Аппроксимация полугрупп гомоморфизмами специального вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СНЕТКОВ ОЛЕГ АЛЕКСАНДРОВИЧ

АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛУГРУПП ГОМОМОРФИЗМАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

01 01 Об - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

--

Ч 8 СЕН 200В

Санкт-Петербруг 2008

003446139

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры математического факультета Российского государственного педагогического университета им. А И Герцена

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор Лесохин Михаил Моисеевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Кублановский Станислав Ицхокович кандидат физико-математических наук, Борисов Анатолий Алексеевич Ведущая организация: Поморский государственный

университет им М В Ломоносова

Защита состоится " № 2008 года в ^ часов на засе-

дании Совета Д 212 232 29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 191011, Санкт-Петербург, наб р Фонтанки, 27, ауд 311 (помещение ПОМИ РАН)

Адрес диссертационного совета 198504, Санкт-Петербург, Ст Петергоф, Университетский пр , д 28

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им А М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , д 7/9 Автореферат разослан " /У "ОбЩС/ПЙ 2008г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212 232 29, доктор физико-математических наук, профессор / ВМ Нежинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Аппроксимация алгебраических систем относительно тех или иных предикатов к настоящему времени представляет собой одно из актуальных направлений в исследовании алгебраических систем

Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А И Мальцева В его работах сформулировано общее понятие аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов С начала 60-х годов XX века по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем различных классов, прежде всего групп колец и алгебр Интерес к этим вопросам нашел отражение в работах как российских (М И Каргаполов, А Ю Ольшанский, В П Платонов, В Н Ремесленников, А Кемер, С И Кублановский, Зайцев, Канель-Белов и других), так и зарубежных (G Baumslag, N Blacburn, W Magnus, R McKenzie и других) алгебраистов

Аппроксимация полугрупп относительно предикатов также привлекла внимание многочлисленных исследователей и превратилась сейчас в обширную развивающуюся область теории полугрупп Формированию этого направления способствовало рассмотрение гомоморфизмов полугрупп в полугруппы с заданными свойствами, в частности, наложение на полугруппы тех или иных условий конечности позволяет изучать бесконечные полугруппы сведением их к конечным полугруппам Аппроксимации полугрупп посвящены работы J Gerhard, Э А Голубова, С И Кублановского, G Lallement, М М Лесохина, С Г Мамиконяна, М В Сапира и многих других исследователей

Важность введенного А И Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами Как отметил А Й Мальцев, финитная аппроксимируемость конечно определенной алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тож-

деств относительно некоторого предиката, влечет алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе Например, аппроксимационными методами С И Кублановским в 1980 году был положительно решен вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп В 1981 году М В Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства слов и финитной аппроксимируемости конечно определенных полугрупп

Как уже отмечалось выше целесообразно рассматривать гомоморфизмы полугрупп в те полугруппы, свойства которых хорошо известны, например, периодическая часть мультипликативной полугруппы коплексных чисел Вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Ст Шварца, Е Hewitt и Н Zukerman, М М Лесохина, Э П Арояна и других

Ст Шварц в 1954 году нашел необходимые и достаточные условия аппроксимации конечных полугрупп комплексными характерами, Е Hewitt и Н Zukerman нашли необходимые и достаточные условия аппроксимации коммутативных полугрупп комплексными характерами, в 1967 году М М Лесохин исследовал отделимость подполугрупп комплексными, а в 1985 году Э П Ароян - вещественными характерами

Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определенных классов алгебраических систем Так например, в группах важнейшими предикатами являются предикат равенства, регулярной сопряженности, предикат вхождения элемента в подгруппу, в конечно порожденную подгруппу В кольцах и алгебрах важную роль играют предикаты равенства, нильпотентности, вхождения элемента в подкольцо (подалгебру) В полугруппах исследовались предикаты делимости, отношения Грина, предикаты равенства и вхождения элемента в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппу, подгруппу и т п )

Указанные предикаты явились объектом многочлисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих преди-

катов, и с точки зрения аппроксимации В полугруппах особо значимым является предикат делимости На языке делимости определяются отношения Грина, регулярность и ее модификации распознаваемости и другие важные свойства полугрупп. Следует отметить, что последнее свойство распознаваемости полугрупп систематически изучается целым рядом алгебраистов, таких, как G Lallement, S. Rankin, С Reis, Т Tamura, G Thierrm и других в связи с потребностями теории кодирования

