Гомологические свойства некоторых функциональных, групповых и операторных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517 98

Табалдыев Сейтек Болотбекович

Гомологические свойства некоторых функциональных, групповых и операторных алгебр

(01 01 01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0030В5332

Москва - 2007

003065332

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор А. Я Хелемский, доктор физико-математических наук, профессор Ю В Селиванов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В А Артамонов, кандидат физико-математических наук, доцент А Ю Пирковский

Ведущая организация: Казанский государственный

университет

Защита диссертации состоится " S " октября 16 час 15 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "5*" сентября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001 85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор П Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предмет диссертации относится к топологической гомологии — области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые топологические алгебры и их непрерывные представления (банаховы и топологические модули) с использованием методов гомологической алгебры Появление топологической гомологии было стимулировано ее "внегомологическими" приложениями Например, необходимость изучения расширений банаховых алгебр была замечена ещё в 1954 году H Данфордом при исследовании спектральных операторов1. В 1962 году Г Камовиц2, используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий Нп(А, X), п = 0,1, банаховой алгебры А с коэффициентами в банаховом А-бимодуле X и, в частности, установил биекцию между множеством классов эквивалентности сингулярных расширений А с помощью X и элементами Л2{А, X) Впоследствии группы когомологий банаховых алгебр применялись к задачам, связанным с дифференцированиями, расширениями и возмущениями банаховых алгебр3, с аменабельными локально компактными группами4.

В 1970 году А Я. Хелемским5 был предложен способ перенести понятия производных функторов и резольвент на случай банаховых алгебр и модулей. Оказалось, что это возможно осуществить при помощи специального относительного варианта гомологической алгебры, в основе которого лежит понятие относительно проективного банахова модуля Как и в теории ассоциативных алгебр этот подход предоставил возможность подойти к изучению когомологий банаховых алгебр с более общей точки зрения и, кроме того, открыл новые полезные объекты для изучения. С этого времени общие гомологические методы стали активно применяться в различных задачах теории банаховых алгебр. Они дали возможность получить информацию о существовании аналитической структуры в спектре коммутативной банаховой алгебры6, получить гомологические критерии для топологических свойств, таких как паракомпактность7 и

1 Dunford N Spectral operators Pacific J Math 4 (1954), 321-354

2 Kamowitz H Cohomology groups of commutative Banach algebras Thans Amer Math Soc 102 (1962), 352-372

3 Raeburn I, Taylor J L Hochschild cohomology and perturbations of Banach algebras J Fund Anal 25 (1977), 258-266

4 Johnson В E Cohomology in Banach algebras Mem Amer Math Soc 127 (1972)

5 Хелемский А Я О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами Матем сб 81 (123) (1970), 430-444

6 Пугач Л И Проективные и плоские идеалы функциональных алгебр, их связь с аналитической структурой Матем заметки 31 (1982), выл 2, 223-229

7 Хелемский А Я Описание относительно проективных идеалов в алгебрах C(SÎ) ДАН СССР 195 (1970), 1286-1289

метризуемость, доказать сильные теоремы о структурных свойствах алгебр фон Нойманна и других самосопряженных8 и несамосопряженных операторных алгебр

Один из естественных вопросов гомологической теории банаховых операторных алгебр, рассматриваемый в данной диссертации, — когда такие алгебры пространственно проективны7 Напомним, что операторная алгебра А на банаховом пространстве Е называется пространственно проективной, если левый банахов А-модуль Е с естественным внешним умножением ах — а(х) для всех a G А и х 6 Е проективен Одно необременительное достаточное условие пространственной проективности операторной алгебры — наличие по крайней мере одного столбца одномерных операторов в унитализации этой алгебры — принадлежит Ю О Головину Напомним, что столбцом одномерных операторов называется множество операторов вида f(')x, где / — фиксированный ненулевой непрерывный линейный функционал на банаховом пространстве Е, а х пробегает все пространство Е Для важного класса несамосопряженных операторных алгебр — для CSL-алгебр, в частности для гнездовых алгебр на гильбертовом пространстве, Головин9 доказал необходимость этого условия в случае, когда алгебра неразложима Для неразложимых пространственно проективных С*-алгебр наличие столбца одномерных операторов следует из описания всех проективных гильбертовых модулей над С*-алгебрами, данного А Я Хелемским10

Тем не менее долгое время не было известно примеров пространственно проективных рефлексивных и/или полупростых неразложимых операторных алгебр на гильбертовом пространстве, которые не содержат столбца одномерных операторов. Пример такой алгебры (так называемая алгебра Соболева) представлен в данной диссертации, причём эта алгебра оказывается одновременно и полупростой, и рефлексивной Также в диссертации изучены некоторые общие свойства неразложимых операг торных алгебр, связанные с пространственной проективностью

Следующая задача, рассмотренная в диссертации, связана с явлением аменабельности, возникшем в теории локально компактных топологических групп и затем обобщенным при помощи гомологической теории банаховых алгебр В 1972 году Б Е. Джонсон ввёл понятие аменабельной банаховой алгебры Это название оправдано благодаря теореме Джонсона и Рингроуза- групповая алгебра Ll{G) аменабельна тогда и только

8Хелемский А Я Гомологическая сущность аменабельности по Конну. инъегсгавность преду-ального бимодуля Матем сб 180 (1989), 1680-1690

9 Головин Ю О Критерий пространственной проективности неразложимой операторной CSL-алгебры Успехи матем наук 49 (1994), вып 4,161-162

10HelemskiiA Ya Projective homological classification of C*-algebras Gomm in algebra 26 (1998), № 3, 977-996

тогда, когда группа G аменабельна.

Многие авторы исследовали аменабельность так называемых дуальных банаховых алгебр Самые известные примеры дуальных банаховых алгебр — это произвольная алгебра фон Нойманна и алгебра мер M(G) на любой локально компактной группе G. Для них предпочтительнее использовать более мягкое понятие аменабельности — так называемую аменабельность по Кончу, учитывающее их дуальность как бимодулей над собой

Для аменабельности по Конну алгебр фон Нойманна известен критерий на языке гомологии банаховых алгебр. А именно, А Я Хелемским8 доказано, что алгебра фон Нойманна А аменабельна по Конну тогда и только тогда, когда предуальный бимодуль Л, инъективен Однако продолжительное время не было известно, верен ли подобный критерий для других дуальных банаховых алгебр (задача 24a)

В диссертации показано, что отмеченный выше критерий Хелемского аменабельности по Конну алгебр фон Нойманна не переносится на алгебры мер M(G) Более того, доказано, что для любой бесконечной дискретной группы G, например, уже для G = Z, предуальный бимодуль co(G) алгебры мер M(G) (в случае дискретной группы M(G) — ^(G)) не инъективен, хотя сама алгебра M(G) заведомо аменабельна по Конну в случае аменабельной группы G

Значительная часть диссертации посвящена вычислению и оценке основных гомологических характеристик коммутативных банаховых алгебр — глобальной размерности и биразмерности. При этом особое внимание уделено классу алгебр С(П) (непрерывных функций на компактах О)

Вопрос о вычислении гомологических размерностей алгебр C(Q), несмотря на кажущуюся простоту, оказался весьма трудным Даже для случая, когда Q = [0,1], значения глобальной размерности и биразмерности алгебры С(С1) до сих пор неизвестны Основной причиной затруднений, возникающих здесь, является сложное строение проективных тензорных произведений алгебр С (Sí) (так называемых алгебр Варопулоса).

Согласно известной теореме о глобальной размерности А Я. Хелемского12, любая коммутативная банахова алгебра А с бесконечным спектром имеет глобальную размерность dg Л строго большую единицы (эта теорема не имеет аналогов ни для ассоциативных алгебр, ни для локально выпуклых алгебр) В то же время для целого ряда коммутативных банаховых алгебр, например, для А — cq, ix или Ь1(Т), выпол-

11 Runde V Lectures on amenability Lecture Notes in Mathematics, 1774, Springer Verlag, Berlin, 2002

1г Хелемский А Я Низшие значения, принимаемые глобальной гомологической размерностью функциональных банаховых алгебр Труди семинара им И Г. Петровского S (1978), 223-242

нено dg А = 2 Более общо, если А бесконечномерна и представима в виде Ао © А\ ф ф An, где Ао - бипроективная функциональная (т е полупростая и коммутативная) банахова алгебра, а остальные слагаемые суть унитализации бипроективных функциональных банаховых алгебр, то dg А = 2 До сих пор, однако, не было известно ни одного примера алгебры глобальной размерности 2, не принадлежащей указанному классу

В диссертации построен новый класс примеров коммутативных банаховых алгебр с указанной гомологической характеристикой Это алгебры C(fü) всех непрерывных функций на таком метризуемом компакте fi, у которого производное множество некоторого конечного порядка пусто

В диссертации также рассмотрен вопрос о поведении гомологических размерностей унитальных банаховых алгебр и банаховых модулей над ними под действием операции проективного тензорного произведения Вопросы такого рода изучались ранее многими авторами Оказалось, что во всех конкретных ситуациях, рассмотренных в этих работах, гомологические характеристики тензорных произведений банаховых алгебр или модулей равны сумме соответствующих характеристик сомножителей Например, "формулы аддитивности" для гомологических размерностей банаховых алгебр в довольно большой общности были получены Ю. В. Селивановым13 Если А — унитализация бипроективной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, а В — произвольная унитальная банахова алгебра, то dg А ® В = dg А + dg В и dbA®£ = dbA + dbß

Отметим, что в случае общих унитальных банаховых алгебр контрпримеров к этим равенствам не найдено Также важно отметить, что подобные формулы аддитивности — специфическое свойство банаховых алгебр, не имеющее аналогов в чистой алгебре

В данной диссертации формулы аддитивности для гомологических размерностей банаховых алгебр и модулей получены для нового класса коммутативных банаховых алгебр; а именно, для упомянутых выше алгебр C(í1) на метризуемых компактах fi, у которых производное множество некоторого конечного порядка пусто. А кроме того, эти формулы установлены также для соответствующих алгебр Варопулоса

Алгебры С(й) естественно и полезно рассматривать в рамках гомологической теории строгих банаховых алгебр, т е таких алгебр, умножение которых, как билинейный оператор, допускает линеаризацию, непрерывную по отношению к слабой тензорной норме в А® А Строгие банаховы алгебры были введены в работе Н. Варопулоса14 под именем инъ-

13 Sehvanov Yu V Homological dimensions of tensor products of Banach algebras Banach Algebraa'97 (ed E Albrecht and M Mathieu). Berlin, Walter de Gruyter, 1998, 441-459

14 Varopoulos N Th Some remarks on Q-algebras Ann Inst Fourier (Grenoble) 22 (1972), K> 4,1-11

ективных алгебр Гомологическая теория строгих алгебр была построена Е Ш Курмакаевой15 Прежде всего, для них неверна "теорема о глобальной размерности" Действительно, по теореме Курмакаевой для любого бесконечного метризуемого компакта Q. выполнены равенства dg® С(Q) = dbg С (il) = 1 Отсюда, в частности, следует, что строгие гомологические размерности в общем случае не аддитивны (Символы dg® и dbg,, соответственно, обозначают глобальную размерность и би-размерность для строгих алгебр) В то же время вопрос о том, какие значения, кроме 0 и 1, принимают строгие гомологические размерности алгебр C(fi) или других строгих функциональных алгебр до сих пор не был исследован (Отметим, что в "стандартной" гомологической теории банаховых алгебр подобный вопрос до сих пор остается открытым16 )

В настоящей работе дан полный ответ на этот вопрос А именно, устаг новлено, что у строгой глобальной размерности и у строгой биразмерно-сти нет запрещенных значений в классе алгебр С (ft).

