Структуры подчинений, связанных с отображениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, !

ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.12

МАТВЕЕВ Владимир Александрович

СТРУКТУРЫ ПОДЧИНЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ОТОБРАЖЕНИЯМИ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

-1990

Ка.(5ота выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.Б. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физ.-мат. наук,

профессор В.И. Пономарев.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор В.И. Малыхин,

кандидат физ.-мат. наук, и.о. доцента В.П. Норин

Ведущая организация: Ленинградское отделение

Математического института им. Стеклова АН СССР

Защита состоится 'ОСУ9 Ч_1990 г. в 16 часов

на заседании специализированного Совета № 2 по математике /Д 053.05.05/ при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ. .

/Автореферат разослан " ' _1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета № 2 по математике при МГУ, доктор физ.-мат. наук

В.Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Еще в 1908 году в работе*' были сфор-улированы аксиомы, описывающие понятие близости пар множеств, отя введённое в ней понятие неэквивалентно классическому определению отношения близости, оно ему аналогично. Понятие близос-и в современном варианте изложены в 195Г году в работе*^. Ана-из пространств близости проведён в работе®', опубликованной в 952 году, в которой одним из основных результатов является тео-ема о существовании изоморфизма между множеством близостей на ихоновеком пространстве и множеством бикомпактных расширений того пространства. В 1958 году была опубликована работа^', в оторой определено отношение подчинения на тихоновском прост-анстве, аксиомы которого эквивалентны аксиомам близости. Так же оказано, что существует изоморфизм ыезду множеством подчинений а пространстве и множеством его бикомпактных расширений.

/R¿esx F. БЫ^ЫЬЦчгДО- anci aßsttafete. JUe^i-n.-ieltte.//In:/liii ofe^ IV CoitgtASso rrt-W^ofiton-atü ofec lUaWtlci. Ren*a.iit>4.V.H.-RowioL.li03.'Pp.l*-2ff. . 2/

' Ефремович B.A. Инфинитезимальные пространства// ДАН СССР. 1951. Т.76. С.341 - 343.

I Смирнов D.M. О пространствах близости// Матем. сб. 1952. T.3I. .543 - 574.

^ Александров П.С., Пономарёв В.И. О бикомпактных расширениях отологических пространств// ДАН СССР. 1958. T.I2I. С.575 - 578.

- I -

В вышедшей в 1953 году в работе®' вводится понятие биком-пактификации отображения топологических пространств. Исследования этих биконпактификаций были продолжены в работе®'. В работе"" определено понятие -бикомпактификации отображений со свойством ^vjL , частным случаем которых являются тихоновские отображения.

В работах8' и определяется понятие юг-близости, обобщающее понятие близости, и доказывается, что существует взаимно однозначное соответствие между па-близостями на пространстве X согласованными с топологией на X , и всеми отделимыми биком-пактификациями непрерывного отображения X ~—* Y регулярных f-L -пространств.

С другой стороны в работе*®' определяется понятие 9-близости на Т* -пространстве V и доказывается, что существует

5/WUêutn G-T. А стфес( space |ог wto-ppi^s // Ttafts. Аулы. Soc.. 1Ч£1.УЛЧ. ?Р.ЪЧЧ-Ъ50. ^CainG.L. io*npù.idi^LzCLbion% e| Hn.0Lppîriys// Ргсс. Am*. Mailt. Soc.. '136?. Y.2 Ъ. til 2 . Pp. 23i~ 303. " Ульянов B.M. О бикомпактных расширениях счётного характера, и абсолютах// Матем. сб. 1975. Т.98. W- 2. С.223 - 254.

Норин В.П. 0 близостях 'тля отображений// Вестник Моск. ун-та, Cep.I. 1982. Р 4. С.ЗЗ - 36.

9' Норин В.П. 0 ^.-близостях и теореме Смирнова// Сб. Отображения и функторы. М., МГУ. 1984. С.59 - 66.

Ю' Федорчук В. В. Совершенные неприводимые отображения и обобщённые близости// Матеи, сб. 1968. Т.76. IP 4. С. 513 - 536.

зоморфизм между множеством этих близостей и множеством пар ИХ,О > где X У - ©-совершенное неприводигэе отоб-ажение, а бХ - бикомпактное расширение пространства X .

В работе**^ на Та "Пространстве определяется понятие лояльной близости и устанавливается изоморфизм между множеством жальных близостей на этом пространстве и множеством его 0 -со-зршенных неприводимых прообразов.

В недавно опубликованной работе*^ на тихоновском отображе-т определены близости, позволяющие описать все тихоновские би-шпактификации этого отображения.

