Периодические линейные полугруппы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Предварительные сведения и факты.

§ I. Двойственность в линейных полугруппах.

§ 2. Полугруппы с центральными идемпотентами.

§ 3. Многообразия идемпотентных полугрупп.

ГЛАВА 2. Линейные полугруппы идемпотентов.

§ I. Общее строение идемпотентных линейных полугрупп

§ 2. Медиальные идемпотентные полугруппы матриц

§ 3. Полугруппы, не принадлежащие данному неразложимому многообразию

§ 4. Полугруппы, порождающие неразложимые многообразия

§ 5. Линейные ранги многообразий идемпотентных полугрупп

§ 6. Базисные ранги многообразий идемпотентных полугрупп

ГЛАВА 3. Периодические полугруппы матриц 2-го порядка

§ I. Основные определения и результаты

§ 2. Клиффорд о вы полугруппы.

§ 3. Полугруппы необратимых матриц.

§ 4. Доказательство теорем I.I и 1.

§ 5. Рисовские представления и стандартные группы

1°. Общие замечания

Полугруппы матриц образуют естественный и важный класс алгебраических систем наряду с матричными группами, кольцами, алгебрами. С другой стороны, периодические полугруппы составляют один из важнейших абстрактных классов полугрупп. Пересечение этих двух классов и составляет предмет исследований в данной диссертации.

После основополагающих работ А.К.Сушкевича 1183,119] и А.Клиффорда t25] , описавших представления вполне 0-простой полугруппы, исходя из представлений ее структурной группы, теория линейных представлений полугрупп была продвинута многими авторами, в числе которых Г.Престон, Д.Манн, И.С.Понизовский,• Д.Макалистер /50 - 60 -е годы/, Д.К.Фаддеев, Б.М. Е^цигарян /70 - е годы/. Ряд работ был посвящен вопросам строения собственно матричных полугрупп. На этой теме, в рамках которой выполнялась диссертационная работа, мы остановимся подробнее.

Проблематика, касающаяся матричных полутрупп, в принципе аналогична проблематике, связанной с другими матричными алгебраическими системами. Если оставить в стороне теорию представлений и, ограничиваясь чисто алгебраическими аспектами, отвлечься от топологии, то можно грубо указать два основных типа задач о матричных системах, привлекающих внимание алгебраистов.

I. Задачи, связанные с исследованием строения полных матричных систем данной сигнатуры и некоторых их подсистем, выделяемых конкретными - зависящими от природы элементов - условиями. Таковы, например, исследования классических линейных групп, обзор которых содержится в книге Ж.Дьедонне [ 5 ] . В теории полугрупп хорошо известна работа А.И.Мальцева [12], где описаны все конгруэнции на полугруппе матриц ограниченного ранга. Сюда же можно отнестш работу Л.М.Глускина СП , в? которой полная линейная полугруппа характеризуется с точностью до изоморфизма наличием плотно вложенного идеала, изоморфного полугруппе всех матриц не более чем единичного ранга, причем последняя, полугруппа, будучи вполне 0-простой, также имеет абстрактное описание. Из недавних работ отметим ряд статей М.Путчи /см. обзор С 32. ] /, посвященных линейным алгебраическим полугруппам.

2. Второй тиш задач связан с изучением матричных систем, удовлетворяющих каким-либо абстрактным условиям. Термин "абстрактные" имеет стандартный смысл: рассматриваются матричные системы, принадлежащие фиксированному классу алгебраических систем, замкнутому относительно изоморфных образов. В теориш групп задачи этого типа имеют столь же давнюю историю, что и задачи первого типа: еще К.Жордан и Ф.Клейн описывали конечные матричные группы малых размерностей; ныне это описание продвинуто до матричных групп порядка 10 /см.С 6 ]/. Интенсивно изучались и изучаются периодические, разрешимые, нильпотентные, локально нильпотентные группы матриц; соответствующие результаты можно найти в книге Д.А.Супруненко [15] . К этому же направлению относятся исследования, коммутативных матричных групп й алгебр [17] . В теории полугрупп можно отметить работы Л. Б. Шнепермана [21] ЛгЫ , где описываются максимальные инверсные и, соответственно, периодические инверсные полугруппы матриц.

