Непрерывность операций на полугруппах и их обобщениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

004601745

Филипова Елена Евгеньевна

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАЦИИ НА ПОЛУГРУППАХ И ИХ ОБОБЩЕНИЯХ

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

V

Санкт-Петербург 2010

004601745

Работа выполнена на кафедре алгебры, геометрии и теории обучения математике Вологодского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Мухин Владимир Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Кублановский Станислав Ицхокович (ООО "Северный очаг", г. Санкт-Петербург)

кандидат физико-математических наук Плотникова Надежда Валентиновна, (Череповецкий государственный университет, г. Череповец)

Ведущая организация:

Институт математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург)

Защита состоится « >ЛА£клЯ_20 /От. в -/7^ часов на заседании

совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311 (помещение ПОМИ РАН).

Адрес диссертационного совета: 198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пр., 28.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан <■ЯЛО^ПЫ20 /От.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

В.М. Нежинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предметом алгебры является изучение алгебраических структур, которые определяются заданием одного или нескольких законов композиции на некотором множестве. Одновременно с алгебраической структурой на данном множестве часто рассматривают и другие математические структуры, согласованные с алгебраической структурой. Это ведет к большей конкретности таких объектов и позволяет получать новые факты о структурах, заданных на множестве. Например, при рассмотрении на группе (полугруппе) топологии, согласованной с алгебраическими операциями, возникают новые понятия — топологическая группа (полугруппа). Задание на полугруппе топологии приводит к постановке новых задач и открывает широкие возможности для исследования как свойств полугрупп, так и приложений полугрупп.

Изучение топологических полугрупп началось в 50-х годах XX века с работ А. Д. Уоллеса. Отметим здесь только работу [1]. Одновременно со статьями Уоллеса выходят работы Коха, Нумакури, Тамури, Шварца и др. К настоящему времени опубликован ряд монографий, посвященных топологическим полугруппам, в частности, монографии А. Мухерджеа и Н. Церпеса [2], Дж. Карруса, Дж. Хилдебранта и Р. Коха [3], В.В. Мухина [4].

Как известно, в общем случае из непрерывности «-арной операции (р: X" -» X (п>2, X— непустое множество) по каждому аргументу не следует ее непрерывность по совокупности аргументов. Важной является задача установления условий, при которых операция ф является непрерывным отображением по совокупности аргументов. Для групп с топологией такое условие найдено Р. Эллисом [5].

Теорема Эллнса. Пусть X — группа, наделенная локально компактной топологией т такой, что групповая операция (х, у) ху из Х у. X в X непрерывна по каждому аргументу. Тогда эта операция непрерывна по совокупности аргументов, и, кроме того, операция взятия обратного элемента х \-> а--' является непрерывным отображением из Xв X.

Интерес к исследованию условий непрерывности полугрупповой операции на полугруппе с топологией связан также с необходимостью изучения мер на топологических полугруппах и построения на таких структурах гармонического анализа [см, например, 4].

Одним из методов, применяемых в решении многих задач теории полугрупп, является вложение полугруппы в группу. Вопросами топологического вложения полугрупп с топологией в топологические группы занимались Л.Б.

Шнеперман, Ф. Христоф, Р. Ригельхоф, Н. Церпес и А. Мухерджеа, Лау Ка-Синг, Дж. Лавсон и Зенг Вей-Бин, В.В. Мухин, А.Р. Миротин. Предложенные Ф. Христофом необходимые и достаточные условия топологического вложения произвольной топологической полугруппы, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу трудно проверяемы на практике. Остальные из перечисленных авторов выделяют классы полугрупп, вложимых в топологические группы, задаваемые простыми условиями. Вместе с тем остается актуальным нахождение новых классов полугрупп, топологически вложимых в группы. Из результатов теоремы Эллиса следует, что задача вложения топологической полугруппы в локально компактную топологическую группу является также актуальной и интересной. В частном случае подобные результаты получены Р. Ригельхофом для коммутативных, а Н. Церпесом и А. Мухерджеа для реверсивных полутопологических полугрупп с сокращениями при условии открытости сдвигов.

Своей алгебраической структурой к группам наиболее близки инверсные полугруппы. Это позволяет переносить некоторые групповые результаты на инверсные полугруппы. Инверсные полугруппы с топологией стали рассматриваться сравнительно недавно, поэтому вполне естественно изучение их топологических свойств. Топологические свойства инверсных полугрупп рассматривал О.В. Гутик [6].

Наряду с полугруппами в работе изучаются также «-полугруппы с топологией. Впервые понятие «-группы появилось в статье Дернте В., опубликованной в 1928 году. В 40-х годах основополагающими работами по и-группам, безусловно, являются работы Е. Поста, С.А. Чунихина. С середины 50-х годов значительно увеличивается число публикаций, посвященных алгебраическим «-арным системам. «-Группами занимались В.А. Артамонов, С.А. Русаков, К. Глазек, JI.M. Глускин, A.M. Гальмак, В. Дудек.

В начале 70-х годов в работах Г. Чупоны [7], С. Кромбеза и Г. Сикса [8] было сформулировано понятие топологической и-группы. С.А. Русаковым [9] введено новое определение топологической я-группы таким образом, что оно является аналогом определения топологической бинарной группы (непрерывность налагается только на и-арную и унарную операции), причем при и = 2 оно совпадает с определением топологической группы. В 1992 году вышла монография С.А. Русакова [10], в которой топологическим и-группам отведен небольшой параграф. В монографии доказана эквивалентность определений топологической и-группы Чупоны и Русакова, а также показана непрерывность трансляций в топологических и-группах. Основная часть монографии отведена построению силовской теории //-групп. В настоящее время изучением и-групп и п-

полугрупп с топологией занимаются В.В. Мухин, В.А. Дудек. Среди основных работ этих авторов по топологическим «-полугруппам отметим здесь [11].

