Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ I. Краевая задача в полосе.

§ 2. Периодическая краевая задача.

§ 3. Краевая задача для ограниченной области

§ 4. Некоторые обобщения.

Глава П. МНОГОМЕРНЫЕ КРАШЕ ЗАДАЧИ.

§ 5. Краевая задача для неограниченной области

§ 6. Краевая задача для параллелепипеда.

Глава Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

§ 7. Краевая задача для плоской неограниченной области

§ 8. Краевая задача для прямоугольника.

В то время как для невырождающихся обыкновенных дифференциальных уравнений задачи с начальными условиями корректно поставлены независимо от того, имеем мы дело с одним уравнением или с системой уравнений, положение может существенно усложниться, когда речь идет об уравнениях с частными производными.

Хорошо известно, что для одного эллиптического уравнения второго порядка при соответствующих предположениях на его коэффициенты и область, где рассматривается данное уравнение, корректно поставленной является задача Дирихле. С другой стороны, А.В.Бицадзе [4] построен пример системы уравнений второго порядка, эллиптической по Петровскому [4б] на плоскости Ft независимых переменных С00-*^» Для которой задача Дирихле некорректна в круге { (^'У) ^ ^ * ^ + произвольного, быть может сколь угодно малого радиуса Z . Подобный пример содержится в работе А.В.Бицадзе [5].

Ю.Т.Антохин [i] , Е.Н.Кузьмин [зо] построили примеры эллиптических систем уравнений второго порядка с четырьмя и восемью независимыми переменными, для которых однородная задача Дирихле имеет бесконечное множество линейно независимых решений.

Отличив системы уравнений с частными производными от одного уравнения с точки зрения постановки корректных краевых задач явилось одной из причин более детального изучения именно систем уравнений, в том числе эллиптических. Отметим в этом направлении работы А.В.Бицадзе [4] - [7*] , М.И.Вишика [15] , А.И.Вольперта [17] , Я.Б.Лопатинского [Зб] , Н.Е.Тов-масяна [бз] -[бб] и др. В работах Н.Е.Товмасяна указано, что для корректности задачи Дирихле для эллиптических по Петровскому систем уравнений существенную роль играют младшие члены. Достаточно полная библиография содержится в монографиях А.В.Бицадзе [б! ,[7] .

В большинстве работ, касающихся систем уравнений, эллиптических по Петровскому, изучаются задачи Дирихле, Неймана, общая краевая задача как для систем уравнений, предложенных А.В.Бицадзе [б] , так и для систем уравнений более общего вида. В настоящей работе предложены некоторые новые корректные краевые задачи для одного класса систем уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными, куда входят эллиптические по Петровскому системы уравнений, в частности, системы Бицадзе с младшими членами, гиперболические системы и другие. Изучено влияние вырождения типа системы на границе области на постановку предложенных задач и рассмотрены многомерные аналоги этих задач. При этом оказалось, что постановка задач в некотором смысле похожа на постановку задачи Коши и смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка.

Все исследования проводятся методами функционального анализа в пространствах С.Л.Соболева

Щ, (3>) [52] . у

Перейдем к более детальному изложению результатов работы, состоящей из введения и трех глав, разбитых на восемь параграфов. Нумерация параграфов в диссертации сквозная.

1. Антохин Ю.Т. О некоторых некорректных задачах теории потенциала. - Дифференц. уравнения, 1966, т.2, № 4,с.525-532.

2. Бабаев С. Общая краевая задача для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Докл. АН Тадж.ССР, 1980, т.23, № 2, с.70-73.

3. Берс Л., Джон Ф,, Шехтер М. Уравнения с частными производными. М., "Мир", 1966, 351 с.

4. Бицадзе А.В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными. -Успехи матем. наук, 1948, т.З, № 6, с.211-212.

5. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М., "Наука", 1966, 204 с.

6. Бицадзе А.В. К теории нефредгольмовых эллиптических краевых задач. В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными, М., "Наука", 1970, с.64-70.

7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., "Наука", 1981, 448 с.

8. Бойко Г.П., Волошина М.С., Гупало А.С. Обобщенная задача Неймана для одного класса эллиптических систем второго порядка. Матем. физика. Респ. межвуз. сб., 1977, вып.21, с.65-70.

9. Боярский Б.В. Некоторые граничные задачи для системы ZК уравнений эллиптического типа на плоскости. Докл. АН СССР, 1959, т.124, № I, с.15-18.

