Проблема минимизации полугруппы аппроксимации и SH-аппроксимации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Проблема минимизации полугруппы аппроксимации относительно различных предикатов

§ 1. Минимальная полугруппа аппроксимации относительно равенства.

§ 2. Минимальная полугруппа аппроксимации относительно вхождения элемента в подгруппу.

§ 3. Минимальная полугруппа аппроксимации относительно вхождения элемента в моногенную подполугруппу и в подполугруппу.

§ 4. Минимальная полугруппа аппроксимации относительно отношения регулярной сопряженности.

§ 5. Минимальная полугруппа аппроксимации относительно отношения Грина.

§ 6. Минимальная полугруппа аппроксимации относительно делимости и вхождения элемента в двусторонний идеал

Глава 2. Проблема минимизации полугруппы БН-аппроксимации относительно различных предикатов.

§ 1. Минимальная полугруппа БН-аппроксимации относительно равенства, вхождения элемента в моногенную подполугруппу и вхождения элемента подполугруппу.

§ 2. Минимальная полугруппа БН-аппроксимации относительно вхождения элемента в подгруппу.

§ 3. Минимальная полугруппа БН-аппроксимации относительно отношения регулярной сопряженности.

§ 4. Минимальная полугруппа БН-аппроксимации относительно отношения Грина.

§ 5. Минимальная полугруппа БН-аппроксимации относительно делимости, вхождения элемента в идеал и вхождения элемента в максимальную подгруппу.

1. Общее понятие аппроксимации алгебраических систем дано в работе академика А. И. Мальцева [29] "О гомоморфизмах на конечные полугруппы там же показана связь финитной аппроксимируемости алгебраических систем относительно какого-либо предиката с алгоритмической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе.

С тех пор появилось много работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем, прежде всего групп, колец и алгебр. В частности, интерес к вопросам аппроксимации полугрупп относительно различных предикатов нашел отражение в исследованиях Шварца Ш. [38], Сапира М.В. [33], Лесохина М.М. [21]-[25], Куб-лановского С.И. [16], [17], Мамиконяна [30], Голубова Э.А. [2], и других авторов.

2. Актуальным направлением в современной алгебре является исследование не только самой алгебраической системы, но и производных от нее, в частности, особый интерес в последнее время вызывает класс делителей алгебраической системы. С этим классом связано понятие БН-аппроксимации алгебраических систем. БН-аппроксимация полугрупп активно исследовалась учениками профессора М. М. Лесохина, а именно, Ломадзе Д.Д. [26], [27], Игнатьевой И.В. [9], [10], Толстовой Г.С. [34], [35], и другими.

3. Интересна также и проблема аппроксимации, БН-аппроксимации полугрупп гомоморфизмами в полугруппы, обладающие определенными свойствами. Вопросами аппроксимации полугрупп гомоморфизмами на конечные полугруппы занимались Мальцев А.И. [29], Каргаполов М.И. [12],

Кублановский С.И. [16], [17], Ремесленников В.Н. [1], [32], и другие. Аппроксимация полугрупп гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу комплексных чисел с внешне присоединенным нулем исследовалась в работах М.М. Лесохина [19], [21], Н. Г. Каменковой Н.Г. [11], С. В. Лактионовой [20], и т.д. Аппроксимация полугрупп вещественными характерами рассматривалась Э. П. Арояном [1], инверсными вполне регулярными полугруппами — Е. Ю. Яшиной [39]. 8Н-аппроксимация полугрупп вещественными и комплексными характерами исследована в работах И. В. Игнатьевой [10], Ломадзе Д.Д. [26], [27] и т.д. .

4. Аппроксимация и БН-аппроксимация полугрупп относительно различных предикатов превратилась сейчас в обширную развивающуюся область теории полугрупп. Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определенных классов. В полугруппах исследуются предикаты равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, в подгруппу, в максимальную подгруппу, в идеал и т.д. Исследуются также и гри-новские отношения эквивалентности. Этим проблемам посвящены работы автора диссертации [6], [7]. В работе [4] решена проблема аппроксимации коммутативных полугрупп относительно вхождения элемента в подгруппу. Е. Ю. Яшиной [40] была решена проблема аппроксимации относительно вхождения элемента в максимальную подгруппу для полугрупп с коммутаторным условием, а позже в работе Тутыгина А.Г. и Яшиной Е.Ю [36] коммутаторное условие было снято. Но в общем случае проблема аппроксимации для произвольных полугрупп относительно предиката вхождения элемента в подгруппу оставалась открытой. Автору удалось решить эту проблему [5], а так же в гл.1, теор.2.2 .

