Билинейные отображения коммутативных регулярных полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОШЕДЕЛЕНЙЯ.

ГЛАВА I. АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ПОЛУГРУПП, БИХАРАКТЕРАМИ.

ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕДИКАТОВ.

§ I. Аппроксимируемость коммутативных полугрупп периодическими бихарактерами и бихарактерами без кручения.

§ 2. Аппроксимируемость полугрупп бихарактерами относительно предикатов

ГЛАВА 2. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

§ I. Слабая двойственность коммутативных полугрупп.

§ 2. Невырожденные билинейные отображения

ГЛАВА 3. РАСЩЕПЛЯЕМОСТЬ БИЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

ПОЛУГРУПП.

§ I. Расщепляемоеть билинейных отображений конечно определенных полугрупп в кольцо главных идеалов.

§ 2. Расщепляемоеть билинейных отображений полугрупп в поле.

Актуальность темы.

Билинейные отображения - это классический объект линейной алгебры и тензорного исчисления.

Изучение свойств билинейных отображений абелевых групп, коммутативных колец, модулей и полугрупп составляет важное направление современных алгебраических исследований. К этому направлению относятся многочисленные исследования по тензорным произведениям групп. Изучались также и тензорные произведения полугрупп. Первоначальные результаты в этом направлении получены Т.Хедом [26] , П.Грийе [24], Р.Фулпом \22].

В монографии Л.Фукса \19] сформулирована проблема: для данного класса колец найти необходимые и достаточные условия на группу К , при которых существует такое кольцо ^ из этого класса, что его аддитивная группа изоморфна группе А . В работах Р.Бьюмонта и Д.Ловера [20], У.Уиклеса [30], Ж. Рейда \29], С.Фейгелыптока [21] рассматривается возможность задания на данной группе кольцевой структуры с определенными свойствами. В качестве кольцевых свойств рассматриваются радикальность, тривиальность левых аннуляторов, полупростота и другие. Рассматриваемые вопросы для данной группы К фактически эквивалентны существованию билинейных отображений Л* —** ^ с определенными свойствами. В качестве этих свойств выступают различные типы невырожденности билинейных отображений. Аналогичные вопросы естественно рассматривать для коммутативных полугрупп и классов полуколец.

Вопрос о расщепляемости билинейных отображений является вариацией известной задачи о представлении функции двух переменных функциями одной переменной.

Вопросы двойственности и квазидвойственности полугрупп рассматривали Р.Фулп и П.Хилл [23], М.М.Лесохин [10], fei» А.И.Купцов pl. Одним из обобщений понятия двойственности является понятие слабой двойственности.

Изучение условий аппроксимируемости алгебраических систем теми или иными отображениями является одним из актуальных направлений алгебраических исследований. Кроме многочисленных работ советских и зарубежных алгебраистов по аппроксимации полугрупп гомоморфизмами, имеется ряд работ, в которых рассматриваются: вопросы аппроксимируемости полугруппы К относительно равенства всеми бихарактерами и конечными бихарактерами полугрупп К и fc (см., например, [15], [27]).

Все выше сказанное объясняет важность и естественность изучения свойств билинейных отображений полугрупп, а именно, существования невырожденных билинейных отображений, расщеп-ляемости, слабой двойственности полугрупп, аппроксимации полугрупп билинейными отображениями.

Цель работы. Описание полугрупп, аппроксимируемых бихарактерами относительно стандартных предикатов ; нахождение условий слабой двойственности полугрупп, невырожденности и расщепляемости билинейных отображений полугрупп.

Краткое содержание работы.

В первой главе рассматривается отделимость элементов полугруппы Д бихарактерами полугрупп А и Ь , т.е. билинейными отображениями полугрупп ^ и I в мультипликативную полугруппу, состоящую из всех комплексных чисел, по модулю равных I и нуля.

Говорят, что полугруппа К аппроксимируется множеством Ф бихарактеров полугрупп к и Ъ , если для любых элемен -тов <ХЛ , из N , сц* найдутся бихарактер \ из Ф и элемент 4 из £> такие, что ^САч,^* ^С0-*, . Бихарактер -4- называется периодическим (без кручения), если К/\*Ь) -множество периодических элементов (множество, все неидемпо -тентные элементы которого являются непериодическими).

