Характеры N-арных полугрупп и N-арных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

55

Сергеева Дина Владимировна ХАРАКТЕРЫ ЛГ-АРНЫХ ПОЛУГРУПП И Ы-АРНЫХ ГРУПП

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 I"": пт

I ^ ■ ■ L и i't

005549970

Казань

— 2014

005549970

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный педагогический университет» на кафедре математики и методики преподавания математики

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет» Мухин Владимир Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Учреждения образования «Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины» Скиба Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент ФГАОУ ВПО «Северный (Арктический) федеральный университет им М.В. Ломоносова» Корабелыцикова Светлана Юрьевна

ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет»

Защита состоится 10 октября 2014 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.24 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 1011 2-го корпуса КФУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Автореферат разослан « » 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент ' А.И. Еникеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Алгебраические структуры с одной или несколькими бинарными операциями давно являются объектами изучения алгебры. Естественным обобщением накопленного в этой области опьгга оказалось введение я-арных операций и рассмотрение я-арных алгебраических систем, в том числе, и-арных полугрупп и и-арных групп. В научной литературе достаточно широко исследованы свойства n-арных групп, менее исследованы свойства и-арных полугрупп. Изучением этих систем в разное время занимались С. Crombez, G. Six, Г. Чупона , Л.М. Глускин, M. Hosszu, С.А. Чунихин, С.А. Русаков, Endres Norbert, К. Glazek , M.R. Zizovic, W.A. Dudek, S. Markovski, B.B. Мухин, A.H. Гальмак, А.Г. Курош, А.И. Мальцев, A.K. Сушкевич, JI.A. Шеметков, A.H. Скиба, В.А. Артамонов, О.В. Колесников, Ж. Мадевски, Б.Л. Трпеновски, D. Boccioni, С. Тодоринов, М. Костова, Буржуф Хамза, Е.Е. Филиппова.

Развитие теории таких и-арных систем привело к тому, что наряду с алгебраической структурой на и-арных группах и я-арных полугруппах стали рассматриваться и другие математические структуры, в частности, топологическая. Топологические и-арные группы и и-арные полугруппы стали изучаться сравнительно недавно. Понятие топологической и-арной группы было введено в 1971 году в работе [11]. Эти объекты рассматривались так же в публикации [10] 1974 году и в работе [8] в 1984 году.

Актуальность исследования теории характеров я-арных полугрупп и и-арных групп обусловлена рядом причин. Выделим из них две, на наш взгляд важнейшие. Во-первых, огромная роль теории характеров, в том числе топологических, и развивающиеся в настоящее время исследования в этом направлении для бинарных полугрупп. Во-вторых, развитие теории и-арных алгебраических систем привело к изучению подобных систем наделенных топологией. Это заставляет искать методы их исследования. Теория характеров и-арных полугрупп и и-арных групп претендует на один из подобных методов.

Следует отметить, что изучение свойств множества характеров локально компактных абелевых топологических групп привело к становлению абстрактного гармонического анализа на таких системах, который имеет многочисленные практические приложения, и позволило лучше понять свойства самих этих топологических бинарных структур. Данный факт находит отражение в следующей знаменитой теореме.

Теорема Понтрягина - ван Кампена. Для любой локально компактной абелевой топологической группы G естественное отображение G в свою

вторую группу характеров G, которое элементу geG ставит в соответствие характер fK е G по формуле

fg(x)=x(g).

где х — характер группы О, является изоморфизмом топологических групп [6].

Введенное в данной работе понятие характера и-арной топологической группы (полугруппы), полученные свойства множества характеров, в частности, распространение теоремы Понтрягина - ван Кампена на случай локально компактных топологических абелевых и-арных групп и топологических и-арных полугрупп с инвариантной мерой, представляют собой аппарат для исследования таких топологических и-арных систем.

В настоящее время топологические л-арные группы и и-арные полугруппы изучают В.В. Мухин, В.А. Дудек, X. Буржуф, Е.Е. Филиппова и др. [1], [2], [3], [4], [5], [9], [13], [15].

В качестве применения теории характеров, в работе рассматриваются сверточные алгебры мер и функций на локально компактных топологических «-арных группах (и-арных полугруппах), преобразование Фурье-Лапласа на локально компактных топологических л-арных группах.

Объект исследования: характеры и-арных полугрупп (и-арных групп).

Предмет исследования: свойства характеров и-арных полугрупп (и-арных групп), их связь с характерами бинарных полугрупп (групп), а также, некоторые приложение теории характеров.