В настоящей диссертации исследуются структуры подчинений, мзанннх с отображениями.

Цель работ». Определение структуры подчинений на отображении исследование их связи с бивомлактификациями этих отображений и совершенными неприводимыми прообразами топологических прост-

1НСТВ. *

Научная новизна. Основные результаты диссертации: Установление внутреннего критерия отделимо бикомпактифицируе-го отображения.

^ Стреколовская Н.С. О 0-совершенных неприводимых прообразах усдорфовых пространств// Вестник Моск. ун-та. Сер.1. 1980. С 5. 54 57.

^Пасынков Б.А. Близости на отображениях// В сб. Общая тополо-я. Пространства и отображения. М., МГУ. 1989. С. 99-113.

- 3 -

2. Определение подчинения на отображении топологических пространств и построение изоморфизма между всеми классами эквивалентных подчинений на непрерывном отделимом отображении и всеми отделимыми бикомпактификацияыи этого отображения.

3. Определение ¿-подчинения на топологическом пространстве и построение изоморфизма между всеми классами эквивалентных ¿-под чинений на данном пространстве и всеми его отделимыми совершенными неприводимыми прообразами.

Полученные результата являются новыми.

Применение. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение для построения и исследования бикомпактификаций отображений и совершенных неприводимых прообразов топологических пространств.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на кафедральном семинаре кафедры общей топологии и геометрии Московского университета, на ежегодном Всесоюзном топологическом семинаре имени П.С. Александрова в 1986 году и на Бакинской международной топологической конференции в 1987 году.

Публикации. Результаты диссертации изложены в трёх статьях.

Список статей в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав. Библиография - 38 непваний.

- 4 -

СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Под отображением всюду понимается непрерывное отображение топологических пространств.

В первом параграфе первой главы вводятся необходимые обозьа-гения и определения.

Для отображения |: X--*У упорядоченную пару множеств

(А, СО назовём допустимой, если О - любое открытое в У шожество и . При этом допустимую пару (А , 0") бу-

(ем считать открытой или замкнутой, если множество А соответст-шнно открыто или замкнуто в ^(Т . Через (А ,СГ) обозначается [ара (СА"]п| 4(Г, С) . Для допустимых пар соотношение ( А, СГа) £ С СЬ.СГ») означает, что А П в Ь . Если А, & 5 X и ^ £ У , то соо ношение А & обозначает, что существует ■акая окрестность У точки ^ , для которой справедливо жлючение

. Соотношение п ~ !$ о означает, что пополняются А^ Ь и 5у А одновременно. Если же АПВал

то множества А и В назовём ^ -дизъюнктными. Откры-ое множество £1 £ X назовём у -окрестностью множества А ^Х ¡ля некоторой точки ^ € У , если А ^ IX.

Если А,Ь -X и , то множества А и Е> будем [азывать ^-функционально отделимыми, если существует окрест-ость 0*2 У точки ^ , такая что множества А Л^СГи ^ функционально отделимы в £ О' •

Отображение

называется хаусдорфовым или отде-имым (функционально отделимым ) , если для любых точек х, эс' € X таких, что эсрх и , множества {«I и{х'1

имеют

^X-дизъюнктные -окрестности ( \х. -функционально отделимы).

Отображение | называется регулярным (вполне регулярным) ,

если для любой точки эс еХ и любого замкнутого в X множества Яфх множества {х} и Р имеют ^«-дизъюнктные -окрестности ( ^-функционально отделимы) . Вполне регулярные отделимые отображения называют тихоновскими.

Отображение | называется нормальным (функционально нормальным ) , если для любой точки ^ V любые ^ -дизъюнктные замкнутые в X множества имеют ^-дизъюнктные ^-окрестности (у-функционально отделимы ),

Через 0.' обозначим множество всех двоично рациональных чисел интервала (О; I) . Если 4= & Q - несократимая дробь, то число Я^О - И- назовём рангом числа 1- .