Цель работы. Основная цель этой работы — исследование гомологических свойств некоторых "алгебр анализа" функциональных, групповых и операторных алгебр. Эти алгебры изучаются в рамках общей теории банаховых алгебр или в рамках теории так называемых строгих алгебр. Главные результаты группируются вокруг следующих тем— исследование свойств операторных алгебр, связанных с проективностью пространственного модуля,

— решение задачи об инъективности предуального бимодуля для алгебры мер на дискретной группе,

— вычисление гомологических характеристик алгебр непрерывных функций на компактах с определенными свойствами, а также тензорных произведений этих алгебр.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно На защиту выносятся следующие основные результаты автора.

1) Представлен пример (алгебра Соболева) неразложимой пространственно проективной рефлексивной и одновременно полупростой операторной алгебры на гильбертовом пространстве, которая не содержит столбца одномерных операторов Получены общие результаты о связи неприводимости, пространственной проективности операторной алгебры, нетривиальности её коммутанта и возможным наличием в самой

16 Курмакаева Б III Зависимость строгой гомологической размерности С(П) от топологии ii Машем заметки 55 (1994), выл 3, 76-83

16 Helemsku A Ya 31 problems of the homology of the algebras of analysis. Lvnear and complex analysts, Problem Book 3 Part 1 Lecture Notes in Math 1573 Springer, Berlin, 1994, 54-78

алгебре или в ее унитализации столбца одномерных операторов Изучен вопрос о пространственной проективности алгебры Харди, а также вопрос о слабой аменабельности алгебры Соболева.

2) Доказана неинъективность предуального бимодуля для алгебр мер на бесконечных дискретных группах. Учитывая, что алгебра мер на аменабельной группе аменабельна по Конну, этот факт отрицательно решает известный вопрос об инъективности предуального бимодуля для таких алгебр11

3) Приведены новые примеры коммутативных полупростых банаховых алгебр глобальной гомологической размерности и гомологической биразмерности два

4) Изучен вопрос о поведении гомологических характеристик уни-тальных банаховых алгебр под действием операции проективного тензорного произведения Для нового класса банаховых алгебр доказаны формулы аддитивности для глобальной гомологической размерности и гомологической биразмерности банаховых алгебр

5) Изучены свойства строгих гомологических характеристик строгих банаховых алгебр Доказаны формулы аддитивности для строгой глобальной гомологической размерности и строгой гомологической биразмерности слабых тензорных произведений некоторых алгебр непрерывных функций В качестве следствия установлено, что у этих характеристик нет запрещенных значений в классе алгебр С(О)

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы настоящей работы могут найти применение в гомологической теории банаховых алгебр, теории операторов и операторных алгебр, абстрактном гармоническом анализе

Методы исследования. В диссертации используются методы линейного функционального анализа (теории банаховых пространств и алгебр), гармонического анализа, гомологической алгебры, теории множеств и топологии. Кроме того, применяются специфические методы гомологической теории банаховых алгебр (техника допустимых резольвент и "топологических" производных функторов, специальные резольвенты и "диагональные отображения" тензорных произведений банаховых пространств и модулей)

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством профессора А Я Хелемского (неоднократно с 1996 по 2007 год), на семинаре механико-математического факультета КГУ под руководством

профессора А Н Шерстнёва (Казань, 2007), а также на различных зарубежных семинарах — в Париже (университет Париж 6-7, Франция, 2003), в Реймсе (университет Реймса, Франция, 2003), в Сарагосе (университет Сарагосы, Испания, 2005)

Результаты диссертации докладывались также на Международных конференциях "С*-алгебры и эллиптическая теория" (центр Банаха, Бед-лево, Польша, 2004), "Банаховы алгебры 2005" (университет Бордо, Бордо, Франция, 2005), "Операторные алгебры и топология" (МГУ, Москва, 2007), на весенней школе по некоммутативной геометрии (центр Банаха, Варшава, Польша, 2005),

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-5], список которых приведен в конце автореферата

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав (пронумерованных с 0 по 5) и списка литературы, содержащего 91 наименование Глава 0 разделена на 4 параграфа Общий объем диссертации — 83 страницы

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий исторический обзор и объясняется происхождение задач, рассмотренных в диссертации. Там же описана структура и результаты диссертации, приведены определения пространственной проективности операторной алгебры, столбца одномерных операторов, аменабельных по Джонсону и по Конну банаховых алгебр, инъективно-го банахова бимодуля, а также определение строгой банаховой алгебры

Глава 0 имеет вводный характер. В ней приведены основные определения, обозначения и предварительные сведения из теории множеств, общей топологии, теории банаховых пространств, банаховых и операторных алгебр и модулей над ними, приведены основные понятия гомологии для банаховых и строгих банаховых алгебр В § 0.1 доказано небольшое техническое обобщение одной теоремы Серпинского из теории множеств, играющей решающую роль для доказательства основных теорем главы 5. Доказана вспомогательная лемма из общей топологии, используемая в главе 4

В § 0 2 приведены различные сведения о модулях. Напомним, что морфизм левых банаховых Л-модулей <р X —> У называется допустимым, если его ядро и образ замкнуты и имеют банаховы дополнения в X и У", соответственно В частности, сюръективный морфизм <р допустим тогда и только тогда, когда он имеет правый обратный непрерывный линейный оператор в У —» X.

Левый банахов А-модуль Р называется проективным, если каждый допустимый сюръективный морфизм левых А-модулей а X —► Р имеет правый обратный морфизм левых банаховых А-модулей Это означает, что Р — прямое слагаемое банахова Амодуля X Проективные бимодули определяются аналогично В этом же параграфе доказана вспомогательная лемма о бипроективных алгебрах, используемая в главе 3

В § 0.3 приведены определения гомологических размерностей Пусть А — унитальная банахова алгебра Проективной резольвентой левого банахова Амодуля X называется комплекс левых банаховых Амодулей

который точен и, сверх того, допустим (т е все морфизмы в нем являются допустимыми морфизмами), кроме того все А-модули Р„ (п > 0) проективны Длиной такой резольвенты называется наименьшее п такое, что Рг = 0 при г > п, или оо, если такого п не существует Длина самой короткой проективной резольвенты А-модуля X называется его гомологической размерностью Она обозначается ¿dЪХ Определение гомологической размерности для банаховых Абимодулей аналогично.

Верхняя грань гомологических размерностей всех унитальных левых банаховых А-модулей называется глобальной размерностью алгебры А Гомологическая размерность А, как банахова А-бимодуля, наг зывается биразмерностью или когомологической размерностью А. Последний термин связан с эквивалентным определением этого понятия, а именно, это — наименьшее п такое, что группы когомологий Hk(A,X), с коэффициентами во всех бимодулях X и для всех к > п, тривиальны Глобальная размерность А обозначается через dg А или, более подробно, через dgg А, а биразмерность через dbA или через dbg А Напомним, что для любой А выполнено неравенство dg А < db А

В § 0.4 приведены определения строгих гомологических размерностей для строгих банаховых алгебр Пусть А — строгая банахова алгебра. Нал-помним, что левый банахов А-модуль X называется строгим, если существует такой непрерывный линейный оператор R А&Х —> X, что R(a ® х) — а • х для любых а 6 А, х € X Понятия проективного строгого модуля и строгой гомологической размерности определяются аналогично обычным Строгая гомологическая размерность строгого левого модуля X обозначается через ^dh^ X Верхняя грань строгих гомологических размерностей всех унитальных строгих левых банаховых А-модулей называется строгой глобальной размерностью алгебры А и обозначается dg§ А

Напомним, что левый А-модуль называется (алгебраически) неприводимым, если он не имеет ненулевых собственных подмодулей, и не

является (одномерным) модулем с нулевым умножением Верхняя грань строгих гомологических размерностей всех неприводимых строгих левых банаховых А-модулей называется строгой малой глобальной размерностью алгебры А и обозначается ёв® А (В случае, если А не имеет неприводимых строгих левых банаховых модулей, мы полагаем сЬз® А — — оо) Гомологическая размерность алгебры А, рассмотренной как строгий банахов А-бимодуль, называется строгой биразмерностъю или строгой когомологической размерностью А и обозначается сЛэ^А Напомним, что для любой строгой банаховой алгебры А выполнены неравенства ск® А < А < ёЬ® А

Также в § 0.4 получены некоторые оценки для строгих гомологических размерностей слабых тензорных произведений строгих банаховых модулей и строгих банаховых алгебр, хорошо известные ранее для случая общих банаховых алгебр

Глава 1 посвящена изучению пространственных модулей над операторными алгебрами Главным результатом главы является построение примера равномерно замкнутой операторной алгебры А на гильбертовом пространстве, которая а) неразложима, рефлексивна и полупроста,

б) коммутативна, и потому не содержит столбца одномерных операторов,

в) и тем не менее она пространственно проективна, т е проективным является само гильбертово пространство как естественный А-модуль Этот пример есть так называемая алгебра Соболева (теоремы 3, 4 и 5) В предложении 12 отмечено, что алгебра Соболева не является слабо амена-бельной.

Кроме того, в главе 1 доказаны некоторые общие утверждения о связи неприводимости, топологической неприводимости, пространственной проективности операторной алгебры, нетривиальности ее коммутанта и возможным наличием в самой алгебре или в унитализации этой алгебры столбца одномерных операторов

Пусть А — операторная алгебра на банаховом пространстве Е Предположим, что А или Е имеет свойство аппроксимации В предложении б доказано, что если алгебра А неприводима и пространственно проективна, то она содержит столбец одномерных операторов Если же А топологически неприводима, полупроста и пространственно проективна, то, по предложению 10, она неприводима. В предложениях 9 и 11 доказано, что унитализация А+ алгебры А содержит столбец одномерных операторов тогда и только тогда, когда А пространственно проективна и ее коммутант скалярен

Также в первой главе изучен вопрос о пространственной проективности алгебры Харди Как хорошо известно, алгебра Харди Н°°(Т), действующая на пространстве Харди Н2(Т) на единичной окружности Т

поточечным (почти всюду) умножением, является полупростой, неразложимой и рефлексивной. Показано (предложение 13), что алгебра Харди Н°°(Т) не является пространственно проективной.

