Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ФЕДОРОВ Владимир Евгеньевич

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩИХ ПОЛУГРУПП ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА В БАНАХОВЫХ И ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальности: 01.01.01 - математический анализ, 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Челябинск - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Челябинского государственного университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Свиридюк Георгий Анатольевич

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Плотников Павел Игоревич,

Защита состоится 16 марта 2005 года в 13 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан н_"_2005 г.

доктор физико-математических наук, профессор Прилепко Алексей Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич.

Ведущая организация: Институт динамики систем и

теории управления СО РАН

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, с.н.с.

Успенский А. А.

¿{(ЭЧ-Я

Общая характеристика работы

Актуальность темы. К задаче Копт ь(0) = г>о для опера-торно-дифференциального уравнения = с линейным

замкнутым оператором А в линейном топологическом пространстве сводятся многие задачи математической физики. Традиционным подходом для исследования такой задачи является использование теории полугрупп операторов. Основные результаты этой теории имеют вид биективного соответствия между классом полугрупп определенной гладкости, классом порождающих полугруппу операторов, описываемым посредством условий на расположение спектра и поведение резольвенты на бесконечности, и типом корректности задачи. Для случая банаховых пространств эти результаты получены Э.Хилле, Р.Филлипсом, С.Г.Крейном, М.З.Соломяком и другими. Практически сразу были получены их обобщения на случай равностепенно непрерывных полугрупп операторов в секвенциально полных локально выпуклых пространствах К.Иосидой и др. Позже Т.Комурой, С.Оучи, В.В.Ивановым были исследованы локально равностепенно непрерывные полугруппы операторов в локально выпуклых пространствах.

Задача Коши и(0) = ио для уравнения

с линейными операторами Ь,М : Ы —+ Т, где \А и Т - линейные топологические пространства, является абстрактной формой многих задач для уравнений и систем уравнений математической физики, таких, как линеаризованная система Навье - Стокса, система и уравнение Соболева, системы и уравнения внутренних и гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска, уравнение Буссинеска, уравнение Баренблатта -Желтова - Кочиной, уравнение и система Осколкова, уравнение ионно-звуковых волн, уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, уравнение стратификации объемного заряда в полупроводнике. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени, встречаются в работах Пуанкаре, Лере, Шаудера, однако первым систематиче-

Ь й(г) = Ми{Ь),

(1)

РОС. НЛЦИ'Ж \ЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА С.Петербург

ски их стал исследовать С.Л.Соболев, поэтому такие уравнения часто называют уравнениями соболевского типа.

Еще И.Г.Петровский указывал на необходимость изучения общих дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Построением общей теории краевых задач для таких уравнений занимались М.И.Вишик, С.А.Гальперн, А.Г.Костюченко, Г.И.Эскин, Р.Шоуолтер, С.В.Успенский, Г.В.Демиденко, В.Н.Врагов, А.И.Кожанов и др. Глубокие результаты, касающиеся спектральных задач, связанных с различными уравнениями соболевского типа, получены Р. А.Алек-сандряном, Т.И.Зеленяком, М.В.Фокиным, В.С.Белоносовым.

В случае конечномерных пространств исчерпывающие результаты о разрешимости задачи Коши для уравнения (1), в том числе с операторами, зависящими от получены иркутской школой математиков - Ю.Е.Бояринцев, В.Ф.Чистяков и др.

Одним из подходов к исследованию уравнений соболевского типа является изучение разрешимости уравнения (1) в абстрактном виде и приложение полученных абстрактных результатов к конкретным задачам для систем уравнений в частных производных. В этом смысле отметим работы М.И.Вишика, С.Г.Крейна и его учеников, Н.А.Сидорова и его учеников, С.Г.Пяткова, А.А.Шкаликова.

Однако лишь в последние полтора десятилетия для исследования таких уравнений стали использоваться методы теории полугрупп операторов. Отметим различие подходов А.Фавини и А.Яги, И.В.Мельниковой, Г.А.Свиридюка к задаче исследования разрешающих полугрупп уравнения (1).

Характерной чертой разрешающих полугрупп уравнения (1) с вырожденным оператором Ь является наличие у них нетривиальных ядер. Другими словами, единицей полугруппы является не тождественный оператор, как в классической теории полугрупп операторов, а некоторый нетривиальный проектор. Это другая сторона явления, замеченного еще С.А.Гальперном, С.Г.Крейном и др.: задача Коши для уравнений соболевского типа, вообще говоря, разрешима лишь при начальных значениях из некоторого подпространства.

До недавнего времени полугруппы уравнения (1) исследовались в основном лишь в случаях простейшего вырождения, ко-

гда ядро полугруппы совпадает с ядром оператора Ь. Однако уже давно замечено, что такая полугруппа операторов может вырождаться и на цепочках М-присоединенных векторов оператора Ь. Кроме того, в локально выпуклых пространствах вырожденные полугруппы, по-видимому, вообще не рассматривались. При этом заметим, что задачи для некоторых уравнений математической физики, например, с дифференциальными операторами бесконечного порядка, в принципе не представляется возможным рассматривать в рамках банаховых пространств. Таким образом, задача построения общей теории вырожденных полугрупп операторов в банаховых и локально выпуклых пространствах является весьма актуальной.

Цель работы. 1. Получить обобщения теорем о порождении полугрупп операторов в банаховых и локально выпуклых пространствах, в частности теорем Хилле - Иосиды и Соломя-ка - Иосиды, на случай полугрупп уравнения соболевского типа (1), вырождающихся на цепочках М-присоединенных векторов оператора Ь. Рассмотреть случаи непрерывной, бесконечно дифференцируемой, голоморфной в сильной топологии полугрупп, непрерывной и голоморфной групп, сжимающей полугруппы и унитарной группы операторов.

2. Исследовать структуру ядер и образов полугрупп рассматриваемых классов.

3. Исследовать структуру фазового пространства уравнения (1) в каждом из рассмотренных случаев.

4. Получить условия разрешимости задачи Коши для неоднородного уравнения в банаховых и локально выпуклых пространствах с необратимым оператором при производной по времени.

5. Полученные абстрактные результаты использовать при исследовании некоторых классов смешанных краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа и методы теории дифференциальных уравнений. Одним из главных инструментов является редукция смешанных краевых задач для систем уравнений в частных производных к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в линейном топологическом пространстве.

Важную роль при рассмотрении уравнений соболевского типа (1) играет исследование относительного спектра пары операторов, поскольку его расположение и характер поведения относительных резольвент на бесконечности тесно связаны с вопросами существования разрешающих полугрупп абстрактного уравнения, а следовательно, и с вопросами разрешимости начально-краевых задач для уравнений в частных производных, редуцируемых к соответствующей абстрактной задаче Коши.

Основным методом исследования дифференциально-операторного уравнения первого порядка с необратимым операторным коэффициентом при производной является его сведение к системе двух уравнений на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых, на ядре разрешающей полугруппы исходного уравнения, содержит нильпотентный оператор при производной, а другое, на образе полугруппы, разрешено относительно производной.

Научная новизна. В работе рассмотрены пять основных классов гладкости полугрупп уравнения (1) с вырожденным оператором Ь: сильно голоморфные во всей плоскости группы, сильно голоморфные в секторе, содержащем положительную полуось, полугруппы, бесконечно дифференцируемые полугруппы, сильно непрерывные полугруппы, сильно непрерывные группы операторов. Получены условия на операторы Ь и М, обеспечивающие существование полугруппы уравнения из соответствующего класса. Эти условия использованы при получении теорем разрешимости для неоднородных уравнений соболевского типа.

В отличие от большей части других работ, посвященных вырожденным полугруппам операторов, в работах автора исследуются полугруппы операторов, вырождающиеся не только на ядре оператора Ь, но и на М-присоединенных векторах оператора Ь.

Заметим, что в локально выпуклых пространствах полугруппы вырожденных уравнений ранее, по-видимому, не рассматривались. При этом отметим, что все содержащиеся в работе результаты, кроме четвертой и, частично, третьей глав, и для случая банаховых пространств получены автором.

В четвертой главе основной идеей, позволившей распространить результаты о сильно голоморфных в плоскости группах со случая банаховых пространств на случай секвенциально полных

локально выпуклых пространств, является идея использования понятия регулярного относительного спектра.

Полученные в работе абстрактные результаты позволили рассмотреть некоторые задачи, не исследованные ранее. В частности рассмотрен класс начально-краевых задач для уравнений вида (1), в которых роль операторов Ь и М играют функции от самосопряженного оператора. Многие уравнения теории фильтрации имеют именно такой вид, где самосопряженным оператором является оператор Лапласа, а функции имеют вид многочленов.

Путем редукции к задаче Коши для уравнения в банаховом пространстве исследованы краевые задачи для линеаризованной системы уравнений фазового поля, описывающей в рамках мезо-скопической теории фазовые переходы первого рода, и для уравнений типа уравнения волн Россби, рассмотренных во всем пространстве.

В теории упругости, квантовой физике встречаются дифференциальные уравнения бесконечного порядка (например, с целой функцией от оператора Лапласа). Возможность использования в наших рассмотрениях локально выпуклых пространств позволяет получить корректную формулировку и условия разрешимости некоторых начально-краевых задач для таких уравнений в специальным образом построенных пространствах Фреше.

Аналогичным образом исследована периодическая краевая задача для дифференциально-разностного уравнения. При этом была использована возможность представления оператора сдвига по пространственной переменной в виде дифференциального оператора бесконечного порядка.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретический характер и могут служить основанием для дальнейшего развития теории полугрупп операторов в линейных топологических пространствах. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют исследовать начально-краевые задачи для многих уравнений и систем уравнений математической физики, не разрешенных относительно производной по времени. Кроме того, они могут быть использованы при построении алгоритмов численного решения вырожденных систем дифференциальных уравнений, в частности системы уравнений Леонтьева.

На основе некоторых разделов диссертации разработаны специальные курсы для аспирантов и студентов старших курсов математического факультета.

Исследования автора по теме диссертации были поддержаны грантами РФФИ (№ 97-01-00444, 98-01-10824, 00-01-10982, 03-0110648), грантом Министерства образования РФ (шифр Р002-1.1-82), грантами Правительства Челябинской области и Министерства образования РФ (2002, 2003, 2004 гг.) и Государственной научной стипендией для молодых ученых 2000 - 2003 гг.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах: отдела теории функций МИ-АН (рук. чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н., проф. О.В.Бесов), Московского государственного университета (рук. акад. РАН, д.ф.-м.н., проф. В.А.Садовничий, д.ф.-м.н., проф. А.И.Прилепко), Института гидродинамики СО РАН (рук. акад. РАН, д.ф.-м. н., проф. В.Н.Монахов, чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н., проф. П.И.Плотников), Института математики СО РАН (рук. д.ф.-м.н., проф. Т.И.Зе-леняк), Института математики СО РАН (рук. д.ф.-м.н., проф.

A.И.Кожанов), кафедры математического анализа и теории функ ций Уральского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. В.В.Арестов), кафедры математического моделирования Воронежского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. В.А.Костин, д.ф.-м.н., проф. Ю.И.Сапронов), Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф.

B.Д.Батухтин).

Кроме того, результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: семинар, посвященный памяти И.Г.Петровского, МГУ, Москва, 1995, 2004 гг.; Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 1995,1997,2000,2001,2003, 2004 г. Всероссийская научная конференция "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", Екатеринбург, 1995, 1998, 2001, 2004 гг.; Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики, Новосибирск, 1995 г.; 6-я межвузовская конференция, Самара, 1996 г.; конференция "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия", ЧГПУ, Челябинск, 1997 г.; Воронежская весенняя математическая школа, Воронеж, 1998,1999, 2002 гг.; Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1998, 2000 гг.; Девя-

тый международный коллоквиум по дифференциальным уравнениям, Пловдив, Болгария, 1998 г.; Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения", Челябинск, 1999, 2002 гг.; Международная конференция "Математика в приложениях", Новосибирск, 1999 г.; Международная школа-семинар по геометрии и анализу, Абрау-Дюрсо, 2000, 2004 гг.; Международная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения", Одесса, Украина, 2000 г.; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2002 г.; Международная школа-конференция "Обратные задачи: теория и приложения", Ханты-Мансийск, 2002 г.; Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", Екатеринбург, 2003 г.; Международная конференция "Общие проблемы управления и их приложения", Тамбов, 2003 г.; Международная конференция "Колмогоров и современная математика", МГУ, Москва, 2003 г.; Международная конференция "Нелинейные уравнения в частных производных", Алушта, Украина, 2003 г.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 75 работ, в том числе приведенные в конце автореферата работы. В совместных работах [1, 3] научному консультанту принадлежит постановка задачи и общее руководство, автору диссертации -непосредственное получение результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитированной литературы. Объем работы - 271 страница, библиография - 258 наименований.

Содержание диссертации

Основные результаты диссертации касаются как банаховых, так и локально выпуклых пространств. В формулировках этих результатов будем придерживаться максимальной степени общности. Через Ы и Т в дальнейшем (кроме пп. 2.3 - 2.6) будем обозначать секвенциально полные локально выпуклые линейные топологические пространства. Предполагается также, что для от-бражений из Т в Ы выполняется теорема о замкнутом графике (кроме четвертой главы). Оператор Ь : Ы —> Т линеен и непрерывен (Ь е С(Ы; Т)), оператор М : йохпМ —> Т, йотМ С Ы, линеен, замкнут и плотно определен (М 6 С1(Ы; Т)).

Первая глава посвящена построению теории сильно непрерывных вырожденных полугрупп в банаховых и локально выпуклых пространствах. Результаты первой главы опубликованы в работах [2, 6, 7].

П. 1.1 носит вспомогательный характер и содержит сведения о свойствах относительных р-резольвент операторов в линейных топологических пространствах.

Множество pL{M) = {ц е С : {¡iL - М)"1 £ С(Т;Ы)} будем называть L-резолъвентным множеством оператора М. Пусть ker L ф {0}. Упорядоченное множество {<^сь <Ръ •••} называется цепочкой М-присоединенных векторов собственного вектора <ро € kerX \ {0}, если

L<Pk+i=M<pk, к = 0,1,..., <pi & ker L, 1 = 1,2,...

Порядковый номер вектора в цепочке будем называть его высотой. Введем обозначения

Д£(М) = (AL - M)~lL, L%(M) = L(XL - М)~\

ñfA,p)(M) = ¿ RxkW, LfAiP)(M) = f[ ЬЦМ), fc=0 k—0

и0 = кег Я^р){М), Ых = 1тЛ^Л р)(М), ¿? = © И1, ^° = кег Ь^р)(М), Тх = 1тЬ{Хр)(М), Г =

Будем говорить, что семейство операторов {Щх) € С(Ы\ Т) : х € X}, X - некоторое множество индексов, 1А,Т - локально выпуклые пространства, равностепенно непрерывно относительно значений параметра х, если для любой непрерывной на Т полунормы г(-) существует непрерывная на ХА полунорма <?(•) такая, что для всех х & X, V €.14 г(Ф(х)и) <

Отображение £/(•) : —> С{Ы) называется разрешающей полугруппой уравнения (1), если

0) и(з)иЦ) = [/(й + €) для любых г > 0; (и) и(Ь) = и(Ь)у есть решение класса С1(№.+ ;Ы) уравнения (1) для любого V из плотного в И линеала.

Полугруппу операторов будем называть экспоненциально ограниченной с константой а; € К, если семейство : £ £

К+} равностепенно непрерывно. Обозначим при а € К ®а,+ = (а, +оо).

Определение 1.3.1. Оператор М (Ь,р) -радиален, если (1) За € К Ко,+ С р*(Л£);

(и) равностепенно непрерывны семейства операторов | (М) Д (тк - а)^ :т = (то,..., тр) € К^1, п € N |,

| (ь^р)(М) Ц (тк - а)^ : т = (т0,..., тр) 6 п е N|.

Теорема 1.3.1. Пусть оператор М (Ь,р)-.радиален. Тогда существует экспоненциально ограниченная сильно непрерывная разрешающая полугруппа уравнения (1), рассматриваемого на подпространстве и (Т).

При условии (I/, р)-радиальности оператора М полугруппа уравнения (1) построена двумя способами: с помощью аппроксимаций типа Иосиды

т - . ш. .-ча» | %

и с помощью аппроксимаций типа Уидцера - Поста

*(р+1)

иЦ) =з- Пт \[Ь- —1—М

го

Полугруппа определена на подпространстве й = ® Ы1. При этом подпространство является ядром полугруппы (ядром ее единицы) и состоит из М-присоединенных векторов оператора Ь высоты не больше р.

В п. 1.4 при условии р)-радиальности оператора М исследовано фазовое пространство уравнения (1).

Определение 1.4.1. Замкнутое множество V С Ы есть фазовое пространство уравнения (1), если

(I) любое решение и(1) уравнения (1) лежит в V, т. е. и(Ь) € V V* е Й+;

(ц) для любого щ из некоторого плотного в V множества существует единственное решение задачи Коши и(0) = ио для уравнения (1).

Теорема 1.4.2. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда И1 есть фазовое пространство уравнения (1).

В п. 1.5 введены условия сильной (Ь, р)-радиальности оператора М справа и слева, достаточные для совпадения соответственно и = и°(ви1 =

Определение 1.5.1. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным справа (слева), если он (£,р)-радиален и для любого и € <1отМ и для любой непрерывной в Ы полунормы г( ) существует константа а, зависящая от и, такая, что

Г (с - <0 Шго* - а)Я(гп,Р)(Мт - М)-гМи) < С1(и)

V к=О /

о

(для всех / из некоторого плотного в Т линеала Т и для любой непрерьгеной в Т полунормы г(-) существует константа Сг, зависящая от /, такая, что

г (с - а) - - < с2(Л^

при любых 1,та,тп\, ...,тпр € Но,+ -

Теорема 1.5.1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален справа (слева). Тогда Ы = Ы° ® Ы1 (Т = ф .Г1).

Определение 1.6.1. Оператор М называется сильно (Ь, р)-радиальным, если он сильно (Ь, р)-радиален слева и равностепенно непрерывно семейство операторов

{(/ - а)Н{тф){М){1Ь - М)-1 П (гпк -а):1еПа,

к=О

ш = (т0,...,тр) еК^1}. Введенное в п. 1.6 условие сильной (Ь, р)-радиальности достаточно для непрерывной обратимости оператора — Ь , а так-

и1

же для того, чтобы, как показано в п. 1.7, сужение полугруппы

на подпространство И1 порождалось оператором Отсю-

да следует, что оператор сильно (I, р)-радиален тогда и только тогда, когда он порождает Co-непрерывную полугруппу.