Фактически единственным общим результатом о периодических матричных полугруппах является доказанная в 1975 г. независимо

Р.Макнотоном и И.Цальштейном С 2.9 Ц , И.С.Понизовским [й] и Л.Б.Шнеперманом Г 2.2] теорема,о локальной конечности таких полугрупп, обобщающая известную групповую теорему Бернсайда - Шура. Таким образом, обозреваемый раздел теории полугрупп остается явно недостаточно разработанным, и целью настоящей диссертации является частичное восполнение имеющегося пробела.

Диссертация посвящена изучению некоторых классов периодических линейных полугрупп. Работа состоит из трех глав. Основные результаты сосредоточены в главах 2 /линейные полугруппы идемпотентов/ и 3 /периодические полугруппы 2х2-матриц над полем характеристики 0/. Первая глава носит, в основном, вспомогательный характер, хотя некоторые ее результаты представляют самостоятельный интерес.

Выбор полугрупп идемпотентов в качестве основного объекта исследований второй главы диктуется, в первую очередь, следующим соображением. Изучая линейные полугруппы, естественно обратиться к полугруппам, в той ишь иной мере близких к группам, чтобы использовать опыт, накопленный при изучении линейных групп. Одним из важнейших обобщений понятия группы служит понятие клиффордовой полугруппы, т.е. полугруппы, являющейся объединением своих подгрупп. Согласно классической теореме Клиффорда, калодая такая полугруппа есть полурешетка прямоугольных связок групп. Таким образом, класс клиффордовых полугрупп естественно "опирается" на два полярных подкласса: один из них -группы - состоит: из тривиальных связок произвольных групп, другой - идемпотентные полугруппы - из произвольных связок тривиальных групп. Поэтому, исследуя! строение клиффордовых линейных полугрупп, необходимо, прежде всего, научиться исследовать простейшие ив них - линейные полутруппы идемпотентов. Кроме того, эти полугруппы естественны и с тючки зрения общих линейных структур: идемпотентный эндоморфизм - это в точности проектор.

Отмеченная выше полярность классов групп и идемпотентных полугрупп вынуждает? нас указать и на различие в методической оснащенности наследований этих классов. Хорошо известные групповые методы неприменимы к линейным полугруппам идемпотентов, и для изучения последних потребовалось разработать новые методы. Напротив, содержание и методы третьей главы, обладая полугрупповой спецификой, примыкают, тем не менее, к ранним исследованиям в теории линейных групп. /Подробнее об имеющихся здесь связях см. следующий раздел введения./

В третьей главе описываются максимальные периодические полугруппы матриц 2-го порядка над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. В связи с- этим заметим, что описание максимальных матричных систем из некоторого фиксированного абстрактного класса фактически является одним из способов описания вообще всех матричных систем из этого класса. Плодотворность подхода, основанного на определяющем внимании к максимальным системам ^ особенно проявилась в работах школы Д.А.Супруненко. Максимальные системы описывались для некоторых классов матричных также, что из описания периодических матричных систем, если оно достаточно удобно, можно извлечь, в частности, описание конечных систем данного класса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах - ZH ] и докладывались на 13-ой, 14-ой и 15-ой Всесоюзных алгебраических конференциях в Гомелем/1975 г./, Новосибирске /1977 г./ и Красноярске /1979 г./, на 2-ом Всесоюзном симпозиуме по теории полугрупп в Свердловске /1978 г./, а также на алгрупп коммутативных алгебр LKJ . Заметим гебраических семинарах в Москве, Ленинграде, Минске и Свердловске.

Автор глубоко признателен профессору Л.Н.Шеврину за постановки задач, постоянное внимание к работе и ценные советы.

2°. Обзоро содержания диссертации

С каждой абстрактной полугруппой ( 5 , * ) связана двойственная полугруппа , где Хо у - у' X для любых X , у £ 5 . Эта двойственность естественно сочетается с обычной двойственностью в категории векторных пространств. Этим вопросам посвящен первый параграф главы I.

Для полугруппы Г эндоморфизмов векторного пространства (J над телом: К определяются Г-модули как конечные прямые произведения факторпространств

M/L , где L «М- устойчивые относительно J * подпространства из Ы . Полугруппа J естественно индуцирует полугруппу

RV1 эндоморфизмов произвольного jT-модуля V . В § I устанавливаются некоторые соотношения между f -модулями и I""1-модулями, где ["* - полугруппа сопряженных эндоморфизмов сопряженного к \1 пространства. Кроме того, в некоторых частных случаях рассматривается соответствие между тождествами, выполняющимися на полугруппах

Г иЛУ] . Все эти соотношения используются в главе 2.

