Слабая двойственность коммутативных полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. Общие замечания

2. Необходимые определения и сведения

3. Структура работы и основные результаты

ЕЛАВА 1. Слабая двойственность коммутативных полугрупп

§1. Определение и некоторые свойства полугрупп, слабо двойственных относительно данной

§2. Критерии слабой двойственности относительно некоторых полугрупп

ЕЛАВА 2. Слабая двойственность некоторых классов полугрупп

§1. Определение и некоторые свойства слабой двойственности классов коммутативных полугрупп, образованных с помощью операторов Биркгофа

§2. Эквивалентность некоторых типов слабой двойственности полугрупп

ГЛАВА 3. Слабая двойственность коммутативных сепаративных полугрупп

§1. 51- и Н-слабая двойственность полугрупп относительно коммутативной сепаративной полугруппы .<.

§2. 57/- и /^Я-слабая двойственность полугрупп относительно коммутативной сепаративной полугруппы

§3. Примеры, иллюстрирующие несовпадение классов рс - эквивалентности.

Теория полугрупп относится к развивающейся области современной алгебры. Важное место в теории полугрупп и алгебре вообще занимают вопросы двойственности. Теория двойственности начала активно развиваться благодаря работам Л. С. Понтрягина, относящимся к началу 30-х годов, [32], [33]. В них изучаются вопросы двойственности коммутативных групп. Двойственность коммутативных полугрупп исследовалась Л. Фуксом [28], Э. Хьюиттом и Г. Цукерманом [30], Р. Уорном и Л. Вильямсом [34], Р. Фалпом и Ф. Хиллом [29], К. Остин ым [27], Л. Б. Шнеперманом [24],[25], М. М. Лесохиным [ 10] и другими.

Понятие слабой двойственности полугрупп можно рассматривать как обобщение понятия двойственности коммутативных полугрупп.

Приведем некоторые определения. Если С — коммутативная полугруппа, то обозначим через Нот (А, С) полугруппу всех гомоморфизмов полугруппы А в полугруппу С относительно умножения, определенного следующим образом,

Ш2>(а)= Х1(а) Хг(а), для любых а еА и xi, х2^ Нот (А, С).

Говорят, что полугруппа А двойственна относительно коммутативной полугруппы С, если гомоморфизм со: А Нот(Нот(А, С), С) по правилу (со(а))(х)=х(а) является биективным.

Здесь двойственными объектами выступают полугруппы А и Нот (А,С).

Если же гомоморфизм со является лишь инъективным и не обязательно сюръективным, то полугруппы А и Нот (А,С) будут слабо двойственными относительно коммутативной полугруппы С и будем говорить, что полугруппа А слабо двойственна относительно коммутативной полугруппы С.

Таким образом, ослабление условий на гомоморфизм со в определении двойственности расширяет класс исследуемых объектов, что подчеркивает актуальность изучения вопросов слабой двойственности коммутативных полугрупп.

Заметим, что в отличии от понятия двойственности полугрупп, сформулированного лишь для коммутативных полугрупп, понятие слабой двойственности определяется и относительно некоммутативных полугрупп. Точное определение слабой двойственности полугрупп будет приведено в первой главе. Однако, настоящая работа посвящена исследованию слабой двойственности именно коммутативных полугрупп.

Отметим, что в работах Л. С. Понтрягина [32], [33], исследуется связь (двойственность) между данной группой и ее группой характеров, где под характером понимается гомоморфизм данной группы в мультипликативную группу комплексных чисел, равных по модулю единице. В работах Э. Хьюитта и Г. Цукермана [30] рассматриваются полугруппа и ее полугруппа характеров; здесь характер определяется как гомоморфизм данной полугруппы, тождественно не равный нулю, в мультипликативную полугруппу комплексных чисел, по модулю равных единице или нулю. Далее, в работах М. М. Лесохина [10] используется более широкое определение характера полугруппы, как гомоморфизма этой полугруппы в мультипликативную полугруппу поля.

В связи с этим, исследуя слабую двойственность полугрупп, особое внимание уделим слабой двойственности полугрупп относительно мультипликативной полугруппы 77 комплексных чисел, по модулю равных единице или нулю и относительно мультипликативной полугруппы R+ вещественных неотрицательных чисел.

Отметим, что исследуемое понятие слабой двойственности берет свое начало в работах Н. Бурбаки [3], где применяется к топологическим векторным пространствам.

