Топологические алгебраические системы: вложение бинарных и n-арных топологических полугрупп в бинарные топологические группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Гомельский государственный университет имени Ф. Скорииы

УДК 512.548/. 577+546.17

- 6 МАЯ 1Я97

Бужуф Хамза бен-Ахмед

ЯЛотлотЫскт алггйраЫеокпе снсштм: влофтпе ¿пиарных и п-арпых тополакйвсЬлх полугрупп 8 бнтрпт тополопйескш группы.

01.01.06 -

математическая логика, алгебра и теория чисел

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гомель 1997

Работа выполнена в Гомельском государственном университете ш Франциска Скорины

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Оппонирующая организация:

кандидат физ.-мат. наук, доцент Мухин Влааииир Васильевич

доктор физ.-мат. наук, профессор Мельников Олег Владимирович

кандидат физ.-мат. наук, профссс< Русаков Степан Афанасьевич

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится //. г? Ч 1997 года в ча< заседании совета по защитам диссертаций Д 01.02.01 в Институте матихи АН Беларуси (220072, Минск, ул.Сурганова,11, конференц

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан ^• <0 ^ 1997 г.

Ученый секретарь совета, _

кандидат физико-математических наук (¿у'С^* В. В. Беляш-]

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Анализ математических объектов, применяемых как в приложениях, так и в теоретических исследованиях, позволяет сделать вывод, что одними из важнейших объектов являются те, которые получаются заданием на множестве нескольких математических структур, согласованных между собой. Среди них значимое место зашшшот те множества, на которых заданы алгебраическая и топологическая структуры, согласованные, как правило, между собой. Ярким примером этого могут служить такие объекты, как топологические группы или топологические векторные пространства.

После впечатляющих результатов, связанных с развитием топологических групп и их применениями, в том числе и в области гармонического анализа, теории представлений групп (достаточно упомянуть работы Поитря-гина JI.C., Вейла А.), возрос интерес к более общему классу объектов - топологическим полугруппам. Этот интерес подогревается тем, что топологические полугруппы возникают естественным образом при исследовании топологических групп (так называемые сверточные алгебры).

Начало изучения топологических полугрупп положил в 1926 г. Шрейрер О., к настоящему времени вышли ряд монографий, посвященных теории топологических полугрупп, в частности, монографин Tserpes N.A, Mukherjea A.1, Carruth J.H., Hildebran J.A., Koch R.J.2

Одной из важных задач теории топологических полугрупп является задача топологического вложения топологической полугруппы в топологическую группу, то есть отыскание таких условий, при которых существует взаимно непрерывный полугрупповой мономорфизм данной топологической полугруппы в топологическую группу. Важность проблемы обусловлена тем, что при условии такого вложения к исследованию топологических полугрупп сразу же можно применять развитую теорию топологических групп.

' Mukherjea A., Tserpes N.A. Measures on topological semigroups // Lecture notes in mathematics. - 1976. - Vol 547.-197 c.

! Carruth J.H., Hildebrant J.A., Koch RJ. The theory of topological semigroups.-New york and Basel.-V.l.-198J, V.2.-1986.

В 1970 году Ф.Т.Христоф нашел необходимые и достаточные условия топологического вложения произвольной топологической полугруппы в группы. Однако, эти условия чрезвычайно громоздки и труднопроверяемы в приложениях. Поэтому до сих пор актуально нахождение классов полугрупп, топологически вложимых в группы, с достаточно простыми условиями, накладываемыми на этот класс. Об этом говорят работы Шнепермана Л.Б., Ри-гельхофа Р., Тсерпеса H.A., Мухерджеа А., Мухина В.В., Миротина А.Р.

В частности, Ригельхоф исследовал случай абелевых полугрупп, Тсерпесом и Мухерджеем получено топологическое вложение реверсивных полугрупп, Мухиным и Миротиным была раскрыта роль инвариантной меры для топологического вложения полугрупп в группы. Однако, это только раскрывает широту задачи топологического вложения бинарных полугрупп- в топологические группы и подчеркивает важность этой проблемы и ее актуальность.

Другими естественными обобщениями понятия топологической группы являются понятия n-арной топологической полугруппы и п:арной топологической группы.

n-Арные полугруппы и n-арные группы относятся к специальным классам алгебраических систем - n-арным системам, которые определяются, как универсальная алгебра с одной главной n-арной операцией.

