Аналоги "Принципа длины и площади" и некоторые граничные свойства отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На чравах рукописи УДК 517.51:519.Г

КУЗАРЕВ Ео-чс Павлович

АНАЛОГ'1 "ЛР'АЩИПА .фиши И Г1Л0ЭДД " И НЕКОТОРЫЕ ГРАНИЧНОЕ СБОЖТЕА ОТОБРАЖЕНИИ

Л.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических не_к

Новосибирск - 1990

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и механики при Томском .'осударственном университете.

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН СССР, доктор физико-математических наук, профес >ор Л.Д.Кудрявцев;

доктор физико-математических наук, профессор В.йиЫиклюков;

доктор физико-математических наук, прож¿ссор А.В 1ычёв<,

Г1душая организация: Институт математики АН УССР,

Зааита диссертации состоится "_"______19Э_ г.

в ____ час, на заседании специализированного совета

Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики СО АН СССР / 630090 /, Новосибирск, Ушверцитетский пр., 4 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики о0 АН СССР.

Автореферат разослан "_"___199_ г„

Ученый секретарь спецкализировашюго совета при Институте математики Си АН СССР доктст физико-математических наук

ОНВ.С.Бзлоносов

/

ОКДДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Признанные и эффективные методы и результаты теор'ли квазиконформных отображений на плоскости, основы которой заложены в 20-х - 30-х год^< классическими работами Г.Грет^а, У.А.Лаврентьева и Л.А ьфорса, нашли широкое применение как в само Я математике, так и в гидродинамике, теории упругости, газовой динамике и другие разделах механики.

К концу 30-х годов от^остся первые рассмотрения лростран-ствени"х квазиконформных отображений ( М.А.Лаврентьев) в сзяоИ с поиском под-одглего математического аппарата для описания к изучения некоторых явлений гидродинамики. М.А.Лаврентьев сформулировал такяе ряд задач, решение которых сыграло существенную роль в развити., теории псостранственных квазиконформных отображений.

Работы Б.В.Рабата и В.А.Зорлча положили начало примет...ию метода модулей к исследованию квазикс формных отображений а пространстве.

фундаментальный вклад в обаую метрическую теор:ю простр-Л-»'венных отображений внесен Ю.Г.Релетняко*1 и его школой- Ю.Г.Ре-петняком развита теория пространетвенн. х отображений с огранм-ченнь'ч искажением ( неоднолистных квазиконформных отображений) и связанная с не" теория устойчивости в геометрии и э"ализе.

Систематическое изучение классов квазиконформных и боле1) обакх от бргжен.я в ьросгран"Тве началось с 60-х годо:,. основная заслуга в развитии этой теории принадлежит советски.., финским и америк некий математикам. Неотъемлемой гс^ествеи-юй

частью развивающейся общей метрической теории отображений являются исследования граничных свойств плоских и пространственных

отобракеняр.,

кз.учеьие ряда связагешх с отображение;-! вопросов негрическо-/0 характера и некоторых вопросов, касающихся граничного поведения отобрклокаей фикция \ , мокно вести при более слабых ограничениях на } „ чс.ч,. например, требования аналитичности или квагчкоисЬорл ости. Так в по е зрения математиков появились классы Ы- отображений с нонечнкм лнтегралог Дирихле С или интегра-яог„ типа Дирихле; например, ВС - отображения). -Здесь прежде .•-сего следует отметить работы Л.Д.Кудрявцева, первые из которых откосятся еше к пятидесятым годам.

Класс оформился как объект теории плоских отображений

в раОотах й.Делон-5ерран и Г,Д.Суворова в середине 50-х - начале 60-х годов, когда был^ замечено, вдо неравенство, известное в •геор/ аналитических функций как " принцип длины и шхошоди",можно пспс ьзовать для изучения отображений более общих, чем конформные.

Об -истуалькости изучения Ы, -отображений и их весовых аналогов свидетельствуют и*" связи с классическими объектами математического анализа. Из отпх связей отметим следующие: а) класс отображений ы представляет собой существенное расширение класса квазиконформных: отобракений (как плоских, так и пространственных); деле множество топологических отображений ((г) на облить 5) , имеющую конечный объем, не совпадает с классом

квазиконформных отображений области Сс на , хотя О^с^Ы, ; б) ус. ое"с типа ограниченности интеграла Дирихле имеет вполне ясный <*"зический смысл; например, при решении вариационным мет;.;ом кр-еь^х задач математической физики для уравнений о по~чдка ы'птическог типа естес^г'нс наложит^ едгч-:вен..эе требование принадлежности рления с юл^-вскому

4

класс1' 1г(а),

г ! VI/ » поскольку это означает, что интеграл энерги,.

— ^ ¡'Ф^^о/х конечен. Весовые интегральные ограниче-С

нпя на градиент решения естественно возникают при постановке и исследовании краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа с вырождением на границе области С работы Л.Д.Кудрявцева, С.М.Никольского и других авторов), а также вопросов о существовании квазиконформного отображения, соответствующего решениям системы уравнений эллиптического типа с вырождением на границе ( или на части её); в) при некоторых естественных ограничениях функции класса , 1Ъ>2 , квазивсюду ( относительно соответст-

вующей емкости) совпадают с потенциалами Рисса или потенциалами Бссселя класса [ /1 / ! г) функции класса

можно

р

трактовать как потенциалы безвихревых векторных полеП класса в односвязных областях Сс с Я- .

В настоящее время имеется несколько эффективны* (частично взаимопроникавших) подходов у. изучению граничных свойств функций и отображений в областях из Я, . Стараясь придерживаться хронологического порядка, отметим среди основных следующие.

I) Направление, связанное с топологиями и границами в теории потенциала (введение тонкой топологии, М.Брело, Дк.Д.Дуб; общая компактификация Константинеску-Корнеа).

¿) Глубоко развитая теория вло-ения функциональных п,зст-ранств: прямые и обратные теоремы вложения ( С.Л Соболев, С.М.Никольский, Л.Д.Кудрявцев, П.И.Лизоркин, 0.В.Бесов, Ч.П.И^ь-ин, В.Г.Ма.ья, Ю.С.Никольский, С.В.Усь^нский, Г.Н.Яковлев, А.Куфнер, И.Стейн, Х.Трибель). Книги и статьи этих автороа содержат обстоятельную библиографию рибот по данному направлению.

3) Применение теории модулей семейств кривых и поверхнос -тей в Я (Б.В.Шабат, П.П.Белинский, В.А.Зорич, А.В.^ычёв,

А.П.Копылов, В.В.Асеев, З.Геринг, Ю.Вяйсяля, О.Мартио, С.Рик-ман, Р.НяккиДВуоринен).

4) Исследование граничных свойств непрерывных отображений

ляционного неравенства, установленного Ф.Герингом и независ '¿о от него И.С.Овчинниковым и Г.Д.Суворовым, неравенства, которое ь;ожно считать перЕыа многомерным аналогом " принципа длины и площади" (<5.Г-.ринг, И.С.Овчинников и Г.Д.Суворов, Н.Лелон-$ерран, Г.Д.Мостов, В.М.Миклюков).

