Функциональные уравнения гомологического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСШРСТВВШНЙ шстиот ЭЛЕКТРОНИКИ И ДОШШКИ /ТЕХШ1ЧЕСКЙЙ УНИВЕРСИТЕТ/

РГ Б ОД

••, . • ^;• •; ,. На правах рукописи

'.О ,

ШУЛЫМН Екатершя Викторовна

флшшшнше урлвшш гомологического типа

01.01.01 - матешлическлЯ анализ

авторзйера? диссертации на соискание ученой степата -кандидата ф»зико-матеиатических наук

" Ыосква - 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета им.В.И.Ленина

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доитор физико-математических наук , профессор Е.АЛ'орин

доктор физико-математических наук, профессор Д.П.55елобенко

Ка.ЛДИ Д^'Г фИ^А- 1НО--.Ы■"( V. \ : К1'1 л 1: и. V л

доцент А .ИЛог'.1!!01>,

Лнститут математики АН Украины, г. Киев

Защит диссертации состоится И октября 1994г. в 16 час.00 у.ш ни заседайк/ диссертационного Совета К 063.68.05 в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: "¿осква, Б.Вузовский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МШЭМ Автореферат разослан 3 С^Х. 1994 г.

Ученый секретарь диссертационного •. Совета доцент

•эСШу^е. п_в>Шнурков

' . . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию и<?кйторых классов функциональных уравнений на топологических полугруппах, включающих, в частности, классические уравнения Коим, Лобачевского, Пексиде, Фенио и др. Рассматриваются строение пространства решений, вопросы устойчивости, а также решения в классах обобщенных функций.

Актуальность тем». Функциональные уравнения

| с*^) "-{сао^)' СО)

и их обобщения привлекали и привлекает внимание математиков, начиная с работ Кепи, доказавшего, что их непрерывные решения -это, соответственно, линейные функции и экспоненты. Интерес к таким уравнениям объясняется, прежле всего,- широтой спектра их приложений, включающего задачи теории случайных процессов, небесной механики, квантовой теории поля, статистической физики (обзор приложений можно найти в книге СП). В соответствии • с потребностями приложения формировались к основные направления обобщений, среди которых мы выделим следусаде: 1) рассмотрение функций на топологических группах и полугруппах, 23 сужение области опреде--ления и области выполнения равенств. 3) изучение соответствующих неравенств Сполуаддитявние функции), 4) исследование векторных решений; сюда относятся, в частности, сператорноэначные решения на $+ уравнения.С2), изучение которых составляет теории полугрупп операторов (121,13)).

[11 Aczei J., Dhombres J., Functional equations in several variables // Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1989.

t2) .Хилле Э.. Филлипе Р., Функциональный анализ и полугруппы // М., ИЛ. 1962

[33 ГолдстеЯн Дж., Полугруппы линейных операторов и их приложения // Киев, Вьща. шк., 1989

Сравнительно недавно стали рассматриваться вопросы устойчивости уравнений (1) и (23, т.е. свойства функций, которые, в той или ином смысле "почти"-удовлетворяет уравнениям (спрашивается, верно" ли, что они мало отличаются от решений уравнений). Первые результаты здесь были получены в 1941 году ХаЯерсом 141, который, отвечая на вопрос У лама, показал, что непрерывное отображение X V , где X . V ~ банаховы пространства, удовлетворявшее условию || |(£+,р - ((а) - (((р 1! < & , не йолее, чем на 5, отличается от линейного отображения. Позднее Бейкер С5] доказал, что для непрерывных отображений полугруппы в банахову алгебру условие

эквивалентно- условно

^р II

где 0. - гомоморфизм. Отметим различие в этих результатах: прежде всего, речь в них идет с разных классах функций, кроме того, второй не носит "количественного" характера. Перенести результат Хайерса на произвольные полугруппы, как выяснилось, невозможно 151. также как л доказать его "бейкеровскую" модификацию

