C*-алгебраические квантовые полугруппы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Аухадиев Марат Альфредович

С*-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛУГРУППЫ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

18 ДПР -3

Казань — 2013

005052254

005052254

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" ФГБОУ ВПО Казанский государственный энергетический университет Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Григорян Сурен Аршакович доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО КГЭУ

Липачева Екатерина Владимировна кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО КГЭУ

Хелемский Александр Яковлевич доктор физико-математических наук, профессор, МГУ

Амосов Григорий Геннадьевич доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, МИАН

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Защита состоится 28 марта 2013 г. в 14 часов 30 минут на заседании

диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, НБ КФУ).

Автореферат разослан_22- февраля 2013 г. и размещен на официальном сайте Казанского (Приволжского) федерального университета:

www.kpfu.ru Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.081.10,

к.ф-м.н., доцент —--Липачёв Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. После открытия двойственности Понтрягина для абелевых групп, появилась серия теорем о двойственности для неа-белевых групп: теорема Т. Таннаки1, М.Г. Крейна2, а также В.Ф. Стайн-спринга3, Н. Татсуума4. На основе теоремы двойственности В.Ф. Стайн-спринга Г.И. Кац в 1963 г. ввел понятие "кольцевых групп", и с помощью этого объекта предложил подход к построению теории двойственности для унимодулярных локально компактных групп, используя алгебру измеримых по инвариантной мере существенно ограниченных функций на этой группе. Он ввел понятие таких гомоморфизмов как копроизведе-ние, коединица и антипод. Алгебра с указанными гомоморфизмами была позже названа алгеброй Каца. Впоследствии М. Такесаки5, используя подход Г.И. Каца, определил групповую алгебру локально компактных групп в общем случае как инволютивную абелеву алгебру Хопфа-фон Нойманна с левой инвариантной мерой.

Развитие математической физики повлекло возобновление интереса к алгебрам Хопфа и появление термина "квантование" среди математиков. Существуют два принципиально различных подхода к квантованию. Наиболее известный, особенно в отечественной литературе - это алгебраический подход. В таком виде квантовые группы ввели В. Дринфельд и М. Джимбо в 1983-1985 годах, основываясь на теории уравнений Янга-Бакстера, развитой Л.Д. Фаддеевым и П.П. Кулишом, Н.Ю. Решетихи-пым, Е.К. Скляниным, J1.A. Тахтаджяном, и на работах, посвящеЕшых квантовому методу обратной задачи. Коротко, этот подход заключается

Tannaka. Uber den Dualitatssatz der nichtkommutativen topologischen Gruppen // Tohoku Math. J., 45, 1939, P. 1-12.

2М.Г. Крейн. Принцип двойственности для бикомпактной группы и квадратной блок-алгебры // Докл. Акад. Наук СССР, 69, 1949, С. 725-728.

3W.F. Stinespring. Positive functions on C*-algebras // Proc. Amor. Math. Soc., 1955, P. 211—216.

4N. Tatsuuma. An extension of AKHT theory of locally compact groups // Kokyuroku RIMS, 314, 1977.

5M. Takesaki. Duality and von Neumann algebras // Bull. Amer. Math. Soc., 77:4, 1971, P. 553-557.

в деформации обертывающих алгебр полупростых алгебр Ли.

Теория компактных квантовых групп и полугрупп относится ко второму, более позднему подходу. Польский физик C.JI. Воронович6, а также J1.JI. Ваксман и Я.С. Сойбельман7 предложили использование операторных алгебр в теории квантовых групп и построили пример квантовой группы SUq(2). Позднее Вороновичем для этого подхода, в духе некоммутативной геометрии, развитой А. Конном, было сформулировано понятие компактной квантовой группы как С*-алгебры с дополнительной структурой. Это понятие явилось С*-алгебраическим аналогом алгебры Хопфа, а значит, включает в себя более ранний алгебраический подход. Теория компактных квантовых групп основана на понятии алгебры Ка-ца, алгебры Хопфа-фон Нойманна, что позволило исследовать обобщение теории двойственности Понтрягина на некоммутативные квантовые группы. Данная теория, кроме самостоятельного интереса, имеет широкое приложение в современной математической физике.

Теории компактных квантовых групп посвящено достаточно большое число статей. Большинство из нетривиальных примеров построены по следующему принципу. Из классической группы (например SU(2)) конструируется *-алгебра Хопфа, которая пополняется и замыкается по универсальной С*-норме (SUq(2)). Затем доказывается, что копроизведение в алгебре Хопфа продолжается на полученную С*-алгебру, и превращает эту алгебру в компактную квантовую группу.

С другой стороны, вопрос о задании структуры компактной квантовой группы по конкретной С*-алгебре остается открытым.

Позже в работах А. Ван Даэля8 возникло естественное обобщение компактных квантовых групп - локально компактная квантовая полугруппа. Этот более широкий класс объектов мало изучен. В настоящее

6S.L. Woronowicz. Compact quantum groups // Symetries quantiques (Les Houches), 1995, pp. 845884.

7Л.Л. Ваксман, Я.С. Сойбельман. Алгебра функций на квантовой группе SU(2)// Функциональный анализ и его приложения, т.22, 3, 1988, С. 1-14.

8A. Van Daele. Multiplier Hopf Algebras // "frans. Amer. Math. Soc., 342, 1994, P. 917—932.

время нет устоявшегося определения компактной квантовой полугруппы. Однако проводятся исследования, направленные на определение этого объекта и построение примеров. Один из таких примеров можно найти работе К.Кавамура9, где квантовая структура задается на прямой сумме алгебр Купца. Задача построения нетривиальной структуры компактной квантовой полугруппы на конкретной С*-алгебре стала активно изучаться лишь в последние годы.