Далее, в работе JI. С. Понтрягина [18] исследуются примитивные групповые пары, которые по сути являются слабо двойственными группами. Показывается, что если U и V — абелевы группы с конечным числом образующих, М — (конечная или бесконечная ) циклическая группа и группы U и V слабо двойственны относительно М, то U и К изоморфны.

М.М. Лесохин [11], [12] рассматривал вопросы о правильности систем с внешним умножением (А, В, С), где А, В, С — коммутативные полугруппы, относительно первых двух компонент. При условии правильности системы (А, В, С) относительно А и относительно В, полугруппы А а В оказываются слабо двойственными относительно С.

Вопросы слабой двойственности исследовались учениками профессора М.М. Лесохина, именно A.B. Попыриным, Е.В. Богачевой, В.Р. Бариновой и др.

В работе А. В. Попырина [19] найдены необходимые и достаточные условия слабой двойственности коммутативных регулярных полугрупп, одна из которых с условием минимальности для идеалов, относительно мультипликативной полугруппы R+ неотрицательных вещественных чисел.

Е. В. Богачева [2] описала необходимые и достаточные условия слабой двойственности коммутативных полугрупп, относительно мультипликативной полугруппы 77 комплексных чисел, по модулю равных единице или нулю.

В. Р. Бариновой [1] были найдены необходимые и достаточные условия слабой двойственности коммутативных полугрупп относительно конечной коммутативной регулярной полугруппы.

Важным направлением развития современной алгебры является изучение не только данной алгебраической системы, но и связанных с ней классов алгебраических систем, определенных с точностью до изоморфизма. Например:

К) S— класс всех систем, изоморфных подсистемам систем из класса К\

К)Н — класс всех систем, изоморфных факторсистемам систем из класса К;

К)Р — класс всех систем, изоморфных прямым произведениям систем из класса К;

К)Р/-т — класс всех систем, изоморфных конечным прямым произведениям систем из класса К и др.

Здесь S, Н, и Р можно рассматривать как операторы. Говорят, что абстрактный класс К замкнут относительно оператора X, если (К)Х=К. Абстрактный класс, замкнутый относительно операторов S, Н и Р является многообразием; замкнутый относительно S и Н, содержащий одноэлементную систему, является предмногообразием; замкнутый относительно S, Н и Pfin — псевдомногообразием. Эти понятия уже более трех десятилетий являются объектами активных исследований. Исторические комментарии и характеристика общей картины исследований по многообразиям полугрупп приведены в [23]. Проблемам многообразий и псевдомногообразий полугрупп посвящены, например, работы М.В. Волкова [4], М.В. Сапира [20], С.И. Кублановского [8], [9], С. Марголиса [15], J. Almeida [26] и др.

В 1972 году Р'щог21 [31] рассмотрел полугруппу, порожденную операторами 51, Н, Р, относительно операции композиционного умножения, и показал, что она конечна и содержит 17 элементов: Н, Б, Р, НБ, НР, БР, РБ, БН, РН, НЗР, БРН, РНБ, НРБ, БНР, РБН, БРНБ, Б НРБ. В дальнейшем все эти операторы будем называть операторами Биркгофа.

Исследование классов, образованных с помощью некоторых из этих операторов встречается в работах многих алгебраистов. В последнее время часто рассматривается класс всех делителей системы А — (А)БН, класс всех подсистем факторсистем системы А — (А)НБ. В частности, в последние годы получены содержательные результаты по ¿"//-аппроксимации полугрупп; БН-и Ж-двойственности полугрупп, см. [5], [6], [1] и др.

Проблема исследования слабой двойственности классов, образованных с помощью указанных операторов была сформулирована на заседании городского алгебраического семинара, руководимого профессорами Е.С. Ляп иным, М.М. Лесохиным, И.С. Понизовским и доктором С.И. Кублановским и рассматривается автором впервые.

Пусть С — коммутативная полугруппа, К={А} — одноэлементный класс полугрупп, X— оператор Биркгофа, (К)Х = ({А})Х— класс полугрупп, образованный с помощью оператора X (будем опускать фигурные скобки и писать (А)Х ). В случае, когда все полугруппы из класса (А)Х слабо двойственны относительно полугруппы С говорят, что полугруппа А Х-слабо двойственна относительно С и, так как полугруппа операторов Биркгофа насчитывает 17 элементов, будем наряду со слабой двойственностью различать еще 17 типов слабой двойственности полугрупп.

