Нелокальные эллиптические задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение стр.

Глава I. Эллиптические задачи с носителями нелокальных членов внутри области

§1. Нелокальные эллиптические задачи с параметром стр.

§2. Разрешимость общих эллиптических задач с нелокальными условиями стр.

§3. Устойчивость индекса общих эллиптических задач с нелокальными условиями стр.

Глава П. Весовые пространства и модельные эллиптические задачи

§4. Некоторые свойства весовых пространств стр.

§5. Эллиптические задачи на полуплоскости и в полупространстве стр.

§6. Эллиптические уравнения в Я", имеющие особенности на (п — 2)—мерных многообразиях стр.

Глава Ш. Разрешимость эллиптических задач с носителями нелокальных членов вблизи границы

§7. Локальные эллиптические задачи с особенностями решений на {п — 2 )—мерных многообразиях стр. 5 О

§8. Априорная оценка решений нелокальных эллиптических задач стр.

§9. Фредгольмова разрешимость нелокальных эллиптических задач и устойчивость индекса стр.

§10. Эллиптические задачи на сдвигах границы стр.

1. В настоящей диссертации исследуется разрешимость нелокальных задач для эллиптического уравнения, в котором значения решения на границе рассматриваемой области Q выражаются через его значения во внутренних точках и других точках границы.

Одной из первых работ в этой области является доклад [58] T.Carleman, посвященный задаче о нахождении голоморфной в области QaC функции, удовлетворяющей нелокальному краевому условию, связывающему значения искомой функции в точке t границы ЭQ со значениями в точке со(7), где со(со(У)) = t, со(Э0 = bQ. Им было показано, что решение этой задачи сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом. В дальнейшем сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, отображающим границу области на себя и порождающим конечную группу (карлемановский сдвиг), рассматривались А.Б. Антоневичем [3], Ю.И. Карловичем [18] - [20] и др. В частности работы Ю.И. Карловича были посвящены сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом, отображающим ЭQ в область Q. На сдвиг со (7) им накладывались условия, позволяющие свести эту задачу к уравнению с карлемановским сдвигом. Основным методом исследования уравнений с карлемановским сдвигом было их сведение к системе уравнений без сдвига, что позволило доказать фредгольмовость рассматриваемых задач и вычислить их индекс.

Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными граничными условиями рассматривались в работах W.G.Bade [52], R.S.Freeman [59], R.Beals [53], F.Browder [56], G.Grubb [60]. В этих работах предполагалось, что нелокальные члены зависят от следов искомой функции и ее производных на границе ЭQ. F. Browder в статье [56] рассмотрел случай, когда нелокальные члены были связаны со значениями искомой функции во всей области Q. При этом предполагалось, что выполнено неравенство коэрцитивности и некоторое условие на сопряженный оператор.

Отправной точкой большинства исследований в рассматриваемой области послужила работа A.B. Бицадзе, A.A. Самарского [4]. В ней предлагалась принципиально новая постановка эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями, возникающими в теории плазмы. Требовалось найти решение ие С2 (Q) П C(Q) задачи

A(x,D)u(x) = fo(x) х'е Ц),

0.1)

0.2) х'е Г2).

Здесь A(x,D) —эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами; QaRn — ограниченная область, с границей ЭQ, являющейся поверхностью Ляпунова; Ц a dQ—открытое в ЭQ (п -1) — мерное многообразие, Г2 = Э Q \ Ц; со(х)—диффеоморфизм, отображающий некоторую окрестность П, поверхности Ц в «(П^ так, что ©(Г, ) ci Q; Гх \ Ц = Жх.

В работе [4] рассматривалась также задача о нахождении гармонической в ^ = (0,2) X (ОД) функции и(х,у), удовлетворяющей нелокальным краевым условиям и(х,0) = ф^х), и(х, 1) = ф2(х) (0<х<2),

0.3) и( 0, у) = фз (у), и{ 1, у) = и( 2, у) (0< у < 1).

В дальнейших работах по этой тематике рассматривались как задачи с конкретными отображениями со (х), так и различные обобщения задачи (0.1), (0.2), в том числе и на уравнения высокого порядка с общими краевыми условиями и абстрактными нелокальными операторами. Для ряда интересных задач (в основном, для случая гармонических функций) были установлены условия разрешимости и подсчитан индекс (см. A.B. Бицадзе [6], К.Ю. Кишкис [21]—[23], JI.C. Дарбинян [13] и др.).