(В?0*0 -Щ) | * - «> й f (*; - д (Х)Ц < - )

даже для скалярных функций. Правильный класс полугрупп здесь выделяется условие« аменабельности (напомним, что аиенабельной называется локально - компактная группа, допускавшая ле&оинвариант-нсе среднее на пространстве ограниченных непрерывных функций). Основные результаты для амена^бельных групп.и аменабельных бана-

[43 Hyers D.H., On stability of the linear functional equations // Proc. Hat. Acad. Sci. USA, 1941, v.27, N2. p.222-224

[51 Baker J., Functional equations, distributions and approximate identities /г Canadian J. Math., 1990, v.42, N4, , p. 696-709

(6) Штерн А.И., Кааэяпредставления и псевдопредставления // Функциональный анализ и его приложения, 1991, т. 25, в. 2, с.70-73

. - з - .

новых алгебр соответственно были получены Д. Кавданом [7] и Б. Джонсоном 19). Наиболее обшо результаты можно найти у А. К. Етернэ [6,9].

Продолжением результатов Коши ой уравнении СП является и теория хогомологий топологических групп [103, поскольку -решения С1) - это одномерные коциклы стандартного коцешюго комплекса со скалярными коэффициентами (см. , например. 1113). В частности, известные теоремы Ван Эета [12) и Мостова С131 о совпадении гладких, непрерывных и измеримых когомояогий, являатся прямыми обобщениями результатов 'о совпадении соответствуюдо классов аддитивных функций.

Центральное место в данной работе занимает изучение решений уравнения

{(**>= jL at<a)6(ty> ■ • (3)

Здесь | , ttj t Si - неизвестные функции на некоторой полугруппа, скалярные или принимающие значения в банаховой алгебре; в по-

[73 Kazhdar» D. // Israel J. Math. - 1983. v.43, N4„ p. 315-323

¡83 Johnson В.E., Approximately multiplicative naps between' banach algebras // J. London Math. Soc.<2), 37 С1988), p. 294-316

(01 йтеря А.И , Псевдохарактер, определенный символом Раде-махера •'/ЛИН, 1990, т.45, b.3C273), с. 197-198

[101 Guichardet А.. Cogomologie des groupes topologiques et des algebres de Lie // CedicrFernand Nathan, Paris, 1980

tili Горин E.А., Функционально-алгебраический вариант теоремы Бора - ван Кампена // Мат. сборник, 1970, т. 82(124), N2

fl2J Van Est W. Т., Group cohomology and Lie algebra cohomology in Lie groups // I. II, Indagationes Matheciaticae, t.15, 1953, p.484-492, 493-504 •

[133 Mostow G.D., Cohomology of topological groups and sol-vmani folds // Ann. Math., 19S1, v. 73, p. 20-48

следней главе рассматриваются, также, обобщенные функции. Такие уравнения рассмотрены (для функция на абелевих полугруппах) Секелехиди С141 под название» уравнений Левк-Чивиты Сем. также ИЗ)', гдэ исследуется, как они возникают в краевых задачах для уравнений математической физики) и, независимо,•автором под название« "теорем сложения". Взгляд на СЗ), как на теорему Словения предполагает характернаацис функций | , для которых существуют такие (Ц , , что выполняется СЗ); по существу, однако, принципиальных различий в этих подходах нет.

Уравнения (13, (2) так же, как и многие другие, ранее изучавшиеся функциональные уравнения (уравнение Лобачевского (( = С (ц")^ . уравнение Пексиде | (х*Ю * й. (а£) * ¿(у) ,

< уравнение Фенио ^ (.х^) = % + - ((*) ) являются спе-, и,иализаци.<вд уравнения (3), т е. получается из Со) в предположении дополнительных зависимостей между неизвестными Й.; , , Эти соотношения могут носить как алгебраический, так и дифференциальный характер (например, в случае "синус-уравнения" ((Х+у) * « ['(£) ((у) Обитая классификация решений уравнения

. . Деви-Чивиты позволяет единообразно рассматривать специализации, сводя многие задачи к нахождении соотношений между числовыми п&~ , раметрами, входящими в общее решение. Этот подход проиллюстрирован в | 2 диссертации на примере уравнения

^СаО * * ¿(¡О аф ,

возникавшего в задаче о равномерно-сегментном движении по плоской кривой.