10. Бубнов Б.А. Смешанная задача для некоторых парабо-ло-гиперболических уравнений. Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 3, с.494-501.

11. Вагабов А.И. Задача в бесконечной полуполосе для эллиптической системы в пространстве. Изв. АН Аз.ССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук, 1975, № 2, с.45-48.

12. Вайнберг Б.Р., Грушин В.В. О равномерно неэллиптических задачах. Матем. сб., 1967, т.72, № 4, с.602-636;т.73, № I, с.126-154.

13. Виноградов B.C. Об эллиптических системах первого порядка. WttSckzi/teuz. Тгс/tft. Hocksch. Kaz£Maгх- Siadt, 1975, №3, с.467-472.

14. Вишик М.И. 0 сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Матем. сб., 1951, т.29(71), № 3, с.615-676.

15. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения. -Матем. сб., 1956, т.39(81), № I, с.51-146.

16. Вольперт А.И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости, Труды Моск. матем. общ., 1961, т.10, с.41-87.

17. Врагов В.Н. Первая краевая задача для некоторых сильно эллиптических систем уравнений, вырождающихся на границе. Дифференц. уравнения, 1971, т.7, № I, с.15-24.

18. Джавадов М.П., Вагабов А.И. Об одной граничной задаче для эллиптической системы второго порядка в полуполосе. Докл. АН СССР, 1971, т.197, № 3, с.513-516.

19. Джураев А. Системы уравнений составного типа. М., "Наука", 1972, 227 с.

20. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент, "Фан", 1979, 238 с.

21. Ермаков В.И. О краевой задаче для нестационарной системы связанной с уравнением Бицадзе. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 2, с.348-350.

22. Кадан М.И. Об условии Лопатинского задачи Дирихле для эллиптической системы трех уравнений. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1978, № 5, с.121-123.

23. Жадан М.И. О задаче Дирихле для одного класса систем. Изв. АН БССР, 1979, № 5, с.34-37.

24. Золотарева Е.В., Задача Дирихле для одного класса эллиптических систем. Докл. АН СССР, I960, т.132, № 4, с.751-753.

25. Коваленко И.А., Ройтберг Я.Н. О граничных значениях обобщенных решений эллиптических систем. Укр. матем. журн., 1975, т.27, № 3, с.308-319.

26. Кожанов А.И. Задача Дирихле для некоторых классоввырождающихся эллиптических уравнений недивергентного вида. Семинар С.Л.Соболева, 1976, № 2, с. 15-18.

27. Круновский Н.Н. Теоремы о совпадении классического решения задачи Дирихле с обобщенным из класса М/^ решением этой задачи для эллиптических систем второго порядка типа А.В.Бицадзе. Дифференц. уравнения, 1977, т.13, № 2, с.314-323.

28. Кузьмин Е.Н. 0 задаче Дирихле для эллиптических ) систем в пространстве. Дифференц. уравнения, 1967, т.З,I, с.155-157.

29. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. Изд. Тбилисского университета, Тбилиси, 1968, 627 с.

30. Ларькин Н.А. Задача Коши для вырождающегося гиперболического уравнения. Дифференц. уравнения, 1973, т.9,I, с.186-188.

31. Ларькин Н.А. О задаче Дирихле для одного эллипти-ко-параболического уравнения. В сб.: Динамика сплошной среды, 1976, вып. 26, с.77-85.

32. Ле Хыу Зиен. Топологическая классификация общих краевых задач для эллиптических по Петровскому систем на плоскости. Докл. АН БССР, 1976, т.22, МО, с.877-880.

33. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям. Укр. матем.журн., 1953, т.5, №2, с.123-151.

34. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., "Наука", 1965, 520 с.

35. Мартиросян Г.А. Задача Пуанкаре для эллиптических систем на плоскости. Изв. АН Арм.ССР, математика, 1977, т. 12, & 4, с. 310-324.

36. Меликсетян Э.П. Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в классе суммируемых функций. -Изв. АН Арм. СССР. Математика,1979, т.14, № 6, с. 407-415.

37. Михайлов В.П. 0 базисах. Рисса /)• Доклады АН СССР, 1962,.т. 144, № 5, с. 981-984.

38. Нагумо М. Лекции по-современной теории уравнений в частных производил.М., "Мир", 1967, 132 е.

39. Олейник О.А., Максимова Н.О. О поведении решений неоднородных эллиптических систем в неограниченных областях. Труды семинара им. И.Г.Петровского, МГУ, 1978, № 3, с. II7-I37. .