5) Использование емкостной техники, сбойств решений диффе-{ нциальных уравнений эллиптического типа, интегральных представлений уточненных функций ( Ю.Г.Решетнял, В.Г.Мазья,В.М.Миклюков, С.К.Водопьянов, В.М.Гольдштейн, И.Дени и М.Л.Лионе, Н.Г.Мейерс, Х.Уоллин, М.Оцука, В.Мизута).

6) Подход Е.П.Долженко и его общие результаты, относящиеся к гракччшм свойствам произвольных функций.

7) Предложенный недавно подход А.П.Копылова, основанный на понятии устойчивости в С -норме классов отображений.

Направление, которое развивается в диссертации, имеет истоки преимущественно в подходе М.А.Лаврентьева, Г.Д.Суворова и Ж.Лелон-Ферран к изучению граничного, поведения отображений класса Ы(Сг) на плоскости, и указанном выше подходе 4) для Щ1"

н предстанляет собоч дополнение и развитие этого подхода.В первоначальном варианте, когда П*— Я он использовался для изучения вбросов о равностепенной непрерывности разных классов отображений, о гшдогасении по непрерывности и о граничном соответствии при конфорь..^?- квазиконформных и более общих отображениях произвольных одт чевязных плоских областей ( ы - гомеоморфизмах). Для ы отображений конечносвязных областей

класса

на основе использования интегрального осцил-

прои;-зольной конфигурации в Я, данный "одход до си* пор является едва ли не единственным подходом к изучению их граничного поведения ( в аспекте метрической теории отображений \

Из известных ранее результатов, относящихся .. данному направлению, отметим оценку искажения относительных расстояний при топологических отображениях класса /, г плоских. с".носвязнкх областей, аналогичную оценку для - гомеоморфизмов шара на

область из Л. , теорему линделёфа о совпадении при топологических отображениях класса Л предельных множеств по некаса-

П>

тельному пути в граничную точку шара и множест а главных то-соответствуюэтего простого конца в образе иара ( результаты Г.Д.Сунорова и И.С.Овчинникова ), теорему о совпадении предельных множеств по "трактам", хаусдорфово отклонение которых в кзазигипербол-'ческоГ' метрике конечно ( А.И.Гольдямидт, Г.Д.Суворов), установленные в СО-х годах В.А.Зоричеч теоремы о граничном соответствии и некасательных граничных значени..: для к~ази-конформных отображений шара, теорему Ю.Г. Рсшетняка о существовании пределов фуккцлй класса вдоль липшицевых поле».

Р

направлений, а тагосе принадлежащее В.М.Миклюкову усиление т о-

¿еиы Зату об угловых пределах для монотонных Ь - отобра-

- отс

р

жений и для отображений с ограниченны" искажением.

Замечания и работы ряда известных специалистов подтверждают целесообразность изучения и использования аналогов ЦЦп. Об этом свидетельствует, например, их место в ное а., предложенных в 60-х подах В,М.Ми;..ш:.эвыы, подходах к исследованию 1С .мятэтических свойств решения дифференциальных уравнений. Он тчкяе нашел для фукций класса д* в плоской области Сг интересную форму ЦДЛ в римановой метрике в области 0- и иопояь-. зовал этот вариант ЦЦП при исследо ании урав-.йний типа минимальной поверхности.

Б 70-х го^ях ¡ЦП при р~УЪ успешно использовался li.Jle-лон-^срран для решения вопроса о равностепенной равномерной нспрршвности семейств отображений рлмановых многообразий.

Поясним используемые нами обозначения ACL иВГ .

Пусть е - стандартный базис арифметического эвк-

лидова пространства fVL, Сг с ft - область. Через С • обозначим ортогональную проекцию С на гиперплоскость Х.—О,

- XJ 6 № -

Определение. Будем говорить,что дл почти всех Z&G. функция С(0) локально абсолютно непрерывна по X , если для . почти всех точек ZeQ. функция при фиксированном 2

абсолютно непрерывна (как функция от Х^ ) на любой замкнутом конечном отрезке i cr ft , для которого Х.в^ + 2 £ Gr при Х^ У . Функция называется ЛCL (абсолютно непрерывной на

линиях) в области С , если при любом i - , П для почти все,. Н £ Q: функция ^ локально абсолютно непрерывна по Xi .

LjMei'HM- что непрерывная в области Сг функция f принадлежит классу L, (&) тогда и только тогда, когда является J!CL - функцией и Vf" € L^ (Grj .

При изучении плоских отображений мы, следуя Г.Д.Суворову, обозначаем через ыЧСг) подкласс непрерывных в области 6г функций из L^ (£-) , т.е. семейство $CL -функций { , для которых Vf £ L^(¿г) • Заметим, что в теории потенциала через Ы, обозначается более широкий класс функция, которые не обязательно непрерывны в области (¡¡г .

Нескольк слов по поводу этого последнего общего определения класса В специальном елгоше функции класса ы впервые изучались '. .Леви, причем рассматривались только непрерывнее функць... Обо. лачение

( функции Б.Леви ) введено

впоследствии О.Никодимом, который исследовал функции f , аи-солютно непрерывные внутри почти всгх сечений плоской области Gr прямыми, параллельными осям координат, предполагал,что

е L (drj • Это определение класса BL завис/" от выбора системы координат. Во многих случаях удобнее следующее более жесткое определение класса BL , принятое в работе Б.Фугледе и опирающееся на понятие р - модуля семейства кривых в ЛЛ.При таком определении класс ßL (Cr) становится более гибким объектом анализа.

Определение (Б.фугледе;. ilycTb i ^ р <• 00 . Однозначная функция ^ называется фикцией Benno Лэви ( порядка р ), или функцией класса ы/М в односвязной области Cr .если она является первообразной по отношению к некоторой дифференциальной форме О• dx первого порядка, причем О в L (G),

.....Д

Это значит, что вдоль р - почти всех С т.е. г-^носительно

р - модуля Ж ) кривых г <= с

6 ' ■

№-{(*)-\

а,

для произвольных точек <L,b е Г . При пишут: Ч-f - Q .В этом смысле функции класса суть потенциалы безвихревых

векторных полей ^ класса L^^dr) .

Диссертация посвящена исследованию некотор. х метрически^ свойств грани-чого лоьздения отобра-кений класса E>L и других классов в связи с изучением возможностей и расширением оо~ ласти примене'тм новых аналс 'ов ЦДЛ С принцип длины и площади) в обшей метрической теории плоских и пространственных отображений.

Цель собо',.;. Найти некоторые новие соотношения типа ЦДЛ для отображений на плоскости и в пространстве Ну . Развить подход к исследования граничного поведения, дифференцируемых в области С отображений, оентанный на_нодлехащем выборе ядес К(х,2) (связанных с точками Я £ Сг ) и соответствующих аналогах ИДЯ. Применить этот подход к изучению околограничного поведения ЛИ - отображений с градиентами из весовых классов. Изучить вопрос о граничном соответствии для - гомеомор-

физмов в связи с особенностями потенциалов градиента этих отображений.

Найти новые классы отображений и об:лстей,для которых сохраняются теоремы о соответствии границ по Каратеодори, оценки модулей непрерывности в относительных метриках п некоторые другие свойства, имеющиеся в классическом случае конформных отображений.

