SH-аппроксимация полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 од

'; ' ¡.ЕИШТЖГЗи ОБРАЗОВАНИЯ. RÍ

' РОССИЙСКИЙ. ГОСШРСТВЕЗШИЙ. ШАГОШЫЯСБ! ЛШШРСЖЕГ 1ШК1 АЛЦ1ЕЕЦЕНА

На правах рукописи

ЛОВДЗЕ лдшлл. ДУРСУЫ&ЧЯ. ■З^-лшрщкшзш. подяетщ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и тоория чпсол 01.01Д)! - математический. анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации ш соишсашю ученой степени кандидата (¡изшсо-математпческпх наук

Санкт-Петербург 1933

Работа выполнена на кафедре алгебри Российского государственного педагогического университета шеш А.¡[«Герцена

Научны.! руководитель - кандидат фш)шо-!'латематлчеокшс

иду::, профессор ЛВСОЙШ. Ы.и1.

О^ацпальние оппоненты - доктор (Ьизшсо-ттегятическшс

наук, профессор ШШШЗСЖЙ И.С.

Веду:(ая организация - Майский государственный. педагогкчео-кш1 институт

. .. Зодпта состоится " Ч (? " и^урус^ Х9ЭЗ г. в

час, на заседании Снэщюлнзированного Совета К ИЗ.05.1'1 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Россш'дасом государственной педагогическом университете имени А.ИЛ'орцена ДЭНБб,Санкт-Петербург, лаб.р..Мо)'1;ш, 43, корпус I, ауд,20Э/.

С диссертацией ыолисг ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета»

Автор«!«!«!? разослан 1993 года»

Ученый секретарь

Специализированного Совета — кандидат ^лзико-^'дтематичооюЕС

наук ЛШ1А. Е.Ю;

кандидат физико-математических наук, доцент -ЗЪчГ.оЙ .

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Настоящая работа посвящена вопросам ¿н - аппроксимации полугрупп. Аппроксимация по существу является заменой одних математических объектов другими, в той или ином смпсдо и исходишь и представляет собон одни из основных методов математики. Аппроксимация широко применяется кап в математическом анализа так и в геометрии, в теории тасал изучается аппроксимация различных объектов, а тагле разделы математики как теория приближения функций, чнслошше методы анализа, по существу целиком посвящены аппроксимации.

Широкое применение аилрокспмациошшх методов о алгебра связано с именем академика А.И."лльцева. В его работах сформулпроиалось общее понятие аппроксимируемости ачгебра-ических систем относительно предикатов и подучен ряд основополагающих результатов. С начала 60-х годов но настоящее время появилось большее количество работ, посвященных аппроксимации алгебраических слотом различных классов, прение всего групп, колец и алгебр. Интерес к этим вопросам напел отражение в работах как советских (¡.¡.И.Каргапо-лов, А.Ю.Ольиавский, Б.И.Платонов, Б.К.Ремесленников,Ю.Ц. Рябухин, Д.;,!.Смирнов и др.), так и зарубещшх (Г.Бауио-лаг, В.;.1агиуо, Р.Лаккензи, ».Холл й др.) алгебраистов.

Аппроксимация полугрупп относительно предикатов такие привлекла внимание многочисленных исследователей а превратилась сейчас о обширную развиваюцуюсй область теории полугрупп. Оормированшо этого направления способствовало рассмотрение гомоморфизмов полугруш в полугруппы О заданными свойствами. В частности, наложение на полугруппы тех или иных условий конечности позволяет изучать бесконечные полугруппы сведением их к конечным полугруппам. Аппроксимации полугрупп посвящены работы д.Герхарда,Э.А. Голубова, С.И.Кублановского, Г.Лаллемана, !.1.!.1.ЛесохиИа, С.Г.Мшликоняна» Т.Нордела, /.¡.В.Сашра и др.

Важность, введенного Л.II.Пальцеиш, понятия в значительно]': степени определяется связью с алгоритмическими проблемами. Как отметил А.И.Мальцев финитная аппроксимируемость конечно определенной алгебраической системы в многообразна, заданном конечным набором тоздеств, относительно некоторого предиката, влечет алгоритмическую раз-решшость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе, Например, аппраксимациошшш методами С,И.Кубланов-ским б иг положительно решен вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп. М.В.Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства слов и финитной аппроксимируемости конечно определенных полугрупп.

