Когомологии банаховых и близких к ним алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.98

СЕЛИВАНОВ Юрий Васильевич

КОГОМОЛОГИИ БАНАХОВЫХ И БЛИЗКИХ К НИМ АЛГЕБР

(01.01.01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2003

Работа выполнена в "МАТИ" — Российском государственном технологическом университете имени К. Э. Циолковского.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Д. П. Желобенко; доктор физико-математических наук, профессор Р. С. Исмагилов; доктор физико-математических наук, профессор А. В. Михалев.

Ведущая организация:

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится "¡0 " (Ш/Лр/^сЫ 2003 г. в 16 час. 15 мин. на 'заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "Ю" 0ШШ(Щ<л( 2003

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

2oc>3-/\

I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предмет диссертации относится к топологической гомологии — области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые топологические алгебры и их непрерывные представления (банаховы и топологические модули) с использованием методов гомологической алгебры. В диссертации развиты методы, позволяющие изучать закономерности, которым подчиняются гомологические характеристики банаховых и близких к ним топологических алгебр, и вычислять эти характеристики для ряда конкретных "алгебр анализа". Помимо самостоятельного интереса, эти характеристики играют большую роль при изучении дифференцирований, расширений и возмущений таких алгебр и их представлений. Они тесно связаны с банахово-геометрическим строением модулей, а также со многими фундаментальными понятиями топологии и функционального анализа1. Гомологические характеристики локально выпуклых алгебр были с успехом использованы Дж. Тэйлором2 при решении классической задачи построения мультиоператорного голоморфного функционального исчисления в банаховом пространстве. Позднее аппарат локально выпуклой гомологии активно использовался многими авторами в работах, связанных с вопросами многомерной спектральной теории линейных операторов, а также с некоторыми задачами комплексной аналитической геометрии3. Различные результаты такого рода и литературные ссылки содержатся в недавней монографии Эшмайера и Путинара4.

Несколько слов об истории вопроса. Важнейшие гомологические характеристики ассоциативных алгебр — группы когомологий — были открыты в 194-5 году Г. Хохшштьдом5. В 1962 году Г. Камовиц6. используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий Нп(А, X), п = 0, 1, ..., банаховой алгебры А с коэффициентами

1 Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М., Изд-во МГУ, 1986.

2 Taylor J. L. A general framework for a multi-operator functional calculus. Adv. vn Math. 9 (1972), 183-252.

3Levy R. The Riemann-Roch theorem for complex spaces. Acta Math. 158 (1987). 149-188.

4 Eschmeier J. and Pulinar M. Spectral decompositions and analytic sheaves. Oxford, Clarendon Press, 1996.

5 Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra. Ann. of Math. 46 (1945), 58-67.

6 Kamowitz H. Cohomology groups of commutative Banach algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), 352-372. . ,

A I

в банаховом Л-бимодуле X и, в частности, установил биекцию между множеством классов эквивалентности сингулярных расширений А с помощью X и элементами Н2(А,Х). Отметим, что необходимость в изучении расширений банаховых алгебр была замечена еще в 1954 году Н. Данфордом7 при исследовании спектральных операторов. Позже группы когомологий банаховых алгебр успешно применялись к различным вопросам, связанным с дифференцированиями, расширениями и возмущениями банаховых8 и операторных9 алгебр, аменабельными локально компактными группами10 и т. п.

•Что касается самих групп когомологий банаховых алгебр, то вначале в работах различных авторов их вычисления проводились "прямыми методами", основанными на непосредственном изучении стандартного комплекса Хохшильда. Видимо, поэтому подавляющее большинство результатов касалось специальных классов коэффициентов. В то же время в гомологии чисто алгебраических систем этап прямых методов давно был пройден, и общий гомологический аппарат, созданный А. Карта-ном, С. Эйленбергом, С. Маклейном и другими авторами, позволил при вычислениях освободиться от стандартных комплексов, а вместо этого пользоваться той или иной специально подобранной резольвентой.

Общий подход к гомологии банаховых алгебр был предложен в 1970 году А. Я. Хелемским11. По существу, этот подход состоял в построении некоторого варианта относительной гомологической алгебры, специально приспособленного для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Центральным в новой теории стало понятие банахова производного функтора, предоставившее удобные способы вычисления групп когомологий. Как и в "обычной" алгебре, указанные методы позволили подойти к'теории когомологий банаховых алгебр с более общей точки зрения и получить в этой области новые результаты. По сравнению с аппаратом одних лишь групп когомологий эти методы предоставили значительно более мощные средства для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Они позволили в дальнейшем получить ряд результатов о наличии в спектре функциональной (комму-

7 Dunford N. Spectral operators. Pacific J. Math. 4 (1954), 321-354.

8 Raeburn I. and Taylor J. L. Hochschild cohomology and perturbations of Banach algebras. J. Fund. Anal. 25 (1977), 258-266.

9 Kadison R. V. and Ringrose J. R. Cohomology of operator algebras. Part I, Acta Math. 126 (1971), 227-243; Part II. Ark Math. 9 (1971), 55-63.

10 Johnson В. E. Cohomology in Banach algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 127 (1972).

11 Хелемский А. Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами. Матем. сб. 81 (1970), 430-444.

тативной полупростой) банаховой алгебры аналитической структуры12, дать гомологическую интерпретацию некоторым общетопологическим понятиям, таким, например, как дискретность, паракомпактность13 и метризуемость14, получить глубокую информацию о структурных свойствах самосопряженных10 и несамосопряженных операторных алгебр16.

Вскоре после появления указанных методов стало понятно, что вопрос об оценке и вычислении гомологической размерности (у истоков этого понятия стоит теорема Д. Гильберта о сизигиях17) имеет самостоятельный интерес. Многие важные вопросы и результаты стали формулироваться на языке размерностей банаховых алгебр (глобальной размерности dg Л и биразмерности db Л), а следовательно, стали касаться не отдельных классов, а сразу всех банаховых модулей, либо бимодулей над данной банаховой алгеброй. Например, до сих пор неизвестно, существуют ли полупростые банаховы алгебры, глобальная размерность которых равна 1. Такой вопрос имеет смысл только для бесконечномерных алгебр, поскольку глобальная размерность любой конечномерной полупростой алгебры равна 0. В 1972 году А. Я. Хе-лемским18 было доказано, что для любой бесконечномерной функциональной банаховой алгебры верна оценка dg Л > 2; из этой теоремы, в частности, следует существование нетривиальных (нерасщепимых) сингулярных расширений бесконечномерных функциональных банаховых алгебр. Тем самым в классе функциональных банаховых алгебр число 1 является "запрещенным" значением для глобальной размерности (а значит, и для биразмерности); это явление связано с рядом особенностей банаховых структур, и прежде всего с наличием недополняемых замкнутых подпространств в банаховых пространствах. С другой сто-

l¿ Пугач Л. И. Гомологические свойства функциональных алгебр и аналитические полидиски в их пространствах максимальных идеалов. Rev. Roumaine Math. Pure et Appt. 31 (1986), 347-356.

13Хелемский A. Я. Описание относительно проективных идеалов в алгебре С(Г2). Докл. АН СССР 195 (1970), 1286-1289.

14 Курмакаева Е. Ш. Зависимость строгой гомологической размерности С(П) от топологии Q. Матем. заметки 55 (1994), 76-83.

15 Helemskii A. Ya. Projective homological classification of C-algebras. Comm. m Algebra 26 (1998), 977-996.

16 Головин Ю. О. Гомологические свойства гильбертовых модулей над гнездовыми операторными алгебрами. Матем. заметки 41 (1987), 769-775.

17 Hilbert D. Über die Theorie der Algebraischen Formen. Math. Ann. 36 (1890), 437534

18 Хелемский А. Я. Глобальная размерность функциональной банаховой алгебры отлична от единицы. Фупкц. апал. и прил. 6 (1972), 95-96.

роны, обе эти размерности могут принимать в том же классе алгебр любые четные значения19. Естественно возник вопрос20: каково вообще множество значений, принимаемых гомологическими размерностями функциональных банаховых алгебр?

К настоящему времени, помимо бесконечномерных функциональных банаховых алгебр, оценка dg А > 2 доказана для ряда конкретных банаховых алгебр, принадлежащих к классу т.н. бипроективных (в частности, для групповых алгебр Ll(G) и C*(G) любой бесконечной компактной группы)21, для всех бесконечномерных CCR-C*-алгебр22, всех бесконечномерных сепарабельных GCR-C'-алгебр23 и всех весовых сверточных алгебр L1 (ш) на полупрямой24.

- Напомним, что класс бипроективных банаховых алгебр был введен в -рассмотрение А. Я. Хелемским. Им же показано, что эти алгебры образуют содержательный класс: помимо указанных групповых алгебр компактных групп к ним относятся, например, все аннуляторные С*-алгебрьг с конечномерными минимальными биидеалами. Первоначальным стимулом к изучению бипроективных алгебр явилось их следующее свойство18,25: для такой А всегда Нп{А, X) = 0 при п > 3; иными словами; db А < 2. Строение бипроективных банаховых алгебр, в предположении их полупростоты и наличия свойства аппроксимации, было в 1979 год}' описано автором26: каждая алгебра из этого класса пред-ставима в виде топологической прямой суммы т.н. тензорных алгебр, порожденных двойственностью.

Одной из основных тем настоящей диссертаций является дальнейшее развитие данной тематики, позволяющее, используя указан-

19 Селиванов Ю. В. О значениях, принимаемых глобальной размерностью в некоторых классах банаховых алгебр. Весгпн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1975), No 1, 37-42.

20 Helemskii A. Ya. 31 problems of the homology of the algebras of analysis. Linear and complex analysis, Problem Book 3. Part 1. Berlin, Springer, 1994, 54-78.

21 Хелемский А. Я. Об одном методе вычисления и оценки глобальной гомологической размерности банаховых алгебр. Матем. сб. 87 (1972), 122-135.

22 Лыкова 3. А. Оценка снизу глобальной гомологической размерности бесконечномерных CCR-алгебр Успехи матем. наук 41 (1986), 197-198.

23 Аристов О. Ю. Теорема о глобальной размерности для неунитальных и некоторых других сепарабельных С*-алгебр. Матем. сб. 186 (1995), 3-18.

24 Ghahramani F., Selivanov Yu. V. The global dimension theorem for weighted convolution algebras. Proc. Edinburgh Math. Soc. 41 (1998), 393-406.

25 Johnson В. E. Approximate diagonals and cohomology of certain annihilator Banach algebras. Amer. J. Math. 94 (1972), 685-698.

26 Селиванов Ю. В. Випроективные банаховы алгебры. Изв. АН СССР. Сер. матем. 43 (1979), 1159-1174.

ную структурную теорему, значительно усилить некоторые результаты А. Я. Хелемского и Б. Джонсона, точно вычислив гомологические размерности бипроективных банаховых алгебр в рамках их достаточно > широкого класса. В частности, тривиальность двумерных когомологнй

полностью характеризует конечномерные алгебры в классе полупростых бипроективных банаховых алгебр со свойством аппроксимации. Этот , факт не имеет аналога в чистой алгебре, где имеются бесконечномер-

ные полупростые бипроективные (в алгебраическом смысле) алгебры с тривиальными двумерными когомологиями; например, С-алгебра финитных последовательностей. Прямым следствием является существование у каждой бесконечномерной полупростой бипроективной банаховой алгебры, обладающей свойством аппроксимации, сингулярного расширения, не являющегося расщепимым. Тем самым для таких алгебр отрицательно решается известный вопрос27 о возможности перенесения на гот или иной класс бесконечномерных банаховых алгебр классической теоремы Ведцербёрна28 о расщеплении конечномерной алгебры на радикальную и полупростую составляющие.

Как уже было отмечено, интерпретация групп когомологий банаховых алгебр в терминах производных функторов предоставила новые удобные методы их вычисления. В данной диссертации вычислены группы когомологий некоторых важных классов банаховых алгебр. В частности, в классе бипроективных алгебр эти группы удалось вычислить для произвольных коэффициентов. Кроме того, получены различные характеризации бипроективных банаховых алгебр в когомологических терминах.

В диссертации также рассмотрен вопрос о поведении гомологических размерностей унптальных банаховых алгебр и банаховых модулей над ними под действием операции проективного тензорного произведения. Вопросы такого рода изучались ранее многими авторами. Оказалось, что во всех конкретных ситуациях, рассмотренных в этих работах, гомологические характеристики тензорных произведений банаховых алгебр или модулей равны сумме соответствующих характеристик сомножителей. Например, в работе А. Н. Кричевца29 было

27 Bade W. G., Dales H. G. and Lykova 2. A. Algebraic and strong splittings of extensions of Banach algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 656 (1999).