На протяжении всей работы для коммутативных полугрупп используется аддитивная запись операции, для произвольных -мультипликативная. Если Ь - коммутативная регулярная полугруппа, то означает подполугруппу ее идемпотентов, - максимальную ее подгруппу с единицей €. , е^ - единицу макси -мальной подгруппы, содержащей элемент х , - конгруенцию на полугруппе В , определенную следующим образом: х 66 ^ тогда и только тогда, когда и - периодический элемент С ^ - элемент, регулярно сопряженный ^)

В первом параграфе находятся необходимые и достаточные условия аппроксимируемости полугруппы А периодическими би -характерами и бихарактерами без кручения коммутативных регулярных полугрупп А и В .

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема, указывающая условия аппроксимируемости полугруппы А периодическими бихарактерами коммутативных регулярных полугрупп

ТЕОРЕМА 1.1.1. Пусть

А , В - коммутативные регулярные полугруппы. Полугруппа К аппроксимируется периодическими бихарактерами полугрупп Л и В> тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

I). Если ) = ив А существует р -при

- б марный элемент конечной высоты к , то в !> найдется р -при-марный элемент, имеющий коначную высоту, не меньшую к .

2). Если в (\ есть р -примарный элемент бесконечной высоты, то р^/еО ^ .

3). Если в - периодическая полугруппа, то для любого элемента а. из к найдется простое число ^ из ХСв) , что ос имеет конечную р - высоту.

4). Если- й - периодическая полугруппа и - непериодический элемент из К , то найдутся такое простое число р , что ои имеет конечную р - высоту к и элемент & из & , € р -примарный элемент, что £ имеет порядок больший, чем р^ .

Более простой вид имеет критерий аппроксимируемости полугруппы А бихарактерами без кручения коммутативных регулярных полугрупп ^ и ^ .

ТЕОРЕМА 1.1.2. Полугруппа К аппроксимируется бихарактерами без кручения коммутативных регулярных полугрупп: /\ и £> тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1). К - полугруппа без кручения.

2). Если К - неидемпотентная полугруппа, то в Е есть элемент бесконечного порядка.

Бихарактер { полугрупп А и В называется ограниченным, если I - периодический элемент полугруппы всех билинейных отображений полугрупп К и Ь в К »т.е. найдется натуральное число И, , что к ^ = и, \ .

В предложении 1.1.1 показана эквивалентность условий аппроксимируемости полугруппы /V ограниченными бихарактерами и конечными бихарактерами коммутативных регулярных полугрупп ¿V и В> .

Во втором параграфе рассматривается аппроксимируемость полугруппы А бихарактерами полугрупп N и Ь относительно предикатов делимости, вхождения в моногенную подполугруппу, в подгруппу, в идеал.

Пусть ТО. - семейство подмножеств полугруппы К • Говорят, что полугруппа N аппроксимируется бихарактерами полугрупп К и в относительно вхождения в элементы множества если для любых ^ из N и ^А из ^ , а. ^ М , найдется бихарактер ^ полугрупп к и Ъ , что для любого т. из ^ найдется ^ из Ь , что

Во втором параграфе устанавливается связь между различными типами аппроксимируемости, и доказана равносильность аппроксимируемости полугруппы N бихарактерами произвольных полугрупп N и £ относительно вхождения в идеал и относительно делимости и;эквивалентность этих условий принадлежности полугруппы К классу вполне регулярных инверсных полугрупп.

Используя результаты первого параграфа доказывается основная теорема этого параграфа.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть ^ , & - коммутативные регулярные полугруппы. А - периодическая полугруппа. Следующие условия равносильны:

1). К аппроксимируется бихарактерами полугрупп К и й относительно вхождения в подгруппу.

2). К аппроксимируется бихарактерами полугрупп К и Ъ относительно вхождения в моногенную подполугруппу.

3). К аппроксимируется бихарактерами полугрупп ^ и^ относительно равенства.

4). £\ аппроксимируется периодическими бихарактерами полугрупп: К и относительно вхождения в подгруппу.

5). аппроксимируется периодическими бихарактерами полугрупп N и В» относительно вхождения в моногенную подполугруппу.

6). Для полугрупп ^ и I выполняются условия: а) если р и< в N существует -при-марный элемент высоты к , то в & найдется \> -примарный элемент конечной высоты, не меньшей к ; б) если в N есть р -примарный элемент бесконечной высоты, то рС^/Ое.)^ ^/(Эв

Во второй главе рассматривания вопросы существования билинейных отображений с определенными свойствами. Говорят, что между полугруппами А и & имеет место слабая двойственность относительно полугруппы С , если найдется такое билинейное отображение К —р С- , что для любых элементов а1 , из , сц * ад , и любых %>л , из Ь , ^ , найдутся из А и & из В> такие, что

Первый параграф этой главы посвящен изучению вопроса о слабой двойственности полугрупп. Будем говорить, что подмножество И полугруппы Ноил(^,с) отделяет элементы из А , если для любых * из К найдется К. из Ц , что

КЛ^О * Существование слабой двойственности; между полугруппами; ^ и I относительно полугруппы С равносильно существованию изоморфного вложения к —* НоилСв,С) такого, что САО отделяет элементы из й .

