Классы тополого-алгебраических систем, определяемые алгебраическими усилениями аксиомы полной регулярности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

IIа правах рукописи

КЛАССЫ ТОПОЛОГО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ УСИЛЕНИЯМИ АКСИОМЫ ПОЛНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ

(01.01.04 - геометрия и топология)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель -кандидат физико-математических наук, доцент БУЛГАКОВ Д.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ПОНОМАРЕВ В.И., кандидат физико-математических наук, доцент САНДРАКОВА Е.В.

Ведущая организация Государственная академия управления им. С.Орджоникидзе

Защита диссертации состоится "У/" декабря 1997 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К 053.22.23 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117302, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд.

С диссертацией' можно ознакомиться .в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: ' 17198, Москва,• ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан и06" ноября 1997г.

Ученый секретарь диссертациоьлого совета

М.В. ДРАГНЕВ

А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка задачи. Диссертация посвящена изучению тополого-алгебраических систем (т.-а. систем), которые являются естественными обобщениями топологических групп: полутопологических и па-ратопологических групп, топологических коммутативных моноидов с сокращением, топологических луп и топологических левых луп. Для каждой из этих т.-а. систем существует группа, на некотором подмножестве которой алгебраическая структура этой группы индуцирует алгебру, изоморфную алгебре исходной т.-а. системы. Изоморфизм между этими алгебрами называется алгебраическим вложением т.-а. системы в группу. Алгебраическое вложение т.-а. системы в топологическую группу называется вложением т.-а. системы в топологическую группу, если оно является инъективным гомеоморфизмом относительно топологий на т.-а. системе и на топологической группе. Основная задача диссертации состоит в описании классов т.-а. систем, для которых существуют вложения в топологические группы, то есть для которых существуют такие топологии на группах, которые обеспечивают вложения этих т.-а. систем в топологические группы.

Целью работы является обоснование и разработка общего подхода к изучению т.-а. систем, обобщающих топологические группы, который базируется на развитой теории топологических групп.

Актуальность темы диссертация определяется ее непосредственными связями со следующими актуальными направлениями исследований в современной топологической алгебре [1]: исследованиями существования продолжений топологий на расширения т.-а. систем и вложений т.-а. систем в т.-а. системы определенных классов; изучением свойств топологий на т.-а. системах, в частности, изучением возможности задания топологий нормами и их обобщениями; изучением обобщений топологических групп.

Методы исследования. Разработанный общий метод исследования т.-а. систем, обобщающих топологические группы, состоит в усилении условия полной регулярности, которое необходимо для существования вложения т.-а. системы в топологическую группу, различными требованиями алгебраического характера к непрерывным функциям, реализующим полную регулярность т.-а. системы. Смысл этих требований заключается в аксиоматическом усилении взаимосвязи топологической и алгебраической структур исследуемых т.-а. систем до

такого уровня, который имеется в топологических группах и который обеспечивает существование вложений т.-а. систем в топологические группы. Этот метод исследования привел к определению новых классов т.-а. систем, занимающих промежуточное положение между классами вполне регулярных и нормальных т.-а. систем. Основным свойством введенных классов является то, что существование вложения т.-а. системы в топологичесую группу связано с принадлежностью т.-а. системы к одному из выделенных классов т.-а. систем.

Научная новизна диссертации состоит в определении новых классов т.-а. систем (классов мультипликативно и сильно мультипликативно вполне регулярных, квазинормируемых и нормируемых т.-а. систем) и установлении, связи меасду принадлежностью т.-а. системы одному из этих классов и существованием вложения т.-а. системы в топологическую группу.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет чисто теоретический характер. Полученные результаты по вложениям т.-а. систем, обобщающим топологические группы,.в топологические группы дают новые методы исследования таких т.-а. систем, основанные на использовании развитой теории топологических групп:

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ (из них 6 - без соавторов), список которых приведен в конце автореферата.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXIX - XXXIII научных конференциях факультета физико - математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка обозначений и списка литературы, включающего 35 наименований. Полней объем диссертации составляет 131 страницу машинописного текста. Используемая в автореферате нумерация определений, и теорем соответствует их нумерации в диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Классы мультипликативно вполне регулярных, сильно мультипликативно вполне регулярных, квазинормируемых и нормируемых тополого-алгебраических систем.

