четных по х функций из С2 (D+).

Внешняя задача Дирихле (Задача Бе). Требуется найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и{х,у) ес(д+е)пс|(1?е+);

гв(«) = о, {х,у)еп+-

и = о(1) при у 0;

и = о (1) при г = л/ж2 + у2 —> оо;

^(е,7])ес0(г+).

Внутренняя задача Неймана (Задача Ы{). Требуется найти функцию и (х,у), удовлетворяющую условиям:

и (х, у) € С% {И+) П С1 (£>+ и Г+ и Г0) П С (Й+) ;

Тв(и)=0, (х,у)еО+; и = о(1) при у -> 0;

/(е,»7) е Со (г+),

где А [] = утсоз(п, х)4- соз(п, у)щ- конормальная производная, п - внешняя нормаль к границе Г+.

Внешняя задача Неймана (Задача Дге). Требуется найти функцию и (х,у), удовлетворяющую условиям:

и (х,у) 6 С1 (£>+ и Г+ и Гое) П С2В (£>+) П С (5+) ;

Гв(«) = 0, (x,y)eDt;

и = 0(р~{к+аг)), .4 [к] = О (ро(*+1+"2)) при г-+оо,

где ро = < х2 + < Ч <ЪЗ = 1,2;

у (т + 2)^

и = о(1) при у 0; 8

А[и]\г+=д&г)), д(Ш£С0( Г+).

В §4 с помощью фундаментального решения е(£, г/; х0, у0) уравнения (2) строятся потенциалы простого и двойного слоев:

у(х,у) = I ц (£, г]) е (£, г/; х, ?/) г+

г+

Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности, доказываются теоремы о предельном значении потенциала двойного слоя и конормальной производной потенциала простого слоя на границе Г+ области .

Теорема 1. Пусть Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол. Тогда если г■'{£,, г)) £ Со (Г+), то для потенциала двойного слоя справедливы следующие предельные соотношения:

Щ {хо,Уо) = ~^{хо,уо) +^{х0,у0),

Ые (Х0,У0) = ^Ы,Уо) +™(хо,уо),

где щ (хо,уо) "и и>е (хо,Уа) означают предельные значения потенциала в точке (хо,Уо) € Г+ при (а:,у) —> (хсьУо) соответственно изнутри и извне Г+, а ги (хо, уо) - прямое значение потенциала к (х, у) на Г+.

Теорема 2. Пусть Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол. Тогда если /х 6 Со (Г+), то для конормальной производной потенциала простого слоя справедливы следующие предельные соотношения:

Ам0 [« (х0, уо)], = + АМо[у [х0,уо)],

АМо [и (жо,2/о)]е = + Ам0 [г> (го,г/о)],

где Ам0[у (хо,уо)]г и Ам0 [и {^о,Уо)]е означают предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке Мо(хо,Уо) пРи (Х,У) ~^ (хо,Уо) соответственно изнутри и извне Г+, а Ам0 [и (жо, уо)] - прямое значение конормальной производной этого потенциала на Г+.

В §5 краевые задачи для уравнения (2) сводятся к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость.

Если интегральные уравнения краевых задач разрешимы, то разрешимы и сами краевые задачи. Это приводит к следующим теоремам

Теорема 3. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при д(х,у) е Со (Г+) разрешима задача ЛГе и ее решение может быть представлено в виде потенциала простого слоя.

Теорема 4. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при </> (х,у) € Со (Г+) разрешима задача Бги это решение может быть представлено в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 5. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при ф (х, у) € Со (Г+) разрешима задача и это решение может быть представлено в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 6. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при / (х, у) € Со (Г+) разрешима задача Л^ и решение может быть представлено в виде потенциала простого слоя.

Во второй главе разбираются вопросы о существовании единственного решения краевых задач для вырождающегося В - эллиптического уравнения второго рода (3)

В §1 строится фундаментальное решение уравнения (3). В §2 дается интегральное представление решения этого уравнения.

В §3 изучаются свойства решения уравнения (3) и, в частности, доказывается, что любое решение уравнения (3) в области из С1 ПСд (1)+) с граничным данным из Ст(Г+) принадлежит к классу Стф+) при любом т > 4, где Стф+) - множество функций и(х,у) из С(£>+), удовлетворяющих условию и(х,у) = о(ут) при

у-> 0.