Новые классы специализа^й и приложений С интегрируемые гами-льтояовы системы, нелинейные уравнения математической физики,.

114) Szekelyhidi Laszlo', On the Levi-Clvita functional equation //■ Бег. Math.-statist. Sek. Forschungsges, Joanneiua, 1988, M301, p. 1-23

[15] Квчуков Александьр H., Сьставяне на функционали уравнения Мат. и Мат. образ., Локл. XVII пролет, к'онф. Смоза шт. Болгария, Слньчев бряг, 6-9 апр., 1988, с.545-550

(4)

формальные группы) возникают при переходе от СЗ) к более общему уравнение

Его специализации

((х*у)*[(ю('(у)-{(х){(у)]/[и.(х)-11(у)] . ' £3)

= (V)-у'(^КО]/^)^ («•)] (6)

рассматривались в работах [16], [17]; в частности, эллиптические функции типа "обобщенных синусов" удовлетворяет (6).

Уравнение С 4) рассматривается в § 4 диссертации без дополнительных условий гладкости решений. Полное описание получено в случае квадратично независимых решений Сони исчерпываются отношениями квазимногочленов и потому мероморфны).

Непосредственную связь с приложениями имеет, как и в случае дифференциальных уравнений, вопросы устойчивости, Общие результаты об устойчивости уравнения Леви-Чивиты С глава 2, Теоремы б. 3, 6.4, 7.3) переносятся на специализации в виде, определенном характером дополнительных зависимостей между неизвестными. В част-, ности, для специализаций дифференциального типа это означает устойчивость в С " -норме.

Изучение обобщенных 2-коциклов группы , которому-посвящен последний параграф диссертации, мотивировано возникавшей.в приложениях Ск теории поля) задачей классификации ковариантных ассоциативных операций умножения в пространствах функций на однородных многообразиях. Эта задача была решена Ф. А.Березикым и

[16] Бухштабер В. М;, Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы // УМН. 1990, т.45. в.ЗС273), с.185-186

[17] • Кричевер И. М. // Функциональный анализ и его приложения, 1980, т. 14, в.4, с.45-54

4>. И. Карпелевичем Í18J при дополнительных предположениях гладкости операций. Использование аппарата обобщенных функций позволило отказаться от ограничений гладкости.

' Це/ть работы состоит в изучении структуры решений уравнений Леви-Чивиты и его специализаций для скалярно- и векторнозна-чных функций на топологической полугруппе, исследовании устойчивости этих уравнений, классификации квадратично независимых решения функционального уравнения (4), а также обобщенных решений уравнения (3) на областях пространства í{ и обобщенных 2-коцик-лов на .

Методы исследования. Основный методом, систематически применяемом в работе, является использование понятий и объектов теории представлений, позволяющее выявить геометрический "смысл соответствующих аналитических задач. В особенности полезным такой подход оказался в вопросах устойчивости Сглава 2),где центральной задачей стала оценка поперечников инвариантных множеств через расстояния до инвариантных подпространств. Кроме того, широко используются методы классического функционального анализа.

Научная новизне. Среди новых результатов в работе

- изучена структура решений уравнения Леви-Чивиты и его спе-. циализаций для скалярно- и векторнозначных функций на топологической полутруппе,

- исследована устойчивость этих уравнений в различных функциональных пространствах,

- классифицированы квадратично независимые решения уравнения С 41,

- получено решение уравнения Леви-Чивиты в классе обобщенных ■ функций на областях пространства К" ,

- описаны обобщенные 2-коциклы на пространстве £ Практическая ценность. Работа носит теоретический характер.