Для допустимых для отображения $ пар (А,со и (6,а) и точки ^ ест последовательность открытых пар а*-Ми,его : 1 £ ОЛ назовём ^-последовательностью, если для любого 1 6 О. всегда ^ 6 Ог € 0" и '(Л»0г} ССи*.,СГО с (Цч, о\) 2 <к ( 6>,С) и для любых чл'6 0 из \ < г' следует, что

ЙС1') следует, что О г £ <к (Гг.'. Если через обозначить множество всех с^ -последовательностей для пар ( &, 0" ) и

то семейство

назовш е1-семейством для пар ( А,О") и (В> О") , если для любой точки ^ € 0Г множество и семейст-

во и, согласованное, то есть для любой точки еСГ произвольной ^-последовательности 0^= {(1и,Сг).'1 в Ф Ъ 6 любых

чисел 0. , где X < г' , и каздой точки у 04 Л 0»' су-

ществуют (^'-последовательность = {((¿4,0 г): г &С2} 6 Д^' и числа О- , где ц, , такие, что 0.1 1С у, к (1р'

ёу' (Л*1. Если существует хотя бы одно о( -семейство для пар (А, О) и (Ь,СО , то этот факт обозначим соотношением

СВ,сг).

Отображение назовём а-регулярным, ес-йи для

аобой топки освХ и любого замкнутого в X множества F^x существует окрестность

точки fx такая, что (i3C^,0')Sot

е* (Гол'Р.сО.

Отображение X -*Y называется d -нормальным, если

(ля любой точки ч £ Y

и любых ^-дизъюнктных замкнутых в X тожеств F и существует такая окрестность С £ Y точки 3 , что (Рл С) Ge< (£-*СГ\<Р,СО.

Заметим, что понятия ¿-регулярности и (¿-нормальности отображений являются новыми.

Во втором параграфе рассматриваются свойства ^-регулярнее и ¿-нормальных отображений.

Предложение I.2.I. Всякое ci-регулярное отображение явля-1тся регулярным.

Предложение 1.2.2. Всякое вполне регулярное отображение яв-гяется с£-регулярным.

Предложение 1.2.3. Для замкнутой пари

(F, (У)

и открытой

(ары (.U-, О") нормального отображения X—*Y соотношения (р,а)ем(и,сг) и CF,cr) s (а,а) эквивалентны.

Следствие 1.2Л. Для любого непрерывного отображения :войства нормальности и d-нормальности эквивалентны.

Лемма 1.2.3. Если отображениеУ. ■—> Y регулярно и нор-гально, то для любого X ' - X отображение | ]у' будет d-ре-улярным.

В третьем параграфе рассмотрены свойства бикомпактных (S совершенных ) отображений.

Предложение I.3.I. Отделимое (функционально отделимое ) бикомпактное отображение X ~ *Y регулярно и нормально (тихоновское и функционально нормальное ) .

- ? -

Для отображения I*.X -»У и точки "¿¿У систему {Ал

назовём ^ -центрированной, если для любого конечного множества всегда П Ас ^ $ .

Теорема 1.3.1. Отображение |: X ->4 бикомпактно тогда и

только тогда, когда для любой точки У и любой (^.-центрированной системы

6"= {F¿: ¿е<У1\

замкнутых в А множеств

множество ( рл Л непусто.

Отделимое (тихоновское) отображение 4Х—* У называется отделимой (тихоновской) бикомпактификацией отображения

X -* У , где ИХ] у - X , если X является всюду плотным подпространством пространства &Х , - бикомпактно и

Если 'У и —ГУ - отделимте бикомлактифи-кации отображения X ->У , то соотношение означа-

ет, что существует отображение такое, что Узе = ос

для любой точки хбХ и •

Вторая глава диссертации, состоящая из четырех параграфов,

посвящена определению подчинения на отображении X-* У и

установлении изоморфизма между множеством классов эквивалентных подчинений на отображении | и множеством его отделимых бшеом-пактификаций.

В первом параграфе определяется отношение подчинения на отделимом отображении.

Пусть

X -'У

- отделимое отображение и

Скажем, что на отображении задано отношение подчинения \Х , если для каждой замкнутой пари и любой открытой пары известно «г-подчинена первая пара второй, что обозначается соотношением (Р>0')<хг(и , СГ), или нет. При этом должны выполняться следующие аксиомы:

К1. Если (Р,СО<Ли, СГ) , то (|"МП11,СП<Л|чОЛР, со. К2. Если (Р,СТ )<«*■№, О") , то (Я, о") ЯШ,(Т). КЗ. Если (^(Г)« (Р,СГ)<.г1и)СГ)с то

СГ) <«г (и*, СУ).

К4. Если (Рс.ОЧ то (Р<_Л ^, СГ4 п

(и* пиа,агпаа).

К5. Если (Р, 0")<о-(и,СУ,) , то для любой точки СГ существует открытая пара (а', а") такая, что и бегает и (рл^о-;

сг')<»-си,| а") с (Тог) (ил^о-', О").

Кб. для любого открытого множества (У £ У .