В главе 2 доказано (теорема 6), что предуальный бимодуль алгебры мер любой бесконечной дискретной группы не является инъективным, несмотря на то, что в случае аменабельной группы алгебра мер амена-бельна по Конну Таким образом, известный результат А Я Хелемского об эквивалентности аменабельности по Конну и инъективности преду-ального бимодуля для алгебр фон Нойманна не переносится на алгебры мер. Далее, в предложении 15 указана простая формула для виртуальной нормальной диагонали алгебры M(G) для дискретной аменабельной группы G Наконец, в предложении 16 приведен пример некоторого канонического биМодуля, который не является нормальным

Главы 3-5 посвящены изучению гомологических свойств алгебр непрерывных функций на компактах и тензорных произведений этих алгебр. В главе 3 построены новые примеры алгебр C(Q) глобальной размерности и биразмерности 2

Пусть О — топологическое пространство, a Q(n+1) — его (п + 1)-е производное множество

Теорема 8. Пусть ft — бесконечный метриауемый компакт, у которого iî(n+1) = 0 для некоторого n G N. Тогда dgC(Q) = db C{ü) = 2

Компакты, удовлетворяющие условиям теоремы 8, допускают полное описание В самом деле, по теореме Мазуркевича — Серпинского17 каждый счётный компакт гомеоморфен некоторому отрезку трансфинитных чисел в порядковой топологии Пусть — первый счетный ординал, и пусть

Wo" = шо + Ч) + • • + шо +

Очевидно, что отрезок fi — [0,o»q°] является наименьшим возможным счетным компактным топологическим пространством, таким что его производное множество iî^ порядка п не пусто для каждого n € N. Следовательно, мы можем написать эквивалентную формулировку теоремы 8

Теорема 9. Пусть и>о < а < Тогда

dgC([0,a})=dbC([0,a])=2

В конце главы сформулированы некоторые нерешённые задачи

Глава 4 посвящена вычислению гомологических размерностей тензорных; произведений унитальных банаховых алгебр Доказаны формулы

17 Mazurkiewicz S , Sierpuiski W Contributions à la topologie des ensembles dénombrâtes Fund Math. X (1920), 17-27

аддитивности для некоторых из них. Пусть П — такой же компакт, как в теореме 8 Как известно, любой такой компакт счеген Согласно лемме 1 из § 0 1, в пространстве О всюду плотно множество всех его изолированных точек Выберем произвольные точку ш € П' и последовательность попарно различных изолированных точек зп € \ П', сходящуюся к ш Банахово пространство ограниченных последовательностей является левым банаховым С(П)-модулем относительно внешнего умножения а • х = {а(з„)жп}, где а е С(О), х = {ж„} €

Сначала доказана формула аддитивности для модулей

Теорема 10. Если В — произвольная унитальная банахова алгебра, а X — произвольный унитальный левый банахов В-модуль, то (с предыдущими обозначениями)

Следующие две теоремы являются основными в главе.

Теорема 11. Если В — произвольная унитальная банахова алгебра, то

Теорема 12. Если В — произвольная унитальная банахова алгебра, то

аьс(П)®в = аьс(П) + аьв = 2 + аьв

Отметим два следствия основных теорем

Следствие 10. Пусть Г2г (г = 1,2,..., п) — метризуемые компакты, у каждого из которглх некоторое производное множество конечного порядка пусто. Пусть А = С(Г2х) ® <§ С(П„) — проективное тензорное произведение банаховых алгебр С(Г2г) Тогда с^А = аЬА = 2т, где то — число бесконечных пространств среди Пг

Следствие 11. Пусть А — такая же банахова алгебра, как в следствии 10, и пусть В — произвольная унитальная банахова алгебра

Тогда¿ёа®в = а§А + а§в и аьАёв = аьл + аьв

В главе 5 мы доказываем, что для каждого целого неотрицательного п и для п — оо существует такой компакт О, что строгая глобальная размерность и строгая биразмерность банаховой алгебры С(П) равны п.

Здесь получены "формулы аддитивности" для строгих гомологических размерностей

Теорема 13. Пусть К — дискретное топологическое пространство мощности \К\ ^ Н2П. Пусть К+ — его одноточечная компактифика-ция, а М — метризуемый компакт, Тогда

dg« С(М х КХ) = dg® С{М) + п dg® С(К+) = dg® С(М) + 2п,

db$ С(М х X?) = dbé С(М) + п ábé С(К+) = dbé С(М) + 2п

Кроме того, доказана формула аддитивности для строгой малой глобальной размерности

Теорема 14. Пусть К — дискретное топологическое пространство мощности \К\ > Н„, и пусть К+ — его одноточечная компактифика-ция, а М — метризуемый компакт Тогда

ds® С(М х Я?) = dsé С{М) + п dsé С(К+) = dsé С(М) + п

Также построен пример алгебры С (О.) бесконечной строгой малой глобальной размерности.

Теорема 15. Пусть К — дискретное топологическое пространство мощности \К\ > и пусть К+ — его одноточечная компактифи-кация, а — топологическая счётная степень К+. Тогда в алгебре имеется максимальный идеал бесконечной строгой гомологической размерности и, как следствие,

áséC{Kl") = dg® С(К«°) = dbé С(К*>) = оо.

Основным результатом главы 5 является

Следствие 15. Размерности dg& С (О.) и dbg, С(Г2) могут принимать все целые неотрицательные значения и значение бесконечность

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям профессору А Я Хелемскому и профессору Ю В Селиванову за постановку задач и полезные обсуждения

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Табалдыев С Б Неинъективность предуального бимодуля алгебры мер бесконечных дискретных групп Машем заметки 73 (2003), вып. 5, 735-742

2. Табалдыев С Б Аддитивность гомологических размерностей для некоторого класса банаховых алгебр Функц. анал. и прил 40 (2006), вып 3, 93-95

3 Табалдыев С. Б. О строгих гомологических размерностях алгебр непрерывных функций Матем заметки 80 (2006), вып 5,757-769

4 Tabaldyev S. В. The Sobolev algebra and indecomposable spatially projective operator algebras Topological Homology Helemskii's Moscow seminar. New York- Nova Science, 2000, 201-210.

5 Tabaldyev S B. Some Banach algebras of global dimension two Bull London Math Soc 37 (2005), 927-932

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать 29. О & О / Формат 60x90 1/16 Уел печ л.

Тираж 100 экз Заказ РЛ

Введение

0 Определения и предварительные сведения

0.1 Сведения из теории множеств и общей топологии . . 19 0.2 Банаховы пространства, алгебры и модули, операторные алгебры, проективные модули.

0.3 Гомологические размерности банаховых алгебр.

0.4 Строгие гомологические размерности.

1 Пространственная проективность неразложимых операторных алгебр

2 Неинъективность предуального бимодуля алгебр мер бесконечных дискретных групп

3 Некоторые алгебры непрерывных функций глобальной размерности два

4 Аддитивность гомологических размерностей для некоторого класса банаховых алгебр

5 О строгих гомологических размерностях алгебр непрерывных функций

В диссертации решены некоторые задачи из топологической гомологии — области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые алгебры с использованием методов гомологической алгебры. Это задачи о свойствах операторных алгебр, связанные с проективностью пространственного модуля, задача об инъ-ективности предуального бимодуля для алгебр мер на дискретных группах и задачи о гомологических размерностях алгебр непрерывных функций на компактах и тензорных произведений этих алгебр, рассматриваемых в одном случае как общие банаховы алгебры, а в другом в рамках теории строгих банаховых алгебр.

Несколько слов об истории алгебраической стороны вопроса. Одна из самых ранних теорем гомологической алгебры принадлежит Д. Гильберту. Это его знаменитая теорема о сизигиях (см. (57, 14]). На современном языке эта теорема утверждает, что глобальная размерность алгебры С[г\, г2,., гп] многочленов от нескольких комплексных переменных равна числу переменных. Очень важные гомологические характеристики ассоциативных алгебр — группы ко-гомологий были определены Г. Хохшильдом [58, 59] в 1945 году и затем применены к радикальным расширениям алгебр. А в основополагающих монографиях А. Картана, С. Эйленберга р] и С. Ма-клейна [14] была предложена техника производных функторов и резольвент, которая позволяет при вычислениях групп когомологий освобождаться от стандартного комплекса Хохшильда.

Появление топологической гомологии было стимулировано вне-гомологическими приложениями. Например, необходимость изучения расширений банаховых алгебр была замечена ещё в 1954 году Н. Данфордом при изучении спектральных операторов [16]. В 1962 году Г. Камовиц [66], используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий Нп(А,Х), п = 0,1,., банаховой алгебры А с коэффициентами в банаховом Л-бимодуле X и, в частности, установил биекцию между множеством классов эквивалентности сингулярных расширений А с помощью X и элементами Н2(А, X). Впоследствии группы когомологий банаховых алгебр применялись к задачам, связанным с дифференцированиями, расширениями и возмущениями банаховых [51, 60, 72] и операторных [64, 65] алгебр, с аменабельными локально компактными группами |31].

В 1970 году А. Я. Хелемским был предложен способ перенести понятия производных функторов и резольвент на случай банаховых алгебр и модулей [24]. Оказалось, что это возможно осуществить при помощи специального относительного варианта гомологической алгебры, в основе которого лежит понятие относительно проективного банахова модуля. Как и в теории ассоциативных алгебр этот подход предоставил возможность подойти к изучению когомологий с более широкой точки зрения и, кроме того, открыл новые полезные объекты для изучения. С этого времени гомологические методы стали активно применяться в различных задачах теории банаховых алгебр. Они дали возможность получить информацию о существовании аналитической структуры в спектре коммутативной банаховой алгебры [15, 17], получить гомологические критерии для топологических свойств, таких как паракомпактность [25] и метризуемость [19,13], доказать сильные теоремы о структурных свойствах алгебр фон Нойманна и других самосопряженных [30, 54, 55] и несамосопряжённых операторных алгебр [1, 2].

В настоящее время известно несколько гомологических теорий топологических алгебр. Каждая со своими объектами для изучения и задачами, различным запасом алгебр и модулей. Гомологическая теория банаховых алгебр (см. [24, 28, 29, 21]) — самая ранняя из них. Другие, параллельные теории — это, например, гомологическая теория алгебр Фреше и гомологические теории полных локально выпуклых алгебр (см. [84, 28, 21, 70]). Из более поздних заслуживает внимания гомологическая теория стереотипных локально выпуклых алгебр [34]. И, самые важные из новых теорий — две теории квантованных банаховых алгебр, отвечающие операторно-проективному и хаагерупову тензорным произведениям соответственно (см. ¡56]).

Этот список можно продолжить — мы назовём ещё только гомологическую теорию строгих банаховых алгебр, используемую и в данной работе, которая была построена в [13,12], в которой по сравнению с "классической" гомологической теорией банаховых алгебр проективное тензорное произведение ® во всех определениях и формулировках основных теорем заменено на слабое тензорное произведение®.

Один из естественных вопросов гомологической теории банаховых операторных алгебр, рассматриваемый в данной диссертации, — когда такие алгебры пространственно проективны? Напомним, что операторная алгебра А на банаховом пространстве Е называется пространственно проективной, если левый банахов Л-модуль Е с естественным внешним умножением а • х = а(х) для всех а € А и х € Е проективен. Модуль Е называется пространственным.

Ш. И. Калиман и Ю. В. Селиванов [5] установили в 1974 году пространственную проективность операторных алгебр, содержащих все конечномерные ограниченные операторы на банаховом пространстве Е. Например, алгебры В(Е), К,{Е) и Л/"(£), всех ограниченных, всех компактных и, соответственно, всех ядерных операторов на банаховом пространстве Е пространственно проективны. Пространственная проективность операторной алгебры А на банаховом пространстве Е позволила им доказать тривиальность групп когомологий Хохшильда Нп(А, В(Е)) для всех п > 0. Более "экономное" достаточное условие пространственной проективности операторной алгебры — наличие по крайней мере одного столбца одномерных операторов в унитализации этой алгебры — принадлежит Ю. О. Головину (ср. [2], доказательство предложения 1, и [29], доказательство теоремы 7.1.27). Напомним, что столбцом одномерных операторов называется множество операторов вида /(-)х, где / — фиксированный ненулевой непрерывный линейный функционал на банаховом пространстве Е и х пробегает всё пространство Е. Например, алгебра верхиетреугольных матриц любого конечного порядка имеет только один столбец одномерных операторов.