С работой Дерите в 1928 году и началось, по существу, развитие этой ветви алгебры. Из основных работ развития этого молодого направления отметим обширною работу Поста E.JI. по n-арным группам, монографию Бело-усова В.Д. по n-арным квазигруппам, работы Артамонова В.А., Глазика К., а также работы Глускина Л.Н. и Колесникова О.В. по n-арным полугруппам. В 1992 году вышла в свет весьма обширная, интересная монография С.А. Русакова по n-арным группам и n-арным полугруппам, являющаяся пионерской работой в Республике Беларусь и странах СНГ.

Кромбез и Сикс (в своей работе) дали определение п-арной топологической группы для п > 3. С.А. Русаковым3 было введено новое определение n-арной топологической группы так, что при п > 3 оно эквивалентно определение Кромбеза и Сикса, а при п = 2 совпадает с классическим определением топологической группы.

3 Русаков С-А. Алгебраические n-арные системы: Силовская теория n-арных групп. - Минск: Навука i ташка, 1992. - 264 с.

Чупона4 (в своей работе) построил обертывающую топологическую группу для топологической п-арной группы.

Мухиным В.В. была получена характеризация топологий на п-арных группах, согласованных с алгебраической операцией, в терминах отклонений. Им же получено распространение теоремы Эллиса Р. «а случай п-арных групп с локально компактной топологией; и было введено понятие инвариантной меры на п-арных полугруппах и группах. Теория топологических парных полугрупп находится к настоящему времени в стадии становления.

Таким образом, вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе, такие как изучение п-арных топологических полугрупп; нахождение условий, при которых топология на п-арной полугруппе, порождаемая семейством отклонений или норм, согласована с алгебраической операцией; характеризация п-группоидов Менгера и топологических п-арных полугрупп; получение условий топологического вложения п-арных и бинарных полугрупп в бинарные топологические группы; выяснение роли инвариантной меры для топологического вложения п-арных и бинарных локально компактных полугрупп с открытыми сдвигами в локально компактные группы, актуальны, перспективны и определяются логикой развития математической теории алгебраических систем с топологией (в теоретическом плане).

Связь работы с крупными научными программами, темами. Изучение топологических полугрупп, их топологического вложения является одним из важных направлений, разрабатываемых в рамках Гомельского государственного университета по теме "Исследование аддитивных функций множества, непрерывных функций и их аппроксимаций", выполняемой в'соответствии с республиканской программой фундаментальных и прикладных исследований в области математики, широкому применению методов математического моделирования в отраслях народного хозяйства республики на период до 2000 года, утвержденной постановлением президиума АН БССР от 2 января 1989 г. N 2 (раздел 1, шифр научного направления 1.1.8). Результаты автора этой работы представлены в итоговом отчете по данной НИР, раздел 5.

Цель и задачи исследования. Основная цель диссертации - построение начал теории п-арных топологических группоидов и полугрупп, нахождение классов топологических п-арных полугрупп, топологически вкладывающихся в бинарные топологические группы.

4 Сиропа О. Он юрок^'са! // Иплтсн на Друшт. На мат. н фщ. Од СРМ.-197U-Kh.22.-C.5- 10.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

• найдены условия, при которых топология на п-арной полугруппе, порождаемая семействами отклонений, норм, согласована с алгебраической операцией;

• для топологических п-арных полугрупп, являющихся производными от бинарных полугрупп, даны условия непрерывности бинарной операции;

• дана характеристика топологических п-группоидов Менгера;

• даны необходимые и достаточные условия топологического вложения парных абелевых топологических и полутопологических полугрупп в бинарные топологические группы;

» найдены классы п-арных, в том числе, и,бинарных, топологических полугрупп, складывающихся в бинарные топологические группы' в качестве открытых множеств, а также в локально компактные бинарные топологические группы, и выяснена роль инвариантной меры для такого вложения. ч

Научная новизна полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении п-арных топологических полугрупп и групп, в теоретических исследованиях в области топологической алгебры, абстрактного гармонического анализа, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах и пединститутах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1)Характеризация топологий на п-арных полугруппах, согласованных с парной операцией, в терминах отклонений.

2) Описание топологических бинарных групп в терминах норм, квазинорм и отклонений.

3) Описание п-группоидов Менгера с топологией.

4) Характеризация топологических п-арных полугрупп, являющихся производными от бинарных полугрупп.

