Аппроксимация полугрупп линейными и билинейными комплексными функционалами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛУГРУПП ЛИНЕЙНЫМИ И БИЛИНЕЙНЫМИ КОМПЛЕКСНЫМИ ФУНКЦИОНАЛАМИ

01.01.01 - математический анализ 01.01.06 - математическая логика.

алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт - Петербург . 1996

Работа выполнена на кафедре алгебры Российского государственного педагогического университета имЬни А. И. Герцена.

Научный руководитель - кандидат Физико-математических наук.

профессор Лесохин H.H.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук.

профессор Широков H.A.

- кандидат физико-математических наук, доцент Когилянская Е.М.

Ведущая организация - Ростовский государственный педагогический университет.

Защита состоится " 22 " мая 1996 г. в 16 15 час. на заседании Диссертационного Совета К. 113.05.14. по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А. И. Герцена по адресу: 191186, Санкт - Петербург, наб. р. Мойки,- 48. корпус 1, аудитория 209. _

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена.

Автореферат разослан Ир^^иЯ 1995 ГОда.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета _

кандидат педагогических наук, доцент ^^^ ЙГб. Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность исследования.

Настоящая работа посвящена вопросам аппроксимации полугрупп.

Аппроксимация, по существу являясь приближением, есть один из основных методов математики. Как в математическом анализе, так и в геометрии, теории чисел изучается аппроксимация различных объектов, а такие разделы математики, как теория приближения Функций, численные методы анализа, целиком посвящены аппроксимации.

Начало широкого применения аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А. И. Мальцева. В его работе "О гомоморфизмах на конечные группы" было дано общее понятие аппроксимации алгебраических систем, показана связь финитной аппроксимируемости алгебраической системы относительно какого-либо предиката с алгоритмической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе.

С начала 60-х годов и по настоящее время появилось много работ, посвященных аппроксимации полугрупп относительно различных предикатов. Эти работы были посвящены как финитной аппроксимации полугрупп, то есть аппроксимации гомоморфизмами на конечные полугруппы - работы М. И. Лесохина, С. И. Кублановского. С. Г. Мамиконяна. Э.А. Голубова. М.В. Сапира и других, так и аппроксимации полугрупп линейными комплексными функционалами (характерами), то есть гомоморфизмами в мультипликативную группу поля комплексных чисел с внешне присоединенным нулем - работы Ст. Шварца. _ Хыоитта Цукермана, М.М. Лесохина. Э. П. Арояна и других.

В последние десятилетия широко ведется изучение свойств алгебраических систем, наделенных дополнительными структурами, в частности топологической. В теории полугрупп такое систематическое изучение началось выходом монографии Paalman-De-Mlranda Topological semigroups в 1964 году. Вопросами аппроксимации топологических полугрупп занимались М.М. Лесохин, Л.Б. Шнеперман, Остин А.. Расулоз Н. Интерес к изучению топологических полугрупп объясняется еще и тем, что наличие топологической структуры обес-

печивает присутствие некоторых свойств, отсутствующих в общем абстрактном случае. Так. например, всякая компактная топологическая полугруппа имеет идемпотент.

С нашей точки зрения, представляет интерес описание топологических полугрупп, аппроксимируемых линейными комплексными функционалами.

Использование линейных отображений для аппроксимации алгебраических систем обусловлено их свойством сохранять операции. Этим же свойством обладают и билинейные отображения. Поэтому естественным образом возникает вопрос об аппроксимации полугрупп этими отображениями, в частности, билинейными комплексными функционалами. то есть билинейными отображениями в мультипликативную полугруппу комплексных чисел. Если потребовать, чтобы вместе с самой полугруппой билинейными комплексными функционалами относительно некоторого предиката Р аппроксимировались бы и всевозможные гомоморфные образы подполугрупп данной полугруппы (так называемая БН - аппроксимация), то возникает еще один круг вопросов, на часть которых мы постарались ответить.

Цель работы.

Настоящая работа посвящена описанию абстрактных полугрупп. БН-аппроксимируемых билинейными комплексными функционалами относительно таких предикатов, как делимость: равенство; вхождение элемента в подполугруппу; гриновских отношений. Кроме того, найдены необходимые и достаточные условия аппроксимации дискретных и компактных полугрупп комплексными функционалами относительно единично идеальных предикатов.

Метопы исследования.

В работе использованы методы аппроксимации полугрупп: метод ' продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем; метод разложения полугрупп в коммутативную связку своих ^-классов; метод' разложения компактных топологических полугрупп в коммутативную связку одноидемпотентных подполугрупп.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований по теории гомоморфизмов полугрупп и могут быть использованы для подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по полугруппам, посвященной Е. С. Ляпину (июнь 1995 года. Санкт-Петербург); на конференциях преподавателей и студентов при Череповецком педагогическом институте (1995. '1996 года).