Цель работы заключается в том, чтобы распространить понятие «характер» со случая бинарных групп (полугрупп) па случай и-арных групп (и-арных полугрупп), изучить свойства характеров таких и-арных систем и рассмотреть их применение.

К основным задачам, решаемым в работе относятся:

1) изучение свойств характеров и-арных полугрупп (и-арных групп);

2) рассмотрение применения характеров к изучению свойств локально компактных абелевых и-арных групп (и-арных полугрупп).

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми.

Методы исследования. В работе используются методы алгебры, общей топологии, топологической алгебры, абстрактного гармонического анализа.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении и-арных групп и л-арных полугрупп, в теоретических исследованиях в области топологической алгебры, гармонического анализа, теории функций, функциональном анализе, а также при чтении спецкурсов для студентов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры алгебры, геометрии и теории обучения математике (Вологда, В ГПУ, 2004 г.); на научных семинарах кафедры алгебры и геометрии (Череповец, ЧГУ, 2005 г.); на межвузовской конференции молодых ученых (Череповец, 2005 г.); на всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука региону» (Вологда, 2005 г.); на региональной молодежной школе-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2006 г.); на сессии аспирантов и молодых ученых (Вологда, 2006 г.); на всероссийской научно-практической конференции «Череповецкие научные чтения» (Череповец, ЧГУ, 2009 г., 2010 г., 2011 г.); на научном семинаре кафедры алгебры и математической логики Ярославского государственного университета

имени П.Г. Демидова (Ярославль, ЯрГУ, 2011 г.); на 6-й международной научно-технической конференции «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта» (Вологда, ВоГТУ, 2011 г.), на научном семинаре «Алгебра и логика» Новосибирского государственного университета (Новосибирск, НГУ, 2011 г.), на международной научной конференции «Математика в современном мире» посвященной 150-летию Д.А. Граве (Вологда, ВГПУ, 2013 г.).

На защиту выносятся:

1) свойства характеров //-арных полугрупп (л-арных групп);

2) применение характеров к изучению свойств локально компактных абелевых и-арных групп (л-арных полугрупп).

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [16] — [30], из них [16] — [18] входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Работы [16], [17], [20], [21], [23]-[27], [29], [30] выполнены в соавторстве с научным руководителем В.В. Мухиным.

Структура и объем диссертационного исследования. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Библиография включает 92 наименования. Общий объем диссертации 112 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Отметим, что нумерация теорем в данном автореферате совпадает с нумерацией теорем в диссертационном исследовании.

Введение содержит обоснование выбора темы, ее актуальность, объект, предмет, цель и задачи исследования.

В главе 1 содержится обзор и анализ научной литературы, посвященной исследованию л-арных групп, и-арных полугрупп, характеров бинарных групп (полугрупп), инвариантных мер и преобразования Фурье-Лапласа на локально компактных топологических группах.

В главе 2 вводится понятие «характер л-арной полугруппы» (л-арной группы), проводится исследование свойств характеров л-арных полугрупп (л-арных групп).

Глава разбита на два раздела. Здесь рассматриваются следующие вопросы:

- распространение понятия «характер» со случая бинарных полугрупп (групп) на случай л-арных полугрупп (л-арных групп);

- установление вида алгебраической структуры данного множества;

- исследование свойств множества характеров на рассматриваемых системах;

- изучение связи структуры характеров л-арных полугрупп (л-арных групп) с подобной структурой бинарных полугрупп (групп).

Следующее понятие при л = 2 полностью совпадает с соответствующим понятием для бинарных групп.

Пусть С множество всех комплексных чисел. Отображение назовем

" характером n-арной полугруппы {X, ( )), если для любой последовательности X] <sXn выполняются следующие условия:

2)|хИ)| = 0ил„|хИ)| = 1. ■ характером и-арной группы (X,( )), если для любой

последовательности х" еХп выполняются следующие условия:

i)x((*f)) = x(*i)---xO„);

Теорема 2.1.2. Множество X* всех характеров п-арной полугруппы X, наделенное операцией умножения характеров, является коммутативной бинарной полугруппой с единицей и нулем.

Теорема 2.13. Множество X всех характеров п-арной полугруппы X, не

обращающихся в ноль на X, является подгруппой X*.

Теорема 2.1.4. Если % — тождественно не равный нулю характер п-арной

полугруппы (Х,( )), то формула

xi(*)=ß-xto

определяет характер данной п-арной полугруппы тогда и только тогда, когда ß"_1 =1 или ß = 0.