В последние десятилетия широко ведется изучение свойств алгебраических систем, наделенных дополнительными структурами, в частности топологической. В теории полугрупп такое систематическое изучение началось с выходом монографии А В Paalman-de-Miranda "Topological semigroups" в 1964 году Интерес к изучению топологических полугрупп объясняется тем, что наличие топологической структуры обеспечивает присутствие некоторых свойств, отсутствующих в общем абстрактном случае Так например, всякая компактная топологическая полугруппа имеет идем-потент

Цель работы. Целью данной диссертации является нахождение необходимых и достаточных условий финитной аппроксимации полугруппы идеальными гомоморфизмами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, идеал, подгруппу, относительно предикатов Грина, исследование условий аппроксимации независимого произведения полугрупп, нахождение критериев аппроксимации полугруппы комплексными характерами и критериев аппроксимации компактной топологической полугруппы непрерывными комплексными характерами относительно единично идеальных предикатов

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе использованы методы аппроксимации полугрупп, метод разложения полугруппы в коммутативную связку неразложимых компонент (теорема Tamura-Petrich), метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруп-

пы в группу с внешне присоединенным нулем

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер Результаты диссертации представляют интерес для исследований по теории аппроксимации полугрупп, они могут быть использованы при подготовке спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I международной конференции "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е С Ляпина (июнь 1995 года, Санкт-Петербург), на III международной конференции по теории чисел (сентябрь 1996 года, Тула), на международной алгебраической конференции памяти Д К Фаддеева (июнь 1997 года, Санкт-Петербург), на Герценовских чтениях в РГПУ им А И.Герцена (апрель 1997 года, Санкт-Петербург), на городском алгебраическом семинаре по теории полугрупп (апрель, октябрь 1998 года, октябрь 1999 года, Санкт-Петербург), на II международной конференции "Полугруппы теория и приложения" в честь профессора Е С Ляпина (июль 1999 года, Санкт-Петербург), на алгебраическом семинаре им Д К Фаддеева в ПОМИ РАН (апрель 2008 года)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, перечисленных в конце автореферата

В статье [2] соискателю принадлежит лемма о наследственности, теоремы 1,2,3 в которых найдены критерии БН1 - финитной аппроксимируемости полугруппы относительно равенства, делимости, вхождения элемента в моногенную подполугруппу Остальные результаты принадлежат соавтору Статья [7] опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК на момент публикации.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 71 странице машинописного текста, состоит из введения и двух глав, содержащих шесть параграфов Библиография включает 60 работ российских и зарубежных авторов

Краткое содержание работы. Приведем основные определения

1 Пусть 5 - некоторая полугруппа, Р - некоторый бинарный предикат, заданный на элементах и подмножествах полугруппы 5 и всех гомоморфных образах подмножеств и элементов полугруппы 5, Ф - множество некоторых гомоморфизмов полугруппы 5 Говорят, что полугруппа 5 аппроксимируема с помощью гомоморфизмов из Ф относительно предиката Р, если для всяких ¿ь С Б, таких, что 5г) ложно в 5, существует гомоморфизм <р £ Ф, для которого Р(</з(51), ¡¿'(З'г)) ложно в <¿>(5)

2 Комплексным характером (характером) полугруппы 5 будем называть гомоморфизм полугруппы 5 в периодическую часть Ст мультипликативной полугруппы комплексных чисел

3 Будем говорить, что в полугруппе 5 элемент а делится на элемент Ь (Ь является делителем а), если существуют и и и из 51, такие, что а = иЬи Обозначение а Ь

4 Под идеалом, если это не оговорено специально, будем понимать двусторонний идеал

5 Коммутативной связкой будем называть коммутативную полугруппу идемпотентов Коммутативная связка 5 естественно частично упорядочена (а <Ь тогда и только тогда, когда об = Ьа = а, а,Ь 6 5)

6 Полугруппа 5 называется архимедовой, если для всяких а,Ь £ Б найдутся такие элементы Х\,Х2£ 5, что при некотором натуральном числе п будем иметь

ап = хф — Ьх2

7 Будем говорить, что полугруппа Б удовлетворяет коммутаторному условию, если для любых двух элементов а^аг £ 5 найдутся элементы х,у € 5, такие, что а\а.2 = ха\ = а^у

