Пространственные гомологические свойства несамосопряженных операторных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ . Г б 1)й имени М. В. ЛОМОНОСОВА

- ф ^Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 518.88

Головин Юрий Олегович

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРНЫХ АЛГЕБР

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1996

\ofW-

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А. Я. Хелемский Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Д. П. Жеяобенко

веком государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное одание, 14 этаж).

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Михалев

Ведущая организация - Московский Педагогический

Го суд ар ст венный Унив ер сит е т

Автореферат разослан

г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Естественный модуль над операторной алгеброй (то есть пространство, в котором действуют элементы этой алгебры) является одним из наиболее важных объектов, позволяющих изучать свойства такой алгебры. В частности, возникает вопрос о гомологических свойствах такого модуля. В связи с этим напомним, что первой по времени гомологической характеристикой были группы когомоло-гий, введенные в чисто алгебраическом контексте Хохшильдом1 и перенесенные на банаховы алгебры Камовицем2. Следующим важным этапом в развитии теории явилась работа А. Я. Хелемского3, в которой категория банаховых модулей была рассмотрена с позиций относительной гомологической алгебры. Благодаря тому, что в этой категории каждый модуль обладает (относительой) проективной резольвентой, оказалось возможным для вычисления групп хогомологий Хохшильда-Камовица применять производный функтор Ext. Поэтому установление таких гомологических свойств модулей, как проективность, инъективность и плоскость, приобрело первостепенное значение. В частности, если операторная алгебра действует в гильбертовом пространстве Н, то любое из этих свойств естественного модуля Н гарантирует тривиальность групп когомологий с коэффициентами в алгебре В(Н) всех ограниченных операторов.

Изучение гомологических свойств естественного модуля над разного типа алгебр с одной стороны, а также непосредственное вычисление групп когомологий с коэффициентами в ¿3(H), имеет давнюю историю. Ограничиваясь только рассматриваемым нами классом рефлексивных алгебр в гильбертовом пространстве и указанными коэффициентами, упомянем работу Ш. И. Калимана и Ю. В. Селиванова4, доказавших проективность Н над В(Н)- а также работы Кристенсена5, Нильсена6 и Ланса7, доказывавших тривиальность групп когомологий важного класса несамосопряженных алгебр - так называемых гнездовых алгебр. Последний результат был обощен Гилфитером, Хопенвассером

1 G. Hochschild: On the cohomoïcgy groups of an associative algebra, Ann. of Math. 46 (1945), 58 -67.

2 H. Kamowitz: Gohomology groups of commutative Banach algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 102 (1962), 352 - 372.

3 А. Я. Хелемский: О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами, Матем. сб. 1970, 81(123), 430 - 444.

4 Ш. И. Калиман, Ю. В. Селиванов: 0 когомологиях операторных алгебр, Вести. Моск. Ун-та, Сер. матем., механ., 1974, No 5, 24 -27.

5 Е. Christensen: Derivations of nest algebras, Math Ann.229 (1977), 155-161.

6 J. P. Nielsen: Gohomology of some non-selfadjoint operator algebras, Math. Scand. 47 (1980), 150-156.

7 E. C. Lance: Gohomology and perturbations of nest algebras, Proc. London Math. Soc. (3) 43 (1981), 334-356.

и Ларсоном8, получивших аналогичный результат для класса несамосопряженных операторных алгебр - так называемых CSL-алгебр, порожденных конечным числом независимых гнезд (все определения будут даны ниже).

В то же время, примеры несамосопряженных злгебр с нетривиальными группами хогомологмй можно построить достаточно просто. Так, в только что упомянутой работе доказано, что такие алгебры встречаются уже среди CSL-влтебр, порожденных двумя гнездами. Более сложные примеры доставляет нам применение конструкции операторно-алгебраического джойна, перенесенной из топологии Гилфитером и Смитом вэ и10. Например, дня надстройки 5(A) алгебры А была получена формула 7ín+1(S(A), В(И © С) = Пп(А,В(Л)); таким образом, надстройка "ухудшает ровно на 1" гомологические свойства алгебры, выражаемые в терминах групп когомологий. В связи с этим возникает вопрос, как влияет конструкция джойна (в частности, надстройки) на те гомологические свойства естественного модуля, которые выражаются в терминах его гомологической рая-мерности.