Довольно быстро было замечено, что наиболее простой является ситуация, когда образ границы лежит строго внутри рассматриваемой области: со(Э<2)с: Q. В работах Я.А. Ройтберга, З.Г. Шефтеля [36], [37] рассматривались обобщения задачи (0.1), (0.2) на уравнения высокого порядка с общими краевыми условиями, содержащими преобразование со(х). Разработанные в [36], [37] методы позволяют обобщить полученные результаты о разрешимости на случай конечного числа различных преобразований со(х). При этом лишь требуется, чтобы образы границы dQ, лежащие строго внутри области Q, не пересекались между собой. Обобщения полученных в [36], [37] результатов на случай, когда носители нелокальных членов представляют некоторое компактное множество, лежащее строго внутри области Q рассмотрены в работах A.JI. Скубачевского [40]—[43].

Н.В. Житарашу, С.Д. Эйдельман в работе [14] рассмотрели следующую по сложности задачу, нелокальные операторы которой удовлетворяли условию: со(Г1)ПГ1=0. Более трудным в исследовании оказался случай, когда «(Г^ПЦ = 0 и cofr^f] (Ц \ Г1)= 0. Результаты о фредгольмовой разрешимости данной нелокальной эллиптической задаче в гильбертовых пространствах получены A.JT. Скубачевским в работах [44], [46], [47], [48], [62]. Случай œ(Ii)П(Ц0 для уравнений второго порядка исследовался в работах А.К. Гущина, В.П. Михайлова [10], [11] и Б.П. Панеяха [35].

Помимо упомянутых статей нелокальные эллиптические задачи рассматривались в работах Л.И. Камынина [16],[17], А.А. Самарского [39] и др.

Необходимо упомянуть об одном важном приложении нелокальных эллиптических задач. W. Feller в работе [58] рассмотрел общий вид краевых условий для одномерных диффузионных процессов. Эта задача была сведена к исследованию нелокальной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Автор в своей статье доказал, что дифференциальный оператор А является инфинитези-мальным производящим оператором полугруппы Феллера тогда и только тогда, когда область D(À) состоит из функций, удовлетворяющих нелокальным краевым условиям. Позднее, аналогичную задачу для многомерных диффузионных процессов в ограниченной области QczRn изучали А.Д. Вентцель [7], K.Sato, T.Ueno [61], К. Taira [64], Е.И.Галахов [9], A.JI. Скубачевский [63].

2. В диссертации рассматриваются нелокальные эллиптические задачи двух классов. К первому классу относятся задачи, в которых носители нелокальных членов содержатся строго внутри области Q со(Э^)с: Q). В задачах второго класса носители нелокальных членов подходят к границе. При этом «(Ц )П (Ц \ Ц )= 0. Для задач первого и второго класса обобщаются на пространства Соболева Wlp и весовые пространства Кондратьева Vlp а {р > l) уже известные для гильбертовых пространств результаты о фредгольмовой разрешимости и устойчивости индексов операторов, связанных с данными граничными задачами. Интерес к изучению произвольного показателя 1 < р < оо связан с приложениями полученных результатов к стохастической теории управления и исследованию спектра дифференциально-разностного оператора. Кроме того, априорные оценки решений и теоремы о фредгольмовой разрешимости нелокальных эллиптических задач при р> 1 могут быть использованы для доказательства существования полугрупп Феллера в самом сложном нетрансверсальном случае.

Как известно обобщение уже известных для гильбертовых пространств результатов на банаховы пространства, как правило, сопряжено с серьезными трудностями. Так, например, использование техники преобразования Фурье для исследования модельных задач (см. глава П), как это делалось ранее для гильбертовых пространств невозможно.

В работах [40]-[45], [48], [62] был выработан единый подход к доказательству фредгольмовости рассматриваемых задач, основанный на получении априорной оценки решений и построении правого ре-гуляризатора. В диссертации удалось существенно упростить вид правых регуляризаторов задач первого и второго класса и показать, что они одновременно являются левыми регуляризаторами. Тем самым фредгольмовость операторов, связанных с рассматриваемыми нелокальными задачами может быть доказана без получения априорных оценок решений.

3. Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Агмон Ш., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы.—М.: ИЛ., 1962.

