Некоторые свойства отображений с s-усредненной характеристикой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

304617392

Елизарова Мария Александровна

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ С ^-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Специальность 01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 ДЕК 2010

Томск 2010

004617392

Работа выполнена на кафедре теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

доцент Малютина Александра Николаевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Стругов Юрий Федорович (Омский государственный университет) доктор физико-математических наук, профессор Кармазин Александр Петрович (Сургутский государственный университет)

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л.Соболева

Сибирского отделения РАН

Защита состоится 27 декабря 2010 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного Совета Д 212.267.21 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ауд. 304 корпус 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 26 ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета Д 212.267.21 канд. физ.-мат. наук, доцент

А.Н. Малютина

Актуальность темы. Главный объект исследования диссертационной работы - негомеоморфные пространственные отображения, заданные на произвольной области Del", п > 3, называемые далее отображениями с j-усредненной характеристикой, - являются частью общей теории пространственных квазиконформных отображений и их обобщений, интенсивно развивающейся со средины 50-х годов XX века.

Впервые понятие пространственного гомеоморфного квазиконформного отображения было введено М.А. Лаврентьевым1 в 1938 г. Интерес к изучению класса пространственных квазиконформных отображений связан с тем, что он достаточно широк по сравнению с классом конформных отображений, который, согласно известной теореме Лиувилля (1850 г.), исчерпывается лишь преобразованиями Мебиуса, т.е. суперпозициями конечного числа инверсий относительно сфер или плоскостей, что приводит к невозможности переноса техники получения свойств квазиконформных отображений в 1 на изучение свойств пространственных квазиконформных отображений.

Интенсивное развитие теории пространственных отображений приходится на конец 50-х начало 60-х годов XX века. Наиболее существенный вклад в ее развитие в эти годы внесли М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат, П.П. Белинский, Ю.Г. Решетняк, В.А. Зорич, Г.Д. Суворов, A.B. Сычев, И.П. Митюк, В.М. Гольдштейн, В.В.Кривов, В.М. Миклюков, С.Л. Крушкаль, Б.П. Куфарев, В.В. Асеев, С.К. Водопьянов, А.П. Копылов, Л. Альфорс, Ф. Геринг, Б. Фугледе, О. Мартио, С. Рикман, Ю. Вяйсяля, М. Вуоринен, Г. Андерсон, Р. Някки и др.

В начале 60-х годов, благодаря работам Ю. Вяйсяля2, Ф. Геринга3, Б.В. Шабата4 и др., создается один из основных методов исследования свойств квазиконформных отображений, суть которого заключается в характеристическом свойстве квазиинвариантности конформных инвариантов (конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых или поверхностей) при квазиконформных отображениях пространственных областей. В эти же годы наряду с продолжающимся развитием теории квазиконформных отображений начинается и систематическое изучение квазиконформных отображений в пространстве Ж", л>3, называемых отображе-

1 Лаврентьев М.А. Об одном дифференциальном признаке гомеоморфности отображений трехмерных областей // ДАН СССР, 20, № 4. 1938. - С. 241-242.

2 Väisälä J. Lectures on n-dimentional quasiconformal mappings. - Lectures and Notes in Math. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York, 1971. -144 p.

3 Gehring F.W. Quasiconformal mappings in R" // Gehring F.W. and Lehto O. Lectures on quasiconformal mappings. - Maryland: Univ. Maryland, 1975.-p. 44-110.

4 Шабаг Б.В. Метод модулей в пространстве. // ДАН СССР, 1960. - Т. 130, № 6. -С. 1210-1215.

3

ниями с ограниченным искажением (или квазирегулярными отображениями). Аналитические методы исследования таких отображений были разработаны Ю.Г. Решетняком5, а геометрический метод (как и в случае квазиконформных отображений) - метод модулей, основанный на свойстве квазиинвариантности конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых, был предложен Ю.Вяйсяля, О. Мартио, С. Рикманом6 и Е.А. Полецким7.

Естественным обобщением квазиконформных отображений являются гомеоморфные отображения, квазиконформные в среднем, поскольку в пространстве К", и>3 существуют достаточно простые области, гомеоморфные шару, которые невозможно квазиконформно отображать на шар. При аналитическом определении таких отображений, ослабляя требование квазиконформности, предполагается ограниченность каких-либо интегральных средних от аналитических отклонений отображения. Различные классы отображений, квазиконформных в среднем, рассматривались в работах С.Л. Крушкаля8, В.М. Миклюкова9, Ю.Ф. Стругова10.

Разнообразие классов пространственных квазиконформных отображений обусловлено, прежде всего, тем, что каждый класс отображений отражает то или иное качественное свойство, присущее исследуемому классу отображений, что, в свою очередь, порождает различные приемы и методы исследования их свойств.

Разработке же общих геометрических методов, использующих емкостную и модульную технику, и их применению при исследовании свойств отображений, квазиконформных в среднем, посвящен ряд статей В.И. Кругликова11'12 и др. Эти методы отражают законы искажения емкостей конденсаторов при отображениях, квазиконформных в среднем, и по

5 Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. - Новосибирск: Наука, 1982.-288 с.

6 Martio О., Rickman S. Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings. // Ann. Acad. Sei. Fenn., 448(1969).

7 Полецкий Е.А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений. // Мат. Сборник - 1970. Т.83(125), № 2(10) С. 261-273.

8 Крушкаль С.Л. Об отображениях, квазиконформных в среднем. // Докл. АН СССР. - 1964, 157, №3.-С. 517-519.

9 Миклюков В.М. Об искажении емкости при отображениях, квазиконформных в среднем // Материалы итог. науч. конф. по мат. и мех. за 1970 г. Т. 1. - Томск: Изд-во Томск, ун-та. - 1970. -С. 43-45.

10 Стругов Ю.Ф. Отображения, квазиконформные в среднем. Новосибирск: 1979. -39 с. (Препринт СО АН СССР. Ин-т математики).

" Кругликов В.И. Об одном характеристическом свойстве отображений, квазиконформных в среднем//Докл. АН СССР,- 1976,205, №6.-С. 1289-1291.

12 Кругликов В.Й. Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в среднем // Мат. сборник. - 1986, 130, № 2. - С. 185-206.

своей значимости они подобны соответствующим геометрическим методам в теории квазиконформных отображений.

Первые попытки систематического исследования свойств негомео-морфных отображений, квазиконформных в среднем (называемых также отображениями с искажением, ограниченным в среднем), при помощи геометрических методов были предприняты в 80-х годах XX века. Общие геометрические методы, использующие емкостную технику при исследовании свойств отображений с искажением, ограниченным в среднем, получены в работах В.И. Крутикова13, С.М. Борчук14, модульную технику - в работах А.Н. Малютиной15, А.В. Сычева16 и др.

В последнее десятилетие XX века и до настоящего времени интен-

17 1« 10 ОП

сивно изучаются различные отображения с конечным искажением и

др., естественным образом обобщающие конформные, квазиконформные и квазирегулярные отображения. Во всех этих обобщениях, как и в классической теории, модульная техника играет ключевую роль. Имея в виду такую значимость модульной техники, профессор О. Мартио предложил следующую общую концепцию - теорию 2-гомеоморфизмов, основы которой были заложены, начиная с работы21 и др., а в работе22 концепция й-гомеоморфизмов была распространена на отображения с ветвлением, так называемые ^-отображения.

13 Крутиков В.И., Пайков В.И. Некоторые геометрические свойства отображений с искажением, ограниченным в среднем. Донецк, Донецк ун-т, 1982, 43с. - (Деп. в ВИНИТИ 06.09.82 № 4747-82 Деп).

14 Борчук С.М. Преобразование емкостей и граничное продолжение для отображений с искажением, ограниченным в среднем. - Донецк: Донец, ун-т, 1991. - 27 с. (Рукопись деп. в Укр-НИИНТИ, № 715 - Ук91).

13 Малютина А.Н. Об отображениях с ограниченным в среднем искажением // Экстремальные задачи теории функций. 5 //Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986. - С. 24-31.

16 Сычев А.В., Малютина А.Н. Об отображениях с ограниченным в среднем искажением // Докл. АН СССР. - 1985. - Т. 283, № 2. - С. 317-320.

17 Т. Iwaniec and V. Sverak On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc. 118

(1993), p. 181-188.

18

Astala K., Iwaniec Т., Koskela P. and Martin G. Mappings of BMO-bounded distortion // Math. Annalen 317 (2000), p. 703-726.

19 Koskela P. and Onninen J. Mappings of finite distortion: capacity and modulus inequalities // Dept. Math. Stat., University of Jyvaskyla, Preprint 257 (2002), p. 1-32.

