Порождение классов полугрупп при помощи гомоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

санкт-петербургский государственный университет Р Г 8 О Д пРавах рукописи

г ? ЦиП ШЗ

петров Алексей Аверьянович

погож1шние классов полугруш

при помощи гошморгиз;.юЕ

Специальность ОТ.ОТ.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

санкт-иьрербург 1993

Работа выполнена на кафедре алгебры Российского государственного педагогического университета им.А.И.Гернена.

Научный руководитель: доктор йнзико-матоматичэских наук, профессор Е.С.ЛЯШШ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор И.С.П0НИ30ГСКИЙ

кандидат (бизико-математических наук С. И.КУ 351А1 ЮТСК1Г!

Ведущая организация: Поморский международный педагогический университет им. М.В.Ломоносова

Зашита состоится "'2&' Ян£с>/>/1_ Т994 г. в/У '^часов

на заседании специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского университета.

Защита будет проводиться по адресу: Санкт-Петербург, наб." р.Фонтанки, 27, 3-й эта«, зал ЗТ1 (помещение НО.МИ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени А.М.Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан ЪгшВрЗ 199Зг.

Ученый сакретерь специализированного

совета, доиент Р.А.Шмидт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Шстоящая работа посвящена порождению классов полугрупп при помогай гомоморфизмов. В современной алгебре, при изучении некоторых классов алгебраических систем играет важную роль тот факт, что все системы исходного класса могут бить получены в качестве гомоморфных образов из некоторых систем этого класса, строение и свойства которнх можно выяснить более полно, чем в общем случае. Ьвашей-шим классом ачгебраических систем является многообразие алгебраических систем, в которнх как известно, для кеждого бесконечного кардинала ^ любая алгебраическая система из рассматриваемого многооЗраяил, с мощностью, не превосходящей ^ , есть гомоморфный образ свободной алгебраической системы из этого многообразия ранга ^ . Это обстоятельство играет вамную роль, в частности, в теории групп и в теории полугрупп.

Б связи с этим возникает проблема: возможно ли выделение в некоторых классах полугрупп, помимо многообразий, подкласса, состоящего из меньшего числа полугрупп, из полугрупп которого могут быть получены все полугруппы исходного класса как гомоморфные образы. Особо ьа:>сен случай, когда такой выделенный подкласс содержит рошо одну полугруппу. Один из возможных способов решения указанной проблемы описан в работе Е.С.Лялина ПтЗ , в которой показано, что'для любой полугруппы Ъ из тождественно вклшительного многообразия, имеющего конечную длину, существует слабо свободная полугруппа ^ ранга\<ъ\ из этого тождественно вклшительного многообразия, такая, что есть гомоморфный образ Р .

Отсюда является важным выделение таких минимальных, в некотором смысле, подклассов, которые порождают исходный класс при помощи гомоморфизмов, но любой собственный подкласс этих подклассов не порождает исходный класс при помощи гомоморфизмов. Б случае, когда такие минимальные пороядающие подклассы существуют, необходимо выяснить, сколько таких подклассов и из какого кличества полугрупп они состоят. В наиболее явном вида такие вопросы поставлены Е.С.Ляпиным в С2] .

В качестве изучаемых классов полугрупп б настоящей работе рассматриваются следующие: класс всех регулярных полугрупп; класс всех вполне регулярных полугрупп; класс всех простых слева (справа) полугрупп; класс всех вполне простых полугрупп; класс всех идеально простых полугрупп; класс всех полугрупп, кажды? элемент которых облапает своим правим ( левым, двусторонним) нулем; класс полугрупп порожденных элементами конечных типов; класс полугрупп порожденных нильэлементами; классы полугрупп, разложимых в связки; классы полугрупп, в которых разрешимы некоторые полугрупповыв уравнения и некоторые другие классы полугрупп.

Цель работы. Выделение типов классов полугрупп, звшнутих относительно гомоморфизмов и выяснение, к какому типу принадлежит рассматриваемый класс полугрупп.

Методы исследования. I работе использованы следующие методы: разлочения полугруппы в связку своих подполугрупп; вложения полутруппы в надполугрупну; метод раз-дуеания полугруппы.

Научная н о в и з н а. 1 се основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории полутрупп при изучении строения некоторых классов полугрупп и п областях применения теории полугрупп.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на алгебраическом сомяпэре им. Л.К.Фадеева (Санкт-Петербург, Т.ЮЗ гол), на Гернеловских чтениях (Санкт-Петербург, Т992-ТЭь'3 годы), т Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп (Т'.'из год).