40. Осколков А.П., Тарасов В.А. О разрешимости задачи . Дирихле для некоторых классов линейных эллиптических систем в неограниченных областях. В сб.: Дифференц. уравнения, вып. 8,.Рязань, 1976, с. 145 - 161. . .

41. Панич О.И. Некоторые теоремы существования.решения для эллиптических краевых задач общего вида. В кн.: Краевые задачи для уравнений в частных производных, Киев, 1979, с.79-88.

42. Панич О.И. Сопряженные краевые задачи и их связьс сопряженными псевдодифференциальными уравнениями на границе области для эллиптических систем уравнений второго порядка. Мат. физ., Киев, 1979, № 26, с.114-121.

43. Петровский И.Г. Об аналитичности решений уравнений с частными производными. Матем. сб., 1939, т.5, № I, с.6-58.

44. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., "Наука", 1970, 332 с.

45. Поливанов Н.И. Совпадение слабого и сильного решений краевых задач для линейных систем первого порядка. -Сердика Бьлг. мат. списания, 1975, т.1, с.121-132.

46. Саак Э.М. Фредгольмовость одного класса краевых задач. Дифференц. уравнения, I960, т.16, № 3, с.507-515.

47. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент, "Фан", 1974, 156 с.

48. Смирнов Н.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, М., "Наука", 1966, 292 с.

49. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосибирск, Изд-во СО АН СССР, 1962, 255 с.

50. Товмасян Н.Е. Задача Дирихле для эллиптической системы двух дифференциальных уравнения второго порядка. -Докл. АН СССР, 1963, т.153, № I, с.53-56.

51. Товмасян Н.Е. Некоторые граничные задачи для систем уравнений эллиптического типа второго порядка, не удовлетворяющие условию Я.Б.Лопатинского. Докл. АН СССР, 1965,т. 160, № 5, с.1028-1031.

52. Товмасян Н.Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами. -Дифференц. уравнения, 1966, т.2, № I, с.3-23, № 2, с.163-171.

53. Товмасян Н.Е. Об устранимых особых точках эллиптических систем ждифференциальных уравнений второго порядка на плоскости. Матем. сб., 1979, № 108(150) с.

54. Усе А.Т., Шевченко В.И. Об одной краевой задаче для эллиптических систем двух уравнений со многими независимыми переменными. Докл. АН СССР, 1975, т.222, № б, с.1306-1308.

55. Усс А.Т. 0 задаче Неймана для систем, эллиптических по И.Г.Петровскому. Докл. АН БССР, 1976, т.20, № II, с.965-967.

56. Хоанг Куок Тоан. Некоторые неэллиптические граничные задачи для системы уравнений Бицадзе. Дифференц. уравнения, 1979, т.15, № 12, с.2282-2285.

57. Черномаз В.Н., Шевченко В.И. Об эллиптических системах с восемью независимыми переменными. Мат.физ., Киев, 1976, № 24, с.II6-I20.

58. Bottazo G., Oppezzi P. Sisiemc di/fezen-ziciti efiiiHocL c/e//if?UL SU iutio . BoM.Unione mat. Liai., /976^ 3 /3, a//, p. 280-298.

59. ChatjuS-- Simon /J. Systemes efeipti^ues tinecdzeS cl^oze/ez 2m c/ans c/es esfiaces de /options ho£dezienne.s a poids. Comptes гея с/us c/es sconces c/e rfcatfemce c/es Sciences 3 /9301 v. Z90, fi/JO, p 463-465,

60. Cor ее/2 Af. Siuzm compaztson tkeozems 4oz systems 0/ second/ ozdez e^tfiptic paztiaSdij/e zentiaf equations. ft ел с/. //cead. set. fy. г mat. Soc. па? sci Mt ed oz& /fopof^ /075976., v. 4Z,p

61. Я)и//?ег J. On the Sofira&iftty о/ £oundazy ircfZue p?o£fe.n>s ^oz e&iptcc pazatfot/ic systems о/ second ozdez. — //Ш /Jccac/. tfaz. li/?cei . fiend. Of. Sci /iS.} /77 at. e natuZ} /$74 С/975), v. 57, л/3-4, p. /47-/55.

62. Я)иппсп^ег On lioutriiffe -б^ре //>eo~ terns /oz effi^tc'c. and f>aza&o£cc systems. - J/, Math., смс/ rfppt.j /979, n.72, л/£ ,p. 4/5-4/7.