5) Построение обертывающих топологических полугрупп для п-арных полутопологических полугрупп с сокращениями.

. б) Необходимое и достаточное условие топологического вложения п-арных абелевых топологических полугрупп с сокращениями в бинарные топологические группы.

7) Выяснена роль инвариантной меры для топологического вложения парных топологических полугрупп в локально компактную топологическую группу в качестве открытого подмножества.

8) В терминах равномерных структур дано, необходимое и достаточное условие топологического вложения бинарной полугруппы, наделенной локально компактной топологией такой, что сдвиги в ней открыты и непрерывны, в локально компактную бинарную топологическую группу в качестве открытого множества.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры алгебры и геометрии Гомельского государственного университета (руководитель семшира член-корреспондент АН Республики Беларусь Шеметков Л.А.), на научных семинарах кафедры математического анализа Гомельского государственного университета, на семинаре под руководством профессора Русакова С.А. "п-арные алгебраические системы и их приложения" Белорусского государственного университета транспорта, на Третьей международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргополова (Красноярск, 1993 год), на Международной математической конференции, посвященной 25-летгао Гомельского государственного университета (Гомель, 1994 год), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994 год), на Международной конференции, посвященной памяти академика С.А.Чунихина (Гомель, 1995 год), на VII Белорусской математической конференции (Минск-1996).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1], [2], препринтах [3], [4], в тезисах [5], [6], [7], [8], [9], [10], [1Ц.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной част», выводов и списка использованных источников в алфавитном порядке на русском языке, затем в алфавитном порядке на английском и других языках в количестве 109 наименований. Объем диссертации - 76 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Теория п-арных топологических полугрупп находится в стадии становления. В § 3.1 главы 3 в терминах отклонений, норм дана характеристика топологий на п-арных полугруппах и группах (в том числе и бинарных), согласованных с п-арной операцией.

Напомним, что п-арная полугруппа <Х, ()> называется топологической, если она наделена топологией такой, что п-арная операция ( ) непрерывна по совокупности аргументов; если кроме того; решение каждого из уравнений (ха"~')=а и (у°Г')=а существует и непрерывно зависит от а"~*аеХ", то <Х, ()> называется топологической п-арной группой.

Среди результатов этого параграфа выделим две теоремы.

Теорема 3.1.2. Пусть {/} - семейство инвариантных отклонений на парной полугруппе <Х, ()>, т - топология, порождаемая этим семейством. Тогда <Х,( )д > - п-арная топологическая полугруппа.

Понятие нормы на группе, введенной Марковым А.А. тесно связано с инвариантными отклонениями. По семейству норм на группе в работе строится семейство инвариантных слева отклонений и семейство инвариантных справа отклонений, порождающих соответственно левую и правую топологии на группе.

Теорема 3.1.4. Пусть {Ы} - непустое семейство норм на бинарной группе (7. Тогда следующие условия равносильны:

*) правая и левая топологии на С, порождаемые семейством норм {Ы} совпадают;

**) для каждых а е С, каждой нормы и каждого числа а>0 су-

ществуют нормы N, Ы„ го {Ы} и число Р>0 такие, что Ы(аха)<а для

всех хеС, таких, что Nl (л)<(3 одновременно для всех /=1,2,...,л;

***) Группа С, наделенная левой топологией, является топологической группой;

****) Группа в, наделенная правой топологией, является топологической группой.

Напомним, что п-арная полугруппа <Х, ( )> является производной от бинарной полугруппы <Х,* >, если ) — х\х2• ••хп для любой последова-

тельности х" 6 X". Если топологическая п-арная полугруппа, являющаяся производной от бинарной полугруппы такова, что бинарная операция непрерывна, то это сразу же означает вложимость п-арной топологической полугруппы в бинарную топологическую полугруппу. С другой стороны,, если парная топологическая группа является производной от бинарной группы, то бинарная операция непрерывна. В § 3.2 приведен пример, показывающий, что для п-арных топологических полугрупп это не так. Найдены условия при которых бинарная операция в п-арной полугруппе является непрерывной.

Теорема 3.2.2. Пусть <Х, ( ),т > - п-арная топологическая полугруппа такая, что сдвиг ( о для каждого а е ^является открытым ннъектив-

ным отображением топологического пространства X в себя. Если ) > является производной от бинарной полугруппы <Х, •>, то бинарная операция «• » непрерывна.

