Эллиптические задачи с нелокальными краевыми условиями и полугруппы Феллера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи УДК 517 9

Гуревич Павел Леонидович

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ И ПОЛУГРУППЫ ФЕЛЛЕРА

01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ии^44С140

1 8 СЕН 2008

Москва—2008

003446148

Работа выполнена на кафедре «Дифференциальные уравнения и математическая физика» Российского университета дружбы народов

Научный консультант доктор физико-математических наук,

профессор А Л Скубачевский

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор М С Агранович,

доктор физико-математических наук, профессор В А Кондратьев,

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН С И Похожаев

Ведущая организация Московский энергетический институт

(технический университет)

Защита диссертации состоится 14 октября 2008 г в 17 ч ОО мин на заседании диссертационного совета Д 212 203 27 в Российском университете дружбы народов по адресу 117923, г Москва, ул Орджоникидзе, д 3, ауд

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу 117419, г Москва, ул Миклухо-Маклая, д 6

Автореферат разослан

2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент ■— Л Е Россовский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Диссертация посвящена следующим взаимосвязанным вопросам разрешимости и гладкости решений эллиптических уравнений с нелокальными краевыми условиями и существованию полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов

Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, возникающие в гидродинамике, рассматривал еще А Зоммерфельд1 Впоследствии нелокальные задачи в одномерном случае изучали В А Ильин, Е M Моисеев, А Крол, M Пиконе, А Л Ску-бачевский, Я Д Тамаркин, А А Шкаликов и др

В 1932 г Т Карлеман2 рассмотрел задачу о нахождении голоморфной функции в ограниченной области G, удовлетворяющей следующему условию значение неизвестной функции в каждой точке у границы 8G связано со значением в точке П(у), где Ü QG —> 8G — гладкое невырожденное преобразование, П(П(у)) = у, у € 8G В работе Т Карлемана эта задача сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, отображающим границу области на себя и порождающим конечную группу (подробную библиографию можно найти, например, в книге H И Мусхелишвили3), а также работы, в которых изучаются эллиптические уравнения, содержащие сдвиг области на себя (см монографию А Б Антоневича и А В Лебедева4) Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными краевыми условиями изучались в работах Р Билза, Ф Браудера, M И Вишика, M Шехтера При этом на абстрактные операторы налагались условия, гарантирующие выполнение неравенства коэрцитивности В ряде случаев накладывались ограничения на сопряженный оператор

В 1969 г А В Бицадзе и А А Самарский5 рассмотрели принципиально иную нелокальную эллиптическую задачу, возникающую в теории плазмы ищется гармоническая в ограниченной области G функция, удовлетворяющая нелокальным условиям, связывающим значения искомой функции на многообразии Г! С 8G со значениями на некотором многообразии, лежащем внутри области G, на множестве dG\Ti ставится условие Дирихле В случае прямоугольной области эта задача была решена в указанной работе А В Бицадзе и А А Самарского сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и применением принципа максимума В случае произвольной области и общих нелокальных условий задача была сформулирована как нерешенная6 (укажем также работу А Крола7, в которой отмечена важность развития теории нелокальных краевых задач)

Различные варианты и обобщения нелокальных задач, которые содержат преобразования переменных, отображающие границу в замыкание области, рассматривали А В Бицадзе, А К Гущин, H В Житарашу, В А Ильин, К Ю Кишкис, В П Михайлов, Е И Моисеев, Б П Панеях, Я А Ройтберг, А П Солдатов, 3 Г Шефтель, С Д Эйдельман и др , при этом особое внимание уделялось разрешимости нелокальных задач Спектральные свойства нелокальных задач в многомерном случае исследовались Е И Моисеевым, M А Муста-финым и др Отметим, что в работах перечисленных авторов изучается либо двумерный

1 Sommerfeld A Ein Beitrag zur hydrodinamischen Erklärung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen// Proc Intern Congr Math (Rome 1908) Vol III -Roma Reale Accad Lincei 1909 -P 116-124

2Carleman T Sur la théorie des equations integrales et ses applications// Verhandlungen des Internat Math Kongr Zurich 1932 — 1 — P 138-151

3Мусхелишвили И И Сингулярные интегральные уравнения — M Физматгиз 1962

4Antonevich A Lebedeu A Functional Differential Equations I С* theory — Pitman Monographs and Surveys in Pure and Appl Math — 70 — Harlow Longman Scientific & Technical 1994

^Бицадзе А В, Самарский А А О некоторых простеиших обобщениях линеиных эллиптических краевых задач// Докл АН СССР — 1969 -185 N° 4 - С 739-740

6Самарский А А О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнении// Дифференц уравнения —1980 — 16 И —

С 1925-1935

7Krall A M The development of general differential and general differential boundary systems// Rocky Mountain J of Math —1975 — 5 —

P 493-542

случай, либо уравнения второго порядка, либо накладываются достаточно жесткие условия на геометрию носителя нелокальных членов (например, предполагается, что носитель нелокальных членов лежит внутри области или имеет пересечение только с той частью границы, где задано «локальное» условие Дирихле)

Основы теории для линейных эллиптических уравнений порядка 2то с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах А Л Скубачевского и его учеников8, 9, ю, п, 12, 13, 14, 15, 16, 17 приведена классификация по типу нелокальных условий, доказаны априорные оценки и построены правый и левый регуляризаторы в пространствах Соболева или весовых пространствах (в зависимости от типа нелокальных условий), а также получена асимптотика решений вблизи точек сингулярности Для ряда задач изучены спектральные свойства и свойства индекса соответствующих операторов В частности, было показано, что свойства задачи существенным образом зависят от геометрии носителя нелокальных членов Проиллюстрируем возможные случаи на следующем примере

Пусть й С В" (п ^ 2) — ограниченная область с границей дв = Г1 и Г2 и К, где IV — открытые связные (в топологии дй) (п - 1)-мерные многообразия класса С°°, К = Г1 П Г2 — (п — 2)-мерное связное многообразие без края класса (если п = 2, то К. = {51,52}. где 51,52 — концы кривых Гь Г2) Пусть в окрестности каждой точки д 6 К. область (3 диффеоморфна га-мерному двугранному (плоскому, если га = 2) углу Рассмотрим в области (? нелокальную задачу

А« = /о(») (2/еС), (I)

«к - ЬЛуМОтШГ. = 0 (<7 = 1,2) (2)

Здесь Ь„ 6 С00(и2), П? — бесконечно дифференцируемые невырожденные преобразования, отображающие некоторую окрестность 0„ многообразия Г„- на множество так, что

ОЛГ») с О Точки множества К назовем точками сопряжения нелокальных условий В работах А Л Скубачевского предложена следующая классификация

1 Г2 = 0 и ПЦГ1) = п^дс!) с в (рис 1),

2 Г2 ф 0 и П„(Г7) П К = 0, <т = 1, 2 (рис 2),

3 Г2 ф 0 и П К ф 0, а = 1 или 2 (рис 3)

^Скубачевский А Л Нелокальные эллиптические задачи с параметром// Матем сб —1983 — 121 {¡63) № 2(6) —С 201-210 ^Скубачевский А Л Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Матем сб —1986 — 129(171) 2 — С 279-302

10Скубачевский А Л Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнении в двугранных углах// Дифференц уравнения — 1990 — 26 № 1 -С 120-131

11 Скубачевский АЛ О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифференц уравнения —1991 —27 Лр° 1 — С 128-139

l2Skubachevsku A L On the stability of index of nonlocal elliptic problems// J Math Anal Appl —1991 -160 N° 2 — P 323-341

13Skubachevsku A L Elliptic functional differential equations and applications — Basel—Boston—Berlin Birkhauser, 1997

14Подъяпольскии В В Полнота и базисность по Абелю системы корневых функций одной нелокальной задачи// Дифференц уравне ния -1999 —35 Л 4 - С 568-569

Ковалева О А Скубачевский А Л Разрешимость нелокааьных эллиптических задач в пространствах с весом// Матем заметки —

2000 -67 № 6 -С 882-898

Skubachevsku A L Regularity of solutions for some nonlocal elliptic problem//Russ J Math Phys — 2001 — 8 — P 365-374

17Скубачевский АЛО разрешимости нелокальных задач для эллиптических систем в бесконечных углах// Докл АН — 2007 — 412 №3 - С 317-320

Г,

Рис 2 П„(Г7)ПК = 0

Г1

Рис 3 0

Первый класс задач является наиболее изученным свойства нелокальной задачи во многом близки к свойствам соответствующей «локальной» задачи (когда b,r(y) = 0) В частности, нелокальная задача фредгольмова в обычных пространствах Соболева и ее индекс равен индексу «локализованной» задачи, а соответствующая задача со спектральным параметром однозначно разрешима при достаточно больших значениях параметра (см 8 13) В случае когда спектр локальной задачи дискретный, нелокальная задача также имеет дискретный спектр, а система ее корневых функций образует базис Абеля в соответствующем пространстве Соболева (см и)

Существенно более сложная ситуация имеет место для второго и третьего классов Для второго класса нелокальных задач кривая ^„(Г,,) может пересекаться (в том числе касаться) границы области, а в более общем случае даже частично совпадать с границей Для третьего класса задач считаем, что подход носителя нелокальных членов к границе области в точках сопряжения некасательный, что существенно для используемого в диссертации метода Оказывается (см 9 16), в случае пересечения носителя нелокальных членов с границей области решения могут иметь степенные особенности вблизи точек сопряжения краевых условий даже в случае бесконечно гладкой границы и бесконечно дифференцируемой правой части Поэтому такие задачи рассматривались ранее в специальных весовых пространствах, учитывающих возможные особенности решений Наиболее удобными при этом оказались пространства В А Кондратьева, введенные им при исследовании «локальных» краевых задач в областях с угловыми или коническими точками В работах9 10 11 15 доказана фредгольмова разрешимость нелокальных задач в пространствах В А Кондратьева, а в работе12 показано, что если носитель нелокальных членов не пересекается с точками сопряжения краевых условий (рис 2), то индекс нелокальной задачи равен индексу соответствующей локальной, в противном случае (рис 3) это, вообще говоря, уже неверно

Нелокальные задачи с касательным подходом кривой fio-flV) к границе области в точках сопряжения краевых условий в отдельных случаях изучались в работах18' 19 методами теории функций комплексного переменного, однако общая теория в этом случае не развита

Независимо от упомянутых работ, нелокальные эллиптические задачи возникли в теории многомерных диффузионных процессов, описывающих с вероятностной точки зрения поведение частицы в области G В работах20, 21 В Феллер показал, что всякому одномерному (п = 1) диффузионному процессу соответствует некоторая сильно непрерывная неотрицательная сжимающая полугруппа в пространстве C(G) или некотором его подпространстве Впоследствии такие полугруппы получили название полугрупп Феллера Кроме того, В Феллер получил необходимые и достаточные условия того, что обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка является генератором (инфинитезимальным производящим

^Кишкис К Ю К теории нелокальных задач для уравнения Лапласа//Дифференц уравнения —1989 — 25 №1 —С 59-64

19Бицадзе А В Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функции// Докл АН СССР — 1985 -280 Ч» 3 - С 521-524

speller W The parabolic diiierential equations and the associated semi groups of transformations// Ann Math —1952 — 55 — P 468-519

21Feller It7 Diffusion processes in one dimension// Trans Amer Math Soc —1954 — 77 —1-30

оператором) указанной полугруппы Полученные им краевые условия, задающие область определения оператора, являются нелокальными

В многомерном случае (п ^ 2) общий вид генератора полугруппы Феллера был получен А Д Вентцелем22 Им было доказано, что генератор полугруппы Феллера есть эллиптический дифференциальный оператор второго порядка (возможно, с вырождением), область определения которого состоит из непрерывных (один или два раза непрерывно дифференцируемых, в зависимости от процесса) функций, удовлетворяющих нелокальным краевым условиям Нелокальное слагаемое представляет собой интеграл от функции по замыканию области относительно неотрицательной борелевской меры p(y,dr)), у € дО

В наиболее сложном случае, когда мера атомарна, нелокальные условия могут принимать вид (2) Их вероятностный смысл таков частица, попадая в точку у е IV, может через некоторое случайное время с вероятностью Ь„ (0 < Ьс < 1) оказаться в точке С1„(у) (такое поведение частицы называют "скачком"), либо с вероятностью 1 — Ь„ поглотиться границей — в этом случае процесс завершается

В общем случае краевые условия содержат производные от неизвестной функции до второго порядка включительно, что соответствует, помимо поглощения, отражению частицы от границы области, диффузии вдоль границы и явлению вязкости

Следующая задача остается при п ^ 2 нерешенной Пусть задан эллиптический интегро-дифференциальный оператор, область определения которого описывается нелокальными краевыми условиями общего вида22 Будет ли такой оператор (или его замыкание) генератором полугруппы Феллера'

