Гомологические свойства алгебр непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

& " П о Я %

! ■

МОСКОВСКИЙ ОРЛЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРЛЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТАМ. М. В. ЛОМОНОСОВА

ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙ СТВА АЛГЕБР НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

( 01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

механико - математический факультет

на правах рукописи

Курмакаева Елена Шамильевна

УДК 517.986

Москва - 1992

Работа выполнена на кафедре теории функций и функг ционального анализа механике - математического факультета Московского государственного университета имени М. В.Ломоносова.

— доктор физико-математических наук, доцент

А.Я.Хелемский.

— доктор физико-математических наук, профессор А.В.Архангельский.

— доктор физико-математических наук, профессор Д.П.Желобенко.

— Московский педагоги- . ческий университет.

Защита диссертации состоится " /С? 1992 г. в

16 час. 05 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени N1. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан " " 1992 г.

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

Ученый секретарь Специализированного совета

Д.053.05.04 при МГУ,

доцент ■ Т.П.Лукашенко

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1.1 Актуальность темы

Цёнтральным из вопросов, расмотренных в работе, является вопрос о гомологических размерностях алгебр С(П) всех непрерывных функций на хаусдорфовом компактном пространстве. Этот вопрос, который, несмотря на кажущуюся простоту, оказался весьма трудным, в теории банаховых алгебр рассматривается давно [1], [2], [3]. 1 Лаже для случая, когда П = [0,1], значение глобальной гомологической размерности С(П) неизвестно (обсуждение см.[1], [2], ). В работе À. Я. Хелемского [4] 2 содержится первый результат по вопросу о глобальных размерностях алгебр С(П) - приведен пример непроективного максимального идеала в такой алгебре. В качестве П было взято пространство трапсфинйтных чисел вплоть до первого несчетного с порядковой топологией. Продолжением этой работы был критерий проективности идеалов в C(fi) А. Я. Хелемского'[5]. 3 В настоящей работе мы рассматриваем другой важный класс модулей над полинор-

мированными алгебрами непрерывных функций - а именно, - • ~

1. Хелемский А.Я.Гомология в банаховых и полинормиров&нных алгебрах.

. М.: Иэд-во МГУ, 1986.

2. Dales Л.G. Automatic continuity: & survey. -Bull. London Math. Soc.,1978, v. 10, p. 129-18a

3. MoranW. Tha'giobài dimension of C(K).

3. London Math. Soc., Ser,2,1978, v. 17, p. 321-329.

?4. Хелемский Д.Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами. Матем. сб., 81(121), нр. 3, 1970, 430-444,

35. Хелемский А.Я. Описание относительно проективных идеалов в алгебре 0[U).

Докл. АН СССР, 1970, т. 195, нр. 6, 1286-1289.

С(А')-модули С(М), где М С А', и устанавливаем критерий проективности для большого класса таких модулей. Опираясь на работу А. Я. Хелемского [4], У.Морак получил оценку снизу для гомологических размерностей максимальных идеалов алгебр всех непрерывных функций на компактах, состоящих также из трансфинитных чисел с порядковой топологией. Им была построена последовательность алгебр С(Пп) и их максимальных идеалов /„, для которых dhc{n,)¡n > п 4, а также компакт О, содержащий все П„, и максимальный идеал I В алгебре C(Í7), такой, что dhc(n)I — оо. В дальнейшем, с помощью новых идей, был получен пример максимального идеала в гомологи-

ческая размерность которого равна единице (А. Н. Кри-чевец [6] 5). В работе А. Н. Кричевца [7] 6 были построены компакты для которых глобальная гомологическая размерность С(С1п) равна 2п. Известно также р' что гомологическая размерность С(П), раьло как и любой другой функциональной банаховой алгебры, не может равняться единице.

Основной причиной затруднений, возникающих при вычислении гомологических размерностей, является сложное строение проективного тензорного произведения алгебр С(П) (так называемых алгебр Варопулоса). Это обстоятельство, в частности, явилось одних« из побудительных мотивов для

43дссь'и ниже приняты следующие обозначения: (dh) dh - (строгал) гомологическая размерность модуля; (dm)dm - малая (строгал) глобальная гомологическая размерность алгебры, т.е. верхны-ал грань (строгих) гомологических размерностей неприводимых модулей; (dß)dg~ (строгая) глобальная гомологическая размерность алгебры, т.е. верхняя грань (строгих) гомологических размерностей всех модулей над алгеброй; [dh)db - (строгал) биразмерность алгебры, т.е. (строгая) гомологическая размерность алгебры, рассмотренной как бимодуль над собой. Все эти понятия точно определяются в главе 2.