8 На полугруппе 5 задается следующая конгруэнция

(а, Ь) € р (а = Ь) или (а, Ь € I), где I - некоторый идеал полугруппы 5 Эта конгруэнция носит название конгруэнция Рисса Естественный гомоморфизм 5 на фактополугруппу 5/; называется идеальным гомоморфизмом

9 Пусть 5 - полугруппа, К С S, К Ф 0 К называется единично идеальной подполугруппой (е и п.) полугруппы S, если выполнено условие для любых a S S и к £ К

(ак е К или ак = а) и (ka е Л" или ка = а)

Примеры Двусторонний идеал, любая подполугруппа цепи являются е и п

Одноэлементная е и п. полугруппы S называется единично идеальным элементом (е и э)

10 Полугруппа идемпотентов Е называется веерной полуструктурой, если Е имеет нуль z и произведение двух различных идемпотентов равно z

И Топологической полугруппой называется топологическое пространство S вместе в непрерывной функцией / Sx S S, такое, что выполняются следующие два условия

1) S - хаусдорфово пространство,

2) / ассоциативна

12 Пусть S - компактная топологическая полугруппа, множество идемпотентов Е содержится в центре Идемпотент е' называется производящим, если

1е> = и{х е Ре |е' jC е} замкнуто, где Ре = {х 6 5|е € (г)} В частности, если 1е- = 0, то е' будем считать производящим

Приведем краткое изложение каждого параграфа

Первая глава состоит из четырех параграфов Эта глава диссертации посвящена исследованию финитной аппроксимируемости полугрупп, в частности, независимого произведения полугрупп с помощью идеальных гомоморфизмов Выбор идеальных гомоморфизмов обуславливается тем, что данный вид гомоморфизмов восходит к идеалу - одному из важных понятий теории полугрупп Рассмотрение идеальных гомоморфизмов бывает полезным при аппроксимации полугрупп В 1971 году М. М Лесохин доказал следующее утверждение для того чтобы нильполугруппа S была финитно аппроксимируема относительно равенства, делимости, вхождения

элемента в подполугруппу, необходимо и достаточно, чтобы 5 была финитно аппроксимируема идеальными гомоморфизмами относительно указанных предикатов Этот результат послужил отправной точкой исследования.

В первом параграфе первой главы найдены условия финитной аппроксимации полугруппы идеальными гомоморфизмами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, идеал, подгруппу, относительно предикатов Грина Доказано, что свойство полугруппы Б быть финитно аппроксимируемой идеальными гомоморфизмами относительно предикатов равенства, вхождения элемента в подполугруппу, в подгруппу наследственно, то есть этим свойством обладает каждая подполугруппа данной полугруппы Вместе с тем свойство полугруппы быть фи-нито аппроксимируемой идеальными гомоморфизмами относительно делимости не является наследственным

Во втором параграфе первой главы, который носит вспомогательный характер, изучаются некоторые свойства компонент независимого произведения полугрупп Эти свойства в полном объеме используются при доказательстве основных результатов об аппроксимируемости независимого произведения полугрупп

Среди е и п полугруппы 5 выделяют разделяющиеся е и п , играющие большую роль при построении независимого произведения полугрупп

Пусть Б - полугруппа, К-екп,К сЗ, К К называется

разделяющейся, если для всяких к £ К, Ь,У € 5\К выполнены следующие условия:

1)Ыс = Ь=> Ь'к = V,

2) кЬ = Ь Ш = V

Примеры Верхний отрезок цепи, групповая часть группы с внешне присоединенным нулем - разделяющиеся е и п

В разделяющейся е и п К полугруппы 5 рассматриваются следующие подмножества

К^ = {к 6 К | Щ е Б\К (Ьк £ К)} - левый идеал полугруппы Кг5 = {к 6 К | е 5\АГ е /С)} - правый идеал полугруппы 5, Т=К13ПЩ, М1 = К13\ Т, АГ - Я^Г, Ь = к\(к13ищ)

В работе Е С Ляпина "Независимость подполугрупп полугруппы" (ДАН СССР, т 185, N-6, 1969 г) найдены необходимые и достаточные условия существования надполугруппы 5 полугрупп 5] и в терминах специальных множеств, введенных выше Другими словами, Е С Ляпин нашел критерий вложимости ^ и 5г в свободное произведение полугрупп с объединенной подполугруппой К Если К = 0, то говорят об обычном свободном произведении полугрупп Одно из требований критерия вложи-мости единично идеальная подполугруппа К должна быть разделяющейся В этом случае свободное произведение называется независимым