Цель работы. Целью работы является исследование взаимосвязи алгебраической и топологической структур на полугруппах и «-полугруппах, установление условий, при которых полугрупповая операция на полугруппе, и-полугруппе становится непрерывной по совокупности аргументов.

Основные результаты работы:

1) установлены топологические свойства отображений (х, _у) !Н> (х, ху) и (х,у)\~* (ху,у), заданных на декартовом произведении ХхХ и принимающих значения из X х X, где X — полугруппа (группа) с топологией, установлена связь этих операций с непрерывностью полугрупповой операции;

2) найдены условия на семейство отклонений на полугруппе, при которых полугрупповая операция непрерывна по совокупности аргументов в топологии на полугруппе, порождаемой этим семейством отклонений;

3) обобщена теорема Эллиса на случай правых (левых) групп, наделенных локально компактной топологией;

4) показана возможность продолжения топологии с порождающего подмножества группы до топологии на группе, согласованной с групповой операцией;

5) получены условия отделимости топологии на инверсной полугруппе;

6) найдены условия, при которых инверсная полугруппа с топологией является объединением топологических групп и топологической инверсной полугруппой;

7) доказаны необходимые и достаточные условия, при которых я-группа с топологией становится топологической «-группой.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми.

Методы исследования. В работе используются методы алгебры, общей топологии, топологической алгебры.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении топологических групп и полугрупп, «-групп и и-полугрупп, в теоретических исследованиях в области топологической алгебры, теории функций, функциональном анализе, а также при разработке спецкурсов по алгебре для студентов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре имени Д.К. Фадцеева в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А. Стеклова (2009); на 37-й региональной конференции

«Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2006); на IV и VI Межвузовских конференциях молодых ученых (Череповец, 2003, 2005); на научных семинарах кафедры алгебры и геометрии Череповецкого государственного университета (2003-2007); на сессии аспирантов и молодых ученых (Вологда, 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 статей, в том числе, 2 статьи в журналах из списка, рекомендованного ВАК РФ. Список опубликованных работ приведен в конце автореферата.

В статье [1] теорема о продолжении топологии с системы образующих группы до топологии на группе принадлежит соискателю. В качестве следствия 1 получен результат В.В. Мухина. Следствия 1 и 2 доказаны соискателем. Соавтору принадлежит общее руководство статьей и постановка задач. Статья [1] опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК. В статье [7] теорема 1 принадлежит соавтору (опубликована ранее соавтором), теорема 2 (обобщение теоремы Эллиса на случай правых групп) и теорема 3 (о непрерывности и-арной операции на полугруппе с локально компактной топологией) — соискателю. В статье [8] теоремы 1 и 2 принадлежат соискателю, соавтору — постановка задач. В статье [10] теорема 1 (о равносильности непрерывности полугрупповой операции и операций = и = (ху,^) в полугруппах с топологией), теорема 3 (о непрерывности групповой операции в терминах отображений т^ и 5) и теорема 4 (необходимые и достаточные условия топологического вложения полугруппы с топологией в топологическую группу) принадлежат соискателю. Теорема 2 (об открытости сдвигов в полугруппе с топологией) принадлежит соавтору. В статье [12] теоремы I и 2 принадлежат соискателю. Теорема 3 принадлежит соавтору.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Библиография включает 70 наименований. Общий объем диссертации 80 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование выбора темы, ее актуальность, а также основные понятия и обозначения. В главе I сделан исторический обзор, посвященный топологическим бинарным и и-арным группам и полугруппам.

Глава II разбита на 5 параграфов.

В § 2.1 описаны топологические свойства отображений т\{х,у) = (х,ху) и }>)=(ху, у) в полугруппах и группах с топологией, заданных на декартовом произведении X х X и принимающих значения из X х X, где X — полугруппа (группа) с топологией, и устанавливается связь непрерывности этих отображений с непрерывностью полугрупповой операции наХ.

Полугруппа, наделенная топологией, называется топологической полугруппой, если полугрупповая операция является непрерывным отображением.

В теореме 2.1.1 показана равносильность непрерывности умножения, операций т|(л:,у)=(х,ху) и &{х,у) = (ху,у) в полугруппах с топологией.

Группа, наделенная топологией, называется топологической группой, если групповая операция и операция взятия обратного элемента являются непрерывными отображениями.

Теорема 2.1.4. Пусть С — группа, т — топология на (7. Тогда (й, т) будет топологической группой в том и только в том случае, если г| [8] — непрерывное отображение и Л(бхС/) [8(1/хф] открыто в й х й для любого V е т.

В § 2.2 найдены условия на семейство отклонений на полугруппе, при которых полугрупповая операция будет непрерывным отображением по совокупности аргументов в топологии на полугруппе, порождаемой этим семейством отклонений. Теорема 2.2.2 обобщает результат из [12].

Отклонением на множестве X называется отображение / произведения X х X в интервал [0, +оо] расширенной числовой прямой, удовлетворяющее условиям:

1. /(х,х) = О для любого х е X.

2. /(х,у) = /(у,х) для любых х ,уеХ.

3. /(х,у)</{х,г) + /{г,у) для любых х,у,ге X.

Пусть (/а) (а а А) — семейство отклонений на множестве X. На ^существует единственная топология х, для которой всевозможные конечные пересечения множеств вида {хе X |/а(*,.у)<е}, где а еЛ, в>0, образуют базу открытых окрестностей в произвольной точке у е X. Эта топология называется топологией, порождаемой семейством отклонений (/а) (ае А).

