О некоторых гомологических и структурных характеристиках операторных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

7 : с

п На правах рукописи

УДА ЫЗЛЯ

АРИСТОВ Олег Юрьевич

3 НЕКОТОРЫХ ГОМОЛОГИЧЕСКИХ Я СТРУКТУРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ОПЕРАТОРНЫХ АЛГЕБР

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1095

Работа выполнена па кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имони М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физ.-мат. наук,

профессор Л.Я. ХелоыскиЗ Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. паук,

профессор Исмагилоа P.C.,

доктор физ.-мат. наук, доцеит Троицкий Е.В.

Ведущая организация - Воронежский государствотшй

университет

Защита диссертации состоите»!

1945 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании Специализированного Совета Д.05.3.05.04 при Московском I-осу даре тьытсы университете ии^ии И.В.Ломоносова но адресу: 119899, 11Л1, Ыосква, Воробьевы горы, ИГУ, межанмко-математический факультет, аудитории 16-24.

С диссертацией иохно ознакомиться в библиотеке мехышко-иатематического факультета МГУ (14 атаж).

Ученый секретарь Сиециалиаиронанного Совета Д.053.05.04 при ИГУ профессор

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы- Изучение свойств банаховых алгебр с омсхдью банаховых модулей (т.е. их представлений в банаховых рееТр"ТТСТЕаХ; давший 'НИЛИН"«, ОДЯТ!?.! ™Г! Т5СОМОА1ЩЛ. ИОДХО-

эв к банаховым модулям является исследование их гомологических воаств. Начало ему положил Г.Камовиц [1] , перенесший введен-эе Г.Хохшильдом [2] понятие группы когомологий ассоциативной лгебры в контекст теории банаховых алгебр. После того, как -Я.Хелемский [3] рассмотрел относительную категорию банаховых эдулей и показал, что в пей каждый объект обладает проективной эзольвеятой, оказалось возможным применять производный функтор КТ к вычислению групп когомологий Хохшильда-Кямовица. Это виз-ало к жизни подробное изучение "банаховых аналогов" и других омологических понятий, в том число и понятие глобальной гомо-огичоской размерности 13].

Вообще говоря, глобальная размерность банаховой алгебры о*ет принимать любое (целое) значение от нуля до бесконечности

1. Kamawitz И. Cohomology groups of commutative Barxach

algebras.// Trans. Amer. Math. Soc. 1962, V.102. P.352-372.

2. Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra.// Ann. of Math. 1945, V.46. P.58-67-

3. ХелелtcHUfl А.Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М.: Изд-во МГУ, 1986.

включительно [4] . Но до сих пор неизвестно, существуют ли полупростые банаховы алгебры (том числе и С*-алгебры), глобальна* размерность которых равна 1 15; стр.434] . Такой вопрос имеет смысл только для бесконечномерных алгебр, поскольку глобальная размерность любой конечномерной полупростой алгебры равна О. Для бесконечномерных алгебр вопрос гораздо более труден. А.Я.Хелемским было доклзано, что для любой коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром верна оценка <3ц А ± 2 [3].

В гомологической теории банаховых алгебр принято называть теоремой о глобальной размерности какое-либо утверждение, устанавливающее для некоторого класса бесконечномерных банаховых алгебр (как правило, полупростых) оценку снизу их глобальной размерности числом 2. Теоремы о глобальной размерности доказаны для С*-алгебр с конечномерными неприводимыми представлениями и для широкого класса групповых банаховых алгебр 161 . Впоследствии теорема о глобальной размерности была доказана для более широкого класса С*-алгебр: так называемых ССИ-алгебр (=лими-

4. Селиванов К>.В. О значениях, принимаемых глобальной размерностью в некоторых классах банаховых алгебр.// Вест. Моск. ун-та. сер. Матем., механ.. 1975, N1. С.37-42.

5. Хелелстсй А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры.

Общая теория, представления, гомологии. Ы.: Наука, 1989.

6. Хелелский А.Я. Об одном методе вычисления и оценки глоба

льной й гомологической размерности банаховых алгебр.// Мат. сб.1972, т.87(129). С-122-135-

нальных алгебр) [7] , (З.А.Лыкова), для бипроективных полупростых алгебр со свойством аппроксимации ([8] , Ю-В.Селиванов) и других. Вопрос о том, верпа ли теорема о глобальной размерности для произвольных С -алгебр, до сих пор остается открытым. В частности вопрос представляет интерес в случае ССЙ-алгебр (класс, содержаний ССИ-алгебры) (9].