Цель работы

Найти необходимые и (или) достаточные условия наличия пространственных проективности, инъективности и плоскости рефлексивных операторных алгебр в гильбертовом пространстве H (то есть этих свойств естественного модуля Я), а также выявить влияние на пространственную гомологическую размерность операторной алгебры конструкции операторно-алгебраического джойна.

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми. Среди них отметим следующие:

1. Получена харахтериэация свойства пространственной проективности в классе неразложимых CSL-алгебр в терминах решетки инвариантных подпространств.

2. Получена характериоация свойств пространственной плоскости и пространственной инъективности в классе неразложимых CSL-алгебр конечной ширины в тех же терминах.

3. Получены достаточные условия пространственой плоскости (а также достаточные условия пространственной инъективности) произвольной рефлексивной алгебры.

8 F. Gilfeather, A. Hopenwasser and D. R. Larson: Reflexive algebras with finite width lattices: tensor products, cohomology, corn-pact perturbations, J. Funct. Anal. 55 (1984), 176-199.

9 F. Gilfeather and R. R. Smith: Cohomology for operator algebras: cones and, suspensions // Proc. London Math. Soc. (3). 65(1992), 175-198.

10 F. Gilfeather and R. R. Smith, Cohomology {or operator algebras: joins, Amer. J. Math. 116 (1994), 541-561.

!

4. Доказана, теорема об увеличении на единицу пространственной гомологической размерности операторной алгебры при переходе к некоторым видам джойна'(в частности, к надстройке).

Методы исследования.

В работе используются общие методы функционального анализа, гомологической алгебры, а также теории рефлексивных операторных алгебр. Кроме того, применяются специфические методы гомологической теории банаховых алгебр.

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в гомологической теории операторных алгебр и структурной теории рефлексивных алгебр.

Апробация диссертации.

Основные результаты неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах МГУ "Кольца и модули" под руководством А. В. Михалева, В. Н. Латышева, В. А. Артамонова и В. Т. Маркова, и "Алгебра в анализе" под руководством А. Я. Хелемского; на III международной конференции по алгебре (Красноярск 1993), на международной конференции "Алгебра и анализ" (Казань 1994), конференциях "Банаховы алгебры-95" и "Полностью ограниченные операторы и когомология операторных алгебр" (Ньюкасл, Англия 1995 г.), а также на конференции "Топологические алгебры-95" (Варшава 1995 г.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано пять статей. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем, диссертации.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, разделенных на 14 параграфов. Объем диссертации - 69 страниц. Диссертация снабжена оглавлением, списками основных терминов и обозначений, а также списком литературы из 49 наименований.

Содержание диссертации

Во введении обсуждается постановка задачи, дан краткий исторический обзор и обоснована актуальность темы.

Глава 1 имеет вводный характер. В параграфе 1.1 приведены необходимые сведения из теории рефлексивных алгебр.

Для любого множества операторов А в гильбертовом пространстве Н под Lat А понимается решетка всех (замкнутых) подпространств, инвариантных относительно А. Для любого множества подпространств L под Alg L понимается (слабо замкнутая) алгебра всех (ограниченных) операторов, оставляющих ина-

риантными все элементы L. Решетки вида Lat А и алгебры вида Alg А называются рефлексивными.

Решетка L подпространств называется коммутативной, если проекторы на элементы L коммутируют. CSL-алгебра - это рефлексивная алгебра с коммутативной решеткой инвариантных подпространств.

Решетка называется гнездом, (а алгебра, порожденная ей - гнездовой), если она линейно упорядочена по включению. Ясно, что такая решетка коммутативна.