Пусть N - коммутативная регулярная полугруппа, являющаяся полуструктурой Е ^ групт ^е. . ЧЦе.Л - гомоморфизм, ^ в определяемый следующим образом: ^е^СяО - гомоморфизм КоидСА^С') в Цо^л СА*, С) такой, что

С Ч* = Ч С^еЛ*-4» = ^ С«-* е-О.

В следующей теореме, которая является основным результатом этого параграфа, находятся необходимые и достаточные условия слабой двойственности коммутативных регулярных полу -групп, одна из которых артинова, относительно абелевой группы с внешне присоединенным нулем.

ТЕОЕМА 2.1.1. Между коммутативными; регулярными: полугруппами N и в , где К - с условием минимальности; для; идеалов, имеет место слабая двойственность относительно абе-левой группы с внешне присоединенным нулем С тогда и только тогда, когда существует изоморфизм ^ на одну из полуструктур множества ^ ^ У\

- полуструктура, двойственная ) такой, что между К«. и имеет место слабая двойственность относительно и, что = » е-*-«.,-в ~ е. , для нетривиальных групп N, & .

В случае, когда С. - мультипликативная полугруппа неотрицательных действительных чисел, ответ о слабой двойственности полутрупп дает

ТЕОРЕМА. 2.1.2. Между коммутативными регулярными, полугруппами К и Ъ , где N - с условием, минимальности, для идеалов, имеет место слабая двойственность относительно мультипликативной полугруппы неотрицательных действительных чиг сел тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1). ^ и ^ - полугруппы без кручения.

2). Найдется: изоморфизм у Ев на одну из полуструктур \ Б! , СЕ ¡¡У*, С * такой, что * исС°ач"че°) а*мультипликативная группа положительных действительных чисел ) для нетривиальных групп А е. и В></ .

3). Найдутся изоморфные вложения %ег Ь<г.'—* НоилСА^оЛО. такие, ЧТО ^се'гчч.еО'^' ^е/,, е^е'^е; , для нетривиальных групп ^ и .

Во втором параграфе изучаются условия существования невырожденных билинейных отображений Н '. А * N ~* к . Билинейное отображение V' А* А —* К называется невырожденным, если! 2, = выполняется тогда и только тогда, когда = л- или 2. £ в ^ . Как отмечалось ранее, вопрос существования невырожденного билинейного отображения связан с возможностью наделения коммутативной полугруппы К структурой полукольца без делителей идемпотентов. Для того чтобы существовало невырожденное билинейное отображение 4-: А х А —* А, , необходимо, чтобы N была либо периодической полугруппой, либо полугруппой без кручения. В настоящей диссертации рассматривается случай, когда полугруппа А принадлежит классу периодических полугрупп с одним идемпотентом.

В предложении,2.2.1 показано, что необходимым условием существования невырожденного билинейного отображения для периодической одноидемпотентной полугруппы, не имеющей неидем-потентных регулярных элементов является принадлежность ее классу нильполугрупп ступени два.

Далее показывается, что для свободной коммутативной бесконечной нильполугруппы и для полугруппы с нулевым умножением, существуют невырожденные билинейные отображения Ах А—.

В предложении 2,2.3 установлено, что необходимым условием существования невырожденного билинейного отображения -К А* А-* А для коммутативной нильполугруппы ступени два, не являющейся полугруппой с нулевым умножением является наличие в ней для любого натурального числа к, системы из к, попарно независимых элементов.

Основным результатом этого параграфа является

1Е0Ш4А 2.2.1. Если N - коммутативная периодическая полугруппа с одним идемпотентом, имеющая неидемпотентный регулярный элемент, то для того чтобы существовало невырожденное билинейное отображение V: А * А —у А , необходимо ш достаточно, чтобы нашлось такое простое число , что все неидемпотентные элементы полугруппы ^ имели тип- р ^ , где и, < р

Из приведенных фактов вытекает условие существования невырожденного билинейного отображения для конечной полутруппы:

СЛЕДСТВИЕ. Если А - коммутативная конечная полугруппа с одним идемпотентом, то для того чтобы существовало невырожденное билинейное отображение V". Ах А—^ К , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1. Найдется простое число , что всякий элемент из Ь имеет тип Си^р^ > где к. ^

2. & - полугруппа с нулевым умножением*

В третьей главе рассматриваются вопросы расщепляемости; билинейных отображений полугрупп. Пусть К , Ь - полугруппы, К - коммутативное кольцо. Билинейное отображение + полугрупп А и & в аддитивную группу К4 кольца К называется расщепляющимся, если найдутся гомоморфизмы д: А-* К+ и -Ь : В»—» такие, что для любых элементов ои из А и 4 из Ъ К*,^ «до^-ив), где - знак умножения в кольце.