В 1957 году К № СгиепЬе^ доказал, что свободное произведение финитно аппроксимируемых групп финитно аппроксимируемо В 1971 году Э А Голубов доказал, что свободное произведение финитно аппроксимируемых полугрупп финитно аппроксимируемо Была гипотеза верно ли, что этот результат можно перенести на случай независимого произведения полугрупп В первой главе построен контрпример

Предложение 1. Существуют две финитно аппроксимируемые полугруппы, независимое произведение которых не финитно аппроксимируемо

В третьем параграфе найдены условия финитной аппроксимации независимого произведения полугрупп идеальными гомоморфизмами относительно равенства, делимости Основной результат третьего параграфа следующий

Теорема 1. Пусть 5 - независимое произведение полугрупп вг и 5г Для того чгпобы 5 было финитно аппроксимируемо идеальными гомо-

морфизмами, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия

1) полугруппы Бг и £2 финитно аппроксимируемы идеальными гомоморфизмами относительно равенства,

2) если М[ и ~ М12 и М£ Ф 0, то оба множества 3\\К и Б2\К конечные,

3) если то (5ДК) ИТ - подполугруппа в 5} или (5г\К) иТ -подполугруппа в Эг,

4) любой элемент из Т, кроме, может быть, нуля, имеет лишь конечное множество делителей в 5

В четвертом параграфе показывается, что для некоторых классов полугрупп из финитной аппроксимируемости компонент независимого произведения следует финитная аппроксимируемость всей конструкции

Предложение 2. Пусть Б - независимое произведение двух коммутативных связок 5) и ¿2, тогда 5 финитно аппроксимируемо

Теорема 2. Пусть Б - независимое произведение архимедовых конечно определенных полугрупп и 5г, удовлетворяющих коммутаторному условию, и таких, что разделяющаяся е и п К -максимальная подгруппа полугрупп 5} и Зг Для того чтобы Э было финитно аппроксимируемо, необходимо и достаточно, чтобы Ях и 3<г были финитно аппроксимируемы

Теорема 3. Пусть ¿7 - независимое произведение полугрупп 5] и с сокращением, обладающих общей единицей и не являющихся группами Для того чтобы 5 было финитно аппроксимируемо, необходимо и достаточно, чтобы и были финитно аппроксимируемы

В 1972 году М М Лесохин доказал, что в классе архимедовых конечно определенных полугрупп, удовлетворяющих коммутаторному условию, алгоритмически разрешима проблема делимости

Вторая глава состоит из двух параграфов Эта глава посвящена исследованию аппроксимируемости полугрупп, в том числе компактных топологических, характерами (в случае компактных топологических полугрупп -

непрерывными) относительно единично идеальных предикатов

Так как понятие е и п является обобщением понятия двустороннего идеала, а понятие е и э является обобщением понятия нуля и единицы полугруппы, то изучение аппроксимации полугрупп относительно единично идеальных предикатов представляет несомненный интерес

Следует сказать, что не всякая полугруппа имеет е.и э. Например, бесконечная моногенная полугруппа не имеет е и э. В 1972 году Е С Ляпин описал класс полугрупп, обладающих е.и э Обозначим этот класс Л.

В первом параграфе второй главы найдены критерии аппроксимируемости полугруппы характерами относительно единично идеальных предикатов

Предложение 3. Для того чтобы коммутативная полугруппа 5 6 Л была аппроксимируема характерами относительно предиката "быть единично идеальным элементом", необходимо и достаточно, чтобы каждая ее архимедова компонента, содержащая единично идеальный элемент, была группой

Доказано, что любая полугруппа 5 & Л финитно аппроксимируема характерами относительно предикатов делимости и инверсности единично идеальных элементов

Во втором параграфе второй главы найдены критерии аппроксимируемости компактных топологических полугрупп непрерывными характерами относительно единично идеальных предикатов Основные результаты второго параграфа следующие

Предложение 4. Для компактной топологической полугруппы 5 € Л, е которой идемпотенты коммутируют, следующие условия эквивалентны

1) для любых к', а' £ Б* (к' ф а') существует производящий идемпо-тент е, такой, что к'е~ е и а'е ф е или к'е — е и а'е = е,

2) полугруппа 5 финитно аппроксимируема непрерывными характерами относительно предиката делимости единично идеальных элементов,

3) полугруппа 5 финитно аппроксимируема непрерывными характерами относительно предиката равенства единично идеальных элементовI,

4) полугруппа Б финитно аппроксимируема, непрерывными характерами относительно предиката инверсности единично идеальных элементов

Теорема 4. Для того чтобы компактная топологическая полугруппа Б ё Л, в которой идемпотенты коммутируют, была аппроксимируема непрерывными характерами относительно предиката вхождения элемента в единично идеальную подполугруппу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.

