Гомологические характеристики некоторых функциональных банаховых алгебр и связанные с ними вопросы геометрии банаховых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение. 2

Глава I. Предварительные сведения . .12

§ I. Некоторые определения.12

§ 2. Почти треугольные элементы тензорных произведений банаховых пространств

Глава 2. Связь гомологических размерностей модулей с дополняемостью подмодулей.28

§ I. Морфизмы модулей вида А^ Е и связанные с ними слабые пределы.30

§ 2. Связь гомологической размерности модуля с дополняемостью существенного подмодуля

Глава 3. Глобальная размерность тензорных произведений бицроективных алгебр.40

§ I. Теорема о прореживании. Часть 1.43

§ 2. Теорема о прореживании. Часть 2.48

§ 3. Обобщение теоремы Филлипса.62

§ 4. Некоторые специальные подмодули

§ 5. Формула аддитивности для бипроективных коммутативных алгебр.68

Глава 4. Пример максимального идеала в с (а) гомологической размерности единица и формула аддитивности дня малой глобальной размерности . . 75

§ I. Пример максимального идеала в С СО) гомологической размерности единица

§ 2. Формула аддитивности для малой глобальной размерности С(К) . 80

Указатель основных обозначений .86

Указатель терминов .87

Основная тема настоящей работы - вычисление важнейших числовых характеристик коммутативных банаховых алгеф - их глобальных гомологических размерностей. Главные результаты группируются вокруг следующих тем: гомологические характеристики максимальных идеалов коммутативных банаховых алгебр, наличие или отсутствие замкнутых дополняющих подпространств у некоторых подмодулей данного модуля и связанные с этим гомологические характеристики, так называемые формулы аддитивности - соотношения между гомологическими характеристиками тензорных произведений банаховых алгебр и модулей и соответствующими характеристиками сомножителей.

Исторический обзор литературы по этим вопросам следует начать с чисто алгебраических работ Хохшильда [21] и [22] , где были определены группы когомологий Н'\А;Х) алгебры А с коэффициентами в бимодуле X . Важным црилокением этих групп явилось исследование радикальных расширений алгебр, проведенное в работе [21] ( так называемые теоремы ведцербернов-ского типа) . Следующая работа, принадлежащая Камовицу [2б] , касалась уже банаховых алгебр. В ней было дано определение групп когомологий банаховой алгебры с коэффициентами в банаховом бимодуле (по традиции эти группы называются группами когомологий Хохшильда ) и рассмотрены их приложения к сингулярным расширениям банаховых алгебр.

Упомянем еще работу Джонсона, который в терминах групп когомологий определил аменабельные банаховы алгебры и установил связь этого понятия с уже известным понятием аменабельной группы |23].К настоящему моменту известны интерпретации первых трех групп когомологий Хохшильда. Например НЧД; X ) = О тогда и только тогда, когда всякое дифференцирование А со значениями в бимодуле X является внутренним (напомним, что линейный непрерывный оператор : Д —?> X называется дифференцированием, если £>(ав)*= Х>(а)'в + О. - <£(&) ), т.е. порождено некоторым Хб X и <£>(а)=а-Х-Х-С\ . Группа Нг(А;Х)» как уже упоминалось, связана с расщепнмостью сингулярных расширений банаховой алгебры [26 ] . Установлена связь между устойчивостью банаховой алгебры к малым возмущениям операции умножения и группами Н г(А, А) и Н3(А; А) [24] , [зи .

В 1970 году А.Я.Хелемскпй ввел в рассмотрение относительную категорию банаховых модулей [II] (некоторые определения этой работы будут повторены в главе I) . В этой категории каждый объект обладает допустимой проективной резольвентой, поэтому в ней м<жно определить производные функторы, в том числе Ех1 и Тог . Это нововведение позволило вычислять когомологии Хохшильда, пользуясь известными формулами, связывающими эти группы с группами Ех+ . Цреимущество этого метода заключается в том, что вместо стандартных резольвент, используемых для вычисления групп когомологий, для вычисления производных функторов мшшо использовать любые допустимые проективные резольвенты.