Исследов. .'ь вопрос о существовании пределов ( более общих чем угловые) отображений с ограниченным искажением, монотонных Е>1. - отобрал;ший и решений некоторых дифференциальных уравнений эллиптического типа.

Обшая методика исследования. Вопрос о том, как понимать раницу обл:.;тк, относится для нас к исходным моментам. В диссертации, связанной с метрической теорией отображений, используются гЛсе классические метрические границы: эвклидова граница и граница до Каратеодори (с еэ \Ь - мерным аналогом).

С адует ответить, что задача о том, будет ли данная область Сх образом " хорошей" области при топологическом отображении (из того или иного класса), иредставляс собоГ во многих случаям открытую гобяеу. С другой стороны, многие "ее 'ественнк " ч

метр: ации области и- порождают граничные элементы области С- . о пове-^„,и которых дш.^ лр: кв 'икон^ршных дг'-феоморфиз--х С- пре'-,с..и,ении к_^и. нфоры^ой экви. .ле-тности оС..асте;.

то

мало что можно сказать. Поэтому в метрической теории отображений при изучении их граничных свойств важ. >е значение /моет построение в области относительных расстояний, доста

точно наглядных, согласованных с эвклидовой топологией внутри Сг и подходящих для изучения отображений из заданного класса. (Заметим, что относительные метрики в победнее время эффективно используются при релении вопросоь о продолжении функций за пределы области

с сохранением дифференциальных свойств).

С удобной метризацией области появляется, например, возможность найти теоремы о моду~ях непрерывности в соответствующих (относ -тельных, неевклидовых) метриках, если не ясно, можно получить такг з результаты с обычной ( эвклидовой ) метрикой.

Особый интерес представляют такие метризации области, которые порождают метрические границы, идентичные тем или иным классическим метрическим границам ( граница Каратесдори, граница Мартина) или их аналогам. с

Идея согласованного выделения класса отображений и метрической границы в допустимых областях .сак начало метода исследования отображений с помощью обобщенного ЦДЛ --»финирована Г.Д.Суворовым.

Основной метод, используемый в диссертации, представляет собой дополнение и развитие метода Г.Д.Суворова на базе ряд? установленных авторам неравенств, которые в двумерном случае можно отнести к налогам известного в теории аналитических функция " принципа длины и площади" (ПДП). Наш подход связан с I бором тех или и.шх подходяшг: ядер К(х, в) , понятие л - предела функции ( при котором допускаются не только угловые, но и определенного порядка касатьльные подходы к г>агччной пчке области" и с интегральными оценками колебант функций ла.

мнохсествах уровнях ядер /1 (х, 2Г) через потенциалы градиента рассматриваемых функций. Такой подход позволяет изучать вопрос о граничном поведении отображений в связи с особенностями соответствующих потенциалов и, например, в случае отображений полу-

п Л-

пространства ГЪ , дополнить известные и новые, получение в диссертации, оценки искажения относительных расстояний при -- гомеоморфизмах оценками искажения эвклидовых рас-сто~ний вбл: ;и граничных тс ¡ек полупространства.

В общей задаче о гранично : соответствии при Ы, - гомеоморфизмах областей из [Ь ранее рассматривался только случай, Аогда прообраз является шаром и . Случай р< 1Ъ не вызы-

вал надежд и не привлекал внимания. В этом случае прямой аналог ПДП не эффективен.

Оценки искажения относительного расстояния ( типа оценок Ы.А.Лаврентьева - Г.Л.Суворова для плоского случая) в пространстве: юм случае были известны лишь для - гомеоморфизмов шара.

В диссертации используются также некоторые методы и результаты те рии меры, теории модулей семейств кривых, теории границы области, теории потенциале, теории функций и функциональных пространств, теории квазиконформных и более общих отображений.

Научная новизна. В диссертации обосновываются новые возможности и сасширяется сфера использования неравенств типа ЦДЛ ("принципа длины и площади") в метрической теории отображений. Получа^г дальнейшее развитие сам метод ПДП.

С помощью новых форм ПДП в работе установлены интересные результаты о граш; .юг соответствии и для , причем для

достаьочвдго широкого класса областей, а не только для отобра-К6..ИЙ щ&ра»

Геи рассмотрении вопросов граничного соответствия отдастся предпочтение использованию границы Каратеодоры, поскольку расширение области по Каратеодори даег наиболее наглядное предст вле-ние о том, как формируются и выглядят следы на эвклидовой границе элементов " новой" границы С области О- .

Следующие полученные в диссертагчи результаты ягтются основными и выносятся на зашиту.

1) Развитие нового подхода к изучению граничного поведения - функций и отображений областей, основанного на новых,установленных в диссертации, плоских и пространст енных аналог с ПДЛ, содержащих в малорируюаей части соответствующие потещиалы "энергии" рассматриваемых функций ( отображений). Теоремы типа Фату-Еёрлинга для монотонных по Лебегу фушгций.

2) Выявле: ле связи мезду нарушением граничного соответствия по Каратеодори при на - гомеоморфизме ^ и особенностями некоторых потенциалов градиента этого отображения. Теорема ~ консерватизме граничного соответствия при - гомеоморфизме

• вне счетного множества простых концов (в плоском случае).

3) Введение и использование понятий орисферической ыонсон-; . сти, орисферического предела и [{, - предела, понятия уточнения функции с помощью "касательных" пр"дельных значений её вдоль (И.-1) - мерных сфер, связанных в " Н -пучок" ( касательное уточнение, или К - уточнение функций), -яснение отношений мездг понятиями орисферической монотонности и монотонно -¿и по Лебегу функций "ласса 8/., . Теорема о К - уточнении бесселг пь; . потенциалов {б ¿, , р >п.-1 ,

4) Выдел~ние новых под:.пассов гомеоморфа мов (с обобщенными производным"), для которых сохраняются такие свойства, имрюпшеся в классическом случае конформных от бражений, как теорема о соответствии границ Каратеодори, оценки искажения расстоь-нй,теорема

об устранимой особенности. Аналоги теоремы Лиувилля для монотонных - отображений, р>/г-.{ . Теоремы о граничном соответствии для Д. - продолжаемых гомеоморфизмов областей

Эти р. зультаты являются '■овыми. Частично они отражены в монографии Г.Д.Суворова " Обобщенный " принцип длины и площади в ' зории отображений \ 1905 г.

В диссертации развиваются некоторые методы теории функций, у танозлены новые аналоги ПДП и найдены новые свойства /3/, -гомеоморфизмсв, монотонных по Леоегу функций и отображений из весош.. классов в связи с теорией границы Каратеодори и теорией . потенциала. Результаты работы могут найти применение в теории функций, в обшей метрической теории отображений и при изучении поведения решений некоторых дифференциальных уравнений, а также при изучении геометрии многообразий и свойств их отображений.