В §4 дается постановка основных краевых задач для уравнения (3) и доказывается единственность их решения. Рассматриваются следующие краевые задачи. Внутренняя задача ОЕ (Задача ВЕ{). Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

Ев(и)= 0, (х,у)еИ+;

Внешняя задача ВЕ (Задача ОЕе). Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

Ев(и) = 0, (х,у) ея+; и = о(1) при Ро —► 00,

где р1 = х2 +

и\г+=ф(^п), Ф(£,г1)еСт{ Г+).

Внутренняя задача МЕ (Задача МЕ{). Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

и (х, у) 6 С% (1?+) П С1 (£>+ и Г+) П Ст (3+); Ев(и)= О,

А И1г+ =/(£»?), Г+).

где = у~тсоз(п,х+ соз(п,?/)^ - конормальная производная, п - единичный вектор внешней нормали к границе Г+.

Внешняя задача МЕ (Задача ЫЕе). Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и (х, у) 6 С1 и Г+) П С% (Р+) П Ст (5+) ; Дв(и)=0, (г.у) е2?+; и = О ((Ро)_(^+2(""2))) ПРИ Ро ->• оо;

В §5 вводятся потенциалы простого и двойного слоев: г+

ъи(х,у) = I и{^п)Ар[е &тг,х,у)]£к4Г+. г+

В §1 было доказано, что фундаментальное решение имеет логарифмическую особенность. Поэтому потенциалы на границе Г+ ведут себя так же, как логарифмические потенциалы, т. е. имеют место следующие теоремы.

Теорема 7. Пусть Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол. Тогда если ^ (£,??) € Ст (Г+), то для потенциала двойного слоя справедливы предельные соотношения

ш, (хо,уо) = ~2и(хо>Уо) +и>(хо,Уо),

(ха,уо) = ^(х0,Уо) + 1и(х0,Уо),

где ы1 (х0,Уо) и {хо,уо) означают предельные значения потенци-алат{х,у) в точке (хо,уо) € Г+ при (х,у) (хо,уо) соответственно изнутри и извне Г+, а и>(хо,уо) - прямое значение потенциала и)(х,у) в точке (хо,уо)■

Теорема 8. Пусть Г+- кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол. Тогда если плотность ¡л (£, 77) б Ст (Г+), то предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя выражаются формулами

АМо (^о,2/о)]{ = ^/фо.Уо) + АМо М^сьУо)],

АМо Ь (хо,Уо)]е = -^ц(х0,у0) + АМо (я0,уо)],

где Ам0 [и (^о,2/о)]» и Ама Ь (хо,Уо)]е означают предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке Мо (хо,уо) £ Г+ при М (х,у) —> А/о (хо,Уо) соответственно изнутри и извне Г+, а Ам0 [и {хо,уо)\ - прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя.

В §6 задачи БЕе, ИЕ^ и ИЕе сводятся к интегральным

уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 9. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при д (х,у) £ Сгп (Г+) разрешима задача ИЕе и ее решение может быть представлено в виде потенциала простого слоя.

Теорема 10. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при (х, у) £ Ст (Г+) разрешима задача БЕ^ это решение может быть представлено в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 11. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при "ф (х, у) £ Ст (Г+) разрешима задача ОЕе и это решение может быть представлено в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 12. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при / (х, у) Е Ст (Г+) разрешима задача ИЕ^ и решение может быть представлено в виде потенциала простого слоя.

В третьей главе исследуются основные краевые задачи для вырождающегося самосопряженного В— эллиптического уравнения (4).

В §1 строится фундаментальное решение уравнения (4) и изучаются его свойства.

В §2 дается интегральное представление решения уравнения (4) и на основе этого представления доказывается теорема о принципе максимума для решения этого уравнения.

В §3 дается постановка краевых задач для уравнения (4) и доказывается единственность их решения.

Внутренняя задача Дирихле (Задача Найти функцию и (х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х,У)ЕС(Ю+)пС2в{П+);

Ьв{и)= 0, (х,у)еО+; и = о(1) при у 0;

Внешняя задача Дирихле (Задача Ие). Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х,у)ес(в+е)пс* (Х>+);

и = о(1) при у 0; и = о (1) при г оо;

и|г+ = Ф(£,т1)ес0{г+).