Теорема 2.2.2. Пусть топология х на полугруппе X порождена семейством {/} отклонений на X, удовлетворяющим следующему условию:

(**) для любого /е{/} и любого ае X существуют /б{/} и окрестность У(а,]) точки а такие, что /(Ьх,Ьу)</(х,у) для любых Ь е У(а,/) и любых х, у б X.

Тогда следующие условия равносильны:

(1) для любых а,х е X, любого отклонения / 6 {/} и любого числа а > О существуют отклонения Д,...,/„ е {/} и число р>0 такие, что /(яа,ха)<а для всех 5 е X, удовлетворяющих условию < р одновременно для всех

¿ = 1,..., и;

(п) полугрупповая операция (х,у)ь->ху непрерывна;

(ш) для любого аеХ правый сдвиг х н» ха непрерывен.

В § 2.3 теорема 2.3.3 (2.3.5) является обобщением теоремы Эллиса на случай правых (левых) групп, наделенных локально компактной топологией.

Полугруппа ^называется правой группой, если она проста справа (аХ = X для каждого а из X) и с левыми сокращениями (для любых х,уеХ из ах = ау следует х = у).

Теорема 2.3.3. Пусть правая группа {X, т) наделена локально компактной топологией х такой, что сдвиги хах и х\ч> ха для каждого а&Х непрерывны и, кроме того, сдвиги х н» ха открыты для каждого а 6 X. Тогда

(¡) (Х, х) является объединением открыто-замкнутых топологических

групп-,

(и) отображение х н» х/ (х е Хе, е и/— идемпотенты X) является топологическим изоморфизмом топологической группы Хе на топологическую группу Х/\

(ш) (Х,х) топологически изоморфна прямому произведению группы Xg (ge Е) и подполугруппы идемпотентов Е, наделенных индуцированной топологией из X;

(IV) (X, т) является топологической полугруппой.

Параграф 2.4 посвящен вопросам топологического вложения полугрупп с топологией в топологические группы.

Инъективный гомоморфизм р из X ъ С называется алгебраическим вложением полугруппы Хв группу С. Алгебраическое вложение р полугруппы X с топологией хх в группу б с топологией хд называется топологическим вложением X в О, если оно является гомеоморфизмом Хна подпространство р(Х) топологического пространства б.

Отметим, что В.В. Мухиным в [13] показана возможность топологического вложения локально компактной полутопологической полугруппы с открытыми сдвигами в локально компактную топологическую группу при условии алгебраического вложения полугруппы в группу. Этот результат является обобщением результатов Р. Ригельхофа и Н. Церпеса и А. Мухерджеа. В § 2.4 теорема 2.4.4 является основной и обобщает указанный результат из [13] на случай порождающего подмножества группы с заданной на нем топологией. В этой теореме найдены естественные условия для топологии порождающего множества, при которых она однозначно продолжается до топологии на всей группе и согласуется с групповой операцией.

Теорема 2.4.4. Пусть IV — подмножество группы й и система образующих С. Пусть т — топология на IVтакая, что для любых элементов х\,..., хп; У\, ..., ут\ 5],...,^; /(,..., ¡1 множества IV и любого Кет множества ¡V ПБ~^хУу, IV глхУуГ^ являются открытыми подмножествами IV, где ¿ = 51 х~х\ ■ — •хп, у = у\ ■...■ ут, / = ^1 •...•//. (При этом, если п-0, то

элементов х\,..., хп указанный набор не содержит. Аналогичное соглашение действует относительно т = 0, к = О, / = 0).

Тогда на группе С существует единственная топология хд такая, что каждый внутренний сдвиг в С является непрерывным отображением, IV ехд и сужение топологии хд на IVсовпадает с т. Кроме того:

(О если для некоторого пе N (п > 2) произведение Х] • ...• хп е IV для любых XI,..., хп еIV, то топология хд отделима тогда и только тогда, когда топология т отделима;

(и) умножение в (<Э,хд) непрерывно по совокупности аргументов, если для некоторой последовательности точек X],..., е1¥ (п> 2) их произведение х\ ■ ...■ х® принадлежит IV и функция (х\,... хп)\-> ху ...■ хп из IVп в \¥ непрерывна по совокупности аргументов в точке ..., х® ];

(ш) если топология х локально компактна, а топология хд отделима, то (<7,Т(з) является локально компактной топологической группой.

В качестве следствия теоремы 2.4.4 получаем теорему, доказанную В.В. Мухиным в [13].

В § 2.5 рассматриваются свойства инверсных полугрупп с топологией.

Инверсная полугруппа, наделенная топологией, называется топологический ннверсной полугруппой, если полугрупповая операция и операция взятия инверсного элемента являются непрерывными отображениями.

Теорема 2.5.2. Пусть X— инверсная полугруппа, т — топология на X. Тогда (X, т) будет топологической инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда отображения ф: {х,у)\-ъ х~~^у и ху-1 непрерывны.

Отметим, что в инверсных полугруппах элемент, инверсный к элементу х, обозначается х~\

Далее исследуется отделимость топологии на инверсных полугруппах. Известно, что в топологической группе замкнутость множества идемпотентов (т.е. множества, состоящего из одной единицы е) эквивалентна отделимости топологии. В работе показано, что в топологической инверсной полугруппе замкнутость множества идемпотентов не влечет за собой отделимости топологии.

Пусть Е — множество идемпотентов инверсной полугруппы X. Для каждого е е Е обозначим через Не максимальную подгруппу X, содержащую е. Идемпотент е инверсной полугруппы (Х,т) называется изолированным, если существует окрестность е, не содержащая других идемпотентов.

В теоремах 2.5.8 и 2.5.10 исследуются свойства топологических инверсных полугрупп, в которых идемпотент замкнут или является изолированным элементом в множестве всех идемпотентов.