В § 2 главы I изучаются периодические линейные полугруппы с центральными идемпотентами. Пусть f - полугруппа эндоморфизмов пространства Ц , распадающегося в прямую сумму II =

И{ ® . ® Ып подпространств ll'L » устойчивых относительно f . Если Г1 = j~T U'L] , ТО мы говорим, что

- подпрямая сумма полугрупп fj ,., Г^ . Если при этом

Г"1 изоморфна прямому произведению jTj X . X , то мы называем Г прямой суммой полугрупп f . Легко видеть, что если ск - центральный идемпотент в f , то JT является подпрямой суммой полугрупп Г[1т Ы.] иПКеюд. Отсюда ясно, что периодические линейные полугруппы, у которых все идемпотенты центральны, устроены просто. Такая полугруппа является подпрямой суммой полугрупп, каждая из которых есть либо группа, либо нильпотентная полугруппа, либо идеальное расширение нильпотентной полугруппы при помощи группы с присоединенным нулем, причем единица группы служит единицей расширения. Полугруппы последнего типа мы называем локальными полугруппами. Далее, линейная периодическая полугруппа с центральными идемпо-тентами максимальна в .классе таких полугрупп тогда и только тогда, когда она является прямой суммой максимальных локальных полугрупп /теорема 2.2/. Пусть теперь тело К есть поле характеристики 0. Тогда максимальные локальные матричные полугруппы над К - это в точности полугруппы, подобные множествам всех матриц вида П ffii где пробегает максимальную неприводимую периодическую подгруппу из GL(nL, К) , a Un. - нулевая Wi X tl'L -матрица; заштрихованная часть содержит произвольные элементы из /предложение 2.4/. На основе этого утверждения уже легко описать максимальные коммутативные периодические полугруппы матриц. Очевидно, указанные описания немедленно распространяются на произвольные поля, если предполагать, что порядки групповых элементов не делятся на характеристику поля.

В § 3 главы I кратко излагается известное описание решетки многообразий идемпотентных полугрупп, полученное независимо тремя авторами - А.П.Бирюковым Ш , С.Шеннмором [26] и Дж.Гер-хардом [2.?] - на стыке 60-х и 70-х годов. Дело в том, что класс й всех идемпотентных полугрупп весьма обширен и для изучения линейных идемпотентных полутрупп этот, класс нужно тем или иным способом структурировать. Основой такого структурирования во 2-ой главе служат полугрупповые тождества. Не приводя явного задания многообразий, укажем некоторые обозначения, которыми будем пользоваться во введении. Решетка всех многообразий идемпотентных полугрупп порождается неразложимыми в объединение многообразием 3п , , где t = О, I, tl ^ 2. Многообразие 3 h определяется тождествами, двойственными тождествам многообразия . Важную роль играют так называемые псевдомоноидные многообразия. Мы называем многообразие полугрупп псевдомоноидным, если оно порождается моноидом, т.е. полугруппой с единицей. Нетривиальные псевдомоноидные многообразия образуют подрешетку в и мы доказываем /лемма 3.1/, что эта подрешетка порождается многообразиями «7п , л. > г.

Переходник главе 2, напомним основные факты, касающиеся строения произвольных идемпотентных полугрупп. Отношение Х^ у , вводимое с помощью равенств Ху = у X = X , превращает любую идемпотентную полугруппу в частично упорядоченное множество. Полугруппа идемпотентов коммутативна тогда и только тогда, когда соответствующее ч.у.м. является /нижней/ полурешеткой. В силу этого коммутативные полугруппы идемпотентов называют просто полурешетками. Еще один важный класс составляют полугруппы идемпотентов, для которых ч.у.м. - антицепь, т.е. порядок совпадает с равенством. Это в точности вполне простые идемпотентные полугруппы. Они составляют многообразие, определяемое в классе 3 тождеством XtjX = X , и называются прямоугольными. Частными случаями последних являются сингулярные полугруппы - право-сингулярные , определяемые тождеством у X = X , и левосингулярные , определяемые тождеством X у = X . Полугруппа прямоугольна тогда и только тогда, когда она изоморфна прямому произведению разноименных /одна - право-, другая - лево-/ сингулярных полугрупп. Для гриновского отношения X) на идемпо-тентной полугруппе. 5 имеем: х,у) 6 X) <=> хух = % & =

