Аппроксимация компактных полугрупп непрерывными характерами и бихарактерами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

р Г Б ОД 1 5 Д£Н

Воронин Виктор Владимирович

Аппроксимация компактных полугрупп

непрерывными характерами и бихарактерами.

01.01.01 — математический анализ 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТ ОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Л

Ч

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1996

Работа выполнена в Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена

Научный руководитель:

Доктор физ.-мат. наук, профессор — М.М.Лессхин Официальные оппоненты:

.Доктор физ.-мат. наук, профессор — Н.А.Широков Кандидат физ.-мат. наук, доцент — Е.Ю.Яшина

Ведущая организация— Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н.Толстого

Защита состоится 27 ноября 1996 года в 1615 часов на заседании Диссертационного совета К 113.05.14 Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена по адресу: 191186, Санкт-Петербург, наб.р.Мойки, 48, корп.1, ауд.209.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке РГПУ.

Автореферат разослан п а!Сп 1996 г.

1996 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

И. В.Готская

Общая характеристика работы.

Актуальность исследование.

Настоящая работа посвящена вопросам аппроксимации полугрупп.

Аппроксимация, по существу являясь приближением, есть один из основных методов математики. Как в математическом анализе, так и в геометрии, теории чисел изучается аппроксимация различных объектов, а такие разделы математики, как теория приближения функций, численные методы анализа, целиком посвящены аппроксимации.

Начало широкого применения аплроксиманионных методов в алгебре связано с именем академика А.И.Мальцева. В его работе " О гомоморфизмах на конечные группы" было дано общее понятие аппроксимации алгебраических: систем, показана связь финитной аппроксимируемости алгебраической системы относительно какого-либо предиката с алгоритмической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе.

С начала 60-х годов и по настоящее время появилось много работ, посвященных аппроксимации полугрупп относительно различных предикатов. Эти работы были посвящены как финитной аппроксимации полугрупп, то есть аппроксимации гомоморфизмами наконечные полугруппы— работы М.М.Лесохина, С.И.Кублановского, С.Г.Мамижонлна,М.В.Салира, Э.А.Голубо-ва. и других, так и аппроксимации полугрупп линейными характерами, то есть гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу комплексных корней из единицы с внешне присоединенным нулем — работы Ст.Шварда, Хыоитта и Пукермана, М.М.Лесохина, Э.П.Арояна и других.

Использование линейных отображений для аппроксимации алгебраических систем обусловлено их свойством сохранять операции. Этим же свойством обладают и билинейные отображения. Поэтому естественным образом возникает вопрос об аппроксимации полугрупп этими отображениями, в частности, бихарактера-ми, то есть билинейными отображениями в мультипликативную

полугруппу комплексных корней из единицы с внешне присоединенным нулем.

Широкий круг вопросов возникает если потребовать, чтобы вместе с самой полугруппой относительно некоторого предиката Q аппроксимировался бы какой-либо класс полугрупп, порожденный данной полугруппой. Особый интерес представляют SH- и М-аппроксимация — аппроксимация класса порожденного всевозможными гомоморфными образами подполугрупп данной полугруппы и аппроксимация многообразия порожденного данной полугруппой соответственно.

В последние десятилетия широко ведется изучение свойств алгебраических систем, наделенных дополнительными структурами, в частности топологической. В теории полугрупп такое систематическое изучение началось выходом монографии Paalman-De-Miranda Topological semigroups в 1964 году. Вопросами аппроксимации топологических полугрупп занимались М.М.Лесохиа, Л.Б.Шнеперман, Остин, Расулов. Интерес к изучению топологических полугрупп объясняется еще и тем, что наличие топологической структуры обеспечивает присутствие некоторых свойств, отсутствующих в общем абстрактном случае. Так, например, всякая компактная топологическая полугруппа имеет идемпотент.

С нашей точки зрения, представляет интерес описание компактных топологических полугрупп, аппроксимируемых непрерывными характерами и бихарактерами.