В первом параграфе этой главы найдены необходимые и. достаточные условия расщепляемости всех билинейных отображений конечно порожденных коммутативных полугрушп в кольцо главных идеалов.

Пусть Л - конечно поровденная коммутативная полутруппа с порождающим множеством {а,,. , о. * } и определяющими! соотношениями с^а-*-*- --. * » + ¿ = •--,*11 коммутативная конечно порожденная полугруппа конечно определена Пусть Мл = ^ - целочисленная матрица. Под рангом целочисленной матрицы М над кольцом главных идеалов К понимаем наибольший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Считаем, что минор отличен от нуля, если:он не делится на характеристику поля частных кольца К

Основным результатом этого параграфа является 1Е0РЕМА 3.1.1. Для того чтобы всякое билинейное отображение —* Уч* конечно порожденных коммутативных полугрупп N и й в аддитивную группу кольца главных идеалов К расщеплялось, необходимо и достаточно, чтобы £ ^и^к-^или] , где и. , и.' - числа образующих полугрупп- Ь и Ь соответственно, ^ДМО 0 ~ ранги матриц и над кольцом К .

Во втором параграфе третьей главы рассматривается рас-щепляемость билинейных отображений полугрупп в поле.

Обозначим через ^ класс всех таких коммутативных полугрупп ^ , что для любых х , ^ из £ найдутся натуральные числа ^ и и- , найдется элемент ^ из $ , что к-ЗС. ИЛИ К. ОС 4 2 = И-Х илу + 2 .

Пусть р - фиксированное простое число. - класс всех таких коммутативных полугрупп. , что для любых х. » ^ из выполняется хотя бы одно из условий: а) найдутся х., , г из , что -V г ~ х- -V + ъ ; б) найдутся , , г из , что р^иг- З + Р^-^г » в) найдутся натуральное число уь и элементы и, , гГ , г

ИЗ ^ , ЧТО И. эс -V рсс^ ъ = + р я^Ч г ИЛИ ри. + £ =

Основными результатами этого параграфа являются:

ТЕОРЕМА 3.2.1. Любое билинейное отображение V- МЬ—»С^ коммутативных полугрупп N и в в аддитивную группу С+ поля С характеристики нуль расщепляется тогда и.только тогда, когда Кь или

ТЕОРЕМА 3.2.2. Любое билинейное отображение коммутативных полугрупп К и £ в аддитивную группу поля Р характеристики расщепляется тогда и только тогда, когда £ или ^р

Научная новизна. а). Получены необходимые и достаточные условия аппроксимируемости : полугруппы К периодическими бихарактерами и бихарактерами без кручения, необходимые и достаточные условия аппроксимируемости бихарактерами полугруппы N относительно делимости. б). Найдены необходимые и достаточные условия слабой двойственности полугрупп относительно мультипликативной полугруппы неотрицательных действительных чисел. в). Решен ряд вопросов существования невырожденных билинейных отображений * ^ N для случая периодиг ческих полугрупп. г). Приведены необходимые и достаточные условия расщеп-ляемости всех билинейных отображений полугрупп К и й в аддитивную группу области целостности.

Методы исследования основаны на сочетании методов теории абелевых групп и полугрупп. Применяется метод разложения полугрупп в коммутативную связку неразложимых компонент. Развивается подход к продолжению гомоморфизмов максимальных подгрупп коммутативной регулярной полугруппы до гомоморфизмов всей полугруппы.

Теоретическое значение.

Проведено систематическое изучение билинейных отображений полугрупп К и й в полугруппу С , представляющее интерес для теории полугрупп. Полученные результаты могут быть использованы при решении различных задач, связанных с билинейными отображениями полугрупп, полукольцами и многоосновными алгебраическими системами.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на ХУЛ Всесоюзной алгебраической конференции (Минск, 1983 г.), на ХХХ1У - ХХХУТ Герценовских чтениях (Ленинград, 1982 - 1984 гг.), на алгебраических семинарах Казанского С1983 г.), Саратовского (1984 г.) и.Кишиневского (1984 г.) университетов, на Ленинградском городском семинаре по теории полугрупп (1983 г.), на зональных конференциях математических кафедр педвузов в Петрозаводске (1982 г.) и Пскове (1984 г.) .

