SH-аппроксимация полугрупп характерами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Ос, ^ £

"о

^ Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

ИГНАТЬЕВА Ирина Владимировна

8Н - АППРОКСИМАЩШ ПОЛУГРУПП ХАРАКТЕРАМИ

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на кафедре алгебры Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

профессор Лесохин М.М.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Понизовский И.С. - кандидат физико-математических наук, доцент Кублановский С.И.

Ведущая организация - Ростовский государственный педагогический

университет

Защита состоится ,£¿2 1998 г. в /е час на заседании

Диссертационного Совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб.р.Фонтанки, 27, аудитория 311 (помещение ПОМИ РАН). Адрес Диссертационного Совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, 2, математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан /О СЫчСди-еЯ^- 1998 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

Р.А. Шмидт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Аппроксимация алгебраических систем относительно тех или иных предикатов к настоящему времени представляет собой одно из актуальных направлений в исследовании алгебраических систем. Начало широкого применения аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А.И. Мальцева. В его работе «О гомоморфизмах на конечные группы» было дано общее понятие аппроксимации алгебраических систем.

С начала 60-х годов и по настоящее время появилось много работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем, прежде всего групп, колец и алгебр. Интерес к этим работам нашел отражение в исследованиях М.И. Каргаполова, А.Ю. Ольшанского, В.П. Платонова, В.Н. Ремесленникова, Н.В. Плотниковой, Д.М. Смирнова, Н.Блекбэри и других авторов.

Аппроксимация полугрупп относительно различных предикатов также привлекла внимание многочисленных исследователей и превратилась сейчас в обширную развивающуюся область теории полугрупп. Формированию этого направления способствовало рассмотрение гомоморфизмов полугрупп в полугруппы с заданными свойствами, в частности, наложение на полугруппы тех или иных условий конечности позволяет изучать бесконечные полутруппы сведением их к конечным полугруппам. Аппроксимации полугрупп гомоморфизмами на конечные полугруппы посвящены работы Э.А. Голубова, С.И. Кублановского, М.М. Лесохина, С.Г.Мамиконяна, и других. Аппроксимации полугрупп гомоморфизмами в мультипликативную группу поля комплексных чисел с внешне присоединегшым нулем посвящены работы М.М. Лесохина, Г.С. Толстовой, C.B. Лактионовой, Н.Г. Каменковой, В.В. Воронина, Э.П. Арояна и других. Е.Ю. Яшиной изучались вопросы

аппроксимируемости полугрупп инверсными вполне регулярными полугруппами.

Важность введенного А.И. Мальцевым понятия в значительной мере определяется связью с алгоритмическими проблемами. Как отметил А.И. Мальцев, финитная аппроксимируемость относительно некоторого предиката влечет алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе.

Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определенных классов алгебраических систем. Так, например, в группах важнейшими ггредикатами являются предикат равенства, вхождения элемента в подтрушу, в конечнопорожденную подгруппу. В полуфуппах исследуются предикаты равенства, делимости, вхождения элемента в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппа, максимальная подполугруппа), регулярная сопряженность, гриновские отношения эквиваленгности. Указанные предикаты явились объектом многочисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих предикатов, и с точки зрения аппроксимации.

Одним из важных направлений в современной алгебре является исследование не только самой алгебраической системы, но и производных от нее систем, чему посвящены работы Д.Д. Ломадзе, Г.С. Толстовой.

В настоящей работе рассматривается БН - аппроксимация полутрупп, вместе с вопросом об аппроксимации самой полугрухшы относительно различных предикатов изучается возможность аппроксимировать любой гомоморфный образ любой подполугруппы данной полугруппы.

Полугрутша характеров полугруппы, то есть полугруппы гомоморфизмов данной полугруппы в мультипликативную полугруппу поля комплексных чисел изучались в работах Ш. Шварца, Е. Хыоитга и X. Цукермана, Р. Уорна и Л. Вильямса, М.М. Лесохина.