Более сложный случай рефлексивной алгебры, чем гнездовая, - это алгебра конечной ширины, т.е. алгебра, чья решетка инвариантных подпространств порождена конечным числом гнезд.

Гнезда Za, а € Л называются независимыми, если пересечение любых интервалов Fa © Еа, Fa 3 Еа, взятых по одному из каждого гнезда, не равно нулю.

Будем говорить, что алгебра А содержит столбец одномерных операторов, если существует ненулевой вектор е такой, что все одномерные операторы вида е®/ = ( ,е)/ •' g lg,e)f, где / пробегает Я, принадлежат А. Наконец, назовем рефлексивную алгебру А неразложимой, если Lat Л не содержит нетривиальных элементов Е, F таких, что одновременно E\/F = H,EAF = {0}.

Пусть Я0 и К - гильбертовы пространства, А и В - унитальные (то есть обладающие единицей) замкнутые по норме подалгебры В(Н0) и В(К) соответственно. Пространство K(&H<¡ обозначим через Я. Джойн А#В алгебры А с помощью В есть, по определению, подалгебра в В(Н), состоящая из всех операторов, задаваемых блок-матрицами вида

Т О U R

где R, Т и U пробегают соответственно А, В и В{К,Н0), и правый верхний угол нулевой. Конус С(А) (соответственно надстройка с>(.<4)) - это специальный случай джойна, когда В - алгебра операторов на одномерном пространстве (соответственно, алгебра диагональных операторов на двумерном пространстве).

Пусть L - произвольная (полная) решетка подпространств Н, и D - произвольное подмножество Я. Обозначим через ZL множество (на самом деле -элемент L)

2?_ = V{M <Е L : М £D}.

Легко заметить, что 1Г_ - это непосредственный предшественник Я в Lat А, если он существует; в противном случае Я_ = Я.

Наконец, под D+ мы будем понимать

D+ = Л{М eL:M<£D}.

Легко заметить, что {0}+ - это непосредственный последователь {0} в Lat А, если он существует; в противном случае {0}+ = {0}.

В параграфе 1.2 приведены предварительные результаты о рефлексивных решетках; точнее, доказываются используемые в дальнейшем свойства введенной выше операции "_". В частности, доказывается следующее уточнение известной леммы Лонгстаффа11.

Лемма 1.4 Для любого множества ВСЯ

(.О.)1 = {е Е Н : е. ® / £ где f пробегает все £>}.

В параграфе 1.3 приведены предварительные сведения из гомологической теории для банаховых алгебр.

Пусть А - унитальная банахова алгебра; категорию (банаховых) левых А-модулей и их морфизмов обозначим через А-тос1. Если А является алгеброй операторов на банаховом пространстве X, то действие операторов на векторы из X задают естественную структуру левого А-модуля на X, то есть а • х определяется как а(х); такой модуль называется естественным.

Морфиом <р : X —♦ У называется допустимым, если его ядро и образ замкнуты, а также обладают замкнутыми прямыми дополнениями в пространствах X и У* соответственно.

Будем называть последовательность модулей (левых, правых или двусторонних) и их морфизмов

Хдп -у дп-1 у. п+1 -► -Лп -> Ап_1 -► ■ • •

точной, если для всех п Кег = 1т дп, и допустимой, если все морфизмы в ней допустимы.

Резольвентой модуля X называется допустимая точная последовательность

----> Р, Ро х ^ о.

Длиной резольвенты называется эир{п : Р„ ^ 0}.

Модуль Р называется проективным,, если для любого допустимого эпиморфизма о : X —> У и любого морфизма <р : Р —> У существует морфизм ф : Р —» X такой, что диаграмма

X-- У

коммутативна.

11 Е. Б1гопд1у-те}1ех™е 1аШсез, 3. Ьопс1оп МаШ. Бос. (2). 11(1975),

р.491-498.