Различают два класса нелокальных краевых условий трансверсальные и нетрансвер-сальные В трансверсальном случае порядок нелокальных членов меньше порядка локальных, тогда как в нетрансверсальном порядки совпадают Трансверсальный случай изучали Дж M Бони, С Ватанабе, Й Ишикава, П Коредж и П Приоре, К Сато и Т Уено, К Таира и многие другие В работах A JI Скубачевского был предложен метод изучения более сложного нетрансверсального случая23 Этот метод основан на использовавшейся ранее в теории нелокальных задач идее отделения нелокальных членов от локальных граничных операторов8 9 и теореме Хилле—Иосиды Впоследствии метод был развит в работах Е И Галахова и А Л Скубачевского

Помимо приложений нелокальных эллиптических задач к теории плазмы и теории диффузионных процессов, укажем на важные приложения, возникающие в теории функционально-дифференциальных уравнений13, теории параболических задач с нелокальными краевыми условиями24, в авиационно-космической технике при моделировании многослойных пластин и оболочек13 25, 26, в задачах терморегуляции при описании процессов в химических реакторах и системах климат-контроля27, 2S, а также в теории управления29 Кроме того, отметим монографию А Бенсусана и Ж -Л Лионса30, где, в частности, рассматриваются эллиптические интегро-дифференциальные операторы в связи с вопросами стохастической теории

22Вентцель АД О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов// Теор вероятн и ее применения —1959 — 4 № 2 - С 172-185

23 Скубачевский АЛО некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// Докл АН СССР —1989 — 307 К> 2 — 287-291

2iShamm R V Nonlocal parabolic problems with the support of nonlocal terms inside a domain// Funct Differ Equ — 2003 — 10 jV> 1 2 — P 307-314

250нонов Г Г Скубачевский А Л Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела//Прикладная механика —1979 — 15 №5 —С 39-47

uOnanov G G Tsuetkov EL On the minimum of the energy functional with respect to functions with deviating argument in a stationary problem of elasticity theory// Russ J Math Phys —1995 - 3 № 4 — P 491-500

27Colli P Grasselh M Sprekels J Automatic control via thermostats of a hyperbolic Stefan problem with memory// Appl Math Optim — 1999 -39 -P 229-255

2вГуревич П Л Егер В Скубачевский А Л О существовании периодических решении некоторых нелинейных задач термоконтроля// Докл АН -2008 -418 №2 -С 151 154

29Лтапп H Feedback stabilization of linear and semihnear parabolic systems// In Proceedings of "Trends in Semigroup Theory and Applications " Trieste Sept 28 — Oct 2 1987 —Lect Notes Pure Appl Math — 1989 —116 - С 21-57

3QBensoussan A , Lions J L Impulse Control and Quasi Variational Inequalities — Pans Gauthier Villars 1984

управления

В последнее время развивается также теория нелокальных нелинейных уравнений и неравенств и ее приложения В этой связи упомянем статью31, в которой изучаются дифференциальные неравенства с нелокальными слагаемыми (там же можно найти ссылки на работы других авторов)

Цель работы

Целью работы является изучение следующих взаимосвязанных вопросов

1 разрешимость и гладкость решений эллиптических уравнений с нелокальными краевыми условиями в случае, когда носитель нелокальных членов имеет непустое пересечение с границей области,

2 существование полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов

Основные результаты. Научная новизна

1 До сих пор в общей теории нелокальных эллиптических задач предполагалось, что преобразования переменных в нелокальных краевых условиях линейны вблизи точек сопряжения краевых условий, а именно представляют из себя композицию операторов сдвига, поворота и гомотетии

В работе изучена задача с нелинейными преобразованиями, которые не являются малыми или компактными возмущениями Показано, что при переходе от линейных преобразований переменных к нелинейным оператор задачи в весовых пространствах В А Кондратьева остается фредгольмовым и его индекс не меняется

2 В случае пересечения носителя нелокальных членов с границей области разрешимость нелокальных эллиптических задач в пространствах Соболева \У1+2т(0) = И^+2т(С?) (где 2т — порядок эллиптического уравнения, I ^ 0 — целое) прежде не исследовалась Основная трудность заключается в том, что решения нелокальной задачи могут иметь степенные особенности вблизи некоторых точек и, вообще говоря, не принадлежат «нужному» пространству Соболева

В диссертации показано, что фредгольмова разрешимость ограниченного оператора в пространствах Соболева И/,+2т(С?) определяется расположением собственных значений некоторой вспомогательной оператор-функции ¿(X) (\ е С), соответствующей точкам сопряжения краевых условий, структурой жордановых цепочек, отвечающих этим собственным значениям, а также выполнением определенных алгебраических соотношений между эллиптическим оператором и операторами в нелокальных краевых условиях

3 Ранее вопрос о фредгольмовости неограниченного нелокального оператора в ¿2(6) в случае подхода носителя нелокальных членов к границе области изучался лишь тогда, когда нелокальные условия заданы на сдвигах границы32, или же в случае нелокального возмущения задачи Дирихле для уравнения второго порядка33

В диссертационной работе доказано, что неограниченный оператор в Ь2(С), заданный на обобщенных решениях нелокальной задачи (функциях из 0 < £ ^ 2т — 1), оказывается фредгольмовым вне зависимости от расположения собственных

31Митидиери Э Похожаев С И Теоремы типа Лиуьилля для некоторых нелинейных нелокальных задач// Докл АН —2004 — 399, № 6 - С 732-736

32Скубачевский А Л Эклиптические задачи А В Бицадзе А А Самарского//Докл АН СССР—1984 —278 №4 —С 813-816

Ъ2Гущин А К Михайлов В П О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения// Магем сб -1995 -Мб № 2-С 37-58

значений оператор-функции ¿(А) Кроме того, исследована устойчивость индекса оператора в Ьг(<3) при возмущении эллиптического уравнения младшими членами и краевых условий нелокальными операторами

4 В работе34 рассматривался вопрос о гладкости вблизи угловой или конической точки обобщенных решений из пространства Соболева \\?т(С) эллиптического уравнения порядка 2т с условием Дирихле на границе В частности, было доказано, что решения можно сделать сколь угодно гладкими за счет уменьшения раствора угла Принципиально иная ситуация имеет место в случае нелокальных краевых условий В работе9 показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться вблизи гладкой границы или вершины малого угла С другой стороны, наличие нелокальных членов с достаточно большими по модулю коэффициентами может обеспечить гладкость обобщенных решений вблизи вершины угла, большего тг

В диссертационной работе изучена гладкость обобщенных решений из И^СУ), 0 < £ < 2т — 1, эллиптических уравнений порядка 2т с общими нелокальными условиями Ряд результатов являются новыми даже в случае уравнения Пуассона

5 Вопрос о существовании полугрупп Феллера в нетрансверсальном случае рассматривался в работах А Л Скубачевского при условии, что коэффициенты нелокальных операторов убывают при стремлении аргумента к границе области В работах Е И Га-лахова и А Л Скубачевского изучены краевые условия в случае, когда коэффициенты при нелокальных членах вблизи точек сопряжения краевых условий меньше единицы В этом случае нелокальную задачу (после сведения на границу) можно рассматривать в определенном смысле как возмущение «локальной» задачи Дирихле Предельный случай, когда коэффициенты при нелокальных членах равны единице, до сих пор оставался неизученным

В работе исследованы нетрансверсальные нелокальные условия, допускающие этот предельный случай Получены достаточные условия на борелевскую меру у, ¿г/) (носитель которой содержится в замыкании области), гарантирующие, что соответствующий нелокальный оператор будет генератором полугруппы Феллера Изучены как ограниченные, так и неограниченные возмущения эллиптического оператора Построены примеры несуществования полугруппы Феллера

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях линейных и нелинейных нелокальных эллиптических и параболических задач, краевых задач для дифференциально-разностных уравнений и многомерных диффузионных процессов Результаты могут быть также применены для обоснования численных методов решения нелокальных задач, где существенную роль играет гладкость решений

Апробация результатов

Результаты диссертационной работы излагались на семинаре в Математическом институте им В А Стеклова РАН под руководством академика РАН С М Никольского и чл -корр РАН Л Д Кудрявцева, на семинарах механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова под руководством М И Вишика, под руководством В А Кондратьева, под руководством А И Прилепко, под руководством А А Шкаликова, на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством А Л Скубачевского, на семинаре в Московском энергетическом институте под руководством Ю А Дубинского, на

34Кондратьев В А Краевые задачи для эллиптических уравнении в областях с коническими или угловыми точками// Тр Моек матем обш -1967 — 76 — С 209-292

семинаре университета им Юстуса-Либига г Гиссена (Германия) под руководством X -О Вальтера, на семинаре университета г Цюриха (Швейцария) под руководством Г Аман-на, на семинаре университета г Ла Рошеля (Франция) под руководством М Киране, на семинаре университета г Пуатье (Франция) под руководством А Ружиреля, на семинаре университета г Тулузы (Франция) под руководством Ю Егорова, на семинаре университета г Кардифа (Великобритания) под руководством В Буренкова и В Эванса, на семинаре университета г Хайдельберга (Германия) под руководством В Егера, на семинаре университета г Карлсруэ (Германия) под руководством К Винерса и Н Нойс, на семинаре университета г Ульма (Германия) под руководством В Арендта и В Балсера, на семинаре в Свободном университете г Берлина (Германия) под руководством Б Фидлера

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 26 работах, из них 14 статей в научных журналах и 12 тезисов докладов на международных конференциях Все результаты совместной статьи [10], включенные в диссертацию, получены лично автором

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы (105 наименований) Общий объем диссертации составляет 290 страниц

В гл I исследуется нелокальная эллиптическая задача с нелинейными преобразованиями переменных в нелокальных краевых условиях Показано, что при переходе от линейных преобразований переменных к нелинейным оператор задачи в весовых пространствах В А Кондратьева остается фредгольмовым и его индекс не меняется

Главы П-\П посвящены свойствам решений эллиптических уравнений порядка 2т с нелокальными краевыми условиями в гл II и III изучаются сильные решения из пространств Соболева, в гл IV и V — обобщенные решения из пространств Соболева, а в гл VI, § 23, — решения в пространстве непрерывных функций Соответствующие результаты базируются на разрешимости этой же задачи в весовых пространствах Учитывая результаты гл I, мы ограничиваемся рассмотрением преобразований переменных, линейных вблизи точек сопряжения краевых условий

В гл VI, §§ 24-26, исследуется вопрос о существовании полугрупп Феллера В работе рассматривается двумерный случай, однако отметим, что результаты гл I о разрешимости нелокальных задач в весовых пространствах В А Кондратьева справедливы и в К" при п ^ 3, когда граница области содержит особенности типа ребер Также на п-мерный случай могут быть перенесены некоторые результаты, касающиеся гладкости обобщенных решений, подобно тому, как это сделано в работах В А Кондратьева (см , например,35) Для обобщения на п-мерный случай результатов о существовании полугрупп Феллера необходимо дальнейшее развитие теории нелокальных эллиптических задач изучение асимптотики решений вблизи особенностей границы типа ребер, а также разрешимости в весовых пространствах и пространствах Соболева на основе £¡,((7), р> 2, и в пространствах Гельдера

Содержание работы

Содержание диссертации для наглядности будет изложено на простейшем примере нелокальном возмущении задачи Дирихле для оператора Лапласа В диссертации аналогичные результаты доказаны для произвольных эллиптических уравнений порядка 2т с общими нелокальными условиями (за исключением гл VI, где рассматриваются эллиптические уравнения второго порядка) О других обобщениях будет сказано по ходу изложения материала

30Кондратьев В А Особенности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности ребра// Дифференц уравнения -1977 -13 № и -2026-2032

Во введении описана постановка задачи, а также кратко изложено содержание диссертации по главам Указаны цели диссертации, основные методы исследования, актуальность и научная новизна результатов

Глава I Нелокальные эллиптические задачи с нелинейными преобразованиями переменных

В гл I исследуется эллиптическая задача с нелинейными преобразованиями переменных в нелокальных краевых условиях Доказывается, что при переходе от линейных преобразований переменных к нелинейным оператор задачи в весовых пространствах В А Кондратьева остается фредгольмовым и его индекс не меняется Обозначим

К = {у 6 R2 г > О, Ui < и < ш2}, у,, = {у € R2 г > 0, и = о* = 1,2,

где и, г — полярные координаты точки у, ui < 0 < ш2 и и>2 — < 2-к

Через 0,(0) обозначим £-окрестность начала координат Введем множества

К' = К П 0,(0), = т. П 0,(0), а = 1,2

Пусть G С К2 ограниченная область с границей 9G, содержащей начало координат Считаем, что G П 0,(0) = Кс для некоторого е > 0, а в окрестности каждой точки у е 8G \ {0} граница области G бесконечно гладкая