1) 5 вполне регулярная полугруппа,

2) каждый идемпотент полугруппы Б производящий,

3) подполугруппа идемпотентов Е является веерной полуструктурой

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Снетков О А БШ-фшштная аппроксимация полугрупп // Тезисы докл Международная конференция по алгебре в честь Е С Ляпина - СПб , 1995 - С 67

[2] Лесохин М М , Снетков О А ЭШ-финитная аппроксимация полугрупп // Современная алгебра Межвузовский сборник научных трудов -Ростов-на-Дону, 1996 - С 76-85

[3] Снетков О А БШ-аппроксимация полугрупп комплексными характерами // Тезисы докл Международная алгебраическая конференция памяти Д К Фадцеева - СПб , 1997 - С 283-284

[4] Снетков О А БШ-аппроксимация полугрупп вещественными характерами // Современная алгебра Межвузовский сборник научных трудов Ростов-на-Дону, 1997 - С 75-78

[5] Снетков О А ЭШ-аппроксимация полугрупп относительно предикатов Грина // РГПУ им А И Герцена СПб , 1998. - 8с - Деп в ВИНИТИ 06 03 98, №632 - В 98

[6] Снетков О А Отделимость единично идеальных элементов в полугруппах // Объединенный научный журнал - Москва, октябрь 2007.-С 66.

[7] Снетков О А Аппроксимация независимого произведения полугрупп // Вестник Ижевского государственного технического университета, N-1 (37), Ижевск, январь-март 2008 - С 95-96

Подписано в печать 20 06 08. Формат 60x841/16

Бумага офсетная. Печать офсетная Уел печ. листов 0,7 Тираж 100 экз. Заказ № 33

ЦОП типографии Издательства СПбГУ 199061, С-Петербург, Средний пр, д 41

Введение

Глава 1. Финитная аппроксимация полугрупп

§1. Финитная аппроксимация полугрупп идеальными гомоморфизмами

§ 2. Некоторые свойства независимого произведения полугрупп .,.

§ 3. Аппроксимация независимого произведения полугрупп идеальными гомоморфизмами

§ 4. Финитная аппроксимируемость независимого произведения полугрупп

ГЛАВА 2. Аппроксимация полугрупп характерами

§ 1, Аппроксимация полугрупп характерами относительно единично идеальных предикатов.

§ 2. Аппроксимация компактных топологических полугрупп непрерывными характерами относительно единично идеальных предикатов

Актуальность темы

Аппроксимация алгебраических систем относительно тех или иных предикатов к настоящему времени представляет собой одно из актуальных направлений в исследовании алгебраических систем.

Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, - является одним из основных методов математики. Этот метод позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диафантовы приближения, в геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики, в сущности, целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения и интерполирования функции, числовые методы анализа.

Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А. И. Мальцева. В его работах сформулировано общее понятие аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов. С начала СО-х годов XX века по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем различных классов, прежде всего групп колец и алгебр. Интерес к этим вопросам нашел отражение в работах как российских (М. И. Каргаполов [7], А. Ю. Ольшанский [26], В. П. Платонов [27], В. Н. Ремесленников [30], А. Кемер, С. И. Кублановский, Зайцев, Канель-Белов и других), так и зарубежных (G.Baumslag [37], N.Blacburn [38], W.Magnus [47], R.McKenzie [48], Ph.Holl [43] и других) алгебраистов.

Аппроксимация полугрупп относительно предикатов также привлекла внимание многочлислснных исследователей и превратилась сейчас в обширную развивающуюся область теории полугрупп. Формированию этого направления способствовало рассмотрение гомоморфизмов полугрупп в полугруппы с заданными свойствами, в частности, наложение на полугруппы тех или иных условий конечности позволяет изучать бесконечные полугруппы сведением их к конечным полугруппам. Аппроксимации полугрупп посвящены работы J.Gerhard, Э. А. Голубова, С. И. Кублановского,

G. Lallement, М. М. Лесохина, С. Г. Мамиконяна, М. В. Сапира и многих друр гих исследователей.

Важность введенного академиком А. И. Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами. Как отметил А. И. Мальцев, финитная аппроксимируемость конечно определенной алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тождеств относительно некоторого предиката, влечет алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе [23]. Например, аппроксимационными методами С. И. Кублановским был положительно решен вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп [9]. М. В.Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства слов и финитной аппроксимируемости конечно определенных полугрупп [321.