Модуль I называется ита, ектпивным, если для любого допустимого мономорфизма р : X —» У и любого морфизма <р : X —► I существует морфизм 1р : У —♦ / такой, что диаграмма

коммутативна.

Наконец, модуль X называется плоским, если X" инъективен.

Резольвента А-модуля X называется проективной, если все модули Рп про-ективны.

Как известно12, гарантировать тривиальность групп когомологий алгебры А с коэффициентами в А-бимодуле В(Х,У) в положительных размерностях можно в любой из следующих трех ситуаций:

1) если У инъективен;

2) если X проективен;

3) если X - плоский модуль, а У = , где 1 - правый А-модуль.

Гомологической размерностью ¿Ь^Х А-модуля X называется длина самой

короткой проективной резольвенты X.

Наконец, мы будем говорить, что операторная алгебра А обладает тем или иным гомологическим свойством пространственно, если этим свойством обладает пространство, в котором действуют операторы из А, как естественный модуль над А. Пространственной гомологической размерностью вр.с! А алгебры А будем называть гомологическую размерность этого модуля.

В параграфе 1.4 приведены первые гомологические результаты.

Пусть А - банахова алгебра операторов в Н. Беря вместо А алгебру сопряженных операторов А*, можем рассматривать Н не только как левый модуль над А, но и как левый модуль над А*; в этом случае сопряженное пространство Н' наделяется структурой правого А*-модуля.

Теорема 1.1 Левый А-модуль Н проективен (соответственно инъективен, плосок) в том и только в том случае, когда Н* - проективный (соответственно инъективный, плоский) правый А*-модуль.

Следствие 1.1 Н -плоский левый А-модуль & Н - инъективный левый А*-

Пусть V : А\ —> А - унитальный гомоморфизм унитальных банаховых алгебр; тогда каждый А-модуль X становится А^модулем с помощью отступле-

13 А. Я. Хелемский: Гомологиж в банаховых и топологических алгебрах, Москва,

I

модуль.

1986.

Hits вдоль P. Это означает, что структура Ai-модуля на X задается формулой а • х = /(а) ■ i; a £ А, х 6 X.

Предположим также, что V - ретракция (то есть существует гомоморфизм алгебр i : А Ах такой, что i = 1^), причем

КегР • г(А) = 0.

В этой ситуации V и i являются также морфиомами Ai-модулей. Отождествляя А с его образом в Ai, получаем, что А\ разлагается в прямую сумму своих левых замкнутых идеалов

А, =КегРфА,

которые, как ретракты заведомо проективного Л i-модуля А1: являются сами проективными Ai-модулями.

Лемма 1.12 В указанных выше условиях, если X 6 A-mod, то

dhAX =

В главе 2 доказывается критерий пространственной проективности CSL-ал-гебры с атомным коммутантом.

В параграфе 2.1 в качестве первого шага рассматривается случай неразложимой CSL-алгебры. При анализе доказательства пространственной проективности алгебр В(Е) всех ограниченных операторов и ¡С(Е) компактных операторов, где Е .- произвольное банахово пространство (см.4), выясняется, что для пространственной проективности операторной алгебры достаточно наличия в ней столбца одномерных операторов. Развитию этой идеи для случая CSL-алгебр и посвящен этот параграф, основным результатом которого является

Теорема 2.1 Пусть А - рефлексивная алгебра операторов в гильбертовом пространстве Н. Тогда длж пространственной проективности А достаточно, а в случае неразложимой CSL-алгебры и необходимо, чтобы Н_ ф Н.

В параграфе 2.2 разбирается общий случай.

Вообще говоря, коммутант множества операторов, будучи замкнутым в любой операторной топологии, не обязан быть самосопряженным. Однако коммутант А! любой CSL-алгебры А автоматически самосопряжен. Более того, он совпадает с алгеброй фон Нойманна, порожденной проекторами на элементы множества Lr дополняемыех элементов Lat-A (см.13).