В гл I-V рассматривается нелокальная краевая задача (см рис 1 1)

Д« = /о(у) (у ее?), (П)

Busu|8GX{0}+B1u + B2u = S(y) (у € 9G\{0}), (12)

где

! |7J, у € Ti.tr >=1,2,

\о, уедс\о£( о),

Ъс{у) - гладкие на функции с носителем в 7CJ* (вообще говоря, Ьх(0) ^ ЬгСО)), — заданные в некоторой окрестности 7J диффеоморфизмы такие, что n„(7j) с G, ПДО) = О и кривые Г2<,(7^) имеют некасательный подход к границе 9G в начале координат, В2и = В2 (0)) {х\ > 0) — абстрактные нелокальные операторы, отвечающие нелокальным

членам с носителем вне ^-окрестности начала координат

Для простоты изложения будем считать, что оператор В2 задан формулой

В2иЫ = ¿(»МедИвеио}, (1 3)

где b е C°°(9G \ {0}), сужение b на -yf — бесконечно дифференцируемая функция, = О (вообще говоря, lim Ыу) ф 0), преобразование Q есть диффеоморфизм, заданный в неко-

i/e-rf. в—

торой окрестности 9G, причем П(öG\ {0}) с G и fi(9G\{0}) Св\Ощ(0)

Для любого I ^ 0 и любого а е R обозначим через H[(G) пополнение множества бесконечно дифференцируемых в G функций с носителем в G \ {0} по норме

V/2

где р = р(у) = dist(y, {0}), а = (в,, а2), |а| = аг + а2, D" = и DVl = -id/dy,

*lk(G) = ( /

П(0)

а) Абстрактный оператор В2 Ь) Оператор В2

с носителем на в \ 0Х1(0) задан формулой (1.3)

Рис. 1.1: Задача (1.1), (1.2)

Для I ^ 1 обозначим через Н1а~1/2(дО \ {0}) пространство следов на дв \ {0} с нормой

1М1я1-'/2(ас\{о}) = Ы 1Мк(С) (и е яа((?) : "1вс\{0) = а).

Аналогично вводятся пространства Н1а(К), Н'а(Кс), Яо_1/2(7»), Я^~1/2(7£)-Положим

Н!а(С, дС) = Н'а{С) х \ {0}),

где а б К и I ^ 0 — целое число.

В гл. I исследуется фредгольмовость оператора

Ь = (А.В):Н,а+2(0)^П'а(0,дС)!

а также устойчивость его индекса при замене преобразований Па на преобразования, имеющие ту же линейную часть вблизи начала координат, что и П„.

Условие 1.1. При у е 0£(0) преобразование П„ имеет вид

Па : У м 5аУ + о{\у\),

где <5а композиция поворота на угол —и)а вокруг начала координат и гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом \а > 0, а = 1.2.

Таким образом, оператор §а переводит сторону т„ угла К в полупрямую {у е К2 : г > 0, и> = 0}, лежащую внутри угла К.

Условие 1.1 означает, в частности, что кривая подходит к границе дй в точке 0

некасательным образом.

В § 1 доказаны вспомогательные результаты из теории линейных операторов, а также даны определения функциональных пространств.

В § 2 рассматривается постановка нелокальной задачи (1.1), (1.2) в весовых пространствах в ограниченной области, а также модельной задачи в плоском угле. Там же вводится модельный оператор ¿(А) : №1+2(и>1,ш2) —> ш2) х С2 (А е С), который соответству-

ет нелокальной задаче вблизи начала координат, записанной в полярных координатах и,г (с последующим преобразованием Меллина г »-> А). В случае задачи (1.1), (1.2) оператор ¿(А) принимает вид

£(Х)ч> = {<р"Н ~ *2<рП: <рЫ + М0)Ы;М0)}.

Спектральные свойства оператора ¿(А) играют принципиальную роль при изучении разрешимости и гладкости решений задачи (1.1), (1.2). В частности, отметим, что собственные значения оператора ¿(А) образуют дискретное множество10.

В § 3 изучаются свойства нелокальных операторов с нелинейными преобразованиями Г2„ В § 4 доказана априорная оценка решений задачи (1 1), (1 2) и построен правый регу-ляризатор в весовых пространствах Сформулируем основной результат гл I, полагая, что а > I + 1 В случае а ^ 1+1 следует накладывать на оператор В2 условия согласования (ср гл III, § 9) или модифицировать весовые пространства

Теорема 1.1. Пусть выполнено условие 11, и пусть прямая Im Л = а — I — 1, где а> 1 + 1, не содержит собственных значений оператора ¿(Л) Тогда оператор L Hl+2{G) —* H'a{G,dG) фредгольмов

В заключение § 4 доказано, что индекс оператора L определяется линейной частью преобразований П^ Основная трудность в данной главе заключается в том, что оператор с нелинейными преобразованиями П^ не является малым или компактным возмущением соответствующего оператора с линеаризованными преобразованиями

Отметим, что результаты гл I справедливы и в многомерном случае, когда граница области содержит особенности типа ребер

Глава II Сильные решения нелокальных эллиптических задач в плоских углах в пространствах Соболева

Главы II—"VI посвящены исследованию свойств решений задачи (1 1), (1 2) в гл II и III изучаются сильные решения из пространств Соболева, в гл IV и V —обобщенные решения из пространств Соболева, а в гл VI — решения в пространствах непрерывных функций Соответствующие результаты базируются на разрешимости этой же задачи в весовых пространствах Учитывая результаты гл I, мы ограничимся рассмотрением преобразований П„, линейных вблизи начала координат Далее будем считать выполненным следующее условие

Условие 2 1 При у е О£(0) преобразование совпадает с линейным преобразованием Qa из условия 11

Теоремы гл II—VI доказаны для общего случая, когда на границе 8G имеется конечное число угловых точек, которые делят 3G на конечное число частей, причем на каждой из частей задано свое нелокальное краевое условие Однако для простоты изложения будем рассматривать задачу (1 1), (1 2) в описанной выше области G

В гл II изучаются модельные нелокальные задачи в плоских углах Соответствующие результаты используются в последующих главах при исследовании нелокальных задач в ограниченных областях

В § 5 вводятся функциональные пространства Через Ws( ) = ( ) (s ^ 0 — целое или «целое+1/2») обозначим пространства Соболева, в дальнейшем нижний индекс «2» писать не будем Через W{0C(G) обозначим множество, состоящее из всех распределений и на С таких, что £и е Wl(G) для любых £ е C°°(G) с компактным носителем в G Другие пространства будут введены по ходу изложения материала

В § 6 рассматривается постановка нелокальной задачи (1 1), (1 2) в ограниченной области, а также модельных задач в плоских углах в пространствах Соболева

А" = f(v), У^К, В„и = fa{y}, у 6 7„, <т = 1,2, (2 1)

и

Аи = f(y), у Ç. К, В„и = Ш, у 6 ъ, ° = 1,2, (2 2)

где

B^u^ + kfoM&îOk. В^ = и\ъ+Ьв(0)<ЯсУ)\-,. (2 3)

(в формуле для В„ полагаем Ь„{у) = 0 при у 6 \

Вначале в § 7 строятся «решения» задач (2 1) и (2 2) в пространствах Соболева с точностью до функций, имеющих ноль определенного порядка в начале координат, при следующем условии

Условие 2 2. На прямой 1т Л = — I — 1 нет собственных значений оператора ¿(А)

Затем рассматривается ситуация, когда выполнено

Условие 2 3 Прямая 1т Л = — I — 1 содержит единственное собственное значение Ао = —г(1 + 1), и это собственное значение правильное

Определение 2.1. Собственное значение А0 оператора ¿(А) называется правильным, если для него не существует присоединенных векторов, а для любого собственного вектора ¡/>(си) функция г,Ло!р(ш), будучи записанной в декартовых координатах у!,уесть полином

В этом случае на правые части нелокальных краевых условий и на правую часть уравнения в задачах (2 1) и (2 2) накладываются интегральные условия согласования в начале координат Для того чтобы выписать условия согласования, нам потребуются некоторые дополнительные построения

Пусть та — единичный вектор, сонаправленный с лучом 7„, и £>т„ = —гд/дтГ Рассмотрим операторы Б1^1 (и(у) + Ьс(0)и(дау)) Используя правило дифференцирования сложной функции, запишем их в виде

01+Му) + ФЛП)и)(дсу), а = 1,2, (2 4)

где Ва(В) — дифференциальные операторы порядка I + 1 с постоянными коэффициентами Заменяя нелокальные операторы в (2 4) на соответствующие локальные, введем операторы

Д1+1+ &(£>), (г = 1,2 (2 5)

Если I > 1, то наряду с системой (2 5) введем систему операторов

С£л, |£| = 1-1 (2 6)

Рассмотрим систему (2 5)-(2 6) как алгебраическую систему, состоящую из 1 + 2 выражений относительно I + 2 частных производных В"и, |а| = I + 1 При выполнении условия 2 3 эта система оказывается линейно зависимой

Выберем из системы (2 5) максимальное число линейно независимых операторов и обозначим их

&<(£>), (2 7)

где множество индексов {а'} совпадает с одним из множеств 0, {1},{2},{1,2} Пусть для определенности {о7} = {1}, тогда

В^ф О, В2 (£>) =№(£>), (2 8)

где ¡3 — некоторая константа

Дополним систему (2 7) (в данном случае состоящую из одного оператора В^Ц)) дифференциальными операторами из системы (2 6) таким образом, чтобы получившаяся система состояла из линейно независимых операторов

Вгф), Г^Д (2 9)

и любой оператор £>{Д, не вошедший в систему (2 9), был представим в виде

& Д = рД(£) + (2 10)

где р£ и — некоторые константы и суммирование проводится по всем соответствующим операторам из системы (2 9)

Рассмотрим функцию / = {/0, fc} € Wl(K, 7), где

Wl(K,7) = Wl(K)x Д W,+3/2(7t)

<7=1,2

Обозначим через Ф„ £ продолжение функций f? в угол ЛГ

Положим

T(f = Df/o - Р^Ф! - f0

С

Здесь ß — константа из соотношения (2 8), pj и р^ — константы из соотношений (210), индексы f соответствуют операторам из системы (2 9), а индексы f — операторам из системы (2 6), не вошедшим в систему (2 9)

Определение 2.2. Если для функции / = {/о, Л} € 7) выполнены соотношения

Jr~2\Tf\2dy <00, Jr~2\Ttf\2dy <00 (2 11)

А" ДГ

(? те же, что и выше), то будем говорить, что функции fa,f„ удовлетворяют условию согласования (2 11)

Замечание 2 1 Выполнение условий (2 11) не зависит от выбора продолжения функций

Замечание 2 2 Соотношения < оо отсутствуют, если либо I = 0, либо I > 1 и

к

система (2 9) содержит все операторы из (2 6)

Во второй части § 7 строятся «решения» задач (2 1) и (2 2) в пространствах Соболева с точностью до функций, имеющих ноль определенного порядка в начале координат, при условии, что выполнено условие 2 3 и правые части удовлетворяют условию согласования (2 11)

Глава III Сильные решения нелокальных эллиптических задач в ограниченной области в пространствах Соболева

Глава III посвящена разрешимости задачи (1 1), (1 2) в плоской ограниченной области в пространствах Соболева Изучаются так называемые сильные решения, т е решения из пространства Соболева Wl+2(G), I > 0

Будем говорить, что функция g принадлежит Wl~l/2{dG\{0}), I ^ 1, если g е Wl~V2(dG\ Oj(0)) при всех 5 > 0 и ее сужение на 7* принадлежит Wl~l/2{7J) Напомним, что, вообще говоря, 6j(0) ф Ьг(0). поэтому рассматриваются следовые пространства, заданные на множестве dG\ {0} Для целых I > 0 обозначим

W(G,dG) = W'(G) х Wl+3/2(dG\ {0})

В § 8 рассматривается соответствующий задаче (1 1), (1 2) ограниченный оператор

L = (Д, В) Wl+2{G) W'(G, 8G)

Теорема 3 1 Пусть выполнено условие 2 2 Тогда оператор L Wl+2(G) —» Wl(GtdG) фредгольмов При этом, если положить В2 = 0, индекс оператора не изменится

Обратно, пусть оператор L Wl+2(G) —► W'(G,dG) фредгольмов, тогда выполнено условие 2 2

Для доказательства конечномерности ядра оператора L используются результаты о разрешимости задачи (1 1), (1 2) в весовых пространствах В А Кондратьева (см ") Для доказательства замкнутости образа и конечномерности ортогонального дополнения к образу строится правый регуляризатор при помощи результатов из гл II, § 7

В § 9 применяются методы §§ 7 и 8 к исследованию задачи (1 1), (1 2) в весовых пространствах с малым показателем веса Результаты этого параграфа используется в гл IV, § 14, при изучении обобщенных решений задачи (1 1), (I 2)