Целью представленной диссертации является исследование слабой двойственности классов полугрупп, образованных с помощью различных операторов Биркгофа, относительно произвольной коммутативной полугруппы.

В рамках ее реализации в диссертации решаются следующие задачи: 9 определение различных типов слабой двойственности относительно произвольной коммутативной полугруппы и выявление взаимосвязей между ними; нахождение, необходимых и достаточных условий всех типов слабой двойственности полугрупп относительно полугруппы П комплексных чисел, по модулю равных единице или нулю. нахождение необходимых и достаточных условий всех типов слабой двойственности полугрупп относительно мультипликативной полугруппы Я+ вещественных неотрицательных чисел.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении представим основные результаты данного исследования.

Рассмотрено понятие слабой двойственности коммутативных полугрупп, исследованы простейшие свойства, получен критерий слабой двойственности относительно мультипликативной полугруппы Я+ неотрицательных вещественных чисел.

В исследовании слабой двойственности классов полугрупп выделены классы, образованные с помощью операторов Биркгофа. Под операторами Биркгофа понимаются элементы полугруппы, порожденной операторами НиР, которая конечна и содержит 17 элементов[см. 31].

Каждый такой класс определяет тип слабой двойственности. В представленной работе описаны взаимосвязи между различными типами слабой двойственности относительно произвольной коммутативной полугруппы. Доказано, что существует не более шести различных типов слабой двойственности относительно произвольной коммутативной полугруппы, причем

Р8Н => 8РН РН

1] и

8Н н

Если слабая двойственность рассматривается относительно полугруппы /7, то различных типов слабой двойственности всего четыре и

Р8Н => 8Н Н => 8 если относительно полугруппы то различных типов слабой двойственности два и Н

Построен пример полугруппы \У такой, что существует точно шесть различных типов слабой двойственности полугрупп относительно IV.

Хочется отметить, что в данном направлении остается еще целый ряд не решенных проблем.

Во-первых, не исследован случай слабой двойственности полугрупп относительно некоммутативной полугруппы. Простым примером здесь может служить полугруппа £ левых нулей. Согласно определению 1.1.1, полугруппы I и Е, Е={е}, будут слабо двойственны относительно Ь, поскольку отображение [:ЬхЕ-^Ь, заданное следующим образом, /(/, е)= /, удовлетворяет условиям этого определения.

Во-вторых, в нашем исследовании слабой двойственности классов полугрупп были выбраны операторы Я и Р, где Р — оператор взятия прямых произведений. Однако часто возникают ситуации, в которых рассматривается оператор взятия конечных прямых произведений — Р^т. Результаты второй главы легко переносятся на случай, когда под полугруппой операторов Биркгофа понимается полугруппа, порожденная операторами Я и Р[т. Но для полугруппы П разбиение на классы р -эквивалентности содержит уже не четыре, а три класса

Р8Н о 8Н Н => 8

64 а для полугруппы IV , построенной в третьем параграфе третьей главы, классов р„,-эквивалентности всего пять: М

Р8Н о 8РН => РН и и

8Н Н => Б

Существует ли в таком случае пример полугруппы, для которой соответствующая />эквивалентность разбивает полугруппу операторов Биркгофа точно на шесть классов?

Далее, в действительности, понятие слабой двойственности коммутативных полугрупп тесно связано понятием аппроксимации полугрупп. Проблемы 5-, Н-, 6!Я-аппроксимации полугрупп уже рассматривались, например, в [5], [6]. Представляется интересным исследовать Х-аппроксимации полугрупп, где X — все оставшиеся операторы Биркгофа; выявить взаимосвязи между различными такими типами аппроксимаций, причем относительно различных предикатов.

Надеемся, что поставленные задачи послужат целью дальнейших исследований не только автора, но и других алгебраистов.

1. Баринова В.Р. ¿//-двойственность коммутативных полугрупп //Современная алгебра: Межвуз. сб. научн. тр. - Ростов-на-Дону, 1997. -Вып. 2 (22). - С, 3 - 5.

2. Богачева Е.В. О слабой двойственности коммутативных полугрупп //Исследования полугрупп: Межвуз. сб. научн. тр. Л., 1990. -С. 3-9.

3. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. Изд-во иностр. лит., 1959. 410 С.