28 Wedderburn J. H. M. On hypercomplex numbers. Proc. London Math. Soc. (2) 6 (1907), 77-118

29 Кричевец A. H Вычисление глобальной размерности тензорных произведений банаховых алгебр и одно обобщение теоремы Филлипса. Матем. заметки 31 (1982), 187-202

доказано, что если Ai,.... Л„ — банаховы алгебры, каждая из которых есть унитализация бипроективной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, то dg А\ ®... ® Ап = dg Ai + • • • + dg Ап. Важно отметить, что подобные "формулы аддитивности" — специфическое свойство банаховых алгебр, не имеющее аналогов в чистой алгебре.

В. данной диссертации формулы аддитивности для гомологических размерностей банаховых алгебр и модулей получены в довольно общей форме в ряде важных случаев. Это позволило далеко обобщить все известные ранее результаты на эту тему. Как следствие, получена новая информация, касающаяся вопроса описания значений, принимаемых гомологическими размерностями функциональных банаховых алгебр.

Возвращаясь к истории топологической гомологии, отметим, что конструкция Хелемского была независимо повторена в более общем контексте-локально выпуклых топологических алгебр Дж. Тэйлором30. Им же2 было показано, что группы гомологий некоторых топологических алгебр играют важную роль в задачах многомерной спектральной теории линейных операторов. В тех же работах были получены оценки для биразмерностей ряда ненормируемых локально выпуклых алгебр и, в-частности, было замечено, что dbA = 0, если А есть топологическое произведение произвольного семейства полных матричных алгебр или А — S'(G), где £'{G) — алгебра распределений на любой компактной группе Ли G. Таким образом Дж. Тэйлором было установлено, что выход за рамки банаховых структур позволяет найти содержательные примеры бесконечномерных алгебр с db А = 0, т. е. таких А, для которых все группы ~Н1{А.Х) тривиальны. (Отметим, что до сих пор не известно ни одного примера бесконечномерной банаховой алгебры с dg А = 0 или db А = 0.) Естественно возникла следующая проблема, включенная А. Я. Хелемским в его список задач20:

Проблема. Пусть алгебра Аренса—Майкла А имеет dg А — 0, или даже db А = 0. Верно ли, что тогда А есть топологическое произведение некоторого семейства полных матричных алгебр?

В диссертации эта проблема решена положительно для метризуе-мых алгебр, в предположении их полупервичности и наличия свойства аппроксимации. При тех же ограничениях описано строение произвольных (не обязательно мультинормированных) алгебр Фреше с dg А = 0 или db А — 0.

30 Taylor J. L. Homology and cohomology for topological algebras. Adv. in Math. 9 (1972), 137-182.

Среди изучаемых в диссертации классов алгебр и бимодулей над ними выделяются еще т.н. биплоские банаховы алгебры и дуальные (сопряженные какому-либо другому) банаховы бимодули. Важно отметить, что всякая бипроективная банахова алгебра — биплоская. В то же время класс биплоских банаховых алгебр существенно шире класса бипроективных алгебр. Например, он содержит все аменабельные банаховы алгебры (в частности, все /^-алгебры аменабелпьных локально компактных групп и все ядерные С*-алгебры31). Напомним, что амена-бельные банаховы алгебры были введены Б. Джонсоном10. Он выделил эти алгебры следующим условием: fíl(A, X) = 0 для всех дуальных X. Заметим, что аменабельные банаховы алгебры — это в точности биплоские, обладающие ограниченными аппроксимативными единицами (о. а. е.).

В диссертации изучены некоторые свойства биплоских банаховых алгебр и вычислены их группы когомологий с коэффициентами в дуальных бимодулях. Получены различные характеризации биплоских и аменабельных алгебр в когомологических терминах.

Хотя все аменабельные и все бипроективные банаховы алгебры — биплоские, долгое время оставался открытым вопрос20, существует ли хотя бы один пример биплоской банаховой алгебры, которая не была бы получена из указанных классов с помощью каких-либо стандартных конструкций (подлинно биплоской алгебры).

В настоящей работе мы даем такой пример. Этб — алгебра K.{í-z®i2) всех компактных операторов в банаховом пространстве Она яв-

ляется неаменабельной и небипроективной биплоской полупростой банаховой алгеброй (с левой о. а.е.).

В диссертации рассмотрена новая гомологическая характеристика банаховых алгебр — слабая биразмерность w.db А. Роль этой характеристики — в том, что это натуральное число (или оо) "измеряет", насколько данная банахова алгебра "гомологически хуже" аменабельных; оно равно нулю в точности тогда, когда А аменабельна. В работе изучены различные свойства этой характеристики и, в частности, получена классификация биплоских банаховых алгебр в терминах слабой бираз-мерности.

3lHaagerup U. All nuclear C*-algebras are amenable. Invent. Math. 74 (1983), 305-319.

Напомним, что Джонсоном10, а затем, много лет спустя, Эффросом и Кишимото32 был сформулирован вопрос: существуют ли неамена-белъные банаховы алгебры А с X) = 0 для всех дуальных X (ины-

ми словами, банаховы алгебры с w.db А — 1)?

В настоящей работе показано, что, ответ на этот вопрос положителен даже для полупростых банаховых алгебр: приведенный выше пример К{£2® ¿2) одновременно служит примером банаховой алгебры с w.db А — 1. Кроме того, для произвольных унитальных банаховых алгебр доказана формула аддитивности для слабой биразмерности: w.db А 0 В = w.db А + w.db В. В качестве следствия установлено, что у слабой биразмерности нет "запрещенных" значений в классе полупростых банаховых алгебр.

Цель работы. Целью настоящей работы является изучение закономерностей, которым подчиняются гомологические характеристики банаховых й близких к ним алгебр, и вычисление этих характеристик для ряда конкретных "алгебр анализа". Это позволяет ответить jja некоторые традиционные вопросы теории банаховых и топологических алгебр, допускающие интерпретацию в гомологических терминах, а также установить новые связи гомологической теории банаховых и топологических алгебр с функциональным анализом и топологией.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Среди них отметим следующие.

1. Изучены некоторые свойства проективных модулей Фреше над ¡алгебрами Фреше и доказано, что полупервичная алгебра Фреше со свойством аппроксимации, имеющая нулевую глобальную размерность, может быть представлена как пополнение прямой суммы своего топологического радикала и некоторого семейства полных матричных алгебр. При этом оболочка Аренса—Майкла такой алгебры топологически изоморфна декартову произведению того же самого семейства полных матричных алгебр. Получено полное описание всех стягиваемых метризуемых алгебр Аренса—Майкла, которые полупервичны и обладают свойством аппроксимации.

2. В классе бипроективных банаховых алгебр вычислены группы когомологий этих алгебр для произвольных коэффициентов, а в

32 Effros Е. G., Kishimoto A. Module maps and Hochschild-Johnson cohomology. Indiana Univ. Math. J. 36 (1987), 257-276.

классе биплоских банаховых алгебр — для коэффициентов в дуальных бимодулях. Их описание дано в терминах пространств мультипликаторов бимодуля коэффициентов. Подробно исследован случай т. н. тензорных алгебр, порожденных двойственностью. Выявлены различные характеризации свойств бипроективности и биплоскости банаховых алгебр в когомологических терминах. Получены приложения к описанию дифференцирований бипроектив-ных и биплоских банаховых алгебр.

3. Для широкого класса бипроективных банаховых алгебр вычислены их основные гомологические характеристики — глобальная размерность и биразмерность. Найдены оценки этих характеристик в некоторых классах операторных алгебр. Получены важные приложения к группам когомологий и к теории расширений банаховых алгебр. Установлена тесная связь гомологической размерности банахова модуля с дополняемостью его существенного подмодуля. Получены гомологические характеризации свойства аппроксимации банаховых пространств.

4. Введена новая числовая характеристика банаховых алгебр — слабая биразмерность. Изучены свойства этой характеристики. Доказано, что она может принимать в классе биплоских банаховых алгебр только три значения: 0, 1 или 2. При этом установлено, что слабая биразмерность данной биплоской алгебры полностью определяется наличием в ней односторонних и двусторонних ограниченных аппроксимативных единиц. Слабая биразмерность вычислена для тензорных алгебр, порожденных двойственностью, для некоторых алгебр ядерных операторов в банаховых пространствах, а также для всех бесконечномерных гильбертовых алгебр. Найден пример полупростой банаховой алгебры слабой би-размерности 1, которая одновременно служит примером неамена-бельной и небипроективной биплоской банаховой алгебры, обладающей левой ограниченной аппроксимативной единицей. Таким образом, получены ответы на некоторые вопросы, поставленные в работах10-20'32.

5. Изучены гомологические размерности тензорных произведений банаховых алгебр. Для них в ряде важных случаев доказаны т. н. формулы аддитивности. Причем формула аддитивности вд-.ёЬ А® В — №.с1Ь А + ■«■ЛЬВ для слабой биразмерности доказана для произвольных унитальных банаховых алгебр. Получены

приложения к исследованию проблемы описания значений, принимаемых гомологическими размерностями в различных классах банаховых алгебр. В частности, доказано, что у слабой биразмер-ности нет "запрещенных значений" в классе полупростых банаховых алгебр.

Общая методика работы. В диссертации использовались методы линейного функционального анализа (теория топологических векторных пространств и алгебр) и гомологической алгебры. Кроме того, применялись специфические методы гомологической теории локально выпуклых алгебр (техника допустимых резольвент и "топологических" производных функторов, специальные резольвенты и оценки норм элементов тензорных произведений банаховых пространств). Помимо стандартных для данной теории средств, использовались некоторые специально разработанные автором методы теории мультипликаторов банаховых бимодулей и теории сильно недополняемых подпространств банаховых пространств.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Конструкции, результаты и методы настоящей работы могут найти применение в гомологической и структурной теориях банаховых и топологических алгебр, теории операторов и операторных алгебр, абстрактном гармоническом анализе, теории банаховых пространств и их тензорных произведений, теории мультипликаторов. Среди конкретных направлений с сегодняшней точки зрения можно указать следующие.

1. Исследование вопросов гомологической классификации топологических Алгебр и изучение закономерностей, которым подчиняются

' ' гомологические характеристики этих алгебр (ср. 33>34).

2. Вычисление когомологий, описание дифференцирований и сингулярных расширений, изучение других гомологических свойств би-проективных топологических алгебр (ср. 35).

33 Fragoulopoulou M. Structure of contractible locally C*-algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), no. 10, 2889-2896.

34 Pirkovskii A. Yu. Injective topological modules, additivity formulas for homological dimensions, and related topics. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 93-143.

35 Pirkovskii A. Yu. Biprojective topological algebras of homological bidimension 1. J. Math. Sciences 111 (2002), no. 2, 3476-3495.

3. Дальнейшее исследование геометрических свойств банаховых пространств и модулей с применением к вычислению гомологических размерностей банаховых алгебр.

4. Исследование структурных и гомологических свойств операторных и квантованных банаховых алгебр36.

5. Изучение строения аменабельных банаховых алгебр (ср. 37).

6. Изучение пространств мультипликаторов бимодулей над конкретными банаховыми алгебрами.

Часть из представленных результатов была получена в ходе работы, выполнявшейся при поддержке ряда научных фондов: РФФИ (гранты 93-01-00156, 96-01-01036), МНФ Сороса (грант 95000), ИНТАС (грант 93-1376), "'Университеты России" (грант 5113) и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ под руководством профессора А. Я. Хелемского (ежегодно), профессоров А. В. Михалева, В. Н. Латышева, В. А. Артамонова (неоднократно), академика РАН Д. В. Аносова и профессоров А. М. Степина, Р. И. Григорчу-ка (2002), профессоров А. Г. Костюченко и А. А. Шкаликова (2003), профессора О. Г. Смолянова, д.ф.-м.н. Е. Т. Шавгулидзе и к.ф.-м.н. С. А. Шкарина (2003), а также на различных зарубежных семинарах — в Виннипеге (Канада, 1995); в Афинах (Греция, 1996); в Кембридже, Ланкастере, Ньюкасле, Оксфорде, Шеффилде (Великобритания, 1996-1997): в Зальцбурге (Австрия, 1998).

Результаты диссертации докладывались также на Международных конференциях, посвященных 100-летию С. Банаха (Варшава, Польша, 1992) и 100-летию Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994), на Международной конференции памяти М.И. Каргополова (Красноярск, 1993), на Международных конференциях по банаховым алгебрам (Кембридж, Великобритания, 1991; Ньюкасл, Великобритания, 1995; Блаубойрен, Германия, 1997; Клермонт, Калифорния, США, 1999; Оденсе, Дания, 2001). на Международных конференциях по топологическим алгебрам (Варшава, Польша, 1995) и по операторным алгебрам (о. Самос, Греция, 1996) и др.