Цель работы. Построение нетривиальных примеров компактных квантовых полугрупп на некоммутативных С*-алгебрах. Задание структуры компактных квантовых полугрупп па алгебре Теплица и полугрупповых С*-алгебрах. Исследование таких компактных квантовых полугрупп, объединение их в одну категорию. Построение структуры банаховой алгебры на двойственном пространстве к полугрупповой С*-алгебре при помощи заданной квантовой структуры, а также интегрального исчисления при помощи меры Хаара. Предложение подхода для исследования двойственности между дискретными абелевыми полугруппами с сокращением и компактными квантовыми полугруппами, включающий двойственность Понтрягина для абелевых групп.

Общая методика исследования. В работе применяются методы функционального анализа и теории функций. Для построения и исследования примеров квантовых полугрупп используется операторный подход. Основные определения теории компактных квантовых полугрупп взяты из публикаций А. Ван Даэля, C.JI. Вороновича, Дж. Мерфи и Л. Тюсец.

Научная новизна. С появлением операторного подхода в теории квантовых групп возник вопрос существования и задания непрерывного

9Kawamura, К. C*-bialgebra defined by the direct sum of Cuntz algebras //J. Algebra, 319, 2008, pp. 3935-3959.

копроизведения на конкретных С*-алгебрах. Ранее этот вопрос был мало изучен. В данной работе рассматривается такая задача для целого класса С*-алгебр. В частности, приводится построение структуры компактной квантовой полугруппы на алгебре Теплица.

Ранее полугрупповые С*-алгебры не рассматривались в теории некоммутативных пространств, компактных квантовых полугрупп и компактных квантовых групп. В данной диссертации впервые показано, что класс С*-алгебр, порожденных изометриями, можно рассматривать как алгебры функций на некоторой компактной квантовой полугруппе.

Наиболее известный представитель этого класса - алгебра Теплица. Эта алгебра ранее встречалась в работах по теории квантовых групп. Так, в литературе10 алгебра Теплица возникает как деформация алгебры функций на единичном диске U. Эта деформация является алгеброй функций на квантовом пространстве, называемом квантовым диском. Следовательно, алгебра Теплица описывает квантовый диск. Возникает вопрос существования на квантовом диске структуры квантовой полугруппы или квантовой группы.

П. Солтан11 высказал предположение, что алгебра Теплица не соответствует никакой компактной квантовой группе и привел некоторые аргументы в пользу этого суждения. Однако, в силу отсутствия доказательства, этот вопрос остается открытым.

В данной работе алгебра Теплица наделяется структурой алгебры функций на компактной квантовой полугруппе. Доказывается, что эта квантовая полугруппа содержит единичную окружность как подгруппу. Затем полученные результаты обобщаются на полугрупповые С*-алгебры, порожденные изометриями.

Для построенной квантовой полугруппы показан ряд свойств, харак-

10S. Klimek, A. Lesniewski. Quantum Riemann Surfaces I. The Unit Disc // Commun. Math. Phys., 146, 1992, pp. 103-122.

11P.M. Soltan. When a Quantum Space is not a Group? // Banach Center Publications, Proceedings of "Banach Algebras 2009", 91, 2010, P. 353-364.

терных для теории, развитой С.Л. Вороновичем, но не встречавшихся ранее у квантовых полугрупп. Построенные компактные квантовые полугруппы объединяются в одну категорию. Построен инъективный функтор из этой категории в категорию абелевых полугрупп. Таким образом, впервые предъявляется способ квантования уже имеющейся абелевой полугруппы, без параметра q.

Впервые для исследования компактной квантовой полугруппы используется теория инверсных полугрупп, и слабых алгебр Хопфа. Ранее связь между полугрупповыми биалгебрами инверсных полугрупп и конечномерными биалгебрами была показана A.M. Вершиком12.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и приведенные конструкции открывают новые возможности в изучении теорий квантовых симметрии и суперсимметрий, а также в их практическом применении.

Апробация работы. Основные результаты были доложены на следующих конференциях и семинарах:

• Operator Algebras and Quantum Groups - Conference in honour of S.L. Woronowicz's seventieth birthday, г. Варшава, Польша, 19-23 сентября 2011. Название доклада: Infinite Compact Quantum Semigroup.

• Noncommutative Geometry and Quantum Groups, г. Осло, Норвегия, 8-15 июня 2012. Название доклада: On compact quantum semigroups and reduced semigroup C*-algebras.

• Operator Theory, г. Тимишоара, Румыния, 2-7 июля 2012 г. Название доклада: The reduced semigroup C*-algebra and its dual algebra.

12А.М. Вершик. Двойственность Крейна, позитивные 2-алгебры и дилатацня коумножсний // Функциональный анализ и его приложения, Т. 41 (2), 2007, с. 24-43.

• Семинар профессора А.Я. Хелемского "Алгебры в анализе", Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 2 ноября 2012 г.

• Петербургский семинар по теории представлений и динамическим системам, б февраля 2013 г., г. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение математического института им. В.А. Стеклова РАН.

• Шестая международная молодежная научная конференция «Тин-чуринские чтения», Казань, 27-29 апреля 2011 г., "Построение структуры биалгебры на алгебре Теплица".

• Десятая международная Казанская летняя научная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 1-7 июля 2011 г., "Бесконечномерная компактная квантовая полугруппа".

• Десятая международная Казанская научная школа-конференция «Лобачевские чтения-2011», Казань, 31 октября-4 ноября 2011 г., "Структура некоторых С*-биалгебр".

• Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук», Казань, ноябрь 2011 г., "Compact quantum semigroup".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата. В работах [1], [2], [7] С.А. Григоряну принадлежат постановки задач, доказательство утверждений принадлежат двум другим соавторам в равной мере. В работах [3], [5], [6], опубликованных в соавторстве, результаты принадлежат авторам в равной мере. Работы [1]-[3] опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Работа набрана в системе LaTeX2e и содержит 122 страницы.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построен первый пример компактной квантовой полугруппы на некоммутативной С*-алгебре - алгебре Теплица Т. Доказано, что эта компактная квантовая полугруппа содержит в себе плотную слабую алгебру Хонфа с тем же копроизведением. Приведены примеры неэквивалентных копроизведений, задающих структуру компактной квантовой полугруппы на алгебре Теплица. Доказано, что стандартная компактная квантовая группа на C(Sl) является квантовой подгруппой в (Т, А).