Пусть операторная алгебра содержит столбец одномерных операторов. Тогда, как нетрудно видеть, пространственный модуль не может быть разложен в прямую сумму двух замкнутых подмодулей (в этом случае алгебра называется неразложимой). Естественно возникает вопрос: всегда ли пространственно проективная неразложимая операторная алгебра на гильбертовом пространстве содержит столбец одномерных операторов?

Напомним, что для важного класса несамосопряжённых операторных алгебр — для С5Х-алгебр, и, в частности, для гнездовых алгебр на гильбертовом пространстве, Головин дал положительный ответ ([2], теорема 1 и предложение 1). Для неразложимых пространственно проективных С*-алгебр наличие столбца одномерных операторов следует из описания всех проективных гильбертовых модулей над С*-алгебрами, данного А. Я. Хелемским ([55]). Более того, нетрудно видеть, что любая С-алгебра со столбцом одномерных операторов содержит и все компактные операторы.

Операторная алгебра Л на банаховом пространстве называется пространственно свободной, если пространственный модуль Е свободен. Напомним, что свободный модуль — это "канонический пример" проективного модуля: любой проективный модуль представляется как фактормодуль свободного, причём ядро канонической проекции является дополняемым подпространством.

Заметим, что существуют неразложимые пространственно свободные операторные алгебры, не содержащие столбца одномерных операторов, например, алгебра операторов в двумерном пространстве, имеющих в некотором базисе матрицы вида ^ ^ . Нетрудно видеть, что данная алгебра не является ни самосопряжённой, ни рефлексивной (операторная алгебра называется рефлексивной, если она совпадает с алгеброй всех ограниченных операторов, имеющих заданные замкнутые инвариантные подпространства, ср. раздел 0.2). Как хорошо известно, самосопряжённые операторные алгебры на гильбертовом пространстве полупросты (см. [ГЗ, теорема 4.1.19]), а С<!?1галгебры рефлексивны по определению.

Тем не менее долгое время не было известно примеров пространственно проективных рефлексивных и/или полупростых неразложимых операторных алгебр на гильбертовом пространстве, которые не содержат столбца одномерных операторов. Пример такой алгебры (так называемая алгебра Соболева) приводится в данной диссертации, причём эта алгебра оказывается одновременно и полупростой, и рефлексивной. Также в диссертации доказываются некоторые общие свойства неразложимых операторных алгебр, связанные с пространственной проективностью.

Однако открытым остается вопрос о том, будет ли любая пространственно проективная топологически неприводимая операторная алгебра содержать столбец одномерных операторов? Как нетрудно доказать (см. главу 1 предложение 9), операторная алгебра, содержащая столбец одномерных операторов, имеет скалярный коммутант. И обратно, если операторная алгебра в гильбертовом пространстве пространственно проективна и имеет скалярный коммутант, то она "автоматически" содержит столбец одномерных операторов (там же, предложение И). Заметим, что само существование топологически неприводимой операторной алгебры в гильбертовом пространстве с нескалярным коммутантом — открытая проблема. Действительно, слабо операторное замыкание предполагаемой алгебры имеет нескалярный коммутант и будет служить контрпримером к так называемой проблеме транзитивной алгебры (см., напр., [37]): существуют ли топологически неприводимые алгебры, замкнутые в слабой операторной топологии, отличные от В(Н)1 И обратно, воображаемый оператор на гильбертовом пространстве, не имеющий замкнутых инвариантных подпространств, порождает топологически неприводимую алгебру с нескалярным коммутантом, поскольку сам этот оператор принадлежит коммутанту.

Следующая задача, рассмотренная в диссертации, связана с явлением аменабельности, возникшем в теории локально компактных топологических групп и затем обобщённым при помощи гомологической теории банаховых алгебр. В 1972 году Б. Е. Джонсон ввел понятие аменабельной банаховой алгебры ([61]). Это название оправдано благодаря нижеприведённой теореме Джонсона — Рингроуза. Напомним сначала определения.

Пусть А — банахова алгебра, X — банахов Л-бимодуль. Дифференцированием алгебры А с коэффициентами в X называется линейный непрерывный оператор Б : А —»■ X, удовлетворяющий тождеству Лейбница/)(аЬ) = В(а)-Ь+а-0(Ь) для всех а, Ь е А. Например, любое отображение вида/) : а н-» х-а—а-х, где х е X — произвольный фиксированный элемент, является дифференцированием. Такое дифференцирование называется внутренним. Дуальным к X банаховым бимодулем называется сопряжённое пространство^* с внешними умножениями, определяемыми формулами (а •/, х) = (/,:£• а), (/•а, х) = (/, а-х) для всех / € Х*,а е А их € X. Наконец, банахова алгебра А называется аменабельной, или, более подробно, аменабельной по Джонсону, если всякое дифференцирование И : А —> X с коэффициентами в любом дуальном банаховом Л-бимодуле X является внутренним. Если это верно для частного случая Л-бимодуля А*, то А называется слабо аменабельной.

По теореме Джонсона и Рингроуза групповая алгебраЬ1^) аме-набельна тогда и только тогда, когда группа (2 аменабельна ([61]). Этот результат показывает, насколько естественно понятие аменабельности для банаховых алгебр. Условие аменабельности нередко оказывается содержательным и в других конкретных классах банаховых алгебр (см. [75]). Например, С*-алгебра аменабельна тогда и только тогда, когда она ядерна ([41, 52] и др.). Напомним, что для любой локально компактной группы (7 алгебра Ь1{й) слабо аменабельна [63], и любая С*-алгебра также слабо аменабельна [52]. В диссертации показано (предложение 12), что алгебра Соболева из главы 1 не является слабо аменабельной.

Многие авторы (см., напр., [74, 76, 42, 44] и др.) исследовали аменабельность так называемых дуальных банаховых алгебр. Напомним, что банахова алгебра А называется дуальной, если существует замкнутый по норме подбимодуль Е дуального Л-бимодуля

Л*, такой, что Л-бимодуль Л канонически изоморфен Е*. Бимодуль Е называется обычно предуальным бимодулем и обозначается Л*. Самые известные примеры дуальных банаховых алгебр — это алгебры фон Нойманна и алгебра мер М(С?) на локально компактной группе <3.

Известно, что алгебра фон Нойманна аменабельна по Джонсону тогда и только тогда, когда она субоднородна ([86]), т. е. она имеет вид и»(Хи1ч) ® МП1(С)) ф.е (Ь°°(Хк,цк) О МПк( С)), где Мп(С) — алгебра матриц размера п х п.

Алгебра мер М((3) на локально компактной группе (3 аменабельна по Джонсону тогда и только тогда, когда группа (3 дискретна и аменабельна ([44]).

Таким образом, дуальных банаховых алгебр, аменабельных по Джонсону, очень мало. Для них предпочтительнее использовать более мягкое понятие аменабельности, учитывающее их дуальность как бимодулей над собой, — так называемую аменабельность по Копну. Впервые этот вариант аменабельности для алгебр фон Нойманна введён в [62] (а сам термин "аменабельность по Конну" появился позднее [30]). А случай общих дуальных банаховых алгебр рассматривался в [42, 74].

Напомним определение. Пусть А — дуальная банахова алгебра, X — дуальный Л-бимодуль. Бимодуль X называется нормальным, если операции внешнего умножения в нём раздельно слабо* непрерывны.

Алгебра А называется аменабельной по Конну ([74]), если любое слабо* непрерывное дифференцирование И : А —> X из алгебры А в любой нормальный Л-бимодуль X является внутренним. Известна теорема о том, что алгебра фон Нойманна гиперконечна, то есть совпадает со слабым операторным замыканием некоторой возрастающей направленности своих конечномерных *-подалгебр, тогда и только тогда, когда она аменабельна по Конну (|64, 65, 62,41, 86,39,

40, 49]). Недавно доказано [76], что алгебра мер М((?) аменабельна по Конну тогда и только тогда, когда группа (? аменабельна.

Для аменабельности по Конну алгебры фон Нойманна известен критерий на языке гомологии банаховых алгебр. А именно, в [30] А. Я. Хелемским доказано, что алгебра фон Нойманна Л аменабельна по Конну тогда и только тогда, когда предуальный бимодуль Л* инъективен. Для произвольных дуальных банаховых алгебр не было известно, верен ли такой критерий (см., напр., [75, задача 24, р. 225]). Чтобы сформулировать определение инъективного бимоду-ля, мы сначала напомним определение допустимого вложения би-модулей. Морфизм Л-бимодулей </> : X —> У называется допустимым вложением, если существует непрерывный линейный оператор 5 : У —* X, левый обратный к т.е. такой, что вор = 1х. Наконец, банахов Л-бимодуль 3 называется итективным (см. [28]), если любое допустимое вложение <£>: 3 X в любой банахов Л-бимодуль X имеет левый обратный морфизм бимодулей.

В главе 2 диссертации показано, что отмеченный выше критерий Хелемского аменабельности алгебр фон Нойманна по Конну не переносится на алгебры мер М(С). Более того, доказано (теорема6), что для любой бесконечной дискретной группы (3, например, уже для (7 = Z, предуальный бимодуль со((7) алгебры мер М(С?) (= ^{й) в случае дискретной группы) не инъективен, хотя (см. [74]) алгебра аменабельна по Конну в случае аменабельной (7. Этот результат был обобщён X. Г. Дэйлсом и М. Е. Поляковым [15], которые доказали, что для любой бесконечной локально компактной группы (3 левый Ь1(С)-модуль Со ((2) не является инъективным. Из этого легко следует, что для любой бесконечной локально компактной группы (3 модуль Со(С) не является также левым инъективным над алгеброй М((7). А в дальнейшем, применяя метод Дэйлса и Полякова, М. Доус исследовал инъективностьсо((7) как левого модуля над весовой свёрточной алгеброй 11{С,т) полугруппы (2. Им доказана, например, такая теорема (см. [47, теорема 5.20]): если группа <? дискретна и для некоторого е > 0 множество {д 6 (2 : Цд)^«?-1) < е} бесконечно, то ^(С^г/^-бимодуль со((3) не является инъективным.

Кроме того, для дискретной аменабельной группы (3 в диссертации указана (предложение 15) простая формула для нормальной виртуальной диагонали. Эта формула непосредственно влечёт сильную аменабельность по Конну (определение см. там же) алгебры ^(С?) для аменабельной дискретной группы (? (см. [76, следствие 5.4]). Интересно отметить, что в случае (2 = Z эта диагональ не является нормальным элементом некоторого канонического би-модуля над алгеброй ¿х(2) (предложение 16).

Теперь речь пойдёт о круге задач, связанных с понятиями глобальной гомологической размерности и гомологической биразмерно-сти. По теореме о глобальной размерности А. Я. Хелемского ([27]; см. также [71]), любая коммутативная банахова алгебра Л с бесконечным спектром имеет глобальную размерность с^ А строго большую единицы. Эта теорема не имеет аналогов ни для ассоциативных алгебр, ни для локально выпуклых алгебр.