Теорема 2.5.8. Если в топологической инверсной полугруппе (X, т) одноточечное множество {е} замкнуто, то подгруппа Не (е е Е) замкнута в {X, т) и отделима в индуцированной на Не топологии.

Теорема 2.5.10. Пусть (Х,т) — топологическая инверсная полугруппа, е — изолированный идемпотент в Е. Тогда Не является открытой подгруппой

ад.

Следствие 2.5.13. Если топологическая инверсная полугруппа {X, т) является объединением групп, а множество идемпотентов Е полугруппы Xявляется дискретным подпространством (X, т) и каждый идемпотент замкнут, то топология т отделима.

Следствие 2.5.14. Пусть топологическая инверсная полугруппа (ЛТ, т) связна. Если существует идемпотент е е Е такой, что множество {е} замкнуто и е — изолированная точка множества Е, то (X, т) — топологическая группа.

Следующие две теоремы устанавливают условия, при которых инверсная полугруппа с топологией будет объединением топологических групп и топологической инверсной полугруппой.

Теорема 2.5.16. Пусть X — инверсная полугруппа с локально компактной топологией т, являющаяся топологической полугруппой. Пусть левые и правые единицы для каждого элемента х е X равны. Если каждая максимальная подгруппа Не (е е Е) есть открытое подмножество X, то (X, т) есть объединение топологических групп и топологическая инверсная полугруппа.

Теорема 2.5.17. Пусть X— инверсная полугруппа с топологией х такой, что отображение {х, у) ь^ ху~х непрерывно. Пусть Хесть объединение групп. Если каждая максимальная подгруппа Не (е е Е) есть открытое подмножество X, то (X, т) есть объединение топологических групп и топологическая инверсная полугруппа.

В главе III рассматриваются «-группы и «-полугруппы с топологией.

В теореме 3.1.2 параграфа 3.1 найдены условия, при которых «-группа с топологией становится топологической «-группой. Эту теорему можно рассматривать как обобщение теоремы 2.1.4 на случай и-групп.

Топологической п-группой называется «-группа (X, ( )), наделенная топологией т, если «-арная операция ( ) (п > 2) непрерывна по совокупности аргументов и решение х хотя бы одного из уравнений (xa"-1]=a или [а"~^х^=а непрерывно зависит от аа" ~~' е Хп.

Теорема 3.1.2. Пусть {X, ( )) — п-группа (п >2), т — топология на X.

Пусть операция ( ) является непрерывным отображением из Хп в X. Для того, чтобы (Х, ( ), т) была топологической п-группой необходимо и достаточно,

чтобы для некоторой последовательности а" ~ ^ е Хп ~ ^ множество

{(х,(ха?~2у}хеХ,уеи\

хе X,yeUj было открытым подмножеством Xу.X для любого U ет.

В § 3.2 показано существование максимального разбиения «-полугруппы на ее левые идеалы [лемма 3.2.1]. В теореме 3.3.2 доказано, что если «полугруппа (Х,( ),т) разбита на семейство попарно непересекающихся левых идеалов, для каждого аеХ множество [X... Ха] открыто и для некоторых

¿1,..., b„_ 1 изXотображение jcь->(bj... bn^\x) изXвXнепрерывно, то каждый левый идеал является открыто-замкнутым подмножеством (X,( ),т).

В § 3.3 теорема 3.3.1 является следствием теоремы 2.4.4 для и-полугрупп с топологией, алгебраически вложимых в бинарные группы.

Теорема 3.3.1. Пусть п-полугруппа (X,/, х) алгебраически вкладывается в бинарную группу, и каждый сдвиг х ь» /{сц,..., х, а¡, ..., ап__\) является непрерывным и открытым отображением полугруппы X в себя, где а\,...,ап_ \еХ, /= 1,2, ...,п. Тогда {X,/, т) топологически вкладывается в полутопологическую бинарную группу в качестве открытой п-подполу группы. Групповая операция будет непрерывной по совокупности аргументов тогда и только тогда, когда п-арная операция / непрерывна по совокупности аргументов. Если, кроме того, топология т локально компактна, то (X,,/, т) топологически вкладывается в локально компактную топологическую группу в качестве открытой п-подполугруппы.

В § 3.4 доказывается следующая теорема:

Теорема 3.4.1. Пусть топологическая п-полугруппа (X, ( ), т) удовлетворяет одному из следующих условий:

(О (X, ( )) содержит единичный элемент е;

(11) к (X, ( )) можно присоединить единичный элемент е и, если п нечетно, то (Х, ( )) не содержит нейтральной последовательности.

Тогда (X, ( ), т) является производной от бинарной полугруппы (X, -,т), которая является топологической бинарной полугруппой.

Напомним, что «-полугруппа (Х,( )} называется производной от бинарной полугруппы (X, ■), если для любой последовательности х" е X" справедливо равенство {х"}=х1-х2-...х„. Говорят, что к (X,( )) можно присоединить единичный элемент е&Х, если на множестве Х^ = Хие существует ассоциативная п-арная операция [ ] такая, что е — единичный элемент ]) и для любой последовательности х" е Хп справедливо равенство [*"] = (л").

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wallace, A.D. The structure of topological semigroups / A.D. Wallace // Bull. Atner. Math. Soc, 1955. - Vol. 61. - P. 95-112.

2. Mukherjea, A. Measure on topological semigroups / A. Mukherjea, N.A. Tserpes // Lecture notes in mathematics, 1976. - V. 547. - 197 p.

3. Carruth, J.H. The theory of topological semigroups / J.H. Carruth, J.A. Hildebrant, R.J. Koch. - New York. Basel.: Marcel Dekker, Inc., 1983. - V. 1. -241 p.

4. Мухин, В.В. Меры на топологических полугруппах / В.В. Мухин // Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ. - 2004. - 265 с.