2. На двойственном пространстве к алгебре Т определяется структура ассоциативной банаховой алгебры с единицей. Найден функционал Хаара на (7~, А). Доказано, что банахова алгебра регулярных борелевских мер на окружности со сверткой в качестве умножения изометрически вкладывается в двойственную алгебру к алгебре Теплица.

3. Построена категория Q<Sred компактных квантовых полугрупп на категории приведенных полугрупповых С*-алгебр. Показано существование инъективного функтора из категории <2<Sred в категорию <Sab абелевых дискретных полугрупп с сокращением.

Основное содержание работы

Первая глава, состоящая из семи параграфов, посвящена описанию квантовых групп в рамках алгебраического подхода. Такие квантовые группы называются конечными, поскольку в этой теории используются

лишь конечномерные алгебры. Вся теория компактных квантовых групп основывается на аксиомах и конструкциях, приведенных в первой главе. В параграфе 1.2.2 приводится описание понятия *-алгебры Хопфа — основного класса квантовых групп, появившегося задолго до самого понятия квантовой группы.

Глава 2 состоит из двух разделов. Первый посвящен предварительным сведениям о С*-алгебрах. С*-алгебра — это комплексная инволю-тивная банахова алгебра, в которой норма удовлетворяет следующему соотношению для любого а:

||аа*|| = ||а||2.

Второй раздел представляет собой краткое описание основных фактов теории С*-алгебр Хопфа. Изложение теории С*-алгебр Хопфа во втором разделе второй главы начинается с определения компактных матричных псевдогрупп, так как исторически именно они были предшественниками компактных квантовых групп и полугрупп. Позднее, исключив из понятия компактной матричной псевдогруппы лишние требования, С.Л. Воронович определил компактную квантовую группу.

Пусть А - унитальная С*-алгебра. Унитальный ^-гомоморфизм А: А А® А называется копроизведением на А, если он удовлетворяет условию коассоциативности:

(А ® 1с1)А = (1(1® А)Д.

Пара (А, А) С*-алгебры А с единицей и копроизведением А на А называется компактной квантовой полугруппой.

Компактная квантовая группа — это компактная квантовая полугруппа (Л, А), такая что множества

(1®Л)Д(Л) и (Л®1)Д(Л)

являются линейно плотными в А® А.

Классическим примером компактной квантовой группы (полугруппы) является алгебра непрерывных функций на компактной группе (полугруппе), где копроизведение определяется равенством (Д(/))(х,у) = /(ху). Верно и обратное. Компактная квантовая группа (А, А) с коммутативной алгеброй А является алгеброй непрерывных функций на компактной группе.

Компактная квантовая группа - это алгебра функций на квантовой группе, которая отличается от алгебры функций на обычной компактной группе некоммутативностью.

Для компактных квантовых групп, аналогично теории *-алгебр Хопфа, вводится понятие функционала Хаара.

Пусть (Л,Д) - компактная квантовая группа и А - пространство непрерывных линейных функционалов на А. Нормированное состояние к € Л назовем функционалом Хаара на А, если для любого функционала р е А выполняются равенства

Н*р = р*к = \р-Н, Хр 6 С.

Здесь * - произведение в А, порожденное копроизведепием Д на А. С.Л. Воронович6 доказал, что для любой компактной квантовой группы существует единственный положительный функционал Хаара.

Глава 3 посвящена компактным квантовым полугруппам. Основные результаты опубликованы в работах [1], [2], [4], [5], [9].

В этой главе приводится конструкция компактной квантовой полугруппы на алгебре Теплица Т. Прежде показываются важные свойства этой алгебры, такие как разложимость операторов в ряд Фурье, критерий компактности. Конечная цель - исследование двойственной алгебры к алгебре Теплица, которая порождается квантовой структурой.

Теорема 3.3.1. Существует копроизведение Д: Т —> Т®Т, такое что (Т, Д) является компактной квантовой полугруппой, и при этом не является компактной квантовой группой.

Показывается, что данная компактная квантовая полугруппа содержит в себе окружность S1 как подгруппу. Существует неэргодическое действие S1 на (7~, Д). Алгебра неподвижных точек совпадает с коммутативной С*-алгеброй ТоВ 1998 г. Ф. Ли13 определил объект, который явился естественным обобщением понятия алгебры Хопфа. Пусть А - алгебра (без нормы) с заданным на пей копроизведением Д : А -> А © А. Символом m обозначим отображение произведения трех элементов алгебры A, m(a®b<gic) = abc.

Пусть существует линейное отображение Т: А -» А, такое что

m(id ® Т <g> id)(A <g> id)A = id,

m(T ® id ® Т)(Д ® id)A = T.

Тогда A называется слабой алгеброй Хопфа, а Т — слабым антиподом.

Классическим примером слабой алгебры Хопфа является полугрупповая алгебря инверсной полугруппы. В работе А.М. Вершика12 доказан результат, из которого следует, что любая конечномерная полупростая кокоммутативная ипволютивная биалгебра изоморфна слабой алгебре Хопфа.

Теорема 3.4.2. В компактной квантовой полугруппе (Т, Д) существует плотная подалгебра со структурой слабой алгебры Хопфа и копроизведением Д.

Заметим, что похожий результат известен в общем случае в теории компактных квантовых групп. Каждая компактная квантовая группа содержит плотную *-алгебру Хопфа. Этот факт доказывает, что обобщение топологической теории квантовых групп соответствует обобщениям алгебр Хопфа. В статье [4] предлагается один из вариантов такого обобщения, и предлагаются примеры компактных квантовых полугрупп с указанным выше свойством.