20

Игнатьев A.A., Рязанов В.И. Конечное среднее колебание в теории отображений //

Украшський математичний вшник Том 2 (2005), № 3, С. 395-417.

21

Мартио О., Рязанов В., Сребро У. и Якубов Э. К теории Q-гомеоморфизмов // ДАН России 381 (2001), No 1,20-22.

- Martio О., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. d'Anal. Math. 93 (2004), 215-236.

Отображения с ¿-усредненной характеристикой - негомеоморфные пространственные отображения, введенные в работе23, являются естественным обобщением класса отображений с искажением, ограниченным в среднем на случай произвольной области Б с К", п > 3 . В тоже время теорема об оценке модуля, доказанная в третьей главе диссертации, указывает на непосредственную связь исследуемых нами отображений с вышеназванными классами гомеоморфизмов.

Цель работы. Целью работы является: описание отображений с ¿-усредненной характеристикой; разработка общего геометрического метода исследования их свойств - метода модулей, базирующегося на оценках искажения модулей семейства кривых; установление, с использованием этого метода, геометрических свойств исследуемых отображений (поведение в окрестности изолированной особой точки), эквивалентности геометрического и аналитического определений, получение аналитических свойств и изучение взаимосвязей класса отображений с ¿-усредненной характеристикой с другими классами пространственных отображений, например, с классом отображений с искажением, ограниченным в среднем, с открытыми непрерывными изолированными отображениями классов ВИ, В1и др.

Методы исследования. Основные результаты доказаны с помощью методов вещественного, функционального анализа, методов теории функций с обобщенными производными.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

■ Дано аналитическое описание класса отображений с ¿-усредненной характеристикой. Установлено, что класс исследуемых отображений не пуст, обобщает класс отображений с искажением, ограниченным в среднем на случай произвольной области Ос К", л > 3, а в случае ограниченной области £>с К", и>3 такие классы совпадают.

■ Показано (построен соответствующий пример), что отображения с ¿-усредненной характеристикой не являются отображениями с ограниченным искажением.

■ Доказаны аналитические свойства отображений с ¿-усредненной характеристикой - полунепрерывность и дифференцируемость (достаточные условия того, что / е ]ос (О)).

23 Малютина А.Н., Елизарова М.А. Дифференциальные свойства отображений с 5-усредненной характеристикой. // Вестник ТГУ. Томск: Изд-во науч.-техн. лит. 2008. - № 4(8), С. 124-129.

■ Проведено исследование взаимосвязей классов и подклассов отображений с «-усредненной характеристикой с открытыми непрерывными изолированными отображениями классов ВЦ', В1?, с классом отображений с искажением, ограниченным в среднем и др. Построены соответствующие примеры.

■ Описан геометрический метод исследования свойств отображений с «-усредненной характеристикой - метод модулей: получены оценки модуля семейств кривых, установлены законы искажения модулей.

■ Дано геометрическое определение отображений с «-усредненной характеристикой и доказана его эквивалентность аналитическому определению.

■ Получена оценка искажения евклидовых расстояний и установлен порядок роста отображений с «-усредненной характеристикой в окрестности изолированной особой точки.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим с отображениями, имеющими обобщенные производные; в области геометрической теории пространственных отображений и их обобщений.

Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены на международных и Всероссийских конференциях в гг. Новосибирске и Томске:

- на научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов ММФ, посвященной трехсотлетию со дня рождения Леонарда Эйлера, г.Томск,

2007 г.

- на Всероссийской конференции по математике и механике, г. Томск,

2008 г.

- на молодежной научной конференции ТГУ в рамках Всероссийского фестиваля науки, г. Томск, 2009 г.

- на ХЬУ и ХЬУШ международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2007,2010 гг.

- на конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященной 110-летию академика М.А.Лаврентьева, ИГИЛ СО РАН. г. Новосибирск, 2010 г.

- на Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики», проведенной в рамках Всероссийского фестиваля науки, г. Томск, 2010 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 статей и 3 тезиса докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, содержащего 94 наименования. Пер-

вая глава состоит из четырех разделов, вторая - из двух разделов, третья -из трех разделов, второй из которых состоит из двух подразделов. Объем диссертации -120 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ведение. Во ведении изложены краткие сведения из истории развития пространственных отображений, обзор результатов, связанных с тематикой исследования, сформулированы основные результаты.

Глава 1. В первой главе дано аналитическое определение отображений с ¿-усредненной характеристикой; представлены примеры таких отображений, которые подтверждают, что класс исследуемых отображений не пуст; произведено сравнение класса исследуемых отображений с другими классами пространственных отображений, например, с отображениями с ограниченным искажением, с отображениями с искажением, ограниченным в среднем и др., а также с открытыми, непрерывными, изолированными отображениями с конечным интегралом Дирихле.

Пусть й - область в К", п > 3 и отображение /:£)—» К" - открытое, непрерывное, изолированное, /е ^ (О), 5> 1/(п-1). Якобиан отображения 7 (л,/) сохраняет знак почти всюду в О (для определенности возьмем J{x,f)> 0).

Определение 1.2.1. Отображение / называется отображением с ^-усредненной характеристикой, если

1) /еЙ^юс(£>);

2) Существует постоянная К0# > 0 такая, что выполняется

\1Д

КоАЛ=

<к,

О.Я'

где К0(х,/) = И'(х,/)|/(х,/)| 1 - внешняя дилатация отображения / в точке*, ¿(лг,/) = |/'(л)| = шах|/'(дг)Л|, ¿ах = <£с/(1+|*|2

Определение 1.2.2. Отображение / называется отображением с Ко 5 -усредненной характеристикой, если

1) /еИ^юс (£>);

2) Существует постоянная 5 > 0 такая, что выполняется

*w(/) = ¡Kso(x,f)J(x,f)dax

l/s

— '

Аналогично определяются отображения с К} 5 и с --усредненными характеристиками, где К1(х,/) = ^{х,/)\Гп(/,х) -внутренняя дилатация отображения / в точке х,

1(х,/) = 1(/'(х)) = тт\/'{хЩ, <Юх=(Ь/( 1 + И2)".

Известно24,25, что характеристики отображения связаны между собой следующими неравенствами

к, (*,/)* кг-1 (*,/),

К0 (х,/)<пЩх,/)<п*К0 (х,/) < п^Г1 (*,/),

где Х(х,/) = п-л/2|У/(х)|''|У(Л,/)|"1.

Поэтому при доказательстве основных результатов нам достаточно использовать одну из приведенных выше характеристик.

В разделе 1.3 приведен пример отображения с ¿-усредненной характеристикой, заданного на неограниченной области с пиком, за «остроту» которого отвечает параметр р .

Пример 13.1. Пусть И с К3 - область, определенная следующим

образом £> = {хе К3;0 << °°,0 < 5 ,0< *3 < 1] , где 0 < Р < 2.

Пусть /:/)-> О*, ,у3 = (|х,| + 1)1_а

I Ы+1

где О* =|уе М3;-«><>'1 <-ь»,1<>'2 ,1<у3 <+°о|, 0<а<1.

Показано, что построенное отображение является отображением с ¿-усредненной характеристикой, следовательно, класс исследуемых отображений не пуст, и не является отображением с ограниченным искажением.

В разделе 1.4 исследованы взаимосвязи классов и подклассов отображений с ¿-усредненной характеристикой с открытыми, непрерывными изолированными отображениями с ограниченным интегралом Дирихле и др. Для удобства результаты также представлены в виде таблиц.

24

Сычев A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. - ¡52 с.

23 Väisälä J. Lectures on л-dimentional quasiconformal mappings. - Lectures and Notes in Math. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York, 1971,- 144 p.

Пусть D,ö'cK" - произвольные области, /: D D' - отображение с Ko s, Ki.s> Kq.s или с Kts -усредненными характеристиками.

Определение 1.4.1. Будем говорить, что отображение / с K0,s и /Гц-у сродненными характеристиками принадлежит классу Qs K, / е Qs K, если, соответственно, выполнено

( V"

\D J

f

*,.«(/) = \КЦх,№х\ <ки<к.

Ко )

Отображение /: Б —> И' принадлежит классу 05 вД / е СЬ, если / € Qi.it> Для некоторого 0 < К < °°.

Определение 1.4.2. Будем говорить, что отображение / с $ и -усредненными характеристиками принадлежит классу О*,^, / е если, соответственно, выполнено

( V'1

Л |Л*,Л|Л* х <К-05<К,

чо У

/ N1/1

ЧО У

Отображение /: Б £>' принадлежит классу 0* в О, / е О*, если / е 0* д- для некоторого 0 < К < .

Покажем, что для отображений с «-усредненной характеристикой имеет место монотонность О* по «.