В п. 1.8 сформулированы пять условий в терминах сильно I непрерывных полугрупп, которые необходимы и достаточны для

сильной (L, р)-радиальности оператора М.

(А1) Существуют две экспоненциально ограниченные силь-t но непрерывные полугруппы {U(t) £ C(U) : t > 0} и {F(t) €

C(J-) : t > 0} операторов с ядрами.

Положим Р = /7(0), Q = Р(0). Очевидно, что Р и Q - проекторы. Введем обозначения: U° — kerP, Ux — imP, IF0 = kerQ, = imQ; имеем U = U°®Ul, T = ЯфЯ. Через {Ui{t) : t > 0} и {Pi (t) : t> 0} обозначим сужения соответствующих полугрупп на подпространства Ux и Тх. Их инфинитезимальными генераторами будут некоторые операторы 5j и

(А2) Существует линейный гомеоморфизм L\ : U1 —* J-1, такой, что Z<i[dom5i] = domTi, L\S\ = Т\Ь\. (A3) Существует биективный оператор (А4) Существует оператор Lo € C(U°; такой, что оператор Н = MqXLo нильпотентен степени не больше р € No-

(А5) L = L0(I-Р) + LiP; М = M0(I-Р) + £iSiP, domМ = domMo+dom5i.

Теорема 1.8.1. Оператор М сильно (Ь,р)-радиален тогда и только тогда, когда выполнены все условия (Al) - (А5).

Этот результат совпадает с теоремой Хилле - Иосиды при L = I и поэтому является ее обобщением на случай вырожденных г полугрупп.

В п. 1.9 на случай полурефлексивных секвенциально полных локально выпуклых пространств и р € {0} U N обобщена теорема А.Яги.

Теорема 1.9.1. Пусть пространство U (J7) полурефлексивно, а оператор М (L, р)-радиален. Тогда U — И0 ф Z/1 (Т —

Оператор L\ при этом также будет обратим, но обратный не будет непрерывным. Некий вариант обобщения теоремы Хилле - Иосиды при этом тем не менее возможен.

(А2)' Существует инъективный оператор L\

е Ци1-,?1) с

плотным в Ы1 образом, при этом £,1[ёот51] С скнпТ1! С опЬх, и для всех и € скнЫ?! Ь\3\и = Т\Ь\и.

Теорема 1.9.3. Оператор М сильно (Ь,р)-радиален справа и слева тогда и только тогда, когда выполнены все условия (А1), (А2)', (АЗ) - (А5).

Следствие 1.9.4. Если пространства Ы и Т полурефлексивны, то оператор М (Ь,р)-радиален в том и только в том случае, когда он сильно (Ь,р)-радиален справа и слева.

Вторая глава посвящена, главным образом, исследованию сильно непрерывных групп уравнения соболевского типа. Основные ее результаты опубликованы в работах [5, 7].

Обозначим при а £ К 1Ка = {п € М : [п| > о}.

Определение 2.1.1. Оператор М (Ь,р)-бирадиален, если

(О За € К Ка С рь{М)-

(11) равностепенно непрерывны семейства операторов | ^т>р)(М) П (|т*| - а)^ : т = (т0,... ,тр) € € N|

| ^т,р)(М) Д (|т*| - а)^ : т = (т0,... ,тр) € € N|

Отображение [/(•) : К —> С(И) называется разрешающей группой уравнения (1), если

(О и(з)и{Ь) = и (в + Ь) для любых з, £ € К;

(и) и{€) = и(1)у есть решение класса С1 (!$;£/) уравнения (1) для любого v из плотного в и линеала.

Группу операторов будем называть экспоненциально ограниченной с константой и € К, если семейство операторов : 4 € К} равностепенно непрерывно.

Теорема 2.1.1. Пусть оператор М (Ь,р)-бирадиален. Тогда существует экспоненциально ограниченная с константой а сильно непрерывная разрешающая группа уравнения (1), рассматриваемого на подпространстве и.

В случае полурефлексивности Ы мы также имеем К = и.

(В1) Существуют две экспоненциально ограниченные сильно непрерывные группы {£/(£) € С(11) : Ь € К} и (-Р(^) £ : I € К} операторов с ядрами.

Теорема 2.2.5. Оператор М сильно (Ь,р)-бирадиален тогда и только тогда, когда выполнены все условия (В1), (А2)-(А5).

Эта теорема обобщает теорему об инфинитезимальных генераторах сильно непрерывных СЬ-групп. Как и в предыдущей главе, в случае полурефлексивных пространств условия этой теоремы можно ослабить.

В п.п. 2.3, 2.4 строится теория относительно диссипативных операторов в банаховых пространствах.

Оператор А называется диссипативным, если

11е[и, Аи] < О Уи € ёотЛ.

Диссипативный оператор А является максимально диссипативным, если оператор I — А сюръективен. Максимальная диссипа-тивность оператора А является достаточным условием существования сжимающей полугруппы уравнения г>(£) = Аь^).

В пп. 2.3, 2.4 обобщение понятия диссипативного оператора построено таким образом, чтобы можно было применить результаты первой главы и пп. 2.1, 2.2 второй главы.

Пусть 14, Т - банаховы пространства.

Определение 2.3.1. Оператор М будем называть диссипативным относительно оператора Ь (короче, Ь-диссипативным) по отношению к полускалярным произведениям (•, •) в Ы и [•, •] в Т, если

(1) Чи € с!отМ 11е[£и, Ми) < 0;

(и) существует положительное число а € р1(М)\

(Ш) Уи € АотМ Ке{{аЬ - М)~1Ьи, (аЬ - М)~1Ми) < 0.

Теорема 2.4.2. Пусть существует число а € К, такое, что оператор М — аЬ Ь-диссипативен. Тогда, если 14, Т - рефлексивные банаховы пространства, то существует полугруппа {и(Ь) € С(14) : Ь > 0} уравнения (1), такая, что ||?/(£)|| < е°4.

Понятно, что при а = 0 полугруппа является сжимающей.

Теорема 2.4.3. Пусть операторы М и —М Ь-диссипативны относительно пары каких-либо полускалярных произведений (•, •) и [-, •] в рефлексивных банаховых пространствах 14 и Т соответственно. Тогда существует унитарная группа уравнения (1).

В п.п. 2.5, 2.6 получены некоторые обобщения классической спектральной теории самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах на случай относительного спектра.

Третья глава посвящена построению теории сильно голоморфных в секторе [1, 3, 7, 10] и бесконечно дифференцируемых [4, 7, 8] полугрупп уравнения (1).

В пп. 3.1, 3.2 введено условие (L,p)-секториальности оператора и показана его достаточность для существования сильно голоморфной в секторе полугруппы, которая задается интегралами типа Данфорда - Тейлора.

Определение 3.1.1. Оператор M называется (Ь,р)-секто-риальнъш, если выполняются условия:

(i) За 6 R 39 € (т/2,7г)

S£e(M) = {ц 6 С : | arg(^ - а)\ < 9, ц ф а} С pL(M);

(ii) равностепенно непрерывны семейства операторов

jflfmj0(M) Ц (тк-а):т = (т0,... ,mv) & (S¿>(M))P+1 J,

j¿fmiP)(M) П Ы -а):т = (т0,..., тр) £ (S^M))»*11.

Ослабленным решением уравнения (1) будем называть функцию u(t) е C1(R+;W), удовлетворяющую этому уравнению при t > 0, непрерывную в нуле справа.

Полугруппа {U(t) : t > 0} называется сильно голоморфной в секторе Е С С, содержащем луч R+, если существует голоморфное отображение Ü(-) : Е —> C(U), сужение которого на R+ совпадает с полугруппой, при этом U(a)U(r) = U(a + т) Va,T € Е.

Существование голоморфной полугруппы позволяет расширить множество начальных значений задачи Коши, если решения понимать в ослабленном смысле.

Теорема 3.2.1. Пусть оператор M (Ь,р)-секториален. Тогда существует сильно голоморфная в секторе Ее = {т € С : | argr| < 9 — 7г/2, т ф 0}, где 9 из определения 3.1.1, разрешающая полугруппа {U(t) : t > 0} уравнения (1). Кроме того, при любом S £ (0,9 — 7г/2), семейство операторов {U(r) : г € Еes} экспоненциально ограничено с константой а, и при любом R > 0 равностепенно непрерывны семейства операторов {е~аттп[/^(г) : т € Еes Л Вй(О)}, п € N.

Операторы полугруппы имеют вид

U(t)u = [Я^(М)е"*ис1ц, и ZU.

2тгг J г

Отметим отсутвие единицы у этой полугруппы.

П. 3.3 содержит результаты исследования структуры ядра и образа полугруппы уравнения (1) при условии (L, р)-секториаль-ности оператора М. Показано, что подпространство U1 совпадает с фазовым пространством уравнения (1) и с образом полугруппы.

В п. 3.4 исследуется вопрос существования единицы построенной полугруппы операторов, которое эквивалентно представлению пространства в виде прямой суммы ядра и образа этой полугруппы. Под единицей в данном случае понимается сильный предел операторов полугруппы в нуле справа.

Теорема 3.4.1. Пусть пространство И (Т) полурефлексивно, оператор М (L, р)-секториален. Тогда U = U° @Ul (Т =

Определение 3.4.1. Оператор М называется сильно (L,p)-секториальным справа (слева), если он (L,p)-секториален и для любого и £ domM и для любой непрерывной в Ы полунормы г(-) существует константа с\, зависящая от и, такая, что

г ^ - а) f[(mk - a)RfmtP}(M)(lL - M^Muj < а(и)

о

(для всех / из некоторого плотного в Т линеала Т и для любой непрерывной в Т полунормы г(-) существует константа с%, зависящая от /, такая, что

р

Е

fc=о

г Ul-а) IJ(mt - a)M(lL - M)~lЬ^р)(М)f < c2(f)

при любых 1,то,тп\,...,тр е 5„0(М).

Теорема 3.4.2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален справа (слева). Тогда существует единица полугруппы {£/(£): 4 > 0} уравнения (1).

Следствие 3.4.1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-сектори-ален справа (слева). Тогда U = © W1 (Т = J=° ф Я).

Таким образом, в условиях теорем 3.4.1 и 3.4.2 существуют две полугруппы с единицами, которые расщепляют пространства U и Т в прямые суммы ядер и образов полугрупп. (Вторая полугруппа является разрешающей для уравнения L(aL — М)~гд = M(aL — M)~lg, заданного на пространстве Т и эквивалентного уравнению (1) при а € pL(M).)

Определение 3.5.1. Оператор М называется сильно (L,p)-секториалъным, если он сильно (L, р)-секториален слева и равностепенно непрерывно семейство операторов

{(/ - a)R^p}(M)(lL - М)-1 f[(mk-a):le Sf>(M),

k—0

т = (то,..., тр) € (Sa,o(M))p+1} .

Заметим, что оператор сильно (I, р)-секториален точно тогда, когда секториален, т. е. порождает аналитическую в секторе Cq-полугруппу.

(С1) Существует пара {{U(r) : т £ Е,т = 0},{F(r) : т £

т — 0}) голоморфных в секторе £ = {г £ С : |argr| < е, т ф 0}, е £ (0, 7г/2), сильно непрерывных вплоть до нуля и экспоненциально ограниченных полугрупп операторов U(t) £ C(U), F(t) £ С{Т) с ядрами.

Как и в п. 1.8 положим Р = U(0), Q = .F(O), Ы° = kerP, Ul = imP, J* = kerQ, Я = imQ. Имеем U = U° ©U\ T = J* ®

Через {Ui(t) € ЦП1) : т € E,r = 0} и {Fi(r) £ ЦГ1) : r € E, r = 0} обозначим сужения соответствующих полугрупп на подпространства U1 и Я. Сужения являются невырожденными голоморфными полугруппами, и по теореме Соломяка -Иосиды они имеют инфинитезимальные генераторы S\ и Ti соответственно, являющиеся секториальными операторами.

Теорема 3.6.1. Оператор М сильно (L,p)-секториален тогда и только тогда, когда выполнены все условия (Cl), (А2) -(А5).

Теорема 3.6.2. Оператор М сильно (L,p)-секториален справа и слева тогда и только тогда, когда выполнены все условия (С1), (А2)\ (A3) - (А5).

Каждая из теорем 3.6.1, 3.6.2 является обобщением теоремы Соломяка - Иосиды об инфинитезимальных генераторах голоморфных полугрупп операторов на случай вырожденных полугрупп.

Следствие 3.6.3. Если пространства И и? полурефлексивны, то оператор М (Ь,р)-сектпориален в том и только в том случае, когда он сильно (Ь, р)-секториален справа и слева.

П. 3.7 содержит условия на операторы Ь, М, при которых существует полугруппа уравнения (1) (без единицы) с ядром, содержащим М-присоединенные векторы сколь угодно большой высоты.

(Е). Пусть существуют константы а € К, в € (тг/2,тг), такие, что сектор = {ц € С : | — а)\ < в, ц ф а} С

р1(М). Пусть, кроме того, существуют константы Я,/3 > О, 7 € (0,1) такие, что семейство операторов

равностепенно непрерывно.

Теорема 3.7.1. Пусть выполняется условие (Е). Тогда существует сильно голоморфная в секторе = {г € С : | argr| < в — 7г/2, т ф 0} разрешающая полугруппа {U(t) :t> 0} уравнения

где и = (их, «2, из,...). Нетрудно показать, что ¿-спектр оператора М пуст, выполняется условие (Е) с константами /3 = 1,7 = 1/2 (9 € (7г/2,7г), Л > 0 - любые). При этом оператор Ь имеет М-присоединенные векторы сколь угодно большой длины.

Далее в этой главе изучаются вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов, аналогом которых в невырожденном случае являются полугруппы операторов класса

Будем говорить, что действительная, определенная на К функция т) принадлежит классу Ф, если

{e'^ißL - М)-1 : fi е S^(M) \ Вя(0)}

(1).

Пример 3.7.1. Пусть U = Т = М = I,

(А),

(i) -0 положительна, непрерывно дифференцируема и не убывает с возрастанием |т|;

(И) ф{т) —> оо при |т| —> оо;

(iii) V'(T) ограничена; +оо

(iv) / < оо при любом t > 0.

—оо

Определение 3.8.2. Будем говорить, что упорядоченная пара операторов (L, М) удовлетворяет (р, ф{т))-условию, если

(i) За е М 3ф(т) £ Ф ЗС > 0

= е С : Re/x > а - Ci^Im/i)} с /эь(М);

(ii) равностепенно непрерывны семейства операторов

( П V>(rk)Rfm<p)(M) : m = (<70 + ¿7Ь,...,«Гр + г*Тр) € 1,

U=o J

I Ц ф(тк)1{тф)(М) : т = {а0 + ir0,... ,ар + irp) е 1.

U=o J

Теорема 3.9.2. Пусть пара (L,M) удовлетворяет (р,ф{т))-условию. Тогда существует бесконечно дифференцируемая разрешающая полугруппа {U(t) : t > 0} уравнения (1), причем

U(t) = JL J где Г = ÖE*.

г

Определение 3.10.1. Замкнутое множество V CU называется фазовым пространством уравнения (1), если

(i) любое ослабленное решение u(t) уравнения (1) лежит в V, т. е. u{t) €VVt€ I+;

о

(ii) для любого щ из множества Р, плотного в V, существует единственное решение ослабленной задачи Коши и(0) = щ для уравнения (1).

Определение 3.10.2. Если для пары операторов (L, М), удовлетворяющей (р, ))-условию, выполняется условие равностепенной непрерывности семейств операторов

( П ф{\тк\)й^р){М) : ш - {то, ...,тр)е Щ+11 , U=o J

{ П ^(K|)ifm>p)(M): т = (то, ...,тр)€ 1 U=o

а также при некотором А > 0 сходится интеграл

+оо

[ JV-< оо

J уФ{У)

а

то будем говорить, что пара (L,M) удовлетворяет усиленному (р, ф(т))-условию.

Теорема 3.10.1. Пусть пара операторов (L, М) удовлетворяет усиленному (р, -ф(т))-условию. Тогда для любого вектора ио € imR^pj(M) (/о € imL^ßp^(M)) существует единственное решение ослабленной задачи Коши и(0) — ио для уравнения (1), а ¡тЯ^р)(М) (imявляется фазовым пространством этого уравнения.

Отметим, что усиленное (р, |т|) условие на пару операторов (L, М) в точности означает (L, р)-секториальность оператора М.

В четвертой главе исследованы равностепенно непрерывные сильно голоморфные группы в локально выпуклых пространствах. Представленные результаты опубликованы в работе [9].

Оператор А называется регулярным1, если он является регулярным элементом выпуклой борнологической алгебры Lec(V), где V - локально выпуклое пространство. (В случае банахова пространства V регулярность оператора равносильна его ограниченности). Отметим, что регулярность оператора А в точности означает ограниченность его регулярного спектра <тГ(А) = С \ {д € С : {pl - А)'1 регулярен}.

В п. 4.1 введено понятие регулярного L-спектра оператора М <Тг(М) — C\{ß G С : {(J.L - M)~1L регулярен}. Показано, что регулярный L-спектр замкнут, а L-резольвента (fiL — M)~l сильно голоморфна на дополнении к нему даже в случае локально выпуклого пространства.

1Радыно, Я В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах: I. Регулярные операторы и их свойства /Я В. Рады-но // Дифференц. уравнения.- 1977- Т.13, № 8 - С.1402-1410.

■

Определение 4.2.1. Оператор М называется спектрально регулярным относительно оператора, Ь (или просто (Ь, ^-регулярным), если

За > 0 У/х € С (|р| > о) (м <£ <т?(М)).

Обозначим Ьк = Ь

, Л = 0,1.

ЛотМШк

,мк = м

ик

Теорема 4.2.1. Пусть оператор М (Ь, а)-регулярен. Тогда (О Ьк£С(ик;Гк), Л = 0,1;

(и) М0 £ С^и0-,^), Мх е Ци1;^1);

(Ш) существует оператор 6

(¡V) ^«(Мо) = 0.