5. В тех случаях, когда полугруппа аппроксимации содержит достаточно много элементов (особенно, если она бесконечна) возникает естественный вопрос о нахождении минимальной полугруппы аппроксимации, то есть такой, что никакая ее собственная (отличная от единичной) подполугруппа не может служить полутруппой аппроксимации для данного класса полугрупп.

Существуют примеры, дающие отрицательный ответ на поставленный вопрос. Так, пусть В=<а0> - бесконечная циклическая группа, порожденная элементом а0 (а0 - натуральное число), тогда любая собственная подгруппа В1 группы В изоморфна В. Следовательно, если класс полугрупп К аппроксимируем (БН-аппроксимируем) гомоморфизмами в В, то К аппроксимируем (8Н-аппроксимируем) гомоморфизмами в любую собственную (отличную от единичной) подгруппу В1. Так как множество всех подгрупп группы В является бесконечной убывающей цепью, то не существует собственной (отличной от единичной ) подгруппы В0 группы В с нашим условием. Интерес к этим вопросам нашел отражение в исследованиях Корабелыциковой С.Ю. [13], [14], автора [5], [6], [7].

Этой проблеме и посвящена настоящая работа. Задача о минимальной полугруппе аппроксимации была поставлена профессором М.М. Лесохиным в 90-е годы и исследуется в данной работе.

Следует также отметить, что до сих пор исследуется аппроксимация класса К полугрупп гомоморфизмами в некоторую полугруппу В с нулем и единицей, наличие которых является обязательным условием. Особенно относительно предиката вхождения элемента в подполугруппу для класса коммутативных регулярных периодических полугрупп наряду с внешним нулем требуется еще и наличие внешней единицы (Корабелыциковой С.Ю. [13], [14], Ло-мадзе Д.Д. [26], [27], и т.д.). В настоящей работе автором была построена полугруппа, являющаяся минимальной полугруппой аппроксимации для нескольких классов полугрупп относительно различных предикатов, причем построенная полугруппа не содержит нуля и единицы, имеет счетное число идемпотентов, наличие каждого из которых необходимо.

6. Приведем основные определения, используемые в работе и основные результаты.

Определение 1. Полугруппа А называется сепаративной, если для любой пары элементов а, Ь полугруппы А из равенства

9 л аЬ=а =Ь всегда следует а=Ь.

Пусть А- коммутативная полугруппа. Определим на А отношение 77 следующим образом, для любых элементов а, Ь е А аф тогда и только тогда, когда найдутся натуральные числа т, п и х, у е А такие, что а'=Ьх; Ьт =ау. Заданное отношение 77 называется архимедовым отношением на полугруппе А. Известно (см. [1], стр. 176), что отношение 77 является конгруенцией и А/г/ — полурешетка (или коммутативная связка).

Под полуструктурой будем понимать нижнюю полуструктк-ру, то есть частично упорядоченное множество, каждое двухэлементное подмножество которого имеет наибольшую нижнюю грань.

Таким образом, /7 разбивает полугруппу А на непересекающиеся подполугруппы, называющиеся архимедовыми компонентами Ап.

Каждая подполугруппа Ап может содержать не более одного идемпотента. Действительно, пусть е, / —два различных идемпо-тента полугруппы Ап. По определению отношения 77 существуют такие натуральные числа т, п и х, у £ Ал, что ет=/х и/" еу\ тогда е=ет=/х=//х=/е и .Н'"=еу=ееу=е/. Так как Ап — коммутативная полугруппа, то е=/е=е/=/.

Пусть А и В - полугруппы, Ф - множество всех гомоморфизмов полугруппы А в полугруппу В, Р- двухместный предикат, заданный на подмножествах полугруппы А и на их образах при любом гомоморфизме из Ф.

Определение 2. Полугруппа А называется аппроксимируемой гомоморфизмами из Ф относительно предиката Р, если для любых двух подмножеств А\, А2 полугруппы А таких, что Р(А], А2)- ложно, найдется гомоморфизм (р е Ф такой, что Р((р(А1), ср( А2)) также ложно.