5. Ellis, R. Locally compact transformation groups / R. Ellis // Duke Math. Journal, 1957.-V. 14.-P. 119-125.

6. Гутик, O.B. Вложение топологических инверсных полугрупп и структура их связок с ограничениями на сдвиги: Дис. ... канд. физико-мат. наук. — Киев, 1996,-94 с.

7. Cupona, G. On topological «-groups / G. Сиропа // Bull. Soc. Math. Phys. R. S. Macedoin22, 1971.-Кн. 22.-P. 5-10.

8. Crombez, C. On topological я-groups / C. Crombez, G. Six // Abhandludlungen Math. Semin. Univ. Hamburg, 1974.-Bd. 41.-P. 115-124.

9. Русаков, C.A. К аксиоматике топологических n-арных групп / А.С. Русаков // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. -Мн., 1984.-С. 149-159.

Ю.Русаков, С.А. Алгебраические л-арные системы: Силовская теория парных групп / С.А. Русаков. - Мн.: Навука i тэхшка, 1992. - 264 с.

11.Dudek, W.A. On topological и-ary semigroups / W.A. Dudek, V.V. Mukhin // Quasigroups and Related Systems 3 (1996). Institute mathematics Academy of Science Moldova, Higher College of Engineering in Legnica Poland. Legnica, 1999.-P. 73-88.

12.Мухин, В.В. О топологиях на полугруппах и группах, определяемых семейством отклонений и норм / В.В. Мухин, Бужуф. X. // Известия вузов. Математика. - 1997. - № 5. - С. 74-77.

13.Мухин, В.В. О вложении полутопологических полугрупп в полутопологические группы в качестве открытой подполугруппы / В.В. Мухин // Вопросы алгебры: сб. - Гомель: Изд-во ГГУ, 1999. - Вып. 14. - С. 122-126.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Филипова, Е.Е. О продолжении топологии с системы образующих группы до топологии на группе / В.В. Мухин, Е.Е. Филипова // Известия вузов. Математика. - 2009. - № 6. - С. 37-41.

2. Филипова, Е.Е. Инверсные полугруппы с топологией / Е.Е. Филипова // Вестник Ижевского государственного технического университета, — 2008. -№4(40).-С. 214-215.

Другие публикации

3. Филипова, Е.Е. Некоторые свойства и-групп / Е.Е. Филипова // Современная математика и математическое образование в вузах и школах России: опыт, тенденции, проблемы. Межвузовский сборник научно-методических работ. - Вологда: ВГПУ, 2006. - С. 38-40.

4. Филипова, Е.Е. Некоторые свойства бинарных и я-арных полугрупп с топологией / Е.Е. Филипова // Материалы ежегодных смотров-сессий аспирантов и молодых ученых по отраслям наук: Естественные и физико-математические науки. - Вологда, 2007. - С. 139-147.

5. Филипова, Е.Е. Некоторые свойства инверсных полугрупп с топологией / Е.Е. Филипова // Сборник трудов участников VI Межвузовской конференции молодых ученых. - Череповец: ЧГУ, 2005.-С. 169-171.

6. Филипова, Е.Е. О непрерывности операций в алгебраических системах, наделенных топологией / Е.Е. Филипова // Сборник трудов участников IV Межвузовской конференции молодых ученых. Череповец: ЧГУ, 2003. - С. 224-226.

7. Филипова, Е.Е. О применении теоремы Эллиса к полугруппам с топологией / В.В. Мухин, Е.Е. Филипова // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе САПР, АСНИ, СУБД и систем искусственного интеллекта: Материалы 3-й Межд. науч.-техн. конф. — Вологда: ВоГТУ, 2005.-С. 96-98.

8. Филипова, Е.Е. О продолжении топологий с некоторых подмножеств групп до топологии на группе, согласованной с групповой операцией / В.В. Мухин, Е.Е. Филипова // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе САПР, АСНИ, СУБД и систем искусственного интеллекта: Материалы 2-й Межд. науч.-техн. конф. - Вологда: ВоГТУ, 2003.-С. 178-181.

9. Филипова, Е.Е. О разбиении л-полугрупп с топологией на семейство открыто-замкнутых левых идеалов / Е.Е. Филипова // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта: Материалы 4-й межд. научно-техн. конф. - Вологда: ВоГТУ, 2007. - С. 236-238.

10.Филипова, Е.Е. О топологических свойствах отображений (х, н-> (х, ху) и (х,у) (ху,у) в полугруппах с топологией / В.В. Мухин, Е.Е. Филипова // Научный журнал. Вестник Череповецкого государственного университета: ЧГУ, 2004. -№ 2. - С. 131-133.

11. Филипова, Е.Е. Полугруппы с локально компактной топологией / Е.Е. Филипова // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. - С. 94-99.

12.Филипова, Е.Е. Топологические и-полугруппы, являющиеся производными от бинарных полугрупп / В.В. Мухин, Е.Е. Филипова // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта: Материалы 5-й Межд. науч.-техн. конф. Вологда: ВоГТУ, 2009. - С. 192-195.

Подписано к печати 23.03.10. Формат 60 "84 1/16 . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4659. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-40-43,428-69-19

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ,

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ.

ГЛАВА I

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ.

ГЛАВА II

БИНАРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ С ТОПОЛОГИЕЙ.

§ 2.1. Топологические свойства отображений

Г|(х, у) = (х,ху) и = (ху,у) в полугруппах и группах с топологией.

§ 2.2. Полугруппы, наделенные равномеризуемой топологией.

§ 2.3. Непрерывность полугрупповой операции в правой [левой] группе.

§ 2.4. Вложение полугрупп с топологией в топологические группы.

§ 2.5. Инверсные полугруппы с топологией.

ГЛАВА III и-ПОЛУГРУППЫ С ТОПОЛОГИЕЙ.