Положим Я = М0_1Х0 € С(К°), 5х = ¿¡"1М1 € ЦП1), Т, = п. 4.2 показано, что оператор-функция (цЬ — М)-1 является целой функцией в сильной топологии. Поэтому мы эту функцию в окрестности бесконечности можем представить рядом Лорана:

(оо \ оо

-£>*я* МоН/-зх/ч^-^-1^/. к=0 / к=1

Определение 4.2.2. Для оператор-функции (цЬ — М)-1 бесконечно удаленную точку будем называть

(I) устранимой особой точкой, если Н = О;

(И) полюсом порядка р е если Нр ф О, а Я*4"1 = О;

(Ш) существенно особой точкой, если \/р £ N Яр ф О.

Теорема 4.3.1. Пусть оператор М (Ь, с)-регулярен. Тогда существует голоморфная разрешающая группа {и(т) : т е С} уравнения (1), причем

Щт) = Л%(М)е»Ч1Л, 7 = {м 6 С : \,х\ = Л > а},

ч

Показано, что в случае устранимой особой точки оператор-функции (цЬ — М)~1 в бесконечности группа уравнения (1) вырождается только на ядре оператора Ь, в случае полюса порядка р - на М-присоединенных векторах оператора Ь высоты не

больше р, в случае же существенной особой точки ядро группы содержит М-присоединенные векторы сколь угодно большой высоты.

В п. 4.4 установлены соотношения между условиями (L, сг)-регулярности, сильной (L, р)-секториальности и сильной (L,p)-бирадиальности оператора М. Затем показано, что фазовое пространство уравнения (1) совпадает с образом его разрешающей группы. Отсюда следует, что любое решение уравнения (1) с (L, сг)-регулярным оператором М голоморфно во всей плоскости.

В п. 4.5 сформулированы теоремы о необходимых и достаг точных условиях (L, (г)-регулярности оператора М в терминах целых вырожденных групп операторов.

Пятая глава посвящена исследованию неоднородной задачи

it(0) = «о, Lü{t) = Mu(t) + f(t) (2)

и приложению полученных абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам [3, 5, 6, 8, 9, 10].

В п. 5.1 доказаны теоремы о разрешимости задачи (2) в локально выпуклых пространствах.

Через Р (Q) далее обозначается проектор вдоль Ы° (Я) на У} (Я).

Теорема 5.1.1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, вектор-функция f такова, что (/ — Q)f = /° 6 CP+1(R+,.F),

L~lQf £ Cl{R+,W). Тогда для любого

р

ио е {wedomM :(I-P)u=-J2 ^M^f^iO)}

k=0

существует единственное решение и е С*(Ш+,и) задачи (2), причем

Г

u(t) = U{t)u о + U(t- s)L^Qf{s)ds -J^^M^f^it). о fc=°

Аналогичные теоремы получены для случаев сильно (L,p)-бирадиального, сильно (L, р)-секториального и (L, {^-регулярного оператора М.

В п. 5.2 в гильбертовом пространстве И рассмотрено уравнение

P(A)ü(t) = Q(A)u(t) + f(t), (3)

где А - самосопряженный оператор, Р(A), Q(X) - непрерывные функции. Это уравнение сведено к уравнению (2) и получены некоторые результаты об относительном спектре операторов этого уравнения.

П. 5.3 посвящен рассмотрению уравнения (3) в случае, когда Р(Л), Q(A) - многочлены. Получен ряд теорем, устанавливающий сильную (Р(А),0)-радиальность, сильную (Р(Л),0)-би-радиальность, сильную (Р(А), 0)-секториальность или {Р{А), а)-регулярность оператора Q(A) в зависимости от расположения спектра оператора А, порядка многочленов и соотношения их старших коэффициентов.

В п. 5.4 с помощью результатов п. 5.3 установлена разрешимость класса начально-краевых задач для уравнений в частных производных высокого порядка в пространствах Соболева.

n m

Пусть многочлены Рп(А) = £ Qm(X) = J2 dj\3 тако-

i=0 j=0 вы, что т > п, Ü с К8 - ограниченная область с границей дП класса С°°, набор операторов А, В\,...ВГ - регулярно эллиптический. Потребуем также самосопряженности и спектральной ограниченности справа действующего в L^SÍ) оператора А\ с областью определения dom^i = Ж^в,}^)' А\и = Аи, и G скнпЛь Через {ifk : к G N} обозначим ортонормированные в смысле скалярного произведения (-, •) в ¿г(^) собственные функции оператора Ai, занумерованные по невозрастанию собственных значений {А^ : к G N} с учетом их кратности.

Рассмотрим начально-краевую задачу

Pn(A)ut(x,t) = Qm(A)u(x,t) + f(x,t), (x,t)ۆxR+, (4)

B¡Aku{x, t) = 0, к = 0,m- 1, l = T7r, (x, t) G díl x R+,

(5)

u(x, 0) = щ(х), x G Q, (6)

эквивалентную задаче Коши для уравнения Р„(Ai)ú = Qm(А\)и.

Теорема 5.4.1. Пусть многочлены РП(А) и Qm(A) не имеют общих корней на множестве <r(Ai), / € С1 (R+, L,2(tt)), uq G

{и еМ:(Зга(Ак){и,<Рк) = -(/(',0),¥>*(•))> -Рп(Ак)=0}. Тогда существует единственное ослабленное решение и С(Ш+,И) задачи (4) - (6).

Частным случаем задачи (4) - (6) является, например, задача

&«(*,<) = =0, (х,*)€0ПхЛ+,

и(х, 0) = ио(х), х € П,

для уравнения

(Л - Д)щ{х,Ь) = аАи(х,г) - /?Д2и(х,<) + € П х К+,

моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Достаточно взять в предыдущих рассуждениях А — Л> = £> РЛУ) = А - У, Оз(у) =ау- /Зу2, А € К, а,0 > 0.

В п. 5.5 аналогичные задачи рассмотрены в пространстве Фре-ше, являющемся проективным пределом пространств Соболева.

В п. 5.6 задача Коши во всем пространстве для полиномиального дифференциального уравнения с частными производными исследована с применением преобразования Фурье в пространствах Соболева. Рассмотрены в определенном смысле более общие уравнения, чем уравнения из п. 5.4, 5.5.

Пусть заданы многочлены Рп{и) = £)саи>а, = с1аи!а,

|а|<п М<т

где ш = (и>1,..., и)а) € К", а = (а\,..., а4) € N5 - мультииндексы. Редуцируем задачу Коши

(7)

и(х,0) = щ(х), хе№, (8)

к задаче (2). Для этого возьмем Ы = И^Е8), Т = 1г2(К4), ь = (тэг). М = От Л®^ = где I = шах{п,т}.

Обозначим Го = {и» 6 К" : Рп(ш) = 0}, Со = {у е Г : <2тМ = 0}.

Теорема 5.6.1. Пусть сШ^Ро, 2о) > 0 и существует такое а € К, что для всехш € К8\Ро выполняется Не < а. Тогда, если Ро - ограниченное множество или п <т, то оператор М

сильно (Ь,0)-радиален справа и слева. Если к тому оке Ро — 0> то оператор М сильно (Ь,0)-радиален. Для уравнения волн Россби

—= (ЗиХ2

встречающегося в океанологии, условия теоремы 5.6.1 не выполняются. Однако эта теорема позволяет исследовать задачу Копта и(х\,х2,0) = ио(хх,х2), например, для уравнения

- Ащ(х1, х2, = /ЗиХ1 (х\ ,х2,Ь) + уи(х1, Х2,Ь), (х 1, х2, € К3,7 < 0.

Теорема 5.6.2. Пусть в условиях данного параграфа

Ят{ь>)

За е К Уа>€Н'\Р0

РпМ

< а.

Тогда оператор М (Ь, а)-регулярен, а бесконечность является устранимой особой точкой Ь -резольвенты оператора М.

Эта теорема позволяет исследовать, например, уравнение малых флуктуаций в сегнетоэлектрике-полупроводнике

(А - Д) щ(х, г) = а + и(х, «) + Рщи{х,«) - -уи(х,«), (х,*) = (х1,х2,х3,г) € К4, А > 0.

П. 5.7 посвящен построению специальных пространств Фре-ше по замкнутому самосопряженному в некотором гильбертовом пространстве оператору А. Это так называемые пространства функций Л-экспоненциального типа, не превосходящего г € В таком пространстве оператор А становится ограниченным, что позволяет рассматривать уравнение (3) с трансцендентными функциями Р, С? от оператора А.

Рассмотрим банахово пространство V и некоторый замкнуто

тый оператор А. Наделим множество с1отЛ°° = р) сЬтА* топо-

к=1 к

логией, определяемой системой полунорм дь(и) = V, к Е

1=0

N0. Полученное пространство Фреше обозначим %)а(Ю- Пусть

«а(т) = (и е ботА°° : "ШгГЦ^иЦ^ < Л -

^ к—> оо J

так называемое множество элементов Л-экспоненциального типа, не превосходящего г > 0. Возьмем наибольшее замкнутое

о

в топологии Я а (V) подпространство, содержащееся в <Ва{т), и обозначим его через <£т. Множество €т, наделенное топологией, определяемой полунормами д,/с( ), является пространством Фре-ше.

Рассмотрим индуктивную шкалу локально выпуклых линейных топологических пространств {<£т : г £ К} и ее индуктивный предел Соо, который является внутренним и даже строгим. Пространство <Воо = и ^т С 2) л имеет локально выпуклую тополо-т6N

к

гию, определяемую полунормами = к € N0,

1=0

т &Т9.

Теорема 5.8.1. Пусть V - гильбертово пространство, А -самосопряженный оператор, Ы = Т — (Еоо, целые функции Р(А), С}(\) не имеют общих нулей на множестве <т{А). Кроме того, пусть выполняются условия:

с11з^<т(Л)\Р0,Ро) > 0, За е К (С}/Р)[(т{А) \ То] С {ц € С : Ее/* < а}.

Тогда оператор М сильно (Ь,0)-радиален.

Описанная абстрактная схема, применнная к самосопряженным дифференциальным операторам, позволила в пп. 5.9, 5.10 исследовать задачи для дифференциальных уравнений в частных производных бесконечного порядка, в том числе задачу с бесконечным числом граничных условий.

Пусть П = (0, +оо), V = Ьг(^); А ~ оператор —(Р/йх2 с областью определения

<1опь4 = {ь € Ь2(Я) : и(0) +1/(0) = 0,€ Ь2(П)}.

Оператор такого вида возникает, например, в задаче о генераторе волн в линеаризованной теории волн на глубокой воде. Тогда задача Коши для уравнения (3) с трансцендентными функциями Р(А),<3(А) в пространстве (£оо примет вид задачи с бесконечным числом краевых условий:

Р{А)щ{х,Ь) = <2(Л)и(х,*) + /(я,*), (г,£) € К+ х Ж+,

+ = к = 0,1,..., *€М+,

и(х, о) = ио(я)> х е к+.

Теорема 5.8.1 позволяет исследовать эту задачу в индуктивном пределе <Е<х, индуктивной шкалы пространств функций Л-экспо-ненциального типа.

В п. 5.11 использована связь, задаваемая рядом Тейлора, между оператором смещения по пространственной переменной и целой функцией от оператора дифференцирования. Это позволило исследовать периодическую задачу для дифференциально-разностного уравнения

Р (г^ Мх>*) = О и(х+М)+/(М), ОМ) е (а,с)х!+,

д1 д1 — —1и{0,Ь) = —1и{Ъ,г), о, t€R+,

и(х,0) — йо(х), х £ (а, с),

в пространстве £оо, построенном по самосопряженному в пространстве ¿2(0,6) оператору

А = 11х' <1ошЛ = ^ е V : Ау € ^ =

В п. 5.12 установлена однозначная разрешимость линеаризованной системы уравнений фазового поля, которая после линейной замены переменных имеет вид

и(х, 0) = ио(х), х е О, (9)

дП

—(х,г) + Хи(х,ь) =о, (х,г) е дП х (ю) оп

ду

—(х,г) + \у(х,г) = о, (1,<)бй2хш+, (и)

оп

щ(х,г) = Аи(х,Ь) - Аь(х,Ь), (х,<)еГ2хЕ+, (12) Аь(х,$ 4- (а- 1)г>(х,*) +и(х,г) = 0, (х,*)еПхК+. (13)

Показано, что в пространстве (£г(0))2 она редуцируется к задаче (2) с сильно (Ь, 0)-секториальным оператором. Отсюда получена

Теорема 5.12.1. Пусть 1 — а $ сг(А). Тогда при любом ио € ¿2 (П) задача (9) - (13) имеет единственное ослабленное решение («,«) е С(1+; (Ь2(П))2) П СЧ®+; {ЫП))2), причем

и(х, г) = ^ехр ^ ^ + А^ - ) оо ехр

«ОМ) = Е —-^—'-{ио,<рк)ч>к{х).

В п. 5.13, 5.14 приведены примеры уравнений, полугруппы которых вырождаются не только на ядре оператора при производной по времени, но и на его относительно присоединенных векторах. Причем задачи пп. 5.12, 5.13 показывают, что предлагаемые в данной работе методы пригодны и в случае, когда операторы 1иМне коммутируют.

На защиту выносятся следующие результаты:

- обобщение теоремы Хилле - Иосиды на случай экспоненциально ограниченных вырожденных полугрупп операторов, имеющее вид необходимых и достаточных условий для существования разрешающих сильно непрерывных полугрупп линейных уравнений соболевского типа и существования пар инвариантных подпространств операторов уравнения;

- обобщение теоремы о генераторах сильно непрерывных групп операторов на случай экспоненциально ограниченных вырожденных групп;

- обобщение теоремы о существовании разрешающих сжимающих полугрупп операторов на случай уравнения соболевского типа посредством наложения условия относительной диссипа-тивности операторов;

- обобщение теоремы Соломяка - Иосиды на случай экспоненциально ограниченных вырожденных полугрупп, имеющее вид необходимых и достаточных условий для существования разрешающих сильно голоморфных полугрупп линейных уравнений соболевского типа и существования пар инвариантных подпространств операторов уравнения;

- теорема о существовании бесконечно дифференцируемой полугруппы линейного уравнения соболевского типа;

- теорема о необходимости и достаточности относительной спектральной регулярности оператора для существования разрешающих сильно голоморфных групп линейного уравнения соболевского типа в локально выпуклых пространствах и пар инвариантных подпространств операторов уравнения;

- теоремы о разрешимости задачи Коши для линейных неоднородных уравнений соболевского типа, принадлежащих одному из рассмотренных выше четырех классов;

- теоремы о разрешимости задачи Коши для линейных неоднородных уравнений соболевского типа с операторами, являющимися непрерывными функциями от самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве;

- теоремы о разрешимости начально-краевых задач для линейных неоднородных уравнений соболевского типа в частных производных в пространствах Соболева, в частности для некоторых уравнений теории фильтрации, полученные редукцией к уравнениям с многочленами от самосопряженного эллиптического оператора в гильбертовых пространствах;

- теоремы о разрешимости задачи Коши во всем пространстве для линейных уравнений соболевского типа в частных производных в пространствах Соболева, в частности для уравнения малых флуктуаций в сегнетоэлектрике-полупроводнике;

- теоремы о разрешимости в специально построенных пространствах Фреше некоторых краевых задач для линейных неоднородных уравнений соболевского типа с дифференциальными операторами бесконечного порядка;

- теорема о разрешимости периодической по пространственной переменной задачи для неоднородного дифференциально-разностного уравнения соболевского типа, полученная редукцией к уравнению с целыми функциями от дифференциального оператора;

- теорема о разрешимости начально-краевой задачи линеаризованной системы уравнений фазового поля.

Основные публикации по теме диссертации

1. Свиридюк, Г. А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн.- 1995.- Т.36, № 5 - С.1130-1145.

2. Федоров, В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами / В.Е. Федоров // ДАН,- 1996.- Т.351, № 3.- С.316-318.

3. Свиридюк, Г.А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн.- 1998 - Т.39, № 3.- С.604-616.

4. Федоров, В.Е. Бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов с ядрами / В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн-

1999.- Т.40, № 6.- С.1409-1421.

5. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов / В.Е. Федоров // Изв. вузов. Математика.-

2000.- № 3.- С.54-65.

6. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ.- 2000.-Т.12, вып.З.- С.173-200.

7. Федоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Дифференц. уравнения.- 2001.- Т.37, № 12.- С.1646-1649.

8. Федоров, В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. Мат.- 2003.- Т.67, № 4.- С.171-188.

9. Федоров, В.Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Дифференц. уравнения,- 2004.-Т.40, № 5.- С.702-712.

10. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб.- 2004 - Т.195, № 8 - С.131-160.

Of Of- 2005^

41979

Публикации, примыкающие к основным

11. Федоров, В.Е. Полугруппы и группы операторов с ядрами / В.Е. Федоров .- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1998.- 86 с.

12. Федоров, В.Е. Сильно непрерывные полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. тр.; РАН, СО, ИМ.- Новосибирск, 2000.- С.32-40.

13. Федоров, В.Е. Сжимающие полугруппы уравнений соболевского типа и относительно диссипативные операторы / В.Е. Федоров // Мат. заметки Якут. гос. ун-та.- 2001.- Т.8, вып.2.- С.75-83.

14. Федоров, В.Е. Теорема Иосиды и разрешающие группы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Вестник Челяб. ун-та. Серия 3. Математика. Механика. Информатика.- 2003.- № 3.- С. 197214.

15. Fedorov, V.E. Applications of the theory of degenerate operator semigroups to the initial-boundary value problems / V.E. Fedorov // Contemporary Mathematics and Its Applications.-2003.- Vol.9.- C.215-223.

16. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E.Fedorov.-Utrecht etc: VSP, 2003 - 216 c.

Подписано в печать Формат 60 х 841/i6. Бумага газетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,9. Уч.-изд. л. 1,5.

Тираж 100 экз. Заказ 339.

Бесплатно

ГОУВПО «Челябинский государственный университет» 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных,129

Полиграфический участок Издательского центра ЧелГУ

454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57-6 ^

i

■ч

2 2 да? 2005

Обозначения и соглашения.

Введение

ГЛАВА I. Сильно непрерывные полугруппы уравнений соболевского типа

1.1. Относительные резольвенты и относительно присоединенные векторы

1.2. Относительно р-радиальный оператор

1.3. Разрешающие полугруппы операторов.

1.4. Фазовые пространства.

1.5. Расщепление пространств

1.6. Обратный оператор.

1.7. Инфинитезимальные генераторы.

1.8. Генераторы вырожденных сильно непрерывных полугрупп.

1.9. Случай полурефлексивных пространств.

ГЛАВА II. Некоторые классы вырожденных сильно непрерывных полугрупп

2.1. Сильно непрерывные группы

2.2. Сильно (1/,р)-бирадиальный оператор

2.3. Относительно диссипативный оператор.