Как уже отмечалось выше, целесообразно рассматривать гомоморфизмы полугрупп в те полугруппы, свойства которых хорошо известны, например, периодическая часть мультипликативной полугруппы коилексных чисел. Вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Ст.Шварца, E.Hewitt и H.Zukerman, М.М.Лесохина, Э. П. Арояна и других.

Ст. Шварц [34] нашел необходимые и достаточные условия аппроксимации конечных полугрупп комплексными характерами, Е. Hewitt и Н. Zukerman [44] нашли необходимые и достаточные условия аппроксимации коммутативных полугрупп комплексными характерами, М. М.Лесохин исследовал отделимость подполугрупп комплексными [13], а Э.П.Ароян -вещественными характерами [1].

Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определенных классов алгебраических систем. Так например, в группах важнейшими предикатами являются: предикат равенства, регулярной сопряженности, предикат вхождения элемента в подгруппу, в конечно порожденную подгруппу. В кольцах и алгебрах важную роль играют предикаты равенства, нильпотентности, вхождения элемента в подкольцо (подалгебру). В полугруппах исследовались предикаты делимости, отношения Грина, предикаты равенства и вхождения элемента в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппу, подгруппу и т.н.).

Указанные предикаты явились объектом многочлисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих предикатов, и с точки зрения аппроксимации. В полугруппах особо значимым является предикат делимости. На языке делимости определяются отношения Грина, регулярность и ее модификации распознаваемости и другие важные свойства полугрупп. Следует отметить, что последнее свойство распознаваемости полугрупп систематически изучается целым рядом алгебраистов, таких, как G. Lallement [4G], S. Rankin [51], С. Reis [51], Т. Tamura [52], G. Thierrin [51] и других в связи с потребностями теории кодирования.

В последние десятилетия широко ведется изучение свойств алгебраических систем, наделенных дополнительными структурами, в частности топологической. В теории полугрупп такое систематическое изучение началось с выходом монографии А. В. Paalman-de-Miranda "Topological semigroups" в 19G4 году [49]. Вопросами аппроксимации топологических полугрупп занимались М. М.Лесохин [16], Л. Б. Шнеперман [3G], Н.С. Расулов [29] и другие. Интерес к изучению топологических полугрупп объясняется тем, что наличие топологической структуры обеспечивает присутствие некоторых свойств, отсутствующих в общем абстрактном случае. Так например, всякая компактная топологическая полугруппа имеет идемпотент.

Цель работы. Целью данной диссертации является нахождение необходимых и достаточных условий финитной аппроксимации полугруппы идеальными гомоморфизмами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, идеал, подгруппу, относительно предикатов Грина; исследование условий аппроксимации независи$ мого произведения полугрупп, нахождение критериев аппроксимации полугруппы комплексными характерами и критериев аппроксимации компактной топологической полугруппы непрерывными комплексными характерами относительно единично идеальных предикатов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе использованы методы аппроксимации полугрупп, метод разложения полугруппы в коммутативную связку неразложимых компонент (теорема Tamura-Petrich), метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты диссертации представляют интерес для исследований по теории аппроксимации полугрупп, они могут быть использованы при подготовке спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I международной конференции "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е. С. Ляпина (июнь 1995 года, Санкт-Петербург), на III международной конференции по теории чисел (сентябрь 1996 года, Тула), на международной алгебраической конференции памяти

Д. К.Фаддеева (июнь 1997 года, Санкт-Петербург), на Герценовских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена (апрель 1997 года, Санкт-Петербург), на городском алгебраическом семинаре по теории полугрупп (апрель, октябрь 1998 года, октябрь 1999 года, Санкт-Петербург), на II международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е. С. Ля-пина (июль 1999 года, Санкт-Петербург), на алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева в ПОМИ РАН (апрель 2008 года).

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 71 странице машинописного текста, состоит из введения и двух глав, содержащих шесть параграфов. Библиография включает 60 работ российских и зарубежных авторов.

