Точные представления полугрупп идемпотентов матрицами над полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСТОВСКИЙ-НА-ДОНУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи ЗЯБЛИЦЕВА ЛАРИСА ВЛАДИМИРОВНА

ТОЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛУГРУПП ИДЕМПОТЕНТОВ

МАТРИЦАМИ НАД ПОЛЕМ .

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических

наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор И.С. ПОНИЗОВСКИЙ

Архангельск — 1999

Оглавление

Введение 4

1. Точные матричные представления полугрупп преобразований конечного ранга, являющихся полурешеткой

полугрупп правых нулей. 16

1.1. Представление полугруппы Б полугруппой-преобразова-

ний................................. 17

1.2. Построение представления для полугруппы Б, являющейся полурешеткой двух полугрупп правых нулей. . . 18

1.3. Построение представления полугруппы, являющейся полурешеткой трех полугрупп правых нулей, с тремя собственными идеалами...................... 25

1.4. Построение представления полугруппы, являющейся полурешеткой трех полугрупп правых нулей, с двумя собственными идеалами. . .................... 30

1.5. Построение представления полугруппы, являющейся полурешеткой конечного числа полугрупп правых нулей. . 36

1.6. Проверка гипотезы о том, что конечность ранга преобразований полугруппы преобразований является достаточным условием того, чтобы полугруппа имела точное матричное представление над некоторым полем. . . 64

2. Представления полугрупп преобразований бесконечного ранга, являющихся полурешетками полугрупп пра-

вых нулей. 67

2.1. Достаточное условие, при котором некоторая полугруппа Э не имеет точного представления матрицами над полем................................ 68

2.2. Построение представления для полугруппы Я, являющейся полурешеткой двух полугрупп преобразований, являющихся полугруппами правых нулей, причем ранг преобразований одной полугруппы бесконечен....... 70

3. Достаточные условия наличия точного матричного представления у связки. 78

3.1. Точные матричные представления полугрупп, являющихся полу решеткой полугрупп правых нулей......79

3.2. Достаточное условие наличия точного матричного представления связки, являющейся полурешеткой конечного числа прямоугольных полугрупп............. 85

3.3. Точные матричные представления полугруппы, являющейся полурешеткой правых связок изоморфных групп. 90

Библиография 94

Введение

Теория представлений полугрупп имеет уже долгую историю и богата содержательными результатами. Мы даем краткий обзор основных направлений и достижений этой теории, связанных прежде всего с именами Клиффорда, Манна, Понизовского, Окниньского, Путчи.

Началом теории представлений полугрупп следует считать теорию Клиффорда представлений вполне 0-простых полугрупп([18], также гл.5 т.1. монографии Клиффорда и Престона). Именно, Клиффорд показал, как, зная все представления структурной группы вполне 0~ простой полугруппы Б, можно построить (с точностью до эквивалентности) все представления Э.

Следующий важный шаг - теорема Манна - Понизовского [23;4,5], дающая критерий полной приводимости всех представлений конечной полугруппы - обобщение известной теоремы Машке. Здесь впервые появился в литературе таинственный класс конечных регулярных полугрупп с квадратными обратимыми структурными матрицами главных факторов(абстрактная характеристика полугрупп этого класса неизвестна до сих пор). Еще в своей кандидатской диссертации Понизовский показал, что к этому классу относятся все конечные инверсные полугруппы(этот факт сейчас выглядит тривиальностью). И лишь сравнительно недавно соединенными усилиями ряда математиков (Фадцеев[15], Манн - устное сообщение, Окниньский и Путча[27], Салва[30], Ковач[22]) были найдены совершенно нетривиальные примеры полугрупп упомянутого класса. Самый интересный из них -полная полугруппа матриц над конечным полем характеристики, от-