13F. Li. Weak Hopf algebras and some new solutions of the quantum Yang-Baxter équation // J. Algebra, vol. 208, no. 1, 1998, P. 72-100.

В разделе 3.5 при помощи квантовой структуры строится двойственная алгебра к алгебре Теплица Т.

Теорема 3.5.1. С операцией умножения, индуцированной копроиз-ведением на Т, пространство линейных непрерывных функционалов Т является коммутативной банаховой унитальной алгеброй.

С.Л. Воронович показал существование функционала Хаара для любой компактной квантовой группы. Однако, для компактной квантовой полугруппы функционал Хаара может и не существовать, в отличие от компактной квантовой группы. Пример такого объекта можно найти в работе Дж. Мерфи, Л. Тюсец14. Поэтому, для каждого нового примера компактной квантовой полугруппы возникает вопрос существования функционала Хаара.

Теорема 3.5.2. В алгебре Т существует функционал Хаара.

Заметим, что данный функционал не является точным на алгебре 7* и даже на плотной подалгебре. Этот факт отличает приведенную конструкцию от случая компактных квантовых групп.

Обозначим через 70 пространство тех функционалов из Т, которые равны нулю на операторах из алгебры компактных операторов К.

Теорема 3.5.3. Алгебра % изоморфна алгебре M(S1) регулярных бо-релевских мер на окружности со сверткой мер в качестве умножения.

Последний раздел главы 3 посвящен исследованию продолжения теории мультипликативного унитария на компактную квантовую полугруппу. На примерах алгебры Теплица и алгебры непрерывных функций на компактной полугруппе с нулем показывается, что такой оператор и может не существовать для компактных квантовых полугрупп. Но с помощью пентагонального соотношения все-таки можно определить оператор на С*-алгебре, который задает нетривиальное копроизведение, и таким образом является обобщением мультипликативного унитария.

l4G.J. Murphy, L. Tuset. Aspects of quantum group theory // Proc. Amer. Math. Soc., vol. 132, no. 10, 2004, pp. 3055-3067.

Мультипликативным унитарием называется унитарный оператор и S В (H ® Н), удовлетворяющий пентагоналъному соотношению:

Wl2«13«23 = «23^12-

Здесь используются обозначения, определяемые для любого оператора а € В(Н (g> H) следующим образом:

«12 = а ® I, «23 = I ® а, «13 = СГ12а23С12 = 023а120 23,

где а — переставляющий автоморфизм, а(а ® b) = b ® а.

Следующий результат хорошо известен в теории компактных квантовых групп, и впервые был получен С. Баажом и Ж. Скандалисом15.

Пусть (Л, А) - компактная квантовая группа с функционалом Хаара h и (Hh, 7Гд) — ГНС-представление, соответствующее h. Тогда существует мультипликативный унитарий и € B(Hh ® Hh), такой что

(ттл ® 7гд)Д(а) = u{ith(a) ® 7)u*.

Теорема 3.7.3. /íe существует мультипликативного унитария для (Т, А), удовлетворяющего условию

(wh <g> nh)A(a) = и(тть(а) <g> 7)u*.

Глава 4 посвящена полугрупповой С*-алгебре дискретной абелевой полугруппы с сокращением. Практически все понятия и результаты, изложенные в главе 4, опубликованы в работах [3], [7], [10].

Пусть G - компактная абелева группа, группа характеров которой изоморфна аддитивной дискретной группе Г. Обозначим через S полугруппу, порождающую группу Г, то есть

Г = {а-Ь\ a,b€S}.

15Baaj S., Skandalis G. Unitaires multiplicatifs et dualité pour les produits croisés de C*-algébres // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4e série, 26, 1993, pp. 425—488.

Предполагаем, что S содержит 0 - нейтральный элемент группы Г, и не содержит группу, отличную от тривиальной.

Представление полугруппы S в l2(S) оператором сдвига а Та называется регулярным представлением. С*-алгебра, порожденная этим представлением обозначается C^^S).

JI.A. Кобурн16 доказал, что все изометрические (не унитарные) представления полугруппы Z+ порождают канонически изоморфные С*-алгебры. Позднее Р.Д. Дуглас17 обобщил этот результат на полугруппы с полным порядком. Возник естественный вопрос: каким свойством должна обладать полугруппа S, чтобы любые два изометрические представления порождали канонически изоморфные С*-алгебры? Ответ на этот вопрос изложен в работе [3].

Теорема 4.3.1. Следующие два условия эквивалентны:

1. все изометрические неунитарные представления S порождают канонически изоморфные С*-алгебры;

2. естественный порядок на полугруппе S является полным порядком.

В главе 4 доказываются следующие свойства алгебр C*ed(S).

Теорема 4.4.1. С*-алгебра C^^S) является градуированной С*-алгеброй и формально представляется в виде ряда

се г

Здесь 21о — коммутативная С*-подалгебра. Пространства 21с в литературе носят название спектральных подпространств.

Теорема 4.5.2. Существует нетривиальная динамическая систе-Ma(C;ei(S),G,r).

16L.A. Coburn. The C*-algebra generated by an isometry // Bull. Amer. Math. Soc., 73, 1967, pp. 722-726.

17R.G. Douglas. On the C*-algebra of a one-parameter semigroup of isometries // Acta Math., 128, 1972, pp. 143-152.

Обозначим через К коммутаторный идеал алгебры C*ed(S).

Лемма 4.6.4. Элемент А s C*ed(S) принадлежит К тогда и только тогда, когда

\щТ*АТс = 0.

ces

Теорема 4.6.1. Короткая точная последовательность

К ^ C;eA(S) 4 C(G) -» 0,

где id - вложение, £ - фактор-отображение, расщепима. То есть существует сохраняющее инволюцию отображение р: C(G) —» C*ed(S) такое, что £ о р = id.

Основной результат главы 5 - построение для каждой абеле-вой полугруппы S с сокращением компактной квантовой полугруппы ((7*^(5), А). Этот и другие результаты главы 5 опубликованы в [10], [7].