К7. Для любой точки х€X и для любой её окрестности (X ^Х существует такая окрестность О* ^ Х точки , что (Т)<«г

<>г (ал^-'сг, СГ).

Если 1Г - подчинений на | и ^ V , то соотношение I" и. для замкнутого Р *=• X и открытого Ц - X множеств означает, что существует окрестность СГ Я \ точки ^ такая, что С РЛ^О*, СГ) <*-( и Л^СГ, С).

Пусть и иг - подчинения на { и ^ & V . Будем писать \Гц. 5 иЗ^ , если из любого соотношения (Д. следует, что р^иг^ 1С ; будем считать, что иГ , если ^ 5 иГ^ справедливо для любой точки ^ &4/ ; будем называть и" и иг~ эквивалентными, если одновременно <х«иг и иг ¿и'.

Таким образом множество всех подчинений на отображении \ разбивается на классы эквивалентных подчинений.

Теорема 2.1.1. Если на отображении задано про-

извольное подчинение \Г й (Р,0'^<^(С1,Ог),то ( Р, <Т) £«(.

Си, СГ).

Следствие 2.1.1. Если на отображении £ существует калое--либо подчинение \Г , то это отображение будет (¿-регулярным.

-9-г

Теорема 2.1.2. Если отображение является с/-ре-

гулярнш, то отношение и. такое, что для замкнутой пары (Р, О") и открытой пары (И, С ) соотношение

(11, С) выполняется тогда и только тогда, когда , является подчинением на £ .

Следствие 2.1.2. На ¿-регулярном отображении существует хотя бы одно подчинение.

Теорема 2.1.3. На отделимом бикомпактном отображении IX ■ -» У всякое подчинение эквивалентно подчинению и. .

Во втором параграфе строится биективный оператор

V

, который каждому классу эквивалентных подчинений на отделимом отображении {'.X -»У , где У, ставит в соответствие

отделимую бикомпантификацию

^'.и-Х —"У .

Основная теорема I. Отделимое отображение

?:Х-'V,

у которого С|Х1у = У , имеет отделимую бикомпантификацию тогда и только тогда, когда оно является с( -регулярным.

Этот результат является новым и отвечает на вопрос, поставленный в работе*^.

В § 2.3, для подчинений V на отображении ^ "X1 —>У<. и иг на |а: X» —* X и для отображений д .* Х1 —»X* и Т: У*- * У», таких, что ¥»]!<. = !» • £ , определяется С и*,иг) - равномерная непрерывность пары ) , что означает следующее: для любой точки и ДОЯ любого соотношения справедливо

соотношение р с^"1 и для любой точки

Теорема 2.3.1. Если пара , У ) является (с, иг} -равномерно непрерывной, то существует отображение ^¡«-Х* * игХг * такое, что •=» и • При этом отображение

^ будет единственным.

Теорема 2.3.2. Если существует отображение '. —* чгХг такое, что У » = •> с| и ^ ^ , то пара бу-

дет -равномерно непрерывной.

Основная теорема 2. Построенный в § 2.2. оператор V осуществляет изоморфизм частично упорядоченных множеств: множества всех классов эквивалентных подчинений на отделимом отображении X "У и множеством всех его отделимых бикомпахтификаций.

В четвёртом параграфе рассматриваются подчинения, у которых аксиома К5. усилена до аксиомы Кб'

К5.' Если (Р,(У)<<г(и,а), то существует открытая пара {.и\СХ) такая, что (р.сг'Кч-Си'.о-) с (и-.сг) <и- (а,(Я .

Основная теорема 3. Построенный в § 2.2. оператор Л/ осуществляет изоморфизм частично упорядоченных множеств - всех классов эквивалентных подчинений, каждый из которых содержит хотя бы одно подчинение с аксиомой Кб/, на отображении £ и всех его тихоновских бикоыпактификаций.

Третья глава состоит из четырёх параграфов.

В первом параграфе вводится понятие ¿'-подчинения на произвольном пространстве X .

Упорядоченную пару множеств (А, а) назовё* допустимой, если (7 - любое открытое подмножество пространства X и А 5 0. Допустимую пару (А, С ) будем называть открытой или замкнутой в зависимости от того, открыто или замкнуто множество А в 0" , Соотношение (А.СГс) С СБ,О означает, что < А^ А СГа - С В>1, где - внутренность множества А , а соотношение А С * 6>

для некоторой точки хб-Х" означает, что существует окрестность СГ£ X точки * такая, что <А> ПО1 ? [В-] .Для допустимой пары (А.,СГ) г*ерез (А, С) обозначается пара (ЕАЗ^пС, С) .