Зто - конгруэнция на »J ; факторполугруппа 5/JD = 5 является полурешеткой, а X) -классы суть максимальные прямоугольные подполугруппы в S , называемые прямоугольными компонентами полугруппы 5 . В этом смысле любая идемпотентная полугруппа есть полурешетка прямоугольных полугрупп. Отношение между компонентами всегда будет означать введенный выше

5 3D х--,,

Обращаясь к линейным полугруппам, примем соглашение, что символ эндоморфизма векторного пространства всегда пишется справа от вектора. Поэтому ясно, что множество ' проекторов некоторого пространства тогда и только тогда является правосингу-лярной /соответственно, левосингулярной/ полугруппой, когда совпадают ядра Kct ск /соответственно, образы 1т оL / всех проекторов о*. из f . В § I главы 2 доказывается теорема 1.3: любая линейная полугруппа идемпотентов есть конечная полурешетка прямоугольных полугрупп.

В § 2 главы 2 полностью описываются медиальные идемпотент-ные полугруппы матриц над произвольным телом К , т.е. матричные полугруппы, определяемые в классе й тождеством ХХ^ХХ •=■ XZyOC . Многообразие медиальных идемпотентных полугрупп содержит шесть собственных нетривиальных подмногообразий, включая многообразия полурешеток, прямоугольных и сингулярных полугрупп. Из описания, данного в предложении 2.1, вытекает, что полная полугруппа К ц квадратных матриц порядка И над телом Г\ содержит, с точностью до подобия, пМ/г попарно неизоморфных максимальных медиальных полугрупп идемпотентов. Указанное описание, представляя и самостоятельный интерес, используется также в дальнейшем.

В § 3 главы 2 устанавливается важная связь между тождествами, выполняющимися на идемпотентной линейной полугруппе, и строением этой полугруппы. Точнее, характеризуются линейные идемпотентные полугруппы, не принадлежащие данному неразложимому в объединение подмногообразию 5Р из J . Для формулировки результатов нам потребуется одно понятие. Если К поле, и u - пространство над /Л , то множество. UM) всех эндоморфизмов пространства U само является векторным пространством над К . Поэтому для любой полугруппы Г £ с tnd(U) можно определить число Dim Г как размерность линейной оболочки множества Г* . В случае произвольного тела Л множество не наделено естественной структурой К -пространства, но мы и в этом случае определяем - несколько искусственным способом - число ^DitnF для сингулярной полугруппы

ГсЫШ).

Основным в § 3 является следующее предложение 3.3. Пусть 9Р - одно из многообразий , , Ь = О, I, И > 3.

Если Г 4 IP , то 1 содержит цепь прямоугольных компонент Лп > Д,>. > А » каддая из которых содержит, в свою очередь, сингулярную подполугруппу Q Д^ , причем сингулярные подполугруппы с соседними номерами разноименны и I)itTl Г^ ^ K + i+ L. Отметим, что аналог этого утверждения справедлив для абстрактной полугруппы Г , если заменить число £)ш мощностью множества . Такой абстрактный вариант предложения 3.3 используется в § 6 при вычислении базисных рангов многообразий идемпотентных полугрупп.

Центральным утверждением в § 4 главы 2 служит следующая теорема 4.2. Пусть tl > 2', L = О, Г, i""* - не содержащая нуля полугруппа эндоморфизмов /1 -мерного пространства над произвольным телом* Для того, чтобы порождала многообразие) Уп , необходимо и достаточно, чтобы Г была цепью из tl - { + i сингулярных компонент > i7 ^ ••• f~ri-2 + i » в которой соседние компоненты разноименны, причем нижняя компонента право сингулярна и jQlffl = К + 2. ~ I . Ш"а теорема характеризует линейные полугруппы степени JX , порождающие многообразия и, следовательно, !J ^ , но не доказываем их существования. Поэтому в том же параграфе строятся матричные полугруппы Р^ степени tl и доказывается /предложение 4.3/, что Pft /соответственно, ^(Р^) / порождает многообразие /соответственно, J^ /, причем в этом качестве является не только полугруппой матриц наименьшей степени^ но и наименьшей мощности в классе абстрактных полугрупп. Здесь же для каждого многообразия , !J^ указывается единственная, с точностью до подобия, максимальная полугруппа степени /1 , порождающая это многообразие.