Отметим, что при а 4 I + 1 включение и 6 ff£+2(ff), вообще говоря, не влечет включения (Ди, Ви) б 7i'a(G,dG) Действительно, пусть оператор В2 задан формулой (13) и

lim Ь(у) ф 0 Выбирая гладкую функцию и, равную нулю вблизи начала координат и lf£7blf—о

единице вблизи точки П(0), видим, что и € Hla+2(G) и В2и принадлежит W/,+3/2(9G\{0}), но не принадлежит Яа+3/,2(д(? \{0}) Однако оказывается, что существует такое конечномерное пространство Tila{G, dG), состоящее из функций, имеющих особенность в начале координат, что (Ди, Ви) е Hla(G, 8G) + Kla(G, dG) Введем оператор

La = (Д, В) Hla+2(G) Wi(G, dG) + 1lla(G, dG), а > О

При а > I + 1 можно положить K'a(G, dG) - {0} (см ") Доказан следующий результат

Теорема 3 2 Пусть а > 0 и прямая Im А = а — I — 1 не содержит собственных значений оператора С{Л), тогда оператор L„ Hla+2(G) —> Wj,(G, dG) + Ti'a(G, dG) фредгольмов

Обратно, пусть оператор La H'a+2(G) —► Hla(G,dG) + Tl[(_G,dG) фредгольмов, тогда прямая ImA = a — l — 1 не содержит собственных значений оператора С{А)

Из теоремы 3 2 следует, что если на правую часть / е H[{G, dG) наложить конечное число условий ортогональности, то задача (1 1), (1 2) будет иметь решение и 6 Hl+2{G)

В § 10 рассматривается случай, когда на прямой Im А = — I — 1 имеется только правильное собственное значение оператора £.(А) В этом случае в силу результатов § 8 оператор L Wl+2(G) —> W'(G,dG) не фредгольмов (его образ незамкнут) Поэтому задаче (1 1), (12) ставится в соответствие другой оператор

L = (Д, В) Wl+2(G) - S\G, dG) + 7г'(ff, dG)

Здесь TZ'(G,dG) — некоторое конечномерное подпространство в W'(G, dG) Пространство Sl(G,dG) состоит из таких функций / = {/0,g} е W'(ff, dG), что

1 если I > 2, то Dafo(0) =0, |а] ^ I - 2,

2 DkTj{0) = 0, к 41, с = 1,2,

3 функции ф/о^д^с удовлетворяют условию согласования (2 11), где ^ — гладкая функция с носителем в е-окрестности начала координат, равная единице в е/2-окрестности начала координат

Отметим, что в пространстве Sl(G,8G) можно задать скалярное произведение, превратив это пространство в гильбертово

Доказан аналог теоремы 3 1 Сформулируем его, считая для простоты, что В2 = 0 (в общем случае на В2 налагаются определенные условия согласования)

Теорема 3 3 Пусть выполнено условие 2 3 и В2 = 0 Тогда оператор L = (Д, В) Wl+2(G) -» Sl(G, dG) + U\G, dG) фредгольмов

Так же как и в случае оператора L, доказательство фредгольмовости оператора L основано на результатах из гл II, § 7, которые позволяют построить для оператора L правый регуляризатор

В § 11 рассматривается задача (1 1), (1 2) с однородными краевыми условиями Введем пространство

Wg2{G) = {и 6 W'+2(G) Ви = 0}

Очевидно, WL+2(G) — замкнутое подпространство в Wl+2(G) Рассмотрим ограниченный оператор LB Wg (G) —» Wl{G), заданный формулой

LBu = Аи, u € Wg2{G)

Вначале рассматривается случай, когда на прямой Im Л = — I — 1 либо нет собственных значений, либо имеется неправильное собственное значение оператора £(А)

Теорема 3 4 Пусть выполнено условие 2 2 Тогда оператор Lb фредголъмов

Пусть на прямой Im А = — I — 1 содержится неправильное собственное значение оператора ¿(А) Тогда образ оператора Lв незамкнут (и, следовательно, оператор Ьд не фредголъмов)

Далее, используя результаты § 10, мы доказываем, что если прямая ImA = — I - 1 содержит только правильное собственное значение оператора ¿(А), то задача с однородными краевыми условиями (в отличие от задачи с неоднородными краевыми условиями) может оказаться фредгольмовой, если выполнены определенные алгебраические соотношения между операторами из систем (2 5) и (2 6)

Условие 3.1 При I > 1 система (2 9) содержит все операторы из (2 6)

Улучшение свойств задачи происходит за счет того, что условия согласования оказываются выполненными для любого вектора правых частей вида (/0,0) Действительно, теперь первое соотношение в (2 11) выполнено, так как Т(/о,0) = 0, а второе соотношение в (2 11) отсутствует в силу условия 3 1 (см замечание 2 2)

Снова предположим для упрощения формулировки результата, что В2 = О

Теорема 3 5 Пусть выполнено условие 2 3 и В2 = 0 Тогда

1 оператор Lb W%{G) —* L2(G) фредголъмов,

2 если I ^ 1 и выполнено условие 3 1, то оператор Lв WlB2{G) —> Wl(G) фредголъмов,

3 если I ^ 1 и условие 3 1 нарушено, то образ оператора Lb Wlg2(G) —» Wl(G) незамкнут (и, следовательно, оператор LB не фредголъмов)

В § 12 приведены примеры, иллюстрирующие общие теоремы гл III Рассмотрим один из примеров Предположим, что в окрестности начала координат область G совпадает с плоским углом раствора ж (т е ш2 — cji = 7г), преобразование есть поворот на угол тг/2 внутрь области G Пусть b!r(y) = const (обозначим эти константы также через bc € R) и Ъ(у) = 0

Применение теоремы 3 1 дает следующий результат

Пусть I четно, тогда оператор L Wl+2{G) —* Wl{G,dG) фредголъмов в том и только том случае, если bi + b2 ф 0

Пусть I нечетно, тогда оператор L Wl+2(G) —> Wl(G,dG) не фредголъмов ни при каких 61,62 eR

Отметим, что в случае &i = Ь2 = 0 («локальная» задача) оператор L не фредгольмов Это связано с тем, что оператор L отвечает задаче с неоднородными краевыми условиями, причем правая часть g € Wi+3/,2(3G\ {0}) может иметь особенность в начале координат В

терминах оператора ¿(А) нефредгольмовость оператора L объясняется тем, что собственные значения для £(А) имеют вид А„ = ш (п = 1,2, ) и, следовательно, прямая Im А = — I - 1 содержит собственное значение при любом целом I ^ О

При помощи теорем 3 4 и 3 5 получим следующий результат

Пусть I четно, тогда оператор Ьд \Vg\G) -* W\G) фредгольмов при всех bi,b2 € R

Пусть I нечетно и I = ik + 1, А: = 0,1,2, , тогда оператор Lg Wß2(G) —» W'(G) фредгольмов в том и только том случае, если bi = b2 < 1

Пусть I нечетно и I = 4fc + 3, к = 0,1,2, , тогда оператор LB Wl^2{G) —* W\G) фредгольмов в том и только том случае, если bi = b2 > —1

На примерах, в частности, можно наблюдать следующие эффекты

1 Даже в случае бесконечно гладкой границы нелокальная задача может не быть фред-гольмовой в пространствах Соболева при сколь угодно малых коэффициентах в нелокальных членах С другой стороны, при достаточно больших коэффициентах задача становится фредгольмовой

2 Фредгольмова разрешимость нелокальной задачи в пространствах Соболева W'+2(G) зависит от показателя I Например, задача может быть фредгольмовой при четных I и иметь незамкнутый образ при нечетных I

По сути, эти эффекты обусловлены тем, что при изменении коэффициентов в нелокальных членах и показателя I в пространстве Соболева Wl+2(G) меняется взаимное расположение собственных значений оператора ¿(А) и прямой Im А = —I — 1, структура жордановых цепочек, отвечающих собственным значениям, а также структура алгебраических соотношений между операторами из систем (2 5) и (2 6)

Глава IV. Обобщенные решения нелокальных эллиптических задач

В гл IV изучаются обобщенные решения задачи (11), (1 2)

В § 13 вводится определение обобщенного решения задачи (1 1), (1 2) Если эллиптическое уравнение имеет второй порядок, то можно рассматривать обобщенные решения из пространства L2(G) или W1(G) Для определенности ограничимся вторым случаем

Определение 4.1 Функция и называется обобщенным решением задачи (1 1), (1 2) с правой частью /о е L2{G), g € iy1/2(5G\{0}), если и принадлежит W1(G) и удовлетворяет уравнению (1 1) в смысле теории распределений и нелокальным краевым условиям (1 2) в смысле следов

В § 14 рассматривается неограниченный оператор Р D(P) с L2{G) —> L2(G), действующего по формуле

Pu =Аи, ие D(P) = {и 6 W1(G) Au 6 L2(G), Bu = 0} Теорема 4 1. Оператор Р фредгольмов

Для доказательства теоремы 4 1 используются результаты гл III, § 9, о разрешимости нелокальных задач в весовых пространствах с малым показателем веса и теоремы вложения весовых пространств в пространства Соболева

Замечание 4 1В отличие от случая ограниченного оператора Lg фредгольмовость неограниченного оператора Р не зависит ни от спектральных свойств оператора £(А), ни от выполнения алгебраических соотношений между оператором А и операторами в нелокальных краевых условиях

В § 15 установлено, что индекс оператора Р D(P) С L2(G) —> L2(G) не меняется при добавлении в эллиптическом уравнении младших членов вида

P,(y,D)=J£p3(V)Dy,+P0(y), (4 1)

J=l,2

где Po,Pi,P2 е C^R2)

Рассмотрим возмущенный оператор Р' D(P') с L2(G) —»L2(G), заданный формулой

P'u = Au + P'(2/,D)u, и 6 D(P') = {u е W^G) Ди + P'(j/,е L2(G), Ви = 0} Теорема 4 2 Операторы Р и Р' фредгольмовы, и ind Р' = md Р

Трудность заключается в том, что младшие члены, вообще говоря, не являются ни компактными, ни даже Р-компактными36 возмущениями Включение u € D(P) влечет и £ W^G), что гарантирует Р-ограниченность возмущения, но не его Р-компактность В случае эллиптических уравнений порядка 2т включение и € D(P), вообще говоря, не влечет и 6 W2m-1(G) и возмущение не является даже Р-ограниченным Более того, в этом случае D(P')^D(P)

В § 16 доказана устойчивость индекса при добавлении в краевые условия нелокальных членов с коэффициентами, имеющими ноль определенного порядка в начале координат

Рассмотрим функции Ъа{у) и Ъ{у) и преобразования Üa и П, обладающие теми же свойствами, что функции Ь„(у) и Ь(у) и преобразования и fi соответственно Зададим операторы

CVu) = I ^(з/М^ЫЖ;- У е сг = 1,2,

\0, у 6 dG \ 0Е(О),

С 2и(у) = %МОД)|зс\{о}

Рассмотрим операторы Pt D(P() с L2(G) —> L2(G), t е. С, действующие по формуле

Ptu = Au, ие D(Pt) = {u € W\G) Au e L2{G), u|ac\{o} + В1« + ¿(С1 + C2)u = 0} Теорема 4.3 Пусть bi(0) = Ь2(0) = lim Ь(у) = 0 Тогда mdP{ = const при всех t 6 С

Так же как и в § 15, основная трудность заключается в том, что при возмущении оператора задачи меняется его область определения В обоих случаях для доказательства устойчивости индекса используется понятие раствора между неограниченными операторами36 и сведение к операторам, действующим в весовых пространствах

В § 17 показано, что при добавлении в краевые условия нелокальных членов со сколь угодно малыми коэффициентами, не равными нулю в начале координат, индекс оператора Р может меняться Там же приведены примеры оператора Р, спектр которого занимает всю комплексную плоскость

Глава V. Гладкость обобщенных решений нелокальных эллиптических задач

Глава V посвящена гладкости обобщенных решений и € W1(G) задачи (1 1), (1 2) при условии, что /о € L2(G), g € W3/2(dG\ {0}) Под гладкостью обобщенного решения понимается его принадлежность пространству W2(G) Как известно, если В1 = 0, В2 = 0, g = 0 и граница 8G гладкая, то любое обобщенное решение принадлежит W2(G) Однако в случае нелокальных краевых задач гладкость обобщенных решений может нарушаться даже для бесконечно дифференцируемой правой части и бесконечно гладкой границы области

36Като Т Теория возмущении линеиных операторов — М Мир 1972

Полученные результаты опираются на теоремы гл II, § 7, о разрешимости модельных нелокальных задач в плоских углах и на результаты работ9 37 об асимптотике решений нелокальных задач в весовых пространствах

В § 18 предполагается выполненным следующее условие

Условие 5.1 В полосе — 1 < 1т А < 0 нет собственных значений оператора С(А)

Теорема 5 1 Пусть выполнено условие 5 1, и пусть и — обобщенное решение задачи (1 1), (1 2) с правой частью /0 € ¿2(6?), д € И^2(Э<? \ {0}) Тогда и € \У2(в)

По теореме 5 1 любое обобщенное решение задачи (1 1), (1 2) принадлежит \У2(С) Правая часть д в нелокальном условии принадлежат пространству И73/2(дв \ {0}) Однако никаких дополнительных ограничений (типа условий согласования в начале координат) на поведение функции д(у) и коэффициентов нелокальных операторов не налагается В действительности функция д е №*!2(дС \ {0}) не совсем произвольна Например, если В1 = 0 и В2 = 0 (т е рассматривается «локальная» задача Дирихле) и решение и принадлежит IV2(б), то в силу теоремы вложения Соболева

1ш1 о(2/) = Ит д(у) (5 1)

Теорема 5 1 показывает, что при выполнении условия 5 1 существование обобщенного решения автоматически гарантирует выполнение соотношений вида (5 1) В § 19 будет доказано, что если условие 5 1 нарушено, то, для того чтобы любое обобщенное решение было гладким, на правую часть д необходимо налагать определенные условия согласования

В § 19 исследуется так называемый пограничный случай, а именно предполагается, что выполнено следующее условие (ср условие 2 3)

Условие 5 2 В полосе — 1 < 1т А < 0 нет собственных значений оператора £(А) На прямой 1т А = — 1 имеется единственное собственное значение А = -г оператора £(А), и оно правильное

В этом параграфе получены (интегральные) условия согласования, которым должна удовлетворять правая часть д и коэффициенты в нелокальных краевых условиях для того, чтобы любое обобщенное решение задачи (1 1), (1 2) принадлежало \У2(С!)