1. Ароян Э. П. Об отделимости подполугрупп вещественными характерами // Математика: межвуз. сб. науч. трудов / Ереванский гос. ун-т, 1985, вып. 3. С. 157-162.

2. Бурмистрович И. Е. Коммутативные связки полугрупп // Сиб. мат. ж., т. 6, N£2, 1965. С. 284-299.

3. Голубов Э. А. Полугруппы с некоторыми финитно отделимыми подполугруппами // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 7, тетр.,1, 1969. С. 35-51.

4. Голубов Э. А. Финитная отделимость в полугруппах // Сиб. мат. ж., т. И, №6, 1970. С. 1247-1263.

5. Голубов Э. А. Свободное произведение и сплетение финитно аппроксимируемых полугрупп // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 8, тетр. 1, 1971. С.3-15.

6. Голубов Э.А. О прямом произведении финитно отделимых полугрупп // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 8, тетр. 3, 1972. С. 28-34.

7. Каргополов М. И., Мерзляков Ю. И. Бесконечные группы // Итоги науки. Алгебра. Топология. М., 1968. С. 57-90.

8. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: пер. с англ.: в 2-х т. Мин, 1972 - 712 с.

9. Кублановский С. И. О финитной аппроксимируемости предмногооб-разии полугрупп относительно предикатов // Современная алгебра. Группоиды и их гомоморфизмы. Л., 1980. С. 58-88.

10. Кублановский С. И. Финитная аппроксимируемость и алгоритмические вопросы // Алгебраические действия и упорядоченности. JL, 1983. С.59-78.

11. Лесохин М.М., Голубов Э.А. О финитной аппроксимируемости коммутативных полугрупп // Мат. зап. Уральского ун-та, т5, тетр. 3, Свердловск, 1966. С. 82-90.

12. Лесохин М. М. Об аппроксимиции полугрупп // Уч. зап. ЛГПИим. А. И. Герцена, т. 328, 1967. С. 147-171.

13. Лесохин М. М. Об отделимости подполугрупп комплексными характерами // Мат. сб., т. 74 (116), №2, 1967. С. 314-320.

14. Лесохин М. М. Об аппроксимации полугрупп относительно предикатов // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 464, 1971. С. 56-108. *

15. Лесохин М. М. О некоторых алгоритмических вопросах теории полугрупп // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 541, 1972. С. 118-128.

16. Лесохин М. М. Об аппроксимации полугрупп относительно предикатов // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 404, 1971. С. 191-219.

17. Ляпин Е. С. Полугруппы. Физматгиз. М., 1960.

18. Ляпин Е. С. Независимость подполугрупп полугруппы // ДАН СССР, т. 185, №6, 1969. С. 1229-1231.

19. Ляпин Е. С. Пересечение независимых подполугрупп полугруппы // Известия ВУЗов. Математика. N-4, 1970. С. 67-73.

20. Ляпин Е. С. Единично идеальные подполугруппы // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 7, тетр. 3, 1970. С. 119-128.

21. Ляпин Е. С. Единично идеальные элементы полугруппы // Теория полугрупп и ее приложения. Сб. статей, вып. 2, Саратов, 1971. С. 41-50.

22. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

23. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Уч. зап. Ивановского пед. ин-та, т. 18, 1958. С. 49-60.

24. Мамиконян С. Г. О гомоморфизмах полугрупп в абелевы группы с внешне присоединенным нулем // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 404, 1971. С. 233-239.

25. Мамиконян С. Г. Полугруппы с финитно отделимыми подполугруппами // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 404, 1971. С. 240-245.

26. Ольшанский А. Ю. Многообразия финитно аппроксимируемых групп // Изв. АН СССР. Математика, т. 33, №4, 1969. С. 915.

27. Платонов В, П. Подгруппа Франттини линейных групп и финитнаяаппроксимируемость // Докл. АН СССР, т. 171, NM, 1968. С. 798-801.

28. Поптрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973 520с.

29. Расулов Н. С. Об аппроксимации компактной топологической полугруппы непрерывными бихарактерами // Сб. статей. Полугруппы и частичные группоиды, 1987. С. 87-105.

30. Ремесленников В.Н. Финитная аппроксимируемость метабелевых групп // Алгебра и логика, т. 7, NM, 1968. С. 106-113.

31. Рябухин Ю. Н. Алгебры без нильпотентных элементов // Докл. АН СССР, т. 187, №1, 1969. С. 43-46.