D этой главе вводятся классы т.-а. систем, определяемые различными типами алгебраического усиления аксиомы полной регулярности, и устанавливаются отношения между этими классами.

В §1 приведены определения и общие свойства изучаемых т.-а. систем, обобщающих топологические группы.

Определение 1. Универсальная алгебра А =< Л, С?, т >, где А -носитель А, О - семейство основных алгебраических операций на А с указанием их арностей (сигнатура А), т — топология на А, называется топологической алгеброй, если каждая операция о Е О непрерывна относительно т: если п - арность операции о G О , то

о : (Л, г) х ... х (А, г) (Л, г), (аь...,яп) к> о(аь...,а„), (1)

— непрерывное отображение, где (Л, т) - топологическое пространство (носитель) топологической алгебры А.

Для описания т.-а. систем, которые не являются топологическими алгебрами в смысле определения 1, вводятся следующие обобщения определения 1.

Определение 2. Универсальная алгебра А =< А, О, г > с тополо- ■ гией г называется топологической по операции об О, если операция о непрерывна относительно г, то есть выполнено условие (1) определения 1.

Определение 3. Универсальная алгебра А =< А, О, > с топологией т называется полутопологической алгеброй по бинарной операции • 6 О, если левые La и правые Ra трансляции La, Ra : (Л, г) (Л, г), Lax = а ■ х, Rax = х ■ а, непрерывны при любом а £ А.

В диссертации изучаются следующие т.-а. системы с Tj -топологией

т:

1. Топологическая Группа < G,-,~l ,т >. Умножение • - непрерывная бинарная операция, операция взятия обратного -элемент* -непрерывная унарная операция

2. Полутопологическая группа < С,-,-1 , г > - группа с тополог» г, такой, что < г > полутопологическая алгебра (по операции < , г > - топологическая алгебра (по операции -1) [2].

3. Паратопологическая группа < С, , г > - группа с тополоп г, такой, что < С, •, г > - топологическая алгебра по операции • [2

4. Топологическая лупа < \/Д, г > - топологическая алгебра всем трем бинарным операциям: • - умножение, /, \ - правое и ле деления, которые связаны соотношениями: Ух, у € С?

1) (*/{/) • У = ^ . У ■ (У,\ х) = х ;

2) (*-1/)/2/ = *, ¡/\(у-х) = х;

3) х/х = у\у = е - единица лупы.

Алгебра < > , в которой операции удовлетворяют углов!

1) - 3), называется лупой [4]. О отличии от группы умножение в л может быть неассоциативно.

5. Топологическая левая лупа < ,т > г единицей - тополе ческая алгебра по умножению • и левому делению \ , которые гни соотношениями: для любых х,у £

1) х-(х\у)=у\

2) х \ (х • у) = у .;

3) х \ х = е.

6. Топологический коммутативый моноид г сокращением < Л/,

- топологическая алгебра по ассоциативной и коммутативной бинар операции • с единицей и законом сокращения [3], в которой выполн условия:

1) Vа е. М а - М - замкнутое подмножесво в (Л/, г) ;

. 2) Уа € Л/. Х„ : (М, т) (ЛГ, г), £ах = а ■ х Ух 6 М , - открь отображение;

3) У а е М : (а Л/, г) -> (Л/,г) , !;'(« ■ х) = х Ух € Л непрерывнск> отображение.