При изучении линейных полугрупп, принадлежащих данному многообразию, естественно иаюльзовать линейные полугруппы и для исследования самого многообразия. Пусть - совокупность всех матричных полугрупп степени И над телом К С точки зрения многообразий представляют интерес, например, следующие вопросы: каково подмногообразие полугруппового многообразия к , порождаемое множеством Y При каких /1 это подмногообразие- совпадает с W ? Частные случаи таких вопросов изучались для многообразия ассоциативных колец. Фактически эти-же вопросы решаются для многообразий разрешимых групп при исследовании функции Цассенхауза, ограничивающей длину ряда коммутантов разрешимой подгруппы общей линейной группы. В § 5 главы 2 мы полностью отвечаем на указанные вопросы для многообразий идемпотентных полугрупп.

Введем дополнительные обозначения. Через

Win ,Ю, или просто 9Р(п) , обозначим многообразие, порожденное множеством !!Р n tf^(K) . Проводя аналогию с аксиоматическим и базисным рангами, определим линейный ранг многообразия 9Р над телом К , обозначив его через (9Р , К) , или кратко

Именно, положим tl^(9P) — tt , если tt - наименьшее натуральное число со свойством = , и — ОО , если таких натуральных чисел не существует. Заметим, что в данном случае символ бесконечности имеет и вполне положительный смысл. В самом деле, каждое нетривиальное многообразие порождается своей свободной полугруппой со счетным числом образующих, т.е. полугруппой счетной мощности. Ясно, что такая полугруппа изоморфно предетавима над любым телом: матрицами со счетным числом строк и столбцов. Обозначим еще через решетку всех подмногообразий многообразия 9Р . Ответом, на указанные выше вопросы для многообразий идемпотентных полугрупп служат следующие соотношения из теоремы 5.1:

3d) = Л осу - ух],

Ш = 3 к V Уп при tl > 2; г(1Р) = И** We 2(J0t)b £(3f(ft-i)), где сJ(0))= 0 . Отметим, что все этж соотношения не зависят от тела К • Кроме, того, в § 5 для каждого подмногообразия из J линейного ранга М указывается минимальное число матричных полугрупп степени tt , совместно порождающих 5Р /предложение 5.2/.

В заключающем вторую главу § б вычисляются базисные ранги всех многообразий идемпотентных полугрупп. Хотя результаты этого раздела не относятся к линейным полугруппам, техника доказательства целиком базируется на предыдущем материале, и этим объясняется включение данного параграфа в диссертацию. Напомним, что базисный; ранг многообразия w есть наименьшеез кардинальное число И , для которого 9Р порождаемся своей свободной системой ранга It . Среди многообразий идемпотентных полугрупп бесконечный базисный ранг имеет только многообразие чУ . Базисный ранг 2 имеют нетривиальные многообразия из Наконец, для /1 > 3 т = н ip€ rj теорема 6.1/. Интересно сравнить линейные, базисные и аксиоматические ранги /последние вычислены Феннмором

26] Почти для всех многообразий из числа в триплете (ta , Xfo ,

Чр) отличаются друг от друга не более чем на единицу. Исключение составляют многообразие 3 с триплетом (3, Х0 , Но) и многообразие полурешеток с триплетом (3, 2, i).

В последней, третьей главе диссертации описываются, как уже говорилось, максимальные периодические полугруппы матриц 2-го порядка над алгебраически замкнутым полем f характеристики 0. Напомним, что в CL (г, С) имеются, с точностью до подобия, всего три максимальные периодические группы. С полугруппами дело обстоит существенно иначе. Не имея возможности привести здесь полные описания, укажем некоторые обозначения, пригодные для краткого обсуждения результатов.

В § I вводятся полугруппы м5 , п 5 , М7 .В М3(6) параметр б пробегает группу Д всех корней из единицы поля f , порождая бесконечную серию полугрупп. Каждая из указанных полугрупп является моноидом вида = G ки ^к > гДе Qk ~ гРУЛпа обратимых матриц, ги - идеал необратимых матриц; в частности, — (^з U Р3(Ь), т.е. группы в моноидах этой серии одинаковы. При этом Рб = = {0}, а группы Gg и G^r - примитивные максимальные периодические подгруппы из

QL fe,Г).