Введем вначале условие согласования для правых частей /„ е ^У3/,2(7£) следующим образом Обозначим /°(г) =Л(у)|„=(гсое^,г5ш^) Очевидно, € У/3>2{0,£)

Определение 5.1 Пусть ¡3 — константа из соотношений (2 8), полученных при I = 0 Если выполнено соотношение

2

¿г < ос, (5 2)

о

то будем говорить, что функции а = 1,2, удовлетворяют условию согласования (5 2)

Будем говорить, что функция д € Ил3/'2(9(? \ {0}) удовлетворяет условию согласования (5 2), если этому условию удовлетворяют функции а = 1,2

Замечание 5 1 Соотношение (5 2) эквивалентно соотношению (2 11) при I = 0

Показано, что гладкость обобщенных решений задачи (1 1), (1 2) может нарушаться, если правые части в нелокальных условиях не удовлетворяют условию согласования

37Гуревич П Л Асимптотика решений нелокальных эллиптических задач в плоских углах// Труды семинара им И Г Петровского — 2003 - 23 - С 93-126

Теорема 5.2 Пусть выполнено условие 5 2 Тогда существуют такие функции /0 £ ¿2(G), g € W3/2(dG \ {0}) и и & Wl{G), что и —обобщенное решение задачи (11), (1 2) с правой частью (fo,g), функция g не удовлетворяет условию согласования (5 2) uui W2{G)

Таким образом, чтобы любое обобщенное решение задачи (1 1), (1 2) было гладким, необходимо брать правую часть g, удовлетворяющую условию согласования (5 2)

Далее доказывается, что следующее условие необходимо и достаточно для того, чтобы любое обобщенное решение было гладким (в формулировке условия участвуют операторы Ва, которые определены в (2 3))

Условие 5 3. / Для любой у е W2(G) функции (В2и)|7< удовлетворяют условию согласования (5 2)

2 Для любой константы С функции ВсС удовлетворяют условию согласования (5 2) Теорема 5 3. Пусть выполнено условие 5 2 Тогда справедливы следующие утверждения

1 Если выполнено условие 5 3 и и —обобщенное решение задачи (1 1), (1 2) с правой частью f0 е L2(G), g € W3/2(8G \ {0}), причем g удовлетворяет условию согласования (5 2), mou s W2{G)

2 Если условие 5 3 нарушено, то существует такая правая часть /о € Li(G), g s Wi!2(dG \ {0}), где функция g удовлетворяет условию согласования (5 2), и такое обобщенное решение и задачи (1 1), (1 2), что и ф W2(G)

Замечание 5 2. В § 22 рассмотрен пример, в котором tjj = —ж/2, и2 = тг/2 (т е граница области бесконечно гладкая), преобразования (<т = 1,2) представляют собой поворот на угол ж 12 внутрь области и оператор В2 задан явной формулой (1 3) Показано, что условие 5 2 принимает вид

Ы0) + ь2(0) = 0,

часть 1 условия 5 3 — вид

где значение функции в нуле понимается в смысле одностороннего предела при г/ € 7f, г/ —> 0, а часть 2 условия 5 3 — вид

2

dr < оо

дЪг дЪ2

dyi У=(0,-г) дуг У=(0,г)

Далее рассматривается случай так называемой регулярной правой части Определение 5 2 Правую часть д в нелокальном условии (1 2) назовем регулярной, если

1ш1 д{у)= 1;т д(у) = О

Соответствующую пару правых частей /0,д также будем называть в этом случае регулярной

Если ограничиться лишь регулярными правыми частями д, то условие 5 3 можно ослабить

Определение 5 3 Функцию у € И/2(<3) назовем допустимой, если существует такая константа С, что

Ьт ((В2и)|71 + ВсС) = 0, <т = 1,2 (5 3)

Любую константу С, удовлетворяющую соотношениям (5 3), будем называть допустимой константой, соответствующей функции у

Доказано, что следующее условие является необходимым и достаточным для того, чтобы любое обобщенное решение задачи (1 1), (1 2) с регулярной правой частью д было гладким

Условие 5 4 Для любой допустимой функции v и любой допустимой константы С, соответствующей v, функции (B2u)|7j+B„С удовлетворяют условию согласования (5 2)

Теорема 5 4. Пусть выполнено условие 5 2 Тогда справедливы следующие утверждения

1 Если выполнено условие 5 4, функция и есть обобщенное решение задачи (1 1), (1 2) с регулярной правой частью /0 6 L2(G), g е H/3/2(3G\{0}) и функция g удовлетворяет условию согласования (5 2), то и £ W2{G)

2 Если условие 5 4 нарушено, то существует регулярная правая часть /0 6 £2(0). g 6 W3/2(dG\ {0}) и обобщенное решение и задачи (1 1), (1 2), такие, что функция g удовлетворяет условию согласования (5 2), но и £ \V2(G)

Замечание 5 3 Рассмотрим пример из замечания 5 2 В § 22 показано, что условие 5 4 принимает вид

дуг

где значение функции в нуле понимается в смысле одностороннего предела при у 6 -yf, у —> 0 Таким образом, это условие действительно слабее условия 5 3, в котором накладываются дополнительные ограничения на производные функций bi(y) и b2(y)

Очевидно, выполнение условия 5 4 достаточно для сохранения гладкости в случае однородных краевых условий (т е когда g = 0) В заключение § 19 показано, что в ряде случаев это условие является также и необходимым для сохранения гладкости обобщенных решений задачи (1 1), (1 2) с однородными краевыми условиями

Отметим, что в общем случае уравнения порядка 2т и обобщенных решений из пространства Wl(G) (0 ^ i 4 2т — 1) вместо полосы -1 < ImA < 0 рассматривается полоса 1 — 2m < ImA < 1 — I В полосе могут оказаться правильные собственные значения оператора ¿(А) Результаты, аналогичные случаю т = 1, имеют место, вообще говоря, тогда и только тогда, когда выполнены некоторые дополнительные условия на структуру собственных и присоединенных функций, отвечающих этим собственным значениям В § 20 изучаются нелокальные краевые условия специального вида с нулевой правой частью, для которых эти дополнительные условия несущественны Один из частных случаев состоит в том, что дифференциальные операторы в нелокальных условиях однородны и имеют постоянные коэффициенты вблизи начала координат

В § 21 рассмотрен случай, когда гладкость обобщенных решений может нарушаться

Теорема 5 5 Пусть полоса — 1 ^ ImA < 0 содержит неправильное собственное значение оператора £(\) Тогда существует правая часть /о 6 L2{G) и обобщенное решение и задачи (1 1), (1 2) с однородным краевым условием, такие, что и W2(G)

В § 22 приведен пример, иллюстрирующий результаты §§ 18-21 (см замечания 5 2 и 5 3)

Глава VI Полугруппы Феллера и двумерные диффузионные процессы

В гл VI изучается вопрос о существовании полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов при описании движения частицы в области с вероятностной точки зрения

Пусть X — замкнутое подпространство в C(G), содержащее по крайней мере одну неотрицательную функцию

Определение 6 1 Сильно непрерывная полугруппа операторов Тг X —> X называется полугруппой Феллера на X, если 1 ||Tt]| ^ 1, t > 0, 2 Ttu > 0 для всех t > 0 и и 6 X, и > О

Определение 6 2 Линейный оператор Р D(P) с X —> X называется генератором (инфи-нитезималъным производящим оператором) сильно непрерывной полугруппы {Tt}, если

Ри = ^lim^ —D(P) = {" 6 X предел в X существует}

Как и ранее, изложим основные результаты на примере оператора Лапласа В диссертации изучается эллиптический дифференциальный оператор P(y,D) второго порядка с гладкими вещественнозначными коэффициентами, такой, что Р(у, D)1 < 0, у € G

Предположим, что область определения оператора Лапласа задается нелокальными краевыми условиями нетрансверсального типа (ср (1 2))

и(у) - в Чу) - в My) - [ «(Ч)/З(у, Ж?) = о, у е dG \ {о},

I (61)

«(0) = о

Здесь Р(у, ) — неотрицательная борелевская мера Всюду далее предполагается, что

Ъ,{У) > 0, Ъ{у) > 0, (6 2)

Ь„(у) + Ь(.у) + 13(у,С)4 1, i/67i, «7 = 1,2, Ky) + P(y,G)4 1, yedG\o£(0) В качестве X будем рассматривать пространство

Cb{G) — {u € C(G) и удовлетворяет (6 1)}

Основной вопрос этой главы при каких Ъ„{у), Ь(у) и /3(у, ) эллиптический дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор с краевыми условиями (6 1) будет генератором полугруппы Феллера в пространстве Св((?)' Для ответа на этот вопрос исследуются свойства нелокальных эллиптических задач в пространстве непрерывных функций и применяется теорема Хилле—Иосиды

Отметим, что условия (6 2) и (6 3) являются необходимыми для того, чтобы указанный оператор был генератором полугруппы Феллера (см 22)

В § 23 получены результаты об однозначной разрешимости в весовых пространствах Hla(G) и затем в C(G) эллиптического уравнения

Дк - qu = fD(y) (yeG, q> 0)

с нелокальными краевыми условиями (6 1) в случае, когда В2 = 0 и ¡3{у, ) = 0 При этом на коэффициенты h(y) и Ь2{у) налагается следующее условие

Условие 6 1 61(0)4-62(0) <2

Замечание 6.1. Отметим, что ранее, в работах А Л Скубачевского и Е И Галахова, предполагались выполненными условия 0 ^ 6„(0) < 1 или 0 < 6^(0) < 1/2, a = 1,2 (в зависимости от структуры меры /3(у, )) В настоящей работе допускается предельный случай, когда один из коэффициентов Ъа(у) может равняться единице в точке сопряжения краевых условий (в данном случае в начале координат) Построен пример, когда оба коэффициента одновременно равны единице и соответствующей полугруппы Феллера не существует (см § 26)

При помощи результатов § 23 и теоремы Хилле—Иосиды в § 24 получены условия на оператор В2 (в данном случае на функцию Ъ(у) и преобразование П) и меру /3(у, ), при которых неограниченный оператор Рв 0(РВ) С Св(в) —► Св(в), заданный формулой

Рви = Ди + Рцл и € 0(РВ) = {и е Св(5) Аи + Рщ 6 СВ(Щ,

является генератором полугруппы Феллера Здесь Р! — ограниченный в С((?) оператор такой, что если функция и € С((7) достигает в точке у° е <3 положительного максимума, то Р 1и(у0) ^ 0 Оператор Р] представляет собой обобщение ограниченного интегрального оператора вида

Р1"Ы = J["в/) - У € <3,

а

где т\{у, ) —неотрицательная борелевская мера на <3

Для простоты изложения результатов далее будем считать, что ¡5{у, ) = О В общем случае предполагается, что мера ¡3(у, ) представима в виде суммы двух неотрицательных борелевских мер первая обладает некоторым свойством малости, а вторая порождает в соответствующих пространствах компактный оператор Положим

