SH-двойственность коммутативных полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ьь № 1(601- б

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

БАРИНОВА Валерия Ростиславовна

8Н-ДВОЙСТВЕННОСТЬ КОММУТАТИВНЫХ ПОЛУГРУПП

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/ ¡И

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, профессор

Лесохин М.М.

Санкт-Петербург -1998

Оглавление

Введение ...............................................................................................3

*

§1. 8Н-двойственность и Ш-двойственность относительно

коммутативных регулярных полугрупп.....................................16

§2. 8Н- и Н8-двойственность коммутативных полугрупп...............20

§3. 8Н-квазидвойственность коммутативных полугрупп.................39

§4. Самодвойственность коммутативных полугрупп.......................53

§5. Слабая двойственность коммутативных полугрупп..................62

Библиография .....................................................................................70

Введение 1. Общие замечания

Теория полугрупп активно развивается в течение последних десятилетий и к настоящему времени является самостоятельной ветвью абстрактной алгебры. Настоящая работа посвящена проблеме двойственности в категории коммутативных полугрупп.

Приведем основное определение. Пусть А и В - коммутативные полугруппы. Обозначим через Нот (А, В) полугруппу всех гомоморфизмов полугруппы в полугруппу В относительно действия: (/1^2) (а) = /\ (а)*[2 (а) для любых а еА, /¡,/2 е Нот (А, В).

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа А двойственна относительно коммутативной полугруппы В, если гомоморфизм со: А -> Нот (Нот (А, В), В) по правилу (в) (а))ф = /(а) (а £ А и / е Нот (А, В)) является биективным.

Теория двойственности начала активно развиваться благодаря работам Л.С.Понтрягина [29], [30], относящимся к началу 30-х годов. Основным методом исследования в этих работах служит изучение связей между данной группой и ее группой характеров, где под характером понимается гомоморфизм данной группы в мультипликативную группу К комплексных чисел, по модулю равных единице. Каждой коммутативной локально компактной топологической группе О ставится в соответствие группа характеров X группы О. Основная теорема двойственности Л.С.Понтрягина утверждает, что С естественным образом можно рассматривать как группу характеров группы X.

Л.Фукс [25] в 1959 году получил необходимые и достаточные условия, при которых произвольная дискретная группа двойственна относительно К, а именно: для дискретной группы С имеет место теорема

двойственности тогда и только тогда, когда С является абелевой конечной группой.

Известно, что двойственный объект к локально компактной группе уже не является группой, если только исходная группа некоммутативная. Этот факт верен даже для конечных групп, он является причиной, затрудняющей перенесение на некоммутативные полугруппы теории двойственности Л.С.Понтрягина. Заметим лишь, что для некоммутативных компактных групп теорема двойственности доказана Т.Таннакой (1938 г.) и М.Г.Крейном (1949 г.); ее обобщения принадлежат Н.Татсууме (1965 г.) и М.Такесаки (1971 г.). Для некоммутативных локально компактных групп аналогом характеров являются унитарные представления, аналогом произведения характеров - кронекеровское произведение представлений. Г.И.Кац [4], [5] построил категорию кольцевых групп (в современной терминологии унимодулярных алгебр Каца), в которую вкладывается категория унимодулярных групп, и в которой имеет место принцип двойственности, сводящийся к двойственности Л.С.Понтрягина в случае коммутативных групп. Двойственности некоммутативных алгебраических систем посвящены также работы Л.И.Вайнермана [2], [3].

Вопрос о выполнении принципа двойственности в категории коммутативных полугрупп впервые был рассмотрен Э.Хьюиттом и Г.Цукерманом (1956 г.) [27]. Для полугруппы 5 двойственным объектом является множество полухарактеров ¿Г, то есть множество ненулевых гомоморфизмов полугруппы 5 в мультипликативную полугруппу комплексных чисел С. Э.Хьюитт и Г.Цукерман показали, что для конечной коммутативной полугруппы 5 имеет место теорема двойственности тогда и только тогда, когда £ содержит единицу и является объединением непересекающихся групп.

