Представление полугрупп Ли в локально выпуклом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЗДЕШЕ. .'.".;.». . .г.v. V.'.

ГЛАВА I ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. V.'.

§1 Полугруппы Ли и конусы в алгебрах Ли.

§2 Полугруппы операторов в л.в.п.,

§3 Представления полугрупп в л.в.п.

§4 Производящие операторы представлений полугрупп Ли . . •. •

ГЛАВА П ПОРОЖДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПОЛУГРУПП Ли В ЛОКАЛЬНО

ВЫПУКЛОМ ПРОСТРАНСТВЕ.;. .V.

§1 Представления алгебр Ли.

§2 Теорема поровдения суммируемых представлений и множества дифференцируемости

§3 Теорема поровдения суммируемых представлений подугрулп ли .<<

§4 Теорема порождения непрерывных цредставлений полугрупп Ли .•.•••••.

§5 Теорема порождения представлений полугрупп Ли, допускающих координаты второго рода.

§6 Теорема порождения общих цредставлений полугрупп Ли .:.:. .v.; .v. .v. .v. J

§7 Порождение представлений в банаховом ТТА пространстве . .v. . . ни

ГЛАВА Ш НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

ПОЛУГРУШ Ли. Л.

§1 Линейные дифференциальные управления на полу- т группе Ли.v.-.'.k**

§2 Сопряженные антицредставления.

§3 Сходимость последовательностей представлений.

§4 Возмущение цредставлений.v.*;.

§5 Представления S Ьд, (И) в гильбертовом пространстве . i.

Предлагаемая работа посвящена изучению представлений' полугрупп Ли (замкнутых подполугрупп группы Ли) в локально выпуклом пространстве (л.в.п.). Основной вопрос, который при этом решается (мы назовем его вопросом порождения представления), состоит в том, чтобы указать необходимые и достаточные условия, при выполнении которых линейные операторы, образующие представление алгебры Ли, являются производящими операторами некоторого представления полугрупп Ли.

Этот вопрос нетривиален уже для представлений аддитивной полугруппы положительных чисел. Ответ на него дается, в случае банахова цространства, хорошо известной теоремой Хилле-Йосида (см.,например, [4 3 ). Для локально выпуклых пространств вопрос порождения таких цредставлений решен в работах [20,21,24,71,803 .

Представлениям групп Ли в линейных топологических пространствах посвящена обширная литература (см., например, [1,21 и имеющуюся там библиографию). Вопрос порождения представления групшЛи в гильбертовом цространстве был поставлен и решен в основополагающей работе Е.Нельсона [273 . При доказательстве теоремы широко использовалась техника аналитических векторов представления группы Ли, предложенная Хариш-Чандрой в работе [60].

В дальнейшем, с использованием той же самой техники аналитических векторов, в работах [ 52-54,90,923 была построена теория порождения представлений групп Ли в банаховом цространстве, которая, позднее, получила название (по именам ее создателей) F S 3 - теории.

Однако, в случае представления полугруппы Ли таких векторов может быть очень мало, и понятие аналитического вектора не монет быть взято за основу ни как метод, ни как язык исследования. Это же замечание остается в силе и для представления группы Ли в ненормируемом л.в.п.

Поясним сказанное на примерах.

Пусть гильбертово простарнство Н состоит из суммируемых с квадратом на {-•©/м^функций, равных нулю на о) # Определим представление Т аддитивной полугруппы положительных числе в пространстве Н по формуле (T(ij/J(S) . Тогда для любой финитной измеримой функции и аналитического вектора носителем, т.е. по теореме единственности аналитических функций, нулем. Отсюда ясно, что

Аналогично, что для представления Т , заданного в пространаналитических векторов состоит из одного нуля.

Заканчивая разговор об аналитических векторах, укажем работы £39,48,55,56,59,74,797 в которых упомянутые теореш порождения применялись при изучении различных вопросов, касающихся бесконечномерных представлений групп Ли.

Первая работа, касающаяся представлений полугрупп Ли, принадлежит Э.Хилле [61] . В ней были получены необходимые условия теоремы порождения полугруппы в банаховом пространстве. Следующим принципиальным шагом, были работы С.Г.Крейна и А.М.Шихватова f25,26,32,33j в которых на основе аппарата резольвенты и понятия дифференцируемого вектора представления были доказаны теоремы порождения представления группы и полугруппы Ли в банаховом пространстве.

Необходимо также отметить работу Р.Т.Мура [76] , в которой теорема порождения доказывается с использованием понятий одно-параметрического представления и дифференцируемого вектора, является аналитической функцией с финитным стве по формуле ( Т(t) {)($) = / (s + , множество причем нам заведомо известно, что операторы, образующие представление алгебры Ли, порождает группа операторов, которые мы каким-либо способом (возможно и без участия резольвенты) умеем строить. Отметим, что установленная Р.Т.Муром теорема порождения представлений групп Ли была обобщена в [26] С.Г.Крейном и A.M. Шихватовым.

Указанные выше работы являются самыми значительными. Вместе с тем стоит отметить, что теорема порождения представлений полугрупп и групп Ли рассматривалась в работах £43,46,62,72,74,83, 87,88,91,931

Задача, поставленная нами в этой работе, - исследовать порождение представлений полугрупп Ли в л.в.п. решается с использованием двух упомянутых выше подходов. Правда, поскольку в л.в.п. производящий оператор полугруппы операторов может вовсе не обладать резольвентой, мы вынуждены пользоваться построенным в работе С20J аппаратом квазирезольвенты.