С другой стороны, в рдае работ последних лет устанавливается наличие двусторонних связей мавду апнрокоима-ционнши свойствами ц некоторые условиями конечнооти. А.Ю.ОяышнскиЗ показа;!, что коночная группа шеет конечный базис квазитокдеств тогда а только тогда, когда она пороядает многообразие финитно-аппроксимируемых групп. В работе Ф.Гроувза установлена эквивалентность локальных свойств финитной аппроксимируемости и условия максимальности нормальных делителей для многообразий ыетаинльно-театных групп. Аналог этого результата получен А.З.А а-нышым для многообразий аоооциативных алгебр над бесконечны:,! полем. Используя оппрокоимациошше методы .Д.В.Са-пмр получил описание локально коночных многообразий полугрупп о конечной структурой подквазимиогообразий. С.И. Кубл&ноиским установлена эквивалентность локальных свойств финитной аппроксимируемости, матричной предста-виыооти, хопфовооти, нётеровости для многообразий ассоциативных колец и ассоциативных алгебр над произвольным полем. Им тояо нолучово эффектное описание указанных многообразий на языке "^кдеото. Большой, толчок к дальнейшему исследованию финитной алпрокош.гаруомооти полугрупп и других алгебраических .лотом дают методы, разработанные С.И.Кублановошш.

«

- 5 -

Вопроса;,! аппроксимации "олугрутт комплексными характерами носвяцены работы Ст.Шварца, Хыоитта Цукермана, Ле-сохина 1.1.М., Арояна З.П. и других.

В настоящей работе изучены условия 5н- финитной аппроксимируемости полугрупп о классах: коммутативных регулярных полугрупп, вполне регулярных полугрупп и коммутативных идеыпотентных полугрупп относительно предикатов: равенства, делимости, вхождения в подполугруппу, з подмножество, в цаеал, в моногенную подполугруппу, относительно предикатов Грина. так но аппроксимация полугрупп периодическими комплексными характерами относительно' предикатов: равенства, делимости, вхоадения в подполугруппу, в мопогениую подполугруппу, в конечно-порожденную подполугруппу, в писая,в максимальную подгруппу и относительно предикатов Грина.

Цель работы. Описание абстрактных полугрупп ¿н - финитно-аппроксшируеша: в классах: коммутативных регулярных полугрупп, вполне регулярных полугрупп, коммутативных идемпотентных полугрупп, и $н-ап-проксимируемих полугрупп периодическими характерами относительно предикатов: равенства, делимости, вхоадения в подполугруппу, в ыоногенную подполугруппу, в конечно-по-ропденпую подполугруппу, в подмножество, о идеал, в максимальную подгруппу, относительно предикатов Грина.

Методы наследования. В работе ио-пользованц методы аппроксимации полугруш, метод разложения полугруппы и коммутативную связку своих архимедовых кошонопт, метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу о овешне присоединенным нулем, метод построения идеальных гомоморфизмов на полугруппы о нулевым умножением.

Научная новизна. Вое основные результаты диссертации являютоя новыми.

Праптичеовая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит

теоретически;! характер. Ее результат могут быть попользованы о теории полугрупп, при решении задач, связанных о аппроксимацией полугрупп гомоморфизмами и характерами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по атгебре, посвященной памяти А.П.Сиршва (Барнаул, август 1921 года), на Герценовских чтениях (Ленинград, апрель 1951 года, апрель 1992 года), на семинарах по апгебро при Таганрогском педагогическом институте (апрель 1992 года), педагогической институте Ростова-на-Дону (апрель 1932 года) , Минском педагогическом институте (май 1992 года), Кпиипоаском государственной университете (пай 1992 года).

Публикации. Список работ, опубликованных автором, приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 74 страницах машинописного текста. Соотоит из введения и двух глаз. Библиография включает 61 работу советских и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть некоторая полугруппа, Р - некоторый

предикат, заданный на элементах и подмноаоствах полугруппы А и всех ео гомоморфных образов, Ф- мноаеотво некоторых гомоморфизмов полугруппы' .

Говорят, что полугруппа А аппроксимируема о помощью гомоморфизмов из Ф относительно Р, если для всяких А», А» с А таких, что Р (ам Аг) ловно, существует гомоморфизм ^ вф , для которого И , лоано.

Воли ф - мноаоотсо гомоморфизмов полугруппы А в классе цолугруш К. , то говорят об аппрокшшацаи К в классе полугрупп К. .