Третьж - импримитивная - периодическая максимальная группа -это Ga • Группы Gi , G3 » Gif подобны подгруппам из G2 9 а группа G5 подобна подгруппе из G5 • Основной результат третьей главы - теорема I.I: полугруппы Ai/ » , суть все, с точностью до подобия, максимальные периодические подполугруппы мультипликативной полугруппы f^ . Кроме того, доказывается теорема 1.2: при К ф ^ полугруппа не изоморфна и не антиизоморфна никакой подполугруппе полугруппы tA^ ; полугруппы и М2 и, соответственно,

М„ и'М/ не изоморфны; полугруппы tA^ ( S) и tA^itf) изоморфны тогда и только тогда, когда 8 и ^ примитивные корни из единицы одной и тш же степени. Доказательство первой теоремы проходит через несколько этапов, (доставляющих содержание §§ 2 -4. Основные результаты этих параграфов - предложения 1.3, 1.4 и 1.5 - также сформулированы в § I.

В § 2 описываются максимальные клиффордовы периодические подполугруппы из Г0 . Здесь, кроме полугрупп 1А< и М* . мы получаем, с точностью до подобия и транспонирования, еще трш полутруппы Ki » и К з /предложение 1.3/.

Центральным в главе является § 3. Здесь доказывается предложение 1.4: в классе полугрупп необратимых 2х2-матриц над f максимальными являются, с точностью до подобия и транспонирования, полугруппы Pj , Pz , Р3 ( Ь) , Рц и Р5

В § 4 рассматривается общий случай. Учитывая, что клиффордовы полугруппы исследованы, для доказательства теоремы I.I фактически достаточно показать, что любая содержащая нильпотен-ты периодическая матричная подполугруппа из , идеал необратимых матриц которой содержится в какой-либо из полугрупп

Р^ - Р$ , вкладывается, с точностью до подобия и транспонирования, в одну из полугрупп - м5 /предложение 1.5/. Здесь же решаются вопросы об изоморфизмах и антиизоморфизмах этих полугрупп.

Пятый, завершающий параграф главы посвящен дополнительному исследованию и стандартизованному представлению построенных максимальных полугрупп. Нетрудно установить, что полугруппы Р^ вполне 0-просты и, следовательно, представимы в форме регулярных рисовских матричных полугрупп вида JU (Н ; \ , А; Т) , где п - структурная группа, изоморфная в нашем случае группе А , а Т - сэндвич-матрица. Дополним наши определения. Пусть 5 - фиксированная полугруппа, - абстрактный класс групп. Рассматривая моноиды вида М =5uQ, G € , мы предполагаем, что S - собственный идеал в М. Такой моноид мы называем приведенным, если элементы группы Q различаются по своему действию на идеале 5 , т.е. ^ = ^ » лишь только ^ S = 5 и = для любого

Группу Go е назовем стандартной группой обратимых элементов для полугруппы 5 относительно класса Oj- , если моноид S и Go приведен и Для любого моноида 3 U G , G € Oj- » существует такой гомоморфизм Q Go * что

Р = >f(ps ,5^ = 5 Щ), каковы бы ни были элементы 5 £ 5 , ^ € G . Ясно, что этими свойствами группа Q q определяется в классе однозначно с точностью до изоморфизма. Группу, стандартную для 5 относительно класса всех групп, назовем абсолютно стандартной для S . Таким образом, если группа Go абсолютно стандартна для v5 , то 5 U Со - наибольший приведенный моноид с идеалом необратимых элементов.

Для вполне 0-простой полугруппы известно каноническое описание абсолютно стандартной группы /под названием "стандартной", см., например, Г 2. 8 ] /. Пользуясь этим описанием, мы доказываем, что каждая из групп G к = 2, 3, 4,5, абсолютно стандартна для соответствующей полугруппы Рц /предложение 1.6/. Кроме того, группа G^ стандартна для относительно класса периодических групп. Заметим, что р^ содержит и абсолютно стандартную - конечно, уже не периодическую - группу для Pj . Иначе обстоит дело с соответствующими; проективными Полугруппами. Проективный образ Pl(S) матричной полугруппы определяется как факторполугруппа , где

4=> Оы £= Лу).