В настоящей работе рассматривается также вопрос Нот ЯН -аппроксимации полугруппы А относительно различных предикатов, то есть вместе с вопросом об аппроксимации полугруппы Нот (А, С) рассматривается и аппроксимируемость полугрупп Нот (Ад, С), где А1 -произвольный гомоморфный образ произвольной подполугруппы полугруппы А.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Аппроксимация, по существу являясь приближением, позволяет свести одни объекты к другим, более хорошо изученным. Таковыми являются периодическая часть мультипликативной полугруппы комплексных чисел, мультипликативная полугруппа конечного поля и т.д.

Цель работы: найти необходимые и достаточные условия 8Н - и Нош ЯН - аппроксим!фуемосги полугрупп комплексными, вещественными, конечными характерами, гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу конечного поля относительно таких предикатов, как равенство, делимость, вхождение элемента в моногенную, конечнопорожденную полугруппу, подполугруппу, максимальную подгруппу, идеал, регулярная сопряженность, гриповские отношения Н- и Д- эквивалентности.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Все основные результаты диссертации являются новыми.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе использованы методы аппроксимации полугрупп, метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем; метод

разложения полугруппы в связку своих tj - классов; метод разложения вполне регулярной полугруппы в связку своих максимальных подгрупп.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований по теории гомоморфизмов полугрупп, могут быть использованы для подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и педагогических институтов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результата диссертационной работы докладывались на международной конференции по полугруппам, посвященной Е.С. Лялину (июнь 1995 года, Санкт-Петербург); на Герцеповских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена (апрель 1996 года, Санкт-Петербург).

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ

Диссертационная работа изложена на 80 страницах машинописного текста, состоит из введения и трех глав, шести параграфов. Библиография включает 37 работ российских и зарубежных автором.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть А - произвольная полугруппа.

1°. Будем говорить, что полугруппа А аппроксимируема гомоморфизмами из множества гомоморфизмов Ф относительно предиката Q, если для любых Ai, Аз таких, что Ai с А и Аг с: А и Q (Aj, А2) - ложно в А найдется гомоморфизм ф из Ф такой, что Q (ф (Ai), ф (А2)) - ложно в ф (А).

2°. Будем говорить, что полугруппа А БН-аппроксимируема гомоморфизмами Ф относительно предиката О, если для любого гомоморфизма х любой подполугруппы А] полугруппы А полугруппа % (А1) аппроксимируема гомоморфизмами из Ф относительно предиката О.

3°. Будем говорить, что полугруппа А Нот БН-аппрокси-м и р у е м а гомоморфизмами Ф относительно предиката О, если для любого гомоморфизма % любой подполугруппы А! полугруппы А полугруппа Нот (х (А1), С) аппроксимируема гомоморфизмами из Ф относительно предиката О.

4°. Гомоморфизм полугруппы А в периодическую часть мультипликативной полугруппы комплексных чисел будем называть комплексным характером, гомоморфизм полугруппы А в мультипликативпую полугруппу вещественных неотрицательных чисел будем называть вещественным характером. Характер % полугруппы А назовем конечным, если % (А) - конечное множество.

5°. Элемент а полугруппы А называется регулярным, если существует' элемент в из А такой, что а = а • в • а Полугруппа называется регулярной, если каждый ее элемент регулярен.

Элемент в называется инверсным к а (а - инверсный к в), если а = а«в«аив = в»а»в.

Полугруппа называется инверсной, если каждый ее элемент обладает единственным инверсным к нему элементом.

Элемент а полугруппы А называется вполне регулярным, если существует элемент в из А такой, что а = а*в*аиа*в = в»а.

Полугруппа А называется вполне регулярной, если каждый ее элемент вполне регулярен.

6°. Под идеалом полугруппы А будем понимать двусторонний идеал.

Идеал 1 полугруппы А называется вполне простым (вполне изолированным), если для всяких а, в е А из ав е I следует, что а е I или в е I.