56. Кричевец А.Н. О связи гомологических свойств некоторых банаховых модулей с вопросами геометрии банаховых пространств. Бестник МГУ, матсм., механ., нр. 2, 1981, 55-58.

*7. Кричевец А.Н. О гомологической размерности алгебры С(П). Депонировано в ВИНИТИ, нр. 9012-138G,

автора настоящей работы рассмотреть некоторый класс банаховых алгебр - так называемые строгие банаховы алгебры, гомологии в них, и С(П) как строгую банахову алгебру. В теории строгих банаховых алгебр, т.е. теории с инъективным тензорным произведением, введенным А. Гро-тендиком, произведение алгебр С(П) имеет куда более естественное устройство.

Интерес к строгим алгебрам возник достаточно давно. Определение строгой банаховой алгебры было дано в работе Н. Варопулоса [8] 7 (в ней использовалось название инъектив-ная). В работе [8] Н. Варопулос доказал, что коммутативные строгие алгебры суть фактор-алгебры равномерных и рассмотрел с этой точки зрения некоторые конкретные банаховы алгебры.

1.2 Цель работы

Основная цель этой работы - изучение гомологических свойств алгебр всех непрерывных функций на топологическом пространстве X. Для различных классов X эти алгебры будут изучатся в рамках общей теории банаховых алгебр, теории полинормированных алгебр, но в еще большей степени в рамках теории так называемых строгих алгебр.Главные результаты группируются вокруг следующих тем:

- запас строгих алгебр и модулей гомология в них - сходство и различия с ("традиционной) гомологической теорией общих банаховых алгебр;

- гомологические характеристики алгебры С((1) как строгой алгебры;

- гомологические свойства. С(Х) как полинормированной алгебры.

78. Varopoulos N.Th. Some remarks on Q-algebras. Aim. Inst. Fourier (Grenoble) 22, 4(1972), 1-11.

1.3 Общая методика исследования

В работе применяются методы гомологической теории банаховых алгебр, некоторые топологические результаты, методы и теоремы функционального анализа.

1.4 Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми.

1. Построена гомологическая теория строгих алгебр.

2. Обсуждены некоторые общие конструкции, сохраняющие строгость.

3. Показана строгость или не строгость некоторых классических алгебр анализа.

4. Доказан критерий равенства единице строгой бираз-мерности С(П), где О - компакт.

5. Исследован вопрос о проективности полинормирован-иых С(Л')- модулей С{М), где М С X, в теориях по-линормиропанных и строгих полинормированных алгебр.

1.5 ПРИЛОЖЕНИЯ

Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях по гомологической теории топологических алгебр и модулей. Некоторые примеры, иллюстрирующие возможные приложения полученных результатов, даны в самой работе (например, применение одной из полученных теорем к задаче о расщепимости расширений).

1.6 АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты диссертации докладывались на научном семинаре механико-математического факультета МГУ, руково-

димого А. Я. Хелемским, а также на семинаре, проводившемся проф, Дейлсом (Англия) и А. Я. Хелемским во время пребывания проф. Лейлса в СССР.

1.7 ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых помещен в конце автореферата.

1.8 СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 35 наименований. Объем диссертации 68 страниц.

2 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В §1 первой главы даются основные определения и сведения, относящиеся к гомологической теории строгих банаховых алгебр, используемые в дальнейшем: определения строгих банаховых алгебры и модуля, свободного строгого банахова модуля, проективного строгого банахова модуля и т.п. Далее даны определения гомологических размерностей строгих алгебр и модулей, приведены некоторые факты гомологической теории строгих алгебр. Отмечена свы-азь между проективностью модуля в обычном смысле (поскольку всякий строгий модуль является и банаховым) и строгой проективностью. Дано также более общее определение строгой полинормированной алгебры и замечено, что на. строгие полинормированные алгебры и строгие.модули над ними можно перенести основные определения гомологической теории строгих банаховых алгебр и модулей (по аналогии с "общими" банаховыми и полинормириванными алгебрами). В пар.1 второй главы делаются некоторые общие замечания о строгости алгебр и модулей. А именно, доказано, что