Цель работы.

Настоящая работа посвящена описанию компактных топологических полугрупп, SH- и М*-аппроксимируемых непрерывными характерами и бихарактерами относительно таких предикатов, как делимость; равенство; вхождение элемента в подполугруппу, в идеал, в максимальную подгруппу; относительно гри-новских отношений.

Метода исследования.

В работе использованы методы аппроксимации полугрупп: метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до

гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем; метод разложения полугрупп в коммутативную связку своих rç-классов; метод разложения компактных топологических полугрупп в коммутативную связку унипотентных подполугрупп.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований по теории гомоморфизмов полугрупп и могут быть использованы для подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по полугруппам, посвященной Е.С. Лялину (июнь 1995 года, Санкт Петербург); на международной конференции по теории чисел и алгебре, посвященной 105-летию И.М. Виноградова (сентябрь 1996 года, Тула).

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Библиография включает восемь работ российских и зарубежных авторов.

Основное содержание работы.

Элемент а полугруппы А называется регулярным, если а 6 аАа, то есть если в А существует такой элемент х, что а = axa. Полугруппа все элементы которой являются регулярными называется регулярной полугруппой.

Элементы a ab полугруппы А называются инверсными друг к другу, если aba = а и bab = Ь. Регулярная полугруппа называется инверсной, если каждый ее элемент обладает единственным инверсным к нему.

Полугруппа А называется инверсной вполне регулярной полугруппой, если она инверсна и ее идемпотенты центральны.

Полугруппа А называется клиффордовой (вполне регулярной), если она представима в виде дизъюнктного объединения своих максимальных подгрупп.

Инверсные вполне регулярные и коммутативные регулярные полугруппы являются клиффордовыми. Более того они разложимы в полурешетку своих максимальных подгрупп.

Полугруппа А называется аппроксимируемой гомоморфизмами из Ф относительно предиката С?, определенного на элементах и подмножествах полугруппы А и ее гомоморфных образов, если для любых А\,А2 С А, (Аь А2) $ Я найдется такой гомоморфизм ф£Ф, что {ф{Ах),ф{Аг)) £ <?.

Полугруппа А называется компактной полугруппой если А является компактным хаусдорфовым топологическим пространством и полугрупповая операция непрерывна в данной топологии.

Пусть А — компактная полугруппа. Говорят, что А является ЗН-аппроксимируемой относительно предиката С}, если все непрерывные гомоморфные образы замкнутых подполугрупп полугруппы А аппроксимируемы относительно (}.

Пусть А — компактная полугруппа. Говорят, что А является М*- агшрокс имируемой относительно предиката С}, если всякая полугруппа класса К, порожденного полугруппой А и операциями взятия замкнутых подполугрупп, взятия непрерывных гомоморфных образов и тихоновскими произведениями, является аппроксимируемой непрерывными характерами относительно С}.

В дальнейшем под полугруппой К будем понимать мультипликативную полугруппу комплексных корней из единицы с внешне присоединенным нулем, наделенную топологией индуцированной обычной топологией комплексной плоскости.

Очевидно, что К является компактной коммутативной регулярной полугруппой.

Пусть А — компактная полугруппа. Непрерывным характером полугруппы А называется непрерывный гомоморфизм х '• А —► К.

Пусть А и В — компактные полугруппа Ах В — их тихоновское произведение. Непрерывным бихарактеромполугрупп АпВ называется непрерывное билинейное отображение х • АхВ —► К.

Через F( А, В, К) обозначим множество всех непрерывных би-характеров полугрупп АпВ.

Будем говорить, что компактная полугруппа аппроксимируема относительно некоторого предиката Q, который определен на элементах и подмножествах полугруппы А непрерывными бихарактерами из F(A,B,K), если для любых А^Аз С А таких, что (Ai, Аг) ^ Qy существуют непрерывный бихарактер х из F{A,B,K) и элемент b € В такие, что (x(ai>^)>x{a2,b)) £ Q.