4. Волков М.В. Многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий // Доклады Рос. АН. -1992.-Т.326, № 3. -С.409-413.

5. Данг Ван Винь. Проблема минимализации полугруппы аппроксимации и ¿//-аппроксимации // Современная алгебра. Межвуз. сб. науч. трудов. Ростов-на-Дону, 1998. Вып.3(23). -С.43-48.

6. Игнатьева И.В. ¿//-аппроксимация полугрупп конечными характерами //Современная алгебра. Межвуз. сб. науч. трудов. Ростов-на-Дону, 1996. Вып. 1. -С.25-30.

7. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. -М.: Мир, 1972. Т. 1.

8. Кублановский С.И. О многообразиях ассоциативных алгебр с локальными условиями конечности // Алгебра и анализ. -1997,-9.№ 4.-С.119-174.

9. Кублановский С.И. О финитной аппроксимируемости предмногообразий полугрупп относительно предикатов // Соврем, алгебра. Группоиды и их гомоморфизмы. -Л.; 1980. -С.58-88.

10. Ю.Лесохин М.М. О двойственности коммутативных полугрупп //Тез. кратких сообщений. Международный конгресс математиков. М., 1966. -С. 46.

11. П.Лесохин М.М. О полноте систем с внешним умножением //Изв. вузов.Математика.-19633.-№ 5(36).-С. 59-62.

12. Лесохин М.М. О правильности систем с внешним умножением с регулярной первой компонентой //Изв. вузов.Математика.-1963.-№ 4(35).-С. 89-91.

13. Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: Физматгиз, 1960.

14. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

15. Марголис С. О максимальных псевдомногообразиях конечных моноидов и полугрупп // Изв. вузов. Математика. -1995. -№ 1. -С.65-70.

16. Общая алгебра / В.А.Артамонов, В.Н.Салий и др.; под общ. ред. Л.А.Скорнякова. М.: Наука, 1991. - Т. 2.

17. Общая алгебра / О.В.Мельников, В.Н.Ремесленников и др.; под общ. ред. Л.А.Скорнякова. М.: Наука, 1990. - Т. 1.

18. Понтрягин Л.С. Избранные труды. Т. 1: Об алгебраическом содержании топологических теорем двойственности. -М.: Наука, 1988.

19. Попырин A.B. О слабой двойственности коммутативных полугрупп. // Алгебраические системы с одним действием. Межвуз. сб. науч. трудов. Ленинград, 1985.С. 100-113.

20. Сапир М.В., Шеврин Л.Н. Резидуально малые многообразия полугрупп и групп // Изв. вузов. Математика. -1988. -№ 10. -С.41-49.

21. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. - Т. 1.

22. Шеврин Л.Н., Овсянников А.Л. Полугруппы и их подполугрупповые решетки. -Свердловск: Изд-во Урал. Ун-та, 1990. -4.1.

23. Шеврин Л.Н., Суханов Е.В. Структурные аспекты теории многообразий полугрупп // Изв. вузов. Математика. -1985. -№ 11. -С.3-47.

24. Almeida J. Minimal non-permutative pseudovarieties of semigroups. I, II // Pacif. J. Math. -1986. -V.121. -№ 2. -P.257-279.

25. Austin C. Duality theorems for commutative semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. - V. 109. - № 2. - P. 245 - 256.

26. Fucsh L. On character groups of discrete abelian groups // Acta Math. Acad. Scient. Hungary. 1959. - V. 10. - № 1-2. - P. 133 - 140.

27. Fulp R., Hill P. Reflexive semigroups // Proc. Amer. Math. Soc. 1965.-V. 16.

28. Hewitt E., Zuckennan H. Finite dimensional convolution algebras // Acta Math. 1955. - V. 93. - № 1-2. - P. 67 - 119.

29. Pigozzi D. On some operations on classes of algebras // Algeba Univ.-V. 2/3, 1972. -P.346-353.

30. Pontrjagin L. Sur les groupes abelliens continus // C.R. Acad. Sci. Paris. -1934.-V. 198. P. 328 - 330.

31. Pontrjagin L. The theory of topological commutative groups // Ann. Math. -1934. V. 35. - P. 361 - 388.•34.Warne R., Williams L. Characters of inverse semigroups // Чехосл. матем. ж. -1961.-T. 11 (86).-№ l.-C. 150- 155.