При К = 3, 4, 5 группа Pt(Qj^) является! подгруппой индекса 2 в абсолютно стандартной группе для полугруппы Pi (Рк) . Группа PtCG^) метабелева, а абсолютно стандартная группа для Pl(P2) изоморфна 5(N) X , где 5(Ы) - полная симметрическая группа на множестве всех натуральных чисел. Аналогично, группа Pt (Gj) абелева, а абсолютно стандартная группа для

PilPJ изоморфна 5(F) х 5(F).

3°. Терминология и обозначения

За исключением особо оговоренных случаев, мы придерживаемся стандартной терминологии: по теории полугрупп см.[ 7 ] ,[28], за по матричным группам - [15] , по линейной алгебре -по многообразиям - [и] ; небольшое число используемых теоретико-категорных терминов см. в Г 10 ].

Эндоморфизмы векторных пространств будут обозначаться строчными греческими, матрицы - строчными латинскими буквами. Символ эндоморфизма всегда пишется справа от вектора, символ скаляра -слева. Пусть U - векторное пространство над телом; К , или просто К -пространство. Тогда

И ~ HotTI (U, К) - пространство, сопряженное к И ;

ШШ) = Шт(и,и)

- множество всех эндоморфизмов пространства il , наделенное кольцевой структурой;

ГШ)

- совокупность всех мультипликативных подполугрупп кольца (U) ; если dim U = It , то элементы из T(U) называются линейными полугруппами степени /Я или полугруппами над пространством U.

Пусть d: И — V - гомоморфизм г\ -пространств. Тогда id: V"*-— U - сопряженный гомоморфизм;

KetoL ={ие U\ ud = 0}; Im<£ = {.и* | и € U }; tkd, = dim (Im <к).

Если Г Я ЫШ) , то Г ={^и«Г}.

Мы говорим, что данный базис: К -пространства U согласован с разложением U = ® . ® Um в прямую сумму подпространств, если этот базис является объединением базисов подпространств ,i=I,.,W . Если все эти подпространства устойчивы относительно эндоморфизма о(6 ЫШ), и сА{ - ограничение с( на Ui , то мы пишем с( = • # с(, + .4- ot m . Аналогичное обозначение используется в случае матриц.

К" = {(к,,., х-, е К};

К^ - кольцо всех /1 X /1 -матриц над телом К ; lf^(K) - множество всех мультипликативных полугрупп матриц из К ft ;

JC - результат-, транспонирования матрицы ЭС £ К ft ; воли с Ка , то *Р = {*х| Х€р};

Оп , Ift - нуль и единица кольца К ft . Множества 5 ,Р с К ft мы называем подобными, если ? = Р для некоторой матрицы ^ в G L> ( ^ ? К). - мощность множества Л1 ; ичисло сочетаний из /1 элементов по К

Для утверждений в каждой главе принята сквозная нумерация, независимая от других глав: "Лемма К . I " означает "лемма, являющаяся I -ым утверждением в § К данной главы".

1. Бирюков А.П. Многообразия) идемпотентных полугрупп. -Алгебра и логика, 1970, т.9, № 3, с.255-273.

2. Чурбаки Н. Алгебра /Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра/. М.: Физматгиз, 1962. - 516 с.

3. Чурбаки Н. Алгебра /Модули, кольца, формы/. М.: Наука, 1966. - 556 с.

4. Глускин JI.M. О матричных полугруппах. №зв. АН СССР, Сер. матем., 1958, т. 22, с. 439-448.

5. Дьедонне Ж. Геометрия, классических групп. М.: Мир, 1974. - 206 с.

6. Залесский А.Е. .Шнейные группы. УМН, 1981, т. 36, вып. 5/221/, с. 57-107.

7. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп.- T.I. М.: Мир, 1972. - 286 с.

8. Коксетер Г., Мозер У. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М.: Наука, 1980. - 240 с.

9. Кострикин А.И* Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. -496 с.

10. Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966. - 544 с.

11. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.- 392 с.

12. Мальцев A. Hi. Мультипликативные сравнения матриц. Д/Ш СССР, 1953, т.90, № 3, с. 333-335.

13. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. М.: Наука, 1980. -464 с.