Одной из причин рояюпг*-. гйг4иьиигичдскоЯ твоиш ;»

кнт^р'гг плго'р от голоч/югяческоа теории колец является наличие педополняемых замкнутых подпространств в банаховых пространствах. Другая же причина состоит в том, что проективное тензорное произведение бесконечномерных банаховых пространств и алгебр, которое служит основным инструментом при построении свободных и проективных модулей, обычно устроено довольно слозсно. Гомологическая теория, построенная Е.Ш.Курмакаевой [10] на основе так

7. Lykava Z.A. The lower estimate of the glo-bal homological dimension of infinite-dimensional CCR-algebras // Proc. of OAТВ 2 Conference, Craiova, Romania, 1989, P.43.

8. Селиванов D.B. Бипроективные банаховы алгебры, их строение, когомологии и связь с ядерными операторами.// Функц. апал. и прил., 1976, Т.10. С.89-90.

9. Lykova Z.A. The homology of C*-algebraB.// Linear

and complex analysis problem book 3, /part 1/ Havin V.P., Hikolskii N.K., eds// Lect. NoteB in Math. N.1573. Berlin: Springer, 1994. P.79-82.

10. Куржшаева. Е.в. Зависимость строгой гомологической размерно-ности С(0) от топологии Q.//Мат.заметки, 1994, Т.55. С.74-63.

называемого слабого (инъективного)тензорного произведения, введенного А.Гротендиком в работе [11] «лишена этого недостатка. При построении такой теории необходимо рассматривать лишь строгие алгебры и строгие модули, то есть алгебры и модули, в которых оператор умножения ограничен в топологии, задаваемой слабой нормой. Тогда слабое тензорное произведение можно использовать при определении свободного модуля, и в этом случае любой объект в относительной категории строгих модулей имеет проективную резольвенту. Строгие банаховы алгебры впервые появились в работе Н.Варопулоса [12] (под названием "иньективные"), а затем исследовались в [13], [14]. [15] и (10]. В частности были получены различные характеризацни строгих алгебр, в основном, коммутативных, но строгие некоммутативные С*-алгебры ранее не-

11. Grothendieck A. Produits tenaorielles et eapacea nucléaires. Mem. Amer. Math. Soc. 1955, V.166.

12. Varopouloa N .Th.. Some remarks on Q-algebras-// Ann. IriBt. Pourier ( Grenoble ) 1972, V.22, N.4. P.1-11.

13- Varopouloa N.TU. Sur les quotients des algebras uniformes. // Compt. Rend. Acad. Sel., Paris 1972. V.274, N.18, ser.A. P.1344-1346.

14- Varopouloa ïl.Th. Sur le produit tensoriel des algebrea normees.// Compt. Rend. Acad. Sei-, Paris 1973, V.276, N.18, Ber.A. P.1193-1195.

15- Kaljaer S. Some remarks on infective Banach algebras.// Spaces of analytic functions. A.Dold, B.Eksmann, eda.// Lect. Notes in Math. N.512- Berlin:Springer, 1976. P.84-95-

изучались.

Е.Ш. Курмакаевой [10] показано, что строгая гомологическая биразмерность С^Ь) коммутативной С*-алгебры не превосходит 1

тогда и только тогда, когда она сепарабельна. Естественно пред _ _ *

положить, что для строги* С -алгебр сепарабельность всегда эк Бивалентна неравенству ^Ь А * 1. Метод, использованный Курмвка евой, опирается на установленную Грюйнхеджом [16] связь между Кйтр±ыуеыостыо компакта и нярвчткттякпгесты доттоляоштп до ди агопали в его декартовом квадрате, а также использует подход, основанный на построении непрерывной функции, называемой "скелетом проективного идеала" и играющей важную роль в гомологической теории коммутативных банаховых алгебр [3].

Цель работы. Оценить значения принимаемые "стандартными" и строгими гомологическими размерностями С*-алгебр, описать строгие С*-алгебры в терминах их неприводимых представлений.

Научная новизна. Основные результаты являются новыми:

1. Получена характеризация строгих С*-алгебр в терминах их неприводимых представлений.

2.Получены оценке сверху строгой гомологической размерности сепарабельной строгой С*~алгебры в рамках гомологической геории строгих банаховых алгебр и гомологическая характеризация сепарабельных алгебр в классе однородных строгих утгтяльггыт

16. Gruenhagf? G. Covering propeties of ff-eets arid com-

pact subsets of £-producta.// Topology Appl. 19fM, V.17, 287-304•

С*-алгебр.

3.Доказана.теорема о глобальной размерности для широкого класса сепарабельных С*-алгебр, включающего алгебры без единицы.

4- Доказана теорема о глобальной размерности для сепарабельных ССЙ-алгебр.