Внутренняя задача Неймана (Задача Nг). Найти функцию и {х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

и (х, у) е С% (£>+) П С1 (£>+ и Г+) П С (£>+) ;

Ьв(и) = 0, (х,у)(ЕО+;

и = о(1) при у —> 0;

А[и}\Г+= / (£,7!), /(£,7?) е С0 (Г+) .

где Л[] = сой(гг,а;)^ + уасоз(п,у)-^ - конормальная производная, п— единичный вектор внешней нормали к границе Г+.

Внешняя задача Неймана (Задача Л^). Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

и (х, у) е С1 (£>+ и Г+) П Сд (£>+) П С (5+) ;

Ьв(«) = 0, (ж, 2/) € £>+; и = 0(г~А) при г =—оо; и = о(1) при у -> 0;

В §4 вводятся потенциалы простого и двойного слоев:

ъ{х,у) = ! ц (£, г?) £ (£, 7/; ж, у) £к(1Г+, г+

г+

Изучаются свойства этих потенциалов и, в частности доказываются теоремы о предельном значении потенциала двойного слоя и конормальной производной потенциала простого слоя на границе Г+ области D+.

Теорема 13. Пусть Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол. Тогда если v (£, r¡) £ Со (Г+), то для потенциала двойного слоя справедливы предельные соотношения

Щ {хо, Уо) = +w(xo,Vo),

We (aro, 2/0) = ^ (хо,Уо) + W (aro, Уо),

где Wi (aro,Уо) и we {xo,yo) означают предельные значения потенциала в точке (хо,Уо) € Г+ при (х,у) —» (хо,уо) соответственно изнутри и извне Г+, a w (хо,Уо) - прямое значение потенциала w (х,у) в точке (aro,уо).

Теорема 14. Пусть Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол. Тогда если плотность ¡л (£, r¡) £ Со (Г+), то предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя выражается формулами

Амо К^о,Уо)]г = ^/фо,Уо) + Ам0 [и (aro, г/о)],

Ам0 Ь(аг0,2/0)]е = ~l¡v(xo,yo) + АМо [и (аг0,Уо)],

где Ам0 [v (aro,í/o)]¿ и Ам0 [w (%о,Уо)]е означают предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке М0{х0,уо) £ Г+ при (х,у) {хо,Уо) соответственно изнутри и извне Г+, а Ама [u(aro,í/o)] - прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя.

В §5 краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фред-гольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 15. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при (х, у) € Со (Г+) разрешима задача Бги это решение может быть представлено в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 16. Если Г+ - кривая Ляпунова, образует с координатными осями прямой угол и ф{х,у) € Со(Г+), то разрешима задача Г>е и это решение может быть представлено в виде

и(х,у) = I !/($,„) Лр [£(£,7?;*,^)]^+ + ^ I ^,7/)^+, г+ 0 г+

где 7 = I + ЩЙЦ.■

Теорема 17. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, функция / (х,у) £ Со (Г+) и удовлетворяет условию

I

г+

то разрешима задача Щ и решение может быть представлено в виде потенциала простого слоя.

Теорема 18. Если Г+ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при д(х,у) € Со (Г+) разрешима задача Ne и ее решение может быть представлено в виде потенциала простого слоя.

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Ф. Г. Мухлисову за помощь и советы, которые он оказывал мне в период написания этой работы.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Хисматуллин А. Ш. О потенциалах одного вырождающегося эллиптического уравнения с оператором Бесселя / А. Ш. Хисматуллин // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского т. 21. (материалы третьей всероссийской молодежной научной школы конференции) Казань: "Унипресс"2003. -

с. 230 - 231.

2. Хисматуллин А. Ш. Исследование краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения с оператором Бесселя методом потенциалов / А. Ш. Хисматуллин, Ф. Г. Мух-лисов // Вестник Казанского государственного педагогического университета. Математика. - 2004. - №2. - с. 3 - 14.

3. Хисматуллин А. Ш. Фундаментальные решения одного вырождающегося -эллиптического уравнения / А. Ш. Хисматуллин, Ф. Г. Мухлисов // Труды математического центра им.