Р.Уорном и Л.Вильямсом [31] в 1961 году была поставлена проблема нахождения необходимых и достаточных условий выполнения теоремы

двойственности Л.С.Понтрягина для произвольной коммутативной полугруппы. В классе коммутативных инверсных полугрупп этот вопрос был решен К.Остином (1963) [23]. Ему принадлежит следующая теорема. Теорема. Для дискретной коммутативной инверсной полугруппы, содержащей единицу, выполнен принцип двойственности. Обратно, если множество 5" полухарактеров дискретной коммутативной полугруппы 5 образует полугруппу, и имеет место теорема двойственности для 51, то инверсная полугруппа, содержащая единицу.

Окончательно проблема двойственности коммутативной полугруппы относительно мультипликативной полугруппы комплексных чисел С была решена Р.Фалпом и Ф.Хиллом (1965 г.) [26]. Они назвали полугруппу Я рефлексивной, если ¿> двойственна относительно С. Основная теорема Р.Фалпа и Ф.Хилла утверждает, что полугруппа £ рефлексивна тогда и только тогда, когда Я является рефлексивной полурешеткой рефлексивных групп. Учитывая результат Л.Фукса [25], приведенный выше, Р.Фалп и Ф.Хилл получили следующий критерий:

полугруппа £ рефлексивна тогда и только тогда, когда £ является рефлексивной полурешеткой конечных абелевых групп.

Обобщением результатов Э.Хьюитта, Г.Цукермана, К.Остина явились работы Л.Б.Шнепермана [21], [22], который нашел условия справедливости теоремы двойственности для компактных, а позднее и локально компактных топологических полугрупп.

Для коммутативной полугруппы А в качестве двойственного объекта можно рассмотреть полугруппу обобщенных характеров [15, с. 413], то есть полугруппу всех гомоморфизмов полугруппы А в произвольную коммутативную полугруппу В. В такой постановке проблемой двойственности занимался М.М.Лесохин [11], [10], [12]. Им найдены необходимые и достаточные условия выполнения принципа двойственности для регулярных коммутативных полугрупп, максимальные подгруппы

которых есть расширения прямых произведений групп без кручения ранга 1, имеющих один и тот же тип, с помощью периодических групп. В частности, М.М.Лесохин показал, что для делимой регулярной коммутативной полугруппы А имеет место двойственность относительно некоторой коммутативной полугруппы тогда и только тогда, когда А - делимая абелева группа без кручения конечного ранга. М.М.Лесохиным построены также примеры полугрупп, для которых не существует коммутативной полугруппы, относительно которой они двойственны [12].

В общем случае вопрос о том, когда произвольная коммутативная полугруппа двойственна относительно некоторой коммутативной полугруппы, не решен до сих пор. Последнее обстоятельство делает актуальной задачу дальнейшего исследования этой проблемы.

Важным направлением развития современной алгебры является изучение не только данной алгебраической системы, но и производных от нее систем. Так, в теории полугрупп объектом различных исследований часто становится класс 8Н(А) полугрупп, состоящий из всех делителей данной полугруппы А, и класс НБ(А) полугрупп, состоящий из всех подполугрупп всех гомоморфных образов данной полугруппы А. В частности, в последние годы получены содержательные результаты по БН-аппроксимации полугрупп. В исследованиях по теории двойственности такой подход еще не рассматривался. В настоящей работе исследуется БН- и ИЗ- двойственность в категории коммутативных полугрупп.

Целью представленной диссертации является нахождение необходимых и достаточных условий БН- и Ш-двойственности в категории коммутативных полугрупп. В рамках ее реализации в диссертации решаются следующие задачи :

- нахождение необходимых и достаточных условий Б-, БН- и Ш-двойственности коммутативной полугруппы относительно некоторой коммутативной регулярной полугруппы;

- нахождение необходимых и достаточных условий, при которых коммутативная полугруппа БН- и Ш-двойственна относительно некоторой коммутативной полугруппы;

- нахождение необходимых и достаточных условий, при которых имеет место БН-квазидвойственность в категории коммутативных полугрупп;

- описание класса коммутативных полутрупп, для которых имеет место 8Н-двойственность относительно себя;

- нахождение классов коммутативных полугрупп, для которых отношение двойственности является рефлексивным отношением.