Предложение 1.4.4. Пусть области Б, И' с К", Э —*П, « < «'. Тогда имеет место вложение 0,. с , то есть, для любого / б О,- имеет место свойство класса .

Предложение 1.4.5. Пусть области О, О'с К" и т(П') < Пусть /: И —»О', такое, что кратность отображения N (/, О) < N <<*>. Пусть « < «'. Тогда 0* с .

Для подклассов отображений с «-усредненной характеристикой, определенных ниже, имеют место включения:

Определение 1.4.6. Функцию k(t):(0,°°) —> [0,°°) будем называть ядром, если она удовлетворяет следующим условиям

1) к (/) непрерывна, не возрастает и limk(r) = ;

(->0+

2)

о

Определение 1.4.7. Пусть / : D —открытое, непрерывное, изолированное отображение, / е И^^ДО), J(x,f) > 0 почти всюду в D. Пусть функция k(t) удовлетворяет определению 1.4.6. Если существует постоянная 0 < Ks k < °° такая, что для любой точки у е D' выполняется

к.* if)ы)к1+1 с*- y\)d°* J" * < - -

тогда /называется отображением с К1к (к) -усредненной характеристикой. Через Qs(к) обозначим класс таких отображений. Предложение 1.4.8. Пусть s < /, и ядро к (Г) удовлетворяет в области D условию {£(1+1)1'/<1'"1>(|л:-у|)<£с<°° для любого yeD. Тогда Qs, cQ,(Jk).

D

Предложение 1.4.9. Пусть s < s' и j k(\x-y\}dx<°° для любого

D

yeD. Тогда Q,.(Jfc)cQ,(Jfc).

Предложение 1.4.10. Пусть s<s' и ¿,(|х-у|) = )к(1+1,''/(1'+,,'(|л-у|)

для любого yeD. Тогда Qs. ) с Qs (к).

Представим полученные результаты в виде таблицы. Здесь, если не оговорено особо, D,D' с К" - неограниченные области, s > 1/(л-1) и s' > s.

Таблица 1.4.1

s'>s дополнительные условия

1.

2. m(D') < °°

3. Qs^Qs«) D

4. Q ,.(*)cQ,(i) D

5. QI.(ti)cQJ(t) *i a* - и)=*(|x -

В работе26 найдены условия, при которых имеют место включения классов отображений с искажением, ограниченным в среднем, заданных на ограниченной области О с Ж" в классы отображений с ограниченным интегралом Дирихле. Найдем условия, при которых для открытых, непрерывных изолированных отображений / с ограниченным интегралом Дирихле следует, что / является отображением с сред ценной характеристикой и при каких условиях - наоборот.

Определим еще один подкласс отображений с ^-усредненной характеристикой.

Определение 1.4.11. Пусть области ДО'с К", Будем говорить, что отображение/ принадлежит классу <2, (£)'), /е О ДО'), (или соответственно / е О*(О')), если мера Лебега области и конечна, тф') < «>, и кратность отображения N (/, О) < N < <*>.

Далее определим класс отображений с ограниченным интегралом Дирихле27.

Определение 1.4.12. Пусть Б - произвольная область, ОсК". Будем говорить, что отображение /: £) / = {/,,/,,...,/„}, принадлежит

классу ВЦ, / е ВЦ, если / непрерывно в Э и имеет в области Б первые обобщенные производные по х,,....,^ в смысле СЛ. Соболева, для которых выполнено

где |У/(дс)| =

о 1/2

1

Отображение /: Э —> К" принадлежит

классу ВЬР в И, / е ВИ, если / 6 ВЦ для некоторого к < °° .

Доказано, что для открытых, непрерывных, изолированных отображений имеют место следующие утверждения.

Предложение 1.4.13. Пусть области О.О'еК" и т(0') < Пусть

/еО)ф'), *>1 и ||7(лг,/)|^1 + |д:|2^ и с1х<М Тогда интеграл Ди-

о

рихле отображения/конечен, ]]У/"(дг)|" ёх < °°.

26 Малютина А.Н.Классы отображений с ограниченным в среднем искажением. // Вестник ТГУ. Томск, Изд. ТГУ, 2000, № 269, С.51-55.

27 Суворов Г.Д. Обобщенный «принцип длины и площади» в теории отображений. — Киев: Наук, думка. 1985. - 280 с.

Предложение 1.4.14. Пусть области D,D' с M" и тфг)<°°. Пусть j]V/(jc)|" dx<°°,N(f,D)<N< оо и 1/(и- 1) < í < 1. Тогда / е Q*s (D').

D

Приведем примеры, показывающие, что пересечение классов BL" и Q'(D') не пусто для 1/(л-1) < s < 1.

Пример 1.4.15. Рассмотрим множество

D = {xe R" : 0<х,,<1, i = 1,и-1, 1<х„ <°°} и отображение ГхХ'-Р V v'-P г v-'-P Г1-?]

J I 1-ß 1-ß 1-ß 1-ßJ

Доказано, что при /б ßL" при ß>(n + l)/n и установлено, что для

ß>(n + l)/n, l/(n-l)<s<2n + l отображение /е Qj(D').

Пример 1.4.16. Пусть в области D = {xe M" : 0 < jcf < 1, i = 1,п] за-

íxx1'9 х Г1"'11

дано отображение/ : D —*D\ f(x)= ß<l.

Показано, что при ß < (n-n2-l)/n < Un, 1/(л-1) < 5 < п-1 из сходимости интеграла J|V/(;t)|" dx следует, что отображение /е Q'(D').

о

Таким образом, мы установили, что пересечение классов BÜ nQ'(D') не пусто. В примере 1.4.15 область D имеет вид неограниченного сверху n-мерного параллелепипеда, в примере 1.4.16 - замкнутого n-мерного куба с ребром равным 1.

Заметим, что не всегда конечность интеграла Дирихле отображения/

влечет за собой принадлежность/к классу Q'(D'). Действительно, тот же пример 1.4.16 дает нам, что при lln < ß < (л - n2-l)/n, l/(n-\)<s<n-l,

/ е BÜ, но /й Q*(D')-

Пример 1.4.23. Рассмотрим множество

D = {xe R" : 0<xi<1, г = 1,и — 1, 1<хп <°°} и отображение

f:D^D\ f{x) = {/„/2,../„}, где / = i = fn=^-

Р Р

Вычислив, находим, что при р> и, l/(n -1) < s < pin из сходимости

интеграла Дирихле отображения/следует, что / е QS(D').

Если в этом же примере при р>п и ß > 1/р положить р/п < s, тогда

интеграл

D

Пример 1.4.23 показывает, что если р>п и J]V/(;c)|í'dx<°°, тогда

D

при 1/(и-1) < s<pin отображение feQs(D'), однако если взять р> п, pin < s, тогда из сходимости интеграла Дирихле построенного отображения не следует, что / е Q, (£>') является отображением с s-усредненной характеристикой.

Приведенные в разделе 1.4 результаты, предложения 1.4.13, 1.4.14, 1.4.17 - 1.4.22, можно сформулировать в виде включений и оформить в таблице.

Здесь области D,D'cE", m(D')<°° и N(/,D)<N<о°, отображение /: О —>D' - открытое, непрерывное, изолированное, / е W'n ы (D).

Таблица 1.4.2

дополнительные условия

1. B¿"CQ;(£>') l/(n-l)<i<l

2. ßL'cQ^D') p>n 1/(|1-1)<S<1

3. Q* (D') с BIT l<i

4. Q^D'lcBl' p<n 1 <s<p/(n-p) m(D) < °°

5. fií'cQ.fZ)') l/(n-l)<i<l D

6. BLP cQs(D') p>n l/(n-l)<i<p/n J |Лх.ЛГ(1 + И2) dx<°* v-

7. Q AD')<=BL" Г nl1/(s4) (i+w2) J

8. Qs(D') с BLP p<n pl(n-p)<s тф) < °°

Сравнение классов отображений с искажением, ограниченным в среднем28 и £ с классами отображений с ¿-усредненной характеристикой на ограниченной области Б дает нам следующие результаты (таблица 1.4.3).

Здесь О, Э' а К." - ограниченные области, /: £) —>£>', т(Р) < тф1) < «>.

28

Малютина А.Н. Классы отображений с ограниченным в среднем искажением. // Вестник ТГУ. Томск: Изд. ТГУ. - 2000, № 269, С. 51-55.

1. а=о,

2.

3. асО, 5'>.5

4. а* с о;

5.

6.