Элемент Е решетки называется атомом, если в этой решетке не существует элемента F такого, что {0} С F С Е.

13 F. Gilfeather, D. R. Larson: Commutanti modulo the compact operators of certain CSL-algebras, Topics in modern, operator theory, Basel, 1981, 105-120.

Предположим, что коммутант СБЬ-алгебры А является атомным; по определению, это означает, что ЬТ изоморфна булевой решетке всех подмножеств множества своих атомов. Иными словами, А' совпадает со слабым операторным замыканием множества своих минимальных проекторов. Используя их, мы получаем разложение гильбертова пространства Н в прямую сумму своих подпространств

я = фяа.

а

Обозначив через Аа алгебру Ара, где ра - проектор на Яа, мы получаем разложение алгебры А в прямое произведение своих двусторонних идеалов Аа, каждый из которых, будучи рассмотрен как операторная алгебра на На, является неразложимой СБЬ-алгеброй (с решеткой инвариантных подпространств

Ьа = {Е б 1А : Е С На}).

Теорема 2.4 Пусть А ~ СЗЬ-алгебро с атомным коммутантом. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) А пространственно проектпивна;

2) каждая из алгебр Аа пространственно проективна;

3) для любого атома На из Ьг выполнено (Яа)_0 ф На (под здесь понимается взятый по решетке Ьа);

4) для любого атома из Ьг выполнено (На)_ ф Я.

В главе 3 приводятся условия пространственных плоскости и инъективности неразложимой рефлексивной алгебры.

В коротком параграфе 3.1 производится предварительное обсуждение, подводящее к основной идее главы. С этой целью критерий пространственной проективности неразложимой СЗЬ-алгебры переформулируется следующим образом:

• Н является проективным модулем над неразложимой СБЬ-алгеброй тогда и только тогда, когда Я не может быть получено в виде замыкания линейной оболочки произвольного семейства нетривиальных элементов решетки инвариантных подпространств.

Уже по этому критерию видим, что проективность - достаточно жесткое условие на модуль. Во многих отношениях привлекательнее может оказаться более "либеральное" условие плоскости. Например, для установления тривиальности групп когомологий %п{А,В{Н)), п > 1, достаточно доказать плоскость Я, требование проективности здесь излишне.

Оказывается, критерием плоскости Н над неразложимой СБЬ-алгеброй А конечной ширины служит то, что Я не может быть получено в виде замыкания линейной оболочки конечного семейства нетривиальных элементов Ь (необходимость этого условия доказана для неразложимых рефлексивных алгебр с произвольной коммутативной решеткой, достаточность - для рефлексивных алгебр конечной ширины).

Для краткости мы ограничимся.здесь вопросами, связанными с плоскостью, игнорируя связанные с ними вопросы инъективности. Связь между пространственно плоскими и пространственно инъективными алгебрами получена в следствии в параграфе 1.2.

В параграфе 3.2 приводятся необходимые условия пространственной плоскости в классе неразложимых СБЬ-алгебр. Обозначим множество нетривиальных элементов решетки Ь через Ь; иными словами, Ь = {Е £ Ь : Е ф {0}, Е ф Н).

Теорема 3.1 Пусть А - пространственно плоская неразложимая СБЬ-ал-гебра. Тогда для любых Ех,Ег £ Ь выполнено Е1\/ Ег ф П.

В параграфе 3.3 рассматривается несколько достаточных условий пространственных плоскости и инъективности сначала для произвольной подалгебры в В(Н), а затем для рефлексивной алгебры. В классе рефлексивных алгебр все эти условия оказываются эквивалентными.

Напомним, что если алгебра А С В(Н) содержит столбец одномерных операторов, то она пространственно проективна. Следующая лемма утверждает, грубо говоря, что даже если в алгебре нет целого столбца одномерных операторов, но есть "сколь угодно большие отрезки" таких столбцов, то она будет пространственно плоской.