В указанном нами «спекте вопросы граничного поведения отображений ранее не рассматривались. В работе развивается научное ¡.оправление " Исследование метрических и граничных свойств ЛСЬ--отображений с помощью новых аналогов " принципа длины и площади?, Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на Донецких коллеквиумах по теории квазиконформных отобра.-.зний и ее обобщениям в 1978, 1982, 1984 гг., на семинарах 10-й Воронежской зимней математической школы в 1976 г., 15-й летне,; математической школы АН УССР по современным вопросам теории функций и топологии в 1979 г. (Кацивели), Кубанской школы--к"нферен" ии по геометрической теории функций в 1975,1981,1987гг., (Краснодар), Всесоюзной школы по теории функций, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н.Лузиь.. в 19? г.(Кемерово), Всесоюзной конф ренции по теории функций, посвяшенноГ. 80-летию академиг С.М.Никольского (Днепропетровск, 1985 г.), на семи"чре теории функцг-Ч .ногих "ействк елы г реме^шх и пр!' ожекиям

к задачам математической физики под руководством Л.Д.Кудряг'ева, С.М.Никольского, С.Л.Соболева (Математический институт им.В.А.Стек-лова АН СССР, Москва, 1985 г., 1988 г.), на семинаре отдела тс рии функций комплексного переменного и на семинаре отдела геометрии Института математики СО АН ШР (Новосибирск, 1986 г. и 1908 г.), Красноярской школе-семинаре по комплексному анализу и математической ф"зике (1987 г.), Томской школе-семинаре "Алгебра и анализ" (1988 г.), Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, IS88 г.), а также на семинарах отдела математики НШ ГШ, кафедры математи ее ого анализа Томского государственного университета и семинаре по комплексному анализу в МГУ (Iv£8r.).

Публика<ии. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [i]- [1б], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех разделов. Списк литературы содержит 149 наименований работ советских и зарубежных авторов. Общи., объем диссертации -- ¿IT страниц.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Раздел I. " Соотношения типа " принципа длины и площади Параграфы,1.1-1.3 имеют вводный характер В I.I дано основанное Kit. свойствах старшей вариации функции, доказательство известноЧ формул-: Кронрода-Феде, spa, сводящей объемное интегрирование к кт"т • рированию по множествам уровня функции Г(2) класс с fiCL в области Cf . Привлекающий внимание специальный случай, кохд"

-я

есть функция - расстояние д./ замкнутг-'о множества в / с , рассмотрен в 1.2.

Определение. Комплекснозначна-* т - фуш.ция , определенная и непрерывная в области G <r ft,"', называ ясяДС^- функцией в области Сг , если для любого компактного мно-

жества JU <= Gr .

В 1.4 доказывается теорема об абсолютной непрерывности KL - шункций на множествах уровня функций класса JtCL в плос-

р У

коii области, полезная при работе с функциями 2-х переменных; р cj, i s= i , p^ 1 . Приведем её.

Пусть Г(Х) - вещественная функция,' заданная в области C-<=-f\!L, и пусть при IczCr

Д = г(х) — Ь }.

Назовём плоской кривой непрерывное (. ¿обращение С : Г—/Г, где 1 - топологический образ интервала вещественной оси (открытого, полуоткрытого или замкнутого). Через £[с(Г)] обозначим длину кривой С •

Теорема 1.3. Пусть р? I , и Г(2)еИС1^ в

области Сг^ Я- . Тогда для почти всех X е Г {(*) отображение / абсолютна непрерывно -нутри Сг , то есть на любой простой дуге Г5- С сукение {¡^ есть абсолютно непрерывная функция длины дуги И кривой Г • При этом для почти всех tsг(C-J

^ I Сг

ь

ва уровня Сг , и подкнтегральное выражение

считается равным нул'з при ЧГ 0 .

В т..5 доказано неравенство (теорема 1.4), которое является обобщением известного соотношения типа "принципа длины и площади" (ПДП), лежащего в о ноле исследований Г.Д.Суворова и Й.Лелон-Фер-ран об отображениях " ограниченным интегралом Дирихле. Это общее не1 .венство яв' тется *С1 очником ряда других, неравенств Сем.1.6) и вместе с ними чепоя" чутся далее з разделе 2 ир" изучении . ¿ант"'-

где сумма взята по в"е.ч неодноточечным компонентаы множест-

•к

ного поведения плоских отображений. Непосредственное распространение ПДП на плоские отображения с огран. ;енным искажением дано в 1.7.

Пусть / = U+ iV и пусть Г , 1Ь и V - вещественные функ-

класса KL (Cr), а 2(z) ч Ш2) - неотрицательные кзмери-на С

функции

ции _

мые на Сесфункции. Почти всюду на I (Cr) определены измеримые

О с

t *

Теорема 1.4. Пусть филкц.ш 4>(г)&0 при X 5= О ,Ц[0)=0 , при 1 > 0 существует производная ^"(т) и О^У (т)< оо . Пусть множество е - г(С-) измеримо по Лебегу. Если для всех Ь&О. функция Л положительна почти всюду на Сг и суммируема на 0- , то /.Г.,/-,И ,, '

tM-il

Щ)

2

Раздел 2. "Граничное соответсть по Каратеодори и потенциалы". В разд. 2.1 приводится определение бик( шактификации Ка^а-

. /ч/

теодори С плоской конечносвязной области С . Множество называется границей йаратес.ори области . По определению, отображение ^ власти С- плоскости [у.) на область 23 инд—;ирует С - соответствие границ С или соответ' ствие границ по ^Саратеодори), если из того, что С , 5^,6 &

и --у в , следует, что —-В ь 2) и 5 6 с 9)■.

Если эдч-сь ^ - непрерывное "тображени0, то £ можно продолжить до непрерывного отображения пространства £ на .

Хорош ..звестно, что конформное отображьни ■ "Я- Сласти на область можно продолжить до гомеоморфизм^ между С I. Й . Для односвязной области О- расширение г метризуемо,нап-.' т7

ример, о помощью расстояния £ (Нх, з^} , которое использовал С.Д.Суворов при изучении плоских топологических отображений 'Я ::лес.сб Ы.(ьг) . При этой если 5) , то

р (Т)

а •

впервые оценка такого типа установлена для конформных отображений М.А.Лаврентьевым. Возмокна метризация пространства Сг и с помощью других: неевклидовых расстояний.

¡Заменить в (I) расстояние Р эвклидовым нельзя: даясе С

& у

классе ограниченных конформных отображений Ь, полуплоскости

Я нельзя получить оценки искрения эвклидова расстояния +

вида

с какгч-лнбо непрерывной на некотором сегменте. [0,возрастающей функцией СО^ ; 0)^(0) — 0 , Это значит, что существует-конформное отобреаенио {г, полуплоскости, для которого кет такой функции СО^ .

Свойство С - соответствия границ, оценки искажения типа 5.1) п некоторые другие топологические и метрические свойства, присущие конформным отображениям, сохраняются для отображений из болеэ обешх классов. Для класса

Е - гомеоморфизмов это доказано ".Д.Суворов:",;. В.М.Миклюков распространил эти результаты на топологические отображения V класса

области (гс Л , ' э есть на ЛС1~ - отображения, для которых >

рте -

1 +

М_ „

-—г ' П-'О,

(3)

21

а у - функция из теоремы 1.4, причем

ч>(аХ)*агуШ при а>1

ВС? - гомеоморфизм ^ - индуцирует С - соответствие границ. Примеры показывают опнако, что без условия СЗ) одно условп (2) не гарантирует свойство С - соответствия для во„-х элементов гргчицы Каратеодори Э С- .