N = {г/ 6 9(3 (6 1) эквивалентно и{у) = 0} Условие 6 2 П(0) 6 Я или Ьт Ъ{у) = 0

Условие 6 2 есть условие согласования для оператора В2 Оно гарантирует, что если и € СВ(С), то В2и 6 С(9<3)

Сводя нелокальную задачу на границу и используя результаты § 23, мы доказываем разрешимость эллиптического уравнения с нелокальным условием (6 1) в пространстве непрерывных функций, а также убеждаемся в том, что область определения оператора Рв плотна в Св((3) Отсюда и из теоремы Хилле—Иосиды получаем основной результат § 24

Теорема 6 1. Пусть выполнены условия 61 и 52, и пусть Р(у, ) е 0 Тогда оператор Рв О(Рд) С Св((3) —» Св(<3) является генератором полугруппы Феллера

В § 25 получены результаты, аналогичные результатам § 24, для случая неограниченного в С(<3) возмущения Р2, обобщающего интегральный оператор вида

и{у) = J[и(у + г{у, г])) - и{у) - (7и{у), г(у, т]))]т2(у, у е в,

р

где Р — пространство с с-алгеброй Т и борелевской мерой 7Г, вектор-функция г(у, г]) и скалярная функция т(у,т]) ограничены и 7г-измеримы по г/, т2{у, т?) ^ 0, у + х{у,г)) е (3 для всех ¡/ е б, I) ё ^

В § 26 построены примеры, в которых нарушено условие 6 1 или условие 6 2 и замыкание соответствующего оператора Рв не_является генератором полугруппы Феллера Для этого доказывается, что образ оператора Рв - <Д не совпадает с Св((3) при некотором д > 0, и применяется теорема Хилле—Иосиды

Публикации по теме диссертации Статьи в научных журналах

1 Гуревич П Л Нелокальные эллиптические задачи с нелинейными преобразованиями переменных вблизи точек сопряжения// Известия РАН Сер матем — 2003 — 67, № 6 — С 81-120

2 Гуревич П Л О гладкости обобщенных решений нелокальных эллиптических задач на плоскости// Докл АН - 2004 - 398, № 3 - С 295-299

3 Гуревич П Л Обобщенные решения нелокальных эллиптических задач// Матем заметки - 2005 - 77, № 5 - С 665-682

4 Гуревич П Л Об устойчивости индекса неограниченных нелокальных операторов в пространствах Соболева// Труды МИАН —2006 —255 — С 116-135

5 Гуревич П Л О неустойчивости индекса некоторых нелокальных эллиптических задач// Труды семинара им И Г Петровского —2007 —26 С 179-194

6 Гуревич Л Л Неограниченные возмущения двумерных диффузионных процессов с нелокальными краевыми условиями// Докл АН —2007 —417, № 4 — С 451-455

7 Гуревич П Л О существовании полугруппы Феллера с атомарной мерой в нелокальном краевом условии// Труды МИАН 2008 -260 - С 164-179

8 Гуревич П Л Ограниченные возмущения двумерных диффузионных процессов с нелокальными условиями вблизи границы// Матем заметки —2008 —83, № 2 — 181-198

9 Гуревич П Л О несуществовании полугрупп Феллера в нетрансверсальном случае// Успехи матем наук -2008 -63, № 3 - С 159-160

10 Гуревич П Л, Скубачевский АЛО фредгольмовой и однозначной разрешимости нелокальных эллиптических задач в многомерных областях// Труды Моек матем общ — 2007 -68 -С 288-373

11 Gurevich Р L Solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces, I// Russ J Math Phys -2003 -10, № 4 -P 436-466

12 Gurevich P L Solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces, II// Russ J Math Phys -2004 -11, № 1 -P 1-44

13 Gurevich P L The consistency conditions and the smoothness of generalized solutions of nonlocal elliptic problems// Adv Differential Equations - 2006 - II, № 3 — P 305-360

14 Gurevich P L Smoothness of generalized solutions for higher-order elliptic equations with nonlocal boundary conditions//J Differential Equations —2008 — 245 — P 1323-1355

Тезисы международных конференций

1 Gurevich P L Asymptotics and smoothness of generalized solutions for nonlocal elliptic problems// Тезисы Международной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и приложения» Беер-Шева Израиль —2002 — С 25-26

2 Gurevich P L Nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces// Тезисы Третьей международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям Москва МАИ -2002 -С 41-42

3 Gurevich P L Nonlocal elliptic problems near the boundary in Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Колмогоров и современная математика», посвященной столетию со дня рождения А Н Колмогорова Москва Математический институт им В А Стеклова -2003 -С 176-177

4 Gurevich Р L Nonlocal elliptic problems with nonlinear argument transformations near the boundary// Тезисы Международной конференции «Нелинейные уравнения с частными производными» Алушта Украина — 2003 — С 86-87

5 Gurevich Р L Elliptic problems with nonlocal conditions near the boundary// Тезисы Международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными, посвященной В А Солонникову Феррара Италия — 2003 С 13

6 Gurevich PL On Fredholm solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И Г Петровскому Москва МГУ им М В Ломоносова —2004 —

7 Gurevich Р L Elliptic equations with nonlocal boundary-value conditions on Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Функциональные пространства, теория аппроксимации, нелинейный анализ», посвященной столетию С М Никольского Москва Математический институт им В А Стеклова — 2005 — С 288

8 Gurevich Р L Regularity of generalized solutions to nonlocal elliptic problems// Тезисы Четвертой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям Москва Математический институт им В А Стеклова -2005 -С 42-43

9 Gurevich Р L Generalized solutions to nonlocal elliptic problems// Тезисы Международной конференции «Нелинейные уравнения с частными производными», посвященной О А Ладыженской Алушта Украина — 2005 — С 40

10 Gurevich Р L Unbounded operators corresponding to nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces// Тезисы Международной конференции «Тихонов и современная математика» Москва МГУ им М В Ломоносова — 2006 — Раздел 1, с 93-94

11 Gurevich Р L Elliptic problems with nonlocal boundary-value conditions// Тезисы Международного конгресса математиков Мадрид Испания — 2006

12 Гуревич П J1 Нелокальные эллиптические задачи и полугруппы Феллера в нетранс-версальном случае// Тезисы Международной конференции «Функциональные пространства Дифференциальные операторы Общая топология Проблемы математического образования», посвященной 85-летию Л Д Кудрявцева Москва —2008 — С 250-251

С 81-82

Подписано в печать 15 07 08 Формат 60x84/16 Тираж 100 экз Уел печ л 1,5 Заказ 768

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г Москва, ул Орджоникидзе, д 3

Введение

Глава I. Нелокальные эллиптические задачи с нелинейными преобразованиями переменных

1. Некоторые определения и результаты из теории линейных операторов. Функциональные пространства.

2. Постановка задачи в ограниченной области

3. Нелинейные преобразования вблизи начала координат.

4. Фредгольмова разрешимость нелокальных задач и устойчивость индекса.

Глава II. Сильные решения нелокальных эллиптических задач в плоских углах в пространствах Соболева

5. Функциональные пространства.

6. Постановка нелокальной задачи в ограниченной области.

7. Нелокальные задачи в плоских углах в пространствах Соболева

Глава III. Сильные решения нелокальных эллиптических задач в ограниченной области в пространствах Соболева

8. Отсутствие собственных значений оператора £(А) на прямой

Im А = 1 - I - 2т.

9. Нелокальные задачи в весовых пространствах с малым показателем веса.

10. Правильное собственное значение оператора £(А) на прямой

Im А = 1 — / — 2т.

11. Нелокальные задачи с однородными нелокальными условиями

12. Примеры

Глава IV. Обобщенные решения нелокальных эллиптических задач

13. Обобщенные решения нелокальных задач

14. Фредгольмова разрешимость нелокальных задач.

15. Устойчивость индекса при возмущении дифференциального оператора младшими членами.

16. Устойчивость индекса при возмущении нелокальных условий

17. Неустойчивость индекса.

Глава V. Гладкость обобщенных решений нелокальных эллиптических задач

18. Сохранение гладкости обобщенных решений.

19. «Пограничный» случай. Условия согласования.

20. Нелокальные условия специального вида. Регулярные и нулевые правые части.

21. Нарушение гладкости обобщенных решений.

22. Пример.

Глава VI. Полугруппы Феллера и двумерные диффузионные процессы

23. Нелокальные задачи в пространствах непрерывных функций

24. Ограниченные возмущения диффузионных процессов.

25. Неограниченные возмущения диффузионных процессов.

26. Несуществование полугрупп Феллера.

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена следующим взаимосвязанным вопросам: разрешимости и гладкости решений эллиптических уравнений с нелокальными краевыми условиями и существованию полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, возникающими в гидродинамике, рассматривал еще А. Зоммерфельд [101]. Впоследствии одномерные нелокальные задачи изучали В. А. Ильин [29], В. А. Ильин и Е. М. Моисеев [30], А. Крол [90], М. Пиконе [92], А. Л. Ску-бачевский [99], Я. Д. Тамаркин [68], А. А. Шкаликов [69] и др.

В 1932 г. Т. Карлеман [76] рассмотрел задачу о нахождении голоморфной функции в ограниченной области (7, удовлетворяющей следующему условию: значение неизвестной функции в точке у границы <9(7 связано со значением в каждой точке П(у), где : <9(7 —>• <9(7 — гладкое невырожденное преобразование, = у, у е 5(7. В работе [76] эта задача сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом. С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, отображающим границу области на себя и порождающим конечную группу (подробную библиографию можно найти, например, в книге Н. И. Му-схелишвили [44]), а также работы, в которых изучаются эллиптические уравнения, содержащие сдвиг области на себя (см. монографию А. Б. Антоневича и А. В. Лебедева [71]). Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными краевыми условиями изучались в работах Р. Билза [72], Ф. Браудера [73], М. И. Вишика [7], М. Шехтера [95]. При этом на абстрактные операторы налагались условия, гарантирующие выполнение неравенства коэрцитивности. В ряде случаев накладывались ограничения на сопряженный оператор.

В 1969 г. А. В. Бицадзе и А. А. Самарский [5] рассмотрели принципиально иную нелокальную эллиптическую задачу, возникающую в теории плазмы: ищется гармоническая в ограниченной области С функция, удовлетворяющая нелокальным условиям, связывающим значения искомой функции на многообразии Гх С дй со значениями на некотором многообразии, лежащем внутри области С; на множестве <9(7 \ Гх ставится условие Дирихле. В случае прямоугольной области эта задача была решена в работе [5] сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и применением принципа максимума. В случае произвольной области и общих нелокальных условий задача была сформулирована как нерешенная [54]. (Укажем также работу А. Крола [90], в которой отмечена важность развития теории нелокальных краевых задач.)

Различные варианты и обобщения нелокальных задач, которые содержат преобразования переменных, отображающие границу в замыкание области, рассматривали А. В. Бицадзе [3,4], А. К. Гущин [25], А. К. Гущин и В. П. Михайлов [26,27], Н. В. Житарашу и С. Д. Эйдельман [28], В. А. Ильин и Е. И. Моисеев [31], К. Ю. Кишкис [33,34], Б. П. Панеях [48], Я. А. Ройтберг и 3. Г. Шеф-тель [52,53], А. П. Солдатов [66] и др.; при этом особое внимание уделялось разрешимости нелокальных задач. Спектральные свойства нелокальных задач в многомерном случае исследовались Е. И. Моисеевым [42,43], М. А. Муста-финым [45]. Отметим, что в цитированных работах изучается либо двумерный случай, либо уравнения второго порядка, либо накладываются достаточно жесткие условия на геометрию носителя нелокальных членов (например, предполагается, что носитель нелокальных членов лежит внутри области или имеет пересечение только с той частью границы, где задано «локальное» условие Дирихле).

Основы теории линейных эллиптических уравнений порядка 2т с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах А. Л. Ску-бачевского и его учеников [35,49,50,56,58,59,61-63,65,97,99,100]: приведена классификация по типу нелокальных условий, доказаны априорные оценки и построены правый и левый регуляризаторы в пространствах Соболева или весовых пространствах (в зависимости от типа нелокальных условий), а также получена асимптотика решений вблизи точек сингулярности. Для ряда задач изучены спектральные свойства и свойства индекса соответствующих операторов. В частности, было показано, что свойства задачи существенным образом зависят от геометрии носителя нелокальных членов. Проиллюстрируем возможные случаи на следующем примере.

Пусть (?с1п(п>2) - ограниченная область с границей <9(2 = Гх и Г2 и /С, где Та — открытые связные (в топологии <9(7) (п— 1)-мерные многообразия класса С°°, /С = Гх П Г2 — (п — 2)-мерное связное многообразие без края класса С°° (если п = 2, то К. — {¿/х, 02}> где дг,д2~ концы кривых Гх, Г2). Пусть в окрестности каждой точки д е К область С диффеоморфна п-мерному двугранному (плоскому, если п = 2) углу. Рассмотрим в области С нелокальную задачу

Здесь bff G С°°(Е2); Пст — бесконечно дифференцируемые невырожденные преобразования, отображающие некоторую окрестность Оа многообразия IV на множество так, что ЦДГо-) с G. Точки множества К назовем точками сопряжения нелокальных краевых условий.