Основная задача диссертации состоит в нахождении условий с; ствования вложений исследуемых т.-а. систем в топологические г пы. Очевидным необходимым условием существования таких вл ний является полная регулярность т.-а. систем. Пусть Ее - база ок|: ностей единицы е (по операции • ) т.-а. системы А =< А,0,т > топологической однородности рассматриваемых т.-а. систем глех что А вполне регулярна тогда и только тогда, когда У£/ € : прерывная функция / : (А, г) -> /, где / = [0,1] - единичный от^ с естественной топологией, такая, что /е = 0, ¡1^ = 1 ({// - дс

нение II). При этом но предполагается, что непрерывная функция / имеет какие-либо алгебраические свойства. Поэтому п топологической алгебре появляются возможности усиления аксиомы полной регулярности, достигаемые за счет наложения на непрерывную функцию / различных ограничений алгебраического характера. Значение таких дополнительных ограничений для решения основной задачи диссертации состоит в том, что они постулируют усиление взаимосвязи топологической и алгебраической структур изучаемых т.-а. систем, обобщающих топологические группы, до того уровня, который имеется п топологических группах, и, тем самым, обеспечивают существование вложений т.-а. систем в топологические группы.,

Для описания первого из введенных в диссертации типов алгебраического усиления аксиомы полной регулярности в §2 определено понятие базиса непрерывной функции.

Определеппе 4. Пусть / : (А', г) / — непрерывное отображение произвольного топологического пространства (.V, г) в единичный отрезок /, Б - всюду плотное подмножеству п (0,1]. Семейство Г = {рг = /~'[0,г) : г (Е О] называется базисом функции /.

Предложение 1. Непрерывная функция / : (А", г) —> / однозначно восстанавливается по своему базису Г:

/•г

тГ{г : х 6 />, гбО} при I € [) Гг;

(2)

1, при X £ и /V-

Гб/)

Предложение 2. Пусть в топологическом пространстве (Х,т) семейство непустых подмножеств Г = : г € С}, где О всюду плотно в (0,1], удовлетворяет условиям:

1) при любом г & й Рг- открытое подмножество;

2) для любых г,! 6 /) Г, С Г, при г < я — замыкание рг).

Тогда функция / : (А',г) —► /, определенная формулой (2), непрерывна, семейство Б является ее базисом.

Определение 5. Базис Г = = /~'[0,г) : г £ Б} непрерывной функции / : (А", г) -+/,/> = О, /£// = 1 для некоторой II £ Е,. определенной на носителе т.-а. системы А, называется мультипликативным по операции • , если для любых г, я (Е й при г < я существует Т'(г, я) = V € , для которой Г • Рг С Р,. В дальнейшем изложении мультипликативный базис бул1.г кратко называться.ш-базисом.

Определение 6. Т.-а. система А =< А, О, т > с бинарной операцией • £ О называется мультипликативно вполне регулярной по операции • или Ут -т.-а. системой по если для любой окрестности eU £ Ее 3 непрерывная функция / : (Л, г) -4 I с ш-базисом по •, такая, что ft = О, fU'= 1.

■ Выбор операции • в т.-а. системе А, по которой для установления условий существования вложения А в топологическую группу будет накладываться требование мультипликативной полной регулярности, определяется видом замыканий подмножеств в А: естественно выбирать операцию • так, чтобы из V ■ F, С F, следовало Fr С F,.

Предложение 3. В топологических, полутопологических группах и топологических лупах для любого подмножества X

VeE. V€£.

Предложение ,4. В паратопологических группах, топологических левых лупах и топологических коммутативных моноидах с сокращением для любого подмножества X

Х= П L-'х= П V\X.

veE, . ves.

Определение 9. Базис F={Fr : г € D} непрерывной функции / : (Л, г) /, /в = 0, fUl — 1 для некоторой U € £е, определенной на носителе т.-а.системы А, называется сильно мультипликативным или т*-базисом по операции •, если для любых г, s D при г < в существует У (г, s)'= V G £е, для которой V • Fr Л V • F¡ =0.

Определение 10. Т.-а. система А =< А,0,т > с бинарной операцией О называется сильно мультипликативно вполне регулярной по (операции ■ пли Тт• - т.-а. системой по операции • ,-если для любой окрестности U € £е 3 непрерывная функция / : («4, г) / с гп*-базисом по такая, что fe = 0 , fU¡ = 1.