Теорема 5.3.1. Пара (C*ed(S), Д) является компактной квантовой полугруппой и содержит плотную слабую алгебру Хопфа.

Теорема 5.3.3. Идеал К является коидеалом в C*cd(S). Компактная квантовая полугруппа (Cr*ed(5), Д) содержит классическую компактную квантовую подгруппу (C(G),Aq)■ Более того, определено неэргодическое действие G на (C*ed(S),A).

Теорема 5.3.4. Функционал Хаара в (Cf^S))* существует и является чистым состоянием.

Пусть <Sab - категория дискретных абелевых полугрупп с сокращением, морфизмами в которой являются полугрупповые морфизмы. Обозначим через QiSred категорию, объектами в которой являются компактные квантовые полугруппы ((7^(5), Д), построенные так как описано в данной главе, по всем полугруппам S € Obj(<Sab). Морфизмами в категории Q«Sred являются морфизмы компактных квантовых полугрупп.

Теорема 5.4.1. Существует инъективный функтор из категории Q<Sred в категорию ¿>аь-

В параграфе 3.3 на алгебре Теплица Т была задана структура компактной квантовой полугруппы (7~, Д). Возникает естественный вопрос, существует ли другое копроизведение на С помощью конструкций, приведенных в главе 5 на алгебре Теплица можно задать столько структур компактных квантовых полугрупп, сколько существует полугрупп, порождающих Z.

Автор выражает благодарность С.А. Григоряну за плодотворные обсуждения, способствовавшие улучшению диссертации.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Аухадиев, М.А. Компактная квантовая полугруппа, порожденная изометрией / М.А. Аухадиев, С.А. Григорян, Е.В. Липачева // Изв. вузов. Математика. — 2011. - №10. - С. 89-93.

[2] Aukhadiev, М.А. Infinite-dimensional compact quantum semigroup / М.А. Aukhadiev, S.A. Grigoryan, E.V. Lipacheva // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2011. - Vol. 32. -№4. - P. 304-316.

[3] Aukhadiev, M.A. Isometric representations of totally ordered semigroups / M.A. Aukhadiev, V.H. Tepoyan // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2012. - Vol. 33. - №3. - P. 239-243.

[4] Аухадиев, M.A. Компактные квантовые инверсные полугруппы / М.А. Аухадиев // Вестник Казанского государственного энергетического университета. - 2010. - Т. 7. - №4. - С. 57-66.

[5] Аухадиев, М.А. Бесконечномерная компактная квантовая полугруппа / М.А. Аухадиев, Е.В. Липачева // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, мат.о-ва, 2011. - Т. 43. - С. 21-23.

[6] Аухадиев, М.А. Структура некоторых С*-биалгебр / М.А. Аухадиев, В.А. Тепоян // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, мат.о-ва, 2011. - Т. 44. - С. 66-68.

[7] Аухадиев, М.А. Компактные квантовые полугруппы, порожденные абелевыми полугруппами / М.А. Аухадиев, С.А. Григорян, Е.В. Ли-пачева // Материалы международной научно-практической конференции "Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук". - Казань: Казан, ун-т, 2012. - Ч. 1. - С. 104-106.

[8] Аухадиев, М.А. Способ задания структуры компактной квантовой полугруппы / М.А. Аухадиев // Материалы международной научно-практической конференции "Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук". - Казань: Казан, ун-т, 2012. - Ч. 1. - С. 125126.

[9] Аухадиев, М.А. Построение структуры биалгебры на алгебре Теплица / М.А. Аухадиев // Материалы докладов первой всероссийской молодежной научной конференции "Тинчуринские чтения". - Казань: КГЭУ, 2011. - С. 261-262.

[10] Aukhadiev, М.А. The semigroup C*-algebra as an algebra of functions on quantum semigroup // M.A. Aukhadiev // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, мат. о-во, 2012. - Т. 46. - С. 230-232.

Подписано в печать 18.02.2013 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского (Приволжского) федерального университета Тираж 80. Заказ 99/2 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужипа, 1/37

тел.: (843) 233-73-59, 292-65-60

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕС'КИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На і ціанах рукописи

04201355150

Аухадиев Марат Альфредович

С*-л,ігьнрлі-і'іі::слчИі;; квантовые полуп'мшы

01.01.01 — вєіцостг-ієнньій. комплексный и ф\< пкцпопнльный апа им

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-.мате.матических наук

Научный руководитель --док'іор фи шко-математических наук, п рофессор С. А. Г р и і -оря н

Консультант — каї іди да г физи ко-мате.мати ческ и х і іаук, доцент Е.В..Лииачева

Казань 2012

Оглавление

Список обозначений 4

Введение 5

1 Алгебры Хопфа 16 1 1 Внесение 16

1 2 Конечные кван I оные ффпы 20

12 1 Биалгебры 20

122 *-а,пебры Хопфа 23

I 2 *> Ф\ икцпопал \aapa и >п>>ош I генные 4-а,п ебры Хопфа 25

1 2 4 1еи ¡орное произве кчше биажебр 29 125 Фак'юр-бпаш ебра 30

2 Компактные квантовые группы 31

2 1 11 ре цмари | ей 1.1 н.к1 ( ведения о С ''-а ж ебра\ 31

2 I I Определение 31 2 I 2 Комм> I а 1 пвпые С-а п ебры 31 2 13 Состояния и иредс 1авлсппя 32 2 14 Тензорное произведение С*~а и ебр 33