Публикации. Список опубликованных работ приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 74 страницах машинописного текста, состоит из шести параграфов. Библиография включает 19 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Перви;' и РтороГ, параграфы посвящены основным определениям и вспомогательным результатам, используемым на протяжении всей работы.

Пусть некоторый класс полугрупп, класс всех полутрупп, являющихся гомоморфными образами полугрупп из "2. обозначим НС2Л .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть дан класс полугрупп , с.~2 Будем говорить, что порождает^ при помощи гомоморфизмов, если выполняется равенство МСЗ:^ ="2 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть дан класс полугрупп^ и'^с.'ЗЕ. такой, что НСзГ) =2 . 'Й! называется неприводимым порождающим подклассом класса "2 при помощи гомоморфизмов, если никакой собственный подкласс класса""2\ не пороадает при помощи гомоморфизмов.

Говорят, что класс полугрупп совпадает с классом полугрупп ^ц , о точностью до изоморфизмов, если любая полугруппа из "21 изоморфна некоторой полутругпе из а, и обрат-,но, любая полугруппа из~2г изоморфна некоторой полугруппе из

ОПРГ'ДЕЯЕНЖ. 11усть"2» неприводимый порождающий подкласс класса при помощи гомоморфизмов. Будем говорить, что~21 единственный, с точность» до изоморфизмов, неприводимый порождающий подкласс классапри помощи гомоморфизмов, если любой неприводимый порождающий подкласс класса"5. при помощи гомоморфизмов совпадает с"5| , с точностью до изоморфизмов.

Доказано существование лишь пяти типов классов полугрупп замкнутых относительно гомоморфизмов, с точки зрения существования неприводимых порождао-гих подклассов при помощи гомоморфизмов.

1. Класс полугрупп не обладает неприводимым порождающим подклассом.

2. Б классе полугрупп существует единственная, с точностью до изоморфизмов, полугруппа, порождающая этот класс при помощи гомоморфизмов.

3. В классе полугрупп существуют неизоморйные полугруппы, каждая из которых порождает этот класс при помощи гомоморфизмов.

4. В классе полугрупп существует единственный, с точностью до изоморфизмов, неприводимый порождающий подкласс, содержаний более одной полутруппы.

5. В классе полугрупп существуют неприводимые порои-дагацие подклассы, не совпадаюпие с точностью до изоморфизмов, какдый из которых состоит из более чем одной полугруппы.

ПРЕД,"02ИИЕ 1.6. Ксли в классе полугрупп существуют неприводимые порождающие подклассы, тогда Есе они раЕиошшш.

Пусть^ некоторый класс полугрупп,4^ произвольный кардинал. Через обозначим класс всех полугрупп из "2 имеющих модность не более чем Ч . Подкласс всех полугрупп из"2г имеющих мощность ровно ^ обозначим013.

В третьем и последующих параграфах рассматриваются только классы полугрупп замкнутые относительно гомоморфизмов.

В третьем параграфе рассматриваются классы полугрупп с числом элементов не более заданного фиксированного натурального числа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Дяя произвольного класса полутрупп "2-и любого \ris-sJ , в классе существует единственный, с

точностью до изоморфизмов, неприводимый порокавю^иИ подкласс при помощи гомоморфизмов.

На основании этого предложения имеем, что для любого и любого класса полугрупп "2- , класс "Зг'""4 чкеет либо тип Я, либо тип 4,

ЛИМА 3.3.1. Ксли для всякого «е-м^'Д класс содержит

две неи-'оморйние полугруппы, тогда для любого класс

имеет тип 4.

В этом же параграфе определены типы каждого из рассматриваемых классов полутрупп.

В четвертом параграфе рассматриваются классы полугрупп, разложимых в связку.

ЛЕММА 4.1.3, Пусть 8 полурешетка 6 полугрупп ,

(Ь е-Ь. Если \Ы •» х., где кеМ , тогда существует "3> полурешетка Ъ' полугрупп » . где №>'такая, что 5 есть гомоморфный образ <=>' .

ЛЕММА 4.Т.З, Пусть кесткая полурешетка Ь полугрупп <?>{> , . Если , к&М тогда существует <3>' жесткая

полурешетка 1У полугрупп 'В.Ч1 , у»1 , где такая, что

'з есть гомоморФннй образ .