14. Понизовский И.С. О матричных полугруппах. В кн.: Тез. докл. 13-го Всесоюз. алгебраич. симпоз., ч.2, Гомель,1975,с.233.

15. Супруненко Д.А. Группы матриц. М.:Наука,1972.- 352 с.

16. Супруненко Д.А. О периодических линейных группах. Сиб. матем. журн., 1962, т.З, № I, с. 310-312.

17. Супруненко Д.А., Тышкевич Р.И. Перестановочные матрицы. Минск: Наука и техника, 1966. - 104 с.

18. Сушкевич А.К. Теория обобщенных групп. Харьков: ГНТЙУ, 1937. - 176 с.и

19. Сушкевич А.К. Tiber die Matrizendarst ellung der verallge-meixierten Gruppen. Записки Харьковского математического товарищества, 1933, серия 4, т.6, с. 27-38.

20. Трахтман А.Н. Полугруппы, все подполугруппы которых принадлежат некоторому многообразию. Матем. записки Уральского университета, 1974, т.9, № I, с. НО-126.

21. Шнеперман Л.Б. Максимальные инверсные подполугруппы полугруппы линейных преобразований. Изв. вузов. Матем., 1974,II, с. 93-100.

22. Шнеперман Л.Б. О локальной конечности матричных периодических полугрупп. В кн.: Тезисы докл. 4-ой Республиканской конф. математиков Белоруссии, ч.2, Минск, 1975, с. 71.

23. Шнеперман Л.Б. Периодические инверсные линейные полугруппы. Изв. АН БССР. Сер. физико-матем. наук, 1976, № 4, с. 22-28.

24. Anderson L,, Hunter R., Koch R. Some results on. stability in semigroups. Trans. Amer, Math. Soc., 1965, 117, p.521-529.

25. Clifford A.H. Matrix representations of completely simple semigroups. Amer. J.Math., 1942, 64, p. 327-342.

26. Fennemore C.F. All varieties of bands. Math. Kachr., I97I, 8, No.4, p. 237-262.

27. Gerchard J.A. The lattice of equational classes of idempotent semigroups, J.Algebra, 1970, 15, No.2, p. 195-224.

28. Lallement G. Semigroups and combinatorial applications. N.Y.: Wiley, 1979, - 376 p.

29. McNaughton R., Zalcstein X. The Burnside problem for semigroups. J.Algebra, 1975, 34, p. 292- 299.

30. Miller G.A., Blichfeldt H.F., Dickson L.E. Theory and applications of finite groups. N.Y.: Wiley, 1916. - 390 p.

31. Petrich M. Introduction to semigroups. Columbus: A Bell a. Howell, 1973, - 198 p.

32. Putcha M.S. Linear algebraic semigroups. Semigroup Forum, 1981, vol.22, No.4, p. 287-309.

33. Коряков ЖО. Матричные полугруппы идемпотентов. В кн.: Тезисы докл. 13-го Всесоюз. алгебраич.симпоз., ч.2, Гомель, 1975, с. 219-220.

34. Коряков И.О. Линейные ранги многообразий идемпотентных полугрупп. В кн.: Тезисы докл. 14-ой Всесоюз. алгебраич.конф.,4.1, Новосибирск, 1977, с. 94-95.

35. Коряков И.О. О периодических линейных полугруппах. В кн.: Тезисы докл. 2-го Всесоюз. симпоз. по теории полугрупп, Свердловск, 1978, с. 41.

36. Коряков И.О. Линейные полугруппы идемпотентов. В кн.: Исследования по соврем, алгебре, Свердловск, 1978, с. 54-96.

37. Коряков И.О. Базисные ранги многообразий идемпотентных полугрупп. В кн.: Тезисы докл. 15-ой Всесоюз. алгебраич. конф.,4.2, Красноярск, 1979, с. 78.

38. Коряков И.О. О базисных рангах многообразий идемпотентных полугрупп. В кн.: Исследования по соврем, алгебре, Свердловск, 1981, с. 48-52.

39. Коряков И.О. Периодические полугруппы 2х2-матриц. Вкн.: Тезисы докл. областной конф. по алгоритмам, автоматам и полугруппам, Свердловск, 1982, с. 23.

40. Коряков И.О. Максимальные периодические полугруппы матриц 2-го порядка. Изв. вузов. Математика, 1983, № 12, с. 6971.