1. замкнутая подалгебра(подмодуль) строгой(-го) алгебры (модуля) является строгой(-им);

2. инъективное тензорное произведение строгих алгебр -также строгал алгебра;

3. прямая со-сумма метрически строгих алгебр является метрически строгой алгеброй;

4. если замкнутая подалгебра (подмодуль) конечной коразмерности в банаховой(-ом) алгебре (модуле) явлы-ается строгой(-им), то такова же и сама алгебра (модуль);

5. фактор-алгебра строгой алгебры не обязана быть строгой.

Насколько же широк класс строгих банаховых алгебр и модулей? Этому вопросу посвящен §2, где доказаг i следующие утверждения о строгости или не строгости конкретных алгебр и модулей:

1. Алгебры гладких функций Cl'[a,i>]fc = 1,2,... являются строгими.

2. Подалгебра А в Б(Н), содержащая все одномерные операторы, норма в которой обладает свойством || г® у ||=|| х I) х I) у I) , г,у € Н , не является строгой. Как следствие, B(H),K{H),N(H),LP{H) строгими алгебрами не являются.

3. L\(G), где G - бесконечная, хаусдорфова, локально-компактная группа, не является строгой алгеброй.

4. Из банаховых алгебр 1Р( 1 < р < о») строгими явля-

ются только li и i«,. Все /р(1 < р < со) являются строгими /¡-модулями. Все/р(1 < р < оо) не являются строгими /кз-модуля.ми.

Третья глава невелика по объему, но, тем не менее мы рассматриваем ее как одну из наиболее важных. Она посвя-•тщена изучению гомологических свойств С(П) как строгой

банаховой алгебры. В §1 доказан критерий проективности идеала в C(ft), где П - компакт. А именно, идеал в С(fi) проективен в строгом смысле тогда и только тогда, когда его спектр паракомпактен. Однако, наиболее интересным с нашей точки зрения результатом является доказанная в §2

Теорема .1 Пусть П хаусдорфово компактное топологическое пространство. Тогда

1. условие dbC(il) < 1 вквивалентно метризуемости П;

2. условие dbC(fi) = 0 вкеивалентно конечности П. Из этой теоремы получено

Следствие .2 Пусть П - метризуемое компактное бесконечное пространство. Тогда

dJC(n) = djC( П)=1.

Отмечено также следующее применение теоремы к задаче о расщепимости расширений.

Следствие .3 Пусть Cl - метризуемое компактное топологическое пространство: Тогда все сингулярные расширения C7(fi) с помощью строгих С(С1)-бимодулей расщепимы.

В четвертой главе мы рассматриваем класс (7(Л')-модулей С(М), где M С Х,в теориях полинормированных и строгих лолинормированных алгебр и модулей. В >¡1 получен критерий проективности С(М) как строгого полинормирован-ного С(Х)-модуля. При условии, что в X любые две точки функционально отделимы, критерием служит существование некой функции на Ху.М с заранее заданнымисвойства-ми, которое в случае метризуемого SI эквивалентно открытости M, а в случае компактного П эквивалентно одновременному выполнению свойств открытости и паракомпактности М. В §2 С(М) рассматривается как полинормиро-ванный С(Х)-модуль. В этой ситуации критерий проективности удается получить (причем более сложным способом) только при дополнительных предположениях. А именно, доказана следующая

Теорема .4 Пусть X - метризуемое (соответственно, компактное) топологическое пространство. Тогда С(Х)-модуль С(М),М С X, проективен тогда и только тогда, когда М открыто (соответственно, открыто и паракомпактно) в X.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю А.Я.Хелемскому за постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации.

1. Курмакаева Е.Ш., Шкарин С.А. О проективности некоторых модулей надполинормированными алгебрами непрерывных функций.

Вестник МГУ, механ., матем., нр. 5, 66-68.

2. Курмакаева Е.Ш. Зависимость строгой гомологической размерности С(П) от топологии Г2.

Рукопись деп. ВИНИТИ АН СССР,

3. Курмакаева Е.Ш. О строгости алгебр и модулей. Рукопись деп. ВИНИТИ АН СССР, {//ГЩ .