Определение 3. Говорят, что полугруппа ЭН- аппроксимируема относительно предиката Р, если любой гомоморфный образ любой ее подполугруппы аппроксимируем гомоморфизмами относительно того же предиката Р.

Пусть В - некоторая полугруппа; К- некоторый класс полугрупп; Р- двухместный предикат, заданный на подмножествах полугруппы А из класса К и на их образах.

Определение 4. Полугруппа В называется минимальной полугруппой аппроксимации (БН- аппроксимации) для класса К относительно предиката Р, если выполняются следующие условия:

1. Любая полугруппа А из класса К аппроксимируема (БН-аппроксимируема) гомоморфизмами в полугруппу В относительно предиката Р;

2. Если полугруппа А аппроксимируема (8Н- аппроксимируема) гомоморфизмами в В относительно Р, то А принадлежит классу^;

3. Для всякой собственной подполугруппы полугруппы В существует полугруппа А] из К такая, что АI не аппроксимируема (не БН- аппроксимируема) гомоморфизмами в подполугруппу В\ относительно предиката Р.

Определение 5. Полугруппа В называется слабо минимальной полугруппой аппроксимации (8Н- аппроксимации) для класса К относительно предиката Р, если выполняются следующие условия:

1. Любая полугруппа А из класса К аппроксимируема (БН-аппроксимируема) гомоморфизмами в полугруппу В относительно предиката Р;

2. Если коммутативная полугруппа А аппроксимируема (8Н-аппроксимируема) гомоморфизмами в В относительно Р, то А принадлежит классу К;

3. Для всякой собственной подполугруппы В} полугруппы В существует полугруппа А} из К такая, что А / не аппроксимируема (не 8Н- аппроксимируема) в подполугруппу В1.

Определение 6. Идеал I полугруппы А называется изолированным, если для любых аеАппЕЯт того, что сГ е I следует, что а е I.

Определение 7. Идеал I полугруппы А называется вполне изолированным, если для любых а, Ь е А из того, что аЬ е I следует, что а е I или Ь е I.

Определение 8. Подполугруппа F полугруппы А называется фильтром, если для всяких х,уе А условие ху е Т7 влечет х е F и у е к

Определение 9. Пусть Стр — группа типа р° с единицей ер и действием *р. Пусть С = УСр, где () — множество всех простых чисел. Определим в С* действие * следующим образом,

7. Настоящая работа состоит из введения, заключения, списка литературы, двух глав, содержащих 11 параграфов.

7.1. Первая глава посвящена изучению проблемы минимизации полугруппы аппроксимации относительно различных предикатов: равенства, вхождения элемента в подгруппу, вхождения ap,aqeC : ар*а ар •р aq, если р = q amax(p,q)> есш РФС1 и rnax(p,q)>3 е5, если рФ q и тах(p,q) = 3

Несложная проверка показывает, что С является полурешеткой групп Ср, р е(2

Схематично полугруппу С можно изобразить следующим образом: элемента в моногенную подполугруппу и в подполугруппу, отношения регулярной сопряженности, отношения Грина, делимости и вхождения элемента в двусторонний идеал. Из теоремы 2.2 непосредственно следует ответ на вопрос об аппроксимации произвольной полугруппы относительно предиката вхождения элемента в подгруппу. Таким образом эта задача впервые была решена.

Обозначим Щх) — наименьший фильтр полугруппы А, содержащий элемент х и пусть АТх={у<аА /Ы(х) Ы(у)}.

Тогда Ых — в точности 77-класс, содержащий элемент х, и имеет место: ЫхЫу - А^, Их2 = Мх, ЫХЫУ = ЫуЫх (см.[42], И.2.9).

Теорема 2.2. Полугруппа С* является минимальной полугруппой аппроксимации относительно вхождения элемента в подгруппу для класса П4 всех полугрупп, удовлетворяющих следующему условию: если класс Ие полугруппы А содержит идемпотент е, то Ые является абелевой группой.

Во многих исследованиях, для аппроксимации коммутативной регулярной периодической полугруппы А относительно вхождения элемента в подполугруппу гомоморфизмами из А в В потребовалось, чтобы В содержала кроме своей единицы еще внешние нуль и единицу. Полугруппа С не содержит этих внешних элементов.

