Аппроксимация и абстрактная характеристика полугрупп характеров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

со СП СГ)

со

ОАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

КОРАБЕЛЫЦИКОВА Светлана Юрьевна

АППРОКСИМАЦИЯ И АБСТРАКТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛУГРУПП ХАРАКТЕРОВ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

1998

Диссертация выполнена на кафедре алгебры Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук,

профессор М.М. Лесохин

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, про-

фессор И.С. Понизовский

кандидат физико-математических наук С.И. Кублановский

Ведущая организация — Ростовский-на-Дону государственный пе-

дагогический университет

Защита состоится " / " ¿Ь £<ЛЛ 1998 г. в 16

и

часов на заседа-

нии диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проводиться по адресу: 191011 Санкт-Петербург, наб. р.Фонтанки, 27, ауд.311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан f-t b h-Cu и П 998 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета К 063.57.45 Р.А. Шмидт

Общая характеристика работы

Актуальность исследования.

Настоящая работа посвящена аппроксимации и абстрактной характеристике полугрупп характеров, т.е. полугрупп гомоморфизмов исходной полугруппы в мультипликативную полугруппу некоторого поля Р.

Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А.И.Мальцева, который в работе "О гомоморфизмах на конечные группы" дал общее понятие аппроксимации алгебраических систем и показал связь финитной аппроксимируемости алгебраической системы относительно какого-либо предиката с алгоритмической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе.

С начала 60-х годов и по настоящее время появилось много работ, посвященных аппроксимации полугрупп относительно различных предикатов. Они касались как финитной аппроксимации полугрупп, т.е. аппроксимации гомоморфизмами в конечные полугруппы — работы М.М. Лесохина, С.И. Кублановского, С.Г. Мамиконяна, Э.А. Голубова, М.В. Сапира и других, так и аппроксимации полугрупп комплексными характерами — работы Ст. Шварца, Е. Хькжтта и X. Цукермана, М.М. Лесохина, Э.П. Арояна и других.

Как следует из работ М.М. Лесохина, достаточно большой класс полугрупп не аппроксимируется характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу. Это обусловлено, в частности, наличием в мультипликативной полугруппе поля только двух идемпотентов. Естественно возникает вопрос, нельзя ли расширить полугруппу Р* так, чтобы более широкий класс полугрупп был аппроксимирован, но расширение было минимальным. Решению этого вопроса посвящен § 4 гл. 1.

Задача абстрактной характеристики полугрупп характеров предполагает нахождение области значений функтора Нош( - , Р * ). На важность решения этой задачи для любого функтора указывал Л.Я.Куликов в выступлении на IV Всесоюзном математическом съезде в 1961 году. Для полугрупп идем-потентно-модулярных характеров, т.е. полугрупп гомоморфизмов в периодическую часть поля комплексных чисел, эта задача была решена М.М.Лесохиным. Полугруппы характеров конечного и алгебраически замкнутого поля являются пограничными случаями и поэтому вполне обоснованно вызывают повышенный интерес.

Цель работы.

Найти критерии аппроксимации полугруппы характеров относительно предикатов делимости, равенства, вхождения элемента в идеал, в подгруппу, в подполугруппу с помощью гомоморфизмов в мультипликативные полугруппы конечных полей (конечными характерами) и в периодическую часть мультипликативной полугруппы комплексных чисел (периодическими характерами). Решить вопрос о минимальной полугруппе аппроксимации относительно вхождения элемента в подполугруппу для класса периодических коммутативных регулярных полугрупп. Дать абстрактную характеристику полугрупп характеров конечного и алгебраически замкнутого полей.

Методы исследования.

В работе использованы методы аппроксимации полугрупп; метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем; метод разложения коммутативной регулярной полугруппы в связку своих максимальных подгрупп.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

"Практическая и теоретическая ценность.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований по теории характеров полугрупп, в частности для нахождения условий изоморфизма полугрупп характеров, и могут быть использованы для подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на международной конференции по полугруппам, посвященной Е.С.Ляпину (июнь 1995 года, Санкт-Петербург), на Герценовских чтениях (1996-1997 гг.), на III международной конференции по теории чисел (сентябрь 1996 года, Тула), на городском алгебраическом семинаре по теории полугрупп (ноябрь 1996 года, Санкт-Петербург), на алгебраических семинарах Поморского государственного университета (1996-1997 гг.), на международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фаддеева (июнь 1997 года, Санкт-Петербург).