Н. И. Лобачевского (Материалы международной научной конференции) т. 25. Казань: Издательство Казанского математического общества - 2004 - с. 197 - 198.

4. Хисматуллин А. Ш. Исследование краевых задач для одного вырождающегося -эллиптического уравнения методом потенциалов / А. Ш. Хисматуллин, Ф. Г. Мухлисов // Труды 5-ой международной конференции молодых ученых и студентов. "Актуальные проблемы современной науки". - Части 1, 2. -СамГТУ, - Самара 2004. - с. 87 - 90.

5. Хисматуллин А. Ш. Интегральное представление решения для вырождающегося -эллиптического уравнения 2-го рода /

А. Ш. Хисматуллин // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского (Материалы Четвертой молодежной научной

школы конференции) - т. 31. - Казань: "УНИПРЕСС", -2005. - с. 164 - 166.

6. Хисматуллин А. Ш. Решение краевых задач для одного вырождающегося -эллиптического уравнения 2-го рода методом потенциалов / А. Ш. Хисматуллин, Ф. Г. Мухлисов // Неклассические уравнения математической физики. (Труды семинара, посвященного 60-летию профессора В. Н. Врагова). - Новосибирск. - Издательство Института математики - 2005. -

с. 186 - 202.

7. Хисматуллин А. Ш. Фундаментальные решения одного вырождающегося -эллиптического уравнения 2-го рода / А. Ш. Хисматуллин // Труды третьей всероссийской научной конференции. Математическое моделирование и краевые задачи. -

ч. 3. - СамГТУ. - Самара, - 2006. - с. 218 - 221.

8. Хисматуллин А. Ш. Решение краевых задач для одного вырождающегося -эллиптического уравнения с 2-го рода методом потенциалов / А. Ш. Хисматуллин // Известия вузов. Математика. — 2007. - №1. - с.63 - 75.

9. Хисматуллин А. Ш. Фундаментальное решение одного сингулярного -эллиптического уравнения / А. Ш. Хисматуллин // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева. - Новосибирск. - Институт математики СО РАН. - 2008. - с. 225.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского государственного университета Тираж 110 экз. Заказ 102/10

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 231-53-59, 292-65-60

Введение

Глава 1. Решение краевых задач для одного вырождающегося ^-эллиптического уравнения первого рода методом потенциалов

§1. Фундаментальное решение.

§2. Интегральное представление решения и вытекающие из него свойства решений

§3. Постановка краевых задач для уравнения (Тв). Теоремы единственности.

§4. Потенциалы и их свойства.

§5. Интегральные уравнения для плотностей.

Глава 2. Решение краевых задач для одного вырождающегося В-эллиптических уравнения 2-го рода методом потенциалов

§1. Фундаментальное решение.

§2. Интегральное представление решения уравнения {Ев)

§3. Свойства решений уравнения (Ев).

§4. Постановка краевых задач ПЕ и ЛТЕ. Теоремы единственности.

§5. Потенциалы и их свойства

§6. Решение задач БЕ и ЫЕ методом потенциалов.

Глава 3. Решение краевых задач для самосопряженного вырождающегося ^-эллиптического уравнения методом потенциалов

§1. Фундаментальное решение.

§2. Интегральное представление и вытекающие из них свойства решений.

§3. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности.

§4. Потенциал и его свойства.

§5. Решение задач Дирихле и Неймана методом потенциалов

Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. А. В. Бицадзе [6, 7], М. М. Смирнова [37, 38] ).

Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т. д.). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике. Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. Подробный обзор работ по этой тематике дан в книге [37]. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первого рода. Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго рода, то к числу первых в этом направлении относится работа М. В. Келдыша [20], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменены условием ограниченности решения.

Позже А. В. Бицадзе в работе [7] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией. В данной работе доказывается, что условие ограниченности при у —> 0 может быть заменено условием и{х:у) = о(ут) при у —> 0.

Теория вырождающихся эллиптических уравнений дальнейшее развитие получила в работах И. А. Кароля [18], К. Б. Сабитова [39, 40], Р. С. Хайруллина [42], Р. М. Асхатова [3], Л. С. Парасюка [33], А. М.

Нигмедзяновой [30].