Объем и структура работы,

Диссертация изложена на 90 страницах машинописного текста. Состоит из введения и трех глав. Библиография включает^ работу российских и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Пусть А и В - произвольные полугруппы. К - мультипликативная полугруппа, состоящая из нуля и комплексных чисел модуль которых равен единице.

Io. Билинейное отображение полугрупп А и В в К называется билинейны« колохлексньш функционалом / б.к.ф./.

Через F(A,В,К) обозначим множество всех б.к.ф. полугрупп А и В. Билинейный комплексный функционал Г из F(A.В. К) называется конечным, если образ f<А х В)- конечное множество.

2°. Будем говорить, что полугруппа А аппроксимируема относительно некоторого предиката Р, когаорыа определен на элементах полугруппы А б.к.ф. из F (А. В, К), если для любых а,. из А таких, что P(aj, аг) - ложно, существуют б.к.ф. f из F (А. В, К) и элемент b из В такие, что Р(Г(а1ш b). f(az. b)) - ложно.

3o. Будем говорить, что полугруппа А аппроксимирует относительно вхождения элемент в подполугруппу А' б.к.ф. из FfА.В,К), ,если для любого элемента а из А такого, что 'а ёГА'. существует б.к.ф. f0 из F(A,В,К) такой, что для каждого а' из А' найдется Ь' из В, для которого Г0 (a. b') * f0(a\ b').

4°. Полугруппа А 5Н - аппроксимируема относительно произвольного предиката Р б.к.ф. из Р(А, В'.К). если любой гомоморфный

Образ ЛЮЙОЯ ПОДПОЛУГРУПШ полугруппы А ЫЦ£>ОКСКМИруеМ бИЛЙНёйт»-ми комплексными функционалами с помощью полугруппы В' относительно предиката Р.

5°. Гомоморфизм полугруппы А в полугруппу К будем называть линейным комплексным функционалом (л.к.ф.). Множество всех л. к.ф. полугруппы А будем обозначать через Нот(А, К).

6°. Будем говорить, что полугруппа А аппроксимируема л.к.ф. относительно некоторого предикат Р. определенного на элементах и подмножествах полугруппы А, если для любых А1. Аг с А таких, что Р(А,. Аг) - ложно, найдется линейный комплексный функционал Ч> такой, что Р(ф(А, ). 9(Аг)) - ложно.

7°. Будем говорить, что полугруппа А 5Н - аппроксимирует относительно некоторого предиката Р линеоными комплексными функционалами, если произвольный гомоморфный образ произвольной подполугруппы полугруппы А аппроксимируем л. к. ф. относительно . предиката Р.

8е. Элемент а полугруппы А называется регулярным, ест существует элемент Ь из А такой, что а - а-Ь-а.

Полугруппа называется регулярной, если каждый ее элемент регулярен.

Элемент Ь называется инверсным к а, а, Ь е А (а инверсный к Ь). если а - а-Ь-а и Ь - Ь-а-Ь.

Полугруппа называется инверсной, если каждый ее элемент обладает единственным инверсным к нему элементом.

Элемент а полугруппы А называется вполне регулярным, если существует элемент Ь из А такой, что а - а-Ь-а и а-Ь - Ьа.

Полугруппа А называется вполне регулярной, если каждый элемент ее вполне регулярен. .

9°. Под идеалом полугруппы А будем понимать двусторонний идеал.

Приведем краткое изложение каждой главы.

Глава 1.

SH - Аппроксимация полугрупп билинейными комплексными функционалами относительно делимости, равенства, вхождения элемента в подполугруппу.

В первой главе рассмотрены вопросы SH - аппроксимации полугрупп билинейными комплексными функционалами относительно следующих предикатов: делимость, вхождение элемента в идеал, подгруппу, подполугруппу, равенство, D - и Н - эквивалентность.

В первом параграфе найдены необходимые и достаточные условия SH-аппроксямации полугрупп б.к.ф. относительно делимости слева и справа и относительно вхождения элемента в левые и правые идеалы.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1.1. Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

а) найдется группа Bt такая, что A SH - аппроксимируема б.к.ф. из F(A.В,.К) относительно делимости слева и справа;

б) найдется полугруппа В2 такая, что A SH - аппроксимируема б.к.ф. из F(A,Вг.К) относительно делимости слева и справа;

в) А -инверсная вполне-регулярная периодическая полугруппа.