2 2 Сап ебры Хопфа 36

2 2 1 Компак I иые мафичпые пс евдел р\ ппы 36

2 2 2 Примеры 38

2 2 3 Копред сравнения 42

2 2 4 Свопе 115а 42

2 2 5 Компак I пые квап I овы(> 1ппы 45

2 2 6 Квап I овые поч1 р\ ппы 47

2 2 7 Іеорпя предс і <-115 км і п 11 48

2 2 8 И н і сі рал ы юс исчисление 49

2 2 9 Двоисі вснногі ь М\лы пплика і ивпвій ) ни іарпьіп опера гор 49

3 Компактные квантовые полугруппы. Алгебра Теплица 52

З 1 Происхождение кванювои пол\ірупш>і 52

З 2 Аліебра Теплица и предвари і є іьпьіе резулвіаіьі 55

3 2 1 Определение 55 3 2 2 Инверсные пол\і р\ пны 56 3 2 3 І рад\провка аліебрьі 57 324 С і р\ к і) ра а лі ебры Г 59 3 2 5 Іхомпак і мыс опера і оры 63

З 3 Алгебра Тсалица как аліебра функций на кванювой полугруппе 65

З ■> І Іхопроп ліс цмин' 65

З 1 С іабая а пебра \оік])а 67

34 1 Инверсные пол\ір\ппьі и слабвіе аліебрьі Хонфа 67

3 4 2 Аліебра Тспліща и слабая аліебра Хопфа 69

3 5 Двопс і венная алгебра 69

3 5 1 Фмікшіопал \aapa 71

3 6 Іхванювая моднол\ і ])унпа и дспсівпя кваиювых пон\чр\пп 75

361 Іхванювая поді р\ нпа в алі ебрс Г1 сігіппа 76

3 7 ЛІх іьі ип лика і пвнвпі опера і ор 77

37 1 Мульшпликачивпая изомєірия 78

3 72 А п ебра Іеппіца п \і\ іві пп піка і ивпвк опера юры 79

3 7 3 Обобщение 82

4 Полугругіповая алгебра С',+и|(5) 87

4 1 Введение 87 4 2 Необходимые сведения 87 1 3 lio і\ і р\ піювая С*-а лі ебра 90

4 31 И Юме і рнмес кпе пре u і ав ієни я 90 4 4 Аліебра G';(fl(S) 94 4 5 Динамическая сисіема порожденная регулярным предсіавлснпем 97

4 6 И юаны ал 1 обры Г* (|(5') 99

5 Квантования полугрупп 103

5 1 Вне деппс 103 5 2 Компактная квашовая попу1 рупиа 103 5 3 Квашование полуфуппы 5 при помощи ашебрьг С*и]{3) 106

5 ] 1 Копрой ¿вс юнпс' 106

5 3 2 кваптвая по пр^ппа 109

5 3 3 '1воп( I витая а исбра и ф\ пкцпопа | \aapa 110

54 Ка 101 о])П/1 квап ювы\ по |\[ р\ пп 112

5 5 Различные копроизвсдспия на аш обре Теплица 113

Литера гура 1 I 5

Публикации автора по теме диссертации 119

Список обозттачертий:

Список обозначений:

Л О В — алгебраическое тспзортюс произведение алгебр А Б

IIі у II2 — нчпорпое ирои зі« цепне ііі іьбер і оных іг|)о( іраш і із //1 Н>

А X Б - им і іоріюе проїм ведение С"1 -ані об]) Л и Б

А С гг Б — І СП і()рі ЮС ПрОІИНСДСІ II 1с Ііоро/К І.ЄІШОО ІірСД< І ав ІЄШІММП 7Г] II 1\)

ъ (. — ііопуі р\шіа пооі рицагісліпіьі\ їй пых чисел по ( іожснию

Введение

Обіца>і характеристика работы.

А ктуалышсть тем'ы,.

После открытия двойственности ГІонтрягина для нбелевых групп, появилась серия теорем о двойственности для неабелевых групп: теорема Т. Таннаки [301. М.Г. Крейна |10|. а также В.Ф. Сіайпспршіга |37|. Н. Татсуума |40|. На основе теоремы двойственности В.Ф Стайпспрппга, Г.И. Т\иц в І'ХіЗг. иіісіі ііоіія тис ''ко іьцсвьіч групп'", и с помощью этого объекта предложил подход к построению теории двойственности для упимодуляр-пых локально компактных групп, используя алгебру измеримых по ипва])иан тпой мере существенно ограниченных функций на этой группе. Он ввел понятие таких гомоморфизмов ка.к копроизведение. коедпнина и антипод. Алгебра с указанными гомоморфизмами была позже названа а ігеброіі Каца. Впоследствии .VI. Такесаки |38|. пепо іьзуя подход Г.И. Каца. определил іруїшовую гсбру локально компактных групп в общем случае как инволютивпую абелев.у алгебру Хопфа-фоп Нойманпа. с левой инвариантной мерой.

Развитие математической фі-ипки пов/іекло возобновление интереса к алгебрам Хоп(|)а и появление термина, ''квап тование" среди математиков. Существуют два принципиально различных подхода к квантованию. Наиболее известный, особенно в отечественной литературе - это алгебраический подход. В таком виде квантовые группы ввели В. Дринфельд и М. Джимбо в 1983-198-5 годах, основываясь на 'теории уравнений Янга-Бакстера. развитой Л.Д. Фа.-ідесвьім и П.П. Кулишом, Н.Ю. Решетихиным, 1С.К. Скляпипым. .11. А. Tax іаджяпом. и па рабо тах, посвященных кван товому методу обратной задачи. Коротко, этот подход заключается в деформации обертывающих алгебр полупростьгх алгебр Ли.

Теория компактных квантовых групп и полугрупп относится ко второму, более ігозд-

нему подходу. Польский физик С..Л. Воронович |44| а также Л..Л. Вакеман и Я.С. Сой-бе,чь.мап |1| предложили исполь юваппе onepa'i орпых алгебр в теории квантовых групп и lux фоилп пример квантовой группы Sl¡4(2). Позднее Вороповичем для этого подхода, в духе некоммутативной геометрии, развитой А. Конном, было сформулировано понятие компактной квантовой группы как С*-алгебры с дополнительной структурой. Это iioiiM'iiie явилось С*-а лгебраичегкпм аналогом алгебры Хопфа,. а, значит, включает в ( ебм бо ice ра.пппп алгебраический подход. Теория компактных квантовых групп основана па понятии алгебры Каца. алгебры Хопфа-фон Ноймаппа, что позволило исследовать обобщение теории двойственности Понтрягина на некоммутативные квантовые группы. Данная теория, кроме самостоятельного интереса, имеет широкое приложение в современной ма.гема i и ческой физике |18|, |43|, |45|. 13 коммутативном случае компакт-паи квантовая группа есть алгебра непрерывных функций С(С) на компактной абелевой группе G. Разумеется. больший интерес и ре,- ославляет некоммутативный случай.