36 Aristov О. Yu. Biprojective algebras and operator spaces. J. Math. Sciences 111 (2002), no. 2, 3339-3386.

37 Loy R. J., Read C. J., Runde V. and Willis G. A. Amenable and weakly amenable Banach algebras with compact multiplication. J. Fund. Anal. 171 (2000), 78-114.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых в общей сложности на 24 параграфа, а « также из списка литературы. Общий объем диссертации 291 страница. Библиография содержит 142 наименования.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор истории развития топологической гомологии и обсуждаются основные результаты диссертации.

В первой главе рассмотрен ряд вопросов гомологической теории алгебр Фреше. Основное внимание уделяется вопросу о том, какие структурные свойства унитальных алгебр Фреше вытекают из их гомологических свойств. В качестве типичного берется такое гомологическое свойство, как проективность над этими алгебрами некоторых отдельных модулей или бимодулей, либо целых классов модулей или бимодулей. Главные результаты этой главы касаются строения алгебр Фреше глобальной размерности нуль и стягиваемых алгебр Фреше, а также строения их замкнутых биидеалов и оболочек Аренса—Майкла.

§ 1.1, носящий вспомогательный характер, содержит некоторые определения и обозначения из теории модулей Фреше над алгебрами Фреше, а также необходимые для дальнейшего сведения из топологической гомологии. Напомним ряд определений.

Пусть А — унитальная алгебра Фреше. Категория унитальных левых Л-модулей (Л-бимодулей) Фреше с непрерывными морфизмами обозначается Л-аптос{(^г) (Л-иптосЬ-Л^г)). Стандартным когомологическим комплексом для А и X £ Л-ипто<1-Л(^гг) называется последовательность 0 —э- С°(Л, X) -А С1 {А, X) -А ..., где С°(Л, X) = X, а для каждого п > 0 через С" (Л, X) обозначено линейное пространство, образованное п-линейными непрерывными операторами из А х ■ ■ • х А в X. Оператор 5п : Сп(А, X) Сп+1{А, X) при п > 0 задается формулой <5п/(а1,...,йп+1) =а1 •/(а2,...,ап+1)+

п

+ • ■ ■: акак+ъ ..., ап+1) + (-1)п+1/(аъ ..., ап) ■ ап+1 для

/ £ С" (Л. X), а при п — 0 полагаем 5°х(а) = а- х- х-а, хбХ.

Легко проверяется, что <5n"rl о <5™ — 0 для любого п > 0. Элементы пространств Zn(A,X) := Кег <5П и Вп(А,Х) := Im<5n_1 называются соответственно n-мерными коциклами и n-мерными кограницами. n-мерная когомология стандартного когомологического комплекса, т. е. пространство Zn(A,X)/Bn(A,X), обозначается Hn(A,X) и называется n-мерной группой когомологий алгебры А с коэффициентами в X. Алгебра Фреше называется стягиваемой, если Щ}{А,Х) = 0 для всех X € A-unmod-AtJFr).

Напомним, что линейный оператор D : А —> X, где А — алгебра, а X - А-бимодуль, называется дифференцированием А со значениями в X, если он удовлетворяет тождеству D(ab) = а ■ D(b) + +D(a) ■ b. Дифференцирование называется внутренним, если существует х 6 X такой, что для любого а £ А справедливо равенство D(a) — а ■ х - х ■ а. Хорошо известно, что если А — алгебра Фреше, а X — А-бимодуль Фреше, то Н1 (А, X) = 0 тогда и только тогда, когда все непрерывные дифференцирования А со значениями в X являются внутренними.

Пусть X,Y £ A-unmod(JFr). Морфизм ip : X Y называется допустимым, если его ядро и образ замкнуты и имеют топологическое дополнение соответственно в X и Y. Цепной комплекс

•■■■<— Х„_1 <п~1 Хп Хп+\ ..., составленный из А-модулей Фреше и их морфизмов, называется допустимым, если он точен и все морфизмы в нем являются допустимыми ыорфизмами. Модуль Р £ А-unmod(jFr) называется проективным, если для любого допустимого эпиморфизма а : X —у Y, где X, Y 6 A-unmod(.7rr), и любого морфиз-ма <f:P—?Y существует морфизм i,b : Р ^ X такой, что а о tp = кр.

Для X € A-unmod(JFr) комплекс 0 <— X Pq ...

называется проективной резольвентой А-модуля X, если он допустим и все А-модули Рп, п > 0, проективны. Длиной такой резольвенты называется наименьшее п такое, что Pk = 0 при к > п, или оо. если такого п нет. Гомологическая размерность А-модуля Фреше X определяется как минимум длин его проективных резольвент и обозначается .4dh X. В частности, .4dh X — 0 означает в точности, что X проективен — за исключением случая X — 0, когда мы полагаем ^dh X = —оо.

Глобальной размерностью унитальной алгебры Фреше А называется величина dg А = supj^dhX : X € A-unmod(JFr)}. Наконец, бираз-мерностью той же алгебры называется гомологическая размерность А как А-бимодуля Фреше. Ее можно определить также в терминах групп

когомологий следующим образом:

db А = min {п : Пп+1(А, X) = 0 для всех X е A-unmod-A(Fr)} .

В частности, db А — 0 тогда и только тогда, когда А стягиваема.

Напомним, что для любой А выполнено неравенство dg А < db А, так что стягиваемая алгебра имеет всегда dg А = 0.

В следующем параграфе изучаются проективные левые Л-модули Фреше. При этом наибольшее внимание уделяется А-модулям простейших типов: циклическим и неприводимым. В частности, здесь исследован вопрос о том, какие структурные свойства унитальной алгебры Фреше А вытекают из условия проективности A-модуля А/1, где I — замкнутый максимальный левый идеал в А. Показано (теорема 1.2.6), что в случае, когда А — полупервичная унитальная алгебра Фреше, причем по крайней мере одно из пространств А и А/1 обладает свойством аппроксимации, А представима в виде I @ J, где J — некоторый замкнутый левый идеал в А. (Напомним, что пространство Фреше Е обладает свойством аппроксимации, если его тождественный оператор может быть равномерно аппроксимирован на каждом компактном подмножестве К в Е конечномерными операторами.)

В §1.3 мы исследуем строение унитальных алгебр Фреше глобальной размерности нуль (и, в частности, стягиваемых алгебр Фреше) и доказываем (теорема 1.3.4), что те из них, которые полупервичны и обладают свойством аппроксимации, могут быть представлены как пополнение прямой суммы своего топологического радикала и некоторого семейства полных матричных алгебр. Кроме того, мы изучаем замкнутые биидеалы таких алгебр, а также приводим несколько примеров стягиваемых алгебр Фреше.

В § 1.4 мы продолжаем исследование структурных свойств алгебр Фреше глобальной размерности нуль и показываем, что оболочка Арен-са—Майкла тех из них, которые полупервичны и обладают свойством аппроксимации, топологически изоморфна декартовому произведению некоторого семейства полных матричных алгебр. Отсюда выводится результат, дающий описание широкого класса метризуемых алгебр Аренса—Майкла с db А = 0 или dg'/l = 0:

Теорема 1.4.8. Пусть А — метризуемая унитальная алгебра Аренса—Майкла и предположим, что А полупервична и обладает свойством аппроксимации. Следующие условия эквивалентны:

(¡) А стягиваема;

(И) =

(ш) А топологически изоморфна декартову произведению конечного или счетного семейства полных матричных алгебр.

Вторая глава посвящена вычислению групп когомологий банаховых алгебр. В классе бипроективных алгебр это удается сделать для произвольных коэффициентов, а в классе биплоских алгебр — для коэффициентов в дуальных бимодулях. Мы получаем различные харак-теризации свойств бипроективности и биплоскости банаховых алгебр в терминах их групп когомологий с коэффициентами в бимодулях мультипликаторов. Кроме того, мы вводим здесь новую числовую характеристику банаховых алгебр — так называемую слабую биразмерность — и получаем классификацию биплоских банаховых алгебр в терминах слабой биразмерности.

Первые два параграфа содержат некоторые дополнительные сведения из топологической гомологии. С этого момента все подлежащие пространства рассматриваемых алгебр и модулей предполагаются банаховыми. Кроме того, в этой и следующей главе мы рассматриваем общий (а не унитальный) случай.

Если А — фиксированная банахова алгебра, то через А+ обозначается ее унитализация. В § 2Л определены банаховы модули и бимодули, введены категории произвольных (не обязательно унитальных) банаховых Л-(би)модулей, определены числовые характеристики банаховых алгебр и банаховых (би)модулей. В частности, глобальной размерностью банаховой алгебры А называется величина с^ А = зир-^сШX}, где верхняя грань взята по всем левым банаховых Л-модулям X, а би-размерностыо той же алгебры называется гомологическая размерность А+ как банахова Л-бимодуля. Основным объектом исследования в § 2.1 является класс бипроективных банаховых алгебр (т. е. таких А, для которых банахов Л-бимодуль А проективен). Здесь мы приводим ряд примеров таких алгебр, а также описываем некоторые их свойства и строение. Наиболее важные примеры — групповые алгебры Ь1 (С) и С* (С) компактных групп, все аннуляторные С*-алгебры с конечномерными минимальными биидеалами, тензорные алгебры, порожденные дуальными парами банаховых пространств, и многие алгебры ядерных операторов в банаховых пространствах.

В §2.2 мы рассматриваем тензорные произведения банаховых би-модулей и т. н. плоские банаховы (би)модули. (Впервые плоские бана-

ховы модули изучались А. Я. Хелемским38 в 1971 году.) Кроме того, здесь мы исследуем еще один класс банаховых алгебр с хорошими гомологическими свойствами — биплоские банаховы алгебры (т.е. такие Л, для которых банахов Л-бимодуль А — плоский). Как отмечалось выше, класс биплоских банаховых алгебр содержит все бипроективные и все аменабельные банаховы алгебры. Напомним, что важность класса аменабельных алгебр обнаружил Б. Джонсон10, получивший критерий аменабельности алгебры Ll (G) в терминах инвариантного среднего на группе G, а также установивший аменабельность некоторых классов С*-алгебр. Позднее аменабельные С*-алгебры получили полное описание39,31: оказалось, что они суть в точности ядерные С*-алгебры.

В следующем параграфе для каждого банахова Л-бимодуля X мы определяем пространства левых, правых, квази- и двойных мультипликаторов этого бимодуля. Они обозначаются соответственно через £М(Х), 71М(Х), QM{X) и М{Х). Все эти пространства мультипликаторов легко превращаются в банаховы Л-бимодули. Эти бимодули являются дуальными, если исходный бимодуль — дуальный. В дальнейшем бимодули мультипликаторов активно используются при вычислении групп когомологий банаховых алгебр.

Важное место во второй главе занимает §2.4. Здесь мы вычисляем группы когомологий бипроективных и биплоских банаховых алгебр. Как уже отмечалось, в классе бипроективных алгебр эти группы удалось вычислить для произвольных коэффициентов (теорема 2.4.1), а в классе биплоских алгебр — для коэффициентов в дуальных бимодулях (теорема 2.4.11). В частности, показано, что если Л — бипроективная (соотв., биплоская) банахова алгебра, а X — любой (соотв., любой дуальный) банахов Л-бимодуль, то (преднормированное) пространство Hl{A¡X) топологически изоморфно факторпространству пространства М(Х), а пространство Ti2(А, X) — факторпространству пространства QM(X).

Особое внимание уделено модельному примеру бипроективной банаховой алгебры — тензорной алгебре E®F, порожденной дуальной парой (Е. F, {-, •)) банаховых пространств. В частности, доказано (теорема 2.4.17), что если Л = E®F. то Н2{А, Л**) = = (ExF)"/1тк, где (ExF)* — пространство непрерывных билинейных

38 Хелемский А. Я. Периодическое произведение модулей над банаховыми алгебрами. Фупкц анал. и прил. 5 (1971), 95-96.

39 Coimes A. On the cohomology of operator algebras. J. Fund. Anal. 28 (1978), 248-253.

форм, отображающих ЕхР в С, а к — оператор из (ЕхЕ*)*®(Р* хГ)* в (Е х F)*, определяемый равенством

[к(Вг,В2)}(х,у) - В1(х.1(у)) + В2(г(х).у)

для Вг е{Ех Е*)*, В2 £{Р* х Г)", х £ Е, у е Г. (Здесь г: ЕР* и ] Р -ъ Е* — естественные вложения, определяемые формой (•, •).)

В специальном случае Р = Е* получен следующий результат.

Теорема 2.4.21. Пусть Е — банахово пространство, и пусть А — банахова алгебра Е Э Е*. Тогда".

(О Ч1{А,А**) 2В(Я**)/(1(Я**) + С1в..);

(и) Нп(А,А**) = 0 для каждого п > 2.