В терминах функторов Ех! и Тог некоторые уже известные результаты получили более ясные формулировки (например, уже упоминавшаяся теорема Лдонсона - см. работу [1б] ) . Кроме того выяснилось, что такие характеристики, как гомологическая размерность модулей, глобальные размерности алгебр и т.д., имеют и самостоятельное значение. Упомянем, например, работы

Си]. \12\, в которых установлена связь между проективностью идеала коммутативной банаховой алгебры и паракомпактностью его спектра, работу £13 ] , где с помощью функтора То Г вычисляются группы когомологий алгебры С (ХО для некоторого класса компактов, работу £17] , в которой с помощью проективных и инъективннх резольвент вычисляются зтруппы когомологий локально компактной группы, работы [9] и [10] , в которых из гомологических свойств банаховых алгебр выводятся некоторые их структурные свойства, недавнюю работу [19] , в которой гомологические характеристики банаховых алгебр связываются с наличием у них аналитической структуры.

Переходим теперь к обсуждению вопросов, непосредственно касающихся данной работы. Центральным из них является вопрос о глобальных размерностях коммутативных банаховых алгебр, и в частности алгебр С(Х2) всех непрерывных функций на хаусдор-фовом компактном пространстве. Первые результаты принадлежат А.Я.Хелемскому, который доказал, что глобальная размерность так называемых бицроективных алгебр не превосходит двух [14] . Рассмотрев далее алгебру С0 сходящихся к нулю последовательностей и модуль С£ над ней, состоящий из ограниченных последовательностей (норма в обоих случаях равномерная) , он показал, что гомологическая размерность этого модуля равна двум, а так как алгебра С0 бицроективна, то, следовательно, её глобальная размерность также равна двум [14] .

Напомним, что в "чистой" гомологической алгебре глобальная размерность алгебры равна верхней грани гомологических размерностей циклических модулей, т.е. модулей вида А/1 , где А алгебра, а X - некоторый её левый идеал (теорема Ауслендера

- см. например [б] , [28] . Приведенный выше пример показал, что в гомологии банаховых алгебр подобное утверждение неверно. Действительно, все замкнутые идеалы алгебры С0 проективны, т.е. имеют гомологическую размерность нуль, и гомологическая размерность соответствующих фактор-модулей не цревосходит единицы, в то время, как глобальная размерность равна двум. Тогда же была высказана гипотеза, что причиной этого является специфически "банаховский" эффект - отсутствие банахова дополнения у некоторого специального (так называемого существенного) подмодуля данного модуля.

В настоящей работе показано, что для некоторого содержательного класса банаховых алгебр, к которому относится и цриведен-ный выше пример, эта гипотеза верна.

После выхода в свет названных работ и работы \Х51 , где показано, что глобальная размерность коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром (пространством максимальных идеалов) отлична от единицы, возник вопрос, какие конечные значения мажет принимать глобальная размерность таких алгебр? Следующим результатом по этой проблеме быяа работа Ю.В.Селиванова [8] , где рассматривались тензорные степени бипроективной алгебры абсолютно сходящихся рядов с почленным умножением. Используя специфические свойства тензорных степеней пространства было показано, что (С]® . - 2II .

Таким

3десь и ниже приняты следующие обозначения: с//1 - гомологическая размерность модуля; с|б - малая глобальная размерность алгебры - верхняя грань гомологических размерностей конечнообразом, были получены примеры коммутативных банаховых алгебр с любым четным значением глобальной размерности. Вслед за этим вышла работа [I] , где было доказано равенство

11 для любых коммутативных бипроективных алгебр , . , ? А^ .В связи с последними двумя работами возникла так называемая гипотеза аддитивности: гомологические характеристики тензорных произведений банаховых алгебр и модулей равны сумме соответствующих характеристик сомножителей. Отметим, что в "чистой" гомологической алгебре это не так: цростой контрцример будет приведен в начале третьей главы этой работы. Отметим ещё, что в банаховом случае такие примеры невозможны из-за специфически "банаховских" свойств проективного тензорного произведения. В настоящей работе получены новые результаты по этому 1фугу вопросов: доказано, что сЦ (А ^ .<£> Ач)= 2 а для любых бипроективнЕх коммутативных банаховых алгебр А^ 5 . . . ^ А^ с бесконечным спектром ( пространством максимальных идеалов) ; доказана также формула аддитивности для малой глобальной размерности одной специальной алгебры, о которой речь пойдет ниже.