Применение этих лемм позволяет доказать предложение 4.2 и предложение 4.4.2.

ПРЕДЯОЖКПИЕ 4.2. Пусть "2 класс полугрупп, разлояимых в полурешетку, кем ,(у, состоит из всех полугрупп из "2- , у которых наибольшее полурешеточное разложение содержит не более чем к компонент. Если к^з , тогда не существует полугруппы ЧУ из такой, что .

Отсюда следует, что в классе — всех инверсных вполне регулярны* полугрупп, содержащих яе более чем компонент, при не существует полугруппы № тако", что

Пусть Г класс полурешеточно неразложимых полугрупп обладающих единственным идемпотентом - единице**.это ктасс полугрупп разложимых в жесткую полурешетку полугрупп из , «леМ , "^„-^С О это подкласс полугрупп из С О, рее полугруппы которого имеют наибольшее полурешеточное разложение в жесткую полурешетку не более чем у\ компонент. Известно ( 131, с.5Т ), что всякая полурешетка полугрупп обладающих единственным идемпотентом единицей, есть честная полурешетка, поэтому мочем говорить о наибольшем полурешеточном разложении в жесткую полурепетку.

ОТШОШШК 4.4.Й. Если существует такой кардинал ^ , что в V существует свободная полугруппа О ранга ^ и она хопгова, тогда для любого Ае-Ы , в классе ТгЕ^СНСоУ! существует единственный, с точностью до изоморфизмов, неприводимый порождавший подкласс при помогай гомоморфизмов. При*** юга о о имеет тип 4.

Пусть а класс инверсных вполне регулярных полугрупп, содержащих не более чем няемнотентов, и у которых кэждая

подгруппа обладает порождающим множеством, содержащим да более чем к элементов, п,».е=Ы . На основании предложения 4.4.2 при и класс "2(V,,«} имеет тип 4.

В пятом параграфе рассматриваются классы полугрупп, порожденных элементами специального вида.

ПРШОШОК 5.1. Пусть~5; класс полугрупп порожденных элементами конечного типа. Тогда для любого бесконечного кардинала , класс~2^ имеет тип 3.

ПРШОНЕННЕ 5.2. Пусть класс полугрупп порожденных нильэлементами. Тогда для любого бесконечного кардинала \ , клзсс полугрупп '2:^ имеет тип 3.

В начале шестого параграфа рассматриваются некоторые многообразия полугрупп. Известно отроение следующих многообразий полугрупп Л\6е£-=-гЛ") . Кз этого следует,

что для любого бесконечного ¿гардинала ^ , классы полугрупп , , П ччс^'2.-0) имеют ттп 2.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.1. Пусть совокупность тождеств удовлетворяет условиям:

1. Лля любого, тождества ьл-и^ из 'Р' , длины слов ии, не меньше чем 2.

2. Тождество »^х не является следствием из совокупности тождеств Ф .

Тогда для любого бесконечного кардинала \ , класс полугрупп имеет тип 3.

Б этом яе параграфе рассматриваются полугрупповые уравнения.

Лля непустых множеств В и С , под понимаем мно-

жество всех отображений С в Ь . Пусть й , С иЪ такие непустые иночества, что ЬпС = . Лля элементов"? и -V« Т>с под "Я+Ч1 понимаем элемент из действующи?

по правилу:

-УсеС , С^^Со1)-ч'Сс>,

Пусть V некоторый алфавит,У) полугруппа всех непустых слов над алфавитом У . Для произвольной полугруппы Ъ и произвольного элемента , под ^В понимаем гомоморфизм

"Ж (X) в S , являющийся продолжением отображения ^ •

Пусть А , X некоторые ,..,<ruV

Иолугрупщдам уравнением 6" называется пара слов связанная форглальнш знаком оагенства u.-u,, , где , слова над АиХ .