Основной теоремой в §2, устанавливающей характер необходимых условий существования вложения т.-а. ' системы в топологическую группу,является

Теорема 6. ,|1юбая топологическая группа G =< G, - ,-1, г > сильно мультипликативно вполне регулярна по умножению •. Более того, для ¡ЛОГюй -отмечейной пары (U, V) окрестностей единицы G существует

непрерывная функция / : (G,r) -f / с т*-базисом по <', такал, что /V = 0, fU' = 1.

Замечание. Согласно определению 7 упорядоченная пара (U,V) окрестностей в т.-а. ситеме А называется -отмеченной, если 3 W € £е: W - V CU.

Теоремы о необходимых и достаточных условиях мультипликативной и сильно мультипликативной полной регулярности т.-а. систем, обобщающих топологические группы, а также о вложениях этих т.-а. систем в топологические группы содержатся в главах 2-3.

В §3 рассмотрен второй тип алгебраического усиления аксиомы полной регулярности.

Определение 11. Непрерывная функция N : (А,т) I на носите ле т.-а. системы А =< А,Оут > называется квазинормой по бинарной операции • € О с единицей е, если:

1. Ne = 0;

2. N(x ■ у) < Nx + Ny Ух, у & А.

Для т.-а. систем, у которых существуют отображения, обратные к левым трансляциям по •, вводится следующее обобщение классического определения [5] нормы на топологической группе.

Определеппе 12. Непрерывная функция N* : (А,т) I на носителе т.-а. системы А =< А, О, г >, в которой существует единица е по бинарной операции • Е О и существуют обратные к левым трансляциям по • отображения, называется нормой по операции •, если:

1. N'e = 0;

2. N*{Lezy) < N'x + N*y Ух,у <Е A,Ve = ±1.

Определеппе 13. Т.-а. система А =< А, О, т > называется ква-. зинормируемой (нормируемой) по операции • € О, если для любой окрестности е U бЕе существует квазинорма N (норма TV*), такая, что NU^ — 1 (N*Uf = 1). Квазинормнруемая (нормируемая) т.-а. система будет называться TV-т.-а. системой (7V - т.-а. системой).

Таким образом, в главе 1 введены следующие классы т.-а. систем:

Т,п - класс мультипликативно вполне регулярных т.-а. систем;

Тт• - класс сильно мультипликативно вполне регулярных т.-а. систем;

Тц - класс квазинормируемых т.-а. систем;

jf'jv* " класс нормируемых т.-а. систем.

Для исследуемых т.-а. систем, обобщающих топологические группы, установлены следующие отношения между введенными классами,

определенными по операции умножения • :

Э Тт. Э

• Т Э Тт ■ ТЛ- Э Г4 (3)

2 Tn Э

Все отношения Э в (3) строгие, кроме отношения Т,„ Э Тдг, для которою не удалось доказать несовпадение этих классов. Значение введенных классов т.-а. систем для основной задачи диссертации состоит в том, что, как показывают результаты глав 2-3, условия существования вложения т.-а. системы в топологическую группу состоят в принадлежности этой системы к одному из выделенных классов.

Связь между существованием на топологической группе семейства норм, определяющего ее топологию [5], и сильно мультипликативной полной регулярностью топологической группы устанавливается в предложении G и теореме 9.

Предложение 6. На т.-а. системе любая норма по операции ■ имеет ш* - базис по операции • .

Теорема 9. Норма^Л", опр< деленная на тополог ической группе G формулой N'r. — sup {\f(yr) — fy\ : у € (7}, является непрерывной тогда и только тогда, когда непрерывная функция /: (С.т) —> /, / с — 0, /(У = 1 для некоторой U € имеет ж'-базнс.

В конце §3 приведен простой пример, подтверждающий, что использование для определения нормы на топологической группе непрерывной функции, не имеющей гп' - базиса, приводит к нарушении! непрерывности нормы. Таким образом, сильно мультипликативная полная регулярность в формулировке теоремы G является наиболее сильным локальным тополого-алгебраическим свойством топологической группы пределяющим основное свойство топологической группы в Целом -ее нормируемость. Поэтому условия существования вложения т.-а. системы, обобщающей топологическую группу, в топологическую группу должны постулировать усиление взаимосвязи топологической и алгебраической структур т.-а. системы до сильно мультипликативной полной регулярности этой т.-а. системы.