Вернемся теперь к вопросу о глобальной размерности коммутамерных модулей; о1 - глобальная размерность алгебры - верхняя грань гомологических размерностей всех модулей над этой алгеброй;

- биразмерность алгебры, т.е. гомологическая размерность алгебры, рассмотренной как бимодуль над собой. тивннх банаховых алгебр. Кроме упомянутых выше, имеются также примеры банаховых алгебр, глобальная размерность которых равна бесконечности. Цростейший такой пример - радикальная алгебра с тривиальной операцией (нулевым умножением) , то же самое верно и для некоторых полупростых алгебр [17] .

Воцрос о глобальной размерности наиболее просто устроенных алгебр - алгебр всех непрерывных функций на компакте - оказался неожиданно трудным: он не решен даже для непрерывных функций на отрезке ( обсуждение см. в [20] , [25] ) , сколько-нибудь общие результаты получены пока только по вопросу о малой глобальной размерности таких алгебр - о гомологической размерности конечномерных модулей над этими алгебрами или, что для коммутативных полупростых алгебр одно и то же, о гомологической размерности максимальных идеалов. В работе [II] А.Я.Хелемский построил первый пример максимального идеала алгебры С(Х2) » гомологическая размерность которого не равна нулю. В качестве

Л было взято пространство трансфинитных чисел до первого несчетного включительно с порядковой топологией. Позже [12] им были получены два результата, обобщающие приведенный выше: если X проективный идеал (не обязательно максимальный) коммутативной банаховой алгебры А » то его спектр параком-пактен; в случае, если А - С (А.) » верно и обратное - идеал с паракомпактным спектром проективен. Был, таким образом, предложен способ получения непроективных идеалов в алгебре Опираясь на первую из этих работ А.Я.Хелемского, У.Моран [.27] получил оценку:.-снизу для гомологических размерностей максимальных идеалов алгебр всех непрерывных функций на компактах, также состоящих из трансфинитных чисел с порядковой топологией. Им была построена последовательность алгебр и ш ма~ ксимальных идеалов Хц » Д-®1 которых ) ^П^ а также компакт X} » содержащий все ^ , и максимальный идеал X в алгебре , такой, что

Однако до сих пор не было известно, принимают ли гомологические размерности максимальных идеалов в алгебрах С(XI) конечные отличнш от нуля значения. Автором настоящей работы построен первый пример такого компакта, что гомологическая размерность некоторого максимального идеала алгебры всех непрерывных функций на этом компакте равна единице. Показано также, что малая глобальная размерность этой алгебры равна двум и что верна формула аддитивности для малой глобальной размерности.

Упомянем еще одну тему, затронутую в работе - теорему Фил-липса о не дополняемости подпространства С0 в пространстве ограниченных последовательностей с равномерной нормой [2, У, §4, 133 , ¡29] , [ЗСЦ . фи доказательстве формулы аддитивности дал бицроективных алгебр в настоящей работе получен результат, обобщающий теорему Филлипса на случай тензорных произведений пространств С0 и С^ •

Переходим к изложению содержания работы по главам.

В §1 первой главы даются предварительные сведения и основные определения, которые используются на протяжении всей работы: оцределены банаховы модули, введена категория банаховых модулей над фиксированной алгеброй, определены проективные объекты в этой категории. Затем даны определения функтора Ех^ и гомологических характеристик алгебр и модулей. В конце параграфа приведена используемая в последующих главах лемма 1.1.1 "об укорачивании резольвенты" и описаны тензорные произведения резольвент.