OilFüiWUUuE. Пусть S. некоторая полугруппа. Будем говорить, что OTOÖpa-Kemie^icS* реализует в S полугрупповов урав -не яле с помощь» отображения "V&e* , если в полугруппе

имеет место равенство ^^Vtu.^ «Чл^^О-0ПР1ДМКШ1К. Будем говорить, что в полугруппе S реализуется полугрупповов уравнение в" ( если для любого отображения найдется "?>х такое, что ^ реализует 6> в полугруппе Ъ с помощью Ч"

Пусть конечная система полугрупиових уравнений

ОПРЕЛКЕЬПИЕ. Будем говорить, что ^ реализует в полугруппе систему полугрупповых уравнений Д. с помощью "Ve1^* , если я полугруппа S , для каждого полугруппового уравнения Л. , ^S реализует 6" в полугруппе ^ при помощи "V

ОПРШШШЪ. Будем говорить, что в полугруппа ^ реализована система полугрупповых уравнений Sl , если для любого

найдется Ve-S* о помощью которого реализует Л я полутруппе . Будем говорить, что система полугрулпових уравнений £1 совместная, если существует неедшшчная полугруппа, в которой реализуется система .

Класс всех полугрупп, в которых реализована совместная система полугруппоида уравнений

SL

обозначим ^ßz С£2.">. Пусть w слово над АиХ , через с*») обозначим множество ^се>х букв, встречающихся в w хотя бы один раз.

ЛЬША 6.4. Пусть S1 конечная совместная система полугруппе р. вх уравнений, удовлетворяющая одному из условий: Т. Для качдого уравнения = из имеет место cci«(>dX и cCwo<tX.

2. Ляя кятсцого уравнения iv,»u>i из имеет место cfaOcX и с(u^ dKiC' , с.Сых"\ пк .

in

3. Для каждого уравнения ио.^чац из Л имеет место и cfu»r>i\ К-ьф и cfwrvnX

Тогда для любого бесконечного кардинала ^ , в классе полутрупп СЯг^Л") существует полугруппа ^ такая, что выполняется равенство

Класс всех регуляпных полугрупп задается системой, состоящей из одного уравнения а = . Еяягодаря лемме 6.4 имеет место теорема.

ТЬОРША 6.5.1. Для любого бесконечного кардинала , в классе всех регулярных полугрупп, с мощностью не более чем ^ , существует полугруппа, порождающая этот класс при помоем гомоморфизмов.

Класс всех вполне регулярных полутрупп задается системой из Двух уравнений [ахазй , схсс = cco1j , Применяя лемму 6.4 имеем теорему.

ТЕОРЕМА 6.5.2. Для любого бесконечного кардинала ^ , в классе всех вполне регулярных полугрупп, с мощностью не более чем \ , существует полугруппа, порождающая этот класс при помощи гомоморфизмов.

Согласно Ез] (с.125) класс всех вполне простых полугрупп задается системой из трех уравнений к^-а.ЯД'С'^аД.

На основании леммы 6.4 имеем теорему.

ТЕОРИИ. 6.5.3. Для любого бесконечного кардинала \ , в классе всех вполне простых полугрупп, с мощностью не более чем ^ , существует полугруппа порождающая этот класс при пошщи гомоморфизмов,

ЦИТИРОВАННАЯ. ЛИТЕРАТУРА

1. Ljopiw фее sew^acu^

eive Co2£ ЛА^.^кугЛ.ЪЛ^.ЪЧ-

2. Ляпин E.C. Порохдаемость классов полутрупп при помощи гомоморфизмов// Полугруппы и их гомоморфизмы.-Л., 1991, с.ЗЭ-

Jo •

3. Общая алгебра. Т.2, под ред. Скорнякова Л.А.-Ы.: Наука, I991.- 46Рс.

РАБОТЫ AJ:TOPA 110 ТЕМИ ДИССЕРТАЦИИ

т. Петров A.A. Порождение классов конечных полугрупп при пошци гомоморфизмов// Росси£ск.гос.пед.ун-т им. А.И.Герцена.~ ОПб. ,1992.-Юс.- Деп. в ВИНИТИ 02.02.93, ff 254-В93

2. Петрон A.A. Об одном классе полугрупп относительно порождения гомоморфизмами// Международная конференция по алгебре поев, памяти М.И.Каргпталова: тез,докл.- Красноярск: ШОПРОФ, Т993.- С.262-263.

3. Петров A.A. О классах полугрупп, разложимых в связку// Математически?! анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания. - 1993. - С.43-48.

4. Петров A.A. О некоторых классах полугрупп, замкнутых относительно гомоморТизмов// ГоссиЯск. гос.пед,уп-т им. А.И. Герцена.-СПБ.,1993.-Tic.- Дел. в Г.ШИТИ П,10.93, У- 2558-ЙЗ