Возникает вопрос о применимости теории границы Карэтзодорк (теории простых концов) для описания граничного поведен.-л гомеоморфизмов класса В^(С) , р< 2 , и более обких классов, для которых условие (2) выполнено, но (3) не им места.

Раздел 2 посв/глсн, главным образом, исследования этогс. вопроса а связи с теорией потенциала Устанавливаются некоторые локальные условия граничного соответствия пр" лС1, - гомеонс^-сЕизме | плоской области, а такие локальные оценки пска;кен:,..1 расстояний » компактифицированных по Кара^еодори областях. Вопрос о граничном соответствии для ДС^ • гомеоморфизмов изучается в связи с особенностями некоторых потенциалов их градиента. Доказано, что пр наличии одного лишь условия (2) нарчшеиие естественного граничного соответствия (С - соогаетствия) пр; тополог:, веских -тображениях. £ области Сг на облас ь Ъ связано с полюсами определенных "к, - потенциалов меры

Епа-

и б этом смысле нарушение С - соответствия можно обнаружить лишь на некотором исключительном множестве.

лак известно, с каждым элементом е границы Каратеодори

се: -иваегся множество -ак называемых главных точек его носителя |б| с . Для каждой неполярной глав-

ной граничной точки сОбдС- п 2.3 и 2.6 установлена сценка ( с метрикой р ) локального модуля непрерывности отображения ^ . В частности, если для элемента ееЭс£г нарушается С - соответствие, то каждая главная точка его носителя |б[ является полюсам соответствующего потенциала.

При данном подходе обнаруживаются, см. 2.7, новые подклассы ш ~ гомеоморфизмов С классы ) отображений с ограниченном потенциалом градиента), для которых сохраняется ряд свойств, ылеюшихся в классическом случае конформных отображений, в частности, оценки искажения расстояний, теорема о соответствии гран, ц по Каратеодори, теорема об устранимой особенней тп. некоторые свойства типа теоремы Лиувилля. Эти классы выделяйте я условиями: |/сО 6 Су ,

-£-01\)<1т^Л< оо} оо.

Следуе" отметить, что для ограниченных областей ¿г"—Л-

класс с условием (3) отличается от б/, лишь в том слу-

р

чае, ее и ~Ь I точнее, если у - степенная функция, то

. Классы же згйу , определяемые нами в разд. 2.7, при и ядрах Рисса &(/н/)=|нI , отли-

чаются от любого класса ¿ЗЛ^ . При разных р эти классы,обозначаемые через Ьь () , пересекаются но не включаются друг в друга, см, 2.8.

Примера показы...ют, что при рс Я для - гомеомор- '

£■ Р ^

• гомео? гран! 1 з соответствие ..о

'Чраг о до ^ и г-} т нарз . ь' 1. Однако наша ■"еоюема ¿.4 ; зер?г;г'4-

ет для любого - гомеоморфизма ^ консерватизм граничного соответствия вне счетного множества Е^ элементов 'простых концов) границы Каратеодори ^Сг . . лтересно, что при р>1 з недостижимых простых концах такого нарушения нет: "плохче" г~ан:г -ные элементы хоро'"п в смысле граничного соответствия (см.рторое утверждение теоремы 2.4).

Из теоремы 2.10 раздела 2.9 следует, что в классе Щ, не существует топологического автоморфизма плоскости , и всякое иньективное ДС1, - отображение £: Ц? <—- ¡V , удовлетворяю-

шее условию (1 + ) 6 ¿,(/1) можно продолжить до гомьо-

'о я

морфизма сферы Римана 1Ь на себя.

Раздел 3. "Об одном методе исследования 1 ¿ачичного поведения функций класса , р> П--1 ".

Метод, использованный в разделе 2 для изучения граничного поведения (в топологии Каратеодори) гомеоморфных отображен.:;!

С'—"Я плоских областей С- , основал на выборе подходящих ядер "¡1(12 - с<Л) с особенностями о> € £ ^ Я, и соответствующих неравенствах типа ПДП, установленных в разделе I и содержащих в мажорирующей части некоторые потенциалы "энергии" рассматриваемых отображений.

Возникает вопрос, нельзя ли при естествен!" 'х ограничениях на ^ найти аналоги этого метода, применимые для исследования граничного поведения (в эвклидовой топологии ) фугхций , определенных в областях Сг^ Я- >и получить, например, теоремы о существовании " обычных " пределов функции { при нетангенцж .ьном или каком-то более общем способе стремления ее аргумента к граничным точкам.

Одг-'м из результатов раздела 3 является положительное реше ниг этого вопрос^, применительно к та' называем-^ орисферическим пределам .жо-онных ..о Лебе1. функций ^ класса I , р- . -1 .

определенных в полисе 0 < Х^ ' %СЬ . Это утверждение следует из теорем 3.21 и 3.12. Ранее известные пространственные аналоги ПДП, достаточно полно представленные в указанной выше книге Г.Д.С, .юрова, не позволяют получить такой результат.

В разделе 3 развивается новый подход к исследованию граничного поведения функций класса" I, , а также функций с гррди-

р л п.

ентами из некоторых весовых классов в П,+ . Получены нбвые прострг-'ственчые аналоги ДДП для - функций ( разд. 3.3-3,5).

Введены новые понятия: /С - предел, орисферическая монотонность, К - уточненная-функция, К - непрерывная функция. Рассмотрены отношения между понятиями орисферической монотонности и монотонности по Л ее. ¿ту. Доказана теорем- о К - уточнении бесселевых

потенциалов /е , р> ¡г - I . Для монотонных по Лебегу функ-Р

ци.й дан многомерный шалог известной теосемы Фату-Еэрлинга о граничных значениях аналитических в круге /^/^ . функций, причем под граничным значением здесь понимается орисферический предел функции. При чтом существует также и некасательный предел функции.

Щл'Ь, далее, 5.(2) с:[I- проходящая через точку г сфера радиуса Г , £> - открытый шар с границей 5 и пусть

\-5г\[Е) : . .

Сфс ..мулир., еы основные определения и теоремы раздела 3. Разд. 3.1 содержит осцилляцииннуо лемму 3.1. При р~ П = 3 она впер-ьые доказана для функций класса ■СТО Ф.Герингоы. Её И- ыер-н- ^ вариант при р=П. дан в статье Г.Мостова. В диссертации доказано б^лее общее'утверждение а размерности П > 3 для любого и для функций класса С(1 ^^ на (разд. 3.1, 3.10). V . .

Определение. Семейство всех сфер ,Г">0 , назовем 2-

-пучком сфер, если центры всех сфер лежат на одном

и том :че луче Л , исходянем из точки .