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 4 работы

Объем работы.

Диссертация изложена на 94 машинописных страницах и состоит из введения, списка обозначений и трех глав. Каждая глава содержит два параграфа. Библиография насчитывает 35 работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства: пер. с франц. - М.: ИЛ, 1959. - 410 с.

2. Бурмистрович И.Е. Коммутативные связки полугрупп с сокращением. Сибирск.матем.ж., 1965, т.6, Р 2, а.284-299.

3. Глускин Л.М. Полугруппы.- В кн.: Итоги науки и. техники-. Алгебра. Топология. М., 1962, а. 33-58.

4. Глускин Л.М. Полугруппы. В кн.: Итоги: науки и техники-. Алгебра. 1964., М., 1966', с. 161-202.

5. Глускин Л.М., Шайн Б.М., Шеврин Л.Н. Полугруппы.- В кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1966., М., 1968, с. 9-56.

6. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугруппа пер. с англ. В 2-х т. Мир, 1972. Т.1.- 286; с.

7. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.- 648 с.

8. Ленг С. Алгебра: пер. с франц.- М.: Мир, 1968. 564 с.

9. Купцов А. И., Лесохин М.М. О двойственности, и. квазидвойственности; полугрупгг. В кн.: Современная алгебра. Л., 1980, с. 99-103.

10. Лесохин М.М. О двойственности! комплексных характеров и полухарактеров коммутативных полугрупп;- Матем.сб., 1965, т. 66 108 , Р 3, с. 378-383.

11. Лесохин М.М. О гомоморфизмах на регулярные полугруппы.-Сибирск.матем.ж., 1963, т. 4, Р 6, с. 1431-1432.

12. Лесохин М.М. О дистрибутивных операциях на полугруппах.1.- Учен.зал,/ Ленингр.гос.пед.ин-та им;А.И,Гёрцена, 1967, т. 302, с. 101-116.

13. Лесохин М.М. О дистрибутивных операциях на полугруппах. П.- Учен.зап./ Ленингр.гос.пед.ин-та им.А.И.Герцена, 1967, т. 328, с. 173-180.

14. Лесохин М.М. Об отделимости; подполугрупп; комплексными: характерами.- Матем.сборник. Новая серия., 1967, т. 74, вып. 2, с. 314-320.

15. Лесохин М.М. Бихарактеры коммутативных полугрупп.-Учен, зап*/ Ленингр.гос.пед.ин-та, им.А.И.Герцена, 1971, т. 464, ч.П, с. 40-55.

16. Ляпин Е.С. Полугруппы.- М.: Физматгиз, I960. 592 с.

17. Мальцев А.П. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. - 392 с.

18. Мишина А.П. Абелевы группы.- В кн.: Итоги науки и. техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1979, т. 17, с. 3-63.

19. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы: пер. с англ. В 2-х т. М.: Мир, 1974. T.I. - 335 с.

20. Beaumont R.A., Lawyer D.A. Strongly semisimple abelian groups. Pacif. J. Math., 1974, vol. 53, И 2, p.327-336.

21. Peigelstock S. Abelian groupssatisfying ring properties. Comment. Math. Univ. St. Pauly, 1976, vol. 25, N 1, p. 81-87.

22. Pulp R. Tensor and Torsion products of Semigroups. Pacific. J. Math., 1970, vol. 32, p. 685-696.

23. Pulp R.O., Hill P. Reflexive semigroups.- Eroc. Amer. Math. Soc., 1965, vol. 16,IT 5, p. 1096 1098.

24. Wiliamson J.H. Harmonic analisis on semigroups, Jornal London Math, Soc,, 1967, vol. 42, U 1, p. 1-41.

25. Попырин А.В. О расщепляемости билинейных функционалов на коммутативных полугруппах. ХУЛ Всесоюзная алгебраическая: конференция. Тез.докл.П. Минск, 1983,с. 191 192.

26. Попырин А.В. О свойствах билинейных отображений коммутативных полугруппа В кн.:. Свойства полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов:.Л., 1984, с. 122 - 130.

27. Попырин А.В. Об отделимости элементов полугрупп: биха*-рактерами.-Л., 1984.- 9 стр.- Рукопись представлена Ленингр. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ II июля 1984 г., Р 4957 84 Деп.

28. Попырин A.B. О невырожденных билинейных отображенияхкоммутативных полугруппа Л., 1984. - 8 стр. - Рукописьпредставлена Ленингр. пед. ин-том. Деп. в ВИНИТИ II июля 1984 г., Г- 4958 84 Деп.