Глава 2. Вложение в топологические группы ассоциативных тополого-алгебраических систем.

3 §§1-2 этой главы рассматривается общая для полу топологических i паратопологических групп задача: при каких условиях эти обоб-цения топологических групп будут топологическими группами? Эта >адача допускает интерпретацию, непосредственно связанную с общей задачей диссертации: найти необходимые и'достаточные условия, при наполнении которых тождественное отображение полутопологичсской 1лн паратопологнческой группы на себя является вложением этой т.-а. истемы в топологическую группу. Логическое построение обоих параграфов одинаково: изучаются свойства базы окрестностей единицы юлутопологическон и паратопологнческой группы и выясняется, какие дополнительные свойства этой базы превращают эти т. а. системы в топологические группы. Этим методом доказаны

Теорема 1(§1). Полутопологическая группа G =< G, т > 1вляется,топологической группой тогда и только тогда, когда G мультипликативно вполне регулярна по операции •.

. Следствие, ida является вложением полутопологпческой группы 3 в топологическую группу G <=> полутопологическая группа G — T,n т.-а. система по ■ Теорема 1(§2). Паратопологнческая группа G =< G, ,г > шляется топологической группой тогда и только тогда, когда G мультипликативно вполне регулярна по операции \: т\у = х~1 -у Vj-, у £ G.

Следствие 1. Па1>атопологическая группа G является топологической группой <=> паратопологнческая группа G - Т,„- - т.-а. система ю операции • .

Следствие 2. ida является вложением паратопологнческой группы 3 в топологическую группу G <=> паратопологнческая группа G - Т„,-• т.-а. система по •.

В §3 рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условиях существования вложения топологического коммутативного моноида с сокращением в топологическую группу частных [3]. Для решения этой задачи проведено построение группопой топологии 5 на группе частных хаусдорфова коммутативного моноида с сожалением и доказана

Теорема 3(§3). Вложение топологического коммутативного мо--юида с сокращением < Л/,-, г > в его топологическую группу част-

них < С, о,"1> существует тогда и только тогда, когда моноид < М,-,г > кьазинормируем, то есть является Тн - т.-а. системой.

Глава 3. Вложения неассоциативных тополого-алгебраических систем в топологические группы.

Эта глава посвящена изучению топологических левых луп (т.л.луп) как наиболее общих из т.-а. систем с топологически однородными носителями, для которых существуют алгебраические вложения в группы.

В §1 систематизируются основные алгебраические свойства левых лун, частично изложенные в [б]. Пусть £3 =< <5,-,\ > - левая лупа. Левые трансляции Ьа\ ф ф, Ьах = о • х, являются биекциями

и порождают в симметрической группе множества С? подгруппу £ = < I/, о,-1 >, называемую левой ассоциированной с О группой (л.а. группой). Действие £ х О —> £! индуцируется действием симме-- трической группы С} на (¡). Стабильную подгруппу единицы £ С) при действии * обозначим в, =< 5е,о,-1 >. В [6] доказано, что группа £ изоморфна полупрямому произведению левой лупы £} и группы <Зе, а изоморфизм имеет вид (а, з) н-> Ьа о е.

Алгебраическая структура левой лупы £1 выражается через алгебраическую структуру группы £ следующим образом. Множество <5 = {Ьа : а € <5} является сечением расслоения (£,р,£/ бе), где р - каноническое отображение группы £ на множество £/©е се левых смежных классов по подгруппе в«. Определим проекцию пд : Ь <5,

7гр1 — Ьие VI 6 Ь. На <5 введем бинарные операции Д и \:

/

ЬхАЬу = о Ьу), Ьх\Ьу = ЯС}(Ь~1 оЬу)

Тогда ¿2 =< д,Д,\ > - левая лупа с единицей Ье, изоморфная исходной левой лупе £}. Изоморфизм (р : £} —► £}, <рх = Ьх Ух € <5, называется алгебраическим вложением левой лупы ¿1 в группу £. Основной целью этой главы является распространение этой конструкции вложения О в £ на случай т.л.лупы.