Объем и структура работы.

Диссертация изложена на 68 страницах машинописного текста. Состоит из введения и двух глав, содержащих 7 параграфов. Библиография включает 25 работ российских и зарубежных авторов.

Краткое содержание работы. •

Приведем основные определения и известные сведения, используемые в диссертации.

Пусть Р — некоторое поле. На протяжении всей работы через Рх будем обозначать мультипликативную полугруппу поля Р. Гомоморфизм % полугруппы А в Рх будем называть характером полугруппы А в поле Р. Пусть Р — поле комплексных чисел, тогда % называют комплексным характером полугруппы А. Характер х полугруппы А в поле Р называют периодическим, если у_(А) — периодическая полугруппа; конечным, если "/(А) — конечная полугруппа. Совокупность всех характеров полугруппы А в поле Р относительно операции поточечного умножения: хх'(а) = %(а)х'(а)> — образует полугруппу Нот(А,Р*), называемую полугруппой характеров.

Пусть А — произвольная полугруппа, <3 — некоторый предикат, заданный на элементах и подмножествах полугруппы А и всех ее гомоморфных образов, Ф — множество некоторых гомоморфизмов А. Будем говорить, что полугруппа А аппроксимируема с помощью гомоморфизмов из Ф относительно предиката О, если для любых подмножеств А1, А2 полугруппы А таких, что СКА1,А2) ложно, существует гомоморфизм феФ, для которого СКф(А1),ср(А2)) ложно.

Если при этом Ф — множество всех гомоморфизмов А на конечные полугруппы, то говорят, что А финитно аппроксимируема относительно если же Ф — множество всех характеров А во все поля, то говорят, что А аппроксимируема характерами относительно предиката р.

Пусть П — некоторый класс полугрупп. Полугруппа В называется минимальной полугруппой аппроксимации для класса П относительно предиката <3, если выполняются следующие условия:

1. любая полугруппа А П аппроксимируема гомоморфизмами в В относительно предиката <3;

2. если полугруппа А аппроксимируема гомоморфизмами в В относительно предиката <3, то А П;

3.для любой собственной подполугруппы В] с: В существует полугруппа А П, которая не аппроксимируется гомоморфизмами в подполугруппу В) относительно предиката <3.

Элемент а полугруппы А называется регулярным, если существует элемент ЬеА такой, что а = аЬа. Полугруппа называется регулярной, если каждый ее элемент регулярен.

Произвольная коммутативная полугруппа А раскладывается в связку архимедовых подполугрупп. Если А — коммутативная регулярная полугруппа, то А является коммутативной связкой своих максимальных подгрупп Ае(е — единица группы Ае). Для элементов коммутативной регулярной полугруппы говоря об их порядке и высоте будем иметь в виду их порядок и высоту в максимальной подгруппе, содержащей эти элементы. Символом Ед будем обозначать множество идемпотентов полугруппы А.

Регулярная единица элемента а обозначается через еа, а структурные гомоморфизмы ф группы А£2в АС[ (е ¡С2 = С]), такие что

ф(а) = ае! (а е А^), будем обозначать через ф Композицию гомоморфизмов будем обозначать с помощью знака о. Гомоморфизм

фе1.е2:Н°ш(-АеГрХ) Нот(Ае2,рХ)' такой что фе,,е2^ =5С° фе1,е2 наЗЫ" вается сопряженным к гомоморфизму ф ^.

Говоря о частичной упорядоченности в регулярной коммутативной полугруппе, будем иметь в виду частичную упорядоченность а: < а.2 (а) тогда и только тогда, когда а2еа) = а^.

Под полугруппой К будем понимать мультипликативную полугруппу, состоящую из всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и нуля.

Приведем краткое изложение каждой главы.

Глава 1.

Аппроксимация полугрупп характеров.