2. Агранович М.С.,Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. УМН, 1964, т. 19, вып.З, с.53-161.

3. Антоневич А.Б. Об индексе и нормальной разрешимости общей эллиптической краевой задачи с конечной группой сдвигов на границе.— Дифференц. уравнения, 1972, т.8, №2, с.309—317.

4. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач.—ДАН СССР, 1969, т. 185, №4, с.739—740.

5. Бицадзе A.B. К теории нелокальных краевых задач.—ДАН СССР, 1984, т.277, №1, с. 17—19.

6. Бицадзе A.B. Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функций.—ДАН СССР, 1985, т.280, №3, с.521—524.

7. Вентцель А.Д. О краевых условиях для многомерных диффузионных процессов-Теория вероятностей и ее примен., 1959, №4, с. 172185.

8. Волевич Л.Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем.—Матем. сборник, 1965, т.68(110), №3, с.373—416.

9. Галахов Е.И., Скубачевский А.Л. О неотрицательных сжимающих полугруппах с нелокальными условиями-Матем. сборник, 1998, т.189, №1, с.45-78.

10. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка.—Матем. сборник, 1994,т. 185, №1, с. 121—160.

11. Гущин А.К., Михайлов В.П. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения.— Матем. сборник, 1995, т. 186, №2, с. 37—58.

12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т.2. М.: Мир,1966.

13. Дарбинян JI.C. Решение некоторых функциональных уравнений в классе аналитических функций и их применение.—Ученые записки Ереванского Гос. Университета , 1982, т. 151, №3, с. 13—19.

14. Житарашу Н.В., Эйдельман С.Д. О нелокальных граничных задачах для эллиптических уравнений.—Матем. исследования, Кишинев, 1971,т.6, №2(20), с.63-73.

15. Ильин В.А. Разностные методы решения задач с нелокальными краевыми условиями.—10 Всесоюзная школа "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики". Тезисы докл. Рига, изд—во Латв. Гос. Ун—та, 1985.

16. Камынин Л.И. Единственность решений краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка. Дифферент уравнения, 1978, т. 14, №1,с. 39—49.

17. Камынин Л.И, Химченко Б.Н. О строгом принципе экстремума для слабо эллиптически связаного оператора второго порядка.— ЖВМ и МФ, 1979,т. 19, №1, с.129—142.

18. Карлович Ю.И. Об интегральных операторах со сдвигом контура интегрирования в область.—ДАН СССР,1974, т.216, №1, с.32—35.

19. Карлович Ю.И. О сингулярных интегральных операторах со сдвигом контура—носителя в область.—Труды Тбилисского матем. ин—та, 1974, т. 44, с. 113—124.

20. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нетера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. Изв. ВУЗов, математика, 1983, №4, с.З—27.

21. Кишкис К.Ю. Об индексе задачи Бицадзе A.B. и Самарского A.A. для гармонических функций.—Дифференц. уравнения, 1988, т. 24, №1, с. 105—110.

22. Кишкис К.Ю. Об одной нелокальной задаче для гармонических в многосвязной области функций.—Дифференц. уравнения, 1987, т. 23, №1, с. 174—177.

23. Кишкис К.Ю. К теории нелокальных задач для уравнения Лапласа.—Дифференц. уравнения, 1989, т. 25, №1, с. 59—64.

24. Ковалева O.A. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в ограниченных областях. Дифф.уравнения, т.34, №6, 1998, с. 849850.

25. Ковалева O.A., Скубачевсий АЛ. Нелокальные эллиптические задачи в пространствах Соболева. ДАН, т.366, №4, 1999, с. 449451.

26. Ковалева O.A. Об одном свойстве индекса нелокальных эллиптических задач. Успехи мат. наук, т.54, вып.4, 1999, с. 173-174.

27. Ковалева O.A. Фредгольмова разрешимость нелокальных эллиптических задач. Международная конференция по дифференциальным и функционально — дифференциальным уравнениям. Тезисы, 1999, с. 62.

28. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками.—Труды ММО, 1967, т.16, с.209—292.

29. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях.—УМН, 1983, т.38, вып.2, с.З—76.

30. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.— М.: Наука, 1971.

31. Лионе ЖЛ, Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.—М.: Мир, 1971.

32. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Lp —оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами. Труды ММО , 1978, т.37, с.49—93.

33. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.—М.: Наука, 1976.

34. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей.—М.: Наука, 1991.

35. Панеях Б.П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов.—Матем. заметки, 1984, т.35, №3, с.425—435.

36. Ройтберг Я.А., Шефтель З.Г. Об одном классе общих нелокальных эллиптических задач.—ДАН СССР ,1970, т. 192, №3, с.511-513.

37. Ройтберг Я.А., Шефтель З.Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем. Сиб. матем. ж., 1972, т.13, №1, с.165-181.

38. Рудин У. Функциональный анализ.-М: Мир, 1975.

39. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений.-Дифференц.уравнения, 1980, т.16, №11, с.1925-1935.

40. Скубачевский A.JI. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах.—Дифференц. уравнения, 1982, т.18, №9, с.1590—1599.

41. Скубачевский A.JI. Нелокальные эллиптические задачи с пара-метром.—Матем. сборник, 1983, т. 121(163), №6, с. 201—210.

42. Скубачевский А.Л. Эллиптические задачи A.B. Бицадзе и A.A. Самарского.—ДАН СССР, 1984, т.278, №4, с.813—816.

43. Скубачевский А.Л. Разрешимость эллиптических задач с краевыми условиями типа Бицадзе—Самарского.—Дифференц. уравнения, 1985, т. 21, №4, с. 701—706.

44. Скубачевский А.Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы.—Матем. сборник, 1986, т. 129, №2, с. 279-302.

45. Скубачевский А.Л. Разрешимость эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями.—ДАН СССР, 1986, с.551—555.

46. Скубачевский А.Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов.—ДАН СССР, 1989, т.307, №2,с.287—291.

47. Скубачевский А.Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах.—Дифференц. уравнения, 1990, т. 26, №1, с. 119—131.

48. Скубачевский А.Л. Метод срезающих функций в теории нелокальных задач-Дифференц. уравнения, 1991, т. 27, №1, с. 128—139.

49. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных.—Уч. Зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А.И. Герцена, 1958, т. 197, с.54—112.

50. Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.—JL: ЛГУ, 1950.

51. Agranovich M.,Denk R.,Fairman М. Weakly smooth nonselfad-joint spectral elliptic boundary problems.-In Spectral Theory, Microlocal Analysis, Singular Manifolds, Akademie Verlag., Berlin, 1997, p.l37-199.

52. Bade W.G., Freeman R.S. Closed extensions of the Laplace operator determined by a general class of boundary conditions.—Pacific J.Math., 1962, v.12, №2, p.395^10.

53. Beals R. Nonlocal elliptic boundary value problems.—Bull. Amer. Math. Soc., 1964, v.70, №5, p.693—696.

54. Bensoussan A. On the Hamilton—Jacobi approach for the optimal control of diffusion processes with jumps.—In Friedman A., Pinsky M. (eds.) Stochastic analysis. Academic Press, New York, 1978, p.25—55.

55. Bensoussan A., Lions J.L. Impulse control and quasi—variational inequalities.—Bordas, Gauthier—Villars, Paris, 1984.

56. Browder F. Nonlocal elliptic boundary value problems.—Amer. J. Math., 1964, v.86, №4, p.735—750.

57. Carleman T. Sur la theorie des equations integrates et ses applications.—Verhandlungen des Internationalen Math. Kongr. Zurich, 1932, Bd.l, s.138—151.

58. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations. -Ann. of Math, 1952, v.55, №3, p.468-519.

59. Freeman R.S. Closed operators and their adjoints associated with elliptic differential operators. —Pacific J.Math., 1967, v.22, №1, p.71—97.

60. Grubb G. A characterization of the nonlocal boundary value problems associated with elliptic operator. —Annali della Scuola Normale Supe-riore di Pisa, 1968, v.22, №3, p.425—513.

61. Sato K., Ueno T. Multi-dimensional diffusion and the Marcov process on the boundary. -J.Math. Kyoto Univ., 1965, v.4,№3, p.529-605.

62. Skubachevskii A.L. On the stabiUty of index of nonlocal elliptic problems. —J. Of Math. Analysis and AppUcations, 1991, p.323—341.

63. Skubachevskii A.L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes. -Russian J. of Math. Ph., 1995, v.3, №3, p.327-360.

64. Taira K. On the existence of Feller semigroups with boundary conditions. -Mem. of Amer. Math. Soc., 1992, v.99, №475,p. 1-65.