Пусть А — компактная коммутативная полугруппа, а,Ь 6 А. Будем говорить, что акЬ находятся в отношении С (71), если они порождают равные главные левые (правые) идеалы. Отношение Н (Т>) определим как Ln R {Lo R).

Пусть А — компактная топологическая полугруппа, предста-вимая в виде объединения максимальных ушшотентпых подполугрупп Ре. Идемпотент е0 € А называется производящим, если множество J = 6 Ре | еео ф ео} является замкнутым.

Приведем краткое содержание каждой главы.

Глава I. Аппроксимация компактных полугрупп

непрерывными характерами.

В данной главе рассматриваются вопросы SH-аппроксимации компактных полугрупп непрерывными характерами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, в идеал, в максимальную подгруппу, а также, "УС-и 2?-отношений Грина.

В первом параграфе изложены необходимые и достаточные условия S/T-аппроксимации компактной полугруппы непрерывными характерами относительно равенства и вхождения элемента в подполугруппу. Основные результаты изложены в следующей теореме.

Теорема. Пусть А — компактная полугруппа. Следующие условия для полугруппы А эквивалентни:

1. А — коммутативная регулярная периодическая полугруппа;

2. А — БН-аппроксимируема непрерывными характерами относительно равенства;

3. А — БН-аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу.

Во втором параграфе изложены необходимые и достаточные условия вН-аппроксимашш компактной полугруппы непрерывными характерами относительно делимости, вхождения элемента в идеал и в максимальную подгруппу. Основные результаты изложены в следующей теореме.

Теорема. Пусть А — компактная полугруппа. Следующие условия для полугруппы А эквивалентны.:

1. А — инверсная вполне регулярная периодическая полугруппа;

2. А — БН-аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости;

3. А — БН-аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в идеал;

4- А —БН-аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в максимальную подгруппу. В третьем параграфе изложены необходимые и достаточные условия БН-аппроксимации компактной полугруппы непрерывными характерами относительно Т^-эквиваленщш Грина. Основные результаты изложены в следующей теореме.

Теорема. Для того, чтобы компактная полугруппа А была БН-аппроксимируема непрерывными характерами относительно И-эквиваленции необходимо и достаточно, чтобы А была инверсной вполне регулярной периодической полугруппой и для всяких идемпотентов ,Сг € А(е 1 Ф €2) существовал производящий идем-потент ео, такой что или е^о Ф ео,егео = ¿о! или ехео = ео,езео Ф е0.

В четвертом параграфе изложены необходимые и достаточные условия 5-йГ-аппроксимации компактной полугруппы непрерывными характерами относительно "Р-эквивалешши. Основные результаты изложены в следующей теореме.

Теорема. Для тага, чтобы, компактная полугруппа А была БН-аппроксимируема непрерывными характерами относительно Х?-еваиваленции необходимо и достаточно, чтобы А была вполне регулярной периодической полугруппой, раскладывающейся в полурешетку своих Т>-классов и для всяких двух идемпотентов ез £ А и (е^ ф ег) существовал производящий идемпотент е<>, такой что или е^о ф во, е^еа — ео; или е^о = е0, е^ео ф ео.

Глава II. Аппроксимация компактных полугрупп

непрерывными бихарактерами.

В данной главе рассматриваются вопросы ФЛГ-аппроксима-ции компактных полутрупп непрерывными бихарактерами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, в идеал, в максимальную подгруппу. Основные результаты содержатся в следующих теоремах.