32. Саиир М. В. Многообразие с конечным числом подквазимногооб-разий // Сиб. матем. ж., №6 (130), 1981. С. 168-187.

33. Смирнов Д. М. К теории финитно аппроксимируемых групп // Укр. матем. ж., т. 15, №4, 1963. С. 453-457.

34. Шварц Ст. Характеры коммутативных полугрупп как функции классов // Чехосл. матем. ж., т. 4 (79), 1954. С. 219-247.

35. Шеврин Jl. Н., Овсянников А. Я. Полугруппы и их подполугруппо-вые решетки. Изд-во Уральского ун-та, Сврдловск, 1991, часть 1 246 с.

36. Шнеперман Л. Б. К теории характеров локально бикомпактных полугрупп // Мат. сб., т. 77, №4, 1968. С. 508-532.

37. Baumslag G. Automorphism groups of residually finite groups. J. London. Math. Soc. 1963, 38, p. 117-118.

38. Blacburn N. Conjugacy in nilpotent groups Proc. Amer. Math. Soc., 1965, 16, p. 143-148.

39. Fuchs L. Abelian groups. Budapest, 198.

40. Gerhard J. A. Some subdirectly irreducible idempotent semigroups. -Pacific. J. Math., 1971, 39, p. 669-676.

41. Groves J. R. J. Om some finiteness conditions for varieties of metanilpotent groups. Arch. Math. 1973, 24, N^3, p. 252-268.

42. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble froups. Proc.1.ndon Math. Soc. 1957, 3 (7), №25, p. 29-62.

43. Holl Ph. On the finiteness of certain soluble groups. Pros. London Math. Soc. 9, 1959, p. 595-622.

44. Hewitt E., Zukerman H. The 1-algebra of commutative semigroups. Trans. Amer. Math. Soc., v. 83, N-l, p. 70-97.

45. Hirch K.F. On infinite soluble groups. J. London Math. Soc. 1952, 27, p. 81-85.

46. Lallement G. On nilpotency and residual finireness in semigroups. -Pacific J. Math., 1972. V.42, N^3.

47. Magnus W. Residually finite groups. bull. Amer. Math. Soc. 1969, 75, p.305-316.

48. McKenzie R., Freese R. Residually small varieties with modular congruence lattices. Trans. Amer. Math. Soc. 1981, 264, N^2, p. 419-430.

49. Paalman-de-Miranda A. B. Topological semigroups. Math! Centr. Amsterdam, 1964.

50. Petrich M. Introduction to semigroups. Columbus, Ohio, 1973.

51. Rankin S.A.,Reis С. M., Thierrin G. a-recognizable semigroups. -Proc. Amer. Math. Soc. 1978, 70, N£2, p. 93-99.

52. Tamura T. J. Binary systems all subsets of which are cognizable. J. Algebra, 1982, 76, №4, p. 42-83.

53. Снетков О. A. SHI-финитная аппроксимация полугрупп // Тезисы докл. Международная конференция по алгебре в честь Е. С. Ляпина- СПб., 1995.-С.67.

54. Лесохин М. М., Снетков О. А. Аппроксимация полугрупп вместе с их делителями // Тезисы докл. III Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула, 1996. - С. 93.

55. Лесохин М. М., Снетков О. А. SHI-финитная аппроксимация полугрупп // Современная алгебра. Межвузовский сборник научных трудов. -Ростов-на-Дону, 1996. С. 76-85.

56. Снетков О. А. SHI-анпроксимация полугрупп комплексными характерами // Тезисы докл. Международная алгебраическая конференция памяти Д. К. Фаддеева. СПб., 1997. - С. 283-284.

57. Снетков О. А. SHI-аппроксимация полугрупп вещественными характерами // Современная алгебра. Межвузовский сборник научных трудов. Ростов-на-Дону, 1997. С. 75-78.

58. Снетков О. А. SHI-аппроксимация полугрупп относительно предикатов Грина // РГПУ им. А.И.Герцена. СПб., 1998. 8с. - Деп. в ВИНИТИ. 06.03.98, N£632 - В 98.

59. Снетков О. А. Отделимость единично идеальных элементов в полугруппах // Объединенный научный журнал. Москва, октябрь 2007.-С.66.

60. Снетков О. А. Аппроксимация независимого произведения полугрупп // Вестник Ижевского государственного технического университета, №-1 (37), Ижевск, январь-март 2008. С. 95-96.