Теории компактных квантовых групп посвящено достаточное количество статей (см., например, [45], |42] |28], [34]). Большинство из нетривиальных примеров, продемонстрированных в этих работах, построены последующему принципу. Из классической группы (например SU(2)) конструируется ^-алгебра Хопфа, которая пополняется и замыкается по универсальной С*-порме {SUq(2)). Затем доказывается, что копроизведение в алгебре Хопфа продолжается на полученную С*-алгебру, и превращает эту алгебру в компактную квантовую группу.

С другой стороны, вопрос о задании структуры компактной квантовой группы по конкретной С*-алгебре остается открытым. Эта. проблема, открыта даже4 для алгебры Теплица.

Позже в работах А. Bau Даэля |41| возникло естественное обобщение компактных квантовых групп - локально компактная квантовая полугруппа. Этот более широкий класс объектов мало изучен. В настоящее время нет устоявшегося определения компактной квантовой полугруппы. Однако проводятся исследования, направленные на определение этого объекта и построение примеров. Один из таких примеров можно найти в [23|.

Работ, посвященных компактным квантовым полугруппам, пока еще не много. Задача построения нетривиальной структуры компактной кван товой полугруппы на конкретной С*-алгебре стала активно изучаться лишь в последние годы. К примеру. 15 работе |23|

приводится попытка определения ко произведем и я на. прямой сумме алгебр Купца.

Цель работы. Построение нетривиальных примеров компактных квантовых полугрупп на некоммутативных С*-алгебрах. Задание структуры компактных квантовых полугрупп на, алгебре Теплица п пол^ групповых С*-алгебра.х. Исследование гак их компактных квантовых полугрупп, обедипение их в одну категорию.

Построение структуры банаховой алгебры на двойственном пространстве к полугрупповой С*-алгебре при помощи заданной квантовой структуры, а также интегрального исчисления при помощи меры Хаа.ра.

Предложить подход для исследования двойственности между дискретными абелевы-ми полугруппами с сокращением и компактными квантовыми полугруппами, включающий двойственность Понтрягина для абелевых групп.

Методика ■исследования. В работе применяются методы функционального анализа и теории функций. Для построения п исследования примеров квантовых полугрупп используется операторный подход. Основные определения теории компактных квантовых полугрупп взяты из публикаций |32|, |'11|, |28|.

Научная новизна. Известные примеры компактных квантовых групп и полугрупп строятся как замыкания *-алгебр Хопфа в подходящей норме таким образом, чтобы копроизведение продолжалось до непрерывного гомоморфизма. С появлением операторного подхода в теории квапловых групп возник вопрос существования и задания непрерывного копроизведепия па конкретных С*-алгебрах. Ранее этот вопрос; был мало изучен. В дайной работе рассматривается такая задача для целого класса С*-алгсбр. В частности, приводится построение структуры компактной квантовой полугруппы на алгебре Теплица.

Ранее полугр\ пповыс С*-алгебры не рассматривались в теории некоммутативных пространств, компактных квантовых полугрупп и компактных квантовых групп. В данной диссертации впервые показано, что класс С*-алгебр, порожденных изометриями, можно рассматривать как алгебры функций на некоторой компактной квантовой полугруппе.

Наиболее известный представитель этого класса - алгебра Теплица. Эта алгебра ранее встречалась в работах по леорпи квантовых групп. Так. в работе |25| алгебра Теплица возникает как деформация алгебры функций па единичном диске II. Эта. деформация является алгеброй функций на квантовом пространстве, называемом квантовым

диском. Следовательно, алгебра Теплина описывает квантовый диск. Возникает вопрос существования на квантовом диске ырхктуры квантовой полугруппы или квантовой группы.

П. Солтан в статье |36] высказал предположение, что алгебра Теплица не соответствует никакой компактной квантовой группе и привел аргументы в пользу этого суждения. Однако, в силу отсутствия доказательства, этот вопрос остается открытым.

В данной рабсле алгебра Теплица наделяется структурой алгебры функций па компактной ква.птовон полугруппе. Доказывается, что эта квантовая полугруппа содержит единичную окружное! i5 как подгруппу. Затем, полученные резул ьтаты обобщаются на полугрупповые С*-алгебры, порожденные изометриями.

Для построенной к вахтовой полугруппы показан ряд свойств, характерных для теории. развитой C..U. Вороиовнчем. но не встречавшихся ранее у квантовых полугрупп. Построенные компактные квантовые полугруппы объединяются в одну ка,тегорию. Построен инъективный функтор из этой категории в категорию абелевых полугрупп. Таким образом, впервые предъявляется способ квантования уже имеющейся абелевой полугруппы. без параметра q.

Впервые дли исследования компактной квантовой полугруппы используется теория инверсных полугрупп, и слабых алгебр Хопфа. Ранее связь между полугрупповы.ми би-алгебрами инверсных полугрупп и конечномерными биалгебрами была показана A.M. Вершиком в работе [2|. Из результата, доказанного в этой статье, следует, что любая конечномерная полу простая коко.ммута тивпая инволютивная биалгебра изоморфна слабой алгебре Хопфа. Примеры, построенные в данной диссертации, также подходят под -л'о описание.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и приведенные конструкции открывают новые возможности в изучении теорий квантовых симметрии и суперсимметрий, а 'также в их практическом примеиепи и.