Во втором параграфе рассматриваются так называемые почти треугольные элементы тензорных цроизведений банаховых пространств. Оценка снизу норм этих элементов используется в последующих главах при доказательстве невозможности укоротить некоторые резольвенты.

Во второй главе рассматриваются модули над коммутативными бипроективными алгебрами с ограниченной аппроксимативной единицей. В первом параграфе рассматривается произвольный морфизм свободных А-модулей и строятся некоторые индуцированные им "сечения" ^ - ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство У . Далее доказано (предложение 2.1.3), что последовательность {ЧУ сходится в ^-слабой топологии к оператору 5 ' X—* У , Во втором параграфе с помощью результата предложения 2.1.3 для модуля X » гомологическая размерность которого не превосходит единицы, строится проектор, действующий из X на его существенный подмодуль Хе (теорема 2.2.1) . Это и означает подтверждение упомянутой выше гипотезы. В конце параграфа приведена сводка результатов о связи гомологической размерности модуля с дополняемостью Хе в X

В третьей главе вычисляется глобальная размерность тензорного произведения коммутативных бипроективных банаховых алгебр. В первых двух параграфах рассматриваются тензорные произведения банаховых пространств С0 и С^ и операторы, действующие в этих пространствах. Результат, используемый в дальнейшем, доказан во втором параграфе. В первом приведена схема доказательства этого результата в частном случае двух сомножителей. Результат второго параграфа - "теорема о прореживании" - позволяет с помощью подпоследовательностей работать с произвольными операторами, действующими в пространстве С0® > ,<2>Со » как с морфизмами модулей.

Основным результатом третьего параграфа являются лемма 3.3.2 и следствие из нее 3.3.3. Равенство нулю многократного предела, рассмотренного в этих утверждениях, позволяет в пятом параграфе доказать, что резольвенту модуля , , , над тензорным произведением бипроективных алгебр нельзя укоротить, что и позволяет вычислить глобальную размерность тензорного произведения этих алгебр. Предпоследний, четвертый параграф имеет вспомогательный характер - в нем вводятся некоторш специальные модули, используемые в пятом параграфе.

В первом параграфе четвертой главы приводится пример максимального идеала в алгебре С( К) > гомологическая размерность которого равна единице. В начале параграфа построен компакт К и максимальный идеал I , затем доказано, что некоторую резольвенту идеала I длины единица нельзя укоротить. В конце ла аддитивности).

Отметим теперь, что на протяжении всей работы начало и конец доказательств обозначаются знакам ^ и ► соответственно.

параграфа доказано, что тензорнда степени алгебры да ют любые четные значения малой глобальной размерности ( формула

Основные результаты работы содержатся в статьях [з] -й . Они докладывались на семинарах в МГУ, на конференции молодых ученых МГУ 1981 года и в Воронежской зимней математической школе.

Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю А.Я.Хелемскому за постоянное внимание к работе.

1. Головин Ю. 0., Хелемский А.Я. Гомологическая размерность некоторых модулей над тензорным произведением банаховых алгебр, Вестник Моск. ун-та, матем. ,механ., № 1, 1977, 54 - 61.

2. Дэй М.М. Нормированные линейные пространства. Ин. лит., М., 1961.

3. Кричевец А.Н1 0 связи гомологических свойств некоторых банаховых модулей с вопросами геометрии банаховых пространств. Вестник Моск. ун-та., матем., механ., № 2, 1981, 55 58.

4. Кричевец А.Н. Вычисление глобальной размерности тензорных произведений банаховых алгебр и одно обобщение теоремы Филлипса, Матем. заметки, т. 31, вып. 2, 1982, 187 202.

5. Кричевец А.Н. О малой глобальной размерности одной алгебрыи её тензорных степеней. Депонировано в ШНЙТИ, гё 2281 84 Деп.

6. Маклейн 0. Гомология, М., "Мир", 1966.