личной от характеристики поля представления. Значительные успехи имеет теория неприводимых представлений полугрупп. Конструкция таких представлений предложена в работах Понизовского[6,8] для конечных полугрупп, и несколько позже независимо Манном[24] для полугрупп с условием минимальности на идеалы. Чуть позже работ Понизовского, но раньше работы Манна появилась статья Хьюета и Зукермана[19], в которой изучаются неприводимые представления полугруппы Тп всех преобразований множества из п элементов: конструкция таких представлений, степени некоторых из них. Понизов-ским[10] исследован вопрос о том, когда неприводимые представления конечной регулярной полугруппы определяются (как модулями) односторонними идеалами соответствующей полу групповой алгебры: условием оказалась упомянутая выше обратимость структурных матриц главных факторов полугруппы. В очень интересной работе Путчи [28] вычислены степени неприводимых представлений полугруппы Тп - завершение аналогичных исследований Хьюета и Зукермана[19].

Изучение неразложимых представлений - основное содержание современной теории представлений конечномерных алгебр над полями. Говорят, что конечномерная алгебра А над полем К (конечная группа С, конечная полугруппа Э) имеет конечный тип представлений, если существует лишь конечное число попарно неэквивалентных неразложимых представлений А(группы в, полугруппы Б) над К. Критерий конечности типа алгебры указан в работе Бонгартца[17], однако его практически невозможно применить при изучении представлений конкретной алгебры (группы, полугруппы). Это заставляет авторов применять специальные методы в каждом конкретном случае. Классическая теорема Хигмана[20] дает критерий конечности типа представлений конечной группы. Понизовским[8] указан критерий конечности типа представлений конечной коммутативной полугруппы, [9] конечной вполне 0-простой полугруппы в немодулярном случае (последнее означает, что порядки подгрупп рассматриваемой полугруппы не де-

лятся на характеристику поля представления). В работе [12] Пони-зовским показано, что полугруппа Тп в немодулярном случае имеет конечный тип представлений при п < 3. С другой стороны, Путча[28] показал, что (опять-таки в немодулярном случае) полугруппа Тп имеет бесконечный тип представлений при п > 5. Случай полугруппы Т4 остается неразобранным.

Общеизвестна роль характеров в теории представлений конечных групп. Рассматривались и характеры представлений полугрупп. Упомянем две работы. Манн[24] изучает характеры конечной симметрической инверсной полугруппы. Макалистер[29] вводит понятие сопряженности элементов конечной полугруппы (превращающееся в обычную сопряженность элементов в случае, когда полугруппа есть группа). Это отношение оказывается эквивалентностью. Автор доказывает, что число неприводимых комплексных характеров конечной полугруппы равно числу классов отношения сопряженности - обобщение известного факта из теории характеров групп. Отметим, что существует глубокая теория характеров коммутативных полугрупп, построенная Шварцем, Лесохиным и рядом других математиков. Эта теория очень специфична, и ее изложение лежит за пределами нашего обзора.

Рядом авторов изучались представления топологических полугрупп (например [16,21]).

Условия существования точного представления у бесконечной полугруппы почти не рассматривались. Не очень много известно по этому поводу и для групп. Упомянем следующие результаты. Мальцев[3] нашел критерий существования точного представления коммутативной группы. Классическая Вторая Теорема Шура позволяет сформулировать критерий существования точного представления у периодической группы: она должна иметь абелев нормальный делитель Н конечного индекса, а Н должно удовлетворять критерию Мальцева. Другие примеры можно найти в статье Залесского и Михале-