63. C. Pzopezties e?/ nozmctP tfoundazg pzot> ferns /oz effect7c evenovc/ez systems. /)nn.Scuofa nozm. supez . Pisa 3 /974 } Set. (У} ъг /ja/ p. /-6/.

64. Joshidci У. //onosciffation апс/ соmpc/zison theozems /oz cc cfoss о/ /itgnez ozdez e&Sptic. Systems. Jap . Mat A . A/ем Set. J /976 v. e J de Jp. 4/9-434.

65. UuJ-asaci лЛ // Su^/iaient eo-ndition /oz t/?e existence and t/?e uniqueness Ojf Smooth Solutions to Soisndary orc/fue pvogienog /02 efftptiCе/7?з. //Hi Дссас/. ftaz. itncei Rene/. Cf. Sci . fis.} h?cri. e naiuz., /976, v. //3 л/3, p ■ SS9 - 634.

66. Ки sono Т.} Joshic/ct //, Comparison поп-oscefCctiion i/teozems /oz /ouzi/? orcfez effect>'c systems. Дссас/. , псе с #<znc/. Се. Set.ncti, е nc/iut/975t v. 58, а/3, p. 323-33?.

67. Kinciez&/?zezg). //izemfezg I., Spzua/b J. ReyuCaz/ig in effipit'e. feee ^-ounc/az^p?o€fen?s.J. ахае. ., /9?8 y гг. 38, p. Я6-/М.

68. Mizanc/ct С. teozemcc <?/<?£ /n&Sfimo nro-c/c/£o pez. una efasse c/i sisiemi eff/ptici c/i e^uctzioni c/<?£ seconc/o QTc/сяе e рег S. gpuazionc а coeffccienii commpfesfi. fienc/. 5s■£. Com€qzc/o Десас/. fei г feii /970} // /04 3 a/4, p. 736 - 745.

69. Mи resetn AIS.} Muze^an V. Fin met ici/no fief P tin zip fc/z Sii&zk ef&'ptis/ie S'ysieme /nit ei/tez gezac/en Von paziceefen 0iffe? -iicrfyfeieJii/rtfen. /In. si/ . С/нстг. Dasi} /979p sec. /a, ZS^p. 303-306.

70. Ret л 6 in S. M. Stzong oscifMt'on of f&c'p-iic Syfiems of Зесопе/ о ?e/eг раг&сг£ c/iffezeniicnf equate o/iS. rfiii /}сгас/. naz. /sineei . Рейс/. C<?. 3d. f/S.j mai t) <г nctiuz /975(1976), I/. 59 J л/6 э p. 5Q5-602.

71. Skechiez M. GenezoC tfou/ie/az^ <ira<?ue pzc-Sfemg foz efCtpi/a pazfraZ c/iffewtt'ceC epvat/ongrСовмин. Pure rfppe. Mai/z.} /959} v./2} p. 457-486 .

72. Sheehiei M. 2Jaz7ons i-ypes of Зоимо/а?^ аола//--6ion о/ ef&pitc e^uaicons. Со/п/пая. Pure. /?PPe. Mai/?., /960;ir. /3, p. 407-425.

73. Sziictgi P. Vafozife prop tи afe o/>e -z.cr£o?u£ui Stiz&tfze.- Siuc/ Writ v. Sages.-So-fy'art. Set, /пее/г,г /97/, тг.^б^^р. 4S-49.

74. Wccftv&n K.-O. Hofcfez continuity о/8ofuT-t'o/?s о/ S^e^e/vS. — Мал и So z. tnatfi.j97/, ir. 63 a/4, p. 299-308.

75. Ошоров Б.Б. 0 слабой разрешимости одной !фаевой задачи для системы Бицадзе с младшими производными. В сб.: Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений. Часть 2. Тезисы докладов, Алма-Ата, 1979, с.171-172.

76. Ошоров Б.Б. Об одной эллиптической системе уравнений. В сб.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, Новосибирск, 1980, с.120-124.

77. Ошоров Б.Б. Некоторые краевые задачи для одного класса систем уравнений с частными производными второго порядка. В сб.: Динамика сплошной среды, 198I, вып.49,с.144-150.

78. Ошоров Б.Б. 0 некоторых системах составного типа. -В сб.: Корректные краевые задачи для неклассических уравне -ний математической физики, Новосибирск, 1981, с.159-162.

79. Ошоров Б.Б. Об одном классе вырождающихся эллиптических систем. В сб.: Неклассические задачи уравнений математической физики, Новосибирск, 1982, с. 127-129.