Первая глава диссертации посвящена аппроксимации полугрупп характеров. Основные результаты этой главы — теоремы 4.1 и 5.1: В первой теореме решена задача о минимальной полугруппе аппроксимации относительно предиката вхождения элемента в подполугруппу для класса периодических коммутативных регулярных полугрупп, причем оказалось, что к по-

лугруппе К достаточно присоединить внешнюю единицу, чтобы весь этот класс аппроксимировался относительно вышеназванного предиката.

Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем дается ха-рактеризация идемпотентов и максимальных подгрупп полугруппы характеров, а также доказывается ряд свойств полугруппы Нот(А,Рх), используемых в дальнейшем.

Во втором и третьем параграфах рассматриваются вопросы аппроксимируемости полугруппы Нот(А, Рх) относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в идеал, в подгруппу и в подполугруппу конечными и периодическими характерами. Результаты этих параграфов используются в §5 для изучения условий аппроксимации полугруппы вещественных характеров.

В четвертом параграфе доказывается один из основных результатов главы 1.

Пусть А- некоторая полугруппа, К' - полугруппа, полученная из мультипликативной группы всех корней любой степени из 1 внешним присоединением нуля ъ и единицы е, Ф- множество гомоморфизмов полугруппы А в полугруппу К'.

Теорема!.4.1. Полугруппа К' является минимальной полугруппой аппроксимации для класса коммутативных периодических регулярных полугрупп относительно вхождения элемента в подполугруппу.

Пятый параграф посвящен изучению условий аппроксимации полугруппы вещественных характеров. В частности доказана следующая теорема:

Теорема 1.5.1. Пусть А — коммутативная регулярная полугруппа. Полугруппа Нот(А,9?+) аппроксимируема относительно вхождения элемента в подполугруппу гомоморфизмами в К' тогда и только тогда, когда А является периодической полугруппой.

Глава 2.

Абстрактная характеристика полугрупп характеров.

Во второй главе диссертации для класса нетеровых полугрупп решена задача абстрактной характеристики полугрупп характеров конечного и алгебраически замкнутого полей. Основными результатами этой главы являются теоремы 1.1. и 2.1.

Теорема 2.1.1. Пусть А — нетерова полугруппа. Для того, чтобы полугруппа А была изоморфна полугруппе характеров Нош(В,Рх) некоторой

полугруппы В в некоторое конечное поле Р, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия :

1. А — коммутативная регулярная полугруппа с нулем и единицей,;

2. порядки элементов из А ограничены в совокупности.

Во втором параграфе аналогичная задача решена для полугруппы характеров алгебраически замкнутого поля.

Теорема 2.2.1. Пусть А — нетерова полугруппа. Для того, чтобы полугруппа А была изоморфна полугруппе характеров Нош( В, Рх) некоторой полугруппы В в некоторое алгебраически замкнутое поле Р, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1. А — коммутативная регулярная полугруппа с нулем и единицей;

2. Каждая максимальная подгруппа Аес А допускает компактную топологию Бе такую, что для всех е1,е2 е£д таких, что е! < ез, гомоморфизмы фе1>е2 непрерывны в 8е2 и Б .

Работы автора по теме диссертации,

1. S.Y.Korabelshikova. Finite approximability of the semigroup Hom(A,9?+) // Международная конференция "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е.С.Ляпина: тез.докл.-Санкт-Петербург, 1995.-c.30.

2. Корабглыцикова С.Ю. Аппроксимация полугруппы Нот(А, Рх) характерами // Современная алгебра (Межвузовский сборник научных трудов): изд. РГПУ (Ростов-на Дону), 1996. - с.31-35.

3. Корабглыцикова С.Ю. Абстрактная характеристика полугруппы конечных характеров // III международная конференция по теории чисел: тез. докл. -Тула,1996. -с.81.

4. Корабелыцикова С.Ю. Абстрактная характеристика полугруппы характеров алгебраически замкнутого поля // РГПУ им. А.И.Герцена. - Санкт-Петербург, 1997. 8 с. Деп. в ВИНИТИ. 14.05.97. №1608-В97.

5. Корабелыцикова С.Ю. Аппроксимация полугруппы Hom(A, Р*) конечными характерами // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева: тез. докл. - Санкт-Петербург, 1997.-с.219.