Результаты первой главы позволяют распространить соответствующие свойства и теоремы, доказанные для классов отображений с ограниченным интегралом Дирихле, классов отображений с искажением, ограниченным в среднем и др., на класс отображений с «-усредненной характеристикой, а также изучить возможность применения методов исследования этих классов, например, обобщенный «принцип длины и площади» в теории отображений пространственных областей с ограниченными интегралами Дирихле, емкостную технику, широко используемую для изучения отображений с искажением, ограниченным в среднем, для исследования рассматриваемых нами отображений.

Глава 2. Во второй главе изучаются аналитические свойства отображений с «-усредненной характеристикой.

В разделе 2.1 доказаны две теоремы о дифференцируемое™. Показано, теоремы 2.1.1, 2.1.2, что если компоненты отображения / ' е ^п'+^.ьсФ) > тогда отображение / е 1ос (О) при некоторых условиях на 8.

Теорема 2.1.1. Пусть область О с К", /:£>-> К", / =(/'>/2>—>/") - отображение с «-усредненной характеристикой, такое,

что

е,>0.

Пусть

а =

1+2>+е')"1-"ш"1

1 <к<т<п, 5 > а(а -1)"', 1 < \ < ¿2 <... < 1т < п.

Тогда /еЦГ^О), 5 = л(«(а-1)-а)(« + а;Г'. Теорема 2.1.2. Пусть ОсГ - область, /:£)-> Ж", / = (/1>/2'-">/") - отображение с «-усредненной характеристикой, такое,

что /'* е ^(В), е4 >0. Пусть 1</, </2 <...</„ <п 1 <к<т<п,

¿>1, а-

т ^

1 + -тп~

Тогда /бИ^ьДД), 5 = й(5-1)(а-1)(^+й-1Г'. В разделе 2.2 мы доказываем, что отображения с ¿-усредненной характеристикой являются полунепрерывными снизу.

Теорема 2.2.1. Пусть Эт с Б', т = 0,1,2..., - ограниченные области,

|£)'| < Л <оо. Пусть /„: О —>£)„, - последовательность отображений с ¿-усредненной характеристикой, ¿>(п-1)"' и последовательность {/„} сходится равномерно внутри О к непрерывному отображению/, /: £) —» М". Тогда

/

Теорема 2.2.2. Пусть ОтсБ\ т = 0,1,2..., - ограниченные области, |£>*| < Л <оо. Пусть /т: £> —>£)„ - последовательность отображений с ¿-усредненной характеристикой, ¿>1 и последовательность {/„} сходится равномерно внутри О к непрерывному отображению/, /: О —> М".

Тогда

*£,(/) = I K(x,f)J(x,f)dax <ШК'о.5Ю-

и

Для отображений квазиконформных в среднем см. работу Ю.Ф. Стругова29, для отображений с искажением, ограниченным в среднем - работу С.М. Борчук30.

Глава 3. В третьей главе описан геометрический метод для изучения свойств отображений с ¿-усредненной характеристикой, основанный на приводимом здесь специальном характеристическом законе искажения модуля семейств кривых. С применением этого метода получены некоторые геометрические свойства исследуемых отображений.

В разделе 3.1 приведено определение модуля семейства кривых для отображений с ¿-усредненной характеристикой и некоторые его свойства, доказана теорема об оценке модуля, теорема 3.1.6.

29 Стругов Ю.Ф. Отображения, квазиконформные в среднем. Новосибирск: 1979. -39 с. (Препринт СО АН СССР. Ин-т математики).

30 Борчук С.М. О полунепрерывное™ интегральных средних от аналитических отклонений пространственных отображений. - Донецк: Донец, ун-т, 1991. - 47 с. (Рукопись деп. в УкрНИ-ИНТИ, № 43 - Ук91).

Определение 3.1.2 Пусть Г с К" - некоторое семейство кривых. Функцию р: К" —» К1 будем называть допустимой метрикой для Г и обозначать рлГ, если она неотрицательна, измерима по Борелю и ^р^ >1

для V у е Г,тагс15г=(151(1+\х^).

Определение 3.1.3 Для произвольного /, 1 < / < °°, определим модуль порядка / семейства кривых Г, как нижнюю грань

М,{Г) = М ¡р'Шох, и*

где <1ах = <¿1/^1 +|лс|21 , инфимум берется над классом всевозможных метрик р л Г. Часто, если не приведет к разночтениям, индекс / мы будем опускать.

Теорема 3.1.6 (об оценке модуля) Пусть /: й —»К" - отображение с ^^-усредненной характеристикой. Тогда выполняется неравенство

Л/(Г)<М ¡(р(х)У К,(х,/)с/о, ' ^-З-6-1)

рл о

где Г - некоторое семейство кривых, в области О, Г - образ семейства Г при отображении /.

На основании полученной оценки, в разделе 3.2 §§ 3.2.1, 3.2.2, доказаны теоремы о поведении исследуемых отображений в окрестности изолированной особой точки. Получены оценка искажения евклидовых расстояний, теорема 3.2.1.5, и теорема 3.2.2.1 о порядке роста.

Необходимо отметить, что неравенство вида 1.3.6.1 является ключевым условием в определении более общего класса пространственных отображений, уже упоминавшегося выше, - класса 2" гомеоморфизме в31.

Теорема 3.2.1.5 Пусть /: О —» Б' - отображение с «-усредненной характеристикой. Тогда для всякой точки х0еО и точки хе В" (х0,с1), (I = р(х0,дБ) справедлива следующая оценка

\/(х)-/{х0)\<М'е-^, где /?*=л(/(д:„),/[в" А, - некоторая величина, зависящая толь-

31 Мапю О., Иуагашу V., и. БгеЬго апЛ УакиЬоу Е. Оп б-ЬотеотогрЫвпк // Апл. АсаА. Ба. Иепп. 30 (2005), N0 1,1-21.

ко от 1(х,х0) =

^ ¡г" Цх-х^у)^,/)<!<,,

УМ

и г (г, у) - произволь-

ная метрика, допустимая для семейства Г([0,г],5" (л„,</);5" (х0,(/)), 0 < Г < ё.

Теорема 3.2.2.1 Пусть/- отображение с К,$ -усредненной характеристикой,/отображает шар В" на себя, /(0) = 0 и К ;/(0,г)<(1пс/г)а(" где 0<а<1, 0<Г < 1, постоянная с >е . Тогда

где ^(с,|х|) = [р(1п1/|х|)"'((1пс/|я|/-(1пс/)]1/(""'), р = а(л-1) + 1.

В разделе 3.3 мы вводим геометрическое определение (3.3.6) отображений с ^-усредненной характеристикой и описываем геометрический метод для изучения свойств исследуемых отображений, использование которого позволяет нам установить эквивалентность геометрического и аналитического определений исследуемых отображений, теорема 3.3.9.

Теорема 3.3.1. Пусть Б, Э' с К" - области, /: И —Ф' - отображение с К*05 -усредненной характеристикой, 5 > 1. Пусть Ас£) - борелевское множество такое, что А1(/,А)< со. Тогда существует ограниченная, неотрицательная, аддитивная, абсолютно непрерывная функция Ф£, 5 борелевских

множеств в Э такая, что для любого семейства кривых Гс А выполнено неравенство

Г) < лг1 (/, л)-Ф^(Д)-лси (/г).

Теорема 3.3.2. Пусть Б с К" - ограниченная область, А'с!" - область. Пусть/: О —>£)' - отображение с 3 -усредненной характеристикой,

5> 1/(п-1). Пусть СсВ - борелевское множество такое, что ¿V(/(?)< со. Тогда существует ограниченная, неотрицательная, аддитивная, абсолютно непрерывная функция Ф* $ борелевских множеств в £> такая, что для любого семейства кривых Гс (/ выполнено неравенство

К (Г) > с- (А Ю ■ ф;/ (С) • лс/(1+|) (/Г), где с (Д Л) - константа, зависящая от области Б.

Теорема 33.5 Пусть О с К" - нормальная область, О' с К" - область. Пусть / : О —>0' отображение с К0$ и ^гусредненными характеристиками, ^ > и-1. Пусть Гс й - семейство кривых, причем любая кривая у е /Г имеет, по крайней мере, т существенно различных поднятий, принадлежащих Г. Тогда справедливы неравенства

где Р = ¿/(5-1).

Под геометрическим определением отображений с ¿-усредненной характеристикой будем понимать следующее.

Определение 3.3.6. Скажем, что открытое изолированное непрерывное отображение /:

- принадлежит классу где 1/(л-1)<5<°°, если существует ограниченная квазиаддитивная функция $, заданная на открытых множествах области Э, такая, что для любого семейства кривых Г из и произвольного борелевского множества С с £), содержащего все кривые из Г, выполняется неравенство

к:..„(п (Ц:

- принадлежит классу С?,- (О'), где (и-1) < / < °°, если существует ограниченная квазиаддитивная функция У,., заданная на открытых множествах области £)', такая, что для любого семейства кривых Г7 из О' и произвольного борелевского множества С с О', содержащего все кривые из Г', выполняется неравенство

млп^лсот-л^чп.