Во втором параграфе найдены необходимые и достаточные условия SH-аппроксимации полугрупп б.к.ф. относительно равенства, вхождения элемента в подгруппу и подполугруппу. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.2.4. Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

а) найдется группа В, с внешне присоединенным нулем такая, что А SH-аппроксимируема б.к.ф. из F(A.B,.K) относительно вхождения элемента в подполугруппу:

б) найдется полугруппу Вг такая, что A SH - аппроксимируема б.к.ф. из F(A.Bg.К) относительно вхождения элемента в подполугруппу:

в) найдется полугруппа Вз такая, что A SH - аппроксимируема б.к.ф. из F{A,Вз,К) относительно вхождения элемента в конечно порожденную подполугруппу;

г) найдется полугруппа В4 такая, что A SH - аппроксимируема

б.к.ф. из F(A.В4.К) относительно вхождения элемента в моногенную подполугруппу;

д) А - коммутативная регулярная периодическая полугруппа.

В третьем параграфе рассмотрены условия аппрокимации полугрупп б. к.ф. относительно гриновских отношений D - эквивалентности и И - эквивалентности.

Два элемента а и b полугруппы А называются R - эквивалентными (L - эквивалентными). если они порождают один и тот же главный правый (левый) идеал.

Отношения R и L коммутируют и D - эквивалентностью называется отношение L о í ■ R « L, то есть a D b <■> Эо б А: айсл с L Ъ.

Элементы а и Ь называются Н - эквивалентами, если они R -- эквивалентны и L - эквивалентны.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3.2. Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

а) найдется группа Bt такая, что А аппроксимируема конечными б.к.ф. 'из F(A. B¡. К) относительно Н - эквивалентности;

б) найдется полугруппа B¿ такая, что А аппроксимируема б.к.ф. из F(A,Bg.K) относительно Н- эквивалентности;

в) А - инверсная вполне регулярная полугруппа.

В четвертом параграфе рассмотрены условия SH-аппрокимации полугрупп б.к.ф. относительно гриновских отношений ГН-эквивалент-ности и Н-эквивалентности.

ТЕОРЕМА 1.4.2. Для произвольной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

а) найдется группа Bt такая, что A SH - аппроксимируема конечными б.'к.ф. из F(A. В, ,К) относительно D - эквивалентности;

б) найдется полугруппа В2 такая, что A SH - аппроксимируема б.к.ф.. из F(A.B2.K) относительно О - эквивалентности;

в) А - вполне регулярная периодическая полугруппа, раскладывающаяся в коммутативную связку своих D - классов.

Глава 2.

Аппроксимация и БН - аппроксимация полугрупп линейными и билинейными комплексными функционалами относительно единично идеальных предикатов.

1°. Непустое множество М полугруппы А называется единично идеальной подполугруппой (е.и.п.) полугруппы А. если выполняется следующее условие: у а А, к е М: <а-к еМ V а-к - а) и (ка е. М V к-а - а).

Одноэлементную е.и.п. полугруппы А будем называть единично идеальным элементом (е.и.э.). Совокупность всех е.и.э. полугруппы А будем обозначать через А*.

2°. Определим на полугруппе А следующие единично идеальные предикаты:

Р, (а, Ь) - ложно <-> а * Ь, а из А* или Ь из А*;

Р2 (а. Ь) - ложно <«> а * Ъ. а, Ь е. А';

Р3 (а, М) - ложно <»> а I И, а ¿А, М - е. и. п.- А;

Р< (а. Ь) - ложно <-> а / Ь. а е А*. Ь е А;

Р5 (а. Ь) - ложно <»> а / Ь. а. Ь ё. А*;

Р6 (а. Ь) - ложно <-> а-Ь-а * а или Ь-а-Ь * Ь, а, Ь <£ А'.

В предикатах Р4 и Р3 имеется ввиду обобщенная делимость, то есть»элемент а делится на элемент Ь (Ь является делителем а), если существует такая пара элементов с, (1 из А, что а с-Ь-а.

Отметим, что понятие единично идеальной полугруппы было введено Е. С. Ляпиным. В качестве примеров приведем результаты, касающиеся предиката Р4.

В первом параграфе рассмотрены условия аппроксимации полугрупп л.к.ф. относительно единично идеальных предикатов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1.1, Для того, чтобы коммутативная полугруппа А была аппроксимируема л. к..ф. относительно предиката Р, необходимо и достаточно, чтобы каждая ее архимедова компонента, содержащая единично идеальный элемент, была группой.

Во втором параграфе рассмотрены условия БН-аппроксимации полугрупп л.к.ф. относительно единично идеальных предикатов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2.4. Для того, чтобы коммутативная полугруппа А была БН - аппроксимируема л.к.ф. относительно предиката Р, не-

обходимо и достаточно, чтобы А была периодической регулярной по-лугрупой.