2.4. Полугруппы уравнений с относительно диссипативными операторами.

2.5. Относительно сопряженные операторы.

2.6. Относительно симметрические операторы.

ГЛАВА III. Сильно голоморфные полугруппы уравнений соболевского типа

3.1. Относительно р-секториальный оператор.

3.2. Существование голоморфных полугрупп.

3.3. Ядра и образы голоморфных полугрупп и фазовые пространства уравнений.

3.4. Единицы разрешающих полугрупп.

3.5. Существование обратного оператора.

3.6. Генераторы вырожденных сильно голоморфных полугрупп.

3.7. Сильно голоморфные полугруппы с "широкими" ядрами

3.8. (р,ф(т))-условие.

3.9. Существование бесконечно дифференцируемых полугрупп

3.9. Фазовые пространства.

3.9. Ядра и образы бесконечно дифференцируемых полугрупп

ГЛАВА IV. Сильно голоморфные в плоскости группы

4.1. Регулярный относительный спектр и относительные резольвенты.

4.2. Относительно спектрально регулярный оператор.

4.3. Сильно голоморфные группы уравнений соболевского типа

4.4. Фазовые пространства.

4.5. Генераторы сильно голоморфных групп операторов с ядрами

Постановка задачи

Пусть U и Т - отделимые секвенциально полные локально выпуклые линейные топологические пространства, оператор L Е £(U\J-), оператор М еС1(1А]Р). Дополнительно будем также всюду, кроме четвертой главы, предполагать, что пространства таковы, что для отбражений из Т ъ U выполняется теорема о замкнутом графике. Простейшее предположение такого рода - полнота и метризуемость U и J7, менее ограничительное - бочечность U и совершенная полнота Т [102]. Более общие условия, при которых выполняется теорема о замкнутом графике, могут быть найдены в [30, 100, 102, 148]. Рассмотрим задачу Коши и(0) = щ (0.1) для операторно-дифференциального уравнения

L u(t) = Mu(t). (0.2)

Если оператор L непрерывно обратим, то уравнение (0.2) можно редуцировать к паре эквивалентных ему уравнений u(t) = Su(t), g(t) = Tg(t), (0.3) где операторы S = L~lM е Cl(U), domS = domM, T = ML£ Cl(F), domT = L[domM]. Уравнения (0.3) можно рассматривать в рамках уравнения в секвенциально полном локально выпуклом линейном топологическом пространстве V v{t)=Av{t), (0.4)

А : domA —> V, domA = V. Задачу Коши и(0) = i>o (0.5) для уравнения (0.4) удобно исследовать в терминах теории полугрупп операторов. Тип рассматриваемой полугруппы связан с типом исследуемой задачи Коши (см. по этому поводу [62, 64]), поэтому в каждом случае мы будем отдельно определять ее решение.

В свое время теория полугрупп операторов в банаховых пространствах [2, 8, 29, 51, 64, 132, 168] была распространена на локально выпуклые пространства. При этом теория равностепенно непрерывных полугрупп операторов в локально выпуклых пространствах (JI. Шварц [171], Н. Komatsu [154], К. Иосида [47]) оказалась очень близка к теории полугрупп в банаховых пространствах: в обоих случаях основным языком и методом исследования служит резольвента производящего оператора полугруппы.

Однако, как показывают некоторые примеры, в случае локально выпуклых пространств равностепенная непрерывность полугруппы не является таким же естественным условием, как в случае банаховых пространств, в частности она не следует из сильной непрерывности полугруппы. Чего нельзя сказать об условии локальной равностепенной непрерывности. Полугруппы, удовлетворяющие этому условию, рассматривались многими авторами. При этом было замечено, что даже в достаточно простых случаях резольвента генератора такой полугруппы может не существовать ни в одной точке. В работе Т. Komura [155] роль резольвенты в теореме о порождении локально равностепенно непрерывной по-^ лугруппы класса (Со) играет достаточно сложное понятие обобщенной резольвенты. В. В. Иванов [37] и S. Ouchi [167] использовали для характе-ризации порождающих операторов одинаковую, более прозрачную конструкцию, названную п-резольвентой [37] (позже - квазирезольвентой [38, 39, 40, 41]) и асимпототической резольвентой [167]. Заметим, что впоследствии В. В. Иванову удалось упростить понятие квазирезольвенты, отказавщись от априорного требования ее коммутирования с генератором [39, 40]. Кроме того, им были исследованы не только Со-непрерывные полугруппы, но и равномерно суммируемые [39, 40], а в работе [38] была проведена весьма общая классификация полугрупп операторов в локаль-♦ но выпуклых пространствах и исследованы соответствующие классы полугрупп. Отметим также работы о локально равностепенно непрерывных Co-непрерывных группах [72, 165].

В данной работе будут рассмотрены вопросы порождения равностепенно непрерывных полугрупп четырех различных классов гладкости уравнения (0.2): сильно голоморфных в плоскости групп, сильно голоморфных в секторе полугрупп, сильно непрерывных полугрупп и сильно непрерывных групп операторов. Сформулируем необходимые в дальнейшем результаты в удобном для нас виде и в максимальной степени общности - для локально выпуклых пространств.

В [99] показано, что оператор А Е £(V) в локально выпуклом пространстве V регулярен тогда и только тогда, когда существует С > 0, что семейство операторов {С~пАп G £(V) : п G N} равностепенно непрерывно. Регулярный оператор порождает экспоненциально ограниченную сильно голоморфную в плоскости группу где 7 - замкнутый контур, ограничивающий регулярный спектр оператора А.

Теоремы о порождении сильно голоморфных и сильно непрерывных полугрупп, а также сильно непрерывных групп в локально выпуклых пространствах доказаны в [47]. Следуя [51, 131], оператор А е Cl(V) назовем векториальным, если выполняются условия:

Оператор А секториален тогда и только тогда, когда он является инфи-нитезимальным генератором сильно голоморфной в секторе полугруппы, операторы которой при этом имеют вид i) За G R Зве (тг/2, тг)

Safi{A) = {/i G С : | arg(// - а)\ < в, ц ± а} С р{А); (И) равностепенно непрерывно семейство операторов {((1 - a){pl - А)'1 е C{V) : /х е Sa,*(A)} . где в качестве контура 7 можно взять границу сектора Saj(A), сдвинутую вправо на е > 0.

Оператор А G Cl(V) назовем радиальным, если выполняются условия: (i) За G R (а, +оо) с р{А); и) равностепенно непрерывно семейство операторов i - а)п{ц1 - А)'п G £(V) : /i G (а, +00), п G N} .

Радиальность оператора А является необходимым и достаточным условием того, что он порождает сильно непрерывную полугруппу класса (Со), операторы которой при этом имеют вид

V(t) = s- lim exp{t{(fi - a)2{11I - A)'1 - fj,I)) =

X—>+oo

5- lim (nrl(nt~lI - A)~l)n. n—► 00

Оператор A G Cl(V) назовем бирадиальным, если радиальны операторы А и —А. Оператор А бирадиален тогда и только тогда, когда он является инфинитезимальным генератором сильно непрерывной группы класса (Со).

Решение v(t) задачи (0.1) для неоднородного уравнения v(t) = Av(t) + h{t) можно выразить с помощью операторов (полу) группы однородного уравнения следующим образом: t v(t) = V(t)vо + j V(t - s)h(s)ds, (0.6) 0 если функция h G С(М+;Х>л) или h G C^R+jV) в случае существования сильно непрерывной (полу)группы класса (Со). Здесь через обозначено пространство domA, наделенное граф-полунормами 5л(•) = q(-j + q(A-), соответствующими всем непрерывным полунормам q(-) в пространстве V. В случае сильно голоморфной в секторе полугруппы можно также взять функцию h(t), действующую во все V, если для нее выполняется условие локальной гельдеровости и интегрируемости на интервале (0,p{q)) функций q(h(t)) при всех непрерывных полунормах q(-) в V. Однако при этом мы будем говорить о разрешимости ослабленной задачи Коши (см. гл. 3). Наконец, при условии существования сильно голоморфной в плоскости группы для существования решения (0.6) достаточно, чтобы h £ С(М+; V).

Полугруппы уравнения (0.2) в банаховых пространствах рассматривались разными авторами [74, 75, 108, 109, 151, 152, 183]. При этом было замечено, что характерной чертой (полу)группы уравнения с вырожденным оператором при производной является наличие нетривиальных ядер у ее операторов. А именно, единицей полугруппы является не тождественный оператор, как в классической теории полугрупп операторов, а проектор на некоторое подпространство. Такие полугруппы мы в дальнейшем будем называть вырожденными, либо полугруппами операторов с ядрами.

Главной задачей данной диссертационной работы является обобщение теорем об инфинитезимальных генераторах равностепенно непрерывных сильно голоморфных в плоскости групп, сильно голоморфных в секторе полугрупп, сильно непрерывных полугрупп и групп операторов на случай (полу)групп уравнения (0.2) в банаховых и локально выпуклых пространствах. Для того, чтобы получить такие результаты, потребовалось ввести в рассмотрение понятия (L, сг)-регулярного [108, 192, 214], сильно (L, р)-секториального [184, 186, 193, 214], сильно (1,,р)-радиального [185, 188, 214, 196, 234] и сильно (£,р)-бирадиального [189, 197, 214, 205, 196] оператора. Показано, что уравнения с такими операторами вырождаются не только на ядре оператора L, как в большинстве упомянутых в предыдущем абзаце работ, но и на цепочках его М-присоединенных векторов.

При этом одной из важных задач является изучение структур ядра полугруппы и фазового пространства уравнения (0.2) каждого из четырех упомянутых классов, то есть замыкания множества допустимых начальных значений задачи (0.1), (0.2). Этот вопрос является актуальным, поскольку исследователями [14, 35, 67, 134] давно замечено, что такие начальные значения заполняют всего лишь некоторое подпространство исходного пространства.

С помощью построенных полугрупп требуется также получить теоремы о разрешимости неоднородных уравнений

Lu(t) = Mu(t) -I- f(t) (0.7) соответствующих классов и найти для таких уравнений множества допустимых начальных значений задачи Коши.

Наконец, существенной целью данной работы является получение новых результатов о разрешимости начально-краевых задач для уравнений с вырожденным дифференциальным по пространственным переменным оператором при производной по времени в банаховых и локально выпуклых пространствах. При этом сначала устанавливается принадлежность пары дифференциальных операторов одному из классов пар операторов, рассмотренных в первых четырех главах, а затем применяется соответствующая абстрактная теорема о разрешимости неоднородной задачи Коши.

Историография вопроса

Сразу заметим, что охватить весь спектр исследований по уравнениям соболевского типа невозможно, поскольку "из одних только рефератов опубликованных статей можно составить не один том!" [22, с. XIV]. Мы ограничимся, главным образом, обзором работ, касающихся именно линейных автономных уравнений соболевского типа первого порядка. При этом список цитированной литературы не претендует на полноту и обусловлен личными пристрастиями автора.

Помимо теоретической ценности исследования задачи (0.1), (0.7) самого по себе отметим и его прикладную значимость. Действительно, задача (0.1), (0.7) представляет собой абстрактную форму многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы [13, 44, 52, 56, 57, 58, 86, 87, 108,152, 214]. Речь идет о линеаризованной системе Навье - Сток-са, системе и уравнении Соболева, системах и уравнениях внутренних и I гравитационно-гироскопических волн, уравнении ионно-звуковых волн, уравнении Баренблатта - Желтова - Кочиной, уравнении волн Россби, уравнении свободной эволюции поверхности фильтрующейся жидкости, уравнении стратификации объемного заряда в полупроводнике и др. Подробную библиографию по этим вопросам можно найти в [1, 17, 22]. Заметим, что прикладные задачи обычно рассматриваются в рамках банаховых пространств, но иногда возникает необходимость в использовании более общей и в то же время естественной структуры локально выпуклого пространства (см. пятую главу настоящей работы).

Выделим два направления в истории изучения задачи (0.1), (0.7). Одно из направлений предполагает изучение задачи в абстрактном виде, а затем приложение полученных результатов к задачам для дифференциальных уравнений и систем уравнений, укладывающимся в соответствующие абстрактные рамки. Ко второму мы отнесем результаты, изначально лежащие в области дифференциальных уравнений и во многом основанные на использовании структуры конкретных дифференциальных операторов. Впервые такие исследования встречаются в работе А.Пуанкаре, затем при исследовании системы Навье - Стокса исследования такого рода проводились в работах Озеена [166], Лере, Шаудера [158, 159].

Но первые, по-настоящему глубокие исследования начально-краевых задач для уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени, проведены С.Л.Соболевым [117, 118, 119, 120, 121], поэтому такие уравнения, в частности уравнение (0.2), следуя устоявшейся традиции [22, 83, 108, 174], будем называть "уравнениями соболевского типа" или "уравнениями типа Соболева".

А.Г.Костюченко и Г.И.Эскин [63, 141] установили разрешимость задачи Коши для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, в классе экспоненциально растущих функций.

R.E.Showalter и T.W.Ting в работе [176] рассматривают уравнение (0.2) с дифференциальными операторами L и М, где г=1 j=1 J г=1 j=1 г J г=1 1 х Е £2 С R", ft - ограниченная область, domL и domМ плотны в гильбертовом пространстве £г(Г2) = U — Т. Решается обобщенная смешанная краевая задача, доказывается теорема существования и единственности решения. Обсуждается асимптотическое поведение решений.

А.П.Осколков [80, 81, 82] исследовал разрешимость в пространствах Соболева и в пространствах Гельдера начально-краевой задачи в цилиндре а х (о, т) и(х, 0) = щ(х), х Е Q, u(x,t) = 0, (x,t) ЕдПх (0,Т), для системы уравнений

Л - \/2)щ — v у2 и + VP = /> V • и = 0.

Здесь и : ft х (0,Г) -> Еп, р : ft х (0,Т) -> R, I/ > 0, Л > -Аь Ai -наименьшее собственное число спектральной задачи

Av + VP — Аг;, у • v = 0, w = 0 на dfl.

Работы В.Н.Врагова и его учеников [12, 23, 27] посвящены исследованию разрешимости начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений соболевского типа.

А.И.Кожанов [52], распространяя теорию уравнений в частных производных составного типа на уравнения нечетного порядка, в частности рассматривает уравнения вида

1-А)щ = Ви + /(х,Ь), где А,В- дифференциальные по пространственным переменным операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А и В.

В работе [53] А.И.Кожанов сформулировал корректную постановку начально-краевой задачи для уравнения Ащ + Ви = f(x, £), где А, В -эллиптико-параболические дифференциальные (по х) операторы второго порядка, а оператор А + В эллиптичен. Получены теоремы о разрешимости такой задачи и о поведении решений на бесконечности.

В монографии Г.В.Демиденко и С.В.Успенского [22] систематически изложены результаты цикла работ авторов [18, 19, 127, 128, 129], касающиеся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. В [22] проведена более тонкая классификация уравнений соболевского типа в частных производных: на уравнения простого соболевского типа, псевдопараболические уравнения и псевдогиперболические уравнения. Среди систем уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени, выделены системы соболевского типа и псевдопараболические системы. С использованием методов построения приближенных решений и получения Lp-оценок решений [18, 19, 20, 21] изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского типа. Кроме того, на основе теорем вложения для функциональных пространств Соболева - Винера исследованы асимптотические свойства решений краевых задач для уравнений соболевского типа в цилиндрических областях [127, 128].

Исследование задачи (0.1), (0.7) в конечномерном случае (Ы = Мп, р = М""1, L, М - постоянные матрицы размера (т х п)), проведено еще К.Вейерштрассом для регулярных и Л.Кронекером для сингулярных пучков квадратных (т = п) матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р.Гантмахера [15, гл. XII], (Пучок квадратных матриц М+цЬ называется регулярным, если определитель \М+цЬ\ не равен тождественно нулю, иначе пучок называется сингулярным.)

Ю.Е.Бояринцев и В.Ф.Чистяков [4, 5, 133, 134, 135, 136, 137] продолжили исследование конечномерной задачи, используя различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных (га ф п) матриц. В том числе исследованы случаи уравнений с матрицами, зависящими от t.

М.И.Вишик [10] исследовал задачу (0.1), (0.2) для случая, когда Т - сепарабельное гильбертово пространство, пространство Ы плотно и непрерывно вложено в Т, операторы L и М фредгольмовы, L самосопряженный и положительно определенный. Методом Галеркина - Петрова установлены существование и единственность решения, кроме того описана его непрерывная зависимость от /(£) и от начального значения щ.

Однородную задачу (0.1), (0.2) изучали математики из школы С.Г.Крейна. Продолжая традицию, восходящую к К.Вейерштрассу и Л.Кронекеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка М + цЬ. (Пучок М+fiL называется регулярным, если

За > 0 Уде С (|/i| > а) => ((М + € С{^\Ь1))).

В работе [79] В.Б.Осипов рассмотрел случай, когда операторы L, М замкнуты, U = Т, domМ С domL, kerL Ф {0}, M[kerL] П imL = {0}. Показано, что если

ЗК>0 ЭаеМ VuedomM Мц € С (Re/z > а) (||(/iL - М)~1Ьи\\и < щ^Н*) , то для любого щ € im^o-k — M)~lL задача (0.1), (0.2) разрешима.

С.Г.Крейн и В.Б.Осипов [65] изучали однородную задачу с линейными ограниченными операторами L,M в банаховом пространстве U. При этом они использовали метод, предложенный С.Г.Крейном и С.Д.Эйдель-маном, который основан на построении функции Ляпунова. Показано, что если, в отличие от оператора L, оператор М или при некотором ji оператор М + \iL обратим, то решения однородного уравнения (0.2) заполняют некоторое собственное подпространство. В этом подпространстве задача Коши однозначно разрешима.

С.П.Зубовой и К.И.Чернышевым [35, 36] исследован случай, когда U, Т - банаховы пространства, L - замкнутый фредгольмов, М - ограниченный оператор. Для регулярного случая доказана однозначная разрешимость однородной задачи Коши при начальных значениях из некоторого подпространства с конечным дефектом. Решение неоднородной задачи Коши (0.1), (0.2) существует для достаточно гладких функций /(£), определенным образом согласованных с начальными данными.

С.Г.Крейн и К.И.Чернышов [67] исследовали сингулярно возмущенные уравнения

Ь + еК)^ = Мщ. (0.8) at

Здесь операторы K,L, М : U —» F линейны, L замкнут, фредгольмов, kerL {0}, оператор К ограничен. Показано, что при некоторых условиях u£(t) стремится к решению уравнения (0.2) при е —> 0.