В 3.2 доказывается ряд вспомогательных лемм, : частности,о

свойствах 0-3£ + бесселевых потенциалов { 6 как функции

' Р , л

В 3.3 дано доказательство некоторых непавенств ~чя /

Л

« функций, напри!' -р, ю'^ет место

Теорема 3.3. Пусть ^(г) - неотрицательная измеримая на С 0,Ь ) функция. Если ^еЬ'(Ь^) , р>п.-1 „ то 4 Р

т

где С^. - пересечение В, (е) со сферой |х-?|=Т , - шар ¡Х-~Л|< $ , Ь - некоторая постоянная и

0-îC j ~ vrai тах i ~ xrra.i min ^ 4. ' cJ u>

V T r

В 3.4 рассматривается вопрос о 1С - непрерыш )сти бесселевых потенциалов. Пусть [S (?), Г> О} - пучок сфер с центрами на луче Ц , ¡:сходя-ас:.! из точки Л 6/llî S . В прямоугольной системе

F

координат (у ) с началом в точке 1 и положительной полуосью у , совпадающей с лучом Я , сферы 5^(з) из 2 -лучка [5.(2jj суть шоиестза уровня функции jÇ^i > ^ Ф ^ *

Определения. Мы скажем, что заданная в ЯЛ функция монет быть /С - уточнена (допускает касательное уточнение). .в точке2еЦ, если суаествуст эквивалентная ç функция ^ , такая, что для з -бого S - пучка{5^(г), Г> 0} почти при всех Г> 0 сужение непрерывно и имеет единый для ессх этих Г> 0 предел

Y*)-/^ 1ïs (х).

Функция £ моает быть /С - утега. на на ынояее jej^c Я,", , ссли сфо^-лулированноо условие "выполнено при "î- J7 îïzfll "ВД одной и той же функции * . . .. "

Если во всяко" точке Z , где функция £ может быть ¡С -- уточнена, имеет место равенство Z) =• св^(д) с единой для всех Z функцией f , эквивалентной £ в Л/1, то функцию jj> назовем .{'•-точной ( или сферически точной).

Функцию назовем К - непрерывной в точке Z , если для любого Н - пучка [Sr(2fj] почти при всех Г сужение функгш Q на S непрерывно.

Терема Д.5. Всякий бесселев потенциал [ft J, р>И-1,

является К - непрерывным почти всюду в /L и может быть К -уточнен на множестве Я \/Hi где /V - множество полюсов потенциала

\ ИР|г-xfVx

Следовательно, всякий К - точный бессепев потенциал ^е /.р/'Ду является /'{"- непрерывным в любой точке /К • Множество /V имеет хаусдорфову размерность Для любого 7. - пучка

Г"

где - шар с границей Б. Э 2 , ^ - констант^

В разд. 3.5 , эказаны основные для.дальнейшего, аналоги ПДП. Теорема ЗЛО. Пусть шар

я;

радиуса г с относительной ( в } границей с Я^ касается гиперплоскости О

при

г

в .'очке Z . Тогда если f eJ^CL (В^) и Ь> А > 0 ,то

Р

fl~ 1 *

имеют место неравенства

(L ' влв

о CL

а г

-Aß.

Ь а.

Н

где постоянная й =Л(п,р, а, 3) не зайи~6И? ^ ■.

В З.б вводи ся понятие орисфёрического 'фушщии ^ и

более ойаее понятие /С - предела функций -. ОйИ :Йре'дс'Тя'Ьля5от собой, при надлежащем выборе функций ч Ч5о'а&"е ь'ирбКие по-

нятия, чем "угловой (некасательный; предел11 фукЩи.л Нлгё указано,какие функции К-(х,2) используются в работе*

Пусть Л '—*" - некоторое отображение, /!■> 2

Если множество Л ■{{& ) содержит только один элемент -г? , , г>с ' г

то называется ори сфер и чес к и к; Предел о м отображения £ з точке 2" (поверхности $ с Я? являются орисферами, если отождествить с пространством Лобачевского А множество ^ с метрикой ¿/-3 = ).

Непрерывную в области 6г функцию ^ назовем о р и с -Л е р и ч е с к и монотонной ( или ОМ-функцией) относительно точки если существует такой иар ¡Ь^ - Сг ,

что 2 £ и

0-SC ^ =£ 0-5С при £ < 0. ; '

называется ори сферически монотонной по Лебегу ( или OML - функцией ) относительно Z ,

если

<че f = 0-3с Vг е(0, а.).

5 (г) ß Cz)

г г

Такие граничные точки 2 е за называются ОМ-точками (соответственно, OML - точками) функции / г-» области £

Пу ть, далее, &(x,z) - вше твенная "ункция, опррделен-

наяна ЯЛхЭ/?*, 5(я) * ир[К(х,2): X € } и

К(х,2)>а}.

Если :ножество Л {(ЕЛШ) содержит только один элемент £

- а* Цг) ,,

т~ С называется Л, - п р делом отображения

| относительно точки 2 . Положим

X

л: м-1 '*-2

и._

>

т.

^ , ТГ Сн)

С,

Пг

где хл>\х-г1, гед^} -

- конус и Г". > 1 . Поверхности уровня функции суть

гомотетичные усечег не параболоиды "вращения" I -го порядка) с вершиной в точке 2 .

Цг-оий р точк> 2 непрерывный путь }Г:(0, —~ & назовем К - с х о д я о и к с я . к.2 путем I или КС- путем), если

тги л>

V■5>i при всех достаточно малых Те (0,1) величина

ТЛ(Г): ^т-г^.

Орисферический предел есть /С - предел с функцией

Теорема 3.1^. Пуе-ь р> П.-1, 1<Ъ<-~- , 2и<(Ь-1)(п,-1), и усть функция { непрерывна и имеет обобаенный градиент в полосе 0< Хп< 2а,} , 0< Д. =£ оо , причем

д«я каждой ограниченной области Сг <= конечны интегралы

О Сг

26,; с

Если все точки множества являются ОМ- точками функции ^

вдоль области , то для всех точек 2 е дЯ. , з возможным

исключением множества Л1 хаусдор^овой размерности 2, имеют место утверждения: ,

х; (о<с

г

где Л - константа из теоремы ЗЛО; А р-№- + 2 -се ;

ва\ в,

2) если функция ^ имеет предел -и в точке 2 по некоторому ОС - пути у , то ^ имеет тот же предел по любому $ С-пут к з точку 2 ;

3) если есть 0/К1, - функция относительно точки 2 , то ^ имеет конечный орисферический предел в точке Л .

В разд. 3.7 доказана

Теорема 3.15. Пусть Е - множество, плотное в плоскости 0 . Для любых обозначим через ^ наименьший

угол между отрезком X^ и осью Х^. Тогда если для любогг функция ^ В удовлетворяет условиям теоремы 3.10

и язляется ОМ- функцией С относительно Ж } в шатзе .причем

С,

то при г" и Ул.) ^ имеет место оценка

2

а при и | ^ < ^ имеем:

Здесь С - С (■() , = р-п,+ 2 ~ об , М=М(п,р,а.,Ь). При этом функцию ^ можно продолжить до непрерывной функции на я; и -/г , прич&ч на каждом компакте р<= ж: функция / бует удовлетворять условию Г°льдера с показателем ^ .

3 3,8сиспользованием интегральных осцилляционных нер .^енств типа ПДП рассмотрен вопрос об орисферической монотонности функций, монотонных по Лебегу.

Теоремы 3.18 и 3.21 можно объединить в одно утверждение:

Теорема. Пусть ъ полосе Н^ функция ^ является монотонной по Лебегу функцией, причем (С) для каждой ограничение Г; области (г с— И^ , р> П. - 1 . Тогда множество всех точ .< Е , которые не являются 0М1 - точками $ , имеет хаусдорфову размерность не больше числа Z - £ • При р > . ^ множество А^ пусто.