Непустое подмножество / и-арной полугруппы X называется идеалом X, если для любой последовательности а"'1 еХ"~1, любого ае/ и любого

/ = 0,1,2, ..., п-1 имеем [а[а a"~i)e I.

Идеал / называется в п о л н е изолированным идеалом «-арной полугруппы X, если X \ I есть и-арная подполугруппа X. Далее всюду X — абелева и-арная полугруппа, если не оговорено противное. Теорема 2.1.5. Пусть % е X*. Множество

Vx={aeX\ х(о)=0}

является или пустым множеством, или вполне изолированным идеалом п-арной полугруппы X.

Пусть Р — вполне изолированный идеал и-арной полугруппы X. Тогда характеристическая функция

[1, если хеХ\Р е Р = <

[О, если хеР

является характером л-арной полугруппы X .

Теорема 2.1.6. Пусть Р — вполне изолированный идеал п-арной

полугруппы X. Множество Н*Р = ["/ | х б Л'*, Кх = Р | является подгруппой X*, и £р есть единица НР. Каждый характер %еХ* принадлежит Н*Р если Р = У^. Если Р\ и Р2 —различные вполне изолированы идеалы X, то ///> =0.

Формула

х*у = {ха?-2у) (*,уеХ) (1)

задает коммутативную и ассоциативную бинарную операцию на X для последовательности а"'2 еХп~2 [4].

Теорема 2.1.8. Если х — ненулевой характер п-арной полугруппы X , то формула 7|(х)= р-/(_х) (х е Л') определяет характер бинарной полугруппы (X,*) тогда и только тогда, когда р = х (ах )•...• X (ап-2 ) ти Р = 0.

Теорема 2.1.9. Пусть коммутативная п-арная полугруппа X обладает нейтральной последовательностью а"~2с!. Если х — характер бинарной полугруппы (X,*), то для каждого комплексного числа Р такого, что

<1 , функция Р"Х(*) (хеХ) является характераи п-арной

Л Л полугруппы X.

«-арную полугруппу X назовем сепаративной я-арной полугруппой, если для некоторой последовательности а"~2еХ"~2 из

равенств (аа"~2а)= {ьа"~2ь)= {аа"~2ь} (а,ЬеХ) следует а = Ъ.

Теорема 2.1.10. п-Арная полугруппа X является сепаративной для последовательности а"~2 тогда и только тогда, когда для этой последовательности бинарная полугруппа (X, *) является сепаративной бинарной полугруппой.

Мы говорим, что характеры п-арной полугруппы X из множества АсХ" отделяют элементы X, если для любых различных элементов а,Ь&Х найдется такой характер А, что х(а)

Теорема 2.1.11. Пусть X — п-арная полугруппа. Если найдется множество Ас: X* такое, что характеры из А не обращаются в ноль и отделяют элементы X, то X является сепаративной п-арной полугруппой.

Р"_1=Х

Абелеву «-арную полугруппу называют л -арной полугруппой с сокращениями, если отображение (а"-1*) (* е X) инъективно для

каждой последовательности а"-1 е X" 1 [4].

Пусть {Х,( )) — абелева л-арная полугруппа с сокращениями. В [14] показано, что существует абелева и-арная группа (С,( )) и инъективное

отображение у.Х^-О такое, что <р{а")=(<р(а^)(р(а2)...(р{апУ). Не ограничивая общности, будем отождествлять X с <р(х), т.е. предполагать, что X сО и, что сужение л-арной операции из С на X совпадает с и-арной операцией на X.

(п-2\_,и-1

Теорема 2.1.13. Множество Л = хх j х2 \ дг,,х2 е X | является п-арной

подгруппой (С,( )), содержащей X. и, следовательно, — наименьшей п-арной подгруппой (С,( )}, содержащей X.

Теорема 2.1.14. Пусть % —характер абелевой п-арной полугруппы (Х,( )) с сокращениями, не обращающийся в ноль на X. Тогда формула

( 'л-2у 1п-1 хх хг

= {х{хх)?-п№г)У-ХЛхх>*геХ)

определяет характер п-арной группы (С,{ )), причем сужение /х на X совпадает с

В [12] показано, что для всякой /¡-арной полугруппы X существует бинарная полугруппа 5 такая, что X а Я, каждый элемент 5 представим в виде где /е{1,2,...,и-1}, х1-...-х^у\-...-у) для любых

/ е {1,2,..., и — 1}, уе{1,2,...,и-1} и / *./, а так же (*[* )=*!-...• х„ для любой

последовательности х"еХ". Такую полугруппу 5 называют универсальной обертывающей полугруппой для и-арной полугруппы X. Если и-арная полугруппа X абелева, то существует абелева универсальная обертывающая полугруппа для X .