С.П.Зубовой [34] построено решение задачи и£(0) = для уравнения (0.8). При некоторых условиях на операторы L,K,M найден критерий сходимости решения этой задачи к решению задачи (0.1), (0.2) при е —» 0. Рассмотрен случай когда решения и£ переходят из одного подпространства в другое при е —> 0.

Исходя из ряда физических задач, в работе J.E.Lagnese [156] исследована задача (0.1), (0.2) в гильбертовом пространстве. Причем оператор L - самосопряженный, ker L -ф {0}, domL С domМ, domL С domМ*, ker L инвариантно относительно оператора М. Условия однозначной разрешимости неоднородной задачи предполагают некоторые условия гладкости функции f(t) и согласованности ее с начальными данными.

Б.Кведарас, И.Мационис [49] рассмотрели задачу (0.1), (0.7) с операторами L, М € £{U) и сильно измеримой функцией / : [0, to] —> li. Исследован вопрос о разрешимости уравнения (0.7), и отчасти однородного уравнения (0.2), при тех же условиях на оператор L, что и в [65], но без ограничений на оператор М. Показано, что и в этом случае решения уравнения заполняют некоторое подпространство в U. Приведены условия однозначной разрешимости задачи Коши, указаны случаи, когда уравнение (0.2) имеет лишь тривиальное решение.

Используя методы классического и локального преобразования Лапласа и спектральную теорию операторных пучков, А.Г.Руткас [103] исследовал задачу (0.1), (0.7) в случае, когда U, Т - банаховы пространства, L, М - линейные ограниченные операторы. В статье охарактеризованы нормальные решения, корректная и диссипативная задача Коши, описано начальное многообразие при различных условиях. Результаты исследования применяются к задачам рассеяния и прохождения сигналов в дискретных структурах.

Результаты [103] обобщены в работе Н.И.Радбель [95] для однородного уравнения (0.2) с замкнутыми операторами L, М. На основе спектральных свойств операторного пучка М + fiL исследовано начальное многогообразие задачи Коши, определена корректная и диссипативная задача Коши. Рассматривается частный случай domL с domМ.

A.Favini [149] вводит в рассмотрение задачу zLu{t) = Mu{t) + /(£) (0 < t < оо) (0.9)

CLL lim Lu(t) — щ t—o+ c замкнутыми линейными операторами L, M. В [150] он рассматривает то же уравнение на конечном отрезке [0,Т] с начальным условием Lu(0) = Ьщ, domL Э domМ Э щ, U = Т. В терминах оператора

M(/iL — M)~l сформулированы теоремы существования и единственности решения этих задач при некоторых условиях на начальное значение щ и гладкость функции /(£)•

В работе M.Povoas [169] обобщаются результаты G.Da Prato и P.Gris-vard [144] на случай задачи Lu(0) = Ьщ для уравнения (0.9) на конечном отрезке. При этом оператор L самосопряженный неотрицательный, М - инфинитезимальный генератор сильно непрерывной полугруппы, пространство U — Т - гильбертово. Установлены существование и единственность решения. Полученные результаты прилагаются к системе уравнений Максвелла в неоднородной анизотропной среде с нулевыми начальными и диссипативными граничными условиями, а также к симметричной системе вида

О - область в R".

Н.А.Сидоров [113] доказал существование и единственность решения однородной задачи (0.1), (0.2) с начальными значениями из некоторого подпространства для случая замкнутых, плотно определенных операторов L, М, где L фредгольмов.

Н.А.Сидоров и М.В.Фалалеев [115] исследовали задачу Коши для линейного уравнения типа Соболева (0.2) с замкнутым фредгольмовым оператором L, замкнутым оператором М, банаховыми пространствами Ы, domL С domМ. Кроме того, предполагается, что оператор L имеет полный М-жорданов набор, a f(t) - достаточно гладкая функция. Обобщенное решение уравнения (0.2) построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятий псевдообратного, фундаментального операторов.

Как уже было замечено, с задачей (0.1), (0.7) тесно связана задача исследования спектра пучка операторов fiL — М или, другими словами, L-спектра оператора М аь{М) = С \ pL(M), pL(M) = {fi £ С : fib — M)-1 e C{J-\U)}. Спектральная задача цЬи = Mu исследовалась С.Г.Пятковым в случае, когда М неограниченный симметрический положительно определенный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве, L самосопряженный невырожденный оператор. В работах [92, 93] найдены достаточные условия базисности по Риссу собственных функций этой задачи в терминах интерполяционных пространств. В работе [93] показано, что эти условия близки к необходимым. Приведены различные примеры, в которых М - дифференциальный оператор, скажем, эллиптический, a L - оператор умножения на функцию. В работе [94] такие результаты были получены в случае самосопряженных операторов М, L. Кроме того, здесь рассмотрен вопрос об ограниченности проекторов Рисса, соответствующих неограниченной компоненте спектра позитивного оператора.

А.А.Шкаликовым [140] спектральная задача \xLu — Ми рассматривалась в случае, когда оператор L симметричен и равномерно положителен, а М - самосопряженный положительный оператор, возмущенный оператором, подчиненным оператору L в смысле квадратических форм. Рассматриваемый линейный пучок операторов является абстрактной моделью для известной в гидромеханике задачи Орра - Зоммерфельда. В шкале соболевских пространств, связанных с заданными операторами, пучку операторов fiL — М ставится в соответствие оператор Т = где Lf - расширение по Фридрихсу оператора L. Область определения оператора Т подобрана таким образом, чтобы его спектр совпадал со спектром пучка. Исследован вопрос базисности Рисса корневых векторов оператора Т.

Как уже было сказано, одной из основных задач данной работы является обобщение теории полугрупп операторов на случай полугрупп уравнения (0.2), или, как уже было замечено, на случай вырожденных полугрупп операторов.

Обобщение классической теории полугрупп в настоящее время идет сразу в нескольких направлениях. Один из путей обобщения - получение некоторых семейств операторов, дающих решение уравнения (0.2) в более общем смысле. В 60-е-70-е годы в работах [160, 181, 182] появилось понятие регулярной полугруппы распределений и было доказано, что существование ее является необходимым и достаточным условием обобщенной корректности. Полугруппам распределений в локально выпуклых пространствах посвящена работа [42].

Введение понятий экспоненциально ограниченной п раз интегрированной и локальной п раз интегрированной полугрупп {V1 : t > 0} позволило [77, 143, 146, 153, 164] в случае, когда задача Коши v(0) = vq для уравнения (0.4) некорректна, но оператор А порождает такую полугруппу, получить решение этой задачи dnyt

V^ = V° Е donb4n' устойчивое относительно изменения vo по норме ||fo||n = lbo||v+||^o||v+ • • • + ||Апг>о||у (так называемая, п — w-корректность [77]). W.Arendt [143] обобщил теорему об инфинитезимальных генераторах на случай п раз интегрированных полугрупп.

В случае, когда оператор А является генератором экспоненциально ограниченной С-полугруппы [77, 145, 146, 147, 163, 178, 179, 180] {V* : t > 0}, удается получить решение v(t) — C~1Vtv0 задачи Коши для уравнения (0.4). Это решение получено для vq £ C[domA] и устойчиво относительно нормы Ц^оЦс-1 = \\щ\\ы + \\C~1vq\\u< Для С-полугрупп также доказан аналог теоремы Хилле - Иосиды.

В работе И.В.Мельниковой и А.И.Филинкова [77], в частности, показана схема связей между генераторами упомянутых классов полугрупп уравнения (0.4). Кроме того, И.В.Мельниковой [74] было исследовано дифференциальное включение с многозначным линейным оператором А ju(t) е Au(t), к которому можно редуцировать уравнение (0.2). В частности были найдены условия в терминах оценок на резольвенты оператора Л и расщепления банахова пространства в прямую сумму doiru4.n © Дп0, необходимые и достаточные для (п, -корректности и п-корректности задачи Ко-ши для включения. При этом речь идет о существовании решения задачи на полупрямой или, во втором случае, локальной задачи Коши, экспоненциально устойчивого относительно изменения начального значения в смысле более сильной нормы. Доказательства упомянутых результатов основаны на использовании понятий вырожденных п раз интегрированных полугрупп и их генераторов. В той же работе [74] установлена связь п-корректности задачи Коши (0.1) для дифференциального включения и корректности этой задачи в смысле распределений. Соответствующий результат для уравнения (0.4) установлен в [73]. Понятно, что при этом речь уже идет о существовании полугрупп распределений, вырожденных или нет.

Объектом нашего интереса являются полугруппы, дающие классическое решение задачи (0.1), (0.2). Такие полугруппы ранее рассматривались в работах [74, 75, 76, 138, 151, 152, 183], причем подходы авторов к задаче построения полугрупп существенно различаются. Обзор соответствующих результатов будет произведен в следующем параграфе в процессе сравнительного анализа с результатами автора. Здесь же отметим работы Г.А.Свиридюка и его учеников. В работах Г.А.Свиридюка [106, 108, 109] были использованы методы теории полугрупп операторов при исследовании как линейного, так и полулинейного (М = М(и) -нелинейный оператор) уравнения соболевского типа. Эти методы получили свое развитие в работах учеников [3, 6, 28, 31, 32, 50, 68, 122, 123, 142, 234], касающихся и линейного, и полулинейного уравнения.

Краткое содержание диссертации и сравнительный анализ с известными результатами

Сразу заметим, что результаты, составляющие содержание диссертации, получены автором как для случая банаховых (кроме части результатов третьей главы и большей части четвертой главы), так и для случая локально выпуклых пространств. В обоих случаях суть результатов совпадает, что неудивительно, поскольку и для невырожденных равностепенно непрерывных полугрупп операторов дело обстоит таким же образом, как это было замечено выше. Однако при переходе от случая банаховых пространств к случаю локально выпуклых пространств автору пришлось преодолеть определнные, временами весьма существенные трудности технического характера. Сформулированы же результаты диссертации в максимальной степени общности (в подавляющем большинстве случаев - для локально выпуклых пространств.)

Если речь в дальнейшем будет идти о двух разрешающих (полугруппах уравнения (0.2), то под ними будем подразумевать разрешающие полугруппы уравнения (0.2) и уравнения L(aL — M)~lg — M(aL — М)~1д, заданного на пространстве Т и эквивалентного уравнению (0.2) при а € pL(M).

Первая глава посвящена построению теории сильно непрерывных вырожденных полугрупп. Ранее полугруппы такого класса в локально выпуклых пространствах, по-видимому, не рассматривались. Основные результаты главы, сформулированные для банаховых пространств, опубликованы автором в работах [185, 188, 190].

П. 1.1 носит вспомогательный характер и содержит сведения о свойствах относительных р-резольвент операторов в линейных топологических пространствах, доказанные ранее в [108, 214, 196].

Заметим, что классическая теория равностепенно непрерывных (Со)-полугрупп в локально выпуклых пространствах изложена в [47]. На основе этих результатов в п.п. 1.2, 1.3 обобщено понятие (L, ^-радиального оператора в банаховых пространствах [188] на случай секвенциально полных локально выпуклых пространств [200]. При условии (L,p)-радиальности оператора М полугруппа уравнения (0.2) построена двумя способами: с помощью аппроксимаций типа Иосиды и с помощью аппроксимаций типа Хилле - Уиддера - Поста. Ее ядро (ядро ее единицы) при этом состоит из собственных и М-присоединенных векторов оператора L высоты не больше р. Однако полугруппа определена лишь на подпространстве U =Ы° ф U1. При этом подпространство Ы° является ядром полугруппы, а ее сужение на U1 является полугруппой класса (Со).

Надо заметить, что в банаховых пространствах аналогичные результаты при р = 0 были получены ранее в работах A.Yagi [183], И.В.Мельниковой и ее учеников [74, 75], Г.А.Свиридюка [109]. Соответственно полугруппы, построенные в этих работах с помощью аппроксимаций типа Иосиды, вырождаются лишь на ядре ker L.

В п. 1.4 при условии (L, ^-радиальности оператора М показано, что фазовое пространство уравнения (0.2) совпадает с образом его полугруппы [190].

В п. 1.5 введены условия сильной (Ь,р)-радиальности оператора М справа и слева, достаточные для совпадения соответственно U = W®Ul и Т ~ J^ ©JF1 и поэтому достаточные для того, чтобы полугруппа была задана на всем пространстве.

Введенное в п. 1.6 еще более жесткое условие сильной (Ь,р)~радиальности достаточно для непрерывной обратимости оператора L\ = L , а и1 также для того, чтобы, как показано в п. 1.7, сужение полугруппы на подпространство U1 порождалось оператором L^lMi.

В п. 1.8 сформулированы пять условий в терминах сильно непрерывных полугрупп, необходимые и достаточные для сильной (L, ^-радиальности оператора М. Этот результат совпадает с теоремой Хилле - Иосиды при L — I и поэтому является ее обобщением на случай вырожденных полугрупп.

Задачей п. 1.9 является рассмотрение случая полурефлексивных локально выпуклых пространств. Показано, что при этом для получения расщеплений пространств в прямые суммы U = U° ®Ul и Т = Ф F1 достаточно лишь (£,р)-радиалыюсти оператора М. Оператор Li при этом также будет обратим, но обратный не будет непрерывным. Некий вариант обобщения теоремы Хилле - Иосиды при этом также возможен, следствием чего явился тот факт, что в полу рефлексивном пространстве (1/,р)-радиальность оператора равносильна его сильной (L,p)~ радиальности справа и слева. Идея использования рефлексивности пространства в банаховом случае при р = 0 восходит к A.Yagi [183].

Заметим, что различные авторы используют различные подходы при исследовании сильно непрерывных полугрупп уравнения (0.2). A.Yagi [183] использует теорию многозначных линейных операторов. В.С.Ша-роглазовым [138], на основе результатов, полученных Н.А.Сидоровым [113], построена на некотором подпространстве Co-непрерывная полугруппа, разрешающая однородное уравнение (0.2) с замкнутыми, плотно определенными операторами L, М (L фредгольмов). И.В.Мельниковой и М.А.Альшанским [75] получен следующий вариант обобщения теоремы Хилле - Иосиды: существует полугруппа уравнения (0.2), вырождающаяся на ядре kerL, в том и только в том случае, когда для пары оераторов L, М выполняются условия типа Миядеры - Феллера -Филлипса - Хилле - Иосиды и имеет место равенство U = ker(^L — M)~lL®\m{^L — M)~lL. Кроме того, И.В.Мельниковой [74] введено понятие генератора вырожденной полугруппы, который оказывается многозначным линейным оператором, и доказано, что для того, чтобы однозначный линейный оператор был сужением этого генератора на образ полугруппы, также необходимо и достаточно выполнение условий Миядеры - Феллера - Филлипса - Хилле - Иосиды.

Методы диссертанта наследуют и обобщают методы, использованные в [109]. Одним из достоинств такого подхода можно считать тот факт, что расщепления исходного пространства в прямую сумму изначально не требуется, оно следует из оценок на резольвенту, что бывает удобно в приложениях (см. гл. 5).

Вторая глава посвящена, главным образом, исследованию сильно непрерывных групп уравнения соболевского типа, ее результаты опубликованы в работах [189, 190].

В п.п. 2.1, 2.2 понятия (1/,р)-бирадиальности, сильной {Ь,р)~биради-альности справа и слева, а также сильной (L, р)-бирадиальности оператора сформулированы как для случая банаховых [189, 197], так и для случая секвенциально полных локально выпуклых пространств [205]. Все результаты предыдущей главы, касающиеся сильно непрерывных полугрупп, доказаны для сильно непрерывных групп. Отметим среди них, во-первых, теорему о существовании группы уравнения (0.2) на подпространстве U при условии (L, р)-бирадиальности оператора М. В случае полурефлексивности пространства U мы также имеем U = U. Кроме того, отметим теоремы о необходимых и достаточных условиях (Ь,р)~ бирадиальности оператора в полурефлексивных пространствах и о необходимых и достаточных условиях сильной (£,р)-бирадиальности оператора в произвольных секвенциально полных локально выпуклых пространствах. Эти теоремы обобщают теорему об инфинитезимальных генераторах равностепенно непрерывных (Со)-групп [47, 132].

В п.п. 2.3, 2.4 строится теория относительно диссипативных операторов в банаховых пространствах [203].

Критерием радиальности с константами а = 0, К = 1 [188] оператора А, действующего в банаховом пространстве, является максимальная диссипативность [2, 47, 48, 161] оператора. Оператор А называется дис-сипативным (а оператор —А аккретивным), если

Rе[и, Аи] <0 Via € dom А.

Диссипативный оператор будем называть максимально диссипативным (—А максимально аккретивным), если im(I — А) = V.

В работе [183] A.Yagi обобщил понятие аккретивного оператора на случай многозначных операторов и применил полученные результаты к исследованию неоднородных уравнений вида (0.7). В п.п. 2.3, 2.4 обобщение понятия диссипативного (или аккретивного) оператора построено таким образом, чтобы можно было применить результаты первой главы и п.п. 2.1, 2.2 второй главы. Введенное понятие L-диссипативности проще проверяется в приложениях, чем (£,р)-радиальность. Правда, из L-диссипативности оператора М следует лишь (L, 0)-радиальность.

Показано, что из L-диссипативности оператора М в случае рефлексивных банаховых пространств следует существование сжимающей сильно непрерывной полугруппы уравнения (0.2). Для того чтобы включить в наши рассмотрения не только сжимающие, но и экспоненциально ограниченные полугруппы, мы рассмотрели случай L-диссипативного оператора М — aL при некотором fl£l.

Кроме того, в терминах L-диссипативности получены достаточные условия существования вырожденной группы унитарных операторов, разрешающей уравнение (0.2).

В п.п. 2.5, 2.6 получены некоторые обобщения классической спектральной теории самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах на случай относительного спектра, которые, впрочем имеют существенное ограничение при их применении - требование плотности в пространстве Т множества L[domM].

Третья глава посвящена построению теории экспоненциально ограниченных сильно голоморфных в секторе полугрупп на случай полугрупп уравнения (0.2). Основные результаты этой главы, касающиеся банаховых пространств, опубликованы в работах [184, 186, 187, 190, 191]. В работе [193] рассмотрены сильно голоморфные полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах.

Голоморфные в секторе полугруппы уравнения (0.2) в банаховых пространствах, вырождающиеся лишь на ядре оператора L, рассмотрива-лись также в работах A.Favini, A.Yagi [152].