Лемма 3.3 Пусть А С В(Н) - униталъная банахова алгебра такая, что в решетке ее инвариантных подпространств ЬаtA существует возрастающая сеть Я — {Еа}, сходящаяся к Н в сильной операторной топологии, причем для каждого Еа £ А/" существует ненулевой вектор г\а £ Н такой, что все одномерные операторы вида 7|а® где £ пробегает Еа, принадлежат А. Тогда А - пространственно плоская алгебра.

Для рефлексивных (не обязательно СБЬ-) алгебр эти результаты можно сформулировать более красиво.

Теорема 3.3 Пусть А С В{Н) - рефлексивная алгебра, такая, что в решетке ее инвариантных подпространств Ь существует возрастающая сеть N — {Еа}, сходящаяся к Н в сильной операторной топологии, причем для каждого Еа £ N

(Еа).фН.

Тогда А - пространственно плоская алгебра.

В параграфе 3.4 результаты, приведенные в двух предыдущих параграфах, позволяют получить критерии пространственных плоскости и инъективности.

Теорема 3.5 Пусть решетка Ь имеет конечную ширину , причем Я_ = Я. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) в £ существует возрастающая сеть N = {Еа}, сходящаяся к Н в сильной операторной топологии, причем для Еа 6 N

Еа-фН-

2) для любых Е,Е € Ь

ЕЧГфН;

3) для любых Е{ Е 2/,-, г — 1,... ,п,

Е\ V ... V Е„ ф Н (здесь Ь{ - порождающие Ь гнезда).

Суммируя, получаем критерий пространственной плоскости неразложимой СБЬ-алгебры конечной ширины.

Теорема 3.6 Пусть А - неразложимая СБЬ-алгебра конечной ширины на гильбертовом пространстве Н; Ь = А; Ь;, г — 1,...,п - порождающие Ь гнезда. Тогда, следующие условия эквивалентны:

1) А - пространственно плескал алгебра

2) для любых Е,Р £ Ь

ЕЧ Г фН.

3) для любых Е{ 6 г = 1,..., п,

...ЧЕпфН

4) или Н_ ф Н, или в Ь существует возрастающая сеть N = {-£?с<}> сильно сходящаяся к Я, причем для Еа € N

Еа_ ф Я.

Автоматически получаем и критерий пространственной инъективности.

Теорема 3.7 Пусть А - неразложимая СвБ-алгебра конечной ширины на гильбертовом пространстве Н. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) А - пространственно ин~ьективная алгебра

2) для любых Е,Е 6 Ь

Е ЬЕ Ф {0}.

3) для любых Е{ 6 ¿,-, г = 1,.. ,,тг,

Е\ А ... Л Еп ф {0}

4) или {0} ф {0}, или в Ь существует убывающая сеть N = {Еа}, сильно сходящаяся к {0}, причем для Еа £ N

Ф (о}.

Как следствие указанных теорем, получаем следующие результаты.

1) Любая гнездовая алгебра пространственно плоска и инъективна.

2) Рефлексивная алгебра конечной ширины, порожденная независимыми гнездами, пространственно плоска и инъективна.

В параграфе 3.5 полученные ранее результаты применяютя для вычисление некоторых групп когомологий. Приведем только компактное

Следствие 3.1 Пусть А - рефлексивная алгебра конечной ширины в гильбертовом пространстве Н, причем выполнено хотя бы одно из следующих двух условий: или для любых Е,Е € Ь

£ V Р фН,

или для любых € Ь Тогда

-Н"(А,В{Н)) = 0, п = 1,2,...

В частности, условия этого следствия выполнены, если Ь порождена конечным числом независимых гнезд. Тем самым, усилен уже упоминавшийся результат Гилфитера, Хопенвассера и Ларсона8.

В главе 4 исследуются пространственные гомологические свойства некоторых операторно-алгебраических джойнов.