Теорема 2.1.15. Если х —характер бинарной полугруппы 5, то сужение х на X является характером п-арной полугруппы X .

Если х — характер п-арной полугруппы X, то существует единственный характер бинарной полугруппы Б, сужение которого на X совпадает с

Теорема 2.1.16. Если характеры бинарной полугруппы Б отделяют элементы Б, то характеры п-арной полугруппы X отделяют элементы X .

Если характеры п-арной полугруппы X отделяют элементы X, и универсальная обертывающая полугруппа 5 п-арной полугруппы X содержит

такой элемент а е X, что сдвиги г I—> а' ■ г в Б инъективны для любого / = 1.....л — 1, то характеры бинарной полугруппы 5 отделяют элементы 5 .

Пусть (Х,{ )) — п-арная группа. Множество всех характеров «-арной группы X будем обозначать X.

Теорема 2.2.1. X — бинарная группа относительно обычного умножения

комплекснозначных функций.

Если на множестве X существует такая бинарная операция % что (X,•) — группа и для любой последовательности х" е X" имеет место равенство

(ХГ )=*1 'х2 • —

то (X, ( )) называется производной л- арной группой от бинарной группы (X, ■).

Теорема 2.2.3. Если п-арная группа (X, ( )) является производной от бинарной группы (X, и х(х) — характер группы (X,-), то для любого Р £ {"~УТ } формула

х(*)=х(*)-Р

определяет характер на (Х,( )).

Также справедлива теорема обратная к 2.2.3.

Бинарная группа (С, •) называется обертывающей для «-арной группы (X, ( )), если:

1) группа й порождается множеством X;

2) (а")= а1 ■ а2 ■ ■■■• ап для любой последовательности а" е X". Множество Со = [х^ ■ х2 • ■■■• хп_\\х\, х2, ... ,хп_х<=Х\ является нормальной подгруппой О. Подгруппа {р0, •} группы (С,-) называется соответствующей группой и-арной группы (Х,( )). Факторгруппа С/С0 является циклической группой с образующим элементом X, порядок которой делит п -1. Если | СЮ0\ = п-1, то группа (р, •) называется универсальной обертывающей группой. Для любой л-арной группы существует универсальная обертывающая группа. Группу (X, *), где операция * задана формулой (1), называют сопутствующей группой л-арной группы (Х,( ))

[7].

Теорема 2.2.5. Пусть (р, ■) — обертывающая группа абелевой п-арной группы (X, ( )), Со —соответствующая группа, | йЮа\ = к и п = Iк + \. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если % ~ характер группы й и Ре то формула

XI (х)=Р-х(*) (хеХ) (2)

задает характер Х\ п-арной группы (X, ( )), причем характеры, определяемые формулой (2), равны тогда и только тогда, когда равны числа Р 6 {л/Г} 11 ровны характеры группы О ;

2. Если к = п-\, то каждый характер п-группы (X,( )) является сужением на X характера группы С, и тем самым, представим формулой (2);

3. При 1<п — 1 и Ь&Х для любого характера х соответствующей группы Од и

для любого а е |"~УГ] формула

Х1(Ь*)=«-Р-Х(*) (хев0),

где р* =х[рк ). задает характер п-арной группы (X, ( )}.

Теорема 2.2.6. Пусть х — характер сопутствующей группы (X, *), где бинарная операция на X задана формулой (1) для последовательности а""2, и аа"~2 — нейтральная последовательность в (XТогда х является

характером п-арной группы (X, ( )) тогда и только тогда, когда х а = 1 •

чч //

Теорема 2.2.7. Пусть х — характер п-арной группы {X, ( )}. Тогда х является характером бинарной группы (X, *) тогда и только тогда, когда

г{а\)-х{а2У--г{а„_2)=\.

Обозначим X* множество характеров бинарной фуппы (X, *), X — множество характеров и-арной группы (X, ( )), тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2.8. Множества

I/

а =1 «{/^|/(а,)-/(а2)-...-/(а„_2) = 1}

являются подгруппами каждой из групп X' и X и совпадают.