где С'=/(С), Г' = /(Г) = {/(у): уе Г], Р = ¿/(¿-1);

- принадлежит классу (О), где (и-1) < 5, °°, если выполняются оба закона (3.3.6.1), (3.3.6.2) искажения модулей любых семейств кривых Г из Б и Г' из £>'.

Через ^ [О), <75. (£>')' <755. (О) обозначим, соответственно подклассы ^(О)<=0;(£>), сотображений, для которых вышеопределенные функции Ф*5, являются абсолютно непрерывными функциями борелевских множеств.

Теорема 33.9. Пусть / »О' - непрерывное открытое изолированное отображение, ¿>п-1, 51 > и -1. Следующие условия эквивалентны:

(1) /-отображение с К13 -усредненной характеристикой и

со;

о

(2) /е 1у!,,1ос (0\ВГ), /е№п11ос(В) - невырожденные в своих областях задания отображения и следующие интегралы конечны

19

(3) /еО,ЛО);

(4) /б9ы.(0).

Для гомеоморфных отображений с искажением, ограниченным в среднем, эквивалентность аналитического и геометрического определений доказана в работе В.И. Крутикова32, для негомеоморфных отображений с искажением, ограниченным в среднем - в работе А.Н. Малютиной33.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю доценту Малютиной Александре Николаевне за постановку задач и полезные обсуждения.

Перечень работ автора по теме диссертации

1. Елизарова М. А. Дифференциальные свойства отображений с «-усредненной характеристикой / Малютина А.Н., Елизарова МЛ. // Вестник ТГУ. № 300 (I). - 2007 г. - С. 124-129.

2. Елизарова М.А. Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с «-усредненной характеристикой. / Малютина А.Н., Елизарова М.А. // Вестник ТГУ. Математика и механика. № 4 (8). - 2009 г. - С. 46-52.

3. Елизарова М.А. Оценки искажения модулей для отображений с «-усредненной характеристикой. / Малютина А.Н., Елизарова М.А. // Вестник ТГУ. Математика и механика. № 2 (10). - 2010 г. - С. 5-15.

4. Елизарова М.А. О связи классов отображений с «-усредненной характеристикой с некоторыми классами пространственных отображений. / Малютина А.Н., Елизарова М.А. // Вестник ТГУ. Математика и механика. № 4(12). - 2010 г. (в печати).

5. Елизарова М.А. О дифференцируемое™ отображений с «-усредненной характеристикой // Материалы ХЬУ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (МНТК-45): Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007 г. -323 с.

6. Елизарова М.А. Пример отображения с «-усредненной характеристикой // Тезисы докладов Всероссийской конференции по математике и механике. Томск, ТГУ, 2008 г. - С. 74.

32 Кругликов В.И., Пайков В.И. Некоторые геометрические свойства отображений с искажением, ограниченным в среднем. Донецк, Донецк ун-т, 1982,43с. - (Деп. в ВИНИТИ 06.09.82

№ 4747-82 Деп).

33 Малютина А.Н. Об эквивалентности геометрического и аналитического определений отображений с ограниченным в среднем искажением // Экстремальные задачи теории функций 8. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. - С. 64-70.

7. Елизарова М.А. Теоремы о дифференцируемое™ отображений с ¿-усредненной характеристикой // Молодежная научная конференция ТГУ в рамках Всероссийского фестиваля науки, 2009 г.: Труды Томского государственного университета. Т.273. Сер. общенаучная. Томск: Изд-во Том. ун-та, вып.2, 2010 г. Проблемы естествознания. 495 с.

8. Елизарова М.А. Геометрические свойства отображений с ¿-усредненной характеристикой // Материалы ХЬУШ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (МНТК-48): Математика Новосиб. гос. ун.-т. Новосибирск, 2010 г.-С. 84.

9. Елизарова М.А. Граничные свойства отображений с ¿-усредненной характеристикой / Малютина А.Н., Елизарова М.А. // Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», 2010 г.: Тезисы докладов, ИГИЛ СО РАН. - Новосибирск, 2010 г.-С. 32.

10. Елизарова М.А. О граничных свойствах отображений с ¿-усредненной характеристикой // Материалы Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» в рамках Всероссийского фестиваля науки в Томске, 2010 г.: Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010 г. - С. 77-79.

Тираж 110 экз. Заказ 1140. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. (3822) 533018.

Введение.

Предварительные обозначения и терминология.

Глава 1 Отображения с ^-усредненной характеристикой.

1.1 Некоторые необходимые сведения из теории непрерывных отображений.

1.2 Определение отображений с х-усредненной характеристикой.

1.3 Пример отображения с ^-усредненной характеристикой.

1.4 Связь классов отображений с ^-усредненной характеристикой с некоторыми другими классами пространственных отображений.

Глава 2 Аналитические свойства отображений с усредненной характеристикой.

2.1 Теоремы о дифференцируемости отображений с

-усредненной характеристикой. Достаточные условия того, что /е^+51ос(Д).

2.2 Полунепрерывность снизу отображений с ^-усредненной характеристикой.

Глава 3 Некоторые геометрические свойства отображений с ^усредненной характеристикой.

3.1 Определение и свойства модуля семейства кривых.

Теорема об оценке.

3.2 Поведение отображений с /-усредненной характеристикой в окрестности изолированной особой точки.

3.2.1 Оценка искажения евклидовых расстояний.

3.2.2 Теорема о порядке роста.

3.3 Искажение модуля семейства кривых для отображений с /-усредненной характеристикой. Эквивалентность аналитического и геометрического определений.

В последние десятилетия XX века начала интенсивно развиваться важная часть теории функций многих переменных - теория пространственных квазиконформных отображений и их обобщений. Теория плоских квазиконформных отображений, как обобщение классических конформных отображений, возникла в конце 20-х годов XX века в работах Г. Греча и М.А. Лаврентьева. Ее зарождение было обусловлено как внутренними потребностями комплексного анализа, так и его практическими приложениями. За годы своего существования теория плоских квазиконформных отображений стала хорошо разработанной областью теории функций комплексного переменного и нашла широкое применение для решения классических задач динамики и сплошных сред. Например, задача о волновом движении тяжелой жидкости, задача о струйном обтекании контура и др. Достаточно полное изложение теории таких отображений дано в монографиях [3], [4], [22], [26], [40] [83] и др.

Понятие пространственного гомеоморфного квазиконформного отображения было введено М.А.Лаврентьевым [27] в 1938 г. в поисках подходящего аппарата для построения математических моделей некоторых явлений гидродинамики, в частности пространственного течения сжимаемой среды. Изучение класса пространственных квазиконформных отображений представляет особый интерес, так как он достаточно широк, по сравнению с классом конформных отображений, который, согласно известной теореме Лиувилля (1850 г.), исчерпывается лишь преобразованиями Мебиуса, т.е. суперпозициями конечного числа инверсий относительно сфер или плоскостей, что приводит к невозможности переноса техники получения свойств квазиконформных отображений в М2 на изучение свойств пространственных квазиконформных отображений.

Начало интенсивных исследований в этой области относится к концу 50-х и началу 60-х годов. Одна из причин этого состояла в том, что методы, развитые для исследования плоских квазиконформных отображений, оказались непригодными для изучения пространственных квазиконформных отображений, так как они в основном основывались на теории конформных отображений. Поэтому появилась необходимость создания новых методов. В этот период, благодаря работам Б. Фугледе, Ю. Вяйсяля, Ф. Геринга, Б.В. Шабата и др. создается один из основных методов исследования свойств квазиконформных отображений, суть которого заключается в характеристическом свойстве квазиинвариантности конформных инвариантов (конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых или поверхностей) при квазиконформных отображениях пространственных областей. Применению этого геометрического метода посвящены монографии [11], [61], [66], [75], [93]. Обзор разнообразных эквивалентных условий квазиконформности гомеоморфных отображений содержится в [69].

Наиболее существенный вклад в развитие теории пространственных квазиконформных отображений в эти годы внесли М.А.Лаврентьев, Б.В. Шабат, П.П. Белинский, Ю.Г. Решетняк, В.А Зорич, Г.Д.Суворов, А.В.Сычев, И.П. Митюк, В.М. Гольдштейн, В.В. Кривов, В.М. Миклюков, С.Л. Крушкаль, Б.П. Куфарев, В.В. Асеев, С.К. Водопьянов, А.П.Копылов, Л. Альфорс, Ф. Геринг, О. Мартио, С. Рикман, Ю. Вяйсяля, М. Вуоринен, Г. Андерсон, Р. Някки и др.