Теорема 1. Для того, чтобы компактная топологическая полугруппа А была БН-аппроксимируема непрерывными бихарактерами из ^(А, В, К), где В — некоторая топологическая группа, относительно равенства необходимо и достаточно, чтобы она была коммутативной регулярной периодической полугруппой и для каждой пары идемпотентов е^ез е А таких, что ех ф е3, существовал производящий идемпотент со € А такой, что е\во = е<> и «2^0 Ф ¿о «ли е]ео Ф ео и е^ео = ео-

Теорема 2. Для того, чтобы компактная топологическая полугруппа А била 5ЛГ-аппроксимируема непрерывными бихарактерами из F(A, В, К), где В — некоторая топологическая группа, относительно делимости необходимо и достаточно, чтобы она была инверсной вполне регулярной периодической полугруппой и для каждой пары идемпотентов € А таких, что е\ ф ег, существовал производящий идемпотент е0 € А такой, что е^о = е0 и е3ео ф е0 или е^о ф е0 и езе0 ~ е0.

Глава III. М*-аппроксимация компактных полугрупп непрерывными характерами и бихарактерами.

В данной главе рассматриваются вопросы М*-аплроксима-ции компактных полугрупп непрерывными характерами и биха-рактерами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, в идеал, в максимальную подгруппу.

В первом параграфе мы рассматриваем М*-адпроксимацик> компактных полугрупп непрерывными характерами. Основные результаты изложены в следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть А — компактная полугруппа. Следующие условия для полугруппы, А эквивалентны:

1. А — коммутативная регулярная периодическая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками элементов, то есть найдется такое п 6 IV, что для всякого элемента а Е А будет выполнено о" = е, где е — некоторый идемпотент полугруппы А;

2. А — М*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно равенства;

3. А —М*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу.

Теорема 2. Пусть А — компактная полугруппа. Следующие условия для полугруппы А эквивалентны:

1. А — инверсная вполне регулярная периодическая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками элементов, то есть найдется такое n £ IS, что для всякого элемента а £ А будет выполнено ап — е, где е — некоторый идемпотент полугруппы А;

2. А — М*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости;

3. А — М*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в идеал;

4. А —М*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в максимальную подгруппу. Во втором параграфе рассматривается М*-аплроксимация

компактных полугрупп непрерывными бихарактерами. Основные результаты изложены в следующих теоремах.

Теорема 1. Для того, чтобы компактная топологическая полугруппа А была М*-аппроксимируема непрерывными бихаракте-рами из Е(А,В,К), где В — некоторая топологическая группа, относительно равенства необходимо и достаточно, чтобы она была коммутативной регулярной периодической полугруппой с ограниченными в совокупности порядками элементов и для каждой пары идемпотентов е^ез € А таких, что е\ Ф существовал производящий идемпотент ео € А такой, что е^ео = ео и егео Ф во или

Ф ео и едео = ео.

Теорема 2. Для того, чтобы компактная топологическая полугруппа А была М*-аппроксимируема непрерывными бихаракте-рами из Р(А,В,К), где В — некоторая топологическая группа, относительно делимости необходимо и достаточно, чтобы она была инверсной вполне регулярной периодической полугруппой с ограниченными в совокупности порядками элементов и для каждой пары идемпотентов е\,е2 £ А таких, что е\ ф еа, существовал производящий идемпотент е0 £ А такой, что е\ец = ео и е^ео ф ео или ехво Ф ео и езео = ео.

Работы автора по теме диссертации.

1. V.V. Voronin. Approximation of topological semigroups by bicharacters. // Тезисы докл. Международная конференция "Полугруппы и их приложения, включал полугрупповые кольца" в честь Е.С. Лялина. — СПб., 1995. — С. 83.

2. Воронин В.В. 5Д"-аппроксимаш1я компактных полугрупп непрерывными характерами. // Современная алгебра. (Межвузовский сборник научных трудов). Вып. 1. — Ростов-на-Лону, 1996. — С. 11-15.

3. Воронин В.В. SJf-аппроксимация компактных полугрупп непрерывными характерами относительно делимости, вхождения элемента в идеал и в максимальную подгруппу. // Тезисы докл. III Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". — Тула., 1996. — С.