Аналогичная задача в теоремах 3.2.3 и 3.2.4 решается и для полутопологических полугрупп.

Введено понятие слабо реверсивной слева (справа) п-арной полугруппы, обобщающее понятие реверсивной слева (справа) бинарной полугруппы на случай п-арных полугрупп.

Теорема 3.2.6. Пусть <Х, ( ), т> - п-арная полугруппа слабо реверсивная справа и с сокращениями, являющаяся производной от бинарной полугруппы <Х, •>, наделенная локально компактной топологией т такой, что трансляции

хи^-'ха,",,) к е{1,2,...,л-1} •

Н и _ ул-1

непрерывны и открыты, для любой последовательности а\ ак+\ е л Тогда п-арная операция ( ) непрерывна по совокупности аргументов, бинарная операция «•» непрерывна по совокупности аргументов и <Х,«, т> топологически вкладывается в локально компактную бинарную группу в качестве открытого множества.

В § 3.2 рассматриваются п-группоиды Менгера наделенные топологией. п-Группоид Менгера - это непустое множество X с п-арной операцией ( ), в

котором выполняется тождество: ((я'^Г'^^^гУГ1 )"•(*»■''" '))•

Отметим, что п-группоиды Меигера являются одним из интересных объектов п-арных алгебраических систем. Топология на п-группоидах еще не исследовалась. Из определения п-группоида Менгера вытекает важность операции *, которая задается следующим образом:

Ясно, что для п-группоида Менгера, наделенного топологией, непрерывность п-арной операции влечет непрерывность операции *. В работе показано, что обратное неверно. В данном параграфе получены необходимые условия, при которых из непрерывности операции * вытекает непрерывность п-арной операции. Среди подобных результатов выделим следующую теорему.

Теорема 3.3.2. Пусть <Х,( ),т> - п-группоид Менгера, наделенный топо-

инъективен. Тогда операция * непрерывна в т тогда и только тогда, когда парная операция ( ) непрерывна в т.

В п-группоиде Менгера X формула

задает ассоциативную бинарную операцию «•». Полугруппа <Х,«> называется диагональной полугруппой п-группоида Менгера. Найдены условия при которых диагональная полугруппа п-группоида Менгера с топологией является топологической полугруппой, группой.

Из результатов Г. Чупоны следует, что на обертывающей группе й парной топологической группы <У, (),т,.> существует топология тс такая, что (У,1Г) является открытым подпространством топологического пространства (й, тс), а <<?,», тй> является бинарной топологической группой. В этом случае каноническая инъекция уу-ьуей является топологическим вложением <У, (), т,> в бинарную топологическую группу <С,«, хс>.

В главе 4 дается решение проблемы вложения п-арных топологических полугрупп в бинарные топологические группы для некоторых классов- парных полугрупп.

1 > •••глп ».

из Х2-'вХ.

логией х такой, что правый сдвиг х

для каждого а е X, открыт и

Цля абелевых п-арных полугрупп установлено:

Теорема 4.1.1. Для того, чтобы топологическая п-арная аб'елева полу-руппа с сокращениями топологически вкладывалась п бинарную тополо-ическую группу в качестве открытого подмножества, необходимо и доста-очно, чтобы она была полугруппой с открытыми внутренними трансляция-ш и удовлетворяла условию (/<"):

Г) для любой последовательности Л', еХ" и любой открытой окрестности К, тонких, найдутся открытые окрестности К2.....К точек х!У...,х„ соответственно, такие что

х! Е П {Уху2...уп}

У 2 ^2

Отметим, что данная теорема является обобщением с бинарных полу-эупп на п-арные полугруппы результата Рогмана5.

Теорема 4.1.2. Пусть п-арная топологическая полугруппа <Х, ( ),т,> с экращениями и с открытыми внутренними сдвигами и р -алгебраическое тожение <Х,( )> в бинарную полугруппу <У,«> с сокращениями так, что = р(Л')Цр(ЛГ)3Ц...Цр(Л')""1. Тогда на У существует топология г,, такая, что У, •, т, > - топологическая полугруппа, р(Х) - открытое подмножество У, утренние сдвиги в У открыты и р - топологическое вложение <Х, ( )д х > в

Эту теорему можно рассматривать как обобщение уже упомянутого >ше результата Г. Чупоны на случай топологических п-арных полугрупп с гкрытыми сдвигами.