(Здесь В(Е**) и Х(Е**) обозначают пространства всех непрёрывных линейных и всех интегральных операторов в Е**, соответственно.)

В этом же параграфе приведены некоторые условия, обеспечивающие тривиальность определенных групп когомологий банаховых алгебр. В частности, доказана теорема 2.4.16, утверждающая, что если А — коммутативная биплоская банахова алгебра, а X — симметричный банахов А-бимодуль, то Н1(А,Х) = Н2(А, X) — 0. Эта теорема обобщает хорошо известный результат Джонсона10 о группах когомологий коммутативных аменабельных банаховых алгебр.

В следующем параграфе на основе полученных в §2.4 результатов доказывается

Теорема 2.5.1. Пусть А — бипроективная {соотв., биплоская) банахова алгебра, а X — любой (соотв., любой дуальный) банахов А-би-модулъ. Тогда:

(О Чп(А,СМ(Х)) = Пп{А,ПМ{Х)) = Нп(А, йМ{Х)) = 0 для всех п> 1;

(и) Чп{А,М{Х)) = 0 для п = 1 и всех п > 3;

(111) с точностью до топологического изоморфизма, 'Н2(А,М(Х)) = = П2{А;Х).

Здесь же приводятся различные характеризации бипроективных и би-плоских банаховых алгебр в терминах их групп когомологий с коэффициентами в пространствах мультипликаторов. Например, доказана

Теорема 2.5.9. Пусть А — банахова алгебра. Тогда:

(1) А бипроективна тогда и только тогда, когда Н1(А,М(Х)) = 0 для всех банаховых А-бимодулей X;

(¡1) А — биплоская тогда и только тогда, когда Н1(А,М(Х*)) — 0 для всех банаховых А-бимодулей X.

В §2.6 мы вводим новую числовую характеристику банаховых алгебр — так называемую слабую биразмерность. Эта величина (обозначаемая ш.ёЬЛ) определяется как наименьшее целое п такое, что Ит{А,Х*) — 0 для всех банаховых .А-бимодулей X я т> п, или сю, если такого п нет. В частности, т/.сШ А = 0 тогда и только тогда, когда А аменабельна. Показано (теорема 2.6.2), что слабая биразмерность банаховой алгебры А также может быть определена как минимум длин плоских резольвент банахова Л-бимодуля А+.

Мы вычисляем эту размерность для всех биплоских банаховых алгебр, для тензорных алгебр, порожденных двойственностью, для некоторых алгебр ядерных операторов в банаховых пространствах, а также для всех бесконечномерных гильбертовых алгебр. Основным утверждением здесь является

Теорема 2.6.11. Пусть А — биплоская банахова алгебра. Тогда

\v.db А — <

0, если А обладает о. а. е.;

1, если А обладает левой или правой, но не обладает двусторонней о. а. е.;

2, если А не обладает ни левой, ни правой о. а. е.

Более того, в последнем случае И2{А,Х) ф 0 для X = (А* ® Л*)*.

В частности, слабая биразмерность может принимать в классе биплоских банаховых алгебр ровно три значения: 0, 1 или 2, а в классе коммутативных биплоских алгебр — только два значения: 0 или 2. Например, если Л = Б© Р. где (Е, Р, (■,■}) — дуальная пара бесконечномерных банаховых пространств, то -№.с1ЬА = 2 (теорема 2.6.25). Как следствие, ъ-АЪМ(Е) = 2, где М(Е) — алгебра всех ядерных операторов в бесконечномерном банаховом пространстве со свойством аппроксимации. Кроме того, доказано (теорема 2.6.3), что если А — бесконечномерная гильбертова алгебра, то для каждого п — 1,2,... 'Н2п(А, А+/А) ф 0, а отсюда \\\<1Ь Л = ос.

Следующее утверждение показывает, что свойство аппроксимации банаховых пространств может быть охарактеризовано в гомологических терминах.

Следствие 2.6.18. Следующие свойства банахова пространства Е эквивалентны :

t (i) алгебра Af(E) бипроективна;

(ii) алгебра N{E) — биплоская; (iïi) Е обладает свойством аппроксимации.

Кроме того, полученные результаты позволяют установить, что Ип{А,М{Х*)) — 0 для всех банаховых Л-бимодулей X и всех п > 1 тогда и только тогда, когда алгебра А — биплоская и обладает' левой или правой о. а. е. (следствие 2.6.13).

Третья глава диссертации посвящена вычислению и оценке основных гомологических характеристик банаховых алгебр — глобальной размерности и биразмерности. При этом особое внимание уделяется классу бипроективных банаховых алгебр.

Первые два параграфа содержат наиболее важные подготовительные результаты. Здесь мы изучаем задачи коретракции для "диагональных отображений" тензорных произведений банаховых пространств и банаховых модулей и, в частности, развиваем теорию т. н. сильно недо-полняемых подпространств банаховых пространств.

Согласно хорошо известной теореме Р. Филлипса40, подпространство со всех стремящихся к нулю последовательностей не является дополня--1 емьш в пространстве Î^ всех ограниченных последовательностей. (На

гомологическом языке: вложение i : cq —> irxi не является коретракцией, т. е. не имеет левого обратного.) » Пусть Е — банахово

пространство, Eq — его замкнутое подпространство. Мы определяем9, ■ что утверждение "Eq сильно недополняе-мо в ЕР" означает следующее: для любой банаховой алгебры А, любых левых банаховых Л-модулей Хо и X и любого (непрерывного) морфизма этих мод)'лей т : Xq —> X, если отображение Д(х®у) = - {т{х) х®у) из 'Хо® Е0 в (X<g>Е0) ф (Хо® Е) есть коретракция, то и г — коретракция (где в обоих случаях левый обратный должен

40 Phillips R. S. On linear transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940), 516-541.

быть морфизмом А-модулей). Отметим, что всякое сильно недополня-емое подпространство недополняемо. Неизвестно, однако, справедливо ли обратное утверждение.

В диссертации показано (теорема 3.1.3), что подпространство со сильно недополняемо в ¿ж. Этот результат расширен на случай некоторых пространств непрерывных вектор-функций (теорема 3.2.23). Получены аналогичные результаты, касающиеся вложения компактных операторов на банаховом пространстве в алгебру всех непрерывных линейных операторов, и ряд других результатов.

В § 3.3 исследуется вопрос о том, как связаны гомологические размерности произвольного левого банахова А-модуля X и его существенного подмодуля Хе& = А ■ X. Показано, что при некоторых условиях этот вопрос тесно связан с вопросом о наличии или отсутствии у существенного подмодуля банахова дополнения. При этом получены важные оценки глобальной размерности в некоторых классах банаховых алгебр, а также приложения к группам их когомологий.

В частности, здесь доказана

Теорема 3.3.14. Пусть О. — локально компактное пространство. которое не является псевдокомпактным, А — ненулевая банахова алгебра и предположим, что с0(П,А)(111Со(П, А) = п < оо. Тогда с0(П,л)<111С>,(П, А+) = п + 2. Если, кроме того, А идемпотентна, то с0(п,А)4ЬСь(П,А) = П + 2.

Отсюда и из одного результата А. Я. Хелемского13 вытекает

Следствие 3.3.16. Пусть О — локально компактное пространство. Тогда, если О, не псевдокомпакгпно и не паракомпактно, то с^С'0(Г2) > 3.

В то же время в диссертации приведен пример псевдокомпактного пространства П, для которого Со (О) > 3. .

Таким образом, для многих пространств О мы получаем оценку 6%Со(£1) > 3. Для таких пространств, в частности, %3{Со(0),Х) Ф О для некоторого банахова Со(0)-бимодуля X.

Следующая теорема является естественным обобщением одного результата А. Н. Кричевца41, рассматривавшего специальный случай, в котором коммутативная банахова алгебра А бипроективна.

41 Кричевец А. Н. О связи гомологических свойств некоторых банаховых модулей с вопросами геометрии банаховых пространств. Вестпн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1981), N0 2, 55-58.

Теорема 3.3. Пусть А — проективная слева коммутативная банахова алгебра, с некомпактным спектром, обладающая о. а. е. Пусть, далее,-Х — ненулевой левый банахов А-модуль такой, что су. щественный подмодуль Xcs проективен. Тогда

,, v I 0 или 1, если Xes имеет в X банахово дополнение;

ДОПЛ = <

^2, если Хеь не имеет в X банахова дополнения.

Получены аналогичные результаты, касающиеся различных классов банаховых алгебр. В частности, показано, что если А — неунитальная сепарабельная С*-алгебра, то .4<ih X = 2 для любого левого банахова А-модуля X такого, что подмодуль Хеь проективен и не имеет в X банахова дополнения.

В § 3.4 мы продолжаем изучать гомологические характеристики банаховых модулей и банаховых алгебр. Один из основных результатов этого параграфа (теорема 3.4.16), в частности, утверждает, что если А — проективная слева коммутативная банахова алгебра с некомпактным спектром, то yidh ЛГ = 2 для любого левого банахова А-модуля X

такого, что приведенный модуль Хц = A<t>X проективен и оператор

А

кх '■ Хп X : а®х ^г а ■ х пе является коретракцией.

1 л

Здесь же (следствие 3.4.3) доказано, что ¿dh А — оо, если А — такая банахова алгебра, что ¿dh Ац < ¿dh А и оператор к л Ац —»• А не является топологически инъективным. Показано, что этим условиям удовлетворяют алгебра £2 с покоординатным умножением и алгебра 'HS(H) операторов Гильберта—Шмидта в гильбертовом пространстве Я. Установлено также, что если Е — банахово пространство и А = ЛГ(Е). то J dg А = АЪА — AdhA + 2, где

|0, если Е имеет свойство аппроксимации;

Adh А = < v -

• I оо, если Е не ооладает этим свойством.

§3.5 целиком посвящен бипроективным банаховым алгебрам. Его основная цель — вычислить основные гомологические характеристики этих алгебр. По ходу изложения мы устанавливаем и некоторые другие (структурные и гомологические) свойства таких алгебр.

Основной теоремой § 3.5 является

Теорема 3.5.22. Пусть А — бипроективная банахова алгебра, Rad А — ее радикал. Предположим, что пространство А/ Rad А бесконечномерно и обладает свойством аппроксимации. Тогда:

(О ^А = &ЪА = 2 иП2{А,А®А)ф 0;

(И) если X — левый банахов А-модуль, то дсШ X = 2 оператор

к* А®X X, а®х а • х, не является коретракцией;

А А

(ш) если А обладает левой о. а. е., а X — левый банахов А-модуль, то а ¿ЬХ = 2 существенный подмодуль Хе5 не имеет, как подпространство, банахова дополнения в X.

Теорема 3.5.22 не допускает распространения на более общие топологические алгебры. Как показала О. С. Огнева42, существуют примеры полупростых бипроективных алгебр Фреше, глобальная размерность и биразмерность которых равны 1.

Приведем еще один результат из § 3.5.

Теорема 3.5.11. Пусть А — полупростая бипроективная банахова алгебра со свойством аппроксимации. Тогда

„ , |0, если А обладает о. а. е.;

А = <

I 2, если А не обладает о. а. е.

Четвертая глава посвящена вычислению основных гомологических характеристик тензорных произведений унитальных банаховых алгебр. При определенных условиях мы доказываем формулы аддитивности для этих характеристик. Обычно мы предполагаем, что одна из алгебр тензорного произведения произвольна, а вторая принадлежит к некоторому широкому классу банаховых алгебр.

§§4.1-4.3 носят вспомогательный характер. В первом из них напоминаются некоторые определения и обозначения. В частности, малая глобальная размерность ск А унитальной банаховой алгебры А определяется как верхняя грань величин дсИл X, взятая по всем неприводимым унитальным левым банаховых А-модулям X. Унитальная коммутативная банахова алгебра А называется слабо наследственной, если каждый максимальный идеал в А является проективным банаховым А-модулем или, эквивалентно, если с1бА < 1.

В § 4.2 мы получаем некоторые оценки сверху для гомологических размерностей тензорных произведений банаховых модулей и банаховых

42 Огнева О. С. Гомологические размерности некоторых алгебр основных и обобщенных функций на многообразиях. Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. М., МГУ, 1986, 66 с.

алгебр. Доказано, что если А и В — унитальные банаховы алгебры, то db А ® В < db А + db В и dg А ® .В < db А + dg .В. Кроме того, если хотя бы одна из алгебр А и В коммутативна, то иБ А <3 В < <1зА + фВ. (Для доказательства последнего неравенства дано описание всех неприводимых унитальных левых банаховых модулей над алгеброй А ® В, когда одна из алгебр А или В коммутативна.) Также получены некоторые оценки снизу для гомологических размерностей тензорных произведений.

В § 4.3 мы опять изучаем некоторые задачи коретракции для "диагональных отображений" тензорных произведений банаховых модулей. Полученные здесь результаты используются в дальнейшем для вычисления гомологических размерностей тензорных произведений.