§ 3.1. Непрерывность я-арной операции в я-группе.

§ 3.2. Левые идеалы «-полугрупп с топологией.

§ 3.3. Вложение я-полугрупп с топологией в топологические группы.

§ 3.4. я-Полугруппы с топологией, являющиеся производными от бинарных полугрупп.70

Общая топология, как раздел математики, исследующий идеи непрерывности, в соединении с алгеброй составляет основу современного раздела математики — топологической алгебры. Предметом алгебры является изучение алгебраических структур, которые определяются заданием одного или нескольких законов композиции на некотором множестве. Одновременно с алгебраической структурой на данном множестве часто рассматривают и другие математические структуры, согласованные с алгебраической структурой. Это ведет к большей конкретности таких объектов и позволяет получать новые факты о структурах, заданных на множестве. Например, при соединении понятий группы [полугруппы] и топологического пространства возникают новые математические понятия — топологическая группа [полугруппа].

Теория полугрупп тесно связана не только с теорией групп, теорией колец, но и другими областями математики: дифференциальной геометрией, функциональным анализом, алгебраической теорией автоматов и др. Задание на полугруппе топологии приводит к постановке новых задач и открывает широкие возможности для исследования как свойств полугрупп, так и приложений полугрупп.

Как известно, в общем случае из непрерывности «-арной операции

Ф:Хп -»X (п> 2, X— непустое множество) по каждому аргументу не следует ее непрерывность по совокупности аргументов. Важной является задача установления условий, при которых операция ф является непрерывным отображением по совокупности аргументов. Для групп с топологией такое условие найдено Р. Эллисом [59]. Интерес к исследованию условий непрерывности полугрупповой операции на полугруппе с топологией связан также с необходимостью изучения мер на топологических полугруппах и построения на таких структурах гармонического анализа [см. работы 19, 22].

Одним из методов, применяемых в решении многих задач теории полугрупп, является вложение полугруппы в группу. Вопросами топологического вложения полугрупп с топологией в топологические группы занимались Л.Б. Шнеперман, Ф. Христоф, Р. Ригельхоф, Н. Церпес и А. Мухерджеа, Лау Ка-Синг, Дж. Лавсон и Зенг Вей-Бин, В.В. Мухин, А.Р. Миротин. Предложенные Ф. Христофом необходимые и достаточные условия топологического вложения произвольной топологической полугруппы, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу трудно проверяемы на практике. Остальные из перечисленных авторов выделяют классы полугрупп, вложимых в топологические группы, задаваемые простыми условиями. Вместе с тем остается актуальным нахождение новых классов полугрупп, топологически вложимых в группы. Из результатов теоремы Эллиса следует, что задача вложения топологической полугруппы в локально компактную топологическую группу является также актуальной и интересной. В частном случае подобные результаты получены Р. Ригельхофом для коммутативных, а Н. Церпесом и А. Мухерджеа для реверсивных полутопологических полугрупп с сокращениями при условии открытости сдвигов.

Своей алгебраической структурой к группам наиболее близки инверсные полугруппы. Это позволяет переносить некоторые групповые результаты на инверсные полугруппы. Инверсные полугруппы с топологией стали рассматриваться сравнительно недавно, поэтому вполне естественно изучение их топологических свойств.

Наряду с бинарными полугруппами в работе изучаются «-полугруппы с топологией. «-Группы и «-полугруппы имеют особые свойства, отсутствующие у топологических бинарных групп и полугрупп, изучение которых является одной из основных задач теории топологических «-арных систем.

Таким образом, целью работы является исследование взаимосвязи алгебраической и топологической структур на полугруппах и «-полугруппах, установление условий, при которых полугрупповая операция на полугруппе, я-полугруппе становится непрерывной по совокупности аргументов.

В главе I сделан исторический обзор, посвященный топологическим бинарным и «-арным группам и полугруппам.

В § 2.1 описаны топологические свойства отображений г|(лс,у) = (х,ху) и 5(х5<у) = {ху,у), заданных на декартовом произведении ХхХ и принимающих значения из ХхХ, гдеX— полугруппа [группа] с топологией т. В теореме 2.1.1 показана равносильность непрерывности умножения и операций г|(;с,.у)= (х,ху) и 5(х,>') = (л:>>,>') в полугруппе с топологией. В теореме 2.1.4 устанавливается условие непрерывности операций в группе с топологией в терминах свойств отображений г\ и 8. г«

В § 2.2 найдены условия на семейство отклонений на полугруппе, при которых полугрупповая операция будет непрерывным отображением по совокупности аргументов в топологии на полугруппе, порождаемой этим семейством отклонений.

В § 2.3 теорема 2.3.3 [2.3.5] является обобщением теоремы Эллиса на случай правых [левых] групп, наделенных локально компактной топологией.

В § 2.4 раскрывается значение отображений г|(:с,;у) = и д(х,у)= (яу,^) в задаче топологического вложения полугруппы с топологией, алгебраически вложимой в группу, в топологическую группу [теорема 2.4.1].

Отметим, что В.В. Мухиным в [23] показана возможность топологического вложения локально компактной полутопологической полугруппы с открытыми сдвигами в локально компактную топологическую группу при условии алгебраического вложения полугруппы в группу. Этот результат является обобщением результатов Р. Ригельхофа и Н. Церпеса и А. Мухерджеа. В § 2.4 теорема 2.4.4 является основной и обобщает указанный результат из [23] на случай порождающего подмножества группы с заданной на нем топологией. В этой теореме найдены естественные условия для топологии порождающего множества, при которых она однозначно продолжается до топологии на всей группе и согласуется с групповой операцией.