Вопросы же о существовании и единственности решения краевых задач для вырождающихся В - эллиптических уравнений до последнего времени оставались открытыми. Уравнения эллиптического типа, по одной или нескольким переменным которых действуют операторы Бесселя и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И. А. Куприяновым были названы В - эллиптическими.

Целью данной работы является изучение возможности распространения результатов, полученных для вырождающихся эллиптических уравнений, на вырождающиеся В - эллиптические уравнения с двумя независимыми переменными первого и второго родов.

Результаты настоящей работы могут найти приложение в теории краевых задач для многомерных вырождающихся дифференциальных уравнений и осесимметрических задачах теории потенциала, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера [1, 2, 4, 8, 14, 15, 27].

Перечислим некоторые часто встречающиеся обозначения.

1. Е~2 - первый квадрант координатной плоскости Оху, - конечная область в , ограниченная кривой Г+, промежутками Г1 и Го соответственно координатных осей Ох и Оу, = \ 0+ -бесконечная область в Е£, ограниченная кривой Г+ и промежутками Г1е и Гое координатных осей Ох и Оу.

Кх = {(ж, у) е Е£ : х2 + у1 < В,2, х > 0, у > 0}- четверть круга, Сд = {(ж, у) € Е£ : х2 + у2 = Я2, х > 0,у > 0} - четверть окружности.

2. - множество четных по х функций из класса

3. Ст(1)+) -множество функций и(х,у) из С(£)+), удовлетворяющих условию и(х, у) = о(ут) при у —> 0.

4. Ст(Г+) -множество функций /(£, ту) из С(Г+), удовлетворяющих условию /(£, 7?) = о(77т) при Г] —0.

Другие обозначения будут ясны из текста.

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 16 параграфов, и списка литературы.

1. Абрамян В. А. Осиметтрические задачи теории упругости /В. А. Абрамян, А. Я. Александрова // Труды 2-го Всес. съезда по теории и прикладной механике. М., 1966. Вып. 3. с. 7-37.

2. Арутюнян Н. X. Некоторые осисимметрические контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим отверстием / Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян // Известия АН Арм. ССР. Механика. 1969. т. 22. N0 3. с. 3-10.

3. Асхатов Р. М. Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ-мат. наук / Р. М. Асхатов — Казань 2000 с. 123

4. Баблоян А. А. Осесимметрическая задача полного бесконечного цилиндра с периодически насаженными на него дисками /А. А. Баблоян, А. П. Мелконян // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1968. т. 21., N0 3, с. 12-20.

5. Вере А. Уравнения с частными производными / А. Берс, Ф. Джон, М Шехтер М.: НЛ, 1966. 351 с.

6. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. / А. В. Бицадзе — М.: Наука, 1976. 295 с.

7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. / А. В. Бицадзе — М.: Наука, 1981- 448 с.

8. Бородачев H. M. Динамическая константная задача для толстой плиты в случае осевой симметрии / Бородачев H. М. // Труды Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван, 1964.с. 125-130.

9. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1 / Г. Н. Ватсон — М.: Издательство иностранной литературы, 1949. 798 с.

10. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. / В. С. Владимиров 4-е изд. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

11. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potentials teory / A. Weinstein // Trans. Amer. Math. Soc. 1948 v. 63., No 2 p. 342 354.

12. Weinstein A. On a class of partial differential equations of even order / A. Weinstein // Ann. mat. pura ed appl. Ser. 4. 1955 v. 39. p. 245 254.

13. Weinstein A. Generalized axially Symmetric potential teory / A. Weinstein // Bull. Amer. Math. Soc. 1953 v. 59., No 1 p. 20 38.

14. Грилицкий Д. В. Осесимметрическая контактная задача для трансверсально изотропного слоя, покоящегося на упругом основании / Д. В. Грилицкий, Я. М. Кизыма. // Изв. АН СССР ОТН. Мех. и машиностр. 1962. No 3. с. 134 - 140.

15. Губенко В. С. Давление осесимметрического кольцевого штампа на упругое полупространство / В. С. Губенко, В. И. Моссаковский // Прикл. мат. и мех. 1960. т. 24., No 2. с. 334 343.

16. Геллерстедт С. (Gellerstedt S.) Sur un problème aus limites pour lequa-tion y2Szxx + zyy = 0 / С. Геллерстедт // Arkiv Mat., Ast. och Fisyk, 1953 25A, No 10.