В § 4.4 мы получаем первые "формулы аддитивности". Основные результаты этого параграфа подытожены в следующем следствии.

Следствие 4.4.13. Пусть А — унитальная банахова алгебра, а В — унитальная коммутативная банахова алгебра с бесконечным спектром. Тогда:

(¡) если В является унитализацией бипроективной банаховой алгебры, то

dgA<g>B = dgA + dgB (=^А + 2), db А ® В — db А + db В (=аЪА + 2) и алгебра В слабо наследственна;

(11) если В слабо наследственна, то

ds А®В = dsA + dsB (=азА + 1).

Таким образом, формулы аддитивности для размерностей dg и db справедливы при условии, что одна алгебра произвольна, а вторая есть унитализация бипроективной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром. Для размерности ds формула аддитивности имеет место даже в более общей ситуации: когда вторая алгебра — слабо наследственная коммутативная банахова алгебра с бесконечным спектром.

В частности, все эти формулы справедливы, если В — с, где с — алгебра всех сходящихся последовательностей. Непосредственным приложением является тот факт, что множество значений, принимаемых размерностью dg (или db) функциональных банаховых алгебр вместе с

каждым п содержит ип + 2. Это дает нам новую важную информацию для исследования проблемы описания этих множеств:

Следствие 4.4.14. Каждое из множеств, упомянутых выше, обязательно должно иметь один из следующих видов:

(¡) нечетные числа {2п + 3, 2п + 5, ...} для некоторого п > 0, все четные числа {0, 2, ...} и оо;

(11) все четные числа {0, 2, ...} и оо.

Выделим еще один результат из § 4.4.

Следствие 4.4.8. Пусть А — униталъная банахова алгебра, Г2 — метризуемый компакт, а Вп = С(£1) ®... ® С(П) (п Е ]Ч) — п-кратная

4 V

п

алгебра Варопулоса. Тогда

, . - „ , , , п I «Зэ А, если €1 конечен;

а ® вп = с1э а + вп = <

I ёэ А + п, если Г2 бесконечен.

Цель § 4.5 — получить некомму1ативные аналоги главных результатов предыдущего параграфа. Одной из основных здесь является

Теорема 4.5.25. Пусть А — унитализация полупростой би-проективной банаховой алгебры, обладающей свойством аппроксимации, а В — произвольная униталъная банахова алгебра. Тогда ¿¿А®В = + и йЬА®В = 6ЪА + АЪВ.

В частности, формулы аддитивности для размерностей и с1Ь справедливы для групповых алгебр ¿Х(С)+ и С*(С)+ любой компактной группы б.

Кроме того, как показано в примере 4.5.18, если А = Ьг{С)+, где С — бесконечная метризуемая компактная группа, а X = Ь°°{С) — левый банахов .4-модуль существенно ограниченных измеримых по мере Хаара функций на (?, то, для произвольной унитальной банаховой алгебры В и произвольного униталытого левого банахова В-модуля У.

= £1(с)+®В^Ь£°°(<?)<8>У = 2 + всШК

Следствие 4.5.26. Пусть А1,...,Ап — бесконечномерные полупростые бипроективные банаховы алгебры, обладающие свойством аппроксимации. Тогда

аЕ(А1)+®...®(Л„)+= 2п и аЬ(Л1)+®...®(Лп)+ = 2п.

Среди других результатов мы доказываем (примеры 4.5.4 и 4.5.5. следствие 4.5.14 и теоремы 4.5.15, 4.5.20), что имеет место следующая

Теорема. Пусть А — С*-алгебра, которая удовлетворяет хотя бы одному 'из следующих условий:

(i) А бипроективна;

(ii) А неунитальна и сепарабельна;

(iii) А — С* -подалгебра алгебры К.(Н), где Н — гильбертово пространство.

Тогда, для произвольной унитальной банаховой алгебры В и произвольного унитального левого банахова B-модуля Y,

А+ ё ßdh (A+/A)®Y = A+dh (А+/А) + sdh У

и

® sdh М(А) ® У = A+ dh М(А) + ßdh У. Основной теоремой § 4.6 является

Теорема 4.6.8. Пусть А и В — унитальные банаховы алгебры. Тогда w.db А ® В — w.db А + w.db В.

Таким образом, формула аддитивности для слабой биразмерности w.db справедлива для любых унитальных банаховых алгебр.

Следствие 4.6.10. Пусть А\,...,Ап — биплоские банаховы алгебры, каждая из которых не обладает ни левой, ни правой о. а. е. Тогда w.db (Ах)+ ®... ® (А„)+ - 2п.

Пятая глава содержит некоторые приложения результатов предыдущих глав. В ней изучаются дифференцирования и сингулярные расширения бипроективных и других банаховых алгебр. Здесь же исследуется вопрос о значениях, принимаемых слабой биразмерностью полупростых банаховых алгебр.

Пусть А — банахова алгебра, а X — банахов А-бимодуль. Напомним, что линейный оператор D : А —> X называется дифференцированием алгебры А со значениями в X, если он удовлетворяет тождеству D(ab) = а - D(b) + D(a) ■ b.

Одной из основных теорем §5.1 является

Теорема 5.1.4. Банахова алгебра А бипроективна тогда и только тогда, когда каждое непрерывное дифференцирование Ю алгебры А со значениями в любом банаховом А-бимодуле X определяется мультипликатором (т.е. существует (Ь, К) £ М(Х) такой, что В(а) = Я(а) — Ь(а) для всех а б А).

Здесь также доказано (следствие 5.1.7), что если А — полупростая бипроективная банахова алгебра со свойством аппроксимации, обладающая о. а. е., то каждое дифференцирование А со значениями в любом банаховом А-бимодуле автоматически непрерывно и, следовательно, определяется мультипликатором. Кроме того, показано, что свойство биплоскости идемпотентных банаховых алгебр также может быть выражено в терминах их дифференцирований:

Теорема 5.1.9. Пусть А — идемпотентная банахова алгебра. Следующие условия эквивалентны:

(¡) А — биплоская\

(11) каждое непрерывное дифференцирование А со значениями в любом дуальном банаховом А-бимодуле определяется мультипликатором;

(Ш) каждое непрерывное дифференцирование А со значениями в любом банаховом А-бимодуле X определяется мультипликатором А-бимодуля X**.

В §5.2 сначала напоминаются некоторые определения и сведения, касающиеся вопросов расщепимости сингулярных расширений банаховых алгебр. В частности, расширением банаховой алгебры А с помощью банаховой алгебры I называется совокупность (А, ст, г), состоящая из банаховой алгебры и двух непрерывных гомоморфизмов таких, что имеет место точная последовательность

О — А А I <— 0. (£)

Для простоты записи I отождествляется с 1тг, т.е. г считается естественным вложением. Очевидно, задать расширение А с помощью I — это значит, задать банахову алгебру А, в которой I содержится в качестве замкнутого биидеала, а факторалгебра А/1 совпадает с А.

Расширение (£) называется

• расщепимым, если а обладает правым обратным непрерывным гомоморфизмом р : А —»■ А;

• алгебраически расщепимым, если существует, вообще говоря, разрывный гомоморфизм алгебр, правый обратный к а;

• сингулярным, если умножение в / тривиально (12 = 0) и, кроме

• того, сг обладает правым обратным непрерывным линейным оператором Q : А —¥ А.

В любом расширении (£) Г, будучи замкнутым биидеалом в А, наде-

• лен тем самым структурой банахова А-бимодуля. Если /2 = 0, операции внешнего умножения на элемент а е А зависят лишь от класса смежности а + Г, поэтому в 1 возникает структура банахова А-бимодуля (с операциями а-х = Ь- хпх-а — х-Ь, где а ё. А, х £ I, a.b — любой элемент А с сг(6) ~ а). Обозначив I в этом новом качестве бимодуля через X, мы называем исходное сингулярное расширение (£) сингулярным расширением алгебры А с помощью банахова А-бимодуля X.

Одним из основных результатов §5.2 является следующее применение теоремы 3.5.22 к задаче о расщепимости расширений.

Теорема 5.2.12. Пусть А — бипроективная банахова алгебра, Rad А — ее радикал. Предположим, что пространство А/ Rad А бесконечномерно и обладает свойством аппроксимации. Тогда существует сингулярное расширение алгебры А с помощью банахова А-бимодуля А® А, не являющееся расщепимым.

Кроме того, здесь показано (теоремы 5.2.8 и 5.2.9), что если А — бесконечномерная гильбертова алгебра, А = E®F или А — Mf{E), где (Е, F. (•,•)) — дуальная пара бесконечномерных банаховых пространств, то также существует сингулярное расширение алгебры А, не являющееся расщепимым. В то же время существуют бесконечномерные банаховы алгебры, у которых все их сингулярные расширения расщепимы. Если же А — коммутативная биплоская банахова алгебра, то (теорема 5.2.7) все ее коммутативные сингулярные расширения расщепимы.

h Один из результатов § 5.2 (теорема 5.2$) касается вопроса об алгеб-

раической расщепимости сингулярных расширений: если А — бесконечномерная полупростая бипроективная банахова алгебра со свойством аппроксимации, обладающая о. а. е., то существует сингулярное расширение алгебры А, не являющееся алгебраически расщепимым.

В § 5.3 доказывается

Теорема 5.3.2. Алгебра ¡С(¿2 2> всех компактных операторов пространства ® ¿2 является неаменабельной биплоской полупростой банаховой алгеброй, обладающей левой о. а. е. Как следствие,

эта алгебра доставляет пример полупростой банаховой алгебры А с \v.db А — 1, а также пример неаменабелъной полупростой банаховой алгебры А с Нп{А,М{Х*)) = 0 для всех п>1иХе А-тос1-А.

Заметим, что банахова алгебра 1С(¿2 & £2) не является бипроективной и не обладает свойством аппроксимации. Кроме того, как уже отмечалось, наличие представленного примера дает положительный ответ на вопрос А. Я. Хелемского20 о том, существует ли хотя бы один пример "подлинно биплоской" банаховой алгебры.

В заключение главы описывается множество значений, принимаемых слабой биразмерностью полупростых банаховых алгебр:

Теорема 5.3.4. В классе полупростых банаховых алгебр А слабая биразмерностъ ш.ЛЬ А может принимать любые натуральные значения, а также значения 0 и оо.

Автор выражает глубокую благодарность руководителю семинара "Алгебры в анализе" профессору А. Я. Хелемскому за постоянную поддержку и плодотворные обсуждения.

Основные публикации автора по теме диссертации

1. Селиванов Ю. В. О значениях, принимаемых глобальной размерностью в некоторых классах банаховых алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1975), N0 1, 37-42.

2. Селиванов Ю. В. Гомологическая размерность циклических банаховых модулей и гомологическая характеризация метризуемых компактов. Матем. заметки 17 (1975), вып. 2, 301-305.

3. Селиванов Ю. В. Бипроективные банаховы алгебры, их строение, когомологии, и связь с ядерными операторами. Функц. анализ и прил. 10 (1976), вып. 1, 89-90.

4. Селиванов Ю. В. Проективность некоторых банаховых модулей и строение банаховых алгебр. Изв. вузов. Математика (1978), N0 1 (188), 110-116.

5. Селиванов Ю. В. Бипроективные банаховы алгебры. Изв. АН СССР, Сер. матем. 43 (1979), No 5, 1159-1174.

6. Selivanov Yu. V. Homological characterizations of the approximation property for Banach spaces. Glasgow Math. J. 34 (1992), 229-239.

7. Selivanov Yu. V. Computing and estimating the global dimension in certain classes of Banach algebras. Math. Scand. 72 (1993). 85-98.

8. Селиванов Ю. В. Одна задача геометрии банаховых пространств. Успехи матем. наук 48 (1993), вып. 4, 237-238.

9. Селиванов" Ю. В. Сильно недополняемые подпространства банаховых пространств и гомологическая размерность банаховых модулей. Успехи матем. наук 49 (1994), вып. 1, 223-224.

10. Селиванов Ю. В. Проективные модули Фреше со свойством аппроксимации. Успехи матем. наук 50 (1995), вып. 1, 209-210.

11. Селиванов Ю. В. Когомологии биплоских банаховых алгебр с коэффициентами в дуальных бимодулях. Функц. анализ и прил. 29 (1995), вып. 4, 84-87.

12. Selivanov Yu. V. Frechet algebras of global dimension zero. Algebra (Krasnoyarsk, 1993). Berlin, Walter de Gruyter, 1996, 225-236.

13. Selivanov Yu. V. Weak homological bidimension and its values in the class of biflat Banach algebras. Extracta Math. 11 (1996), 348-365.