Скажем, что на X задано ¿-подчинение о" , если для любой замкнутой пары (Р.О") и любой открытой пары (и., а) известно, выполняется соотношение (Р,СО<чг (и, сг) или нет, для которого должны выполняться следующие аксиомы: А1. Если (Р,(Г)<и-СОС>СГ) , то (ОЛИ, СГ) <о-(олр, ст). А2. Если (Р.СО«*-(Ы., СГ) , то {Р, СГ) С'(и, (Г). АЗ. Если ( Р, СГ ) <«•( и, О') С (У ) , то (р1,

сг) <и- СГ ),

А4. Если (р£ , (Ус) < V Шс, (Те) ,¿-1,*., то СР^. п Ра, 07 П1Г»)<и-

<и- ЦипЦ^ОглСг). , '

А5. Если ( Р, С) <«■ (Ц , 0") , то для любой точки ^€0" существует открытая пара (.(/.', V') такая, что у еС'йСГ „

(РП О"', С ) (Сб', 0*'} £ га; (7') <Г (и ПО", &').

А6. О") (0, С) для любого открытого О" 2 X .

Если на X задано ¿-подчинение V и эебХ , то соотношение Р *>»г*. Ц для замкнутого и открытого множеств означает, что существует такая окрестность О - X точки ос , что (Я П (7, С )

Если на X заданы два ¿-подчинения V и иг , то для точки хсХ соотношение ЛГ» $ игж означает, что из любого соотношения Я 1Д. следует, что

Ь <«х» и. . Е1удеы писать С « иГ , если и"* < иСГ»с дк? любой точки хбХ. Если одновременно \rivT и иг ^ \г , то и иГ будем называть эквивалентными. Теорема 3.1.1, Для замкнутой пары

и открытой пары

(11,0") соотношение

удовлетворяет аксиомам С-подчинения на X , которое обозначим через и. .

Следствие 3.1.1. На любом пространстве X существует хотя бы одно с-подчинение.

Теорема 3.1.2. Если «Г - <-подчинение на X , ю и1

Теорема 3.1.3. Всякое I -подчинение на экстремально несвязном пространстве X эквивалентно 1С .

Во втором параграфе строится биективный оператор 1 , который каждому классу эквивалентных ¿-подчинений на X ставит в соответствие совершенный неприводимый отделимый прообраз \гХ пространства X с проекцией .

В третьем параграфе для непрерывного отображения У'. X—•'У и /-подчинений V п ккГ на X и V соответственно доказываются следующие теоремы:

Теорема 3.3,1. Если существует отображение * и;У

такое, что = , то для любой точки ^ еЧ из любого со-

отношения р^иг^и. следует, что ГЧ'КР^З для

любой точки х^У"4^.

Теорема 3.3.2. Если для любой точки £вУ из любого соотношения следует, чтоТ для любой точки зс&Т"1^ , то существует, и притом единственное, отображение

\гХ -► игУ такое, что = •

Основная теорема 4. Построенный в § 3.2. оператор Г осуществляет изоморфизм частично упорядоченных множеств - всех классов эквивалентных с-подчинений на X и всех совершенных отделимых неприводимых прообразов пространства X •

В четвёртом параграфе рассматриваются ¿-подчинения с аксиомой А5.', которая является усилением аксиомы А5. А5. Если

(Р,V) С) , то существует открытая пара (и',

сг) такая, что СР, СГ ) :(«,', от) 5 ( и.', О) <0- (и, О).

Основная теорема 5. Построенный в § 3.2. оператор Г уста-. навливает изоморфизм частично упорядоченных множеств: множества всех классов эквивалентных •£ -подчинений, содержащих хотя бы одно < -подчинение с аксиомой Аб/, на пространстве X и множества

всех совершенных тихоновских неприводимых прообразов пространства х.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.И. Пономарёву, профессору В.А. Пасынкову и доценту

B.М. Ульянову за поддержку, внимание к работе и полезное обсуждение ее результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Матвеев В.А. О ^«.-бикомпактификациях отображений//Топологические пространства и их кардинальные инварианты. Межвуз. сб.. Устинов. 1986. С.43 - 45. |

2. Матвеев В.А. Об отделимых бикомпактификациях отображений// Вестник Моск. ун-та. Сер Л. 1988. И? I. С.94 - 95.

3. Матвеев В.А. О совершенных неприводимых прообразах топологических пространств// Вестник Моск. ун-та. Сер.1. 1988. № 4.

C.80 - 82.