Говорят, что полугруппа А аппроксимируема

относительно предиката & в кдаоов полугрупп К ,ео-' да рее гомоморфные образы подполугрупп иояугрушш А ал-

- 7 -

проксимируемы относительно Р а клаосе полутрупп К. .

Пусть С - мультипликативная полугруша комплексных чисел. Ст~ пори одическая часть полугруппы С , Тогда комплексным характером полугруппы А называется гомоморфизм X полугруппы А в С . Характер х называется периодический, осла с. Ст .В диссертации рассматриваются периодические характеры, которые называем просто характерами.

ГЛАЗА I • 2н - Ф/ЕШНАЯ аппрошшщя ПОЛУГРУПП

В первом параграфе найдено необходимое и достаточное условие ¡зНЗ- финитной аппроксимации полугрупп относительно равенства, делимости, вхоздешш в идеал, в ыоно-генную подполугруппу.

Пусть А произвольная полугруппа. Будем говорить, что полугруппа $НЗ ~ финитно-аппроксимируема относительно предиката Р , если подполугруппа А , всякая ее подполугруппа А а всякий идеальный гомоморфный образ А аппроноимпруемы относительно предиката Р идеальными гомоморфизмами на конечные полугруппы.

Теорема 1.1.2. Следующие условия для полугруппы эквивалентны.

1) Полугруппа. А ¿ИЗ- фшштно-аппроксидгаруеш отнооителыю делимости.

2) Полугруппа д ¿ИЗ- фшштно-аппроксимируеыа относительно вховдения в идеал.

3) Кавдый элемент полугруппы А, вромэ.мозет быть, элементов зпшверсально минимального идеала А , имеет конечное чполо делителей.

Во втором параграфе найдено необходшоэ и достаточное уоловие финитной аппроксимации многообразия порожденного произвольной полугруппой А • вполне регулярными полугруппам относительао вхождения в подашояеот-во и в двусторонний идеал.

- 8 -

Теорема 1.2.2. ¿Многообразие ^(а) аппроксимируемо конечными вполне регулярными полугруппами относительно вхождения в двусторонний идеал тогда и только тогда, когда А является коммутативной овязкой матричных связок конечных групп, порядки которых ограничены в совокупности.

В третьем параграфе изучены необходимые и достаточные условия ЗН - финитной аппроксимации полугрупп коммутативны;,и регулярными полугруппами относительно равенства и вховдешш в подполугруппу.

Теорема 1.3.1. Для того, чтобы полугруппа А была аппроксимируема конечными регулярными комму-

тативными полугруппами относительно равенства, необходимо и достаточно, чтобы А была периодической регулярной коммутативной полугруппой, несодержащей делимых элементов, отличных от идемпотентов.

В четвертом параграфа найдено необходимое и достаточное условие ¿И - аппроксимации полугрупп коммутативными ддемпотентныш полугруппами относительно предикатов Грина,

Теорема 1.4,4, Пусть Л - одно из отношений Грина -£, Л, 32, й . Полугруппа £ аппроксимируема относительно коммутативными вдешотентными полугруппами тогда и только тогда, когда » % ( наименьшая шлуотруктурная «онгруенция).

Следотвие 1.4.7. Полугруша А £н-финит-но-оппропоимируема относительно 5С в нласое коммутативных полугруш ддемпотентов, тогда и только тогда, когда А - инверсная вполне регулярная периодичеокая полугруппа.

ГЛАВА П $Н- АППРОКШАЩЯ ПОЛУГРУПП характерами

В первом параграфе получены необходимые и доотаточ-нке условия йн - аппроксимации характерами относительно предикатов: равенотва, вховдения в моногенную подполугруппу и вещественными характерами относительно тех же

предикатов.

Теорема 2.1.1. Следующие условия для полугруппы равно сильны.

1) А - периодическая регулярная коммутативная полугруппа.

2) А аппроксимируема относительно равенства характерами.

3) д Зн- аппроксимируема характерами относительно вхоадения в моногеинуга полугруппу.

Во втором параграфе рассматриваются ЗН- аппроксимация комплексными характерами относительно предикатов: делимости, вхоадения в идеал, в максимальную подгруппу, вхождения элемента в подполугруппу, вхоадения элемента в конечно-порозденнуэ подполугруппу и аппроксимация

полугрупп вещественными характерами относительно выше упомянутых предикатов.