Для более точной формулировки решаемых нами задач приведем все необходимые определения.

2. Основные определения и обозначения

Основные понятия, относящиеся к теории полугрупп и теории решеток, предполагаются известными; соответствующие определения можно найти в книгах [6], [15], [18], [17].

Пусть А и В - произвольные коммутативные полугруппы. Следующие обозначения закрепим для всего текста диссертации.

А0 обозначает полугруппу А с внешне присоединенным нулем 0.

О' обозначает нулевой гомоморфизм в полугруппе Нот (А, В0).

О'' обозначает нулевой гомоморфизм в полугруппе Нот (Нот (А, В0), В0).

соа,в обозначает гомоморфизм со: А —>Нот (Нот (А, В), В) по правилу (со(а))ф =/(а) (а еА и / еНот (А, В)).

со 'а,в обозначает гомоморфизм

со': А Нот (Нот (А, В0) \ {О'}, В0) \{0"} по правилу (&' (а))ф = /(а) (а е А и / е Нот (А, В0)).

Н обозначает полугруппу, изоморфную полугруппе {О, 1} : О2 = 0*1 = 1*0 = 0, 12 = 1.

Г обозначает моногенную полугруппу типа (2,1).

О обозначает моногенную полугруппу типа (3, 1).

N обозначает множество натуральных чисел.

2 обозначает множество целых чисел.

С обозначает множество комплексных чисел.

С(рк) обозначает мультипликативную группу всех комплексных корней из единицы степени рк, где р - простое число, к е N.

А = band А т обозначает, что полугруппа А есть связка полугрупп Л®..

со eQ

Определение. Делителем полугруппы А называется всякий гомоморфный образ произвольной подполугруппы полугруппы А.

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа A SH-двойственна относительно коммутативной полугруппы В, если для любого делителя полугруппы А имеет место двойственность относительно полугруппы В.

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа A HS-двойственна относительно коммутативной полугруппы В^ если для любой подполугруппы любого гомоморфного образа полугруппы А имеет место двойственность относительно полугруппы В.

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа A S-двойственна относительно коммутативной полугруппы В, если для любой подполугруппы полугруппы А имеет место двойственность относительно полугруппы В.

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа А квазидвойственна относительно коммутативной полугруппы В, если гомоморфизм со 'а,в является биективным.

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа А БН-квазидвойственна относительно коммутативной полугруппы В, если для любого делителя полугруппы А имеет место квазидвойственность относительно полугруппы В.

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа А самодвойственна, если имеет место двойственность полугруппы А относительно А.

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа А БН-самодвойственна, если для любого делителя полугруппы А имеет место самодвойственность.

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа А естественно слабо двойственна относительно коммутативной полугруппы В, если гомоморфизм щв является инъективным.

Определение. Говорят, что коммутативная полугруппа А БН-естественно слабо двойственна относительно коммутативной полугруппы В,, если для любого делителя полугруппы А имеет место естественная слабая двойственность относительно полугруппы В.

Определение. Пусть Ф - множество некоторых гомоморфизмов полугруппы А. Говорят, что полугруппа А аппроксимируема гомоморфизмами из Ф относительно равенства, если для любых а^ а2 е А, таких, что а\ &а2, существует гомоморфизм <р е Ф, для которого (р (а^ (р (а2). При этом говорят, что гомоморфизм ср разделяет элементы а1 и аг.

Определение. Говорят, что полугруппа А БН-аппроксимируема относительно равенства в классе полугрупп К. если все делители полугруппы А аппроксимируемы относительно равенства в классе К.

Определение. Полугруппа А называется сепаративной, если для любых а, Ь, с е А из того, что а2 = а*Ь = Ъ2, следует а = Ъ.

Определение. Полугруппа А с нулем 0 называется нилъполугруппой„ если для любого а еА существует п еЫ : сР = 0.

Определение. Полугруппа А с нулем 0 называется нилъпотентнойл если Ап = 0 для некоторого п е N.

Под идеалом полугруппы А будем понимать двусторонний идеал.