В § 4.2 плолучены результаты о вложении п-арных локально компактах полутопологических абелевых полугрупп в локально компактные би-|рные группы.

Теорема 4.2.1. Пусть <Х,{ к> - п-арная абелева полугруппа, наделен-ш локально компактной топологией тд., причем все трансляции в X иепре-•1вны, открыты и инъективны. Тогда существует бинарная локально ком-

оЛтапМ.). ЕтЫ<М'иц! оГ 1оро1од]са1 5ет1£Гоир5 II МаЛ. Ann.-1960.-V. 139.-Р. 197-203.

пактная абелева топологическая группа <В,+,т„> и топологическое вложение р: Х-* В такое, что р(Х) - открытое подмножество В.

Теорема 4.2.2. Пусть <Х,( ),т ж> - n-арная абелева полугруппа, наделенная локально компактной топологией тх, такой, что все'внутренние трансляции В X непрерывны и открыты. Для того, чтобы <Х,( ),хх> топологически вкладывалась в локально компактную абелеву топологическую бинарную группу в качестве открытого множества необходимо и достаточно, чтобы на кольце множеств, порожденном классом всех компактных подмножеств топологического пространства (A', ix) существовала ненулевая, конечно- аддитивная, конечная неотрицательная функция множеств X, такая, что

для любого В из области определения X и любой по-

П-1 _ yi|-I

следовательности ел

Данная теорема является обобщением результата Rigelhof6 на случай л-арных полутопологических полугрупп.

В последней главе диссертации исследуется роль инвариантной меры для вложения n-арных и бинарных полугрупп в локально компактные топологические полугруппы. Понятие инвариантной меры на n-арных полугруппах было введено Мухиным В.В. Им же получены результаты о вложении бинарных полугрупп с мерой в локально компактные группы. Следующие результаты являются распространением результатов Мухина В.В. на рассматриваемый случай.

Теорема 5.1.1. Для того, чтобы n-арная реверсивная справа топологическая полугруппа с открытыми сдвигами, алгебраически вкладывающаяся в бинарную группу, топологически вкладывалась в бинарную локально компактную топологическую группу в качестве открытого подмножества, необходимо и достаточно, чтобы на данной n-арной полугруппе существовала ненулевая внутренне регулярная локально конечная левоинвариантная борелев-ская мера.

Теорема 5.1.2. Для того чтобы n-арная топологическая полугруппа с открытыми сдвигами, являющаяся производной от бинарной полугруппы, алгебраически вкладывающаяся в бинарную группу, топологически вклады-

й Rigelhof R. Invariant measures on locally compact semigroups II Proc. Amer. Math. Soc. - 1971. - V. 28, Nsl. -P.173-176.

валась в бинарную локально компактную группу в качестве открытого подмножества необходимо и достаточно чтобы на данной п-арной. полугруппе существовала ненулевая внутренне регулярная локально конечная левоинва-риантная борелевская мера.

Теорема 5.2.1. Пусть X - бинарная полугруппа, алгебраически вкладывающаяся в группу, наделенная локально компактной топологией т такой, что правые и левые сдвиги в X являются непрерывными отображениями. Для того, чтобы X топологически вкладывалась в локально компактную топологическую группу в качестве открытого множества необходимо и достаточно, чтобы X обладала открытым левым идеалом / таким, что 1 является топологической полугруппой в индуцированной на / топологии т 7, и на / существует равномерная структура II со следующими свойствами:

1) топология, порождаемая этой равномерной структурой, отделима;

2) существует фундаментальная система {У) симметричных окружений

равномерной структуры 11 такая, что У(х) ет, для любых V е {V} и х е /, а

соотношения (.т, у) е V и (гдг, :у) е К равносильны для любых Уе (У) и

2<Е/.

ВЫВОДЫ

В диссертационной работе решены следующие проблемы топологической алгебры:

1. Получено достаточное условие, при котором семейство отклонений на парной полугруппе порождает топологию, согласованную с п-арной операцией. Дана характеристика топологических бинарных 1рупп в терминах норм.

2. Для п-арных топологических полугрупп, являющихся производными от бинарной полугруппы, показано, что, вообще говоря, бинарная операция не является непрерывной. Получены условия непрерывности бинарной операции, непрерывности и открытости сдвигов в бинарной полугруппе для таких п-арных полугрупп.