Таким образом, наименьшее возможное значение глобальной размерности бесконечномерной, как линейное пространство, коммутативной полупростой банаховой алгебры равно двум. До сих пор единственными известными примерами таких алгебр были прямые суммы

А = А0 © А~1 ф А2~ ф. ф А^, где Ах (г = 0,1,. ,п) — бипроективные коммутативные полупростые банаховы алгебры, а В+ обозначает унитализацию банаховой алгебры В. В диссертации построен новый класс примеров коммутативных полупростых банаховых алгебр глобальной размерности 2.

Пусть X — топологическое пространство. Напомним, что производное множество подмножестваТ С X — это множество Т' всех его предельных точек (см., напр., [33, раздел 1.3[). Пусть — метризуе-мое компактное топологическое пространство, у которого производное множество некоторого конечного порядка пусто, и пусть С (О,) — банахова алгебра всех непрерывных функций наО с равномерной нормой. При бесконечном О. в данной работе доказаны равенства с^С(П) = ёЬС(^) = 2. Такие алгебры С(Г2) являются коммутативными полупростыми банаховыми алгебрами глобальной размерности 2, отличными от алгебр, упомянутых выше. Действительно, пусть — спектр алгебры Д (г = 0,1,., п). Так как эти алгебры бипроективны, их спектры являются дискретными топологическими пространствами (см. [28, теорема 1У.5.26]). Следовательно, спектр£1 алгебры А является дизъюнктной топологической суммой

По и А? и £1} и. и где 5+ обозначает одноточечную компактификацию локально компактного пространства 5. Таким образом, второе производное множество О," спектра алгебры А пусто.

Напомним другие известные факты о гомологических размерностях алгебр С (О,) и некоторых других алгебр. Пусть [0,а;п] — отрезок трансфинитных чисел вплоть до п-го несчётного с порядковой топологией. Тогда в алгебре С[0, ип] имеется максимальный идеал, гомологическая размерность которого строго больше п — 1 (Хелем-ский [24] для п = 1, и затем Моран [68] для п ^ 2). Моран также указал в алгебре непрерывных функций на некотором отрезке из трансфинитных чисел максимальный идеал бесконечной гомологической размерности. Позднее А. Н. Кричевец |9] построил примеры алгебр С(С1), глобальная размерность с^С(П) и биразмерность. ёЬС(П) которых принимают любые чётные натуральные значения, и указал в этих алгебрах примеры максимальных идеалов, гомологические размерности которых принимают любые натуральные значения. Заслуживает внимания результат о том, что глобальная размерность с^С*[0, 1] и биразмерность <НэС*[0, 1] алгебр гладких функций на отрезке [0,1] равны бесконечности (Пугач [16] для к = 1 и Клещёв [7] для к > 1; см. также [81, следствие 2.7]).

С вопросом о множестве значений гомологических размерностей функциональных (т. е. полупростых и коммутативных) банаховых алгебр тесно связаны вопросы о размерностях тензорных произведений. Поведение гомологических размерностей унитальных банаховых алгебр и банаховых модулей над ними под действием операции проективного тензорного произведения изучалось многими авторами (см. [18,3, 8,17,80, 21]). Оказалось, что во всех конкретных ситуациях, рассмотренных в этих работах, гомологические размерности тензорных произведений банаховых алгебр или модулей равны сумме соответствующих размерностей сомножителей. Например, в работе А. Н. Кричевца [8] было доказано, что если А\,. ,Ап — банаховы алгебры, каждая из которых есть унитализация бипроек-тивной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, то

А, = + +

Важно отметить, что подобные "формулы аддитивности" — специфическое свойство банаховых алгебр, не имеющее аналогов в чистой алгебре.

Такого рода формулы аддитивности для гомологических размерностей банаховых алгебр и модулей в довольно большой общности были получены Ю. В. Селивановым (см. [80, теоремы 5.10, 5.8]):

Теорема. Если А — унитализация бипроективной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, а В — произвольная унитальная банахова алгебра, то dgA<S>B = dgA + dgBu ¿ЪА®В = АЪА + АЪВ.

Напомним, что в случае общих унитальных банаховых алгебр контрпримеров к этим равенствам не найдено. Так как в условиях теоремы dgA = с1ЬЛ = 2, то из этих формул следует, что множество значений гомологических размерностей функциональных банаховых алгебр содержит все чётные неотрицательные целые числа, а вместе с любым нечётным числом содержит и все натуральные числа, большие его. Таким образом множество всех значений указанных гомологических размерностей — это нуль, все натуральные числа, за исключением некоторого отрезка нечётных натуральных чисел, начиная с 1, и бесконечность. Однако заметим, что до сих пор не известно примеров функциональных банаховых алгебр какой-либо нечётной глобальной размерности или биразмерности.

Пусть О, — метризуемый компакт, у которого производное множество некоторого конечного порядка пусто. В диссертации доказано, что если В — произвольная унитальная банахова алгебра, то

С(П)®В = <1£С{П) + (\еВ и ¿ЪС{0)®В = дЬС(П) + 4ЬВ.

Таким образом, эти формулы справедливы для нового класса коммутативных банаховых алгебр.

Алгебры С(П) естественно и полезно рассматривать в рамках гомологической теории строгих банаховых алгебр [12,13], ввиду того, что слабое тензорное произведение банаховых пространств вида С (О) имеет простое описание. Строгие алгебры часто называют инъективными алгебрами, а слабое тензорное произведение — инъ-ективным тензорным произведением [85]. Нас интересует задача о множестве значений строгих гомологических размерностей алгебр С{П).

Напомним, что банахова алгебра Л называется строгой [12] (или <Ё>-алгеброй), если существует такой непрерывный линейный оператор Я: А® А —> А, что Л (а <8> 6) = аЬ для любых а,Ь е А. Все алгебры С (О,) являются строгими ввиду хорошо известного изометрического изоморфизма ГротендикаС(П)<8>С((}) = С(П х О). Все строгие алгебры среди С*-алгебр описаны в работе [35].

Как известно, банаховы алгебры гладких функций Ск[а, 6] (к = = 1,2,.) также являются строгими [12]. Кроме того, банаховы алгебры Ер (1 ^ р ^ оо) р-суммируемых последовательностей с поточечным умножением являются строгими только прир = 1 или оо (см. [12]). Легко видеть, что замкнутая подалгебра строгой банаховой алгебры всегда является строгой, а если А и В — две строгие банаховы алгебры, то слабое тензорное произведение А <8> В является строгой банаховой алгеброй относительно умножения, корректно определяемого формулой &1)(а2 <8>&г) = «1^2 (^1,^2 € А, 61,62 € В).

Перейдем к обсуждению строгих гомологических размерностей строгих банаховых алгебр. Прежде всего, для них неверна теорема о глобальной размерности. Действительно, по теореме Курмакаевой [13, теорема 1] для любого бесконечного метризуемого компакта М выполнены равенства dgg, С(М) = db®С(М) = 1. Здесь символы dg® и dt^, соответственно, обозначают глобальную размерность и биразмерность для строгих алгебр. Далее, строгие глобальная размерность и биразмерность в общем случае не аддитивны. Действительно, по теореме Гротендика, если М — метризуемый компакт, мы имеем изоморфизм

С(М) <Е>. <8> С(М) = С(Мп), п где М" — топологическая декартова степень М. А между тем пространство Мп метризуемо и компактно, и следовательно, для любого бесконечного компакта М, по теореме Курмакаевой мы имеем равенства dg®C(Mn) = db®C(Mn) = l.

Известно также, что строгая глобальная размерность dg® Ск[0,1] и строгая биразмерность db® С* [О,1] алгебр гладких функций на отрезке [0,1] бесконечны (В. Я. Томашпольский, неопубл.).

Вопрос о том, какие значения, кроме 0 и 1, принимают строгие глобальные размерности и биразмерности алгебр С (О,) не был исследован. Нетрудно проверить, что упомянутые выше примеры Кричевца алгебр C(i2) чётных гомологических размерностей переносятся без существенных изменений на случай строгих размерностей (см. пример 1 главы 5). До сих пор не было известно примеров алгебр С(0) или других строгих функциональных банаховых алгебр нечётных строгих размерностей, начиная сЗ, или бесконечной строгой размерности.

В диссертации получены "формулы аддитивности" (теорема 13)

С(М X к«) с(м) + п • с(к+) =

11)* С(М х Я?) = <Н>4 С(М) + п ■ с!Ь® С(К+) = [) = АЪ®С{М) + 2п, где К+ — одноточечная компактификация дискретного топологического пространства К мощности \К\ ^ К+ — топологическая декартова степень К+, а М — метризуемый компакт. С учётом теоремы Курмакаевой, установлено, что при бесконечном М dgg, С{М х Кп+) = <% С{М х К1) = 2п + 1.

Как следствие, строгие гомологические размерности алгебр С(П) могут принимать все целые неотрицательные значения. Кроме того, доказана формула аддитивности для строгой малой глобальной размерности (см. теорему 14 ниже), также построен пример алгебры С(О) бесконечной строгой малой глобальной размерности (теорема 15).

Перейдем к обзору содержания диссертации по главам.

В главе 0 приведены основные определения и предварительные сведения. Глава 1 посвящена изучению пространственных модулей над операторными алгебрами. Главным результатом здесь является построение примера неразложимой пространственно проективной рефлексивной и одновременно полупростой операторной алгебры на гильбертовом пространстве, не содержащей столбца одномерных операторов. Показано (теоремы 4 и 5), что так называемая алгебра Соболева пространственно проективиа, является полупростой и рефлексивной. Эта алгебра коммутативна. Заметим, что произвольный столбец одномерных операторов образует некоммутативную алгебру (если пространство не является одномерным). Следовательно, алгебра Соболева не может содержать такого столбца.

Доказаны также некоторые общие утверждения о связи неприводимости, топологической неприводимости, пространственной проективности операторной алгебры, нетривиальности её коммутанта и возможным наличием в самой алгебре или в унитализации этой алгебры столбца одномерных операторов.

Пусть А — операторная алгебра в банаховом пространстве Е. Предположим, что А или Е имеет свойство аппроксимации. В предложении б доказано, что если А — неприводима и пространственно проективна, то А содержит столбец одномерных операторов. Если же А — топологически неприводима и пространственно проективна, то по предложению 10 А неприводима. В предложениях 9 и 11 доказано, что унитализация А+ алгебры А содержит столбец одномерных операторов тогда и только тогда, когда А пространственно проективна и её коммутант скалярси.

Как хорошо известно, алгебра Харди Н°°(Т), действующая на пространстве Харди Я2(Т) на единичной окружности Т поточечным (почти всюду) умножением полупроста, неразложима, имеет нетривиальные замкнутые подпространства и даже рефлексивна (см. [79]). Показано, что алгебра Харди Я°°(Т) также не является пространственно проективной (предложение 13).

Наконец, в предложении 12 доказано, что алгебра Соболева не является слабо аменабельной.

В главе 2 доказано (теорема 6), что предуальный бимодуль алгебры мер любой бесконечной дискретной группы не является инъ-ективным, несмотря на то, что в случае аменабельной группы алгебра мер аменабельна по Конну. Таким образом, известный результат А. Я. Хелемского об эквивалентности аменабельности по Конну и инъективности предуального бимодуля для алгебр фон Нойманна не переносится на алгебру мер. Далее в предложении 15 указана простая формула для виртуальной нормальной диагонали алгебры М(С?) для дискретной аменабельной группы С?. И, наконец, в предложении 16 приведен пример некоторого канонического бимодуля, который не является нормальным.