В работах A. JI. Скубачевского предложена следующая классификация:

Лм = /оЫ (ytG), u\ra ~ К(у)и(Па(у))\га = О (о- = 1,2).

1) (2)

1. Г2 = 0 и Hi(rx) = CG (рис. 1);

2. Г2/0и Па{ IV) П /С = 0, С7 = 1,2 (рис. 2);

3. Г2^0и fi, (TV) П К ф 0, а = 1 или 2 (рис. 3).

Рис. 1. Область G с границей 6G = Гх

Гх

Рис. 2: fiff(ÏV) п/с = 0.

Ti

Рис. 3: ÎV(ÎV) П /С 0.

Первый класс задач (а также его обобщения на случай абстрактных нелокальных операторов в краевых условиях) является наиболее изученным: свойства нелокальной задачи во многом близки к свойствам соответствующей «локальной» задачи (когда 6СТ('//) = 0). В частности, нелокальная задача фредголь-мова в обычных пространствах Соболева и ее индекс равен индексу «локализованной» задачи, а соответствующая задача со спектральным параметром однозначно разрешима при достаточно больших значениях параметра (см. [56, 58,99]). В случае когда спектр локальной задачи дискретный, нелокальная задача также имеет дискретный спектр, а система ее корневых функций образует базис Абеля в соответствующем пространстве Соболева (см. [49,50]).

Существенно более сложная ситуация имеет место для второго и третьего классов. Для второго класса нелокальных задач кривая ^(Г^.) может пересекаться (в том числе касаться) границы области, а в более общем случае даже частично совпадать с границей. Для третьего класса задач считаем, что подход носителя нелокальных членов в точках сопряжения к границе области некасательный, что существенно для используемого в диссертации метода. В работах [59,100] показано, что в случае пересечения носителя нелокальных членов с границей области решения могут иметь степенные особенности вблизи точек сопряжения краевых условий даже в случае бесконечно гладкой границы и бесконечно дифференцируемой правой части. Поэтому такие задачи рассматривались ранее в специальных весовых пространствах, учитывающих возможные особенности решений. Наиболее удобными при этом оказались пространства В. А. Кондратьева, введенные им при исследовании «локальных» краевых задач в областях с угловыми или коническими точками. В работах [35, 59, 62, 63] доказана фредгольмова разрешимость нелокальных задач в пространствах В. А. Кондратьева, а в работе [97] показано, что если носитель нелокальных членов не пересекается с точками сопряжения краевых условий (рис. 2), то индекс нелокальной задачи равен индексу соответствующей локальной; в противном случае (рис. 3) это, вообще говоря, уже неверно.

Отметим, что нелокальные эллиптические задачи с касательным подходом кривой Г2о-(Га) к границе области в точках сопряжения краевых условий в отдельных случаях изучались в работах [4, 34] методами теории функций комплексного переменного, однако общая теория нелокальных краевых задач в этом случае не развита.

Независимо от упомянутых работ, нелокальные эллиптические задачи возникли в теории многомерных диффузионных процессов, описывающих с вероятностной точки зрения поведение частицы в области G. В работах [78, 79] В. Феллер показал, что всякому одномерному (п = 1) диффузионному процессу соответствует некоторая сильно непрерывная неотрицательная сжимающая полугруппа в пространстве C(G) или некотором его подпространстве. Впоследствии такие полугруппы получили название полугрупп Феллера. Кроме того, В. Феллер получил необходимые и достаточные условия того, что обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка является генератором (инфи-нитезимальным производящим оператором) указанной полугруппы. Полученные им краевые условия, задающие область определения оператора, являются нелокальными.

В многомерном случае (п ^ 2) общий вид генератора полугруппы Феллера был получен А. Д. Вентцелем [6]. Им было доказано, что генератор полугруппы Феллера есть эллиптический дифференциальный оператор второго порядка (возможно, с вырождением), область определения которого состоит из непрерывных (один или два раза непрерывно дифференцируемых, в зависимости от процесса) функций, удовлетворяющих нелокальным краевым условиям. Нелокальное слагаемое представляет собой интеграл от функции по замыканию области относительно неотрицательной борелевской меры f¿(y,dri), у Е dG.

В наиболее сложном случае, когда мера атомарна, нелокальные условия могут принимать вид (2). Их вероятностный смысл таков: частица, попадая в точку у е IV, может через некоторое случайное время с вероятностью Ьа (О ^ ba ^ 1) оказаться в точке Оа(у) (такое поведение частицы называют "скачком"), либо с вероятностью 1 — Ъа поглотиться границей —в этом случае процесс завершается.

В общем случае краевые условия содержат производные от неизвестной функции до второго порядка включительно, что соответствует, помимо поглощения, отражению частицы от границы области, диффузии вдоль границы и явлению вязкости.

Следующая задача остается при п ^ 2 нерешенной. Пусть задан эллиптический интегро-дифференциальный оператор, область определения которого описывается нелокальными краевыми условиями общего вида [6]. Будет ли такой оператор (или его замыкание) генератором полугруппы Феллера?

Различают два класса нелокальных краевых условий: трансверсальные и нетрансверсальные. В трансверсальном случае порядок нелокальных членов меньше порядка локальных, тогда как в нетрансверсальном порядки совпадают. Трансверсальный случай изучали К. Сато и Т. Уено [94], Дж. М. Бони, П. Ко-редж и П. Приоре [75], С. Ватанабе [105], К. Таира [102-104], Й. Ишикава [89] и многие другие. В работах А. Л. Скубачевского [60,64,98] был предложен метод изучения более сложного нетрансверсального случая. Этот метод основан на использовавшейся ранее (см. [56,59]) в теории нелокальных задач идее отделения нелокальных членов от локальных граничных операторов и теореме Хилле—Иосиды. Впоследствии метод был развит в работах [9,10,80,81].

Помимо приложений нелокальных эллиптических задач к теории плазмы и теории диффузионных процессов, укажем на важные приложения, возникающие в теории функционально-дифференциальных уравнений (см. монографию [99] и приведенную там библиографию), теории параболических задач с нелокальными краевыми условиями (см. [96]), в авиационно-космической технике при моделировании многослойных пластин и оболочек [47,91,99], в задачах терморегуляции при описании процессов в химических реакторах и системах климат-контроля (см. [24,77]), а также в теории управления (см., например, [70]). Кроме того, отметим монографию А. Бенсусана и Ж.-Л. Лионса [74], где, в частности, рассматриваются эллиптические интегро-дифференциальные операторы в связи с вопросами стохастической теории управления.

В последнее время развивается также теория нелокальных нелинейных уравнений и неравенств и ее приложения. В этой связи упомянем статью [41], в которой изучаются дифференциальные неравенства с нелокальными слагаемыми (там же можно найти ссылки на работы других авторов).

Новизна результатов

До сих пор [59,62,63,83] в общей теории эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями предполагалось, что преобразования вблизи точек сопряжения краевых условий линейны, а именно представляют из себя композицию операторов сдвига, поворота и гомотетии. В гл. I рассматривается задача с нелинейными преобразованиями. Оказывается [14], такая задача не есть малое или компактное возмущение соответствующей задачи с линейными преобразованиями. Однако в работе показано, что при переходе от линейных преобразований переменных к нелинейным оператор задачи в весовых пространствах В. А. Кондратьева остается фредгольмовым и его индекс не меняется. Для простоты изложения мы считаем, что п = 2, однако соответствующие результаты переносятся и на случай п ^ 3 (см. [14]).

Ранее вопрос о фредгольмовости неограниченного нелокального оператора в Ь2(С?) в случае подхода носителя нелокальных членов к границе области изучался лишь тогда, когда нелокальные условия заданы на сдвигах границы [57,61], или же в случае нелокального возмущения задачи Дирихле для уравнения второго порядка [25-27]. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в пространствах Соболева \¥1+2т(0) = И^4"2™^) (где 2т — порядок эллиптического уравнения, I > 0) прежде не исследовалась. Основная трудность заключается в том, что решения нелокальной задачи могут иметь степенные особенности вблизи некоторых точек и, вообще говоря, не принадлежат «нужному» пространству Соболева. Соответствующие вопросы изучены в гл. Н-1У. Показано, что фредгольмова разрешимость ограниченного оператора в пространствах Соболева \У1+2т{С) определяется расположением собственных значений некоторой вспомогательной оператор-функции £(А) (зависящих от комплексного параметра А), структурой жордановых цепочек, отвечающих этим собственным значениям, а также выполнением определенных алгебраи- . ческих соотношений между эллиптическим оператором и операторами в нелокальных краевых условиях. Изучены нелокальные краевые условия как с нулевой правой частью, так и с произвольной. Неограниченный оператор в Ь2(С), заданный на обобщенных решениях нелокальной задачи (функциях из 0 ^ I ^ 2т — 1), оказывается фредгольмовым вне зависимости от расположения собственных значений оператор-функции С{А). При помощи понятия раствора ; между неограниченными операторами (см. [32]) исследована устойчивость индекса нелокальных операторов в Ь2{0) при возмущении эллиптического уравнения младшими членами и краевых условий нелокальными операторами.

В работе [36] рассматривался вопрос о гладкости вблизи угловой или конической точки обобщенных решений из пространства Соболева \Ут(С) эллиптического уравнения порядка 2т с условием Дирихле на границе. В частности, было доказано, что решения можно сделать сколь угодно гладкими за счет уменьшения раствора угла. Принципиально иная ситуация имеет место в случае нелокальных краевых условий. В [59,100] показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться вблизи гладкой границы или вершины малого угла. С другой стороны, наличие нелокальных членов с достаточно большими по модулю коэффициентами может обеспечить гладкость обобщенных решений вблизи вершины угла, большего тг. В гл. V изучена гладкость обобщенных решений из \¥г(С), О ^ I < 2т — 1, эллиптических уравнений порядка 2т; рассматриваются нелокальные краевые условия как с нулевой, так и с произвольной правой частью.

Вопрос о существовании полугрупп Феллера в нетрансверсальном случае рассматривался в работах [60,98] при условии, что коэффициенты нелокальных операторов убывают при стремлении аргумента к границе области. В [10,81] изучены краевые условия в случае, когда коэффициенты при нелокальных членах вблизи точек сопряжения краевых условий меньше единицы. Показано, что нелокальную задачу (после сведения на границу) можно рассматривать в определенном смысле как возмущение «локальной» задачи Дирихле. Предельный случай, когда коэффициенты при нелокальных членах равны единице, до сих пор оставался неизученным (больше единицы коэффициенты быть не могут [6]). В гл. VI исследованы нетрансверсальные нелокальные условия, допускающие этот предельный случай. Получены достаточные условия на борелевскую меру д(у, ¿1]) (носитель которой содержится в замыкании области), гарантирующие, что соответствующий нелокальный оператор будет генератором полу- и группы Феллера. При этом изучены как ограниченные, так и неограниченные возмущения эллиптического оператора.

Структура диссертаций

Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Главы содержат параграфы, которые имеют сплошную нумерацию (всего — 26 параграфов). Параграфы, в свою очередь, разделены на пункты. Нумерация пунктов двойная: первое число означает номера параграфа, второе — номер пункта внутри параграфа. Во введении нумерация формул одинарная. В гл. I—VI нумерация формул, теорем, лемм и т. д. двойная; например, первое число номера формулы означает номер параграфа, второе —номер формулы внутри параграфа.

1. Агранович M. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида// Успехи матем. наук. — 1964. — 19, № З.-С. 53-161.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966.

3. БицадзеА. В. К теории нелокальных краевых задач// Докл. АН СССР. — 1984.-277, № 1. — С. 17-19.

4. Бицадзе А. В. Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функций// Докл. АН СССР. — 1985. — 280, № 3. С. 521-524.

5. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл. АН СССР. —1969. — 185, № 4.-С. 739-740.

6. Вентцелъ А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов// Теор. вероятн. и ее применения. — 1959. — 4, № 2. — С. 172— 185.

7. Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений// Труды Моск. матем. общ. — 1952. — 1. — С. 187— 246.

8. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем// Матем. сб. 1965. - 68, № 3. - С. 373-416.

9. Галахов Е. И. О достаточных условиях существования полугрупп Фел-лера// Матем. заметки. — 1996. — 60, № 3. — С. 442-444.

10. Галахов Е. И., Скубачевский А. Л. О сжимающих неотрицательных полугруппах с нелокальными условиями// Матем. сб. — 1998. — 189. — С. 45-78.

11. Гилбарг Д., Трудинеер М. Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка. — М.: Наука, 1989.

12. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше// Матем. сб. —1971. — 84 (126), № 4. — С. 607-629.