В § 2.5 рассматриваются инверсные полугруппы с топологией, исследуется отделимость топологии на инверсных полугруппах. В теоремах 2.5.8 и 2.5.10 исследуются свойства топологических инверсных полугрупп, в которых идемпотент замкнут или является изолированным элементом в множестве всех идемпотентов. Теоремы 2.5.16 и 2.5.17 устанавливают условия, при которых инверсная полугруппа с топологией будет объединением топологических групп и топологической инверсной полугруппой.

1. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп / под ред. М. Арбиба. - М.: Статистика, 1975. - 335 с.

2. Бужуф, X. Вложение «-арных топологических полугрупп в бинарные группы и меры на них / X. Бужуф. Препринт № 2. - Гомель: ГГУ, 1996. - 32 с.

3. Бужуф, X. О топологиях на «-группоидах Менгера и «-арных полугруппах, являющихся производными от бинарных полугрупп / X. Бужуф. Препринт № 1. - Гомель, 1995. - 18 с.

4. Бурбаки, Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь / Н. Бурбаки. М.: Наука, 1975. - 408 с.

5. Бурбаки, Н. Общая топология. Основные структуры / Н. Бурбаки. -М.: Наука, 1968.-272 с.

6. Бурбаки, Н. Общая топология. Топологические группы, числа и связанные с ними группы и пространства / Н. Бурбаки. М.: Наука, 1969.-392 с.

7. Вейль, А. Интегрирование в топологических группах и его применения / А. Вейль. М.: Ил, 1950. - 222 с.

8. Гальмак, A.M. Теоремы Поста и Глускина-Хоссу / A.M. Гальмак. Гомель. ГГУ им. Ф. Скорины, 1997. - 85 с.

9. Гальмак, A.M. iV-арные группы / A.M. Гальмак // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 2007. № 2 (8). - Том 4. - С. 7695.

10. Гутик, О.В. Вложение топологических полугрупп в простые / О.В. Гутик // Matematychni Studii, 1994. P. 10-14.

11. Гутик, О.В. О структуре связки компактной инверсной полугруппы с открытыми сдвигами / О.В. Гутик // Matematychni Studii, 1996. -№ 6. -P. 33-38.

12. Келли, Дж. Общая топология / Дж. Келли. М.: Наука, 1981. -432 с.

13. Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп / А. Клиффорд, Г. Престон. T. 1.-М.: Мир, 1972.-285 с.

14. Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп / А. Клиффорд, Г. Престон. Т. 2. - М.: Мир, 1972. - 422 с.

15. Ляпин, Е.С. Полугруппы / Е.С. Ляпин. М.: Физматгиз, 1960. -592 с.

16. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. М.: Наука, 1970. - 392 с.

17. Мальцев, А.И. Избранные труды. Классическая алгебра / А.И. Мальцев. Т. 1. - М. : Наука, 1976. - 484 с.

18. Миротин, А.Р. Линейные представления аналитических и топологических полугрупп и их приложения: автореф. дисс. . докт. фи-зико-мат. наук (01.01.01); Белорусский гос. ун-т. Минск, 2001. -34 с.

19. Мухин, В.В. Вложение топологических полугрупп в локально компактные группы и инвариантные меры на полугруппах /В.В. Мухин // Арифметическое и подгрупповое строение конечныхгрупп: Труды Гомельского семинара. — Минск: Наука и техника, 1986.-С. 86-92.

20. Мухин, В.В. Инвариантные меры и вложение локально компактных полугрупп в топологические группы / В.В. Мухин // Доклады АН СССР, 1984.-Т. 278.-№5.-С. 1063-1066.

21. Мухин, В.В. Меры на топологических полугруппах / В.В. Мухин // Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ. 2004. - 265 с.

22. Мухин, В.В. О вложение полутопологических полугрупп в полутопологические группы в качестве открытой подполугруппы /B.В. Мухин // Вопросы алгебры: сб. Гомель: Изд-во ГГУ, 1999. -Вып. 14.-С. 122-126.

23. Мухин, В.В. О топологиях на полугруппах и группах, определяемых семейством отклонений и норм / В.В. Мухин, Бужуф. X. // Известия вузов. Математика. 1997. -№ 5. - С. 74-77.

24. Мухин, В.В. Топологические «-арные полугруппы / В.В. Мухин, Б. Хамза // Весщ HAH Беларусь Серыя ф1з.-матэм. навук, 1999. -№ 1.-С. 45-48.

25. Мухин, B.B. О продолжении топологии с системы образующих группы до топологии на группе / В.В. Мухин, Е.Е. Филипова // Известия вузов. Математика. 2009. -№ 6. С. 37-41.

26. Общая алгебра. Т. 2. / В.А. Артамонов и др.; под ред. JI.A. Скорнякова. М.: Наука, 1991. - 480 с.

27. Понтрягин, JI.C. Избранные научные труды. Топология. Топологическая алгебра / JI.C. Понтрягин. Т. 1. - М.: Наука, 1988. - 736 с.

28. Понтрягин, JI.C. Непрерывные группы / Л.С. Понтрягин. М.: Наука, 1973. - 520 с.

29. Русаков, С.А. Алгебраические «-арные системы: Силовская теория «-арных групп / С.А. Русаков. Мн.: Навука i тэхшка, 1992. -264 с.

30. Русаков, С.А. К аксиоматике топологических «-арных групп / A.C. Русаков // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. Мн., 1984. - С. 149-159.

31. Сушкевич, А.К. Теория обобщенных групп / А.К. Сушкевич. -Харьков-Киев: ГНТИ Украины, 1937. 176 с.

32. Филипова, Е.Е. Инверсные полугруппы с топологией / Е.Е. Фи-липова // Вестник Ижевского государственного технического университета, 2008. - № 4 (40). - С. 214-215.