Результаты могут иметь приложение в механике, теории уравнений в частных производных, теории поля, теории приближений.

(181 Березий Ф. А.. Карпелевич.Ф. И., Об ассоциативных алгебрах функций // Вестник МГУ, матем. -мех., 1976, N1, с. 33-38

Лппробация. Результаты диссертации докладывались на XVI школе по теории операторов в Никнем Новгороде, на IX коллоквиуме по групповому анализу (Нижний Новгород, 1992), а также на семинаре по теории функций и функциональному анализу в МПГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата. Еще 2 работы приняты к печати и депонированы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав со сплошной нумерацией параграфов С 4+3+2) и списка литературы, содержащего 36 наименований. Все основные предложения (теоремы, леммы, следствия, наиболее важные определения и замечания) имеет двойной индекс: первый указывает номер параграфа, втЬ-рой - номер предложения в параграфе, и этот принцип сохранен в автореферате.

Полный текст диссертации занимает 101 страницу машинописи.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается .краткий обзор исследований по тематике работы и описываются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена теоремам сложения.

В § 1 рассматриваются свойства функций, являющихся решениями уравнения Левм-Чивиты. Пусть (Ь - полугруппа с единицей' ({!),. | - комллекснозначная функция на 0г . Будем говорить,. что £ допускает теорему сложения (Т. С.) длины И , если существуют такие функции 0,1 , 6с • & С и), что (3) выполнено-

для всех £ , ^ из С- .. Множество функций, допускающих Т. С. длины И , мы будем обозначать ТС„ (С). Основным результатом первого параграфа является

Теорема 1.1: ^ £ ТС „ (&) тогда и только тогда, когда ^ - мотричншР .яя'чмрг 1 градгэтплялв!ят. ¿лл^пгуб- !гръ-гггргтегт.'> размерности не выше И .

( Напомним, что матричным элементом представления X полугруппы О- в линейном пространстве X называется функция

{(Ж) = < , чУ ,

где € X , £ £ X ( X * - пространство линейных функциона-

лов на X если X наделено топологией, то X* - пространство непрерывных линейных функционалов)). Ее следствиями являются полученные ранее в [151 теоремы о решениях уравнений Яеви-Чивиты на' К" Сони являются кваэимногочленами). Исследуются такие свойства решений, как ограниченность и непрерывность, и устанавливается их связь с соответствующими свойствами представлений.

Теорема 1.4. Пусть ЗС - представление полугруппы С- в линейном пространстве X С <Шп X ^ И ^ , £ - циклические векторы для ЗС и ft* соответственно, А '• X -» С - инъек-тивнкй линейный оператор, f\ * С"—> X* ~ сопряженный оператор (сюрьективный), В ' ~ какой-либо рравый обратный к Л*. ?(я)-проиэвольная функция на G со значениями в Кж Я * • Тогда набор (Ц, .где ( (X) = <1 i g > ,

а< Сх) -У(Вх-(«)? +Гсх)) , с

С А1 - координатные функции в С" ) является решением уравнения (3). Обратно, каждое решение уравнения (3) задается таким образом.

Описание функций йс , вс в СЗ) заметно упрощается в предположении линейной независимости каждого из этих наборов. Ясно, что общий случай сводится к такому перегруппировкой.

Следствие 1.7. Линейно независимые решения СЗ) Ст. е. решения с линейно независимыми наборами {&;}<«,. , £ ) задастся выбором представления ЯГ полугруппы G- в линейном пространстве X ■ циклического вектора ^ с X . коциклического вектора X* и биортогонального базиса {6c}"*t . {£"] Iti в л > X* по формулам

?(*) = <я(=01.

а;(а:)= , <5;*>,

ti (яоSi , Ч> . .