Теорема 2.2.9. Пусть (С, •) — абглева бинарная группа, X — система образующих й, Н — подгруппа С, а — элемент из О такие, что X = аН, множества аН,...,ак"1Н попарно различны и акН~аН. Пусть I е N, п = 1(к-1)+1 и (а" = О] ■... • а„. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. (х, ( ) ^ является абелевой п-арной группой;

2. Если х — характер к-арной группы (х\ ре{*"УТ], то формула

Х1(*)=Р-Х(*) (хеХ) задает характер п-арной группы (х,{

3. Если Х\ — характер п-арной группы (х, ( Сх.1 С^)) * ' = 1 для

= X] {Ь), то формула

некоторого Ь е X и Х\

\ к ')

х(х) = х1(б)х,(^) (хеХ)

определяет характер к-арной группы (х, (

4. Если х — характер бинарной группы О, то сужение х на Xявляется характером к-арной группы (х, ( причем различные характеры бинарной группы С имеют различные сужения на X;

5. Каждый характер к-арной группы (х\ является сужением на X

некоторого характера бинарной группы С.

В главе 3 рассмотрены особенности и-арных полугрупп и «-арных групп, наделенных топологией и инвариантной мерой.

Глава разбита на два раздела. Здесь рассматриваются следующие вопросы:

- понятие характера топологической «-арной полугруппы (топологической «арной группы);

- свойства характеров топологических «-арных полугрупп (топологических «-арных групп);

- связь структуры характеров топологических «-арных полугрупп (топологических «-арных групп) с подобной структурой топологических бинарных полугрупп (топологических бинарных групп);

- условия существования инвариантных мер на рассматриваемых топологических «-арных структурах;

- топологическая структура множества характеров топологических и-арных полугрупп с нейтральной последовательностью и инвариантной мерой.

Пусть (Х,( ),т) — локально компактная абелева топологическая и-арная

полугруппа. Обозначим и через X непрерывные характеры (Х,{ ),т).

Отметим, что теоремы 2.2.3-2.2.8, приведенные выше, обобщаются на случай топологических и-арных групп, в предположении рассмотрения непрерывных характеров на этих топологических и-арных группах.

Теорема 3.1.1. Группа X, наделенная топологией равномерной сходимости на компактных множествах является отделимой топологической группой. Рассмотрим группу (<3,( )) из теоремы 2.1.13. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1.2. Пусть (Х,{ \т) — топологическая абелева п-арная полугруппа с сокращениями и на п-арной группе (р,( )) задана локально компактная топология тс, такая что ее сужение на X слабее топологии хх, существует непустое множество II е хх п ха такое, что сужения тх и тО "а I) совпадают.

Тогда для всякого непрерывного характера х € X существует характер / е 6, задаваемый формулой

= {х{х\)?~"{х(ъ))П~Х • {хх,х2&Х),

и отображение / —х е X является изоморфизмом топологических групп X

и С!. Кроме того, группы X и <3 локально компактны.

Через К(х) обозначаем множество всех компактных подмножеств X, а через В(х) — наименьшее а -кольцо подмножеств множества X, содержащее К(Х) (элементы В(х) называют борелевскими подмножествами X). а-Адцитивную функцию на В(х), конечную на каждом компактном множестве X, называют борелевской мерой. Меру ц на X называем инвариантной на X, если

4к Д™ любых и

а"-1 е Х"~х таких, что множество \а"~ХВ ]= | хев\ принадлежит в(х).

Теорема 3.2.1. Ненулевая инвариантная мера на топологической абелевой п-арной полугруппе (Х,( ),г) с сокращениями существует тогда и только

тогда, когда для некоторой последовательности а\ е X существует ненулевая мера ц на (Х,( ),г) такая, что для любого хеХ и любого К е К(Л') выполняется равенство

-'н-1 |

х2

ч к. ^ У

Теорема 3.2.2. Ненулевая инвариантная мера на топологической абелевой п-арной полугруппе (Х,( ),г) с сокращениями супцествует тогда и только

тогда, когда для некоторой последовательности а"'2 бинарная топологическая полугруппа (Х,*,т), где х* у = [ха"~2у) (х,уеХ), имеет открытый идем I с открытыми сдвигалш на элементы полугруппы (Х,*,т), и на I существует семейство непрерывных инвариантных отклонений, отделяющее точки I.

Теорема 3.2.4. Пусть {X, ( ), т) — п-арная полугруппа, с нейтральной

последовательностью, обладающая инвариантной мерой ц. Тогда X, наделенная топологией равномерной сходимости на компактных множествах будет локально компактной топологической группой.

В главе 4 исследовано применение характеров к изучению свойств локально компактных абелевых л-арных групп (л-арных полугрупп).