33. Филипова, Е.Е Некоторые свойства бинарных и «-арных полугрупп с топологией / Е.Е. Филипова // Материалы ежегодных смотров-сессий аспирантов и молодых ученых по отраслям наук: Естественные и физико-математические науки. Вологда, 2007. -С. 139-147.

34. Филипова, Е.Е. Некоторые свойства «-групп / Е.Е. Филипова // Современная математика и математическое образование в вузах и школах России: опыт, тенденции, проблемы. Межвузовский сборник научно-методических работ. Вологда: ВГПУ, 2006. - С. 38-40.

35. Филипова, Е.Е. Некоторые свойства инверсных полугрупп с топологией / Е.Е. Филипова // Сборник трудов участников VI Межвузовской конференции молодых ученых. Череповец: ЧГУ, 2005.-С. 169-171.

36. Филипова, Е.Е. О непрерывности операций в алгебраических системах, наделенных топологией / Е.Е. Филипова // Сборник трудов участников IV Межвузовской конференции молодых ученых. Череповец: ЧГУ, 2003. С. 224-226.

37. Филипова, Е.Е. Полугруппы с локально компактной топологией / Е.Е. Филипова // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 94-99.

38. Халмош, П. Теория меры / П. Халмош. М.: Ил., 1953. - 291 с.

39. Чунихин, С. А. К теории неассоциативных «-групп с постулатом К / С.А. Чунихин // Доклады АН СССР, 1945. Т. 48,. - № 1. - С. 7-10.

40. Шнеперман, Л.Б. О погружении топологических полугрупп в локально компактные группы / Л.Б. Шнеперман // Математические заметки, 1969. Т. 6. - № 4. - С. 401-409.

41. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. -.М.: Мир, 1986.-752 с.

42. Carruth, J.H. The theory of topological semigroups / J.H. Carruth, J.A. Hildebrant, R.J. Koch. New York. Basel.: Marcel Dekker, Inc., 1983.-V. 1.-241 p.

43. Christoph, F. Embedding topological semigroups in topological group / F. Christoph // Semigroup Forum, 1970. V. 1. - № 1. - P. 224-231.

44. Crombez, C. On topological «-groups / C. Crombez, G. Six // Abhandludlungen Math. Semin. Univ. Hamburg, 1974. Bd. 41. - P. 115-124.

45. Cupona, G. On topological «-groups / G. Cupona // Bull. Soc. Math. Phys. R. S. Macedoin 22, 1971. Кн. 22. - P. 5-10.

46. Cupona, G. On representation of associatives into semigroups / G. Cupona, N. Celakoski // Maced. Akad. Of Ski. And Arts Contributions, 1974. Vol. 6. - № 2. - P. 23-24.

47. Dickson, L.E. On semigroups and general isomorphism / L. E. Dickson // Trans. Amer. Math. Soc., 1905. Vol. 6 - P. 205-208.

48. Dornte, W.A. Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegriff/ W. A. Dornte // Math. Z, 1928. Bd. 29. - S. 1-19.

49. Dudek, W.A. Idempotents in «-ary semigroups / W.A. Dudek // Southest Asian Bull. Math, 2001. V. 12. - P. 97-104.

50. Dudek, W.A. On «-ary semigroups with adjoint neutral element / W.A. Dudek, V.V. Mukhin // Quasigroups and Related Systems, 2006. -№ 14.-P. 163-168.

51. Dudek, W.A. On topological «-ary semigroups / W.A. Dudek, V.V. Mukhin // Quasigroups and Related . Systems 3 (1996). Institute mathematics Academy of Science Moldova, Higher College of Engineering in Legnica Poland. Legnica, 1999. P. 73-88.

52. Ellis, R. A note on the continuity of the inverse / R. Ellis // Proc. Amer. Math. Soc, 1957.-V. 8.-P. 372-373.

53. Ellis, R. Locally compact transformation groups / R. Ellis // Duke Math. Journal, 1957.-V. 14.-P. 119-125.

54. Gutik, O. Compact topological inverse semigroups / O. Gutik // Semigroup Forum, 2000. Vol. 60. - P. 243-252.

55. Gutik, O.V. Embedding of countable topological semigroups in simple countable connected topological semigroups / O. Gutik // Journal of Mathematical Sciences, 2001. Vol. 104. -№ . 5. - P. 1422-1427.

56. Hofmann, K.H. A history of topological and analytical semigroups / K.H. Hofmann. Preprint Nr. 2046. Technische Universität Darmstadt, 1999.-27 p.

57. Lau, Ka-Sing. Embedding locally compact semigroups into groups / Ka-Sing Lau, J. Lawson, Wei-Bin Zeng // Semigroup Forum, 1998. -Vol. 57.-P. 151-156.

58. Mukherjea, A. A note on the embedding of topological semigroups /A. Mukherjea, N.A. Tserpes // Semigroup Forum, 1971. V. 2. - № 1.-P. 71-75.

59. Mukherjea, A. Measure on topological semigroups / A. Mukherjea, N.A. Tserpes // Lecture notes in mathematics, 1976. V. 547. - 197 p.

60. Mukhin, V. V. On topological «-semigroups / V.V. Mukhin // Qua-sigroups and Related Systems. 4 (1997). Institute mathematics Academy of Science Moldova. Printed in Poland, 1999. P. 39-49.

61. Post, E. L. Polyadic groups / E.L. Post // Trans. Amer. Math. Soc, 1940. V. 48. - № 2. - P. 208-350.

62. Rigelhof, R. Invariant measure on locally compact semigroups / R. Rigelhof // Proc. Amer. Math. Soc, 1971. V. 28. - № 1. - P. 173176.

63. Wallace, A.D. The structure of topological semigroups / A.D. Wallace //Bull. Amer. Math. Soc, 1955.-Vol. 61.-P. 95-112.