Методы_исследования. В работе используются общие методы функционального анализа, гомологической алгебры и общей топологии, а также методы теории представлений и тензорных произведений С*-алгебр. Кроме того, применяются специфические методы гомологической теории банаховых алгебр.

Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти примене-' ние в гомологической теории банаховых алгебр, структурной теории С*-алгебр и теории операторов.

Апробация диссерттации. Основные результаты работы докладывались на научно-исследовательских семинарах МГУ и на конференции "Банаховы алгебры-95" в Ньюкасле.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 статьи. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на 11 параграфов. Объем диссертация - 85 страниц, в том числе 1 рисунок и 1 таблица. Диссертация снабжена оглавлением в списком литературы из 58 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются постановки задач, приведены основные результаты гомологической теории банаховых олгебр и теории строгих банаховых алгебр, дан краткий исторический обзор и сформулирована основная цель работы. Описана структура и краткое соли р*нмим РЯВО тассврТР 75ТТТ7.

Рлава^1 имеет вводный характер. Параграф 1 содержит основные определения и обозначения, сведения о С*-алгебрах и их тензорных произведения, а также определение строгой банаховой алгебры. А именно, банахова алгебра А называется строгой, если ограничен линейный оператор : А в^А —> А: ааЬ I—» аЪ, где А а А - алгебраическое тензорное проиводение, снабженное нормой

(д)

к

||и||ы гял>[| £ /(Х1)е(У1)\-. /еК*. «ер*. 11/11 й и ||б|| 5 /)

1т 1

Пополнение А ® А по норме ы обозначается А е> А.

Если А - банахова алгебра, то левый банахов Л-модуль Л называется строена, если линейный оператор : А —► X:

а&х I—> а-х ограничен. Банахов /4-бимодуль X мы называем строгим, если ограничен оператор А в^Х —> X: а&хвЪ I—> а-х-Ь.

В параграфе 2 приводятся определения и факты "стандартной" гомологической теории банаховых алгебр, информация о строгих алгебрах и их гомологической теории, а также сформулированы некоторые известные утверждения, которые понадобятся в дальнейшем. Левый банахов Л-модуль (¿4-бимодуль) Р называется проекшиВньи, если любой непрерывный морфизм левых Л-модулей (Л-бимодулей) с областью значений Р, обладающий правым обратным линейным непрерывным оператором, обладает и правым обратным

морфизмом левых А-иодулей (А-Оиыодулвй). Аналогично, строгий левый банахов Л-модуль (Л-бимодуль) Р называется строго проек-тибныд, если любой непрерывный морфизм левых Л-модулей (Л-бимодулей) из строго Л-модуля (Л-бимодуля) в Р, обладающий правым обратным линейным непрерывным оператором, обладает и правым обратным морфизмом левых Л-модулей (Л-бимодулей).

Проективной резольвентой А-модуля К (строго проективной резольвентой строго модуля X над строгой алгеброй А) называется комплекс банаховых Л-модулей

а , ап а, 3

О ,- X «—— Р 2- Р «—1- ... «- р «—Е- ... ,-

0 1 п

„который точен и,.сверх того, допустим; кроме того, все модули Рп: пг.0,проективны (строго проективны). Наибольшее п такое, что Р # 0, или если такого п нет, называется длиной резольвен-

п

ты. Длина самой короткой проективной резольвенты модуля X называется его гомологической размерностью и обозначается Гомологическая размерность Как А^ -биыодуля называется гомологической биразмерностью (сГй Л). Наконец, верхняя грань величин &1А X,взятая по всем X е Л-тск1, называется левой глобальной гомологической размерностью банаховой алгебры Л и обозначается <2£ Л.

Понятия строгой гомологической размерности строгого модуля X X), а также строгой гомологической биразмерностии

у

глобальной строгой гомологической размерности строгой банаховой алгебры А А) в строгой гомологической биразмерности (фй Л) вводятся аналогично с помощью строго проективных резольвент.

В_главе_2 изучаются строгие С*-алгебры и их гомологические характеристики. Параграф 3 содержит критерий строгости С*-алгебры:

Теорема 3-11- С*-алгебра строга тогда и только тогда, когда все ее неприводимые представления конечномерны, и их размерности ограничены в совокупности.

Кроыо того а втим ла^ихрйфо содср:пггсл ~г~г~"тттгг; ¡| д." 5* строгой С*-алгебры А (а именно, Цй^Ц равна максимальноой среда возможных размерностей неприводимых представлений /4) и простейшие примеры строгих С*-алгебр, а также доказан следующий критерий: С*-алгебра коммутативна тогда и только тогда, когда ||ЯД||=7 (следствие 3 • 9) -

В параграфе 4 доказан ряд теорем о слабом тензорном произведении С*-алгебр, в частности, об эквивалентности слабой и

С*-норм в алгебраическом тензорном произведении строгих * *

С -алгебр, утверждение о том, что класс строгих С -алгебр замкнут относительно основных алгебраических .операций. Основным результатом параграфа является

Теорема 4-9. Пусть Л - строгая сепарабельная С*-ялгебра, тогда ф; А * фз А « I.