7°. Два элемента айв полугруппы А называются И-(Ь) эквивалентными, если они порождают один и тот же главный правый (левый) идеал.

Д-эквивалентн остыо называется отношение Ь • II = И • Ь, т.е. аДв-е>ЭсеА:аКслсЬв.

Элементы айв называются II эквивалентны ми, если они Я -и I, - эквивалентны.

Приведем краткое изложение каждой главы.

ГЛАВА I

БН - АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛУГРУПП КОМПЛЕКСНЫМИ И ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ХАРАКТЕРАМИ

Первая глава посвящена рассмотрению вопроса БН аппроксимируемости полугруш! комплексными и вещественными характерами, найдепы необходимые и достаточные условия аппроксимируемости полугрупп относительно равенства, вхождения элемента в моногенную подполу1руппу, делимости, вхождения элемента в идеал, в подполугруппу, аппроксимируемости относительно регулярной сопряженности элементов.

В первом параграфе найдены необходимые и достаточные условия БН-аппроксимируемости полугрупп комплексными характерами относительно равенства вхождения элемента в моногенную, конечнонорожденную подполугруппу, подполугруппу.

Основной результат данного параграфа - следующая

Теорема 1.1.

Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

1. А - периодическая регулярная коммутативная полугруппа.

2. А ЯН - аппроксимируема комплексными характерами относительно равенства.

3. А ЭН - аппроксимируема комплексными характерами относительно вхождения элемепта в моногенную подполугруппу.

. Предложение 1.3.

Для произвольной полугруппы А следующие утверждения эквивалентны:

1. А - периодическая коммутативная регулярная полугруппа, максимальная подполугруппа идемпотенгов которой имеет нуль X и произведение любых двух различных идемпотентов равно Ъ.

2. А ЯН - аппроксимируема характерами относительно вхождения элемента в подполу-грутпту.

3. Л 8Н - аппроксимируема характерами относительно вхождения элемента в конечно порожденную подполугруппу.

Во втором параграфе рассматривается вопрос о БЫ аппроксимируемости полугруппы относительно различных предикатов гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу вещественных неотрицательных чисел.

Приведем некоторые результаты:

Предложение 2.1.

Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентам:

1 .А - идемпотентная коммутативная полугруппа.

2.А 8Н - аппроксимируема вещественными характерами относительно вхождения элемента в моногенную подполугруппу.

З..А 8Н аппроксимируема вещественными характерами относительно равенства.

Предложение 2.4.

Для произвольной полугрупиы А следующие условия эквивалентны:

1. А БН - аппроксимируема комплексными характерами относительно вхождения элемента в максимальную подгруппу.

2. А БЫ - аппроксимируема вещественными характерами относительно вхождения элемента в максимальную подгруппу.

3. А - инверсная вполне регулярная периодическая полугруппа.

ГЛАВА 2

ФИНИТНАЯ БН - АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛУГРУПП

Вторая глава посвящена нахождению условий финитной БН -аппроксимируемости полугрупп. В параграфе 1 найдены необходимые и достаточные условия БН - аппроксимируемости полугруппы относительно равенства, вхождения элемента в подполугруппу, в идеал, в максимальную подполугруппу, делимости, а также относительно гриновских отношений Н- и Д- эквивалентностей характерами, образы которых есть конечные полугруппы.

Предложение 1.2.

Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

1. А - вполне регулярная периодическая полугруппа, раскладывающаяся в коммутативную связку своих Д - классов.

2. А БН - аппроксимируема конечными характерами относительно Д - эквивалентности.

3. А БН - аппроксимируема комплексными характерами относительно Д - эквивалентности.

Предложение 1.3.

Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

1. А БН - аппроксимируема конечными характерами относительно вхождения элемента в идеал.

2. А БН - аппроксимируема конечными характерами относительно делимости.

3.А БН - аппроксимируема конечными характерами относительно вхождения элемента в максимальную подгруппу.

4. А - инверсная вполне регулярная периодическая полугруппа.