Далее рассматривается функции, удовлетворяющие уравнениям

f (ар«6>(*СаО, 'Гф) су)

где оГ , X - фунхции со значениями в ЛТП X , Y , а В -непрерывная билинейная форма. ССлучай уравнения Леви-Чивиты включается в (7): он соответствует конечномерным X . Y ® слу-

чае, когда X . У ~ гильбертовы пространства, а (у - компактная абелева группа, этот класс функций допускает особенно простое описание: он совпадает с алгеброй всех функций, имевших абсолютно сходящийся ряд Фурье СТеорема 1.10).

Затем исследуется более специальная ситуация. Будем называть Стопологическую) полугруппу * -полугруппой, если'задан ее инволю-тивный гомеоморфизм ас >-> X * , удовлетворяющий условию (х1р"= = ^ X* , Основные примеры:

1) • & - группа, Х- -ос.

2) &■ - абелева полугруппа, .

Будем говорить, что непрерывная функция ^ на £ удовлетворяет инволютивной теореме сложения С И. Т. С.), если

, ((у-а) - (гсх), а. Су)), с8)

где 0, - функция на Ог со значениями в гильбертовом пространстве И непрерывная относительно слабой сходимости в ¡-{

Будем называть * -представлением полугруппы (<?, *) ео непрерывный гомоморфизм в полугруппу всех линейных операторов некоторого предгильбертова пространства Но , наделенную слабой операторной топологией, удовлетворявший условию

для всех хе& , "Г , £ € Но .

Теорема 1.12. Непрерывная функция | на ^-полугруппе О-удовлетворяет условию (8) тогда и только тогда, когда- существует * -представление X в пространстве Но с Н и вектор с Н . такие, что {(ас) =СДГ(Х)>| , а (ее) = .

При различных выборах * -полугрупп .-мы получаем описание положительно определенных, экспоненциально выпуклых функций и т.п. Заключает параграф •

Теорема 1.14. Для того, чтобы функция % на От допускала Т. С. длины И , необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы | ^Сс; ] не превосходил И для любых наборов

Г^МЙ-Г.*3 & -

В | 2 приводится одно "механико-геометрическое" приложение теории уравнений Яеви-Чивиты: задача о равномерно-сегментном движении. Рассматривается движение по плоской кривой, при котором за

равные промел/тки времени проходятся сегменты одинаковой площади. Возможность такого движения является внутренним свойством кривой С в отличие от движения с постоянной секториальной скоростью). Используя результат о непрерывных решениях уравнения Леви-Чивиты на отрезке, удается доказать, что равномерно-сегментное движение возможно лишь по кривым второго порядка (и по прямым).

В § 3 рассматривается теоремы сложения для функций со значениями в банаховом пространстве. Пусть ^ '• &■ - С где 2 -банахово пространство) удовлетворяет условию

Р(ху) = В(0.<а:) Т, (9)

где В - билинейное отображение из X * У в 2 .Если при этом ¿От У = ¿¿гт У = , то будем говорить, что допускает теорему сложения длины И . Как показывает Теорема 3.1, функция допускает Т.С. длины К] тогда и только тогда, когда /(з:) = Д где Ж - представление (у- в некотором пространстве (С , облп К $ Н • £ К . А " линейный оператор из К в 2 . Специализацией уравнения (6) является уравнение

Показывается, что решение этого функционального уравнения связано с.выделением ассоциативных подалгебр неассоциативных алгебр.