В параграфе 5 изучаются гомологические свойства унитальных однородных С -алгебр. (Однородной С -алгеброй называется алгебра, такая что размерности всех ее неприводимых представлений одинаковы). Рассматривается бимодульная резольвента

*Л ор О <- А <- А в А <- I. «-О

V Л

Эквивалентность слабой в С*-норм на А ® А°Р позволяет доказать проективность этой резольвенты. На декартовом квадрате спектра А задается непрерывная функция (аналог "скелета проективного

идеала" из [3], свойства которой влекут паракомпактность топологического дополнения к диагонали. Из топологического критерия метризуемости компакта [16] следует

Теорема 5.10. Однородная строгая С*-алгебра А с единицей сепарабельна тогда и только тогда, когда çjb A s 1.

ГлаваЗ посвящена доказательству неравенства (3g A i 2 для

%

широкого класса сепарабельных С -алгебр, включающего алгебры без единицы (такого рода оценку общепринято называть теоремой о глобальной размерности). Для доказательства достаточно предъявить банахов А-модуль, обладающий проективной резольвентой длины 2, и доказать, что ее нельзя укоротить. Параграф 6 посвящен доказательству двух лемм о проективных резольвентах, которые будут использованы в доказательстве.

В параграфе 7 рассматривается Л(1) - модуль двусторонних мультипликаторов недополняемого как подалгебра двустороннего идеала I конечной коразмерности в сепарабельной С*-алгебре. Множество Л(1) определяется как jx е S (H); xa. ах е. I для всех

а е г|. где H - гильбертово пространство, в котором I представлен невырожденным образом [171 • Далее используются методы гомологической алгебры для построения проективной резольвенты

а

О *- Л(1) «- (АвЛ(1))ф1 «-

л л А л «- (AvJK-A(I))(S>(Jl9»L(I)) <- Jb<bJK-A(I) «- О

длины 2 этого модуля, являющейся обобщением так называемой "раскручивающей" резольветнты (здесь íj и JR - левый и правый

17- Busby R.C. Double centralizers and extensions oí С*-algebre Trana. Amer. Uath. Soc. 1968. V.132 N.1. P.79-99.

замкнутые идеалы А соотоветственно).

В параграфе 8 вводится понятие разрежепной япнроксиыатив-ной единицы, которое используется при построении играющего важную роль в доказательства основной теоремы оператора из банахова пространства сь в Л(1) такого, что образ cq содержится в I.

В параграфе 9 показано, что морфизм Д из резольвенты не

ИМммг ЛННПРП <тг>т.оп,ттлт,л1 »Г"« ТТОЗПОГПОТ ДСКиОиТЬ CCiiOliauZ

эезультат главы:

Теорема 9.6. Пусть А - сепарабельная С*-алгебра такая, что существует недополняемый как подалгебра биидеал конечной коразмерности. Тогда dg А г 2.

В доказательстве основную роль играют методы функционального анализа, в частности используется недополняемость подпространства со в банаховом'пространстве сь-

Из теоремы 9.6 вытекает

Следствие 9-7- Если А - сепарабельная С*-алгобра без единицы, то äg А t 2.

Напомним, что С*-алгебра назывется GCR-алгеброй, если Kernet

дая ее С -факторалгебра обладает двусторонним замкнутым CCR-кдеалом, т.е. таким, что образ всякого неприводимого представления содержится в множество компктных операторов в пространстве представления. Разложение GCR-алгебры в композиционный ряд используется в параграфе 10 для доказательства следующего результата:

Теорема 10.1» Если А - бесконечномерная сепарабельная GCR-алгебра, то clß А t 2.

Там же дано доказательство теоремы о глобальной размерности сепарабельной групповой С*-алгебры G*(G) топологической группы С, в случае, если G имеет аменабельную факторгруппу (на-

пример, если Сг - свободная группа с двумя образующими), и приведены различные примеры С*-алгебр, для которых доказана оценка Л * 2.

И, наконец, параграф 11 содержит условный результат: осуществлена редукция теоремы о глобальной размерности для всех

к

сепарабельных С -алгебр к случаю простых унитальных алгебр (для которых вопрос остается открытым).

Автор глубоко признателен своему научному руководителю А.Я.Хелемскому за постановки задач, постоянное внимание к работе и поддержку.