Л'п:робап;ая работы. Основные результаты были доложены наследующих конференциях и семинарах:

• Operator Algebras and Quantum Groups - Conference in honour of S.L. Woronowicz;s seventieth birthday, г. Варшава. Польша, 19-23 сентября 2011. Название доклада:

Iníinit.e Compact Quantum Semigroup.

• Noncommutative Geometry and Quantum Groups, г. Осло, Норвегия, 8-15 июня 2012. Название доклада: On compact quantum semigroups and reduced semigroup C*-algebras.

• Opeiaior Theory. г. Тиминюара. Румыния. 2-7 июля 2012 г. Название доклада: The reduced semigroup C*-algebra and its dual algebra.

• семинар профессора А.Я. Хелемского "Алгебры в анализе'', Московский государственный унивсреи re г им. M.L3. .Ломоносова, 2 ноября 2012 i.

• Петербургский семинар по теории представлений и динамическим системам, 6 февраля 2013 г., г. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение матемагического института им. В.А. Стеклова.

• Шестая международная молодежная научная конференция «Тинчуринские чтения». Казань. 27-2У апреля 2011 г. "Построение структуры биалгебры па алгебре Теп и ш ta'"'

• Десятая международная Казанская летняя научная школа-конференция «Теория функций, се приложения и смежные вопросы», Казань, 1-7 июля 201 1 г. ''''Бесконечномерная компактная квантовая по ivrpviina"

• Десятая международная Казанская научная школа-конференция «Лобачевские чтепия-2011», Казань, 31 октября-4 ноября 201 L г. "Структура некоторых С*-биалгсбр".

• Международная паучно-пра.к гпческая конференция «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных' на.ук». Казань, ноябрь 2011 г "Compact; quantum semigi oup'".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце работы.

С/т:ру%т:цра а, объем, работы. Диссертация сосгоит пз введения, пяти гнав и списка литературы. Работа набрана в системе LaTeX2e и содержит 122 страницы.

На зали;ату выносятся следую иi;ae результаты.

1. Построен первый пример компактной квантовой полугруппы на некоммутативной С*-алгебре - алгебре Теплица Т. Доказано, что эта компактная квантовая полугруппа содержит в себе плотную слабую алгебру Хопфа с гем же конроизведеиием. Приведены примеры неэквивалентных копроизведепий, задающих структуру компактной квантовой полугруппы на алгебре Теплица. ^Доказано. что стандартная компактная квантовая группа наС(5') является квантовой подгруппой в (Т, А).

2. На. двойственном прост ])апстве к алгебре Т опредетяется структура ассоциативной банаховой алгебры с единицей. Найден функционал Ха,а,ра па (7~, А). Доказано, что банахова алгебра регулярных борелевских мер па окружности со сверткой в качестве умножения изометрически вкладывается в двойственную алгебру к алгебре Теплица.

3. Построена категория Q¿>H.<i компактных квантовых полугрупп па категории приведенных подугрупповых (Ф'-адгебр. Показа,по существование ипъективпого функтора из кате1'0])ии Qó1,,.,] в kai'eropnio S„b абелевых дискретных полут [>упп с сокращением.

Основное содержание работы.

Первая глава, состоящая из семи параграфов, посвящена описанию квантовых групп в рамках алгебраического подхода.. Такие квантовые группы называются конечными, поскольку в этой теории используются лишь конечномерные алгебры. Вся теория компактных квантовых групп основывается на аксиомах и конструкциях, приведенных в первой главе В параграфе 1.2.2 приводится описание понятия *-алгебры Хопфа — основного к.ла.сса квантовых групп, появившегося задолго до самого понятия квантовой группы.

Глава 2 coctoi-ii из двух разделов. Первый посвящен предварительным сведениям о С*-алгебрах. Второй раздел представляет' собой краткое описание основных фактов теории С*-алгебр Хопфа. Положение теории С*-алгебр Хопфа во втором разделе второй гтавы начинаете я с определения компактных матричных псевдогрупп, так как исторически именно они были предшественниками компактных квантовых групп и полугрупп. Позднее, исключив из понятия компактной матричной псевдогруппы лишние требования, С.Л. Воропович определил компактную квантовую группу.

Пусі і) А - упитальнан С*-а.лгебра. У мита, ¡ьный *-гомоморфйзм А- А —> A <g> А называется коїьртивсОашем па /1, сени он удовлетворяет условию коассоциаливности:

(Д м І<1)Д = (ні Д)Д.

Пара (А, Д) С*-алгебры А с единицей и копроизведением Д ira А называется компактной квантовой полугруппой.

Компактная квантован, /рунна, - --по компактная квантовая полугруппа (А Д), такая чго множества

(1®Л)Д(А) и (Л®1)Д(Л)

являются линейно плотными в A (R> А.

Классическим примером компактной квантовой группы (полугруппы) является алгебра непрерывных функций па компактной группе (полугруппе), где копроизведепие определяется равенством (Д(/))( >:. ij) = 1{'і-у). Верно и обра тное. Компак тная квантовая группа [А, Д) с коммутативной алгеброй А является алгеброй непрерывных функций на компактной группе.

К о ми аъ m нал ьвант.оваи. г/njnna гто ангебра (¡іуньч/иїї, на ъншгшоыуи г'рунпс. v un порам отличастся от, алгебры, фун:кн;и,й. на, обыч'ной, компактной группе только некомму-тантвност'шо.

Для компактных квантовых групп, аналогично теории *-алгебр Хопфа, вводится понятие функционала Хаара.

Пусть (АД) - компактная квантован группа и А - пространство непрерывных линейных функционалов па А. Нормированное состояние h, Є А назовем функи;аоналом Хаа/ра |44| па А. если для /побої о функционала р Є А выполняю гея равенства

h * р = р * h = Ар • h. Ар Є С.

13 работе |44| СЛ. Воронов, ином доказано, что для любой компактной квантовой группы существует едипел венный положи тельный функционал Хаара.

Глава 3 посвящена ком