Т е.о рема 2.2.2. Для произвольной полугруппы следующие условия эквивалентны.

1) А - инверсная вполне регулярная периодическая полутруппа.

2) А £н- аппроксимируема характерами относительно вхоадения в идеал, ,

3) А ЗН- аппроксимируема характерами относительно делимости.

В третьем параграфе получены необходимые и достаточные условия ЗН - аппроксимации произвольных полугрупп характерами относительно Гриновских и Ж отношений.

Теорема 2.3»2. Для того, чтобы полугруша была А ¿и- аппроксимируема характерами относительно необходимо и достаточно, чтобы А была периодической вполне регулярной полугруппой.

В четвертом параграфе рассматривается ЗН - финитная аппроксимация (отделимость) полугрупп характеров.

Пуоть А произвольная полугруша, С -мультипликативная полугруша комплексных чисел, С* - периодачво-

- 10 -

кая часть мультипликативной полугруппы комплексных чисел С.

Мнонеотво всех характеров Нот (дХт") полугруппы А относительно поточечного ушоаения образует коммутативную полугруппу, которую называют полугруппой характеров полугруьпн А .

Полугруппа характеров Нош (А, Ст") полугруппы А называется ¿Н - финитно-аппроксимируемой относительно равенства,если для всех гомоморфных образов А подполугрупп полугруппы А полугруппа характеров

Нот (а, финитно-аппроксимируема относи-

тельно равенства.

Полугруша характеров Ноп\(А,СтД полугруппы А называется финитно отделимой, если для всякой подполугруппы А полугруппы характеров Нот (д., СТ") и для всякого элемента X £ Н«го ^, Ст") такого, что X*? А сушествует гомоморфизм у полугруппы характеров Но»п(д, Ст4) на конечную полугруппу такой, что Ф

Будем говорить, что полугруппа характеров Ноп\(а,С?) полугруппы А Йн- финитно отделима, если для всякого в , являющегося гомоморфным образом некоторой подполугруппы полугруппы А полугруша характеров

Нот^В, Сч) полугруппы В финитно отдели-

ма.

Теорема. 2.4.1. Для того, чтобы полугруша характеров Нот(А,Ст^ полугруппы А . была ¿И -финитно-аппроксимируемой относительно равенства, ыеобхо- ■ димо и достаточно, чтобы А была периодической полугруппой.

Теорема 2.4.2. Пусть - А - произвольная полугруппа с условием минимальности для двусторонних идеалов. Для того, чтобы полугруппа'характеров Нот(д,ст) полугруппы А была $Н - финитно отделимой, необходимо и достаточно, чтобы А была периодической полугруп-

- II -

пой, максимальные подгруппы ноторой имеют ограниченные в совокупности порядки.

РАБОТЫ ШОРА ПО ТЕ® ДИССЕРТАЦИИ

1. Ломадзе Д.Д. Аппроксимация полугрупп относительно энвивалентноотей Грина. Ж. Моанбе. К 3. 1992 г.

2. Ломадзе Д.Д. ¿И финитная овделимооть полугрупп характеров. 2. Моамбе. Уг 5. Тбилиси. 1992 г.

3. Ломадзе Д.Д. О финитной отделимости многообразий, порожденных произвольными полугруппами. Современная алгебра. Санкт-Петербург. 1992 г.

4. Ломадзе Д.Д. $Н - аппроксимация полугрупп коммутативными регулярными полугруппами. Современная алгебра. Санкт-Петербург. 1992 г.

5. Ломадзе Д.Д. £н - аппроксимация полугруппы характерами. Деп. в ВИНИТИ )5 1340-В92. 1992 г.

6. Ломадзе Д.Д. Об аппроноимацаи полугруш характерами относительно идеальных энвивалентноотей. Деп. в ВИНИТИ 1ё 1341-В92. 1992 Г.

7. Лесохин М.М., Ломадзе Д.Д. Финитная аппроксимация полугруш идеальными гомоморфизмами. Мэвдународяая конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Шяршова. Барнаул, август 1991 г.

ЛОМАДЗЕ ДЖЕМ АЛ ДУРСУНОВНЧ. АВТОРЕФЕРАТ.

ПОДПИСАНО В ПЕЧАТЬ ....... ФОРМАТ 80/84 1/16. ПЕЧ Л.1.О.

БУМ;ТИПОГР. ЗА К. 284, ТИРАЖ 100.РТП. БЕСПЛАТНО.