Глава разбита на два раздела. Здесь рассматриваются следующие вопросы:

- распространение теоремы Понтрягина - ван Кампена на случай локально компактных топологических абелевых «-арных групп и топологических абелевых и-арных полугрупп с инвариантной мерой;

- сверточные алгебры мер и функций на локально компактных топологических л-арных полугруппах («-арных группах);

- преобразование Фурье-Лапласа на локально компактных топологических и-арных группах.

Пусть б — универсальная обертывающая группа локально компактной абелевой топологической «-арной группы X, % — непрерывный характер группы б. Сужение %х характера % на X, является непрерывным характером л-арной группы X. Тогда формула я(х) = хл-, Х^О задает отображение тт группы

характеров 6 в группу X .

Теорема 4.1.1. п — топологический и алгебраический изоморфизм

бинарной группы О на бинарную группу X. Пусть Положим

Тогда х' еХ. Зададим отображение <// из X в X равенством ц/{х)=х . Следующие две теоремы можно рассматривать, как распространение теоремы Понтрягина - ван Кампена на случай локально компактных топологических абелевых л-арных групп и на случай топологических абелевых л-арных полугрупп с инвариантной мерой.

Теорема 4.1.2. Справедливы следующие утверждения:

(г) отображение ц/ есть непрерывный инъективный гомоморфизм из X в X;

( И ) у(х) является открытой п-арной подгруппой X;

(Ш) у/(Х) является классом смежности по открытой подгруппе Н группы X;

(¡V) порядок X / Н равен и — 1.

Теорема 4.13. Если на топологической абелевой п-арной полугруппе (Х,{ ),т) с сокращениями существует ненулевая инвариантная мера р, то

топологические группы X и X являются локально компактными, естественное отображения р из X в X, задаваемое формулой

р(*)6с)=хМ {хе*).

непрерывно и инъективно, X обладает непустым открытым подмножеством и таким, что сужение р на С/ является гомеоморфизмом и на открытое

подмножество р{и) локально компактной группы X.

Пусть М{Х) — множество всех ограниченных комплексных мер на локально компактной топологической п-арной полугруппе X. В работе [4] показано, что для любой последовательности ц" е(Л/(х))" существует единственная мера Ц!*...*|1п (называемая с в е р т к о й мер цС е(м{х))п и обозначаемая так же (ц" *)) такая, что для любой непрерывной комплекснозначной функции / на X выполняется равенство

X X"

Теорема 4.2.1. Операция свертки ассоциативна на М {х). Следствие. (А/ (А"), (*)) является п-арной полугруппой.

Далее всюду {X, ( ), т) — топологическая абелева л-арная группа, топология которой локально компактна, X — множество всех непрерывных характеров этой я-арной группы. Пусть це

Функция р на X,

определяемая формулой

и{Х)=\Х{*УР (хе^)

х

называется преобразованием Фурье-Лапласа меры ц.

Пусть X — положительная инвариантная мера на группе (X, ( ), т). Мера X

однозначна с точностью до постоянного множителя. Она будет ограниченной тогда и только тогда, когда множество X компактно [4].

Множество всех интегрируемых функций на X относительно меры X будем обозначать ¿[(Л'Д).

Если /еА1(ХД),томера ц = /-Д. принадлежит м(х) и

Нх)= ¡х(х)с!/1= ¡/(х)х(х)ЛЛ(х).

X X

Теорема 4.2.4. Для любой ненулевой меры \хеМ{х), абсолютно непрерывной относительно меры X, найдется такой характер хе X, что

м{х)*0-

Теорема 4.2.5. Если ц" е (М(х))п, то (//,*...* цп )" = /!,■...■ /),л. Пусть /,,...,/„ е ^(ХД). Тогда меры * X, —, • X принадлежат М(х). Существует функция / е Ц (X, X) такая, что /-Л = /х- Л* А. Эту

функцию назовем сверткой функций /[,...,/„ е (х, X) и обозначим / = /1 *-*/„.

Теорема 4.2.6. Если /,,...,/„ еЦ (Х,Х), то {Л *-..*/„)"= -...-/„. Теорема 4.2.7. Пусть /ь ..., /„ б Ц (Х,Х). Тогда для любого хеХ

(л *-•/»)(*)=

= /-/ /Др^..., МЬ(*2 )■ • ■ /„(*„)Л(х2)..Ж(хп) =

л--1

= 1-1 ЛЫ/г^' МЬ {х2)•••/„(*„)Л(х,)Л.(х3)..Ж(хп) =

Л""1

л--1

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В работе получены следующие основные результаты:

1) введено понятие характера и-арной полугруппы и и-арной группы;