В середине 50-х годов в связи с потребностями теории дифференциальных уравнений в частных производных возник интерес к изучению плоских, а затем пространственных отображений с ограниченными интегралами Дирихле. Однако объектом теории отображений этот класс стал только после того, как было замечено, что неравенство, уже давно используемое в теории аналитических функций и известное как «принцип длины и площади», вполне применимо к изучению и этих отображений, более общих, чем конформные. Отображениями плоских областей занимались Лелон-Ферран [84], [85] Г.Д. Суворов [59], а также его ученики Б.П. Куфарев, И.С. Овчинников, В.М. Миклюков и др. Систематическое исследование свойств пространственных отображений с ограниченными интегралами Дирихле началось с работы И.С. Овчинникова и Г.Д. Суворова [41].

Также в 60-е годы, наряду с продолжающимся развитием теории квазиконформных отображений, начинается и систематическое изучение пространственных квазиконформных отображений в М", п> 3, называемых отображениями с ограниченным искажением (или квазирегулярными отображениями). Аналитические методы исследования таких отображений были разработаны Ю.Г. Решетняком [47], а геометрический метод (как и в случае квазиконформных отображений) — метод модулей, основанный на свойстве квазиинвариантности конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых, был предложен Ю. Вяйсяля, О. Мартио, С. Рикманом [87], и Е.А. Полецким [43], М. Вуориненом [94].

Естественным обобщением квазиконформных отображений являются гомеоморфные отображения, квазиконформные в среднем, поскольку в пространстве К", п>3 существуют достаточно простые области, гомеоморфные шару, которые невозможно квазиконформно отображать на шар. При аналитическом определении таких отображений, ослабляя требование квазиконформности, предполагается ограниченность каких-либо интегральных средних от аналитических отклонений отображения. Различные классы отображений, квазиконформных в среднем, рассматривались в работах [2], [4], [13], [17], [21], [25], [39], [48], [50], [54]-[58] и др.

Разнообразие классов пространственных квазиконформных отображений обусловлено, прежде всего, тем, что каждый класс отображений отражает то или иное качественное свойство, присущее исследуемому классу отображений, что, в свою очередь, порождает различные приемы и методы исследования их свойств.

Разработке же общих геометрических методов, использующих емкостную и модульную технику, и их применению при исследовании свойств отображений, квазиконформных в среднем, посвящен ряд статей В.И. Кругликова (см., напр., [17], [18]). Эти методы отражают законы 6 искажения емкостей конденсаторов при отображениях, квазиконформных в среднем, и по своей значимости они подобны соответствующим геометрическим методам в теории квазиконформных отображений.

Первые попытки систематического исследования свойств негомеоморфных отображений, квазиконформных в среднем (называемых также отображениями с искажением, ограниченным в среднем), при помощи геометрических методов были предприняты в 80-х годах XX века в работах [18], [20], [27], [62]. Общие геометрические методы, использующие емкостную технику при исследовании свойств отображений с искажением, ограниченным в среднем, получены в работах [5], [6], [7], [8], [9], [20], модульную технику - в работах [27], [62] и др.

Следует отметить, что негомеоморфные отображения, квазиконформные в среднем, могут иметь неограниченными на компактах свои кратность и степень [19], [20], в отличие от отображений с ограниченным искажением, где, согласно теореме Ю.Г. Решетняка [45], данное обстоятельство не имеет места.

В последнее десятилетие XX века и до настоящего времени интенсивно изучаются различные отображения с конечным искажением [70]-[73], [76]—[82], [86] и др., естественным образом обобщающие конформные, квазиконформные и квазирегулярные отображения. Во всех этих обобщениях, как и в классической теории, модульная техника играет ключевую роль. Имея в виду такую значимость модульной техники, профессор О. Мартио предложил следующую общую концепцию — теорию ^-гомеоморфизмов, основы которой были заложены в работах [38], [89], [90], а в работе [88] концепция ^-гомеоморфизмов была распространена на отображения с ветвлением, так называемые <9-отображения. Основной целью теории О-гомеоморфизмов является изучение взаимосвязей свойств отображения /со свойствами мажоранты Q(x) (см. опр. 3.1.7).

Настоящая работа посвящена изучению негомеоморфных пространственных отображений, заданных на произвольной области £)(= М", п> 3 и называемых далее отображениями с я-усредненной характеристикой. Данные отображения были введены в работе [32] в качестве естественного обобщения класса отображений с искажением, ограниченным в среднем (см. работы [17], [18], [24], [25], [55]). Используя модульную технику, нами описан общий геометрический метод исследования свойств отображений с ^-усредненной характеристикой — метод, базирующийся на оценках искажения модулей семейства кривых, полученных в данной работе для класса исследуемых отображений; теорема об оценке модуля, доказанная в третьей главе, указывает на непосредственную связь исследуемых нами отображений с вышеназванными классами гомеоморфизмов. Установлены некоторые аналитические свойства отображений с ^-усредненной характеристикой, такие как полунепрерывность снизу, дифференцируемость -достаточные условия того, что /е И^д 1ос(£)). Показано, что класс-. исследуемых отображений не пуст и обобщает класс отображений с искажением, ограниченным в среднем. Беглое представление о затрагиваемом здесь круге вопросов можно получить из оглавления.

Результаты работы имеют теоретическое значение, являются новыми и могут найти применение в различных областях теории пространственных отображений. Так, например, продолжая начатое в первой главе изучение взаимосвязей отображений исследуемого здесь класса с отображениями других классов, мы установили, что полученные включения позволяют распространить свойства хорошо изученных классов отображений на класс отображений с ^-усредненной характеристикой.

Например, можно установить, при каких условиях на я свойство равностепенной непрерывности (весового) класса отображений с

С?,а)-усредненной характеристикой, 0'кА (к, О) [37], будет иметь место для некоторого подкласса отображений с 5-у средней ной характеристикой.

С помощью геометрического метода исследования свойств отображений, описанного в третьей главе, - метода модулей и включений, полученных в первой главе, установлена эквивалентность геометрического и аналитического определений для отображений с ^-усредненной характеристикой, заданных на ограниченной области £>с:М", п>Ъ. Найдены оценки модуля и законы искажения модуля семейства кривых, применение которых является ключевым моментом при изучении геометрических свойств отображений с ¿-усредненной характеристикой, таких как поведение отображений в окрестности изолированной особой точки (теоремы о порядке роста и искажении евклидовых расстояний (раздел 3.2 настоящей работы)). Результаты работы в дальнейшем позволяют изучить вопросы о соответствии границ и асимптотическом поведении отображений заданных на единичном шаре 5"с1", п > 3, о стирании особенностей, и др.

Содержание работы изложено в трех главах, имеющих свою нумерацию параграфов (разделов), разбитых, в свою очередь, на пункты. Для утверждений типа лемма, теорема и т.п. в работе принята тройная нумерация (глава, параграф, порядковый номер). Так, например, утверждение типа теорема 1.3.1 является первой теоремой § 3 главы 1. Формулы, на которые имеются ссылки в тексте работы, нумеруются четырьмя цифрами, означающими главу, параграф, утверждение и т.п., порядковый номер. Также для формул, ссылки на которые имеются только внутри некоторого утверждения, теоремы и т.п., предусмотрена вспомогательная нумерация, состоящая из порядкового номера со штрихом справа, например, (1'). В список литературы включены лишь те публикации, на которые имеется ссылка в тексте.

Все рассуждения в работе, если не оговорено особо, проводятся в «-мерном евклидовом пространстве М" при п > 3.

Переходя к содержанию диссертации, будем использовать предварительные обозначения и терминологию, приводимые сразу после введения, в разделе 1.1 главы 1 и в разделе 3.1 главы 3.

Основной целью первой главы является определение класса отображений с 5-усредненной характеристикой, представление примеров таких отображений, подтверждающих, что класс исследуемых отображений не пуст, а также сравнение с другими классами пространственных отображений, например, с отображениями с ограниченным искажением [47], с отображениями с искажением, ограниченным в среднем [13], [20], [27], [29], [42], [55] и др., а также с открытыми, непрерывными, изолированными отображениями с конечным интегралом Дирихле [41].

Содержание главы 1 изложено в четырех пунктах и опирается на работы [32], [33], [34].

После вспомогательного раздела 1.1, содержащего некоторые сведения из теории пространственных отображений, в разделе 1.2 дано аналитическое определение отображений с 5-усредненной характеристикой.

Пусть В - область в К", «>3, и отображение - открытое, непрерывное, изолированное, / еЖп'1ос(1)), 1/(и-1). Якобиан отображения

7(х,/) сохраняет знак почти всюду в О (для определенности возьмем J(xJ)> 0).