Теорема 3.4. Пусть П5 класс всех коммутативных регулярных периодических полугрупп. Тогда С является минимальной полугруппой аппроксимации для класса П5 относительно вхождения элемента в подполугруппу.

Определение 10. Отношение р определенное на полугруппе А следующим образом:

Уа,ЬеА) (apbo aba=a л bab=b), будем называть отношением регулярной сопряженности, а элементы а и b полугруппы А, такие что apb, будем называть регулярно сопряженными.

Теорема 4.2. Полугруппа С является слабо минимальной полугруппой аппроксимации относительно отношения регулярной сопряжённости для класса Пб всех коммутативных полугрупп, удовлетворяющих следующему условию: если архимедова компонента полугруппы АеП6 содержит идемпотент е, то для всяких элементов таких что а и b не являются регулярно сопряженными, выполняется a2bz ^ az или л ab z^bz для любого zeAg.

Дан полный ответ на поставленный вопрос относительно всех отношений Грина, § 5, стр.42. Введем некоторые из них.

Пусть А- полугруппа. Определим отношения 1, г, h, d на полугруппе А по (см. [15], стр. 72-73), полагая: aXbоa^jAa~b\jАЪ (то есть а\Ь тогда и только тогда, когда а и b порождают один и тот же главный левый идеал в А); arb <s>a\jaA = b\jbA\ h=ln г (то есть ahb <=> а\Ь и arb); d=l0r=rol (где о-это композиция) ( то есть aúbo а\с и erb для некоторого се А).

Полугруппа А называется проста слева (проста справа), если А является ее единственным левым (правым) идеалом (см. [15], стр. 21).

Теорема 5.1.1. Для того, чтобы полугруппа А была аппроксимируема относительно гриновской ¿-эквивалентности гомомор физмами из А в С необходимо и достаточно, чтобы А раскладывалась в полуструктуру простых слева подполугрупп.

Теорема 5.3.1. Для того, чтобы полугруппа А была аппроксимируема гомоморфизмами из А в С относительно гриновской В-эквивалентности, необходимо и достаточно, чтобы А раскладывалась в полуструктуру своих 1)-классов.

7.2. Вторая глава посвящена изучению проблемы минимизации полугруппы 8Н-аппроксимации относительно всех рассматриваемых во главе 1 предикатов. Основными результатами этой главы являются следующие теоремы:

Теорема 1.1 . Пусть П5 класс коммутативных регулярных периодических полугрупп. Тогда справедливые следующие утверждения:

1. С является минимальной полугруппой 8Н-аппроксимации для класса П5 относительно равенства.

2. С является минимальной полугруппой БН-аппроксимации для класса П5 относительно вхождения элемента в моногенную подполугруппу.

3. С* является минимальной полугруппой 8Н-аппроксимации для класса П5 относительно вхождения элемента в подполугруппу.

Теорема 4.1.1, Для того, чтобы полугруппа А была 8Н-аппроксимируема гомоморфизмами из А в С* относительно гриновской ¿-эквивалентности, необходимо и достаточно, чтобы А была периодической вполне регулярной полугруппой.

Теорема 5.1. Следующие утверждения эквивалентные:

1. Полугруппа А инверсная вполне регулярная периодическая;

2. А БН-аппроксимируема гомоморфизмами из А в С относительно вхождения элемента в идеал;

3. А 8Н-аппроксимируема гомоморфизмами из А в С* относительно делимости элементов;

4. А БН-аппроксимируема гомоморфизмами из А в С относительно вхождения элемента в максимальную подгруппу

Пользуясь случаем, я хотел бы поблагодарить своего учителя, профессора Лесохина М.М. за интересную тему и прекрасные идеи; своего научного руководителя профессора Ляпина Е.С. за заботу и постоянное внимание; профессора Понизовского И.С. за ценные советы и обучение; доцента Михайлова А.Б. за мои первые шаги в современной алгебре; а также хотелось поблагодарить всех членов петербурских алгебраических семинаров за теплое и дружеское отношение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Легко видеть, что полугруппа С построена из квазициклических полугрупп Ср°°, где р пробегает множество всех простых чисел, при помощи конструкций последовательно аннулирующей связки и 0-прямой суммы. Понятно, что используя их можно получить континуум полугрупп, являющихся минимальными полугруппами аппроксимации для различных заданных классов полугрупп относительно разных предикатов. Интересно заметить, что не всякая полугруппа, полученная таким способом является минимальной полугруппой аппроксимации для данного класса полугрупп относительно заданного предиката. Для иллюстрации, возьмем Я; — класс всех коммутативных сепаративных полугрупп и предикат "равенство двух элементов". Выше доказано, что С является минимальной полугруппой аппроксимации для класса П1 относительно равенства. Минимальными полугруппами аппроксимации для Я; относительного равенства являются ряд других полугрупп, полученных с помощью вышесказанной конструкции.