17. Гюнтер H. M. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / H. М. Гюнтер.М.: Государственное издательство технико теоретической литературы, 1953. - 416 с.

18. Кароль И. Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико гиперболического типа / И. Л. Кароль // Матем. сб. -1956, т. 38, N0 3. - с. 261 - 282.

19. Катрахов В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений /B. В. Катрахов // Матем. сбор. 1980. т. 112, N0 3. с. 354 379.

20. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М. В. Келдыш // Докл. АН СССР, 1951, т. 77, N0 2, с. 181 183.

21. Киприянов И. А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов / И. А. Киприянов // Дифференц. уравнения. — 1971. -т.7 N0 11. с. 2066-2077.

22. Киприянов И. А.Фундаментальные решения В эллиптических уравнений / И. А. Киприянов, В. И. Кононенко // Дифференц. уравнения. - 1967. - т.З - N0 1- С. 114 - 129.

23. Кузнецов Д. С. Специальные функции. / Д. С. Кузнецов —М.: Государственное издательство "Высшая школа", 1962.- 250 с.

24. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // Успехи матем. наук. 1951.т. 6., N0 2. с. 102-143.

25. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных /C. Г. Михлин. М.: "Высшая школа", 1977. - 432 с.

26. Михлин С. Г. Вырождающие эллиптические уравнения /С. Г. Михлин. // Вестник Ленингр. ун-та. — 1954. т. 3, N0 8. -с. 19-48

27. Мелконян А. П. Осесимметрическая задача полого бесконечного цилиндра с двумя насаженными дисками / А. П. Мелконян. // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1972. т. 25, N0 5. с. 3 13.

28. Мухлисов Ф. Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений. Дисс. док. физ.-мат. наук. / Ф. Г. Мухлисов — Казань. 1993. 324 с.

29. Мухлисов Ф. Г. Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом интегральных уравнений // Ф. Г. Мухлисов, А. М. Нигмедзянова // Известия вузов Математика. 2008.

30. Нигмедзянова А. М. Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. // А. М. Нигмедзянова — Казань. 2007. 152 с.

31. Никифоров А. Ф. Специальные функции математической физики / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров // М.: "Наука", 1978.

32. Олейник О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся па границе области. / О. А. Олейник // ДАН СССР 1952. т. 87, N0 6. - с. 885 - 888.

33. Парасюк Л. С. Краевые задачи для двух эллиптических дифференциальных уравнений 2-го порядка, вырождающихся на границе области / Л. С. Парасюк // Укр. матем. журнал, 1962. т. 14, N0 2, с. 215 - 217.

34. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений / И. Г. Петровский — М.: "Наука", 1965. 128 с.

35. Раджабов Н. Построение потенциалов и исследование внутренних и внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для некоторыхсингулярных уравнений эллиптического типа в многомерном случае / Н. Раджабов // Докл. АН СССР. 1976. т. 228, No 4. с. 801 804.

36. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 3, ч. 2, гл. 5. М.: 1957.

37. Смирнов M. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / M. М. Смирнов — М.: "Наука", 1966. 292 с.

38. Смирнов M. М. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе области / M. М. Смирнов // Вестник Ленинградского университета, 1961. — т. 3. No 3. с. 73 78.

39. Сабитов К. Б. О постановке краевых задач, для уравнения смешанного типа с вырождением второго рода на границе бесконечной области / К. Б. Сабитов // Сиб. мат. журнал, 1980. т. 21 No 4.

40. Сабитов К. Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным характеристическим вырождением / К. Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. 1984. т. 20. No 1.

41. Франкль Ф. И. К теории уравнения yzxx + zyy = 0 / Ф. И. Франкль // Изв. АН СССР, серия матем. 1946. т. 10. No 2. с. 135 - 166.

42. Хайруллин Р. С. Теория потенциала для модельного уравнения второго рода / Р. С. Хайруллин // Известия вузов. Математика. 1992. No 3. - с. 64 - 73.

43. Хисматуллин А. Ш. Решение краевых задач для одного вырождающегося -эллиптического уравнения с 2-го рода методом потенциалов / А. Ш. Хисматуллин // Известия вузов. Математика. — 2007. -N0 1. с.63-75.