Отметим еие, что при р > /г - 1 множество А^ пусто и „ля функций, потенциально окаймленных в следующем смысле.

Определение. Пусть фиксировано . Нгзовём

- отобр1 хние ^ . бласти 23 й- потенциально окаймленным, если

^У^Х-гГ^ос, \/геЭ Ъ

Из результатов разд. 3.8 и 3.9 следует

Теорема. В условиях предыдущей теоремы пусть вместо ограни-че -ля Ч{б-1,р(Сг) имеем: 7{ б Л (Сг) ,р>.ъ-1 , -У. Тогда для всех точек 2 гиперплоскости 0 , за возможным исключением множества Л/ хаусдорфовой размернос-

Р О

"ч 5:3- (п. 1)(1+ ы,) ' ФУНКЦИЯ г имеет конечный орисфери-•теский предел.

Обоснование этой теоремы и дополнительная информация к ней, содержащаяся в теореме 3.22 С осцилг.:яционные неравенства), при

а--«о

нашем подходе тоже связаны с использованием весовых интегральных ограничений на градиент рассматриваемых монотонных функций класса ЛС1, . Этот факт подтверждает целессобразнЗсть рассмотрения в данном контексте весовых классов функций и соответствуй: х осцилляционных неравенств из теоремы ЗЛО .■

3 качестве приложений указаны соответ'.стн\тса;!е следствия об асимптотическом поведении функций, определенных й Гиперболическом пространстве.

Раздел 4. "О граничном поведении ЛС1. - отображений с градиентами из весовых классов". Сначала рассматриваются отобрат-ния кара или полупространства. В 4.1 изучаются топологические отображения. На многомерный случай распространяются некотор::'Э результаты раздела 2. Пусть С-Я-"' - область, - Рокеаи.орфизм. Ясно, что пространственный аналог подхода, предложенного в разделе 2 при изучении граничного поведения - Гомеоморфизмов областей, "замкнутых" по Каратеодори* применим к пара;.! (Ст, /} для которых почти при всех достаточно малых Г? С имеет место осцилляционное неравенство типа

(4)

где р > ¡г-1 , £ = {хе£: )х-2/= г},

г

Существуют пары ( (г, ) даже' с кусочно-гладкой границей дС (область ) для которых условие (4) не выполняется в

некоторых точках 2-€дС- . При 2 таких пар нет.

Отметим, что С -точкой гомеоморфизма £ может

быть как регулярная, так и иррегулярная точка Пусть

- область, гомеомо^фная шару В.)х1^1 , и Р - расстояние Ор- тнниковр - СуЕ юва:

Ч

Р а)= Lnf dF

Сг

где (L - произвольная фиксированная точка области Сг ; точки f -м i ft-i- B3fiT по всевозможным относительным

континуумам . удовлетворяющим условиям

1) а/ F , ' _

2) Х,^. F , или F(1 д&Ф 0 и точка О- принадлежит

той компоненте множества С-\ F , которая не содержит точек

Метрика Р для нас предпочтительна, поскольку другие Ja

расстоят... не столь приспособлены для изучения вопросов соответствия границ при L - гомеоморфизмах.

Пусть * - гомеоморфизм жордановой области

на область Сс=Я.я'. Точку назовем С -точкой отображения £ , если ^ можно продолжить до непрерывного отображения

-- tr = [£, j> ] -пополнение Сг .

Для гомеоморфизмов £ ЕаРа ^ >{(о)~ » из~

вестна оценк i _

Сг I

Однако, заменить здесь пар В произвольной жордановой областью r£) a flЛ нельзя.

В исполмуется & -ёмкость С, (Е) , связанная с ядром

i

K'lx-yl), которое подчинено естественным условиям. Доказана Теорема 4.5. Пусть при р> П. - L , - -

нкция ¿J такова, что

H(t)t dt^oc. 0+

ücли ^ есть

Kl - гомеоморфизм шара В': ¡XT< i на область

Cr , f (о) = CL , причем &

то множество тех точек сферы — Í , которой rié язляатся С - точками отображения j , имеет нулевую bhíshs® íi -емкость.

При этом для А - квазизсех у £ ЭЁ) при ¡X~y¡ < 1 имеем

\ ,

(*• J

где при фиксированных ^ и ^ зазисиЗ óí у р , а .

Для монотонных .в ЯЛ отображений класса / p>f2~-t,

даны аналоги теоремы Лиувнлля. В частности, всякое монотонное отображение f.:R'>—-/£' класса L^ (Я ) , p>tt-í , постоянно.

Согласно известной теореме Бэрлинга, уточнявшей классическую теорему Фату, конформное отображение круга Í имеет угловой предел в кал., ,ой граничной точке, исключая разве лишь множество //<= Э^З нулевой логарифмической ёмкости.

В разделах 4.2-4.4 наряду с аналогом ЦДЛ используется некоторая модификация техники, найденной В.М.Миклюковым для доказательства существования нетангенциальных пределов отображений с ограниченным искажением. Исследуется более общий вопрос.о существовании К - пределов таких отображений, а также монотонных отоб-р jíchuü и решений некоторых дифференциальных уравнений и неравенств. При этом в качестве К(х, z) используются только функции Еида . Полненные здесь результаты можно рассматривать лж теоремы типа Фас -Бэрлинга дл. классов решений соответствующих дифференциальных yj гнений " нераь лств ( г.,,и э и -опус - тгея

касательный подход к границе).

Определение. 0тоб_ ажение —•-ЯЛ называется эллиптическим. если £ € (£)) и для почти всех X £ 2)

причем якобиан

- постоянная,

1 2 у,

Су> i При 0 получаем отображение с ограниченным

искажением.

Теорема 4.6., Пусть '—""Я- - отображение с ограничен-ныы искажением, удовлетворяющее условиям:

I) дл;. ..лбого ограниченного открытого множества Сг^ ,Р «

^<00, 1<р*п, -оа *ссс< Р~1 ; . &

Образ полушара [хеЯ*: \Х-а\<-1}

ограничен, ес.пи рфК , или если р = Я- и СС > 0 .

Тогда ^т. > í отображе'-че имеет конечный /С -пре-п п. ^

дел для .;аждой точ.^и 2 6 Эл^ , исключая разве лишь множество

нулевой бесселевой р) - емкости.

Аналогичное утверждение установлено для монотонных отображений /е ¿3/. (Я, X*) , если 0^ < —-— (теорема

I V * л/

4.11).

В 4.4 указан достаточно широкий круг эллиптических уравне-ни" второго порядка, решения которых имеют /С - пределы зсшду на дЯ вне исключительного множества нулевой бесселевой емкости индекса р) . Аналогичные результаты верны для эллилти-

ческ. : отображений { и свободных экстремалей XI е С/) V/*,

II— V

Функционалов вида \ г(х, Чи(х)) о1х .

К

В заключительном разделе 4.5 снова обсуждается проблема граничного соответствия для ВЦ' - гомеоморфизмов областей из Я". При 12->2 существуют примеры 'Ы/1 - гомеоморфизмов (на шар) ограниченных жордановых областей с-кусочно-гладкими границами, для которых нарушается граничное .соответств'ие.-по-Каратесдори. Надежда на то,что Я -мерный'.квазиконформный'Томеомдр'ф'лзм можно продолжить до гомеоморфизма Сг на-Э 'з -случсга, ¡когда области С- и являются жордановкми .гомеоморфами .шдра,не оправдывается.