ва[1,стр.38]. Условиям существования точных представлений полугрупп посвящены, по имеющимся у нас сведениям, всего три работы. Все три изучают представления связок. В статьях Сизера[31,32] нет сколько-нибудь общих результатов, а статья Понизовского[11], анноп-сировавшая критерий существования точного представления связки, оказалась дефектной. Перечислим известные позитивные факты. Два из них носят «фольклорный» характер. Просто формулируется критерий существования точного представления у инверсной полугруппы: она должна иметь лишь конечное число идемпотентов, и все ее максимальные подгруппы сами должны иметь точные представления над рассматриваемым полем. Теория Клиффорда[18] позволяет доказать следующее: вполне 0-простая полугруппа Б имеет точное представление над полем К тогда и только тогда, когда ее структурная группа имеет точное представление ] над К, и ] имеет базисное продолжение Г полугруппы в (неважно, будет ли Г точным, нужно лишь, чтобы К было достаточно большим). Отсюда легко следует, что точным представлением над достаточно большим полем обладает, например, вполне простая полугруппа с конечной структурной группой и со структурной матрицей, имеющей лишь конечное число различных строк(столбцов). В частности, имеет точное представление над достаточно большим полем любая прямоугольная полугруппа. Наш пример показывает, что связка из двух прямоугольных полугрупп уже может не иметь точного представления ни над каким полем. Важным для нашей работы является необходимое условие существования точного представления у связки. Именно, из известной теоремы Клиффорда о связках и из того, что полугруппа матриц над полем имеет лишь конечное число регулярных Б-классов(теорема Окниньского[26], для регулярной полугруппы матриц ее ранее доказал Скряго[13]) следует: если связка имеет точное представление, то она есть полурешетка конечного числа прямоугольных полугрупп.

Приведем основные определения, используемые в данной работе.

Пусть 8 - некоторая полугруппа, Мп(К) - полугруппа матриц степени п над полем К.

Определение. Всякий гомоморфизм ■0:5—» Мп(К) называется матричным представлением полугруппы Б над полем К. Число п называется степенью представления Б.

Определение. Матричное представление полугруппы 8 называется точным, если гомоморфизм ф : 5 —> Мп(К) является инъективным.

Слово «представление» должно наводить на мысль о том, что, когда задано матричное представление, элементы полугруппы можно представить в виде матриц или, говоря иначе, имеет место изоморфизм данной полугруппы с некоторой полугруппой матриц. В тех случаях, когда группа устроена достаточно сложно, такое представление может быть единственным простым способом ее описания.

Это одна из причин, почему вопрос о представлении полугруппы матрицами вызывает интерес.

Определение. Полугруппу, каждый элемент которой является идем-потентом, называют полугруппой идемпотентов, а также связкой.

Определение. Коммутативная связка называется полурешеткой.

Последний термин оправдан тем, что если рассмотреть на полу решетке Б отношение естественного частичного порядка(заданного формулой: е</-ФФ-е-/ = /- е = е), то для любых е, / Е 5 произведение е • / будет равно т/(е, /); и обратно, если Р - частично упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную нижнюю грань, то операция, заданная условием а • Ъ = т/(а, Ь), превращает Р в коммутативную связку.

Простейшие примеры некоммутативных связок доставляют полугруппы левых (правых) нулей, удовлетворяющие, по определению, тождеству х-у = х(х-у — у). Полугруппу левых (правых) нулей называют также левосингулярной (правосингулярной); полугруппа, являющаяся левосингулярной или правосингулярной, называется сингулярной. Сингулярная полугруппа не только некоммутативна, она обла-

дает следующим свойством «антикоммутативности»: а • Ь / Ь • а для любых различных элементов а и Ъ. Произвольная полугруппа с указанным свойством, очевидно, является связкой и удовлетворяет тождеству х ■ у ■ х — х; такие полугруппы называются прямоугольны-ми(или прямоугольными связками).

Прилагательное « прямоугольная» оправдано следующим утверждением, проясняющим структуру прямоугольных полугрупп: полугруппа Б прямоугольна тогда и только тогда, когда Б изоморфна прямому произведению левосингулярной и правосингулярной полугрупп. Таким образом, элементы Э можно разместить в прямоугольной матрице, строки которой индексированы элементами из Ь, а столбцы - элементами из Ы; если через хц^ обозначить элемент, стоящий в ь той строке и к-том столбце, то закон умножения в Б будет таков: •ЕЦс ' ]1 — •

Полурешетки и прямоугольные полугруппы представляют собой не только полярные типы связок; их важность объясняется, в частности, и особой ролью, которую оба типа играют при описании строения произвольной связки. Эта роль объясняется следующим кардинальным фактом: любая связка полугрупп некоторого семейства ир есть полурешетка прямоугольных связок полугрупп из т. е. ее компоненты могут быть распределены на подсемейства так^ что объединение компонент каждого подсемейства есть прямоугольная связка этих компонент, а исходная полугруппа разложима в полурешетку указанных объединений. В частности, любая полугруппа идемпотентов(будучи связкой одноэлементных полугрупп), разложима в полурешетку прямоугольных полугрупп; это разложение единственно, его компоненты называют прямоугольными компонентами.