Пусть С , р" - банаховы Пространства, / - функция на G со значениями в (Е, F) ■ непрерывная в какой-нибудь из операторных топологий. Условимся называть функции допускающей операторную теорему сложения СО.Т.С.), если существует банахово пространство L и функции А •' (г О и в . такие, что 0 , „ . . ,

f (Х^) = А (а:) & (у) ■ U0J

Естественный класс примеров функций, допускающих 0. Т.С.. составляет "операторные матричные элементы", т. е. функции вида

{(х) = й ТОО 6 '(„,

где ТСХ) - представление полугруппы От в некотором банаховом пространстве L , Ь £ í (Е , L) , Л « Г)- Эта конструкция,

ьообщ« говоря. не универсальна, как показывает следующий пример: , Е =F = ¿4í? + ) . /(í)=Me-ttt . где через Mf

при (f i й t) обозначается оператор умножения на <f ( О ■ в £*(R+) . Тогда СЮ) выполнено с A (ft) =6 (fc) = Me"V, ^ . С другой стороны, норма операторной функции на ¡К/ вида С11) должна расти не быстрее экспоненты, в то время как || {( i)lj = а Однако любую функцию, допускающую О.Т. С. , можно

представить в виде СИ), если рассматривать и представления неограниченными операторами:

Теорема 3.6. Если £ допускает О.Т.С., то существует нормированное пространство /0 , представление полугруппы G в ¿о замыкаемыми (относительно пополнения пространства L0 ) операторами и операторы Д:^,0~*Г , В : Е Lo . такие, что операторы Tfg") В и АТ(<р ограничены и справедливо равенство (И).

I Заключительная теорема параграфа показывает,что если функция, о которой идет речь в Теореме 3.6, ограничена, то представление Tfj) также мозсно считать ограниченным.

В § 4 рассматриваются функции j!: R -> С . допускаюзде "тангенциальную теорему сложения" СТ.Т.С.), т. е. такие, что

для некоторых <J;,U,:, Zj, tfi : R-*C и всех l,Sc£ . Примерами таких функций являются отношения кваэимногочленов, эллиптические функции Якоби, некоторые решения уравнения Ламе. В данной работе Т.Т. С. изучаются путем исследования наборов' , [ j и т.д., т. е. . С12) рассматривается как функциональное уравнение.

Каждое из семейств {{ ¿¡(О}", ■■ ■ можно считать линейно независимым, .сделав, если необходимо, перегруппировку и сменив обозначения.

Определение 4.1. Семейства {^г Ш]Гч , {£j(OjJS,. называются совместно независимыми, если линейно независимо семейство функций

[«fid) z; (i) : i £ и , i 5 m } .

Определение 4.2. Семейства (()]"t, { Z;CO]Jtl называются (совместно) квадратично зависимыми, если они удовлетворяют нетривиальному соотношению

Cii =0 .

л V '

где - константы. Основной результат § 4 составляет

Теорема 4.3. Пусть семейства [<Лс(1)]"з1 и совместно

линейно независимы. Тогда либо семейства (4) и 1^(01^ квадратично оависимы, либо, с точностью до множителя (одной и той же произвольной функции) они являются отношениями квазимногочленов и функция | - также отношение квазимногочленов.

В наиболее важном для приложений случае И * щ ~ 2. исследуется квадратично зависимые решения. Устанавливается, что характер квадратичной связи может быть произвольным. Получен общий вид .матрицы, обеспечивающий существование линейно независимых систем решений с квадратичной зависимостью.

Во второй главе рассматривается устойчивость функционального уравнения Яеви-Чивиты, понимаемая в смысле Кайерса - Улама и некоторые связанные с ней вопросы теории представлений.

Пятый параграф содержит предварительные сведения об амена-бельных группах и носит вводный характер.

В §§ 6-7 для доказательства устойчивости уравнений Леви-Чи виты строятся ковариантные аналоги некоторых понятий теории приближений в банаховых пространствах. Пусть X - банахово пространство, в котором определено ограниченное действие локально . компактней группы С- . Через В ( X ) мы будем обозначать его . единичный шар, Вс (У) =е ВСЮ , X, (X) - алгебра всех линейных ограниченных операторов в X (в общем случае (X, У)- пространство всех операторов иэ X в У ), X * С =2! (X , О Э -дуальное пространство С если X - У * , то будем писать У — X* ) Представление Т • & ~> С X} будем'называть дуальным представлением, если X - дуальное пространство, все операторы Тс$) X, X*) -непрерывны и Т является б"(У,, X*) -непрерывным.