В каждой точке х&В определим величину с!<ух=с1х/[ 1 + |х|2) , где

И2+.+*,:.

Определение 1.2.1. Отображение / называется отображением с А"0>3-усредненной характеристикой, если

1) /еж1>,ос(/));

2) Существует постоянная К0,5 > 0 такая, что выполняется неравенство ул о(х,/)с1ах\ <К03, (1.2.1.1) где К0 (х,/) — внешняя дилатация отображения f в точке х, (1.2.2).

Определение 1.2.2. Отображение / называется отображением с /^-усредненной характеристикой, если

1) /е^юс(-О);

2) Существует постоянная К'0 3 > 0 такая, что выполняется неравенство

Ки/Я \К>{х,/Щх,/уЛ (1.2.2.2) о У

Определение 1.2.3. Отображение / называется отображением с К1 х -усредненной характеристикой, если

1)/еж1,,ос(Г>);

2) Существует постоянная К13 > 0 такая, что выполняется неравенство = (к (*»/)**-) * > (1-2.3.1) где К^х,/) внутренняя дилатация отображения f в точке л:, (1.2.1).

Определение 1.2.4. Отображение / называется отображением с К'13 -усредненной характеристикой, если

2) Существует постоянная К'15 > 0 такая, что выполняется неравенство К;5. , (1.2.4.1)

Определение 1.2.5. Отображение / называется отображением с (я, я*)0 усредненной характеристикой, если оно является отображением с и К'05 усредненными характеристиками.

Определение 1.2.6. Отображение / называется отображением с (5,5*), усредненной характеристикой, если оно является отображением с К15 и К'15 усредненными характеристиками.

Замечание 1.2.7. В силу неравенств (1.2.5) - (1.2.7), связывающих характеристики отображения/отображения в определениях 1.2.5, 1.2.6 также называют отображениями с ¿--усредненной характеристикой.

Для величины с1<зх=сЬс/^ 1 + |д:|2| , согласно замечанию 1.2.8, выполнены соотношения и+1

1) а. = = (1.2.8.1) сЬс к2

2\Л

2) 0 < 1/(1-ь|л:| ) < 1, (1.2.8.2) которые потребуются нам при доказательстве основных результатов работы.

В разделе 1.3 приведен пример отображения с ¿-усредненной характеристикой.

Пример 1.3.1. Пусть £>с:К3 - область, определенная следующим образом £) = {хеЕ3;0<|д:1|<оо,0<х2 <|х,|Р,0<х3 <1} , где 0<(3<2. Рассмотрим отображение / :£)—>>£>*, уек-;у1=х1}у2 =г^—,Уз =х3(|х1| + 1)'

1.3.1.1)

К1+: где = |7еМ3;-со<^ <+со,0<у2 <|*,|Р,0<73 <+оо|, 0<а<1.

Показано, что построенное отображение (1.3.1.1) является отображением с ¿-усредненной характеристикой и не является отображением с ограниченным искажением.

В разделе 1.4 определены классы и подклассы отображений с ¿-усредненной характеристикой и изучены условия, при которых имеют место включения классов исследуемых отображений в некоторые другие классы пространственных отображений и наоборот.

Определение 1.4.1. Будем говорить, что отображение / с Ко.5 и гусредненными характеристиками принадлежит классу Р если выполнено 1/|Г

V"

К*0(х,ЛЛах <К05<К< сю, о и, соответственно,

К1{х,/)с1с5х ч 1/5

К13 <к<оо.

Отображение / :£>—> О' принадлежит классу в £>, если е к, для некоторого 0 < К < оо.

Определение 1.4.2. Будем говорить, что отображение / с К'ох и К'15 -усредненными характеристиками принадлежит классу / если выполнено

V'*

ЛI < К^ <К< оо,

ЧО и, соответственно, \ Чо у

Отображение / :£>-»£>' принадлежит классу О* в £>, /еф*, если / е 0* ^, для некоторого 0 < К < оо.

Замечание 1.4.3. В силу неравенства (1.2.6), связывающего характеристики отображения между собой, к классам отображений и также относятся отображения /, для которых дополнительно к определениям выше выполнено i/л

К< оо и, соответственно, n I/S

X'{x,f)\j(x,f)\da, <K< oo.

D )

Поэтому, при проведении доказательств нам достаточно рассмотреть отображение с какой-нибудь одной из приведенных выше характеристик, составляющих исследуемый класс.

Предложения 1.4.4, 1.4.5 устанавливают, что для отображений с ¿•-усредненной характеристикой имеет место монотонность Qs, Q* по s.

Предложение 1.4.4. Пусть ДЛ'сЕ" - области, /: D —»D', /е Q5, s < s\ Тогда имеет место включение Q5, с: .

Предложение 1.4.5. Пусть D,D' с R" - области и m(D')< оо. Пусть /: D —>D', f gQs, такое, что кратность отображения N (f, D) < N < оо. Пусть s < s'. Тогда Q*. с Q*.

Определение 1.4.7. Пусть /: D -+D' открытое, непрерывное, изолированное отображение, / е Wxn l0c(D), J(x,f) > 0 почти всюду в D. Пусть функция k(t) удовлетворяет определению 1.4.6. Если существует постоянная О < Ks к < со такая, что для любой точки у е D' выполняется неравенство тогда /называется отображением с Ksk(k)-усредненной характеристикой. Через обозначим класс таких отображений.

В силу неравенства (1.2.6), класс отображений также составляют отображения, определяемые неравенствами d j y/j

К< 00,

K'x{xj)k»X§t-y\)d<5x d j

Is

K< 00, где 0 < К < оо — положительная константа.

Для отображений класса Qs(k) имеют место следующие вложения (1.4.8-1.4.10)

Предложение 1.4.8. Пусть s <s ', и ядро к (t) удовлетворяет в области

5+1К

D условию Гк s'~s (|jc-y|)£36c<oo для любого у е D. Тогда Qs. cz Qs (к). D

Предложение 1.4.9. Пусть s < s' и — y\)dx < 00 для любого у gD. D

Тогда Qs,(k)czQs(k).

Предложение 1.4.10. Пусть s<s', тогда Q^k^aQ^k), где кх(|х-у\) = k(^)s'h(|х-у\) для любого yeD.

Полученные результаты представлены в виде таблицы. Здесь, если не оговорено особо, D,D' с IR" - произвольные области, .s> 1/(и-1)и s'>s.

Tat Ыица 1.4.1 s'>s дополнительные условия

1. q, с q*

2. q; m{D') < оо

3. D

4. Q,(k)aQs(k) J^r —dx < со D

5. $,(*,) с Q,(*)

Далее для подклассов отображений с ¿-усредненной характеристикой, определение 1.4.11, найдены условия, при которых для открытых, непрерывных изолированных отображений / с ограниченным интегралом Дирихле следует, что / является отображением с ¿-усредненной характеристикой и при каких условиях - наоборот.

Определение 1.4.11. Пусть ДИ'с!" - области, / : D —*D'} /е Q,, (или / eQj). Будем говорить, что отображение/ принадлежит'классу Q,(£>'), / eQs (£>'), (или соответственно / eQ* (£>')), если мера Лебега области D' конечна, m{D') < о°, и кратность отображения / е , (/ е Q*). N (f, D) < N < 00.

Предложение 1.4.13. Пусть £>,£>'с: М" - области и m(D')< 00. Пусть отображение / еQ*, 5 > 1 и |./(х,/)|^1 + |х|2 j dx<M <00. Тогда интеграл

Дирихле отображения/конечен, j]v/(x)j" dx < qo . D

Предложение 1.4.14. Пусть Д£)'с1" - области и m(D')<oo. Пусть Jv/(x)|n^<oo,iV(/;Z))<jV< 00 и 1 !{п- \)<s< 1. Тогда /е <£(£>'). D

Пример 1.4.15 показывает, что если / е ВП, тогда при при И{п-\)<б <2п + \ отображение /е 0* (£>')• Здесь область £> имеет вид неограниченного сверху «-мерного параллелепипеда. Пример 1.4.15. Рассмотрим множество = {х е М": 0 < х, < 1, / = 1,п -1, 1 < х„ < со} и отображение/: I) —>£>', = £¡=¿1,р > („ +1)/« 7^ [1-Р 1-р 1-р 1-р/

В примере 1.4.16 отображение / задано на ограниченной области И - замкнутом «-мерном кубе с ребром равным 1. Показано, что при

Р < (п-п-Х)1п < 1 /и, 1/(п -1) < 5 < п -1 из сходимости интеграла |]У/Хх)|" сЬс следует, что отображение /еО'^СО

Пример 1.4.16. Пусть в области Д = {хбЁ": 0<х <1, i = \,n} задано

Гх х'~р X х'~р х х1-р х'~р 1 отображение /: Э -►£>', /(х) = \ Ы^ Ы^ Ь^^ З^ I р < 1.