Цель данной работы - выяснить, имеет ли связка, состоящая из конечного числа прямоугольных компонент, точное матричное представление над полем, и если в общем случае ответ на этот вопрос будет отрицательным, то найти условия наличия у связки точного

матричного представления.

Итак, мы будем искать точное матричное представление связки, исходя из того, что связка - это полурешетка прямоугольных полугрупп, а прямоугольная полугруппа изоморфна прямому произведению полугрупп правых и левых нулей, причем будем рассматривать только связки, являющиеся полурешетками конечного числа прямоугольных полугрупп.

Большая часть данной работы будет посвящена изучению связок, являющихся полурешетками полугрупп правых нулей, затем результат будет распространен на произвольную связку.

Настоящая работа состоит из трех глав, содержащих одиннадцать параграфов. Первая глава посвящена полугруппам преобразований конечного ранга, являющихся полурешетками полугрупп правых нулей.

В первом параграфе первой главы объясняется, почему мы в дв}гх первых главах данной работы ищем точные представления именно для полугрупп преобразований. Для произвольной связки находится представление полугруппой преобразований, в дальнейшем мы имеем дело именно с данной полугруппой преобразований.

В параграфе 2 первой главы рассматривается связка, являющаяся полурешеткой двух полугрупп правых нулей, Б = Цгде Щ —

г=1,2

минимальный идеал в Б. Находится точное представление такой полугруппы.

В параграфе 3 первой главы рассматривается случай, когда 5 = 11\ и и Щ, и^ полугруппы правых нулей, Щ, 11\ и £/2, и Щ -являются собственными идеалами в полугруппе Я. Также находится точное представление такой полугруппы.

В параграфе 4 первой главы рассматривается случай, когда Б является цепью из трех полугрупп правых нулей. Также указывается-точное матричное представление такой полугруппы.

Очень важными для дальнейшей работы являются предложения 1.2.1., 1.3.1., 1.4.1., которые показывают, из каких элементов состоят полугруппы преобразований рассматриваемых полугрупп.

Для того, чтобы проще можно было найти точные представления матрицами полугрупп в параграфах 2, 3, 4, в предложениях 1.2.2., 1.3.2., 1.4.2. ищется общий вид таких матриц.

Основным результатом данной главы является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.5.3.

Полугруппа Э преобразований конечного ранга , являющаяся полурешеткой конечного числа полугрупп правых нулей, имеет точное представление матрицами над любым полем Р, имеющем мощность, не меньшую мощности полугруппы и^Щ - минимальный идеал полугруппы Э).

На семинаре в Санкт-Петербурге Кублановским С.И. была высказана гипотеза о том, что полугруппа, состоящая из преобразований конечного ранга, всегда имеет точное представление матрицами над каким-то полем. Следующее предложение показывает, что данная гипотеза неверна.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6.2. Пусть X - бесконечное множество, Т - подполугруппа (^х - полугруппа преобразований множества X), состоящая из всех элементов ранга, не превосходящего 2. Тогда Т не имеет точного матричного представления над любым полем.

Во второй главе мы от полугрупп преобразований конечного ранга, которые рассматривались в первой главе, перешли к изучению полугрупп преобразований, имеющих бесконечный ранг.

В предложении 2.1.1. первого параграфа этой главы дается необходимое условие, при котором полугруппа Б может иметь точное матричное представление.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1.1. Пусть Б - полугруппа, А - непустое подмножес