13. Гуревич П. Л. Асимптотика решений нелокальных эллиптических задач в плоских углах// Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 2003. — 23. — С. 93-126.

14. Гуревич П. Л. Нелокальные эллиптические задачи с нелинейными преобразованиями переменных вблизи точек сопряжения// Известия РАН. Сер. матем. -2003. 67, № 6. - С. 81-120.

15. Гуревич П. Л. О гладкости обобщенных решений нелокальных эллиптических задач на плоскости// — Докл. АН. — 2004. — 398, № 3. — С. 295299.

16. Гуревич П. Л. Обобщенные решения нелокальных эллиптических задач// Матем. заметки. 2005. - 77, № 5. - С. 665-682.

17. Гуревич П. Л. Об устойчивости индекса неограниченных нелокальных операторов в пространствах Соболева// Труды МИАН. — 2006. — 255. — С. 116-135.

18. Гуревич П. Л. О неустойчивости индекса некоторых нелокальных эллиптических задач// Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 2007. — 26. С. 179-194.

19. Гуревич П. Л. Неограниченные возмущения двумерных диффузионных процессов с нелокальными краевыми условиями// Докл. АН.—2007.— 417, № 4.

20. Гуревич П. Л. О существовании полугруппы Феллера с атомарной мерой в нелокальном краевом условии// Труды МИАН. — 2008. — 260. С. 164179.

21. Гуревич П. Л. Ограниченные возмущения двумерных диффузионных процессов с нелокальными условиями вблизи границы// Матем. заметки.— 2008. — 83, № 2.-181-198.

22. Гуревич П. Л. О несуществовании полугрупп Феллера в нетрансверсаль-ном случае// Успехи матем. наук. — 2008. — 63, № 3. — С. 159-160.

23. Гуревич П. Л., Скубачевский А. Л. О фредгольмовой и однозначной разрешимости нелокальных эллиптических задач в многомерных областях// Труды Моск. матем. общ. — 2007. — 68. — С. 288-373.

24. Гуревич П. Л., Егер В., Скубачевский А. Л. О существовании периодических решений некоторых нелинейных задач термоконтроля// Докл. АН. 2008. - 418, № 2. - С. 151-154.

25. Гущин А. К. Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений// Матем. сб. — 2002. — 193, № 5. — С. 17-36.

26. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка// Матем. сб. — 1994. — 185, № 1.-С. 121-160.

27. Гущин А. К., Михайлов В. П. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения// Матем. сб. — 1995. 186, №. 2. - С. 37-58.

28. Житарашу Н. В., Эйдельман С. Д. О нелокальных граничных задачах для эллиптических уравнений// Матем. исслед. — 1971. — 6, № 2 (20). — С. 63-73.

29. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка// Дифференц. уравнения. 1986. - 22, № 12. - С. 2059-2071.

30. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода// Дифференц. уравнения. 1988. - 24, № 5. - С. 795-804.

31. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках// Ма-тем. модел. 1990. - 2, № 8. - С. 139-156.

32. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

33. Кишкис К. 10. Об индексе задачи Бицадзе—Самарского для гармонических функций// Дифференц. уравнения. — 1988. — 24, № 1. — С. 105-110.

34. Кишкис К. Ю. К теории нелокальных задач для уравнения Лапласа// Дифференц. уравнения. — 1989. —25, № 1. — С. 59-64.

35. Ковалева О. А., Скубачевский А. Л. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в пространствах с весом// Матем. заметки. — 2000. — 67, № 6. С. 882-898.

36. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Тр. Моск. матем. общ. — 1967. — 16. — С. 209-292.

37. Кондратьев В. А. Особенности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности ребра// Дифференц. уравнения. 1977. - 13, № 11. - 2026-2032.

38. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971.

39. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

40. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Ьр-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами// Труды Моск. матем. общ. — 1978. -37. -С. 49-93.

41. Митидиери Э., Похожаев С. И. Теоремы типа Лиувилля для некоторых нелинейных нелокальных задач// Докл. АН. — 2004. — 399, № 6. — С. 732-736.

42. Моисеев Е. И. О спектральных характеристиках одной нелокальной краевой задачи// Дифференц. уравнения. — 1994. — 30, № 5. — С. 864-872.

43. Моисеев Е. И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функций одной нелокальной краевой задачи// Дифференц. уравнения. — 1994. 30, № 12. - С. 2082-2093.

44. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Физ-матгиз, 1962.

45. Мустафин М. А. Суммируемость методом Абеля рядов по корневым векторам нелокальных эллиптических задач// Дифференц. уравнения.— 1990.-26, № 1.-С. 167-168.

46. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

47. Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела// Прикладная механика. — 1979. — 15, № 5. — С. 39-47.

48. Панеях Б. П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов// Матем. заметки. — 1984. — 35, № 3. — С. 425-434.

49. Подъяпольский В. В. Полнота и базисность по Абелю системы корневых функций одной нелокальной задачи// Дифференц. уравнения. — 1999. — 35, № 4. С 568-569.

50. Подъяпольский В. В., СкубачевскийА. Л. О главном члене спектральной асимптотики нелокальных эллиптических задач. — Тезисы конференции, посвященной 75-летию Л. Д. Кудрявцева, 1998. — С. 157.

51. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б, Лекции по фукнциональному анализу.— М.: Иностранная литература, 1954.

52. Ройтберг Я. А., Шефтель 3. Г. Об одном классе общих нелокальных эллиптических задач// Докл. АН СССР. —1970. — 192, № З.-С. 511513.

53. Ройтберг Я. А., Шефтель 3. Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем// Сиб. матем. журн. — 1972. — 13, № 1. — С. 165-181.

54. Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений// Дифференц. уравнения. — 1980. — 16, № 11. — С. 1925-1935.

55. Скубачевский А. Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах// Дифференц. уравнения. 1982. - 18, № 9. - С. 1590-1599.

56. Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром// Матем. сб. 1983. - 121 (163), № 2 (6). - С. 201-210.

57. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи А. В. Бицадзе, А. А. Самарского// Докл. АН СССР. 1984.-575, № 4. - С. 813-816.

58. Скубачевский А. Л. Разрешимость эллиптических задач с краевыми условиями типа Бицадзе—Самарского// Дифференц. уравнения.— 1985. 21, № 4. - С. 701-706.

59. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Матем. сб. 1986. - 129(171), № 2. - С. 279-302.

60. Скубачевский А. Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// Докл. Акад. наук СССР. 1989. - 307. - 287-292.

61. Скубачевский А. Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач// Дифференц. уравнения. — 1989.-25, № 1.-С. 127-136.

62. Скубачевский А. Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах// Дифференц. уравнения. — 1990. — 26, № 1.-С. 120-131.

63. Скубачевский А. Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифференц. уравнения. 1991. - 27, № 1. - С. 128-139.

64. Скубачевский А. Л. О полугруппах Феллера для многомерных диффузионных процессов// Докл. АН. 1995. - 341, № 2. - С. 173-176.

65. Скубачевский А. Л. О разрешимости нелокальных задач для эллиптических систем в бесконечных углах// Докл. АН. — 2007. — 412, № 3. — С. 317-320.

66. Солдатов А. П. Задача Бицадзе—Самарского для функций, аналитических по Дуглису// Дифференц. уравнения. — 41, № 3. — 2005. — 396407.

67. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.—М.: Мир, 1973.

68. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. — Петроград. 1917.

69. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями// Вестн. МГУ. Сер. матем. и мех. 1982. - № 6. - С. 12-21.

70. Amann H. Feedback stabilization of linear and semilinear parabolic systems// In: Proceedings of "Trends in Semigroup Theory and Applications," Trieste, Sept. 28 Oct. 2, 1987. - Lect. Notes Pure Appl. Math. - 1989. - 116. - C. 21-57.

71. Browder F. Non-local elliptic boundary value problems// Amer. J. Math. — 1964. -86.- P. 735-750.

72. Bensoussan A., Lions J.-L. Impulse Control and Quasi-Variational Inequalities.— Paris: Gauthier-Villars, 1984.

73. Bony J. M., Courrege P., Priouret P. Semi-groups de Feller sur une variété à bord compacte et problèmes aux limites intégro-différentiels du second ordre donnant lieu au principe du maximum// Ann. Inst. Fourier (Grenoble).— 1968. — 18. — P. 369-521.

74. Carleman T. Sur la théorie des equations integrales et ses applications// Verhandlungen des Internat. Math. Kongr. Zürich. 1932.-7.-P. 138-151.

75. Colli P., Grasselli M., Sprekels J. Automatic control via thermostats of a hyperbolic Stefan problem with memory// Appl. Math. Optim. —1999.— 39. P. 229-255.

76. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations// Ann. Math. 1952. - 55. - P. 468-519.

77. Feller W. Diffusion processes in one dimension // Trans. Amer. Math. Soc. 1954. V. 77. P. 1-30.

78. Galakhov E. I. Multidimensional diffusion processes with nonlocal conditions// Funct. Differ. Equ. -2001. 8, № 1-2.-P. 225-238.

79. Galakhov E. I., Skubachevskii. A. L. On Feller semigroups generated by elliptic operators with integro-differential boundary conditions// J. Differential Equations. 2001. - 176. - P. 315-355.

80. Garroni M. G., Menaldi J. L. Second order elliptic integro-differential problems. — London—New York—Washington, D.C.: Chapman & Hall/CRC, 2002.

81. Gurevich P. L. Nonlocal problems for elliptic equations in dihedral angles and the Green formula// In Mitteilungen aus dem Mathem. Seminar Giessen, Math. Inst. Univ. Giessen, Germany. 2001. - 247. - P. 1-74.

82. Gurevich P. L. Asymptotics of solutions for nonlocal elliptic problems in plane bounded domains// Funct. Diff. Equ. -2003. 10, № 1-2.-P. 175214.

83. Gurevich P. L. Solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces, I// Russ. J. Math. Phys. 2003. - 10, № 4. - P. 436-466.

84. Gurevich P. L. Solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces, II// Russ. J. Math. Phys. 2004. - 11, Nh 1. - P. 1-44.

85. Gurevich P. L. The consistency conditions and the smoothness of generalized solutions of nonlocal elliptic problems// Adv. Differential Equations. — 2006. 11, № 3. - P. 305-360.

86. Gurevich P. L. Smoothness of generalized solutions for higher-order elliptic equations with nonlocal boundary conditions// J. Differential Equations. — 2008. 245. - P. 1323-1355.

87. Ishikawa Y. A remark on the existence of a diffusion process with non-local boundary conditions// J. Math. Soc. Japan. — 1990. — 42. — P. 171-184.

88. Krall A. M. The development of general differential and general differential-boundary systems// Rocky Mountain J. of Math. — 1975. — 5. — P. 493542.

89. Onanov G. G., Tsvetkov E. L. On the minimum of the energy functional with respect to functions with deviating argument in a stationary problem of elasticity theory// Russ. J. Math. Phys. 1995. - 3, № 4. - P. 491-500.

90. Picone M. Equazione integrale traducente il piu generale problema lineare per le equazioni differenziali lineari ordinarie di qualsivoglia ordine// Academia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni. — 1932. — 15. — P. 942948.

91. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. — Dordrecht—Boston—London: Kluwer Academic Publishers, 1996.

92. Sato K., Ueno T. Multi-dimensional diffusion and the Markov process on the boundary// J. Math. Kyoto Univ. 1965. - 4. - P. 529-605.

93. Schechter M. Nonlocal elliptic boundary value problems// Ann. Scuola Super. Pisa, Ser. 3. 1966. - 20, № 2. - P. 421-441.

94. Shamin R. V. Nonlocal parabolic problems with the support of nonlocal terms inside a domain// Funct. Differ. Equ. 2003. - 10, № 1-2. - P. 307314.

95. Skubachevskii A. L. On the stability of index of nonlocal elliptic problems// J. Math. Anal. Appl. 1991. - 160, № 2. - P. 323-341.

96. Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes// Russian J. Mathematical Physics. — 1995. — 3. — P. 327-360.

97. Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. — Basel—Boston—Berlin: Birkhäuser, 1997.

98. Skubachevskii A. L. Regularity of solutions for some nonlocal elliptic problem// Russ. J. Math. Phys. 2001. - 8. - P. 365-374.

99. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodinamischen Erklärung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen// Proc. Intern. Congr. Math. (Rome, 1908). Vol. III.-Roma: Reale Accad. Lincei, 1909.-P. 116-124.

100. Taira K. Diffusion processes and partial differential equations. — New York-London: Academic Press, 1988.

101. Taira K. On the exiestense of Feller semigroups with boundary conditions// Mem. Amer. Math. Soc. 1992. - 99, № 475. - P. 1-65.

102. Taira K. Semigroups, boundary value problems and Markov processes. — Berlin: Springer-Verlag, 2004.