Главы 3-5 посвящены изучению гомологических свойств алгебр непрерывных функций на компактах и их тензорных произведений.

Пусть П — метризуемое компакт, у которого производное множество некоторого конечного порядка пусто, и пусть С (О) — банахова алгебра всех непрерывных функций на с равномерной нормой. В главе 3 (теорема 8) при бесконечном О, доказаны равенства а§с(п) = аьс(п) = 2.

Пусть П — такой же компакт как выше. В главе 4 доказано (теорема 11), что если В — произвольная унитальная банахова алгебра, то и (1ьсф)®в = <н>с(п) + (1ьв.

В главе 5 изучены свойства строгих гомологических размерностей алгебр С(£1), рассмотренных как строгие алгебры. Здесь (теорема 13) доказаны формулы аддитивности (1). Кроме того, доказана (теорема 14) формула аддитивности для строгой малой глобальной размерности

Ь* С(М х ¡0) = С{М) + п • с1з® С(К+), где М — метризуемый компакт и \К\ ^ Также здесь построен пример алгебры С (О,) бесконечной строгой малой глобальной размерности (теорема 15). Как следствие, в строгом случае гомологические размерности алгебр С(О) могут принимать все целые неотрицательные значения и значение бесконечность (следствие 12), что является главным результатом главы 5.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [87Ц91].

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям А. Я. Хелемскому и Ю. В. Селиванову за постановку задач и полезные обсуждения.

О Определения и предварительные сведения

0.1 Сведения из теории множеств и общей топологии

Сначала напомним некоторые факты из теории множеств, необходимые в главе 5. Пусть заданы множества К{, г = 1,,п. Зафиксируем какое-нибудь г е {1,. ,п}. Пусть подмножество М произведения К\ х . х Кп обладает следующим свойством: для любых фиксированных е К], ] ф г, пересечение

М П ({а!} х . х {а,1} х^х {аг+1} х . х {ап}) имеет мощность строго меньшую некоторого кардинального числа т (на любой "прямой" параллельной "оси х" лежит не более чем т точек множества М). Тогда мы будем говорить, что множество М имеет мощность строго меньшую т по г-й координате. Если при этом т = Но, то мы будем называть М конечным по г-й координате. Следующая теорема (эквивалентное утверждение сформулировано и доказано в [9, лемма 4.3]) восходит к Серпиискому (ср. |83, теорема ХУ.9.1]):

Теорема 1 Пусть заданы множества Кп, причем (мощность) \К{\ = ^ для каждого г = 1 ,.,п. Пусть подмножества М{, г = 1,., п, множества К\ х . х Кп имеют мощность строго меньшую М,- по г-й координате, соответственно. Тогда п

МгфК1Х.хКп. г=1

Заметим, что в этой теореме можно взять все мощности на "единицу" меньше (существенно, что можно взять счётным), а доказательство аналогично доказательству леммы 4.3 из р] методом математической индукции:

Теорема 2 Пусть заданы множества К\,., Кп, причем (мощность) \К(\ = N¿-1 для каждого г = 1 ,.,п. Пусть подмножества М{, г = 1,., п, множества К\ х . х Кп имеют мощность строго меньшую N¿-1 по г-й координате, соответственно. Тогда п и М(^К1Х.ХКП. i=l

Доказательство. Для п = 1 утверждение очевидно. Предположим, что оно доказано для п. Докажем его для п + 1. Пусть Мг-, г = 1, — ,п +1 — подмножества множества К\ х . х Кп+1, удовлетворяющие условию теоремы. Так как мощность \К\ х. х Кп\ ^ и множество Мп+1 имеет мощность не более Н^по (п + 1)-й координате, то мощность множества Мп+\ не превосходит ^.¿Поэтому существует элемент у € Кп+1, такой что пересечение множеств х.хКпх {у}) и Мп+1 пусто. Рассмотрим сечения М1,., Мп множеств М\,., Мп "гиперплоскостью" К\Х .хКпх {у}. Тогда очевидно, что п

УMi = К1х.хКпх {у}, ¿=1 что противоречит предположению индукции. □

Следующее следствие будет использовано при доказательстве теорем 13 и 14 главы 5:

Следствие 1 Пусть заданы множества^,., КП} причем (мощность) \К{\ ^ N¿-1 для каждого 1 = 1,.,п. Пусть подмножества % = 1,.,п, множества К\Х .х Кп конечны по г-й коордип нате, соответственно. Тогда и М{ Ф К\ х . х Кп. 1

Доказательство. Для каждого г = 1 ,.,п выберем в К{ произвольное подмножество К[ мощности N¿-1. Тогда подмножества

М- = Mi U К[ удовлетворяют условию теоремы 1, откуда немедленно следует утверждение. □

Напомним (см., напр., [10]), что производное множество А' произвольного подмножества Л топологического пространства — это множество всех предельных точек множестваЛ. Следующая несложная топологическая лемма нужна для главы 4.

Лемма 1 Пусть А — компактное топологическое пространство, у которого некоторое производное множество конечного порядка пусто. Тогда множество А\А' всюду плотно в А.

Доказательство. Будем доказывать лемму по индукции. Для компактов, состоящих из одних изолированных точек, утверждение очевидно. Пусть утверждение доказано для всех компактов, у которых n-е производное множество пусто. И пусть (п + 1)-с производное множество некоторого компакта А пусто. Пусть и 6 А — произвольная точка. Если эта точка изолирована, то доказывать нечего. Если и е А', то по предположению индукции, точка и принадлежит замыканию множества А'\А". Но каждая точка последнего множества является предельной для множества изолированных точек, откуда следует, что и точка и является предельной точкой множества всех изолированных точек. Таким образом, шаг индукции завершён, и лемма доказана. □

0.2 Банаховы пространства, алгебры и модули, операторные алгебры, проективные модули

Все банаховы пространства, банаховы алгебры и модули рассматриваются над полем комплексных чисел. В главе 1 необходимо понятие свойства аппроксимации для банахова пространства, которое можно найти, например, в книге [31, гл. 3, § 3]. Почти всюду в работе, за исключением главы 5, важную роль играет понятие проективного тензорного произведения <g> банаховых пространств (см., напр., [29] или [28]). Напомним, что проективным тензорным произведением <Pi ® ц>2 Е\®Е2 —> F\® F2 двух непрерывных линейных отображений банаховых пространств : Е{ —► Fj, г = 1,2, называется непрерывное линейное отображение, корректно определённое формулой tpi ® V2 ® ®2) = ¥>i(si) ® У^М для всех € £2 Е Е2. Напомним определение слабого (другой термин — итективного) тензорного произведения <8> банаховых пространств (см. [28, 29]), которое необходимо для изложения главы 5. Пусть Е и F — банаховы пространства. Определим на алгебраическом тензорном произведенииE®F этих пространств норму по формуле

N1 = SUP п где и Е Е <g> F, и= <8> Ук\ Е*, F* — сопряжённые к Е и F банаховы пространства. Слабым тензорным произведением Е <8> F называется пополнение линейного пространства Е <8) F по этой норме. Известно [50], что для любых компактных топологических пространств fti и 0.2 существует естественный изометрический изоморфизм C(fli) ® C(fi2) = C(i2i х fi2).

Пусть — пространство всех ограниченных комплексных последовательностей х = (#1,.,с нормой ||а;|| = sup|агп|, а 1 со — его замкнутое подпространство, состоящее из последовательностей, стремящихся к нулю. Пусть еп Е со — последовательность, у которой п-й член равен 1, а остальные равны 0 (п = 1,2,.). В доказательстве теоремы 13 мы будем использовать следующую лемму Филлипса ([69] или [28, раздел V.2.2]): для любого непрерывного линейного оператора Т : —* cq числовая последовательность Т(еп)п стремится к нулю при п оо. а(хкЩук) а Е Е*,0 Е FM|a||,||/?|| ^ 1

Напомним формулировку одной теоремы о банаховых пространствах С(0), которую мы будем использовать в главе 4. Пусть П — метризуемый компакт и пусть F\ С F2 — два замкнутых подпространства компакта Q. Тогда теорема Борсука — Дугунджи [82, 21.1.4] утверждает, что существует такой непрерывный линейный оператор s : C(F\) -* С(^), что s(f)\p1 = / (оператор одновременного продолжения).

Банахову алгебру (А, || • ||л), состоящую из операторов на банаховом пространстве Е, мы будем называть операторной алгеброй, если существует такая константа Са, что ||а(ж)|| ^ Сл||а||л|И| для всех а е А и х е Е.

Подпространство М в Е называется инвариантным для операторной алгебры А, если а(М) С М каждого а 6 А. Операторная алгебра называется неразложимой, если Е нельзя представить как прямую сумму двух ненулевых замкнутых инвариантных подпространств. Например, любая гнездовая алгебра (см. определение ниже), очевидно, неразложима.

Операторная алгебра называется неприводимой (соответственно, топологически неприводимой, если она не имеет нетривиальных инвариантных (соответственно, замкнутых инвариантных) подпространств.

Решетка всех замкнутых инвариантных подпространств данной операторной алгебры по отношению к операциям замкнутой линейной оболочки МViV и пересечению MAN обозначается через Lat А. Обратно, если задано множество L замкнутых инвариантных подпространств банахова пространства Е, то алгебра всех ограниченных операторов, оставляющих инвариантными элементы L, обозначается через Alg L. Операторная алгебра А называется рефлексивной (см., напр., [53]), если Л = Alg Lat А. Нетрудно видеть, что рефлексивная алгебра Л всегда замкнута по равномерной операторной норме и поэтому рассматривается как банахова алгебра относительно этой нормы. Рефлексивная алгебра А на гильбертовом пространстве, для которой ортогональные проекторы на элементы Lat А коммутируют как линейные операторы, называется CSL-алгеброй (см., напр., [36]). Рефлексивная алгебра Л называется гнездовой, если решетка Lat Л линейно упорядочена. Очевидно, что гнездовая алгебра является CSX-алгеброй.

Напомним, что унитализацией А+ алгебры А называется алгебра Л с присоединённой единицей (см., напр., [29, гл. 1, §§ 1.2, 2.3]). Условная унитализация Лх алгебры Л — это сама алгебра Л, если она имеет единицу, и унитализация Л+ алгебры Л — иначе. Элемент г алгебры Л называется квазинулевым (см., напр., [29, гл. 1, § 3.4]), если для каждого элемента а € Л элемент е—аг есть обратимый слева элемент условной унитализации Лх алгебры Л, где е — единица алгебры Л*. Радикал Джекобсона алгебры Л есть множество всех её квазинулевых элементов (см., напр., [29, гл. 1, § 3.4]). Алгебра называется полупростой, если у неё радикал Джекобсона равен нулю. Как хорошо известно, любая алгебра функций с поточечным умножением полупроста (см., напр., [29, предложение 1.3.62]). Любая самосопряженная операторная алгебра на гильбертовом пространстве также полупроста (см. [73, теорема 4.1.19]).