14. Selivanov Yu. V. Homological dimensions of tensor products of Banach algebras. Banach Algebras'97 (ed. by E. Albrecht and M. Mathieu). Berlin, Walter de Gruyter, 1998, 441-460.

15. Selivanov Yu. V. Cohomological characterizations of biprojective and biflat Banach algebras. Monatsh. Math. 128 (1999), 35-60.

16. Selivanov Yu. V. Coretraction problems and homological properties of Banach algebras. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 145-199.

2<=>о?-/1

* 134 4 1

Подписано в печать 17.06.03. Формат 60 х 84/16. Тираж 100 экз. Объем 2,0 п. л. Печать на ризографе.

Типография ИЦ "М АТИ" - РГТУ им. К. Э. Циолковского. 109240, Москва, Берниковская набережная, 14.

Введение

1. Гомологически тривиальные алгебры Фреше

1.1. Унитальные модули Фреше над алгебрами Фреше, их характеристики.

1.2. Проективные модули Фреше.

1.3. Алгебры Фреше глобальной размерности нуль.

1.4. Оболочка Аренса—Майкла и стягиваемые метризуе-мые алгебры Аренса—Майкла.

2. Когомологии бипроективных и биплоских банаховых алгебр

2.1. Банаховы модули и бимодули, бипроективные банаховы алгебры.

2.2. Бимодульные тензорные произведения и биплоские банаховы алгебры.

2.3. Пространства мультипликаторов.

2.4. Вычисление групп когомологий.

2.5. Когомологические характеризации бипроективности и биплоскости.

2.6. Слабая биразмерность и ее вычисление для биплоских банаховых алгебр.

3. Гомологические размерности банаховых модулей и банаховых алгебр

3.1. Одна задача геометрии банаховых пространств.

3.2. Сильно недополняемые подпространства банаховых пространств.

3.3. Гомологические размерности банаховых модулей и их существенных подмодулей.

3.4. Гомологические характеристики банаховых алгебр

3.5. Свойства бипроективных банаховых алгебр.

4. Гомологические размерности тензорных произведений формулы аддитивности)

4.1. Некоторые замечания и напоминания.

4.2. Оценки сверху и снизу гомологических размерностей тензорных произведений.

4.3. Геометрия тензорных произведений (некоторые задачи коретракции).

4.4. Формулы аддитивности (коммутативный случай)

4.5. Формулы аддитивности (некоммутативный случай)

4.6. Формула аддитивности для слабой биразмерности

5. Некоторые приложения

5.1. Дифференцирования бипроективных и биплоских банаховых алгебр.

5.2. Расщепимость и алгебраическая расщепимость сингулярных расширений.

5.3. Множество значений, принимаемых слабой биразмер-ностью в классе полупростых банаховых алгебр

Предмет настоящей диссертации относится к топологической гомологии — области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые топологические алгебры и их непрерывные представления (банаховы и топологические модули) с использованием методов гомологической алгебры. В диссертации развиты методы, позволяющие изучать закономерности, которым подчиняются гомологические характеристики банаховых и близких к ним топологических алгебр, и вычислять эти характеристики для ряда конкретных "алгебр анализа". Помимо самостоятельного интереса, эти характеристики играют большую роль при изучении дифференцирований, расширений и возмущений таких алгебр и их представлений. Они тесно связаны с банахово-геометрическим строением модулей, а также со многими фундаментальными понятиями топологии и функционального анализа (см. [42]). Гомологические характеристики локально выпуклых алгебр были с успехом использованы Дж. Тэйлором [122] при решении классической задачи построения мультиоператор-ного голоморфного функционального исчисления в банаховом пространстве.

Позднее аппарат локально выпуклой гомологии активно использовался различными авторами в работах, связанных с вопросами многомерной спектральной теории линейных операторов [74, 110, 111], а также с некоторыми задачами комплексной аналитической геометрии [101,113,120]. Отметим, что в спектральной теории операторов топологическая гомология позволила не только обобщить многие классические теоремы на случай нескольких коммутирующих операторов, но и получить новые результаты в "теории одного оператора". Свой ство (/3) Бишопа, понятия разложимого и субразложимого оператора, понятие локального спектра получили естественную гомологическую интерпретацию, что позволило установить новые взаимосвязи между ними. Различные результаты такого рода и литературные ссылки содержатся в недавней монографии Эшмайера и Путинара [75].

Несколько слов об истории вопроса. Важнейшие гомологические характеристики ассоциативных алгебр — группы когомологий — были открыты в 1945 году Г. Хохшильдом [90]. В 1962 году Г. Камовиц [98], используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий Wn(A, X), п = 0, 1, .банаховой алгебры А с коэффициентами в банаховом ^4-бимодуле X и, в частности, установил биекцию между множеством классов эквивалентности сингулярных расширений А с помощью X и элементами И2(А, X). Отметим, что необходимость в изучении расширений банаховых алгебр была замечена еще в 1954 году Н. Данфордом [71] при исследовании спектральных операторов. Позже группы когомологий банаховых алгебр успешно применялись к различным вопросам, связанным с дифференцированиями, расширениями и возмущениями банаховых [81, 93, 112] и операторных [97] алгебр, аменабельными локально компактными группами [94] и т.п.

Что касается самих групп когомологий банаховых алгебр, то вначале в работах различных авторов их вычисления проводились "прямыми методами", основанными на непосредственном изучении стандартного комплекса Хохшильда. Видимо, поэтому подавляющее большинство результатов касалось специальных классов коэффициентов. В то же время в гомологии чисто алгебраических систем этап прямых методов давно был пройден, и общий гомологический аппарат, созданный А. Картаном, С. Эйленбергом, С. Маклейноми други ми авторами, позволил при вычислениях освободиться от стандартных комплексов, а вместо этого пользоваться той или иной специально подобранной резольвентой.

Общий подход к гомологии банаховых алгебр (основанный на гомологической технике резольвент и производных функторов) был предложен в 1970 году А. Я. Хелемским [33]. По существу, этот подход состоял в построении некоторого варианта относительной гомологической алгебры, специально приспособленного для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Центральным в новой теории стало понятие банахова производного функтора, предоставившее удобные способы вычисления групп когомологий. Как и в "обычной" алгебре, указанные методы позволили подойти к теории когомологий банаховых алгебр с более общей точки зрения и получить в этой области новые результаты. По сравнению с аппаратом одних лишь групп когомологий эти методы предоставили значительно более мощные средства для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Они позволили в дальнейшем получить ряд результатов о наличии в спектре функциональной (коммутативной полупростой) банаховой алгебры аналитической структуры [25, 26], дать гомологическую интерпретацию некоторым общетопологическим понятиям, таким, например, как дискретность, паракомпактность [35] и метризуемость [128, 12], получить глубокую информацию о структурных свойствах самосопряженных [44, 86, 88] и несамосопряженных операторных алгебр [3].

Вскоре после появления указанных методов стало понятно, что вопрос об оценке и вычислении гомологической размерности (у истоков этого понятия стоит теорема Д. Гильберта о сизигиях [89]) имеет самостоятельный интерес. Многие важные вопросы и результаты стали формулироваться на языке размерностей банаховых алгебр (глобальной размерности dg А и биразмерности db А), а следовательно, стали касаться не отдельных классов, а сразу всех банаховых модулей, либо бимодулей над данной банаховой алгеброй. Например, до сих пор неизвестно, существуют ли полупростые банаховы алгебры, глобальная размерность которых равна 1. Такой вопрос имеет смысл только для бесконечномерных алгебр, поскольку глобальная размерность любой конечномерной полупростой алгебры равна 0. В 1972 году А. Я. Хелемским [38] было доказано, что для любой бесконечномерной функциональной банаховой алгебры верна оценка dg А > 2; из этой теоремы, в частности, следует существование нетривиальных (нерасщепимых) сингулярных расширений бесконечномерных функциональных банаховых алгебр.

Тем самым в классе функциональных банаховых алгебр число 1 является "запрещенным" значением для глобальной размерности (а значит, и для биразмерности); это явление связано с рядом особенностей банаховых структур, и прежде всего с наличием недополняе-мых замкнутых подпространств в банаховых пространствах. С другой стороны, обе эти размерности могут принимать в том же классе алгебр любые четные значения [127].

Естественно возник вопрос (см., например, [85]): Каково вообще множество значений, принимаемых гомологическими размерностями функциональных банаховых алгебр? В данной диссертации получена новая информация, касающаяся этого вопроса. Однако в полной общности он остается открытым, ввиду того, что до сих пор не известно ни одного примера функциональной банаховой алгебры с dg А = 3 и/или db А = 3.

К настоящему времени, помимо бесконечномерных функциональ ных банаховых алгебр, оценка dgA > 2 доказана для ряда конкретных банаховых алгебр, принадлежащих к классу т. н. бипроективных (в частности, для групповых алгебр Ll{G) и C*(G) любой бесконечной компактной группы) [37], для всех бесконечномерных CCR-C^-алгебр [16], всех бесконечномерных сепарабельных GCR-C^-алгебр [1] и всех весовых сверточных алгебр Ll(co) на полупрямой [77].

Напомним, что класс бипроективных банаховых алгебр был введен в рассмотрение А. Я. Хелемским. Им же показано, что эти алгебры образуют содержательный класс: помимо указанных групповых алгебр компактных групп к ним относятся, например, все аннуля-торные С*-алгебры с конечномерными минимальными биидеалами. Первоначальным стимулом к изучению бипроективных алгебр явилось их следующее свойство [38, 95]: для такой А всегда Нп(А, X) = О при п > 3; иными словами, db А < 2 и, как следствие, dg А < 2.

Строение бипроективных банаховых алгебр, в предположении их полупростоты и наличия свойства аппроксимации (Гротендика), было в 1979 году описано автором [131]: каждая алгебра из этого класса представима в виде топологической прямой суммы т.н. тензорных алгебр, порожденных двойственностью.

Одной из основных тем настоящей диссертации является дальнейшее развитие данной тематики, позволяющее, используя указанную структурную теорему, значительно усилить некоторые результаты А. Я. Хелемского и Б. Джонсона, точно вычислив гомологические размерности бипроективных банаховых алгебр в рамках их достаточно широкого класса. В диссертации получена

Теорема I. Пусть А — бипроективная банахова алгебра, RadA — ее радикал. Предположим, что пространство A/RadA бесконечномерно и обладает свойством аппроксимации. Тогда dg А = db А = 2. Более того, Ч2{А,Х) ф 0 для X = А® А.

В частности, тривиальность двумерных когомологий полностью характеризует конечномерные алгебры в классе полупростых бипро-ективных банаховых алгебр со свойством аппроксимации. Этот факт не имеет аналога в чистой алгебре, где имеются: бесконечномерные полупростые бипроективные (в алгебраическом смысле) алгебры с тривиальными двумерными когомологиями; например, С-алгебра финитных последовательностей.

Прямым следствием теоремы I является существование у каждой бесконечномерной полупростой бипроективной банаховой алгебры, обладающей свойством аппроксимации, сингулярного расширения, не являющегося расщепимым. Тем самым для таких алгебр отрицательно решается известный вопрос (см. [57]) о возможности перенесения на тот или иной класс бесконечномерных банаховых алгебр классической теоремы Веддербёрна [123] о расщеплении конечномерной алгебры на радикальную и полупростую составляющие.

Одним из важнейших этапов доказательства теоремы I явилось исследование некоторых геометрических свойств банаховых пространств (и модулей) и их тензорных произведений, что выразилось в решении определенных задач коретракции для "диагональных отображений" и, в частности, в построении теории т.н. сильно недопол-няемых подпространств банаховых пространств.

Как уже было отмечено, интерпретация групп когомологий банаховых алгебр в терминах производных функторов предоставила новые удобные методы их вычисления. В данной диссертации вычислены группы когомологий некоторых важных классов банаховых алгебр. В частности, в классе бипроективных алгебр эти группы удалось вычислить для произвольных коэффициентов. Их описание получено в терминах двойных мультипликаторов и квазимультипликаторов данного бимодуля коэффициентов. Это потребовало интенсивного изучения пространств мультипликаторов банаховых бимодулей. Кроме того, в диссертации получены различные характеризации би-проективных банаховых алгебр в когомологических терминах.

В диссертации также рассмотрен вопрос о поведении гомологических размерностей унитальных банаховых алгебр и банаховых модулей над ними под действием операции проективного тензорного произведения. Вопросы такого рода изучались ранее многими авторами (см. [127, 4, 10, 26]). Оказалось, что во всех конкретных ситуациях, рассмотренных в этих работах, гомологические характеристики тензорных произведений банаховых алгебр или модулей равны сумме соответствующих характеристик сомножителей. Например, в работе А. Н. Кричевца [10] было доказано, что если ., Ап — банаховы алгебры, каждая из которых есть унитализация бипроектив-ной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, то dgAi<g>.<g>An = dgAi + . + dgA„.