В предварительном параграфе 4.1 приводятся общие рассуждения. Если во второй главе изучались условия на решетку инвариантных подпространств, гарантирующие наиболее хорошие пространственные гомологические свойства алгебры (а именно, ее пространственную проективность), то в этой главе изучаются условия на решетку, при которых алгебра заведомо имеет "худшие" гомологические свойства (пространственная гомологическая размерность оказывается больше нуля).

В параграфе 4.2 доказывается основной результат этой главы.

Теорема 4.1 Пусть А,В\,... ,Вт - унитальные замкнутые по норме алгебры операторов, действующих в гильбертовых пространствах Н0,Н\,..., Нт соответственно; К = Н\ © ... Н = К ф#сь В - прямое произведение ал-

гебр Вг,..., Вт (таким образом, В - это операторная алгебра, действующая в К). Пусть, далее., каждая алгебра В] содержит столбец одномерных операторов. Тогда

(1) если т = 1, то эр.с! (А#В) = 0 ;

(и) если то > 1, то зр.с! (Л#В) = sp.il А+1.

В ■частности, конструкция конуса всегда дает пространственно проективную алгебру, а конструкция надстройки увеличивает пространственную гомологическую размерность исходной алгебры на 1.

В случае, когда алгебры В\,. .., Вт рефлексивны, наличие в них столбца одномерных операторов равносильно решеточному условию (#,)- ф г = 1,... ,ттг. Доказательство, в частности, опирается на следующую простую лемму, представляющую, возможно, самостоятельный интерес.

Лемма 4.1 Если В может быть разложена в прямую сумму алгебр В1 и В-2 (в отличие от теоремы 1^.1 наличие столбцов одномерных операторов в этих алгебрах несущественно), то А$=В пространственно непроективна.

Заметим, что в случае, когда алгебры А и В являются СБЬ-алгебрами, утверждение этой леммы немедленно следует из критерия проективности (теорема 2.1).

В конце параграфа строятся алгебры с заранее предписанной пространственной гомологической размерностью, равной любому наперед заданному числу или бесконечности.

В параграфе 4.3 приводятся некоторые замечания о джойнах СБЬ-алгебр.

Теорема 4.2 Пусть А и В - С8Ь-алгебры. Тогда джойн А#В пространственно проективен тогда и только тогда, когда В - неразложимая пространственно проективная алгебра.

Теорема 4.3 Пусть А и В - СБЬ-алгебры конечной ширины. Тогда А^В пространственно плоска (соответственно, пространственно инъективна) тогда и только тогда, когда В - неразложимая пространственно плоская алгебра (соответственно А - неразложимая пространственно инъективная алгебра).

Общие выводы этого параграфа таковы. При некоторых предположениях относительно составляющих джойна А#В, он сохраняет ин-ьективные »войства алгебры А и плоские (а также проективные) свойства алгебры В.

Автор приносит свою искреннюю и глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору А. Я. Хелемскому за постановку задачи, постоянное внимание к работе и поддержку.

Работы автора по теме диссертации

1. Ю. О. Головин: Гомологические свойства гильбертовых модулей над гнездовыми операторными алгебрами, Математические заметки т.41, No. 6 (1987), стр. 769-775.

2. Ю. О. Головин: Критерий проективности и плоскости гильбертова пространства как модуля над неразложимой CSL-алгеброй, III Международная конференция по алгебре памяти М. И. Каргаполова: Тезисы докладов, Красноярск, 1993, стр. 90-91.

3. Ю. О. Головин: Критерий пространственной проективности неразложимой CSL-алгебры операторов, Успехи Математических Наук 49:4 (1994), стр. 161-162.

4. Ю. О. Головин: Свойство пространственной проективности в классе CSL-алгебр с атомньш коммутантом, Фундаментальная и Прикладная Математика 1:1 (1995), стр. 147-159.

5. Yu. О. Golovin: Spatial homological dimension of operator-algebraic cones, suspensions and some joins, Communications in Algebra 23:9 (1995), p. 34473455.