Через С(й) мы обозначаем банахову алгебру всех непрерывных комплекснозначных функций на компактном топологическом пространстве Í2 с поточечным умножением и равномерной нормой. Как известно, любой замкнутый идеал / этой алгебры состоит из всех непрерывных функций, равных нулю на некотором замкнутом подмножестве А С Í1 Напомним, что спектром идеала / называется дополнение Í)\A. Пусть Qq — некоторое открытое подмножество ÍI Тогда идеал со спектром По обозначается через I(CIq). Пусть — компактные топологические пространства (г = 1,2). Нетрудно доказать [9], что для идеалов I(Z\) < C(fti) и /(^2) <3 имеется естественный изометрический изоморфизм I{Z\) ® /(^2) — i х Z2).

Пусть Л — произвольная банахова алгебра. Категорию левых банаховых Л-модулей и их морфизмов обозначим через Л-mod или, подробнее, через Л-0-mod. Пусть X — левый банахов Л-модуль. Условимся обозначать линейную оболочку элементов вида а • х, где а е А, х € X через А • X. Банахов А-модуль, который топологически изоморфен модулю вида А+®Е, где Е — некоторое банахово пространство и А+ — унитализация алгебры А, на котором внешнее умножение корректно определено формулой а ■ (Ь <8> х) = аЬ<8> х, называется свободным ([29, гл. 6, § 1[).

Напомним, что морфизм левых банаховых А-модулей (р : X У называется допустимым, если его ядро и образ имеют банаховы дополнения в X и У, соответственно. В частности, сюръективный морфизм <р допустим тогда и только тогда, когда он имеет правый обратный непрерывный линейный оператор б : У —> X.

Левый банахов А-модуль Р называется проективным (ср. [29], [28]), если каждый допустимый сюръективный морфизм левых банаховых А-модулей а : X —> Р имеет правый обратный морфизм левых банаховых А-модулей. Это означает, что Р — прямое слагаемое банахова А-модуля X. Напомним еще, что прямое слагаемое любого проективного банахова А-модуля само проективно. Проективные бимодули определяются аналогично. Напомним, что класс проективных модулей — один из самых важных и имеет разнообразные приложения и допускает различные определения (см. [28], разделы 3.1.2, 3.1.3).

Пусть А — унитальная банахова алгебра. Заметим, что, по определению, единица е алгебры А действует на унитальном модуле как тождественный оператор. Мы будем обозначать категорию всех уни-тальных левых банаховых А-модулей через А-иптос1 или, подробнее, через А-®-иптос1. В категории А-иптос1 свободным модулем, по определению, считается модуль, изоморфный модулю вида А®Е.

Если В — ещё одна унитальная банахова алгебра, то мы рассматриваем категорию унитальных банаховых бимодулей, левых по А и правых по В, которую обозначаем через А-иптос1-Б. Хорошо известно, что последняя категория изоморфна А <8) В^-иптос!, где Вор — алгебра В с противоположным умножением. Напомним, что обёртывающая алгебра унитальной банаховой алгебры А — это алгебра Ае = А ® А0?. Таким образом, категория А-иптос1-А изоморфна категории Ле-иптос1.

Нам также потребуется понятие проективного тензорного произведения <8> левого и правого банаховых модулей над банаховой а алгеброй Л (см., напр., [29] или [28]). Предположим, чтоХ — левый банахов Л-модуль, У — правый банахов Л-модуль, а Е — банахово пространство. Тогда тензорное произведение X <8> Е является левым банаховым Л-модулем относительно внешнего умножения, определяемого формулой а • (х ® и) = (а • х) <8> и для а е Л, х е X и и е Е. Далее, тензорное произведениеХ®Е®У является банаховым Л-бимодулем относительно внешних умножений, определяемых формулами а • (х ® и ® у) = (а • х) ® и ® у и (х®и®у) • а = х <8 и <8 (у-а) для а € Л, хе.Х,иеЕну£У. Если алгебра Л унитальна, то банахов Л-бимодуль А®Е®А и левый банахов Л-модуль А®Е проективны для каждого банахова пространства Е.

Предположим, что алгебра Л обладает единицей г а и что банахов Л-бимодуль X унитален, то есть ел • х = х • ел = х для всех х € X. Тогда морфизм к : А®X® А X, определяемый формулой 7г(а ®х®Ь) = а-х-Ь для а, Ь 6 Л и х € X, очевидно, является допустимым. Следовательно, X проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым Л-бимодуля А® Е®А для некоторого банахова пространства Е. Аналогично, унитальный левый банахов Л-модуль X проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым банахова Л-модуля А®Е для некоторого банахова пространства Е.

Напомним, что банахова алгебра Л, не обязательно обладающая единицей, называется бипроективпой, если банахов Л-бимодуль Л проективен. Класс бипроективных банаховых алгебр очень важен в гомологической теории банаховых алгебр и имеет много применений. Строение бипроективных полупростых банаховых алгебр, которые обладают свойством аппроксимации как банаховы пространства, описано Ю. В. Селивановым в [20]. Отметим, что банахова алгебра С(Г2) является унитализацией бипроективной банаховой алгебры тогда и только тогда, когда П является одноточечной компак-тификацией дискретного пространства (ср. [28, теорема ГУ.5.26]).

Как следует из выше сказанного, если алгебра С (О,) является унитализацией бипроективной банаховой алгебры, то второе производное множество компакта О, пусто. Легко привести примеры компактов с непустым вторым производным множеством, но с пустым производным множеством некоторого конечного порядка. Так (см. [10, § 9, п. I]), пространство П, состоящее из чисел вида 1 /т + 1 /п (т,п = 1,2,.), чисел вида 1/п и числа 0, имеет своим производным множеством множество, состоящее из чисел вида 1/п и числа 0, его второе производное множество состоит только из числа 0, его третье производное множество пусто.

Следующая лемма понадобится нам в главе 3.

Лемма 2 Пусть А — банахова алгебра, и пусть I — её замкнутый биидеал, который является бипроективной банаховой алгеброй. Тогда I проективен как банахов А-бимодуль.

Доказательство. Как известно (см. [29, предложение У11.1.67]), бипроективная банахова алгебр&идемпотентпа. Следовательно, алгебра / совпадает с замыканием /2 своего алгебраического квадрата I2 = Нп{ш;: и, v € /}. Пусть а : Р —> I — допустимый, сюръектив-ный морфизм банаховых Л-бимодулей. Ясно, что о также является морфизмом банаховых /-бимодулей. Поэтому а имеет правый обратный морфизм банаховых /-бимодулей (р : I —► Р. Достаточно показать, что (р является морфизмом А-бимодулей. Действительно, пусть а е А, и € /. Выберем последовательность (ип) в /2, такую что ип->и при п оо. Тогда очевидное равенство <р{а •иг) = а- (р(ип) (п 6 М) влечёт равенство <р(а -и) = а - <р(и), и лемма доказана. □

0.3 Гомологические размерности банаховых алгебр

Напомним (см., напр., [28] или [29]), что последовательность левых банаховых А-модулей

V <Рп-1 тг ¥>п-2 <р! v <р0 v .—>■ ап -► А71-1 -> . —> а1 —► Ао —> и называется комплексом, если щ о = 0 для всех к = 0,1,. Комплекс левых банаховых А-модулей называется допустимым, если он расщепляется как комплекс банаховых пространств: существует стягивающая гомотопия, то есть семейство непрерывных линейных операторов ^ : Х{ —> таких, что = 1*. для г = 0,1,. Комплекс называется точным, если Кег^ = \тщ+\ для всех г = —1,0,1,2,. Допустимый комплекс всегда является точным.

Допустимый комплекс унитальных левых банаховых модулей где все А-модули Р* проективны, называется проективной резольвентой модуля X € А-иптос1 (ср. [29], [28]). Длиной такой резольвенты называется наименьшее п такое, что Р{ = 0 при г > п, или оо, если такого п не существует. Длина самой короткой проективной резольвенты А-модуля X называется его гомологической размерностью. Она обозначается лйЬ X. Определение гомологической размерности для банаховых А-бимодулей аналогично.

Точная верхняя грань гомологических размерностей всех унитальных левых банаховых А-модулей называется глобальной размерностью алгебры А. Гомологическая размерность А, как банахова А-бимодуля, называется биразмерностью или когомологической размерностью А. Последний термин связан с эквивалентным определением этого понятия, а именно, это — наименьшее тг такое, что группы когомологий Нк(А,Х), с коэффициентами во всех бимоду-лях X и для всех к > п, тривиальны. Глобальная размерность А обозначается через dg А или, более подробно, через dgg А, а бираз-мерность через dbA или через dbg А. Напомним, что для произвольной унитальной банаховой алгебры А выполнено неравенство dgA ^ dbA (см., напр., [29, теорема 7.3.54]).

0.4 Строгие гомологические размерности

Пусть А — строгая банахова алгебра. Левый банахов А-модуль X называется строгим, если существует такой непрерывный линейный оператор R : А®Х —» X, что R(a ® х) = а ■ х для любых а е А, х е X. Например, все £р при 1 ^ р ^ оо являются строгими ¿i-модулями, но ни один из них при р ф оо не является строгим ^оо-модулем [12]. Нетрудно доказать, что замкнутый подмодуль строгого модуля является строгим модулем.

Пусть X — левый банахов А-модуль, а Е — банахово пространство. Нетрудно доказать, что тензорное произведениеX <Й> Е является левым банаховым А-модулем относительно внешнего умножения, определяемого формулой а • (х <8> и) = (а • х) <g> и для а Е А, х € X и и € Е. Легко видеть, что если X — строгий модуль, то модуль Х®Е — также строгий.

Пусть строгая банахова алгебра А унитальна. Напомним [13], что унитальный строгий левый банахов А-модуль X называется (строго) проективным, если он является прямым слагаемым левого модуля А®Е для некоторого банахова пространства Е. Критерий проективности замкнутого идеала I в алгебрах непрерывных функций С(Г2) и в строгой, и в обычной теориях одинаковый [13, 28] — это паракомпактность спектра идеала/. Например, если £1 — метризуе-мый компакт, то все замкнутые идеалы в алгебре С(П) проективны, если их рассматривать и как общие левые банаховы модули, и как строгие.

Пусть А — унитальная строгая банахова алгебра. Категорию всех унитальных строгих левых банаховых А-модулей мы будем обозначать через A-®-unmod. Если В — ещё одна унитальная строгая банахова алгебра, то мы рассматриваем категорию унитальных строгих банаховых бимодулей, левых по Л и правых по В, которую обозначаем через А-®-иптос1- ®-В. Хорошо известно, что последняя категория изоморфна А ® В^-® -иптос!, где 5ор — алгебра В с противоположным умножением. Напомним, что обёртывающая алгебра Ае унитальной строгой банаховой алгебры А — это алгебра А® А0?. Таким образом, категории А-<Ё)-иптос1-®-А и Ае-<8) -иптос! изоморфны.

Допустимый комплекс унитальных строгих левых банаховых модулей где все А-модули Р{ проективны, называется проективной резольвентой модуля X е А-<Й>-иптос! (см. [13, 12]). Длиной такой резольвенты называется наименьшее п такое, что Р{ = 0 при г > п, или оо, если такого п не существует. Длина самой короткой проективной резольвенты А-модуля X называется его (строгой) гомологической размерностью. Она обозначается дсШф X. Гомологическая размерность для унитального строгого банахового А-бимодуля X определяется как у левого Ае-модуля. Точная верхняя грань гомологических размерностей всех унитальных строгих левых банаховых А-модулей называется (строгой) глобальной размерностью алгебры А и обозначается с^А. Напомним (см., напр., [29, определение 6.2.5]), что левый А-модуль называется (алгебраически) неприводимым, если он не имеет ненулевых собственных подмодулей, и не является (одномерным) модулем с нулевым умножением. Нетрудно видеть, что если алгебра имеет единицу, то любой неприводимый модуль над этой алгеброй унитален. Точная верхняя грань гомологических размерностей всех неприводимых строгих левых банаховых А-модулей называется (строгой) малой глобальной размерностью алгебры А и обозначается (Ь® А. (В случае, если А не имеет неприводимых строгих левых банаховых модулей, то мы полагаем с^® А = -оо).