Пусть 6 (&) - пространство всех измеримых функций на & , а 7П я (.&) - пространство всех матричных элементов непрерывных представлений 5С (г С К), где с(*/>п К 4 п . Как обычно, п -поперечником подмножества й С )( называется нижняя грань р п С А) его расстояний до п-мерных подпространств. Ковариантний. п-поперечник р® ( А ) - это нижняя грань расстояний от /1 до (г -инвариантных подпространств, размерности которых не превосходят П . йена, что р„ СА) £ Рп (Ю • Оказывается, что ь случае аьенабельней группы Q справедлива оценка противоположного типа;

Теорема 6.1. Для произвольных действительных 6?0 . С >0, и целого >1 >0 существует такое <Р=<?(п, S , С, G) , что если "Р : G- Ц (Х) " изометрическое дуальное представление амена-бвльной группы Cr ,Я<=ВеСХ)- G- - инвариантное подмножество и р„ (Я)< & . то р» (А) < <5 .

Доказательство теоремы использует результаты В. Джонсона о "почти гомоморфизмах" банаховых алгебр. Явная оценка Р (ri, б. О имеет порядок (и!)"1 ■ В случае гильбертова пространства ее можно значительно улучшить:

Теорема 6.2. Пусть Т(<р ~ унитарное представление группы G » гильбертовом пространстве И . Тогда

PÎCA) «(пн)* р.СЛ)

Ния лобого G -инвариантного подмножества Я с Н .

Приложение полученных результатов к вопросам устойчивости уравнений Леви-Чивиты иллюстрируют Теоремы 6.3 и 6.4.

Теорема 6.3. Для амэнабельной локально компактной группы G- и чисел Пе M , б /*0 , С >0 существует такое 5'>0 , . что если | £ СССд .причем Ц f ¡1 $ С и

• (fc^)- £ aiCpêcCfof < S ' ci3)

для некоторых Q.c, С £ и всех 0, h * G .то найдется такая f i ШпС&) .что

I f(s>-fc?)l< <5.

Теорема 6.4. Пусть G - компактная группа. Если / с L (G-) удовлетворяет неравенству С13), то lif-Jlh < <Р Jh+T для некоторой l' с ?7Хй (G) , г

Абстрактная аппроксимационная схема может быть расширена таким образом, чтобы содержать, в качестве следствия, теорему об устойчивости уравнения СЗ) для неограниченных функций. Для этого рассматривается инвариантные подмножества банаховых G -прост-' ранет», в которых действие (г уже не является ограниченным, но его сужение на некоторое кофинитное подпространство ограничено.

Пусть пространство X представления Т- содержит подпространство Y с изометрическим дуальным сужением <J i'Tig^iy . Следующая теорема характеризует те векторы из X , орбита кото-

рых принадлежит суше некоторого конечномерного подпространства и ограниченного подмножества йз У. *

Теорема 7,1. Пусть & - аменабелъная группа, £ £ X Тогда следующие условия эквивалентны:

а) ? » V С У , «¡¿™ 1Л. ( { Тф? : д £ С}) « н ,

0) Тф1? =1 С ^У . где усд) < V. 1ир 11у(рН <<*>,

I СЗ) « I , ¿¡ЛП ¿4 П. В качестве следствия имеем:

Теорема 7. 3. Измеримая функция ( на аменабелыюй группе Сг .удовлетворяет условию

4ар [|{ (^Ь)-^ - р \ц сС } < -

для некоторых к.с, V; £ 6 СО тогда и только тогда, когда

£ = 14* . где «р е ¿"(<?) . ?с7гхиС<?>

Этот результат, ь частности, усиливает некоторые теоремы о квазихарактерах, доказанные в С 9].