Определение. Идеал I полугруппы А называется вполне изолированным, если для любых а, Ъ е А из того, что а*Ь е1 следует, что а е1 или Ъ е1.

Определение. Идеал / полугруппы А называется изолированным, если для любых а е А п п е N ш того, что сГ е I следует, что а е I.

Определение. Полугруппа идемпотентов называется связкой. Коммутативная связка называется полуструктурой, или полурешеткой.

Определение. Полуструктура Р называется направленной вверх. если любые два элемента из Р имеют общую единицу.

3. Обзор содержания диссертации

Текст диссертации делится на пять параграфов, имеющих сквозную нумерацию. Теоремы, предложения, леммы и следствия пронумерованы парами индексов, из которых первый указывает номер соответствующего параграфа, второй - порядковый номер утверждения в данном параграфе.

Первый параграф диссертации посвящен исследованию двойственности коммутативных полугрупп относительно класса коммутативных регулярных полугрупп. Выбор этого класса полугрупп не является случайным: коммутативные регулярные полугруппы имеют достаточно простое строение и хорошо изучены, поэтому они явились отправной точкой исследования. Цель данного параграфа - выяснение

необходимых и достаточных условий 8Н- и Ш- двойственности коммутативной полугруппы относительно некоторой коммутативной регулярной полугруппы. В ходе решения этой задачи были также получены необходимые и достаточные условия Б-двойственности коммутативной полугруппы относительно некоторой коммутативной регулярной полугруппы. Основные результаты первого параграфа следующие.

Предложение 1.1.

Коммутативная полугруппа Б-двойственна относительно некоторой коммутативной регулярной полугруппы тогда и только тогда, когда она является конечной группой. Предложение 1.2.

Коммутативная полугруппа Ш-двойственна относительно некоторой коммутативной регулярной полугруппы тогда и только тогда, когда она является конечной группой. Предложение 1.3.

Коммутативная полугруппа 8Н-двойственна относительно некоторой коммутативной регулярной полугруппы тогда и только тогда, когда она является конечной группой.

Эти предложения получают в диссертации целый ряд применений; с их помощью доказывается основная теорема БН- и Ш-двойственности для произвольных коммутативных полугрупп (§ 2).

Основные результаты представленной диссертации заключены в ее втором и третьем параграфах: теоремы 2.3 и 3.7.

Во втором параграфе настоящей диссертации обобщаются результаты, полученные в предложениях 1.2 и 1.3, а именно: изучаются условия БН- и Ш-двойственности коммутативной полугруппы относительно коммутативной полугруппы. Тем самым полностью решается вопрос о 8Н- и Ш-двойственности в категории коммутативных полугрупп. Показано, что условия БН- и Ш-двойственности коммутативной полугруппы относительно

некоторой коммутативной полугруппы эквивалентны. Основным результатом данного параграфа явилась следующая теорема.

Теорема 2.3.

Для коммутативной полугруппы А следующие условия эквивалентны:

1) А является либо конечной группой, либо моногенной полугруппой типа (п, 1), п < 3;

2) А 8Н-двойственна относительно некоторой коммутативной полугруппы 2?;

3) А Щ-двойственна относительно некоторой коммутативной полугруппы В.

Некоторые следствия этой теоремы рассмотрены в четвертом параграфе диссертации.

Результаты второго параграфа показывают, что 8Н - двойственность в категории коммутативных полугрупп имеет место довольно редко. В третьем параграфе представленной диссертации мы изучаем 8Н -двойственность коммутативной полугруппы А относительно коммутативной полугруппы В0. Двойственным объектом к полугруппе А в этом случае является множество Нот (А, В0) \ {0'}, что связано с необходимым условием существования 8Н-двойственности коммутативной полугруппы А относительно коммутативной полугруппы В0 [13, с. 103]. Рассмотрение такого вида двойственности коммутативных полугрупп (квазидвойственности) неслучайно: присоединение всего лишь одного идемпотента (внешнего нуля) к полугруппе В существенным образом расширяет класс полугрупп, для которых имеет место 8Н-двойственность относительно В. Этот класс описыв