Предложение 1.4.

Для произвольной полугруппы А следующие условия эквиваленты:

1. А - периодическая регулярная коммутативная полугруппа, максимальные подгруппы которой не имеют несдиничных полных элементов.

2. А БН - аппроксимируема конечными характерами относительно равенства.

Предложение 1.5.

Для произвольной полуфушш А следующие условия эквиваленты:

1.а). А - периодическая регулярная коммутативная полугруппа.

б).Максимальная полугруппа идемпотептов полугруппы А имеет нуль Z

в). Произведение любых двух идемпотентов равно X.

г). Порядки элементов прим арных компонент каждой максимальной подгруппы полугруппы А ограничены в совокупности.

2. А ЭН - аппроксимируема конечными характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу.

Во втором параграфе найдены необходимые и достаточные условия ЯП-аппроксимируемости полугрупп относительно равенства, вхождения

элемента в подполугруппу, в максимальную подгруппу, в идеал, делимости гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу конечного поля.

Предложение 2.1.

Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

1. А - периодическая регулярная коммутативная полугруппа, порядки элементов которой являются делителями числа р"-1, где р - некоторое простое число.

2. А БН - аппроксимируема гомоморфизмами относительно равенства в конечное поле К такое, что количество элементов пота равно рп.

3. А аппроксимируема гомоморфизмами относительно равенства в конечное поле К такое, что количество элементов ноля равно р".

ГЛАВА 3

НОМ БН - АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛУГРУПП

ОТНОСИТЕЛЬНО ВХОЖДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА В ПОДПОЛУГРУППУ

Настоящая глава посвящена вопросу Нот БН - аппроксимируемости полугруппы конечными характерами относительно равенства, делимости, вхождения элемента в идеал, в максимальную подгруппу, в подполугруппу.

Предложение 1.1.

Пусть А - коммутативная полугруппа. Тогда для полугруппы А следующие условия эквивалентны:

1. А - периодическая полугруппа.

2. А Нот БН аппроксимируема конечными характерами относительно равенства.

Во втором параграфе рассматривается вопрос Нот БН - аппроксимации полутруппы относительно вхождения элемента в подполугруппу конечными

гомоморфизмами в периодическую часть мультипликативной полугруппы комплексных чисел с внсшнеприсоединенной единицей.

Основным результатом третьей главы является следующая Теорема 2.4.

Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

1.А - периодическая полугруппа, порядки элементов которой ограничены в совокупности.

2. А Нош БН - аппроксимируема конечными характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Игнатьева И.В., Лесохин М.М., Могилянская Е.М. SH -аппроксимация полугрупп характерами // Тезисы докл. Международная конференция по алгебре в честь Е.С. Ляпина. - СПб., 1995. с. 22-23.

2. Игнатьева И.В. Horn SH - аппроксимация полугрупп конечными характерами относительно равенства. // Вестник матем. ф-та. Межвуз. сб. науч. тр. В.1 - Архангельск - 1997. с. 42-43.

3. Игнатьева И.В. SH - аппроксимация полугрупп конечными характерами // Совр. алгебра. Межвуз. сб. научн. трудов, в. 1. 1996. с.25-30.

4. Игнатьева И.В. Аппроксимация полугрупп конечными полями // РГПУ им. А.И. Герцена. СПб., 1996. - 5 с. - деп. в ВИНИТИ. 08.07.96., № 2213-В 96.

5. Игнатьева И.В. SH - аппроксимация полугрупп конечными полями относительно вхождения элемента в подполугруппу // РГПУ им. . А.И. Герцена. СПб., 1997. - 8 с. - деп. в ВИНИТИ. 24.03.97., № 874 - В 97.

6. . Игнатьева И.В. Нот SIT - аппроксимация полугрупп конечными характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу// РГПУ им. А.И. Герцена. СПб., 1997. - 10 с. - деп. в ВИНИТИ. . 14.05. 1997; № 1609 -В 97.

Соискатель