Если говорить о теоремах, то главным результатом работы следует считать теорему В главы 2, дающую описание производящих операторов суммируемого представления полугруппы Ли. Выбор указанного класса представлений объясняется тем, что в этом случае мы освобождаемся от многих дополнительных сложностей, возникающих при рассмотрении более общих классов представлений, и получаем возможность "в чистом виде" рассмотреть те препятствия, которые приходится преодолевать при построении представлений практически любого класса.

Вместе с тем, случай представления полугруппы Ли, не обладающего столь жесткими ограничениями ш рост вблизи единицы, также рассмотрен в §6 главы П.

Стоит также отметить, что определяющим условием доказанной ниже теоремы порождения является в том или ином виде условие инвариантности совместной области определения производящих операторов представления.

Рассмотрим более обстоятельно полученные в работе результаты.

Работа состоит из трех глав.

1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. т.1, М., Мир, 1980, 455с.

2. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. т.2, М., Мир, 1980, 395с.

3. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы (общая теория). М., ИЛ, 1962, 895с.

4. Иосида К. Функциональный анализ. М., Мир, 1967 , 624с.

5. Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы. М., Мир, 1974, 147с.

6. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1972, 336с.

7. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., Наука, 1971, 464с.

8. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М., Наука, 1973, 519с.

9. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики (функциональный анализ). М., Мир, 1977, 357с.

10. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики (гармонический анализ, самосопряженность). М., Мир, 1978, 395с.

11. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М., Мир, 1964, 480с.

12. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полутруппы. М., ИЛ, 1962, 829с.

13. РеЧгСс! Ji. Lq-cIuajis vw sei^Lj- \Ъел.£сч. о.о. \ AeacUwlc VWgajj ? 1

14. Гельфанд И.М. Об однопараметрических группах операторов в нормированном пространстве. Докл. АН СССР, 1939, т.25, & 9, с.711-716.

15. Гординг Л. Аналитические векторы в представлениях групп Ли В сб.переводов "Математика", 1965, т.9, $ 5, с.78-94.

16. Грабовская Р.Я., Крейн С.Г. О формуле перестановки функций от операторов, представляющих алгебру Ли. Функц. анализ и его приложения, 1973, т.7, № 3, с.81.

17. Иванов В.В. Возмущение равномерно суммируемых полугрупп операторов. Докл. АН СССР, 1980, т.250, J6 2, с.269-273.

18. Иванов В. В. Полугруппы линейных операторов в локально выпуклом пространстве. В сб. "Теория операторов в функциональных пространствах", Новосибирск, "Наука", 1977, I2I-I53.

19. Иванов В. В. Порождение равномерно суммируемых полугрупп операторов. Новосибирск, Б.и., 1981, 48с. - (Прецринт/ИМ СОАН СССР).

20. Иванов В.В. Квазирезольвента и возмущение полутрупп линейных операторов. Новосибирск, Б.и., 1981, 44с. - (Препринт/И^ СО АН СССР).

21. Иванов В.В. Возмущение лебеговских, абелевских и гезаров-ских полугрупп. Новосибирск, Б.и., 1981, 36с. - (Прецринт/ИМСО АН СССР).

22. Крейн С.Г., Шихватов A.M. Линейные дифференциальные уравнения на группах Ли. Функц. анализ и его приложения, 1970, т.4, В I, с.52-61.

23. Нельсон Э. Аналитические векторы. В сб.переводов "Математика", 1962, т.6, № 3, с.89-131.

24. Ольшанский Г.И. Выпуклые конусы в сигметрических алгебрах Ли, нрлутруппы Ли и инвариантные причинные структуры (упорядочения) на псевдоримановых симметрических пространствах.- Докл. АН СССР, 1982, т.265, J& 3, с.537-542.

25. Песенсон И.З. Аналитические решения уравнений на полугруппе Ли. Диф.уравнения, 1975, т.II, № 10, с.1862-1869.

26. Песенсон И.З. Об.интерполяционных пространствах на группе Ли. Докл.АН СССР, 1979, т.246, В 6, с.1298-1303.

27. Сысоев Ю.С. О дифференциальных уравнениях на группе Ли. Докл. АН СССР, 1974, т.215, & 6, с.1317-1320.

28. Шикватов A.M. О линейных дифференциальных уравнениях на полугруппе Ли. Тр. НИИ матем. Воронеж, ун-та, 1970, вып.I, с.175-197.

29. Каракозов С.Д.Квазирезольвента в теории представлений. -Деп.ВИНИТИ №-5926-82 Деп.-37 с.

30. Каракозов С.Д. Об одном вопросе Т.Като.-Сиб.матем. ж-л,1984,т.ХХУ,№2,с.219-222.

31. Каракозов С.Д.Непрерывные представления полугрупп Лив локально выпуклом пространстве.-Деп.ВИНИТИ 3481-84 Деп.-о о с.

32. Каракозов С.Д.Критерии интегрируемости операторных алгебр Ли.-Деп. ВИНИТИ ?- 3432-84 Деп.- 30 с.