В третьем параграфе получены необходимые и достаточные условия аппроксимации полугрупп б. к.ф. относительно единично идеальных предикатов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3.1, Для коммутативной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

а) найдется группа Bt такая, что А аппроксимируема б.к.ф. из F(A.Bj.K) относительно предиката Pj:

• б) найдется полугруппа Вг такая, что А аппроксимируема б. к.ф. из F(A.Bg.K) относительно предиката Р,;

в) каждая архимедова компонента' полугруппы А, содержащая е.и.э.. является группой.

В четвертом параграфе получены необходимые и достаточные условия SH-аппроксимации полугрупп б.к.ф. относительно единично идеальных предикатов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4.1. Для коммутативной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

а) найдется группа B¡ такая, что A SH - аппроксимируема б.к.ф. из F(A.Bj.K) относительно предиката Р,;

б) найдется полугруппа Вг такая, что A SH - аппроксимируема б.к.ф. из F(A.Вг,К) относительно предиката P¡;

в) J - периодическая регулярная полугруппа.

Глава 3.

Аппроксимация компактных топологических полугрупп непрерывными линейными комплексными функционалами относительно единично идеальных предикатов.

Io. Пусть А - компактная топологическая полугруппа и множество ее идемпотентов лежит в центре полугруппы: Е ¿ Z. Тогда А раскладывается в коммутативную связку подполугрупп Рв (е-е - е) таких, что:

Р, = (X 6 А I 8 (£ <~ЗГ»;

2°. Идемпотент е' компактной топологической полугруппы А. представимой в виде коммутативной связки подполугрупп Ре. назы-

вается производящим, если множество 1в., где 1„. - и (х е Р, | е е' * е') - замкнуто.

Б частности. cCjv. I,--а, то е' будск считать производящим.

3°. Пусть А - компактная топологическая полугруппа. S cz а. J0(S) - есть объединение всех идеалов полугруппы А, содержащихся в S. J0(S) - 0, если S не содержит идеалов полугруппы А.

В первом параграфе рассмотрены некоторые свойства компактных топологических полугрупп.

ЛЕММА 3.1.4. Пусть А - компактная топологическая полугруппа, множество идемпотентов Е с Z, е'е Е. е' - неминимальный идемпо-тент, тогда J0 (А \ íe*}) - 1в..

Во втором параграфе рассмотрены условия аппроксимируемости компактных топологических полугрупп, у которых множество идемпотентов Е содержится в центре полугруппы: Е с Z, непрерывными, относительно топологии, линейными комплексными функционалами относительно единично идеальных предикатов. Основные результаты этого параграфа выражены в следующих теоремах.

ТЕОРЕМА 3.2.3. Для компактной топологической полугруппы А, в которой Е с. z. следующие условия эквивалентны:

а) А - инверсная вполне регулярная полугруппа; каждый идем-потент полугруппы А является производящим; для каждого идемпо-тентр е' е Е ч всякой е. и.п. М полугруппы А такой, что е.' S М, существует идемпотент е,, для которого выполнено следующее:

е' • е, - e¡ и М с. 1е,. или в' ■ et * et и М31„; • б) полугруппа А аппроксимируема непрерывными л.к.ф. относительно предиката Р3.

ТЕОРЕМА 3.2.4. Для произвольной компактной топологической полугруппы А', в которой Е с Z. следующие условия эквивалентны:

а) для всякого к' из А\. Р*. - группа; для любого к' из А* и любого е из Е такого, . что к' * е. существует производящий идемпотент е„, для которого выполнено следующее: к'-е0 * е0 и е-е0 - е0 или к'-е„ - е0 и ее0 * е0; для любого а из Рк. ( а * к' ), существует производящий идемпотент е' такой, что к' е' - е\ а-е' * е'.

б) полугруппа А аппроксимируема непрерывными л.к.ф. относительно предиката Pj.

Езботн автора по теиз дисетаиии,

1) Лактионова C.B. Аппроксимация и SH - аппроксимация полугрупп бихарактерами относительно гриновского отношения D - эквивалентности //Тезисы докл. Международная конференция по алгебре в честь B.C. Ляпина.- СПб., 1995.- С. 34-35.

2) Лактионова C.B. Аппроксимация и. SH - аппроксимация полугрупп бихарактерами относительно гриновского отношения И - эквивалентности //Тезисы докл. XXXIII научной конференции студентов и преподавателей.- Череповец. 1995.- С. 14 -15.

• ■ 3) Лактионова C.B. Аппроксимация полугрупп относительно единично идеальных предикатов // РГПУ им. Герцена. СПб.. 1995.-10 е. - деп. в ВИНИТИ. 14.12.95, N 3320 - В95.