Важно отметить, что подобные "формулы аддитивности" — специфическое свойство банаховых алгебр, не имеющее аналогов в чистой алгебре. (Простейший контрпример доставляет С-алгебра стабилизирующихся последовательностей; у этой алгебры и у ее тензорных степеней глобальная размерность равна единице. В теории же банаховых алгебр контрпримеры такого рода до сих пор неизвестны.)

В данной диссертации формулы аддитивности для гомологических размерностей банаховых алгебр и модулей получены в довольно общей форме в ряде важных случаев (обычно мы предполагаем, что одна из алгебр тензорного произведения произвольна, а вторая принадлежит к определенному широкому классу банаховых алгебр). Это позволило далеко обобщить все известные ранее результаты на эту тему. В частности, доказана

Теорема II. Пусть А — унитализация полупростой бипроек-тивной банаховой алгебры, обладающей свойством аппроксимации, и пусть В — произвольная униталъная банахова алгебра. Тогда dgА®В = dgA + dgB и dbA^B = dbА + db£.

Как следствие, получена новая информация, касающаяся вопроса описания значений, принимаемых гомологическими размерностями функциональных банаховых алгебр (см. ниже следствие 4.4.14).

Возвращаясь к истории топологической гомологии, отметим, что конструкция Хелемского была независимо повторена в более общем контексте локально выпуклых топологических алгебр Дж. Тэйлором [121]. Им же [122] было показано, что группы гомологий некоторых топологических алгебр играют важную роль в задачах многомерной спектральной теории линейных операторов. В тех же работах были получены оценки для биразмерностей ряда ненормируемых локально выпуклых алгебр и, в частности, было замечено, что db А = 0, если А есть топологическое произведение произвольного семейства полных матричных алгебр или А = £'(G), где £'(<?) — алгебра распределений на любой компактной группе Ли G.

Таким образом Дж. Тэйлором было установлено, что выход за рамки банаховых структур позволяет найти содержательные примеры бесконечномерных алгебр с dbA = 0, т.е. таких А, для которых все группы T-Ll(A,X) тривиальны. (Отметим [28, 117], что до сих пор не известно ни одного примера бесконечномерной банаховой алгебры с dg А = О или db А = 0.) Естественно возникла следующая проблема, включенная А. Я. Хелемским в его список задач [85].

Проблема. Пусть алгебра Аренса—Майкла А имеет dg А = О, или даже dbA = 0. Верно ли, что тогда А есть топологическое произведение некоторого семейства полных матричных алгебр?

В диссертации эта проблема решена положительно для метризуе-мых алгебр (при достаточно широких ограничениях алгебраического и топологического характера):

Теорема III. Пусть А — метризуемая алгебра Аренса—Майкла и предположим, что А полупервична и обладает свойством аппроксимации. Тогда следующие условия эквивалентны: i) А стягиваема (т. е. db А = 0); u) dg А = 0; iii) А топологически изоморфна декартову произведению конечного или счетного семейства полных матричных алгебр.

При тех же ограничениях в работе описано строение произвольных (не обязательно мультинормированных) алгебр Фреше с dg А = 0 или • db Л = 0.

Заметим, что свойство бипроективности (более общее, чем стягиваемость) также имеет смысл для ненормируемых локально выпуклых алгебр. Для любых таких алгебр остается справедливым неравенство dbA < 2 (см. [87]). Однако, как показала О. С. Огнева [22], существуют примеры полупростых бипроективных алгебр Фреше, глобальная размерность и биразмерность которых равны 1. В частности, dg£(Tn) = db£(Tn) = 1, где S(Tn) — алгебра Фреше гладких функций на n-мерном торе Тя С Сп (со сверткой в качестве умножения). Таким образом, приведенная выше теорема I не допускает распространения на более общие (ненормируемые) топологические алгебры.

Среди изучаемых в диссертации классов алгебр и бимодулей над ними выделяются еще т.н. биплоские банаховы алгебры и дуальные (сопряженные какому-либо другому) банаховы бимодули. Важно отметить, что всякая бипроективная банахова алгебра — биплоская. В то же время класс биплоских банаховых алгебр существенно шире класса бипроективных алгебр. Например, он содержит все аменабелъ-ные банаховы алгебры (в частности, все X1-алгебры аменабельных локально компактных групп [94] и все ядерные С*-алгебры [62, 82]).

Напомним, что аменабельные банаховы алгебры были введены Б. Джонсоном [94]. Он выделил эти алгебры следующим условием: У}(А,Х) = 0 для всех дуальных банаховых А-бимодулей X. Аменабельные банаховы алгебры имеют еще одно описание. Они являются биплоскими банаховыми алгебрами с о. а. е. (ограниченными аппроксимативными единицами) [45]. В то же время существуют биплоские банаховы алгебры без о. а. е.; например, таковы многие банаховы алгебры ядерных операторов.

В диссертации изучены некоторые свойства биплоских банаховых алгебр и вычислены группы когомологий этих алгебр с коэффициентами в дуальных бимодулях. Получены различные характеризации биплоских и аменабельных алгебр в когомологических терминах.

Хотя все аменабельные и все бипроективные банаховы алгебры — биплоские, долгое время оставался открытым вопрос [85], существует ли хотя бы один пример биплоской банаховой алгебры, которая не была бы получена из указанных классов с помощью каких-либо стандартных конструкций (подлинно биплоской алгебры).

В настоящей работе мы даем такой пример. Это — алгебра /С(^2 <8>^г) всех компактных операторов в банаховом пространстве Она является неаменабельной и небипроективной биплоской w.db A = банаховой алгеброй (полупростой и обладающей левой о. а. е.).

В диссертации рассмотрена новая гомологическая характеристика банаховых алгебр (связанная с дуальными бимодулями) — слабая биразмерность w.db А. Роль этой характеристики — в том, что это натуральное число (или оо) "измеряет", насколько данная банахова алгебра "гомологически хуже" аменабельных; оно равно нулю в точности тогда, когда А аменабельна. В работе изучены различные свойства этой характеристики и, в частности, получена классификация биплоских банаховых алгебр в терминах слабой биразмерности:

Теорема 1а. Пусть А — биплоская банахова алгебра. Тогда

0, если А обладает о. а. е.;

1, если А обладает левой или правой, но не обладает двусторонней о. а. е.;

2, если А не обладает ни левой, ни правой о. а. е.

Более того, в последнем случае %2(А,Х) ф 0 для X = (А* 0 Л*)*.

Напомним, что Джонсоном [94], а затем, много лет спустя, Эффро-сом и Кишимото [72] был сформулирован следующий

Вопрос. Существуют ли неаменабелъные банаховы алгебры А с T-t2(A,X) = 0 для всех дуальных банаховых А-бимодулей X (иными словами, банаховы алгебры с w.db А = 1)?

В настоящей работе показано, что, ответ на этот вопрос положителен даже для полупростых банаховых алгебр: приведенный выше пример К(12 одновременно служит примером банаховой алгебры с w.db А = 1. Кроме того, в работе доказана формула аддитивности для слабой биразмерности:

Теорема На. Пусть А и В — произвольные унитальные банаховы алгебры. Тогда w.db А®В-= w.db А + w.db В.

В качестве следствия установлено, что у слабой биразмерности нет "запрещенных" значений в классе полупростых банаховых алгебр.

Диссертация состоит из введения и 5 глав, разбитых в общей сложности на 24 параграфа, а также из списка литературы. Нумерация утверждений — тройная: номер главы, номер параграфа и номер утверждения, нумерация формул — двойная: номер главы и номер формулы. Библиография содержит 142 наименования. Перейдем к детальному изложению содержания диссертации.

1. Аристов О. Ю. Теорема о глобальной размерности для неуни-тальных и некоторых других сепарабельных С*-алгебр. Матем. сб. 186 (1995), 3-18.

2. Аристов О. Ю. Бипроективные алгебры и операторные пространства. Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Функциональный анализ, т. 82, 2001; J. Math. Sciences 111 (2002), no. 2, 3339-3386.

3. Головин Ю. О. Гомологические свойства гильбертовых модулей над гнездовыми операторными алгебрами. Матем. заметки 41 (1987), 769-775.

4. Головин Ю. О., Хелемский А. Я. Гомологическая размерность некоторых модулей над тензорным произведением банаховых алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1977), No 1,54.61.• 5. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

5. Калиман Ш. И., Селиванов Ю. В. О когомологиях операторных алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1974), No 5, 24-27.

6. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М., ИЛ, 1960.

7. Келли Дж. Общая топология. М., Наука, 1981.

8. Кричевец А. Н. О связи гомологических свойств некоторых банаховых модулей с вопросами геометрии банаховых пространств. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1981), No 2,55.58.

9. Кричевец А. Н. Вычисление глобальной размерности тензорных произведений банаховых алгебр и одно обобщение теоремы Филлипса. Матем. заметки 31 (1982), 187-202.

10. Кричевец А. Н. Об одной алгебре C(fi) малой глобальной размерности два и ее тензорных степенях. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1982), No 3, 35-39.

11. Курмакаева Е. Ш. Зависимость строгой гомологической размерности C(fi) от топологии fi. Матем. заметки 55 (1994), 76-83.

12. Ламбек И. Кольца и модули. М., Мир, 1971.

13. Лыкова 3. А. Об условиях проективности банаховых алгебр вполне непрерывных операторов. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1979), No 4, 8-13.

14. Лыкова 3. А. О гомологических характеристиках операторных алгебр. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1986), No 1, 8-13.

15. Лыкова 3. А. Оценка снизу глобальной гомологической размерности бесконечномерных CCR-алгебр. Успехи матем. наук 41 (1986), 197-198.

16. Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ. М., ИЛ, 1956.

17. Маклейн С. Гомология. М., Мир, 1966.

18. Математическая энциклопедия. Т. 5. М., Советская энциклопедия, 1985.

19. Наймарк М. А. Нормированные кольца. М., Наука, 1968.

20. Наймарк М. А. Теория представлений групп. М., Наука, 1976.

21. Огнева О. С. Гомологические размерности некоторых алгебр основных и обобщенных функций на многообразиях. Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-матем. наук. М., МГУ, 1986, 66 с.

22. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М., Мир, 1967.

23. Пугач JI. И. Проективные и плоские идеалы функциональных алгебр, их связь с аналитической структурой. Матем. заметки 31 (1982), 239-245.

24. Пугач JI. И. Гомологические свойства функциональных алгебр и аналитические полидиски в их пространствах максимальных идеалов. Rev. Roumaine Math. Pure et Appl. 31 (1986), 347-356.

25. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М., Мир, 1967.

26. Селиванов Ю. В. О банаховых алгебрах малой глобальной размерности нуль. Успехи матем. наук 31 (1976), 227-228.

27. Селиванов Ю. В. Некоторые вопросы гомологической классификации банаховых алгебр. Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-матем. наук. М., МГУ, 1977, 92 с.

28. Селиванов Ю. В. Гомологические свойства алгебры ядерных операторов банахова пространства. VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Львов, 1990, с. 112.

29. Селиванов Ю. В. О проективных модулях Фреше над алгебрами Фреше. Алгебра и анализ. Тезисы докладов межд. научн. конф. памяти Н. Г. Чеботарева. Часть I. Изд-во Казанского ун-та, 1994, 85-86.

30. Хелемский А. Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами. Матем. сб. 81 (1970), 430-444.

31. Хелемский А. Я. О гомологической размерности банаховых алгебр аналитических функций. Матем. сб. 83 (1970), 222-233.

32. Хелемский А. Я. Описание относительно проективных идеалов в алгебрах С(П). Докл. АН СССР 195 (1970), 1286-1289.

33. Хелемский А. Я. Периодическое произведение модулей над банаховыми алгебрами. Функц. анал. и прил. 5 (1971), 95-96.

34. Хелемский А. Я. Об одном методе вычисления и оценки глобальной гомологической размерности банаховых алгебр. Матем. сб. 87 (1972), 122-135.

35. Хелемский А. Я. Глобальная размерность функциональной банаховой алгебры отлична от единицы. Функц. анал. и прил. 6 (1972), 95-96.

36. Хелемский А. Я. Низшие значения, принимаемые глобальной гомологической размерностью функциональных банаховых алгебр. Труды семинара им. И. Г. Петровского 3 (1978), 223-242.

37. Хелемский А. Я. Гомологические методы в голоморфном исчислении от нескольких операторов в банаховом пространстве, по Тейлору. Успехи матем. наук 36 (1981), 127-172.

38. Хелемский А. Я. Плоские банаховы модули и аменабельные алгебры. Труды ММО 47 (1984), 179-218.

39. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М., Изд-во МГУ, 1986.

40. Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. М., Наука, 1989.

41. Хелемский А. Я. Гомологическая сущность аменабельности по Конну: инъективность предуального бимодуля. Матем. сб. 180 (1989), 1680-1690.