3. Для п-группоидов Менгера с топологией найдены взаимоотношения'ме-жду непрерывностью п-арной операцией, (2п-1)-арной операцией, естественно возникающей в п-группоидах Менгера, и непрерывностью бинарной операции в диагональной полугруппе.

4. Для п-арных абелевых топологических полугрупп с сокращениями найдено необяходимое и достаточное условие топологического вложения этих полугрупп в бинарные топологические группы в качестве открытого подмножества.

5. Построена обертывающая топологическая полугруппа для п-арной топологической полугруппы с открытыми сдвигами и с сокращениями.

6. Установлено, что абелева п-арная полугруппа с сокращениями, наделенная локально компактной топологией такой, что все внутренние трансляции в этой полугруппе непрерывны и открыты, топологически вкладывается в локально компактную топологическую абелеву бинарную группу в качестве открытого множества.

7. Выяснена роль инвариантной меры для топологического вложения п-зрных топологических полугрупп в локально компактную топологическую группу в качестве открытого подмножества.

8. В терминах существования равномерных структур получены необходимые и достаточные условия топологического вложения бинарной полугруппы, наделенной локально компактной топологией такой, что сдвиги в ней непрерывны и открыты, в локально компактную бинарную топологическую группу в качестве открытого множества.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

; |

1. Мухин В.В., Бужуф Хамза. О вложении п-арных абелевых топологических полугрупп в п-арные топологические группы // Вопр. алгебры.-Гомель, 199б.-Вып.9.-С.153-157.

2. Бужуф X. О топологиях на п-арных полугруппах, определяемых семействами отклонений // Вопр.алгебры.-Гомель,1997.-Вып.10.-С (принято к печати).

3. Бужуф Хамза бен-Ахмед. Вложение п-арных топологических полу групп в бинарные группы и меры на них.-Препринт / ГГУ.-Гомель, 1996 32 с.

4. Бужуф Хамза бен-Ахмед.О топологиях на п-группоидах Менгера и п арных полугруппах , являющихся производными от бинарных полу групп.-Препринт/ ГГУ.-Гомель,1996. 18 с.

5. Бужуф X., Мухин В.В. О квазинормах на группах с топологией //Алгебра и анализ: тез. докл. междунар. науч. конф., поспящ.. 100-леппо со дня рожд. Н.Г.Чеботарева. Казань, 5-11 июня, 1994. - Казань, 1994. -4.2.-С. 139.

6. Бужуф X., Мухин В.В. Нормируемые группы // Проблемы математики и информатики: тез. докл. междунар. мат. конф. - Гомель, 1994.- Ч. 1. -С. 135.

7. Бужуф X. О топологиях на a-арных полугруппах, определяемых семействами отклонений // Проблемы алгебры и кибернетики: тез докл. междунар. науч. конф., посвящ. памяти акад. С.А.Чунихина. - Гомель, 1995. - Ч. 1. - С. 30.

8. Бужуф X. О топологическом вложешш полугрупп в локально компактные группы // Третья междунар. конф. по алгебре, памяти М.И.Каргополова (1928-1976), Красноярск, 23-28 авг., 1993: тез. докл. -Красноярск, 1993. - С. 53-54.

9. Бужуф Хамза бен- Ахмед. О топологиях на n-арных полугруппах, являющихся производными от бинарной полугруппы // Сб. VII Белорусская математическая конференция.- Минск, 1996.-Ч. 1.-С. 85-86.

10. Бужуф Хамза бен- Ахмед. О топологиях на n-группоидах Менгера// Сб. VII Белорусская математическая конференция. -Минск, 1996. -Ч. 1.-С.86-87.

11. Мухин В.В., Бужуф X. О вложении n-арных абелевых топологических полугрупп в n-арные топологические группы // Проблемы алгебры и кибернетики: тез докл. междунар. конф., посвящ. памяти акад.. С.А.Чунихина. - Гомель, 1995. - Ч. 1. - С. 101.

РЕЗЮМЕ

0ужуф Хамза бен-Ахмед

Топологические алгебраические системы: вложение n-арных тополо-ических полугрупп в бинарные топологические группы.

Ключевые слова: Топологическая n-арная (бинарная) полугруппа и руппа, n-группоид Менгера, отклонения, норма, топологическое вложение, iepa, непрерывная n-арная (бинарная) операция.