Следствие 7. 4. Измеримая функция ^ на локально компактной группе & удовлетворяет условию

для некоторых р е (1; <*0 и и.:, V; с £ ( & ) ^в том и только том случае, когда ( = ( * у , где ус

Следствие 7.6. [5] Измеримая функция { на локально компактней группе О удовлетворяет условию,-

в том и только том случае, когда ( ( либо ограничена, либо

является характером группы £ .

В гл. 3 рассматриваются решения некоторых функциональных уравнений в классах обобщенных функций. ^

Как обычно, для любой области Зс с К через

©Ш и

обозначаются соответственно пространства основных (финитных бесконечно дифференцируемых) и обобщенных функций. Если а« , £ * £>'(.£*), то под О (з0 о (у) мы будем понимать

функцию Г £ 10'. определенную условием

<Г . ^(х)^,(£)>=< а,

для любых « й • Аналогичный смысл С обобщенной функции ь Л^'Лг ) придается { + ' : если • г»е

. то через ( (х+'р мы обозначаем обобщенную функции Ге 2)' . такую, что

< Г,чч=< ?, •

Введенные обозначения позволяют придать смысл равенству (3) как уравнению относительно обобщенных функций ( , . вс •

Теорема 8.1. Каждая обобщенная функция, допускающая Т.О., является квазимногочленом, каждое обобщенное решение уравнения Леви-Чивиты, для которого наборы {&; £, линейно неза-

висимы, состоит из квазимногочленов и является решением в обычном смысле.

В § 9 обобщается результат Березина - Карпалевича, связанный Со следующей общей задачей, возникающей в некоторых вопросах математической физики. Пусть на'многообразии М непрерывно действует группа Ли С • Требуется описать все умножения а С С N) превращающие это пространство в ассоциативную алгебру, для которой сдвиги по & являются автоморфизмами.

Ф. А. Березиным и Ф. И. Карпелевичем эта задача решена для случая, когда М= К." и Сг - группа сдвигов, в дополнительном предположении гладкости рассматриваемых операций. Центральную роль в доказательстве полнота предложенной ими классификации играло следующее утверждение:

Каждая функция | е С,(£*ЕИ), удовлетворяющая условию

имеет вид

где " антисимметричная билинейная форма, Ь с С СЙ") .

Этот результат дает явное описание группы (К"»О гладких 2-коциклов группы {Цп с комплексными коэффициентами. Нами получено Стеорема 9,33 аналогичное описание обобщенных функций, удовлетворяющих (14).

В качестве следствия приводится описание непрерывных и локально ограниченных измеримых функций, удовлетворяющих (14):

Теорема 9.5. Каждая локально ограниченная измеримая функция

j? удовлетворяющая условию (14) почти всюду на "й iß " ,

совпадает почти всюду на ft"'R." с функцией ß (а,У) + h(x+-a) --ЬСх)-Ь(у) ,где ß -антисимметричная билинейная форма, а Ii -локально ограниченная измеримая функция на R" . Если f непрерывна, то и Ь можно выбрать непрерывной.'

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Евгению Алексеевичу Горину за постоянное внимание к работе и поддержку.

По теме диссертации опубликованы работы:

1. ¡Пульман Е. В., 0 функциональных уравнениях гомологического типа для обобщенных функций на R" . // Математические заметки, том 54 С вып. 6), 1993, с. 148-150.

•2. Шульман Е. В., Обобщенные 2-коциклы на группе R." . // XVI всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах . Тезисы докладов,, Ннжкий Новгород, 13-20 сентября, 1991, с. 253.

3." Щуяьман Е.В., Функциональные уравнения и аппроксимация инвариантными подпространствами. //IX коллоквиум "Групповой анализ. Методы и приложения"., Тезисы докладов, Нижний Новгород, 24-30 нюня, 1992, г.54.

•4. Shulman Е.V., Group representations and stability of functional equations. // Journal of the London Mathematical Society, (to appear).