42. Хелемский А. Я., Шейнберг М. В. Об аменабельных банаховых алгебрах. Функц. анал. и прил. 13 (1979), 42-48.

43. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М., Наука, 1975.

44. Шейнберг М. В. Об относительной гомологической размерности групповых алгебр локально компактных групп. Изв. АН СССР. Сер. матем. 37 (1973), 308-318.

45. Шефер X. Топологические векторные пространства. М., Мир, 1971.

46. Эдварде Р. Функциональный анализ. М., Мир, 1969.

47. Энгелькинг Р. Общая топология. М., Мир, 1986.

48. Aarnes J. F. and Kadison R. V. Pure states and approximate identities. Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1969), 749-752.

49. Akemann C. A., Pedersen G. K. and Tomiyama J. Multipliers of C*-algebras. J. Funct. Anal. 13 (1973), 277-301.283

50. Arens R. Linear topological division algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 623-630.

51. Argun Z., Rowlands K. On quasi-multipliers. Studia Math. 108 (1994), 217-245.

52. Aristov O. Yu. Homological dimensions of C*-algebras. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 39-55.

53. Bade W. G. and Curtis P. C. The continuity of derivations of Banach algebras. J. Fund. Anal. 16 (1974), 372-387.

54. Bade W. G., Dales H. G. and Lykova Z. A. Algebraic and strong splittings of extensions of Banach algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 656 (1999).

55. Beckenstein E., Narici L., Suffel C. Topological algebras. Amsterdam, North Holland, 1977.

56. Bonsall F. F. and Duncan J. Complete normed algebras. Berlin, Springer, 1973.

57. Cigler J., Losert V. and Michor P. Banach modules and functors on categories of Banach spaces. New York, Marcel Dekker, 1979.

58. Comfort W. W. Retractions and other continuous maps from (3X onto (3X\X. Trans. Amer. Math. Soc. 114 (1965), 1-9.

59. Connes A. On the cohomology of operator algebras. J. Funct. Anal. 28 (1978), 248-253.

60. Conway J. B. Projections and retractions. Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 843-847.

61. Conway J. B. The compact operators are not complemented in B{W}. Proc. Amer. Math. Soc. 32 (1972), 549-550.

62. Dales H. G. Banach algebras and automatic continuity. Oxford, Clarendon Press, 2000.

63. Dales H. G. and Jarchow H. Continuity of homomorphisms and derivations from algebras of approximable and nuclear operators. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 116 (1994), 465-473.

64. Diestel J. Sequences and series in Banach spaces. New York, Springer, 1984.

65. Dixon P. G. Approximate identities in normed algebras. Proc. London Math. Soc. 26 (1973), 485-496.

66. Doran R. S. and Wichmann J. Approximate identities and factorization in Banach modules. Lecture Notes in Math. 768. Berlin, Springer, 1979.

67. Dubinsky E. The structure of nuclear Prechet spaces. Lecture Notes in Math. 720. Berlin, Springer, 1979.

68. Dunford N. Spectral operators. Pacific J. Math. 4 (1954), 321-354.

69. Effros E. G. and Kishimoto A. Module maps and Hochschild-Johnson cohomology. Indiana Univ. Math. J. 36 (1987), 257-276.

70. Enflo P. A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130 (1973), 309-317.

71. Eschmeier J. and Putinar M. Spectral theory and sheaf theory. III. J. Reine Angew. Math. 354 (1984), 150-163.

72. Eschmeier J. and Putinar M. Spectral decompositions and analytic sheaves. Oxford, Clarendon Press, 1996.

73. Fragoulopoulou M. Structure of contractible locally C*-algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), no. 10, 2889-2896.

74. Ghahramani F., Selivanov Yu. V. The global dimension theorem for weighted convolution algebras. Proc. Edinburgh Math. Soc. 41 (1998), 393-406.

75. Gr0nbaek N., Johnson В. E., Willis G. A. Amenability of Banach algebras of compact operators. Israel J. Math. 87 (1994), 289-324.

76. Gr0nbaek N. and Willis G. A. Approximate identities in Banach algebras of compact operators. Canad. Math. Bull. 36 (1993), 45-53.

77. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleates. Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955).

78. Guichardet A. Sur l'homologie et la cohomologie des algebres de Banach. C. R. Acad. Sci. Paris 262 (1966), A38-41.

79. Haagerup U. All nuclear C*-algebras are amenable. Invent. Math. 74 (1983), 305-319.

80. Helemskii A. Ya. Some remarks about ideas and results of topological homology. Proc. Centre for Mathematical Analysis Australian National University, Canberra, 21 (1989), 203-238.

81. Helemskii A. Ya. Banach cyclic (co)homology and the Connes-Tzygan exact sequence. J. London Math. Soc. 46 (1992), 449-462.

82. Helemskii A. Ya. 31 problems of the homology of the algebras of analysis. Linear and complex analysis, Problem Book 3. Part 1. Lecture Notes in Math. 1573. Berlin, Springer, 1994, 54-78.

83. Helemskii A. Ya. Projective homological classification of C*-alge-bras. Comm. in Algebra 26 (1998), 977-996.

84. Helemskii A. Ya. Homology for the algebras of analysis. Handbook of algebra. Vol. 2 (ed. by M. Hazewinkel). Amsterdam, North-Holland, 2000,151-274.

85. Helemskii A. Ya. Wedderburn-type theorems for operator algebras and modules: traditional and "quantized" homological approaches. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 57-92.

86. Hilbert D. Uber die Theorie der Algebraischen Formen. Math. Ann. 36 (1890), 437-534.

87. Hochschild G. On the cohomology groups of an associative algebra. Ann. of Math. 46 (1945), 58-67.

88. Hochschild G. Cohomology and representations of associative algebras. Duke Math. J. 14 (1947), 921-948.

89. Johnson В. E. An introduction to the theory of centralizers. Proc. London Math. Soc. 14 (1964), 299-320.

90. Johnson В. E. The Wedderburn decomposition of Banach algebras with finite-dimensional radical. Amer. J. Math. 90 (1968), 866-876.

91. Johnson В. E. Cohomology in Banach algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 127 (1972).

92. Johnson В. E. Approximate diagonals and cohomology of certain annihilator Banach algebras. Amer. J. Math. 94 (1972), 685-698.

93. Johnson В. E. Perturbations of Banach Algebras. Proc. London Math. Soc. (3) 34 (1977), 439-458.

94. Kadison R. V. and Ringrose J. R. Cohomology of operator algebras. Part I. Acta Math. 126 (1971), 227-243; Part II. Ark Math. 9 (1971), 55-63.

95. Kamowitz H. Cohomology groups of commutative Banach algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), 352-372.

96. Kaplansky I. Modules over operator algebras. Amer. J. Math. 75 (1953), 839-853.

97. Lebow A. Maximal ideals in tensor products of Banach algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), 1020-1022.

98. Levy R. The Riemann-Roch theorem for complex spaces. Acta Math. 158 (1987), 149-188.

99. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces I: Sequence spaces. Berlin, Springer, 1977.

100. Loy R. J., Read C. J., Runde V. and Willis G. A. Amenable and weakly amenable Banach algebras with compact multiplication. J. Fund. Anal. 171 (2000), 78-114.

101. Lykova Z. A. The lower estimate of the global homological dimension of infinite-dimensional CCR-algebras. Operator algebras and topology. Longman, 1992, 93-129.

102. Michael E. A. Locally multiplicatively-convex topological algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 11 (1952).

103. Palmer T. W. Banach algebras and the general theory of *-algebras. Vol. 1. Cambridge University Press, 1994.Ш

104. Phillips R. S. On linear transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940), 516-541.

105. Pirkovskii A. Yu. Injective topological modules, additivity formulas for homological dimensions, and related topics. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 93-143.

106. Pott S. An account on the global homological dimension theorem of A. Ya. Helemskii. Annates Universitatis Saraviensis 9 (1999), 155-194.

107. HO. Putinar M. Uniqueness of Taylor's functional calculus. Proc. Amer.Math. Soc. 89 (1983), 647-650.288

108. Putinar M. Hyponormal operators are subscalar. J. Oper. Theory 12 (1984), 385-395.

109. Raeburn I. and Taylor J. L. Hochschild cohomology and perturbations of Banach algebras. J. Funct. Anal. 25 (1977), 258-266.

110. Ramis J.-P. and Ruget G. Residus et dualite. Invent. Math. 26 (1974), 89-131.

111. Render H. and Sauer A. Algebras of holomorphic functions with Hadamard multiplication. Studia Math. 118 (1996), 77-100.

112. Rickart С. E. General theory of Banach algebras. New York, Van Nostrand, 1960.

113. RiefFel M. A. Induced Banach representations of Banach algebras and locally compact groups. J. Funct. Anal. 1 (1967), 443-491.

114. Runde V. The structure of contractible and amenable Banach algebras. Banach Algebras'97 (ed. by E. Albrecht and M. Mathieu). Berlin, Walter de Gruyter, 1998, 415-430.

115. Runde V. Lectures on amenability. Lecture Notes in Math. 1774. Berlin, Springer, 2002.

116. Selivanov Yu. V. Coretraction problems and homological dimensions of Banach algebras. 13th International Conference on Banach algebras 1997. Blaubeuren, 1997, p. 24.

117. Seminaire de geometrie analytique (eds. A. Douady, J. L. Verdier), Asterisque 16. Soc. Math. France, Paris, 1974.

118. Taylor J. L. Homology and cohomology for topological algebras. Advances in Math. 9 (1972), 137-182.

119. Taylor J. L. A general framework for a multi-operator functional calculus. Advances in Math. 9 (1972), 183-252.

120. Wedderburn J. H. M. On hypercomplex numbers. Proc. London Math. Soc. (2) 6 (1907), 77-118.

121. Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts. Cambridge University Press, 1991.

122. Zelazko W. A theorem on Bo-division algebras. Bull. Acad. Polon. Sci. 8 (1960), 373-375.

123. Zelazko W. Metric generalizations of Banach algebras. Rozprawy Matematyczne 47 (1965), 70 p.

124. Селиванов Ю. В. О значениях, принимаемых глобальной размерностью в некоторых классах банаховых алгебр. Вести. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. (1975), No 1, 37-42.

125. Селиванов Ю. В. Гомологическая размерность циклических банаховых модулей и гомологическая характеризация метризуе-мых компактов. Матем. заметки 17 (1975), вып. 2, 301-305.

126. Селиванов Ю. В. Бипроективные банаховы алгебры, их строение, когомологии, и связь с ядерными операторами. Функц. анализ и прил. 10 (1976), вып. 1, 89-90.

127. Селиванов Ю. В. Проективность некоторых банаховых модулей и строение банаховых алгебр. Изв. вузов. Математика (1978), No 1 (188), 110-116.

128. Селиванов Ю. В. Бипроективные банаховы алгебры. Изв. АН СССР. Сер. матем. 43 (1979), No 5, 1159-1174.

129. Selivanov Yu. V. Homological characterizations of the approximation property for Banach spaces. Glasgow Math. J. 34 (1992), 229-239.

130. Selivanov Yu. V. Computing and estimating the global dimension in certain classes of Banach algebras. Math. Scand. 72 (1993), 85-98.290

131. Селиванов Ю. В. Одна задача геометрии банаховых пространств. Успехи матем. наук 48 (1993), вып. 4, 237-238.

132. Селиванов Ю. В. Сильно недополняемые подпространства банаховых пространств и гомологическая размерность банаховых модулей. Успехи матем. наук 49 (1994), вып. 1, 223-224.

133. Селиванов Ю. В. Проективные модули Фреше со свойством аппроксимации. Успехи матем. наук 50 (1995), вып. 1, 209-210.

134. Селиванов Ю. В. Когомологии биплоских банаховых алгебр с коэффициентами в дуальных бимодулях. Функц. анализ и прил. 29 (1995), вып. 4, 84-87.

135. Selivanov Yu. V. Frechet algebras of global dimension zero. Algebra (Krasnoyarsk, 1993). Berlin, Walter de Gruyter, 1996, 225-236.

136. Selivanov Yu. V. Weak homological bidimension and its values in the class of biflat Banach algebras. Extracta Math. 11 (1996), 348-365.

137. Selivanov Yu. V. Homological dimensions of tensor products of Banach algebras. Banach Algebras'97 (eds. E. Albrecht, M. Mathieu). Berlin, Walter de Gruyter, 1998, 441-460.

138. Selivanov Yu. V. Cohomological characterizations of biprojective and biflat Banach algebras. Monatsh. fur Math. 128 (1999), 35-60.

139. Selivanov Yu. V. Coretraction problems and homological properties of Banach algebras. Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar (ed. by A. Ya. Helemskii). New York, Nova Science, 2000, 145-199.