В §2 изучаются общие свойства т.л.луп и, в частности, свойства базы Ее окрестностей е т.л.лупы. §3 посвящен исследованию мультипликативной полной регулярности т.л.луп. Основным результатом в нем является

Теорема 1. Т.л.лупа Q =< Q, -,r > является мультипликативно вполне регулярной по операции \ тогда и только тогда, когда семейство В \-отмеченных пар окрестностей е (см. замечание к теореме б главы 1) удовлетворяет условию уплотнения: V(i/, V') <Е В ЗТ £ Е„ :

(U,T\v)eB,(T\v,v)eB.

В §4 исследована задача о вложении т.л.лупы в топологическую л.а.группу.

Определение 7. Отображение уэх = Lx Vx € Q т.л.лупы Q —< Q, т > в топологическую группу £ =< £,о,-1 > называется вложением т.л.лупы О. в группу £, если <р - гомеоморфизм (Q, г) на сечение (Q, Т) расслоения (£,р,£/(Зе), где р - каноническое отображение топологической группы £ на пространство £/бс левых смежных классов £ по замкнутой подгруппе ве.

Для построения на группе £ групповой топологии .'F, обеспечивающей существование вложения т.л.лупы £3 в группу £ , на т.л.лупу О накладывается условие ее инвариантной нормируемости.

Определение 8. Упорядоченная пара (0\Х, Оух) окрестностей элемента х т.л. лупы О. называется отмеченной, если 31V <Е Е, : W ■ 02х П W ■ (Оц)' = 0.

Определение 10. Норма N лш т.л.лупе инвариантна, если:

1. W G L функция N о£ : (Q,t) I имеет га* - базис F = {Fr: г g

DY,

2. базис F функции No( удовлетворяет условию: Vij £ Q, Vr,s £ D при г < s ЗГ € Ee (Г = Г(<7, г, в)) : ЯТ ■ Fr П qT • Fl = 0.

Олределенкз II. Т.л.лупа £2 называется инвариантно нормируемой, если для любой отмеченной пары (Oiz, Огх) окрестностей произвольной точки х € Q существует инвариантная норма /V, такая, что N{L~*0-ix) — 0, N(LxlO\x)l = 1. Эта норма N называется нормой, подчиненной отмеченной парб_ (Oix, Oix).

Требуемая для вложения инвариантно нормируемой т.л.лупы Q d группу £ групповая топология F на £ определяется через семейство норм на группе £ =< L, о,-1 >. Это семейство норм строится так. Пусть (012,021) j отмеченная пара и N - подчиненная ей инвариантная норма на Q. С помощью функции Nx — N о L~] на группе £ =< L, о,-1 > определяется норма Мх формулой MJ = snp{\NT(*y -Nxy\ ■ У 6 Q} W е L. В качестве предбазы 5S* окрестностей единицы Lt группы £ в топологии Т берется семейство подмножеств вида {( £ L : Мх( <1} для норм Мх, определенных по произвольным отме-

ченным парам окрестностей точек т.л.лупы Q. Итоговой теоремой в §4 является

Теорема 7. Пусть £5 --< Q,-, г > - инвариантно нормируемая т.л.лупа. Тогда на ее л.а.группе существует такая топология ТУ что £ —< L, о, Т > - топологическая группа, а отображение у> : (Q, т) —> (L,F), if.v — Lz Vx € Q, является вложением т.л.лупы Q в л.а.группу £ =< 1,0,-' >.

Замечание. В проведенном доказательстве существования вложения инвариантно нормируемой т.л.лупы О. в топологическую группу £ =< L,o,~] > при построении топологии Т вместо нормы N, подчиненной отмеченной паре (Оможно использовать любую непрерывную функцию / : (Q,t) —> I, для которой f(L~4)ix) = О, f(L~]0\х)! = 1 и сильно мультипликативный базис которой удовлетворяет условиям 1-2 определения 10.

ЦИТИРОВАННАЯ В АВТОРЕФЕРАТЕ ЛИТЕРАТУРА

1. Математическая энциклопедия, статья "Топологическая алгебра". -М.: Советская энциклопедия, 1985. - том 5. -С.366-367.