Гомологическая размерность алгебры А, рассмотренной как строгий банахов Л-бимодуль, называется (строгой) биразмерностъю или (строгой) когомологической размерностью А и обозначается dbg, А. Последний термин связан, также как в случае общих банаховых алгебр, с эквивалентным определением этого понятия, а именно, это — наименьшее п такое, что группы когомологий ХохшильдаН|(Л, X), взятые в соответствующем для строгих алгебр варианте, с коэффициентами во всех строгих бимодулях X и для всех к> п, тривиальны. Напомним, что для произвольной строгой банаховой алгебры Л выполнено неравенство dg® А ^ db® А (см. [12, теорема 1.3]).

Пусть теперь А и В — унитальные строгие банаховы алгебры. Все следующие утверждения, вплоть до конца раздела, полученные в "классической" гомологической теории Ю. В. Селивановым (см. [18, 80, 21]), справедливы в случае строгих алгебр и модулей, с очевидными изменениями.

Предложение 1 Если e:P-*Xur]:Q—*Y — проективные-резольвенты модулей X и Y е Л-<8> -unmod, то их тензорное произведение £<8>г] : P®Q —» X<S)Y — проективная резольвента модуля X®Y е Л<8>В-<g>-unmod.

О тензорных произведениях комплексов и резольвент см., напр., [14, 28].

Следствие 2 Если X € А-<8> -unmod, и Y G В-<8> -unmod, то А$Bdh®X®Y < ¿dh®х + sdh®Y.

Следствие 3 Если А и В — унитальные строгие банаховы алгебры, то db® А&В^ db® А + db® В.

Предложение 2 Предположим, что X е А-0 -unmod- и

Y G А <Й>В-<Ё>-unmod. Тогда если X — проективен, то X&Y — а строгий левый А <8> В-модуль и л®я dh X®Y ^ в dh Y.

Доказательство. Если р : X —♦ А®Е®А —правый обратный для некоторого морфизма А-бимодулей

7г: А®Е®А-*Х, где Е — некоторое банахово пространство, то рЫу ■ Х®У (А®Е®А)®У а а а морфизм левых А® В-®-модулей, правый обратный для а = тг®1у : А ® Е ® У Х®У. а а

Таким образом, Х®У — ретракт строгого А ® В-модуля А®Е®У, а а следовательно, является строгим левым модулем. Теперь по следствию 2 и ^-аналогу [28, предл. Ш.5.5] предложение доказано. □

Предложение 3 Если X е А ® В-® -иптос!, то справедливо неравенство л&всШ® X ^ сИэ® А + всШф X.

Доказательство. Утверждение тривиально, если с!Ь А = оо или в сШ X = оо. Поэтому предположим, что с1Ь А = п и в ¿Ь X = т конечны. Выберем произвольную <Й>-проективную А-бимодульную резольвенту

О Р„ Рп-1 Ро-+ А0 (2) длины п. Комплекс (2) допустим и все бимодули в нем — проективные правые А-модули. Используя 0-аналог предложения [29,7.2.34], получаем, что этот комплекс расщепим как комплекс правых банаховых А-<8>-модулей. Поэтому функтор

Х : А-<8>-иптос1-<8>-А А®Б-®-иптос1 а переводит комплекс (2) в допустимый комплекс

О -> Рп®Х Рп-1®Х Р0®Х -> А -» 0. (3) а а а

Но левый банахов А ® В-модуль А®Х изоморфен X, а по предА ложению 2 остальные члены комплекса (3) являются строгими модулями и имеют гомологическую размерность не выше т. Осталось разложить комплекс (3) в произведение Ионеды (произведение коротких допустимых комплексов) и использовать (^-версию предложения [28,111.5.5(H)]. □

Следствие 4 Если А и В — униталъные строгие банаховы алгебры, то dg® А ® В < db® А + dg® В.

Следствие 5 Если А и В — униталъные строгие банаховы алгебры, и если dg® А = dbg, А или dg® В = dbg. В, то dg® А ® В ^

Описание всех неприводимых строгих левых банаховых модулей над алгеброй А®В, когда одна из алгебр А или В коммутативна, сводится к случаю <8>-алгебр ввиду одномерности (как линейных пространств) неприводимых модулей над коммутативными алгебрами.

Предложение 4 Пусть А и В — униталъные строгие банаховы алгебры, причем В коммутативна. Тогда для любых двух неприводимых модулей X Е А-<8> -unmod и У € В-® -unmod модуль X ® Y € А ® В-® -unmod пеприводим и при этом все неприводимые строгие левые банаховы А® В-модули имеют указанный вид.

Следствие 6 Если А и В — униталъные строгие банаховы алгебры, и если хотя бы одна из алгебр А или В коммутативна, то справедливо неравенствоds® А®В^ ds® А + ds®В.

Так же, как в "классическом" случае [80, 21], можно получить "грубые" оценки снизу для db®, dg® и ds® алгебры А®В. Но в строгом случае эти оценки очевидно точны.

Предложение 5 Пусть X € А-® -иптос! и V 6 5-<Й> -иптос! — ненулевые строгие банаховы модули. Тогда л тах{лс% х, У}.

Аналогично "классическому" случаю [80,21] предложение 5 справедливо также для бимодулей. Отсюда и из предложения 4 получаем

Следствие 7 Пусть А и В — унитальные строгие банаховы алгебры. Тогда выполнены неравенства сИэ® А® В ^ тах{с!Ь® А,с1Ь® В) и тах{с^® А,В}.

Кроме того, если хотя бы одна из алгебр А или В коммутативна, а другая имеет хотя бы один неприводимый строгий левый банахов модуль, то с^ф А® В ^ тах^Б® А,сЬ® В).

1. Калиман Ш. И., Селиванов Ю. В. О когомологиях операторных алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. 29 (1974), № 5, 24-27.6. картан а., эйленберг с. Гомологическая алгебра. м., ил, 1960.

2. МАКЛЕЙН С. Гомология. М., Мир, 1966.

3. ПУГАЧ Я. И. Проективные и плоские идеалы функциональных алгебр, их связь с аналитической структурой. Матем. заметки 31 (1982), вып. 2, 223-229.

4. ПУГАЧ JL И. О гомологической размерности банаховых алгебр гладких функций. Успехи матем. наук 37 (1982), вып. 4, 175-176.

5. ПУГАЧ JI. И. Гомологические свойства функциональных алгебр и аналитические полидиски в их пространствах максимальных идеалов. Rev. Roumaine Math. Pure et Appl. 31 (1986), 347-356.

6. СЕЛИВАНОВ Ю. В. О значениях, принимаемых глобальной размерностью в некоторых классах банаховых алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем.,- механ. 30 (1975), № 1, 37-42.

7. СЕЛИВАНОВ Ю. В. Гомологическая размерность циклических банаховых модулей и гомологическая характеризация метризуемых компактов. Матем. заметки 17 (1975), вып. 2, 301-305.

8. СЕЛИВАНОВ Ю. В. Бипроективные банаховы алгебры. Изв. АН СССР. Сер. матем. 43 (1979), № 5, 1159-1174.

9. Шилов Г. Е. О регулярных нормированных кольцах. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 21 (1947), 1-118.

10. Arveson W. B. Operator algebras and invariant subspaces. Ann. Math. 100 (1974), 433-532.37. arveson W. B. Ten lectures on operator algebras. Regional Conference Series in Math. № 55. Providence. 1994.

11. Dales G. H. Banach algebras and automatic continuity. Clarendon Press, Oxford, 2000.

12. Dales h. g., Gahramani F., Helemskii A. Ya. The amenability of measure algebras. J. London Math. Soc. (2) 66 (2002), № 1, 213-226.

13. Dales H. G., Polyakov M. E. Homological properties of modules over group algebras. Proc. London Math. Soc. (3) 89 (2004), № 2, 390-426.46. dunford N. Spectral operators. Pacific J. Math. 4 (1954), 321-354.

14. DAWS M. Connes-amenability of bidual and weighted semigroup algebras. Math. Scand. 99 (2006), № 2, 217-246.

15. EFFROS E. G. Amenability and virtual diagonals for von Neumann algebras. J. Fund. Anal. 78 (1988), 137-153.

16. ELLIOTT G. A. On approximately finite-dimentional von Neumann algebras II. Canad. Math. Bull. 21 (1978), 415-418.50. grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955).

17. GUICHARDET A. Sur l'homologie et la cohomologie des algèbres de Banach. C. R. Acad. Sci. Paris 262 (1966), A38-41.

18. HELEMSKII A. Ya. Projective homological classification of C*-algebras. Comm. in algebra 26 (1998), № 3, 977-996.

19. JOHNSON B. E. The Wedderburn decomposition of Banach algebras with finite-dimensional radical. Amer. J. Math. 90 (1968), 866-876.

20. JOHNSON B. E. Cohomology in Banach algebras. Mem. Amer: Math. Soc. 127 (1972).62. johnson B. E., Kadison R. v., Ringrose j. R. Cohomology of operator algebras, III. Bull. Soc. Math. France 100 (1972), 73-96.

21. JOHNSON B. E. Weak amenability of group algebras. Bull. London. Math. Soc. 23 (1991), 281-284.

22. Kadison R. v., Ringrose J. R. Cohomology of operator algebras, I. Type I von Neumann algebras. Acta Math. 126 (1971), 227-243.

23. Raeburn I., taylor J. L. Hochschild cohomology and perturbations of Banach algebras. J. Fund. Anal. 25 (1977), 258-266.73. rickart C. E. General theory of Banach algebras. New York, Van Nostrand, 1960.

24. RUNDE V. Amenability for dual Banach algebras. Studia Math. 148 (2001), 47-66.

25. RUNDE V. Lectures on Amenability. Lecture Notes in Mathematics, 1774, Springer Verlag, Berlin, 2002.

26. RUNDE V. Connes-amenability and normal, virtual diagonals for measure algebras, I. J. London Math. Soc. 67 (2003), 643-656.

27. RUNDE V. Connes-amenability and normal, virtual diagonals for measure algebras, II. Bull. Austral. Math. Soc. 68 (2003), 325-328.

28. Runde V. A Connes-amenable, dual Banach algebra need not have a normal, virtual diagonal. Trans. Amer. Math. Soc. 358 (2006), 391-402.79. sarason D. Invariant subspaces and unstarred operator algebras. Рас. J. Math. 17 (1966), 511-517.

29. SEMADENI Z. Banach spaces of continuous functions. Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1971.

30. SlERPlNSKl W. Cardinal and ordinal numbers. Warszawa, 1965.84. taylor J. L. Homology and cohomology for topological algebras. Adv. Math. 9 (1972), 137-182.

31. VAROPOULOS N. TH. Some remarks on Q-algebras. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 22 (1972), № 4, 1-11.86. wassermann S. On tensor products of certain group C*-algebras. J. Fund. Anal. 23 (1976), 239-254.