В связи с этим представляют-интерес^теоремы 4.14 и 4.Г". Первая касается поведения границы Каратеодори-при - продол-

жаемых гомеоморфизмах ^ области ¡гс'/1 с к_нечкым : а границе

д потекциаюм градиента

Г

причем граница дС не предполагается гомеоморфной сфере в Я . Дадим её формулировку.

Пусть 0- и 2) - ограниченные области в Я , гомеоморф-иые шару д с Я I и пусть Сг, и - расширения по Каратеодори обласхей С- и 3) . 3 областях Сг и 2) рассматриваются расстояния Р и Р соответственно., -см.. .выше с. 30 .

Теорема 4.14. Пусть гомеоморфизм ^ -ограниченной области С^/Я^на область 3 , гомеоморфную шару ,0 .. допускает ' не обязательно непрерывное) продолжение ^ на Я^ с конечным на 1 Ст интегралом Ы^ (я) . р>П-1 . Если полные пространства [С-, и [2), £ J компактны, то £ можно продолжить до

непрерывного отображения £ компакта С- на компакт Д. .

г .-I с с

Ес~м ото и обр1.ное отображение } также допускает некоторое

продоляе: ¡е "¡г. , причем

iCf pt>n~*,

у о i есть гомеоморфам ыеяду Crc и .

Определение. Область Я"' 2) принадлежит

классу ext L0 I или удовлетворяет условию продолжения дл

р I I

пространства Lp ), если

L^I^L'/Ci.^

Изе£ гно, что область С- класса e.xt L локально связ-

л

на в любой точке HeJtr.

Далее, если Сг - жорданоза область, <2.6 Q- , геЭ(г и £<|н-&| , то пус-ь Pt - компонента пересечения £ со сферой |Х-Л| — t , разделяющая в области Сг точку (L и точку

ze 2Г- .

. Обозначим через /V ту из компонент , для которой не •¡одержаная точку (L компонента d(z, t) множества (г\ Яв-л: яся максимальной I по отношению включения). Точка Z лежит на граучпе V.

Следующая теорема дает, в частности, условие разрешимости проблемы граничного соответствия при Blf" - гомеоморфизмах 1и квазиконформны* отображениях) жордановых областей в ft"" .

Теорема 4.16. Есл-- жордановы области Q и Ю принадлежа. классу ext L^ , то каждый гомеоморфизм f е BL (Сг) области Q на область можно Продолжить до непрерывного отображения ^ замыкания Сг на 23 . При этом если и , то \/хес((г,д)Г){х:1х-л1<Ь}

«met,** место неравенств ' х

где С(И) - постоянная. Если еше к { € ВЛ , ¡о £ есть гомеоморфизм. Кроме того, существуют такие числа ^ , з? , что

5> Ь(п)1Щ (5)

я УА' У. (М'а-

о-

при $ а) < у .

Оценка (5) является новой даже для квазикс^^р^Мых отображений. Ранее она была доказана только для 6/-"*- отображений шара.

Следствие. Если Сг и Э - жордановы области класса ext и , то каждое квазиконформное отображение областей 6- и Ъ продолжаемо до гомеоморфизма между замыканиями С- и 53 в Я'1.

ото следствие известно теорема Водопьянова - Гольдштейка, 1975 г.). Однако, данное в диссертации доказательство ез ново.

Замечание. Пусть требуется указать пример пары ( Сг, ), где - жорданова область, а 6 кV Сг) есть функция,ко-

торую нельзя продолжить на Я функцией класса I ^ (¡Ь ). Теорема 4.16 связывает решение данной задачи с построением такого гомеоморфизма ^б/^С^] области С- на жорданову область

{(&) > который нельзя продолжить по непрерывности (в Я ) нр £ .

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Куфарев Б.П.г Никулина Н.Г. Мера Лебега подмножеств эвклидова пространства как старшая вариация функции - расстояния до эгчкнугого множества. // Докт. АН СССР. - 1965. - Т.160, » 5. -- С.1004-1005.

2. Куфарев Б.П. Нуль - множества и гомеоморфизм с ко: чным интегралом Дирих-ч.У/ Докл. АН ХСР, Ъо7. - Т. 179, 6. - С.1267--1259.

3. Куфарез Б.Ь. Емкость подмножеств границы Каратеодори и ВЛ - гомеоморфизм.. ///Д?кл.. АН СССР, 1971.- Т. 199, 8 2.- С.273-274,.

4. Куфа-°в Б.П.. Оценки: мер Хаусдорфа при отображениях типа У .// Докл.АН СССР, 19-72. - 1.207, .Т< 2.- С. 288-291.

¡5. Куфг/ев Б.П. Потенциалы и соответствие границ.// Докл. АН СССР, 1Э74. - Т.215, № 2. - С.255-258.

6. Куфар^Б.П. Потенциалы и соответствие границ. // Изв. АН СССР, с рил мат ем., 1977. - Т. 41, № 2. - С. 433-461.

7. Куфарев Б.П., Соколов Б.В. О ^ответствии границ при отображениях шара. - В кн.: Метрические вопросы теории функций и отображений. - Киев, 1.775. - Вып. УП. - С.93-104.

6. Зюзьков В.М., Куфарев Б.П, К вопросу о соответствии границ. // Уатем.заметк , 1977. - Т.22, № - С. 103-106.

9-, Куфарез Б.П. 0 граничном поведении плоских ¿^ - отображений. // Докл. АН СССР, 1960. - Т.251, !? 5. - С. 1052-1055.

10. Куфарев Б.П. Об одном методе исследования граничного поведения На - функций.// Докл. АН СССР, 1982.- Т.266, )? 5. -

- С.1052-1055.

11. Куфарев Б.П., Соколов Б.В. К- - пределы отображений с ограниченным искажением. // Докл. АН СССР, 1934. - 1. '¿77, р 2.- С.291-295.

12. Куфарев Б.П. Интегральные неравенства и некоторые граничные свойства орисферически монотонных функций. // Докл. АН ССоР, 1986. - Т.296, к> 3. - С.539-542.

1^. Куфарев Б.П. К - непрерывность и пределы функций класса £ в граничных точках. // Докл.АН СССР, 1987. - Т.295, М—

- С.802-805.

14. Куфарев Б.П. Интегральные неравенства а граничные свой-

ства монотонных функций. // Труда МИАП СССР, 196/. - ТЛ80. -

- С.146-147.

15, Куфарев Б.П. Теоремы о граничном соответствии для -» продолжаемых гомеоморфизмов областей (дг^Д-о » В т, г Тезис /¡окладов Всесоюзной конфгренции по геометрической теории функций.

- Новосибирск: Ин-т изюпвмкя СО АН СССР, 1988„ - С.57.

16, Куфарев Б.П.„ Никулина Н.Г.„ Соколов Б„В„ /С « предела рзэсяий кпаэидинеПных эллиптических уравнений вороге порядка,// Диффар.уравнения, 1939« - Т. 25, - С.686-692.