2) исследованы свойства множества характеров указанных и-арных систем, установлена алгебраическая структура множества характеров.и-арных полугрупп и и-арных групп;

3) указаны способы построения множества характеров на таких структурах, установлена взаимосвязь множества характеров и-арных полугрупп (и-арных групп) с бинарными полугруппами (группами), в том числе, с обертывающей, соответствующей и сопутствующей группами;

4) исследованы свойства множества характеров топологических и-арных полугрупп (топологических и-арных групп), в том числе, установлена топологическая структура множества характеров топологической и-арной полугруппы с нейтральной последовательностью и инвариантной мерой;

5) получено распространение теоремы Понтрягина - ван Кампена на случай локально компактных топологических абелевых и-арных групп и на случай топологических абелевых и-арных полугрупп с инвариантной мерой;

6) исследованы свертки мер и функций на локально компактных абелевых топологических и-арных полугруппах, преобразование Фурье-Лапласа на локально компактных топологических и-арных группах.

Список литературы

[1] Мухин, В.В. О вложении и-арных абелевых топологических полугрупп в и-арные топологические группы [Текст] / В.В. Мухин, Буржуф Хамза // Вопросы алгебры: Сб. - Гомель: Изд-во Гомельского университета, 1996. -Вып. 9. - С. 153-157.

[2] Мухин, В.В. Топологические и-арные полугруппы / В.В. Мухин, Буржуф Хамза // Весщ HAH Беларуси. Сер. ф13. мат. навук. - 1999. - № 1. - С. 45-48.

[3] Мухин, В.В. О топологиях на и-арных группах, определяемых семействами отклонений [Текст] / В.В. Мухин // Некоторые вопросы алгебры и прикладной математики. Сб. научных трудов Белорусского гос. ун-та транспорта - Гомель, 2002.-С. 72-77.

[4] Мухин, В.В. Меры на топологических полугруппах [Текст] / В.В. Мухин. -Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ. - 2004. - 265 с.

[5] Мухин, В.В. Топологические и-полугруппы, являющиеся производными от бинарных полугрупп с топологией [Текст] / В.В. Мухин, Е.Е. Филипова // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта: Материалы 5-й межд. Науч,-техн. конференции. - Вологда: ВоГТУ, 2009. - С. 192-195.

[6] Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы [Текст] / Л.С. Понтрягин. - М.: Наука, 1973.-520 с.

[7] Русаков, СЛ. Алгебраические и-арные системы: Силовская теория и-арных групп [Текст] / С.А. Русаков. - Мн.: Навука i тэхшка, 1992. - 264 с.

[8] Русаков, С.Л. К аксиоматике топологических «-арных групп [Текст] / А.С. Русаков // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. - Мн., 1984. - С. 149-159.

[9] Филипова, Е.Е. Некоторые свойства бинарных и п -арных полугрупп с топологией [Текст] / Е.Е. Филипова // Материалы ежегодных смотров-сессий аспирантов и молодых ученых по отраслям науки: Естественные и физико-математические наукию - Вологда: ВоГТУ, 2009. - С. 139-147.

[10] Crombez, С. On topological «-groups [Text] / С. Crombez, G. Six // Abhandludlungen Math. Semin. Univ. Hamburg, 1974. - Bd. 41. - P. 115-124

[11] Cupona, G. On topological и-groups [Text] / G. Cupona // Bull. Soc. Math. Phys. R. S. Macedoin 22, 1971. - Кн. 22. - P. 5-10.

[12] Cupona G. On representation of associatives into semigroups / G. Cupona, N. Celakoski // Maced. Akad. Of Ski. And Arts Contributions, 1974. - Vol. 6, № 2. - P. 23-24.

[13] Dudek, W.A. On topological и-ary semigroups [Text] / W.A. Dudek, V.V. Mukhin // Quasigroups and Related Systems 3 (1996). Institute mathematics Academy of Science Moldova, Higher College of Engineering in Legnica Poland. Legnica, 1999. -P. 73-88

[14] Markovski S. и-Subsemigroups of concellative semigroups // Proc. Of the sumposiume n-ary structures/ Skopje, 1982, C. 159-172.

[15] Mukhin, V. V. On topological «-semigroups [Text] / V.V. Mukhin // Quasigroups and Related Systems. 4 (1997). Institute mathematics Academy of Science Moldova. Printed in Poland, 1999. - P. 39-49.