Рассмотрим два следующих полуструктуры:

1.

Легко видеть, что эта полуструктура является минимальной полугруппой аппроксимации ( и БН- аппроксимации) для всех рассматриваемых в данной работе классов полугрупп относительно выше изучаемых предикатов. где е=е2=ез=е5=е7=еи=.

А эта полуструктура не является минимальной полугруппой аппроксимации для класса Я; относительно равенства. Действительно, пусть А2 — группа типа 2°° с единицей е2 и внешним присоединенным нулем 0. Тогда А2 не аппроксимируема в нашу полуструктуру, так как при любом гомоморфизме (р из А2 в заданную полуструктуру имеем <р(0)= (р(е2) - идемпотент полуструктуры, то есть найдутся два различных элемента е2 и 0 полугруппы А2, которые не можем различать никаким гомоморфизмом.

2.

1. Ароян Э.П. Об отделимости подполугрупп топологических полугрупп непрерывными вещественными бихарактерами // матем.: Межвуз. сборник научных трудов. Ереванский гос. ун-т, 1985., вып. 3, с. 149-156.

2. Голубов Э.А., Сапир М.В. Многообразия финтно- аппроксимируемых полугрупп // докл. АН СССР., 1979., т.247, № 5, с.1037-1041.

3. Данг Ван Винь. On approximation of semigroups by homoсоmorphisms to .~]C% . Международная конференция "Полугруппы и1. Р=оих полугрупповые кольца" в честь Е.С.Ляпина, тезисы доклада, С.Петербург, 1995, с. 79.

4. Данг Ван Винь. Аппроксимируемость полугрупп гомоооморфизмами в полугруппу "[С0/* • Современная алгебра, вып.1,р=о

5. Ростов-на-Дону, 1996 г, с. 16-20.

6. Данг Ван Винь. Minimal approximation and SH-approximation semigroup problem. Полугруппы и их полугрупповые кольца" в честь Е.С.Ляпина, тезисы докладов, С.Петербург, 1999, с.60-61.

7. Данг Ван Винь. Проблема минимизации полугруппы аппроксимации и SH-аппроксимации. Современная алгебра, вып.З (23), Ростов-на-Дону, 1999 г., с. 43-48.

8. Данг Ван Винь. О минимальных полугруппах аппроксимации. Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева, С.Петербург, 1997 г., с. 197.

9. Игнатьева И.В., Лесохин М.М., Могилянская Е.М. БН-аппроксимация полугрупп характерами. Международная конференция " Полугруппы и их полугрупповые кольца" в честь Е.С.Ляпина, тезисы доклада, С.Петербург, 1995, с. 22-23.

10. Игнатьева И.В. БН-аппроксимация полугрупп конечными характерами. Современная алгебра, вып.1, Ростов-на-Дону, 1996 г, с.25-30.

11. Игнатьева И.В. БН-аппроксимация полугрупп характерами. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук., Спб., 1998.

12. Каменкова Н.Г. Об аппроксимации многообразий коммутативных полугрупп бихарактерами // Полугрупповые исследования отображений. Межвуз. сб. научн. трудов ЛГПИ им. А.И.Герцена, Л., 1989., с. 19-29

13. Каргаполов М.И. Финитная аппроксимируемость сверхразрешимых групп относительно сопряженности // Алгебра и логика. 1967., т.6, № 1, с. 63-68.

14. Корабелыцикова С.Ю. Аппроксимация и абстракная характеритика полугрупп характеров. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук., Спб., 1998.

15. Корабелыцикова С.Ю. О минимальной полугруппе аппроксимации относительно вхождения элемента в подполугруппу. Современная алгебра, вып.2, Ростов-на-Дону, 1997, с. 46-48.

16. А. Клиффорд и Г. Престон Алгебраическая теория полугрупп. Том 1,- М.,"Мир", 1972.