Заметим, что невырожденные голоморфные полугруппы в секвенциально полных локально выпуклых пространствах рассмотрены в монографии [47]. Основным результатом соответствующей теории является теорема Соломяка - Иосиды (терминологию см. в [62]) об инфинитези-мальных генераторах равностепенно непрерывных голоморфных в секторе полугрупп. Во множестве работ, посвященных этой теореме, главным образом, в случае банаховых пространств [47, 51, 59, 62, 132, 177], представлены ее различные эквивалентные формулировки. Представляющаяся наиболее удобной для обобщения формулировка автором дана при постановке задачи.

Подчеркнем, что в данной главе рассматривается ослабленная задача Коши [64] для уравнения (0.2), то есть речь идет о решениях класса Cl{R+-,U)nC(R+\U).

В п. 3.1 введено понятие (£,р)-секториального оператора. В п. 3.2 при условии (1/,р)-секториальности оператора М показано существование сильно голоморфной в секторе полугруппы, которая задается интегралами типа Данфорда - Тейлора. Отметим отсутвие единицы у этой полугруппы. Получены оценки на рост по t вырожденной полугруппы и ее производных.

П. 3.3 содержит исследование структуры ядер и образов полугрупп уравнения (0.2) при условии (L, р)-секториальности оператора М. Итоговым результатом параграфа является теорема о совпадении фазового пространства уравнения (0.2) с образом его полугруппы. Следствием этого результата является установление голоморфности любого ослабленного решения уравнения (0.2) с (£,р)-секториальным оператором М.

В п. 3.4 исследуется вопрос существования единицы построенной сильно голоморфной в секторе полугруппы. В случае полу рефлексивного пространства этот вопрос решается положительно. Если же секвенциально полные локально выпуклые пространства полурефлексивными не являются, то, накладывая дополнительные условия сильной (L, р)-сектори-альности справа и слева, получим полугруппы с единицами, которые расщепляют пространства U и F в прямые суммы ядер и образов полугрупп.

В п. 3.5 введено понятие сильной (1/,р)-секториальности. С его помощью показана непрерывная обратимость оператора L\. Кроме того, в п. 3.5 доказано, что сужение полугруппы уравнения (0.2) на ее образ порождается оператором L[lM\.

В п. 3.6 получены обобщения теоремы об инфинитезимальных генераторах равностепенно непрерывных сильно голоморфных в секторе полугрупп, отдельно для полурефлексивного и для произвольного пространства. Эти теоремы имеют вид необходимых и достаточных условий (£,р)-секториальности и сильной (1/,р)-секториальности соответственно в терминах полугрупп операторов.

П. 3.7 содержит условия на операторы L, М, при которых существует полугруппа уравнения (0.2) (без единицы) с ядром, содержащим не только М-присоединенные векторы высоты не больше р, как в преды-ущих главах и параграфах, но и М-присоединенные векторы сколь угодно большой высоты. Построен соответствующий пример.

Далее в этой главе изучаются вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов, аналогом которых в невырожденном случае являются полугруппы операторов класса (Л)оо [132, с.393]. Сначала в п. 3.8 введено в рассмотрение (р,ф(т))-усло1те с функцией ip G Ф для пары операторов (L,M), достаточное для существования бесконечно дифференцируемой в сильной топологии полугруппы уравнения (0.2) (п. 3.9). В п. 3.10 показано, что если пара (L,M) удовлетворяет усиленному (р,ф(т))-условию, то фазовым пространством уравнения (0.2) является замыкание образа правой (1/,р)-резольвенты оператора М. В п 3.11 исследованы ядра и образы полученных полугрупп операторов. Отметим, что усиленное (р, |т|) условие на пару операторов (L, М) в точности означает (£,р)-секториальность оператора М.

Результаты четвертой главы опубликованы автором в работе [192]. В ней исследованы вырожденные равностепенно непрерывные сильно голоморфные в плоскости группы в локально выпуклых пространствах.

Невырожденные группы этого класса рассматривались Я.В.Радыно [97, 99]. Показано, что если оператор А регулярен, то он порождает такую группу. Оператор А € Lec(V) называется регулярным [96, 98, 99], если он является регулярным элементом выпуклой борнологической алгебры Lec(V), где V - локально выпуклое пространство. Поскольку ограниченный оператор является регулярным элементом банаховой алгебры £(V), где V - банахово пространство, то понятно, что регулярный оператор в локально выпуклом пространстве - естественное обобщение понятия ограниченного оператора в банаховом пространстве. Отметим еще, что регулярность оператора А в точности означает ограниченность его регулярного спектра сгг (Л) = С \ {/i € С : (/i/ — A)~l регулярен }.

Заметим, что различные условия разрешимости задачи (0.4), (0.5) с непрерывным оператором А, в том числе и более общие, чем регулярность этого оператора, рассмотрены в [69].

Вырожденные группы уравнения (0.2) в банаховых пространствах, аналитические во всей плоскости, рассматривались ранее Г.А.Свиридю-ком [106, 108] и автором [194, 198] при условии (L, <т)-ограниченности оператора М, которое в точности означает ограниченность L-спектра оператора М.

В п. 4.1 введено понятие регулярного L-спектра оператора М сг^(М) — С \ {jj, 6 С : (/iL — M)1L регулярен }. Показано, что регулярный L-спектр замкнут, а L-резольвента (fiL — М)~1 оператора М сильно голоморфна на дополнении к нему даже в случае локально выпуклого пространства.

В. п. 4.2 рассмотрено понятие (L, <т)-регулярного оператора М, которое обобщает понятие (L, (т)-ограниченного оператора на случай локально выпуклых пространств в том же смысле, в котором регулярный оператор является обобщением ограниченного. При условии (L, (^-регулярности оператора М получены пары инвариантных подпространств операторов L и М. (Парами инвариантных пространств операторов L и М, согласно [35, 36], мы назовем подпространства Кк, Тк, к = 0,1, такие, что

U = U°®U\ ^ = L[Uk] M[domM П Uk] С Fk, к = 0,1, существуют операторы Ьг 1 6 C{!Fl\Ul), М0 1 е где Lk =

L , Mfc = М , к = 0,1.) Кроме того, в п. 4.2 функция (yuL —

Ык dom МШк

М)~1 разложена в ряд Лорана в окрестности бесконечности и рассмотрены случаи устранимой особой точки, полюса и существенной особой точки в бесконечности.

П. 4.3 содержит теорему о существовании сильно голоморфных во всей плоскости групп уравнения (0.2), задаваемых интегралами типа Данфорда - Тейлора. Также здесь исследованы ядра и образы групп. Показано, что в случае устранимой особой точки оператор-функции (цЬ — М)-1 в бесконечности полугруппа уравнения (0.2) вырождается только на ядре оператора L, в случае полюса порядка р- на М-присоединенных векторах оператора L высоты не больше р, в случае же существенной особой точки ядро группы содержит М-присоединенные векторы сколь угодно большой высоты.

В п. 4.4 установлены соотношения между условиями (L, ^-регулярности, сильной (1/,р)-секториальности и сильной (1/,р)-бирадиальности оператора М. Затем показано, что фазовое пространство уравнения (0.2) совпадает с образом его разрешающей группы. Отсюда следует, что любое решение уравнения (0.2) с (L, <т)-регулярным оператором М голоморфно во всей плоскости.

В п. 4.5 сформулированы теоремы о необходимых и достаточных условиях (L, а)-регулярности оператора М в терминах целых групп операторов.

Пятая глава посвящена неоднородной задаче (0.1), (0.7) и приложению полученных в предыдущих главах абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам. Основные результаты главы опубликованы автором в работах [186, 188, 189, 192, 193].

В п. 5.1 доказаны теоремы о разрешимости задачи (0.1), (0.7) в локально выпуклых пространствах в случаях сильно (L, р)-радиального, сильно (L, р)-секториального, (L, сг)-регулярного оператора М. Для доказательства этих теорем пришлось сначала сформулировать и доказать результаты о разрешимости задачи Коши для уравнений v(t) = Av(t) + f(t) в локально выпуклом пространстве с радиальным и секториальным операторами А, взяв за основу соответствующие результаты в банаховых пространствах [51, 131, 168]. Невырожденная задача в локально выпуклом пространстве с регулярным оператором А рассмотрена ранее в [99].

В п. 5.2 в гильбертовом пространстве 7i рассмотрено уравнение

P(A)u{t) = Q{A)u(t) + /(£), (0.10) где А - самосопряженный оператор, Р(A), Q(A) - непрерывные функции. Это уравнение сведено к уравнению (0.7) и получены некоторые результаты об относительном спектре операторов этого уравнения [211].

П. 5.3 посвящен рассмотрению уравнения (0.10) в случае, когда Р{\), Q(А) - многочлены. Получен ряд теорем, устанавливающий сильную (Р(А), 0)-радиальность, сильную (Р(А), 0)-бирадиальность, сильную (Р(А), 0)-секториальность или (Р(А), ст)-регулярность оператора Q{A) в построенных пространствах в зависимости от расположения спектра оператора А, порядка многочленов и соотношения их старших коэффициентов [211].

В п. 5.4 с помощью результатов п. 5.3 установлена разрешимость начально-краевых задач для уравнений в частных производных высокого порядка в пространствах Соболева. Именно, речь идет об уравнении (0.10) с многочленами от эллиптического оператора А высокого порядка [211]. Такой вид с оператором Лапласа в качестве А имеют многие уравнения теории фильтрации, например, уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной, уравнение Осколкова, уравнение свободной поверхности фильтрующейся жидкости [199]. В п. 5.5 те же задачи рассмотрены в пространстве Фреше, являющемся проективным пределом пространств Соболева.

В п. 5.6 задача Коши во всем пространстве для полиномиального дифференциального уравнения соболевского типа с частными производными исследована с применением преобразования Фурье в пространствах Соболева. Эти методы позволяют исследовать в определенном смысле более общие уравнения, чем рассмотренные в п. 5.4, 5.5, в частности некоторые уравнения типа уравнения волн Россби.

П. 5.7 посвящен построению специальных пространств Фреше по замкнутому плотно определенному в некотором гильбертовом пространстве оператору А. Это так называемые пространства функций А-экспо-ненциального типа, не превосходящего т G R+. В таком пространстве оператор А становится ограниченным, что позволяет рассматривать уравнение (0.10) с трансцендентными функциями Р, Q от оператора А. Найдены достаточные условия (Р(А), <т)-регулярности оператора Q(A). В п. 5.8 найдены условия, при которых оператор Q(A) сильно (Р{А), 0)-ра-диален или сильно (Р(А), 0)-секториален в индуктивном пределе шкалы пространств А-экспоненциального типа. В пп. 5.7, 5.8 сформулированы теоремы о разрешимости уравнения (0.10).

Описанная абстрактная схема, применнная к некоторому дифференциальному оператору, позволила в пп. 5.9, 5.10 исследовать задачи для дифференциальных уравнений бесконечного порядка, в том числе задачу с бесконечным числом граничных условий.

В п. 5.11 использована связь, задаваемая рядом Тейлора, между оператором смещения по пространственной переменной и целой функцией от оператора дифференцирования. Это позволило исследовать периодическую задачу для дифференциально-разностного уравнения. Отметим, что в этом случае ядро оператора при производной по времени может быть бесконечномерным.

В п. 5.12 установлена однозначная разрешимость линеаризованной системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопиче-ской теории фазовые переходы первого рода.

В п. 5.13, 5.14 приведены примеры уравнений, полугруппы которых вырождаются не только на ядре оператора при производной по времени, но и на его относительно присоединенных векторах. Причем задача п. 5.13 показывает, что предлагаемые в данной работе методы пригодны и в случае, когда операторы L и М не коммутируют.

На защиту выносятся следующие результаты:

- обобщение теоремы Хилле - Иосиды на случай экспоненциально ограниченных вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах, имеющее вид необходимых и достаточных условий для существования разрешающих сильно непрерывных полугрупп линейных уравнений соболевского типа и существования пар инвариантных подпространств операторов уравнения;

- обобщение теоремы о генераторах сильно непрерывных групп операторов на случай экспоненциально ограниченных вырожденных групп;

- обобщение теоремы о существовании разрешающих сжимающих полугрупп операторов на случай уравнения соболевского типа посредством наложения условия относительной диссипативности оператора, обобщающего условие диссипативности;

- обобщение теоремы Стоуна - Иосиды о существовании разрешающих унитарных групп операторов на случай уравнения соболевского типа;

- обобщение теоремы Соломяка - Иосиды на случай экспоненциально ограниченных вырожденных полугрупп операторов, имеющее вид необходимых и достаточных условий для существования разрешающих сильно голоморфных полугрупп линейных уравнений соболевского типа и существования пар инвариантных подпространств операторов уравнения;

- теорема о существовании бесконечно дифференцируемых полугрупп уравнений соболевского типа;

- теорема о необходимости и достаточности относительной спектральной регулярности оператора для существования разрешающих сильно голоморфных групп линейного уравнения соболевского типа в локально выпуклых пространствах, порожденных регулярным оператором, и существования пар инвариантных подпространств операторов уравнения;

- теоремы о разрешимости задачи Коши для линейных неоднородных уравнений соболевского типа, принадлежащих одному из рассмотренных выше классов;

- теоремы о разрешимости задачи Коши для линейных неоднородных уравнений соболевского типа с операторами, являющимися непрерывными функциями от самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве;

- теоремы о разрешимости начально-краевых задач для линейных неоднородных уравнений соболевского типа в частных производных в подходящих пространствах Соболева, в частности для некоторых уравнений теории фильтрации, полученные редукцией к уравнениям с многочленами от самосопряженного эллиптического оператора в гильбертовых пространствах;

- теоремы о разрешимости задачи Коши во всем пространстве для линейных уравнений соболевского типа в частных производных в пространствах Соболева, в частности для некоторых уравнений типа уравнения волн Россби;

- теоремы о разрешимости задачи Коши в специально построенных пространствах Фреше для линейных неоднородных уравнений соболевского типа с операторами, являющимися целыми функциями от самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве;

- теоремы о разрешимости некоторых начальных и начально-краевых задач для линейных уравнений соболевского типа с дифференциальными операторами бесконечного порядка, полученные редукцией к уравнениям с целыми функциями от самосопряженного оператора;

- теорема о разрешимости периодической по пространственной переменной задачи для неоднородного дифференциально-разностного уравнения соболевского типа бесконечного порядка, полученная редукцией к уравнению с целыми функциями от дифференциального оператора, рассмотренному в подходящем пространстве Фреше;

- теорема о разрешимости линеаризованной системы уравнений фазового поля.

Рекомендации по использованию научных выводов. Результаты работы имеют теоретический характер и могут служить основанием для дальнейшего развития теории полугрупп операторов в линейных топологических пространствах. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют исследовать начально-краевые задачи для многих уравнений и систем уравнений математической физики, не разрешенных относительно производной по времени. Кроме того, они могут быть использованы при построении алгоритмов численного решения вырожденных систем дифференциальных уравнений, в частности системы уравнений Леонтьева.

На основе некоторых разделов диссертации могут быть разработаны специальные курсы лекций для аспирантов и студентов старших курсов математического факультета.

Исследования автора по теме диссертации были поддержаны грантами РФФИ (№ 97-01-00444, 98-01-10824, 00-01-10982, 03-01-10648), грантом Министерства образования РФ (шифр PD02-1.1-82), грантами Правительства Челябинской области и Министерства образования РФ (2002, 2003, 2004 гг.) и Государственной научной стипендией для молодых ученых 2000 - 2003 гг.

1. Александрян, Р.А. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными / Р.А. Александрян, Ю.М. Березанский, В.А. Ильин, А.Г. Костюченко // Дифференц. уравнения: тр. симпозиума - М.: Наука, 1980 - С.3-35.

2. Балакришнан, А.В. Прикладной функциональный анализ / А.В. Балакришнан.- М.: Наука, 1980 384 с.

3. Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. канд. физ-мат. наук: 01.01.02 / Т.А. Бокарева; РГПУ им. А.И. Герцена.-СПб, 1993.- 107 с.

4. Бояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев.-Новосибирск: Наука, 1988.- 158 с.

5. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1998 - 224 с.

6. Брычев, С.В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / С.В. Брычев; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 2002124 с.

7. Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства / Н. Бурбаки- М.: Иностр. лит., 1965 410 с.

8. Васильев, В.В. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения / В.В. Васильев, С.Г. Крейн, С.И. Пискарев // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ 1990 - Т.28 - С.87-202.

9. Васильев, В.В. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. I. Теория полугрупп / В.В. Васильев, С.И. Пискарев.-М: МГУ, 1996.- 164 с.

10. Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения /М.И. Вишик // Мат. сб.- 1956.- Т.38, вып.1,- С.51-148.

11. Волевич, J1.P. Обобщенные функции и уравнения в свертках / JI.P. Волевич, С.Г. Гиндикин М.: Физматлит, 1994 - 336 с.

12. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н.Врагов.- Новосибирск: НГУ, 1983,- 179 с.

13. Габов, С.А. Новые задачи математической теории волн / С.А. Габов М.: Наука. Физматлит, 1998.- 448 с.

14. Гальперн, С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Гальперн // Тр. Моск. мат. о-ва.- I960.- Т.9 С.401-423.

15. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер- М.: Наука, 1967.- 576 с.

16. Гринив, P.O. Операторные модели в теории упругости и гидромеханике и ассоциированные с ними аналитические полугруппы / О.Р. Гринив, А.А. Шкаликов // Мат. заметки 2000.- Т.68, вып.1-С.66-81.

17. Демиденко, Г.В. Задача Коши для псевдопараболических систем / Г.В. Демиденко // Сиб. мат. журн 1997.- Т.38, № б.- С. 1251-1266.

18. Демиденко, Г.В. Об одном классе краевых задач для системы Соболева / Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Дифференц. уравнения с частными производными.- Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989.— С.54-78.

19. Демиденко, Г.В. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши Ковалевской /Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Тр. ин-та математики СО РАН - 1994 - Т.26 - С.42-76.

20. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский,- Новосибирск: Научная книга, 1998 438 с.

21. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев- Ташкент: ФАН, 1979.- 155 с.

22. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // ДАН СССР- 1972 -Т.202, № 5.- С. 1031-1033.

23. Дубинский, Ю.А. Задача Коши в комплексной области / Ю.А. Дубинский.- М.: Изд-во МЭИ, 1996 180 с.

24. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов Новосибирск: Наука, 2000 - 336 с.

25. Егоров, И.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка / И.Е. Егоров, В.Е. Федоров.- Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995,- 133 с.

26. Ефремов, А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнения типа Соболева: 01.01.02 / А.А. Ефремов; Челяб. гос. унт Челябинск, 1996 - 102 с.

27. Забрейко, П.П. Об одном классе полугрупп / П.П. Забрейко, А.В. Зафиевский // ДАН СССР.- 1969,- Т.189, № 5.- С.934-937.

28. Забрейко, П.П. К теореме о замкнутом графике / П.П. Забрейко, Е.И. Смирнов // Сиб. мат. журн.- 1977,- Т. 18, № 2.- С.304-313.

29. Загребина, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / С.А. Замыш-ляева; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2002.- 100 с.

30. Замышляева, А.А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.А. Замышляева; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 2003,- 101 с.

31. Зорич, В.А. Математический анализ. 4.II / В.А. Зорич.- М.: Наука, 1984 640 с.

32. Зубова, С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве / С.П. Зубова // ДАН СССР,- 1982.- Т.264, вып.2- С.286-291.

33. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фред-гольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их применения Вильнюс, 1976 - Т. 14.- С.21-39.

34. Зубова, С.П. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, не разрешенных относительно производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышов // Методы решения операторных уравнений: сб. науч. работ- Воронеж, 1978 С.62-65.

35. Иванов, В.В. Резольвентная последовательность в вопросах порождения суммируемых полугрупп операторов / В.В. Иванов // ДАН,-1973.- Т.213, № 3.- С.282-285.

36. Иванов, В.В. Полугруппы линейных операторов в локально выпуклом пространстве / В.В. Иванов // Теория операторов в функциональных пространствах Новосибирск: Наука, 1977.- С.121-153.

37. Иванов, В.В. Возмущение равномерно суммируемых полугрупп операторов / В.В. Иванов // ДАН СССР.- 1980.- Т.250, № 2,- С.269-273.

38. Иванов, В.В. Равномерно суммируемые полугруппы операторов. I. Порождение полугрупп / В.В. Иванов // Исследования по геометрии и математическому анализу: тр. Ин-та математики СО РАН.-Новосибирск: Наука, 1987.- Т.7.- С.117-131.

39. Иванов, В.В. Равномерно суммируемые полугруппы операторов. II. Возмущение полугрупп / В.В. Иванов // Исследования по геометрии "в целом" и математическому анализу: тр. Ин-та математики СО РАН.- Новосибирск: Наука, 1987 Т.9.- С.117-131.

40. Иванов, В.В. Линейные эволюционные уравнения и полугруппы-распределения / В.В. Иванов // Оптимизация. Теория, численные методы и приложения: сб. науч. тр.- Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1990.- Т.48.- С.63-70.

41. Иванов, В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков.-М.: Физматлит, 1995.- 176 с.

42. Ильин, A.M. О поведении решения одной краевой задачи при t —> оо / A.M. Ильин // Мат. сб.- 1972.- Т.87, № 4.- С.529-553.

43. Ильин, A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / A.M. Ильин М.: Наука, 1989.- 336 с.

44. Ильин, A.M. Линейные уравнения второго порядка параболического типа / A.M. Ильин, А.С. Калашников, О.А. Олейник // Успехи мат. наук 1962 - Т. 17, № 3 - С.3-146.

45. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.624 с.

46. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.- М.: Мир, 1972,- 739 с.

47. Кведарас, Б. Задача Коши для вырожденного дифференциального уравнения / Б. Кведарас, И. Мационис // Лит. мат. сб.- 1975.- Т. 15, № 3 С.121-131.

48. Келлер, А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: 01.01.02 / А.В. Келлер; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1997 115 с.

49. Однопараметрические полугруппы / Ф. Клемент, X. Хейманс, С. Ангенент, К. ван Дуйн, Б. де Пахтер М.: Мир, 1992 - 352 с.

50. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов.- Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1990 132 с.

51. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // ДАН СССР- 1992 -Т.326, № 5 С.781-786.

52. Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшейпроизводной / А.И. Кожанов / / Сиб мат. журн- 1994.- Т.35, № 2-С.359-376.

53. Кожанов, А.И. Задача с косой производной для некоторых псевдопараболических и близких к ним уравнений / А.И. Кожанов // Сиб мат. журн.- 1996.- Т.37, № 6.- С.1335-1346.

54. Корпусов, М.О. О разрешимости одной начально-краевой задачи для уравнения внутренних волн / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // ЖВМиМФ.- 1997.- Т.37, № 5.- С.617-620.

55. Корпусов, М.О. К задаче о колебаниях двустороннего отрезка в стратифицированной жидкости / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // ЖВМиМФ.- 1997.- Т.37, № 8.- С.968-974.

56. Корпусов, М.О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // ЖВМиМФ.- 2000.- Т.40, № 8.- С.1237-1249.

57. Костин, В.А. Об аналитических полугруппах и сильно непрерывных косинус-функциях / В.А. Костин // ДАН СССР,- 1989.- Т.307, № 4.- С.796-799.

58. Костин, В.А. О точно равномерно корректной разрешимости задачи Коши / В.А. Костин // ДАН СССР.- 1991.- Т.319, № 1.- С.38-41.

59. Костин, В.А. К решению одной проблемы, связанной с абстрактной косинус-функцией / В.А. Костин // ДАН 1994 - Т.336, № 5-С.584-586.

60. Костин, В.А. К теореме Соломяка Иосиды об аналитических полугруппах / В.А. Костин // Алгебра и анализ.- 1999 - Т.11, вып.1.-С.25-42.

61. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнения Соболева Гальпер-на / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Труды Моск. мат. о-ва.- 1961-Т.Ю.- С.273-284.

62. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн М.: Наука, 1967.- 275 с.

63. Крейн, С.Г. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных / С.Г. Крейн, В.Б. Осипов // Дифференц. уравнения 1970 - Т.6, № 11- С.2053-2061.

64. Крейн, С.Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, М.И. Хазан // Соврем, пробл. математики. Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1983,- Вып. 21 С.130-264.

65. Крейн, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышов.- Новосибирск, 1979.- 18 е.- (Препринт / АН СССР, СО, ИМ).

66. Кузнецов Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: 01.01.02 / Г.А. Кузнецов; Челяб. гос. ун-т.-Челябинск, 1999 105 с.

67. Лобанов, С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах /С.Г. Лобанов, О.Г.Смолянов // Успехи мат. наук 1994 - Т.49, вып.З - С.93-168.

68. Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье М.: Гос. изд-во тех.-теор. лит., 1955.- 492 с.

69. Малкин, Я.Ф. К задачам распределения температуры в плоских пластинках / Я.Ф. Малкин // ПММ 1938.- Т.2.- С.317.

70. Мельников, Е.В. Об однопараметрических группах операторов в локально выпуклых пространствах / Е.В. Мельников // Сиб. мат. журн.- 1985.- T.XXVI, № 6.- С.167-170.

71. Мельникова, И.В. Свойства d-полугрупп Лионса и обобщенная корректность задачи Коши / И.В. Мельникова // Функц. анализ и его приложения.- 1997 Т.31, № 3 - С.23-37.

72. Мельникова, И.В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений / И.В. Мельникова // Сиб. мат. журн,- 2001.- Т.42, № 4,- С.892-910.

73. Мельникова, И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Алынанский // ДАН.- 1994.- Т.336, № 1,- С.17-20.

74. Мельникова, И.В. Корректность задачи Коши для включений в банаховых пространствах / И.В. Мельникова, А.В. Гладченко // ДАН.- 1998 Т.361, № 6.- С.17-20.

75. Мельникова, И.В. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач / И.В. Мельникова, А.И. Филинков // Успехи мат. наук.- 1994.-Т.49, № 6,- С.111-150.

76. Монахов, В.Н. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на рима новых поверхностях / В. Н. Монахов, Е. В. Семенко.-М.: Физматлит, 2003.- 414 с.

77. Осипов, В.Б. Об одном уравнении в банаховом пространстве с вырожденным оператором при производной / В.Б. Осипов // Сб. раб. асп. матем. мех. Воронеж, ун-та Воронеж, 1968 - С.42-47.

78. Осколков, А.П. О некоторых линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР- 1976 Т.59-С.133-177.

79. Осколков, А.П. К теории жидкостей Фойгта / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР.- 1980.- Т.96.- С.233-236.

80. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР.- 1988,- Т. 179.- С. 126164.

81. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нели-ейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л.Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ.-1991- Т.198 С.31-48.

82. Пискарев, С.И. Аппроксимация позитивных Co-полугрупп / С.И. Пискарев // Дифференц. уравнения- 1991- Т.27, № 7-С.1245-1250.

83. Пискарев, С.И. Об аппроксимации возмущенных Co-полугрупп / С.И. Пискарев // Дифференц. уравнения 1994 - Т.ЗО, № 2 - С.339-341.

84. Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн.- 2001.- Т.42, № 3.- С.651-669.

85. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовой-тов // Дифференц. уравнения 1993 - Т.29, № 3 - С.461-471.

86. Прилепко, А.И. Обратные задачи теории потенциала, эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса / А.И.Прилепко // Мат. заметки 1973 - Т. 14, К0- 5 - С.755-767.

87. Прилепко, А.И. Обратная задача с финальным переопределением для абстрактного эволюционного уравнения в упорядоченном банаховом пространстве / А.И.Прилепко, И.В Тихонов // Функц. анализ и его приложения 1993 - Т.27, № 1- С.81-87.

88. Прилепко, А.И. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении / А.И.Прилепко, И.В Тихонов // Изв. РАН. Сер. Мат.- 1994.- Т.58, № 2,- С.167-188.

89. Прилепко, А.И. Многомерные обратные задачи спектрального анализа / А.И.Прилепко, В. А. Садовничий / / Успехи мат. наук 1996-Т.51, № 4.- С.95-97.

90. Пятков, С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков / С.Г. Пятков // Сиб. мат. журн 1989 - Т.ЗО, № 4 - С. 111124.

91. Пятков, С.Г. О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков / С.Г. Пятков // Мат. заметки 1992 - Т.51, вып.1.-С.141-148.

92. Пятков, С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков / С.Г. Пятков // Мат. сб.- 1994.- Т.185, № 3 С.93-116.

93. Радбель, Н.И. О начальном многоообразии и диссипативности задачи Коши для уравнения Axl(t) + Bx(t) = 0 / Н.И. Радбель // Дифференц. уравнения. 1979 Т.15, № 6 - С.1142-1143.

94. Радыно, Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах: I. Регулярные операторы и их свойства / Я.В. Радыно // Дифференц. уравнения 1977 - Т. 13, № 8 - С. 14021410.

95. Радыно, Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах: II. Свойства решений / Я.В. Радыно // Дифференц. уравнения 1977 - Т.13, № 9.- С.1615-1624.

96. Радыно, Я.В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах: III. Примеры регулярных операторов / Я.В. Радыно // Дифференц. уравнения 1977 - Т.13, № 10-С. 1796-1803.

97. Радыно, Я.В. Линейные уравнения и борнология / Я.В. Радыно.-Мн.: Изд-во БГУ, 1982,- 200 с.

98. Райков, Д. А. Двухсторонняя теорема о замкнутом графике для топологических линейных пространств / Д.А. Райков // Сиб. мат. журн 1966,- Т.7, № 2 - С.354-372.

99. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики / Р. Рихтмайер М.: Мир, 1982 - 488 с.

100. Робертсон, А. Топологические векторные пространства / А. Роберт-сон, В. Робертсон М.: Мир, 1967.- 258 с.

101. Руткас, А.Г. Задача Коши для уравнения Axl(t) + Bx(t) = f(t) / А.Г. Руткас // Дифференц. уравнения 1975 - Т.11, № П.- С.1996-2010.

102. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравнения.- 1987.- Т.23, № 12,- С.2168-2171.

103. Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР.-1991.- Т.318, № 4.- С.828-831.

104. Свиридюк, Г.А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах: дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Г.А. Свиридюк; Челяб. гос. ун-т- Челябинск, 1993.213 с.

105. Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальными операторами / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР- 1993.- Т.329, № 3.- С.274-277.

106. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук.- 1994 Т.49, J№ 4 - С.47-74.

107. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк // ДАН,- 1994.- Т.337, № 5.- С.581-584.

108. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ 1994 - Т.6, № 5 - С.252-272.

109. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.В. Апетова // ДАН.-1993 Т.ЗЗО, № 6- С.696-699.

110. Свиридюк, Г.А. Об относительной р-секториальности дифференциальных операторов / Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. тр.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998.- С.49-57.

111. Сидоров, Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления Иркутск: Иркут. ун-т, 1982 - 312 с.

112. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференц. уравнения 1983 - Т.19, № 9-С.1516-1526.

113. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения 1987.- Т.23, № 4.-С.726-728.

114. Скубачевский, А.Л. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения / А.Л. Скубачевский, Р.В. Шамин // Мат. заметки 1999 - Т.66, вып.1- С. 145-153.

115. Соболев, C.JI. Об одной новой задаче для систем уравнений частных производных/ С.Л. Соболев// ДАН СССР.-1951.-Т.81, № 6-С.1007-1009.

116. Соболев, С.Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской / С.Л. Соболев // ДАН СССР.- 1952.-Т.82, № 2.- С.205-208.

117. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Успехи мат. наук 1952 - Т.7, вып.1 - С.139-140.

118. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1954.- Т. 18.- С.3-50.

119. Соболев, С.Л. О движении симметрического волчка с полостью, наполненной жидкостью / С.Л. Соболев // Прикл. механика и техн. физика I960 - № 3 - С.20-55.

120. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика 1998 - № 3-С.47-54.

121. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения 2000 - Т.36, № 8 - С.1106-1112.

122. Титчмарш, Б. Введение в теорию интегралов Фурье / Е. Титчмарш.- Гостехиздат, 1948 479 с.

123. Титчмарш, Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. 4.1 / Э.Ч. Титчмарш М.: Иностр. лит., I960 - 278 с.

124. Трибель, X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель- М.: Мир, 1980.664 с.

125. Успенский, С.В. Об алгебраических моментах решения первой начально краевой задачи для уравнения C.JI. Соболева в случае специальных областей / С.В. Успенский, Е.Н. Васильева // Тр. мат. ин-та им. В.А. Стеклова 1997 - Т.214 - С.286-297.

126. Успенский, С.В. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям / С.В. Успенский, Г.В. Демиденко,B.Г. Перепелкин.- Новосибирск: Наука, 1984.- 252 с.

127. Хатсон, В.КЛ. Приложения функционального анализа и теории операторов / B.K.JI. Хатсон, Дж.С. Пим М: Мир, 1983 - 432 с.

128. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри М.:Мир, 1985 - 376 с.

129. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс М.: ИЛ, 1962 - 830 с.

130. Чистяков, В.Ф. О свойствах квазилинейных вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф. Чистяков // Динамика нелинейных систем: сб. науч. тр.- Новосибирск, 1983.C.163-173.

131. Чистяков, В.Ф. О понятии индекса сингулярной системы / В.Ф. Чистяков // Дифференц. уравнения и численные методы: сб. науч. тр.- Новосибирск, 1986 С. 123-128.

132. Чистяков, В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах / В.Ф. Чистяков // Функции Ляпунова и их применения: сб. науч. тр.- Новосибирск: Наука, 1987.- С.231-239.

133. Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1996.278 с.

134. Чистяков, В.Ф. О понятии индекса алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков // Уравнения соболевского типа: сб. науч. тр.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002.- С. 156-177.

135. Шароглазов, B.C. О некоторых свойствах решений вырожденных дифференциальных уравнений /B.C. Шароглазов // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений: сб. науч. тр.- Иркутск: Иркут. ун-т, 1993 214 с.

136. Шкаликов, А.А. О пучке операторов, возникающем в задаче о колебаниях стержня с внутренним трением / А.А. Шкаликов, P.O. Гри-нив // Мат. заметки 1994 - Т.56, вып.2 - С.114-131.

137. Шкаликов, А.А. Как определить оператор Орра-Зоммерфельда? / А.А. Шкаликов // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика 1998- № 4 - С.36-43.

138. Эскин, Г.И. О единственности решения задачи Коши для уравнений не типа Ковалевской / Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва.- 1961.-Т.Ю.- С.285-295.

139. Якупов, М.М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.М. Якупов; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1999 83 с.

140. Arendt, W. Vector valued Laplace transforms and Cauchy problems / W. Arendt // Israel J. Math.- 1987.- Vol.59.- C.327-352.

141. Da Prato, G. Sommes d'operateurs lineaires et equations differentielles operationelles / G. Da Prato, P. Grisvard // J. Math. Pur. et Appl.-1975,- Vol.54.- C.305-387.

142. Davies, E.B. The Cauchy problem and a generalization of the Hille-Yosida theorem / E.B. Davies, M.M. Pang // Proc. London Math. Soc.- 1987.- Vol.55.- C.181-208.

143. De Laubenfelds, R. Integrated semigroups, C-semigroups and the abstract Cauchy problem / R. de Laubenfelds // Semigroup Forum-1990.- Vol.41.- C.83-95.

144. De Laubenfelds, R. Intire solutions of the abstract Cauchy problem / R. de Laubenfelds // Semigroup Forum.- 1991- Vol.42.- C.83-105.

145. De Wilde, M. Closed graph theorem and webbed spaces / M. de Wilde // Research Notes in Math 1978 - Vol. 19.

146. Favini, A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems / A. Favini // Rend. Mat.- 1979.- Vol.12, № 3-4,- C.511-536.

147. Favini, A. An operational method for abstract degenerate evolution equations of hiperbolic type / A. Favini // J. Funct. Anal 1988.-Vol.76 - C.432-456.

148. Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Ann. Mat. Pur. et Appl 1993-Vol.CLXIII - C.353-384.

149. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi New York etc.: Marcel Dekker Inc., 1999 - 324 c.

150. Kellerman, H. Integrated semigroups / H. Kellerman, M. Hieber // J. Funct. Anal- 1989.- Vol.84.- C.160-180.

151. Komatsu, H. Semi-groups of operators in locally convex spaces / H. Komatsu // J. Math. Soc. Japan 1964 - Vol.16.- C.230-262.

152. Komura, Т. Semigroups of operators in locally convex spaces / T. Komura // J. Funct. Anal.- 1968.- Vol.2.- C.252-296.