2. Бурбакн Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства,- М.: Наука, 1969. -390с.

3. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. - М.: Физматгиз, 1962. -396с.

4. Мальцев А.И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 1970. -392с.

5. Марков A.A. О свободных топологических группах // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1945. -Т.9, -N1. -С.3-64.

6. Сабинин Л.В. Аналитические квазигруппы и геометрия.- М.: Изд-во УДН, 1991. -112с.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сессу П. К теории паратопологических групп//'Тезисы докладов XXIX научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН. -М.: Изд-во РУДН. 1993. -4.2 - С. 34.

2. Сессу П. Вложение топологической коммутативной полугруппы с сокращением в группу частных//Тезисы докладов XXX научной конференции факультета физико-

математических и естественных наук РУДН. -М.: Изд-во РУДН. 1994.

- 4.2 - С.31.

3. Сессу П. Построение квазинорм на топологической коммутативной полугруппе с сокращением//Тезнсы докладов XXXI научной конференции факультета физико-

математических и естественных наук РУДН. -М.: Изд-во РУДН. 1995.

- 4.1 - С.59.

4. Сессу П. Вложение инвариантно нормируемой левой лупы в левую ассоциированную группу//Тезисы докладов XXXII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН. -М.: Изд-во РУДН. 1996. -4.2 - С.7-8.

5. SESSOU P. Metrized theorem for locally compact, connected left loops with an invariant uniformity//We be & Quasigroups. - Tver: Tver gov. Univ. 1995. -p. 110-113.

6. Сессу П. Топологические левые лупы//Вестник РУДН. Сер. Математика. - 1996. - N3(2), - С. 29-41.

7. Сессу П., Булгаков Д.Н., Пнньон Х.Д. Цостроение квазинорм на тополого-

алгебраических системах//Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-

математических и естественных наук РУДН. -М.: Изд-во РУДН. 1995.4.1 - С.58. -

8. Сессу П., Булгаков Д.Н., Пнньон Х.Д. Мультипликативная полная регулярность тополого-алгебраическнх систем//Вес*гник РУДН. Сер. Математика. 1995. - N2(1) - С. 10-20.

9. Сессу П., Булгаков Д.НУ Пнньон Х.Д. Кв&зинормы и нормы на тополого-

алгебраических системах//Вестник РУДН. Сер. Математика. 1996. -N3(2), - С.21-28.

10. Сессу П., Булгаков Д.Н. Характеристические свойства топологических групп //Тезисы докладов XXXIII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН. Мате-, матические секции. -М.: Изд-во РУДН. 1997. - С.15.

СЕССУ Поль (Бенин)

"КЛАССЫ TOIIO ЛОГО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ УСИЛЕНИЯМИ АКСИОМЫ ПОЛНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ"

Исследуются условия существования вложений обобщений топологических групп (полутопологических групп, паратопологических групп, топологических коммутативных моноидов с сокращением и топологических левых луп) в топологические группы. Определены новые классы тополого-алгебраических систем, занимающие промежуточное положение между классами вполне регулярных и нормальных систем, и доказано, что условия существования вложения тополого-алгебраической системы в топологическую группу состоят в принадлежности тополого-алгебраической системы одному из выделенных классов.

_ Полученные результаты позволяют использовать для исследования обобщений топологических групп развитую теорию топологических групп.

SESSOU Paul (BENIN)

"CLASSES OF TOPOLOGICAL-ALGEBRAIC SYSTEMS DEFINED BY ALGEBRAIC STRENGTHENINGS OF THE COMPLETE REGULARITY AXIOM"

The conditions for the existence of embeddings of topological group's generalizations (semitopological groups, paratopological groups, topological commutative monoids with cancellation, topological left loops) are studied. New classes of topological-algebraic systems situated between the class of complete regular systems and the class of normal systems are defined. It has been proved that the existence of required embeddings is connected with the belonging of topological-algebraic systems to one of introduced classes.

The obtained results make possible to apply the theory of topological groups for the investigation of topological group's generalizations.