В диссертации с помощью методов абстрактной теории групп, полугрупп, п-арных алгебраических систем, общих методов теории топологических алгебр, теории меры исследовались проблемы топологического вложения бинарных и п-арных топологических групп.

Получены необходимые и достаточные условия топологического вложения: п-арных абелевых топологических полугрупп в бинарные топологические группы; бинарной полугруппы с локально компактной топологией в бинарную топологическую группу. Выяснена роль инвариантной меры для такого вложения. Построена обертывающая топологическая полугруппа для п-арных полутопологических полугрупп. Дана характеристика топологий на п-арных полугруппах согласованных с п-арной операцией, в терминах отклонений; для топологических бинарных групп, в терминах норм, квазинорм и отклонений. Дано описание п-группоидов Менгера с топологией и п-арных полугрупп, являющихся производными от бинарных полугрупп.

Все основные результаты работы являются новыми. Они имеют теоретический характер и могут быть использованы при изучении п-арных топологических полугрупп и групп, в теоретических исследованиях в области топологической алгебры, абстрактного гармонического анализа, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах и пединститутах.

РЭЗЮМЭ

Бужуф Хамза бен-Ахмед

Тапалапчныя алгебра!чныя Ыстэмы: укладанне бшарных 1 п-арных та-папапчных паугруп у бшарныя тапалапчныя групы.

Ключавыя словы: Тапалапчная п-арная (бшарная) паугрупа 1 група, п-групощ Менгера, адхшенш, норма, тапалапчнае ук-"аДаи1|е> мера, непарыуная п-арная (бшарная) аперацыя.

У дысертацьи з дапамогай метадау абстрактна« тэорьн груп, паугруп, парных алгебра1чных Ыстэм, агульных метадау тэорьи тапалапчных алгебр, гэорьп меры даследавашсь праблемы тапалапчнага укладання бшарных 1 п-ариых тапалапчных паугруп у бшарныя тапалапчныя групы.

Атрыманы неабходныя I дастатковыя умовы тапалапчнага укладання парных абелевых тапалапчных паугруп у бшарыя тапалапчныя групы; бшарнам паугрупа з лакальнаи кампактнай тапалапяй у бшарную

тапалапчную групу. Высветлена роля шварыянтнай меры для такога укладання. Пабудавана тапалапчная паугрупа для абгортавання п-арнай паутапалапчнай паугрупы. Дадзена характарыстыка тапалопй на п-арных паугрупах узгодненых з n-арнай аперацыяй, у тэрмшах адх'шенняу; тапалапчных бшарных груп у тэрмшах норм, квазшорм i адхшенняу. Дадзена ашсанне п-групощау Менгера з тапалогшЧ i n-арных паугруп, як1я з'яуляюцца BbiTBopiwMi ад бшарных паугруп.

Усе асноуныя huuîkî работы з'яуляюцца новым*!. Яны маюць тэарэтычны характар i могуць быць выкарыстаны пры вывучэнш п-арных тапалапчных паугруп i груп, у тэарэтычных даследваннях у абсягах тапалапчнай алгебры, абстрактнага гармашчнага анализа, а таксама пры чытанн1 спецкурсау, якш выкладаюцца ва ун1верс1тэтах i педпггытутах.

Summary

Boujoiif Hamza ben-Ahmed

Topological algebraic systems: Embedding binary and n-ary topological semigroups in a binary topological groups.

KEY WORDS. Topological n-ary (binary) semigroup and group, Menger n-groupoid, deflection, norm, measure, topologicaly embidding, continuous n-ary (binary) operations.

In this thesis are studed by means of methods of the abstract theory groups, semigroups, n-ary algebraic system, general methods of the topological algebras theory the problems of embedding a topological binary and n-ary semigroups in a binary topological groups.

Obtained the necessary and sufficient conditions for the topologically embedding the n-ary abelian topological semigroups in a binary topological groups; the locally compact semigroups in a binary topological groups. Determined the role of the invariant measures in this inbedding. Constructed the covering topological semigroup of the n-ary semitopological semigroup. We have get the description of the topology in the n-ary semigroups compatible with the n-ary operations in terms of deflections; the topology in the binary groups in terms of norms, quasinorms and deflections; the Menger n-groupoids, derivatives topological n-ary semigroups.

All the main results of this thesis are new. They are of the theoretic character and may be used while providing investigations in the n-ary topologica semigroups and groups, in the abstract harmonic analysis and while teaching special courses in universities and pedagogical institutes.