153. Lagnese, J.E. Singular differential equations in Hilbert space / J.E. Lagnese // SIAM J. Math. Anal.- 1973 Vol.4, № 4,- C.623-637.

154. Lax, M. Fluctuation and coherence phenomena in classical and quantum physics / M. Lax // Brandis University Summer Institute in Theoretical Phys. II New York: Gordon and Breach, 1966 - C.269.

155. Leray, J. Essai sur mouvement plans d'un liquide visqueux que limitent des parois / J. Leray // J. Math. Pures Appl. Ser. IX 1934 - Vol.13, fasc.4.- C.331-418.

156. Leray, J. Topologie et equations fonctionnelles / J. Leray, J.Schauder // Ann. Sci. Ecole Norm. Super Ser. 3.- 1934.- Vol.51.- C.45-78.

157. Lions, J.L. Les semigroups distributions / J.L. Lions // Portugal Math.- I960,- Vol.19.- C.141-164.

158. Lumer, G. Dissipative operators in a Banach space / G. Lumer, R.S. Phillips // Pacific J. Math.- 1961- Vol.11.- C.679-698.

159. Miyadera, I. Semigroups of operators in Frechet space and applications to partial differential equations / I. Miyadera // Tohoku Math. J.-1959 Vol.11.- C.162-183.

160. Miyadera, I. Exponentially bounded C-semigroups and generation of semigroups / I. Miyadera, N. Tanaka // J. Math. Anal. Appl.- 1989-Vol.143.- C.358-378.

161. Neubrander, F. Integrated semigroups and their applications to the abstract Cauchy problem / F. Neubrander // Pacific J. Math.- 1988-Vol.135 C.111-155.

162. Obayashi, H. On a generation theorem of groups of operators in locally convex spaces / H. Obayashi // Mem. Kanazawa Inst. Technol.- 1979.— № 12 C.5-10.

163. Oseen, C.W. Neuere methoden und ergebnisse in der Hydrodynamik / C.W. Oseen.- Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft M.B.H., 1927353 c.

164. Ouchi, S. Semi-groups of operators in locally convex spaces / S. Ouchi // J. Math. Soc. Japan.- 1973,- Vol.25, № 2.- C.265-276.

165. Pazy, A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations / A. Pazy.- New York etc.: Springer, 1983.- 279 c.

166. Povoas, M. On some singular hiperbolic evolution equations / M. Povoas // J. Math. Pur. et Appl.- 1981.- Vol.60.- C.133-192.

167. Rossby, C.G. Relation between variations in the intensity of the zonal circulation of the atmosphere and the displacement of the semipermanent centers of action / C.G. Rossby // J. Marine Res.- 1939.-Vol.2, № 1- C.38-55.

168. Schwartz, L. Lectures on mixed problems in partial differential equations and representation of semi-groups / L. Schwartz // Tata Institute of Fundamental Research, 1958 281 c.

169. Shkalikov, A.A. Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics. Instability index formula / A.A. Shkalikov // Operator Theory: Advances and Applications.- Basel: Birkhauser Verlag, 1996.- Vol.87.- C.258-285.

170. Showalter, R.E. Partial differential equations of Sobolev Galperin type / R.E Showalter // Pacific J. Math.- 1963.- Vol.31, № 3.- C.787-793.

171. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. Г / R.E Showalter // Appl. Anal.- 1975.- Vol.5, № 1.- C.15-22.

172. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. II / R.E Showalter // Appl. Anal.- 1975.- Vol.5, № 2.- C.81-89.

173. Showalter, R.E. Pseudoparabolic partial differential equations / R.E Showalter, T.W. Ting // SIAM J. Math. Anal- 1970.- Vol.1, № 1,- C.l-26.

174. Solomyak, M.Z. Applications of the theory of semigroups to the study of differential equations in Banach spaces / M.Z. Solomyak // Dokl. Akad. Nauk.- 1958.- Vol.122, № 5.- C.766-769.

175. Tanaka, N. Some remarks on C-semigroups and integrated semigroups / N. Tanaka, I. Miyadera // Proc. Japan Acad. Ser. A. Math. Sci-1987,- Vol.63.- C.139-142.

176. Tanaka, N. Exponentially bounded C-semigroups and integrated semigroups / N. Tanaka, I. Miyadera // Tokyo J. Math- 1989.-Vol.12.- C.99-115.

177. Tanaka, N. Local C-semigroups and local integrated semigroups / N. Tanaka, N. Okasawa // Proc. London Math. Soc 1990 - Vol.61 -C.63-90.

178. Ushijima, T. Some properties of regular distribution semigroups / T. Ushijima // Proc. Japan Acad 1969.- Vol.45.- C.224-227.

179. Ushijima, T. On the generation and smoothness of semigroups of linear operators / T. Ushijima // J. Fac. Sci. Univ. Ток.- 1972.- C.65-127.

180. Yagi, A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear operators / A. Yagi // Osaka J. Math.- 1991- Vol.28.- C.385-410.Основные публикации по теме диссертации

181. Свиридюк, Г.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн.- 1995.- Т.36, № 5.- С. 1130-1145.

182. Федоров, В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами / В.Е. Федоров // ДАН.- 1996 Т.351, № 3.- С.316-318.

183. Свиридюк, Г.А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн,- 1998.-Т.39, № 3.- С.604-616.

184. Федоров, В.Е. Бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов с ядрами / В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн 1999.- Т.40, № 6.- С.1409-1421.

185. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов / В.Е. Федоров // Изв. вузов. Математика.- 2000.- N5 3.-С.54-65.

186. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ.- 2000.- Т.12, вып.З-С. 173-200.

187. Федоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Дифференц. уравнения 2001.- Т.37, № 12.- С.1646-1649.

188. Федоров, В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. Мат.- 2003,- Т.67, № 4.- С.171-188.

189. Федоров, В.Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Дифференц. уравнения 2004 - Т.40, № 5 - С.Т02-712.

190. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб.- 2004.- Т.195, № 8.- С.131-160.Публикации по теме диссертации, примыкающие косновным

191. Федоров, В.Е. Генераторы аналитических групп операторов с ядрами / В.Е. Федоров // Вестник Челяб. ун-та. Сер. Математика. Механика.- 1996 № 1 - С. 184-189.

192. Федоров, В.Е. Сильно непрерывные полугруппы операторов с ядрами и один класс линейных уравнений типа Соболева / В.Е. Федоров // Уравнения неклассического типа: сб. науч. тр.- Новосибирск: НГУ, 1997.- С.114-126.

193. Федоров, В.Е. Полугруппы и группы операторов с ядрами / В.Е. Федоров Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1998.- 86 с.

194. Федоров, В.Е. Сильно непрерывные группы операторов с ядрами / В.Е. Федоров // Вестник Челяб. гос. пед. ун-та. Сер. 4. Физ.-мат. науки.- 1998 № 2,- С.99-102.

195. Федоров, В.Е. О совпадении фазового пространства уравнения соболевского типа с образом разрешающей полугруппы в случае существенно особой точки в бесконечности / В.Е. Федоров // Вестник Челяб. ун-та. Сер.З. Математика. Механика- 1999 К0- 1- С.198-202.

196. Федоров, В.Е. О разрешимости одной задачи теории фильтрации / В.Е. Федоров // Динамика многофазных сред: сб. тр. Всеросс. сем.- Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1999.- С.115-119.

197. Федоров, В.Е. Сильно непрерывные полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. тр.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000.- С. 32-40.

198. Федоров, В.Е. Аналитические полугруппы операторов, вырождающиеся на цепочках относительно присоединенных векторов / В.Е. Федоров // Математическое и информационное моделирование: сб. науч. тр.- Тюмень: ТГУ, 2000 С. 12-20.

199. Федоров, В.Е. Построение аналитической полугруппы уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Модели технического обслуживания и ремонта нефтепромысловых систем: сб. науч. тр.- Тюмень: Вектор-Бук, 2000 С.209-216.

200. Федоров, В.Е. Сжимающие полугруппы уравнений соболевского типа и относительно диссипативные операторы / В.Е. Федоров // Мат. заметки Якут. гос. ун-та 2001.- Т.8, вып.2,- С.75-83.

201. Федоров, В.Е. Единицы вырожденных аналитических полугрупп операторов и относительная р-секториальность / В.Е. Федоров // Уравнения соболевского типа: сб. науч. работ.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002.- С.138-155.

202. Федоров, В.Е. Теорема Иосиды и разрешающие группы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Вестник Челяб. ун-та. Сер.З. Математика. Механика. Информатика 2003 - № 3 - С.197-214.

203. Федоров, В.Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Вычислительные технологии 2003 - Т.9, № 2- С.92-102

204. Федоров, В.Е. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Дифференц. уравнения 2002 - Т.38, № 8-С.1137-1139.

205. Федоров, В.Е. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно р-радиальными операторами / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Изв. вузов. Математика.- 2002 № 7 - С.54-57.

206. Федоров, В.Е. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах / В.Е. Федоров, О.А. Рузакова // Мат. заметки 2003 - Т.74, вып.4- С.618-628.

207. Федоров, В.Е. Периодические решения линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева // Вестник МаГУ. Математика 2003 - Вып.4 - С.223-236.

208. Fedorov, V.E. Applications of the theory of degenerate operator semigroups to the initial-boundary value problems / V.E. Fedorov // Contemporary Mathematics and Its Applications 2003.- Vol.9.- C.215-223.

209. Fedorov, V.E. Problem of optimal control for a class of degenerate equations / V.E. Fedorov,d M.V. Plekhanova // Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems: IFAC Workshop.-Irkutsk, 2003 C.215-221.

210. Plekhanova, M.V. An optimal control problem for a class of degenerate equations / M.V. Plekhanova, V.E. Fedorov //J. of Computer and System Sciences International 2004 - Vol.43, № 5 - C.698-702.

211. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov Utrecht etc.: VSP, 2003.- 216 c.Прочие публикации по теме диссертации

212. Дудко, JI.JI. Замкнутые относительно р-секториальные операторы / JI.JI. Дудко, В.Е. Федоров // Тр. 6-й межвуз. конф. Ч.2.- Самара, 1996,- С.31-33.

213. Плеханова, М.В. Оптимальное управление уравнениями соболевского типа с относительно р-радиальными операторами /М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Всеросс. науч. конф.- Екатеринбург, 2001.- С.173-174.

214. Плеханова, М.В. Задача оптимального управления с неотрицательным функционалом для уравнений соболевского типа /М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. модели: тез. докл. Междунар. науч. конф Челябинск, 2002.-С.82.

215. Плеханова, М.В. О задаче оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа / М.В, Плеханова, В.Е. Федоров // Вестник Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки,- 2003 Т.8, вып.З - С.432-433.

216. Плеханова, М.В. Проблема квадратического регулятора для одной вырожденной системы / М.В. Плеханова, В.Е. Федоров // Тез. докл. Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу, Абрау Дюрсо, 2004,- Ростов-на-Дону, 2004.- С. 135-136.

217. Рузакова, О.А. Об одномерной управляемости в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа / О.А. Рузакова, В.Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Всеросс. науч. конф.- Екатеринбург, 2001 С.177-178.

218. Рузакова, О.А. Одномерная управляемость уравнений соболевского типа / О.А. Рузакова, В.Е. Федоров // Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. модели: тез. докл. Междунар. науч. конф.-Челябинск, 2002 С.85.

219. Сагадеева, М.А. Об инвариантных пространствах уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева, В.Е. Федоров // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк.- Воронеж, 2003 С.220-221.

220. Сагадеева, М.А. Периодические решения эволюционного уравнения с секториальным оператором / М.А. Сагадеева, В.Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Всеросс. конф Екатеринбург, 2004 - С.217-218.

221. Свиридюк, Г.А. Относительно сильно радиальные операторы и сильно непрерывные полугруппы операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Успехи мат. наук 1995 - Т.50, № 4 - С.142.

222. Свиридюк, Г.А. О некоторых "новых" результатах в теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Современные методы теории функций и их приложения: тез докл. Воронеж, зимн. мат. шк Воронеж, 2001.- С.236-238.

223. Свиридюк, Г.А. Полугруппы операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Вестник Челяб. ун-та. Сер.З. Математика. Механика. Информатика 2002 - №'1,- С. 42-70.

224. Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения соболевского типа / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2003.- 179 с.

225. Федоров, В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальным оператором / В.Е. Федоров // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк Воронеж, 1995.-С.236.

226. Федоров, В.Е. Сильно непрерывные полугруппы операторов с ядрами / В.Е. Федоров // Алгоритмический и численный анализ некорректных задач: тез. докл. Всеросс. науч. конф.- Екатеринбург, 1995,- С.125-126.

227. Федоров, В.Е. Неоднородная задача Коши для линейного уравнения типа Соболева / В.Е. Федоров // Тез. Сиб. конф. по неклассическим уравнениям мат. физики.- Новосибирск, 1995.- С.91.

228. Федоров, В.Е. Решение неоднородной задачи Коши для линейного уравнения типа Соболева / В.Е. Федоров // Тр. 6-й межвуз. конф. Ч.2.- Самара, 1996.- С.103-104.

229. Федоров, В.Е. О парах инвариантных подпространств операторов линейного уравнения типа Соболева / В.Е. Федоров // Студент и научно-технический прогресс: тез. XX студ. науч. конф.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1996 С. 10.

230. Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева: 01.01.02 / В.Е. Федоров; Челяб. гос. ун -т.- Челябинск, 1996.- 116 с.

231. Федоров, В.Е. Сильно непрерывные группы линейного уравнения типа Соболева / В.Е. Федоров // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк-Воронеж, 1997 С. 162.

232. Федоров, В.Е. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений типа Соболева / В.Е. Федоров // Современные проблемыматематики накануне третьего тысячелетия: тез. докл. конф.- Челябинск, 1997 С.32.

233. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов / В.Е. Федоров // Алгоритмический анализ некорректных задач: тез. Всеросс. науч. конф Екатеринбург, 1998.- С.264-265.

234. Федоров, В.Е. О теории вырожденных полугрупп операторов /B.Е. Федоров // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения IX: тез. докл. Воронеж, весен, мат. шк,-Воронеж, 1998.- С.202.

235. Федоров, В.Е. Фазовые пространства линейных уравнений типа Соболева / В.Е. Федоров // Тез. докл. ИНПРИМ 98. 4.IV - Новосибирск, 1998 - С.43.

236. Федоров, В.Е. Полугруппы, вырождающиеся на неограниченных цепочках М-присоединенных векторов /В.Е. Федоров // Современные методы в теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк Воронеж, 1999 - С. 194.

237. Федоров, В.Е. Об ослабленных решениях линейного уравнения соfболевского типа / В.Е. Федоров // Современный анализ и его приложения: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк.- Воронеж, 2000.C.165.

238. Федоров, В.Е. О бесконечно дифференцируемых полугруппах линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Диферен-щальш та штегральш р!вняння: тез. доп. М1Ж. конф Одеса, Украь на, 2000,- С.277-278.

239. Федоров, В.Е. Ослабленная задача Коши для линейного уравнения соболевского типа / В.Е. Федоров // Тез. докл. ИНПРИМ 2000. Ч.1.- Новосибирск, 2000 - С.82-83.

240. Федоров, В.Е. Вырожденные аналитические полугруппы операторов в рефлексивных банаховых пространствах / В.Е. Федоров // Тез. докл. межд. шк.-сем. по геометрии и анализу, Абрау-Дюрсо, 2004,- Ростов-на-Дону, 2000.- С. 166-168.

241. Федоров, В.Е. Вырожденные голоморфные полугруппы операторов в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. модели: тез. докл. Между-нар. науч. конф.- Челябинск, 2002 С.108.

242. Федоров, В.Е. Об аналитичности решений одного класса уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XIII: тез. докл. Воронеж, весен, мат. шк.- Воронеж, 2002 - С.150-151.

243. Федоров, В.Е. Приложение теории вырожденных полугрупп операторов к исследованию начально-краевых задач / В.Е. Федоров // Тез. докл. Междунар. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам.- Суздаль, 2002.- С. 136-138.

244. Федоров, В.Е. Фазовые пространства одного класса краевых задач для уравнений в частных производных / В.Е. Федоров // Обратные задачи: теория и приложения: тез. докл. Междунар. Шк.-конф. Ч.П.- Ханты-Мансийск, 2002 С.42.

245. Федоров, В.Е. Об одной начально-краевой задаче с бесконечным числом краевых условий / В.Е. Федоров // Актуальные проблемы прикладной математики и механики: тез. докл. Всеросс. конф.-Екатеринбург, 2003 С.79-80.

246. Федоров, В.Е. Ослабленные решения уравнения соболевского типа / В.Е. Федоров // Тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк.- Воронеж, 2004.- С.109-110.

247. Федоров, В.Е. Периодическая задача для вырожденного дифференциально-разностного уравнения / В.Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. Всеросс. конф Екатеринбург, 2004 - С.231.

248. Федоров, В.Е. Неоднородная задача Коши и относительно р-бирадиальный оператор / В.Е. Федоров, К.Г. Гранков j j Алгоритмический анализ некорректных задач: тез. докл. Всеросс. науч. конф Екатеринбург, 1998.- С.266-267.

249. Федоров, В.Е. О вырожденных сжимающих полугруппах операторов / В.Е. Федоров, К.Г. Гранков // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения X: тез. докл. Воронеж, весен. мат. шк - Воронеж, 1999.- С.251.

250. Fedorov, V.E. On theory of semigroups of operators with kernels / V.E. Fedorov // Abstr. of Invited and Short Communications Delivered at the Ninth International Colloquium on Differential Equations.-Plovdiv, Bulgaria, 1998.- C.52.

251. Fedorov, V.E. On Degenerate Semigroup of Operators from the Class Ck / V.E. Fedorov // Дифференц. и интегральные уравнения: тез. докл. Междунар. науч. конф Челябинск, 1999 - С. 120.

252. Fedorov, V.E. Nonhomogeneous Cauchy problem for Sobolev type equations in locally convex spaces /V.E. Fedorov // Kolmogorov and Contemporary Mathematics: abstr. of Intern. Conf- Moscow, 2003.-C.160.

253. Fedorov, V. Analytic group of solutions of a degenerate differential equation of infinite order // Nonlinear Partial Differential Equations: abstr. of Intern. Conf., Alushta, 2003 Donetsk, 2003 - C.66.

254. Fedorov, V.E. Sobolev-type operators / V.E. Fedorov, Applications: abstr. of Intern.equations with relatively dissipative K.G. Grankov // Mathematics in Conf Novosibirsk, 1999.- C.53-54.