Работы автора по теме диссертации по перечню ВАК:

[16] Сергеева, Д.В. Теорема двойственности для локально компактных абелевых «групп [Текст] / В.В. Мухин, Д.В. Сергеева // Сибирский математический журнал. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2008. — № 6. - С. 13611368

[17] Сергеева, Д.В. Характеры абелевых «-арных полугрупп, обладающих нейтральной последовательностью [Текст] / В.В. Мухин, Д.В. Сергеева И Вестник ИжГТУ. Математика-Ижевск: ИжГТУ, 2010.-№4.-С. 156-158.

[18] Сергеева, Д.В. О существовании инвариантных мер на топологических абелевых «-арных полугруппах с сокращениями [Текст] / Д.В. Сергеева // Вестник ИжГТУ. Математика - Ижевск: ИжГТУ, 2013. - № 2. - С. 140-141.

в прочих изданиях:

[19] Сергеева, Д.В. Характеры «-групп [Текст] / Д.В. Сергеева // Сборник трудов участников VI Межвузовской конференции молодых ученых. - Череповец: ЧГУ, 2005. — С. 166-169.

[20] Сергеева, Д.В. Гармонический анализ на топологических «-группах [Текст] / В.В. Мухин, Д.В. Сергеева // Вузовская наука — региону: Материалы третьей всероссийской научно-технической конференции. - Вологда: ВоГТУ, 2005. — С. 245-247.

[21] Сергеева, Д.В. Характеры «-групп и связанных с ними бинарных групп [Текст] /

B.В. Мухин, Д.В. Сергеева // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе САПР, АСНИ, СУБД и систем искусственного интеллекта: Материалы 3-й Межд. на^ч.-техн. конф. - Вологда: ВоГТУ, 2005. -

C. 102-105.

[22] Сергеева, Д.В. Характеры топологических «-групп [Текст] / Д.В. Сергеева // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН, 2006. - С. 71-75.

[23] Сергеева, Д.В. Вторая группа характеров локально компактной абелевой «группы [Текст] / В.В. Мухин, Д.В. Сергеева // Современная математика и математическое образование в вузах и школах России: опыт, тенденции, проблемы. Межвузовский сборник научно-методических работ. - Вологда: ВГПУ, 2006.-С. 31-33.

[24] Сергеева, Д.В. Теорема двойственности для локально компактных абелевых «групп [Текст] / В.В. Мухин, Д.В. Сергеева // Научный журнал. Вестник Череповецкого государственного университета. — Череповец: ЧГУ, 2006. - № 2(11).-С. 3-7.

[25] Сергеева, Д.В. Характеры коммутативных «-полугрупп [Текст] / В.В. Мухин, Д.В. Сергеева // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе САПР, АСНИ, СУБД и систем искусственного интеллекта: Материалы 5-й Межд. науч.-техн. конф. - Вологда: ВоГТУ, 2009. - С. 132-135.

[26] Сергеева, Д.В. Характеры абелевых «-полугрупп с нейтральной последовательностью [Текст] / В.В. Мухин, Д.В. Сергеева // Череповецкие научные чтения - 2009. Материалы Всероссийской научно-практической конференции, посвященной дню города Череповца. Часть 3: Современные проблемы технических, естественных и экономических наук. - Череповец: ГОУ ВПОЧГУ, 2009.-С. 181-183.

[27] Сергеева, Д.В. Алгебраические свойства характеров некоторых коммутативных «-арных полугрупп [Текст] / В.В. Мухин, Д.В. Сергеева // Череповецкие научные чтения - 2010. Материалы Всероссийской научно-практической конференции. - Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ, 2010. - С. 127-129.

[28] Сергеева, Д.В. Группа характеров локально компактной абелевой «-арной полугруппы локально компактна [Текст] / Д.В. Сергеева // Вестник Вологодского государственного педагогического университета. Выпуск 1. -Вологда: ВГПУ, 2011. - С. 65-69.

[29] Сергеева, Д.В. Характеры «-арных полугрупп и их обертывающих полугрупп [Текст] / В.В. Мухин, Д.В. Сергеева // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе САПР, АСНИ, СУБД и систем искусственного интеллекта: Материалы 6-й Межд. науч.-техн. конф. - Вологда: ВоГТУ, 2011.-С. 131-133.

[30] Сергеева, Д.В. Свойства характеров абелевых «-арных полугрупп [Текст] / Д.В. Сергеева, В.В. Мухин // Математика в современном мире. - Вологда: ВГПУ, 2013.-С. 25-28.

Подписано в печать 14.05.2014. Формат 60 * 84 '/]6 Бумага офисная. Печать офсетная. Усл.-пл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано: РИО, ВоГУ 160000, г. Вологда, ул. Ленина, 15