7. Рудин У. Функциональный анализ, М., "Мир", 1975.

8. Селиванов Ю.В. О значениях, принимаемых глобальной размерностью в некоторых классах банаховых алгебр, Вестник Моск. ун-та, матем., механ., В I, 1975, 42.

9. Селиванов Ю.В. Бипроективные банаховы алгебры, их строение, когомологии и связь с ядерными операторами, Функц, анализ и его приложения, 10, вып. I, 1976 , 89 90.

10. Селиванов Ю.В. Проективность некоторых банаховых модулей и строение банаховых алгебр, Изв ВУЗов, матем., $ I, 1978, НО 116.

11. Хелемский А.Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами, Матем. сб., 81 (123) , la 3, 1970, 430 444.

12. Хелемский А.Я. Описание относительно цроективных идеалов в алгебре C(Q) . Докл. Ж СССР, 195, № 6, 1970, 1286 1289.

13. Хелемский А.Я. Об одном классе плоских банаховых модулей и его приложениях, Вестник Моск. ун-та, матем., механ., }Ь I, 1971, 29 36.

14. Хелемский А.Я. Об одном методе вычисления и оценки глобальной гомологической размерности банаховых алгебр, Матем. сб., 87 (129) , № I, 1972, 122 135.

15. Хелемский А.Я. Низшие значения, принимаемые глобальной гомологической размерностью функциональных банаховых алгебр, Тр. семинара им. И.Г.Петровского, вып. 3, 1978, 223 242.

16. Хелемский А.Я., Шейнберг М.В. Об аменабелъных банаховых алгебрах. Функц. анализ и его приложения, т. 13, вып. I,1979 » 42 48.

17. Шейнберг М.В. Об относительной гомологической размерностигрупповых алгебр локально компактных групп, Изв. Ж СССР, матем., 37, й 2, 1973, 308 318.

18. Шегоер X. Топологические векторные пространства, М., " Мир 1971.

19. Пугач Л.И. Проективные и плоские идеалы функциональных алг-гебр, их связь с аналитической структурой, Матем. заметки, т. 31, вып. 2, 1982, 223 229.

20. Dales H.G., Automatic continuity: a survey. Bull. Lond. Math. Soc., 1978, v. 10, 112, 129 183.

21. Hochschild G. On the cohomology groups of an associativ algebra. Ann. of Hath., 46, 1945, 58 6?.

22. Hochschild G. Cohomology and representations of associative algebras. Duke M. G., 14,1947» 921 948.

23. Johnson B.E. Cohomology in banah algebras. Mem. Amer. Math. Soc., 127 (1972).

24. Johnson B.E. Perturbations of Banach algebras. Proc. Lond. Math. Soc., Ser 3, v. 34, 11 3, 1977, 439 458.

25. Johnson B.E. Approximate diagonals and cohomology of certain annihilator Banach algebras. Amer. J. of Math, v. 94, II 3, 1972, 685 698.

26. Kamowitz H. Cohomology groups of commutative Banach algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 102, 1962, 352 372.

27. Moran W. The global dimension of C(K). J. Lond. Math. Soc., Ser. 2, v. 17, N 2, 1978, 321 329.

28. Osofsky B.L. Homological dimensions of modules. Providence ( Rhode Island )., Amer. Math. Soc. ( cop 1973 ).

29. Pelczynski A. On strictly singular and strictly cosin-gular operators. 1. Strictly singular and strictly cosingular operators in C(X) —spaces. Bull. Ac. Pol. Sci., Ser. Math., 13, N 1, 1965.

30. Phillips R.S. On linear transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 48, 1940, 516 541.

31. Raeburn I., Taylor J.L. Hochschild cohomology and perturbations of Banach algebras. J. of Funct. Anal.,v. 23,N 3, 1977, 258 266.

32. Rieffel M.A. Induced Banach representations of Banach algebras and locally compact groups. J. of Eunct. Anal., v. 1, N 4, 196?, TO 491.