17. Кублановский С.И. Аппроксимация алгебр, систем относительно предикатов. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук., Кишинев, 1983., 16 с.

18. Кубланавский С.И. О финитной аппроксимируемости предмногообразий полугрупп относительно предикатов // Совр. алгебра, группоиды и их гомоморфизмы, JL, 1980., с. 58-88.

19. А.Г.Курош. Теория групп,- М., "Наука" , 1967.

20. Лесохин М.М. Об отделимости подполугрупп комплексными характерами // Матем. сб. 1967.-Т. 74 (116).-№ 2.-С.314-320.

21. Лактионова С. В. Аппроксимация полугрупп относительно единично идеальных предикатов // РГПУ им. А.И. Герцена, Спб., 1995., 10 е., Деп. в ВИНИТИ.,14.12.95, № 3320-В 95.

22. Лесохин М.М., Тутыгин А.Г., Яшина Е.Ю. Аппроксимация полугрупп // Разбиения и гомоморфные отображения полугрупп: Межвуз. сб. научн. тр. СПб., 1992. - С. 16- 87.

23. Лесохин М.М. Некоторые свойства обощенных характеров полугрупп // Учен. зап. ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1958., т. 183, с.277-286.

24. Лесохин М.М. Характеры коммутативных полугрупп, I // Изв. ВУЗов: Математика., 1970., № 8, с. 67-74.

25. Лесохин М.М. Характеры коммутативных полугрупп, II // Изв. ВУЗов: Математика., 1971., № 2, с. 71-77.

26. Лесохин М.М. Отделимость подполугрупп комплексными характерами // Алгебр, действия и упорядоченности. Матем. сб. науч. трудов., Л., 1983., с. 79-81.

27. Ломадзе Д.Д. SH-аппроксимация полугрупп. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук., Спб., 1993., 11 с.

28. Ломадзе Д.Д. SH-аппроксимация полугрупп.

29. Ляпин Е.С. Полугруппы. Москва, 1960г.

30. Мальцев А.И. классическая алгебра, о гомоморфизмах на конечные группы//избранные труды.М.,1976.т.1.

31. Мамиконян С. Г. многообразия финитно-аппроксимируемых полугрупп // Мат. сб., 1972., т.88(130): № 3(7), с. 353-359.

32. Ремесленников В.Н. Финитная аппроксимируемость мета-белевых групп // Алгебра и логика, 1968., т.7, № 4, с. 106-113.

33. Ремесленников В.Н. Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности // Сиб. мат. ж., 1971., т. 12, № 5, с.1085-1099.

34. Сапир М.В. Многообразия с конечным числом подквазим-ногообразий// Сиб.матем. ж., 1981., т.22, № 6,(130), с.168-187.

35. Толстова Г.С. Н- и М-аппроксимируемость полугрупп характерами // Полугрупповые исслед. отображений. Межвуз. сб. на-учн. трудов, ЛГПИ им. А.И.Герцена, Л., 1989., с. 92-101.

36. Толстова Г.С. Аппроксимация полугрупп относительно предикатов специальными гомоморфизмами // Полугруппы и частичные группоиды. Межвуз. сб. научн. трудов, ЛГПИ им. А.И.Герцена, Л., 1987., с. 106-117.

37. Тутыгин А.Г. и Яшина Е. Ю. Зависимость условий аппроксимации полугрупп по некоторым предикатам. Современная алгебра. Ростов-на-Дону, 1996г., с.136-141.

38. М. Холл. Теория групп. Москва, 1962г.

39. Шварц Ш. Теория характеров коммутативных полугрупп // Чехосл. мат. ж., 1954., т.4(79), с. 219-247.

40. Яшина Е.Ю. Аппроксимация полугрупп инверсными вполне регулярными полугруппами относительно равенства и вхождения в подполугруппу // Исследования полугрупп. Межвуз. сб. научн. трудов, ЛГПИ им. А.И.Герцена, Л., 1990., с.153-157.

41. Яшина Е.Ю. Аппроксимация полугрупп инверсными вполне регулярными полугруппами. Автореф. дис. . канд. физ.-мат наук., Л., 1991.

42. L. Fuchs. Abelian groups. Budapest, 1958.

43. Mario Petrich. Introduction to semigroups. Columbus, Ohio. 1976.