1-Р 1-Р , 1-р 1-р/

Таким образом, мы показали, что пересечение классов ВП п О* (-СО не пусто.

Заметим, что не всегда конечность интеграла Дирихле отображения / влечет за собой принадлежность/к классу 0* (!)')• л

Действительно, этот же пример дает нам, что при 1 /п <$<(п — п —1 )/и, 1/(и-1)<5<и-1, /еШТ, но/£<£(£>').

Предложение 1.4.17. Пусть £),£>' с: М" - области. Пусть область £> ограничена и тф) < со, /еОХ-^О> р<п, б > 1. Тогда интеграл ||У/(х)^¿¿с о сходится.

Предложение 1.4.18. Пусть Д^с!" - области и т(£)') < оо. Пусть

УДх^^оо^ (/£>)<#< оо , 1/(л-1)<лг< \,р>п. Тогда /е0;(£>'). о

Предложение 1.4.19. Пусть £>,£>'с- области и т{П')<со. Пусть еС1(£>'),5>1и ] |./(х,/)|*(1 + |х|2) сЬс<М <со. Тогда ]|У/(*)Г с1х < оо.

•- -1 о

Предложение 1.4.20. Пусть £>,£>' с: К" - области и т(П)< оо. Пусть |у/(х)|" (Ь < оо, 1/(и-1) < 5 < 1 и ||¿/ст, < М < оо. Тогда / е . О

Предложение 1.4.21. Пусть Д£)'сМ" - области, область £> ограничена и т{П)< со. Пусть отображение / е<^(£0> р < п, р/(п~р) < 5.

Тогда ||^У(х)|Р ¿¿с < оо.

Предложение 1.4.22. Пусть Дй'сГ - области и т{П)< оо. Пусть

У/(х)|'й£с<оо, 1/(ц- 1)<5 <р/я, р>п 0

1 |./(х,/)Ц1 + |х|2) ¿¿с<М <оо. Тогда(£>'). 1и

Пример 1.4.23 показывает, что если р> п и ^/(х)^ dx< со, тогда при D

1/(и-1) < s <р/п отображение f ^Qs(D'), однако если взять р> п, p/n<s, тогда из сходимости интеграла Дирихле построенного отображения не следует, что f е Qs(D') - отображение с ^-усредненной характеристикой. Пример 1.4.23. Рассмотрим множество D = {xeM": 0<д:,. < 1, / = 1,и — 1, 1 <х„ <оо} и отображение f:D—*D',

Вычислив, находим, что при р>п, 1 !{п -1 )<s<p/n из сходимости интеграла Дирихле отображения/следует, что / е Qs(D').

Если в этом же примере при р> п и 1/р положить pin < s, тогда интеграл j] V/(х)|Р dx < оо, но / ё Qs (D'). D

Заметим, что предложения 1.4.13, 1.4.14, 1.4.17 - 1.4.22 можно сформулировать в виде включений и расположить в таблице (табл. 1.4.2 ниже). Так, например, предложение 1.4.14 примет следующий вид.

Предложение 1.4.25. Пусть области £>,£>' с Е" и m(D') < со. Пусть,

N(f,D)<N< со и 1 ¡(n- 1) < s < 1. Тогда имеет место включение BL" cz Q*S(D').

Не останавливаясь подробно на приведении формулировок, сведем результаты в таблицу (таблица 1.4.2, см. ниже).

Сравнение классов отображений с искажением, ограниченным в среднем Qs и Q] [30] с классами отображений с 5-усредненной характеристикой на ограниченной области D дает нам следующие результаты.

Предложение 1.4.26. Пусть D,D'aW - ограниченные области, m{D) < оо, m(D') < со. Тогда классы QS=QS и Q* = Q* совпадают.

Предложение 1.4.27. Пусть D,D' a R" - ограниченные области, s < s', тогда имеют место включения Qs. a Q^, Q¡, a Q], Qs, с Qs, Q¡, с: Q*.

Результаты сведены в таблицу (таблица 1.4.3).

Таблица 1.4.2 дополнительные условия

1. ШГ с <£(£>') 1/(л-1)<5Г<1

2. ВП с <£(£>') р>п 1/(и-1)<$<1

3. <Е(1>') с Щ," 1<*

4. р <п 1 <5 < р/(п~р) т{П) < оо

5. ЯГ с <*,(£>') Л^лГ'^а^оо о

6. ВП а ЪХО') р> п 1/(л-1) < р1п 1 о |У(х,/)Г(1 + |х|2)Л р (ЖС <00

7. 1 £ |У(х,ЛГ(1 + Н2)" 1/(5-1) сЬс < ОО

8. Од Л') с: Ж' р <п р!{п — Р)<8 т(£>) < 00

Здесь (табл. 1.4.2) области ДО'сй", /иф') < оо, N{/, £>) <N< оо, : D —»•£)' - открытое, непрерывное, изолированное отображение.

Таблица 1.4.3

1. а=а

2.

3. а<=0,

4.

5. б, с а

6. 0;. с е;

Здесь (табл. 1.4.3) - ограниченные области, /:£)— т(Р) < оо, т(П) < оо.

Результаты первой главы позволяют в дальнейшем распространить соответствующие свойства и теоремы, доказанные для классов отображений с ограниченным интегралом Дирихле, классов отображений с искажением, ограниченным в среднем и др., на класс отображений с ¿-усредненной характеристикой, а также изучить возможность применения методов исследования этих классов, например, обобщенный «принцип длины и площади» в теории отображений пространственных областей с ограниченными интегралами Дирихле [60], емкостную технику, широко используемую для изучения отображений с искажением, ограниченным в среднем [20], для исследования рассматриваемых нами отображений.

Основной целью второй главы является изучение некоторых аналитических свойств отображений с ¿-усредненной характеристикой, заданных на ограниченной области ЛсК", п > 3.

Содержание второй главы изложено в двух пунктах и опирается на работы [32], и [33].

В разделе 2.1 доказаны две теоремы о дифференцируемости. Показано, теоремы 2.1.1, 2.1.2, что если компоненты отображения Д е ы(^) > тогДа отображение / при некоторых условиях на 5.

Для отображений квазиконформных в среднем см. работу Ю.Ф. Стругова [55].

Теорема 2.1.1. Пусть область ВсЕ", /:П->ШЯ, / = (/\/2,.,/") -отображение с ¿-усредненной характеристикой, такое, что /'* е й^1 ]0С (-£>), гк > 0. Пусть а =

Н<Н<.<1т<п. к=1

1 <к<т<п, ¿>я(я — 1) 1

Тогда 5 = -*)(* + *)-'.

Теорема 2.1.2. Пусть область £с=Е\ /:£>-*БГ, / = (/\/*,.,/") отображение с ¿-усредненной характеристикой, такое, что /'* е 1ос (£>), >0. Пусть 1 <<¿2 <.<1т<п, 1 <к<т<п, ¿> 1.

Тогда /еЖиМ 8 =

•,где а =

Б + а-1

1 + + -тп 1 к=1

В разделе 2.2 доказаны теоремы о полунепрерывности снизу для отображений с ¿-усредненной характеристикой. Для отображений квазиконформных в среднем см. работу Ю.Ф. Стругова [55], для отображений с искажением, ограниченным в среднем - см. работу С.М. Борчук [7].

Теорема 2.2.1. Пусть Д, с £>', т - 0,1,2., — ограниченные области,

1У\ < Я <°о. Пусть /т: О —>£)т - последовательность отображений с 5-у средней ной характеристикой, 5 > (/? -I)"1 и последовательность {/т} сходится равномерно внутри £> к непрерывному отображению/ /: £> -> М".

Теорема 2.2.2. Пусть Вт с:1)*,га = 0,1,2., - ограниченные области,

-усредненной характеристикой, 5 > 1 и последовательность {/т} сходится равномерно внутри £) к непрерывному отображению/ /: О —> М".

Цель третьей главы - дать геометрическое определение отображений с ¿-усредненной характеристикой, заданных на нормальной области, £>с:М", п>3; описать геометрический метод для изучения их свойств, -метод, основанный специальном характеристическом законе искажения модуля семейств кривых; установить эквивалентность геометрического и аналитического определений исследуемых отображений.

Содержание третьей главы изложено в трех разделах и опирается на работы [32], и [34].

В разделе 3.1 приведено определение модуля семейства кривых для отображений с ¿-усредненной характеристикой и некоторые его свойства [36],

Тогда < Я <оо. Пусть /т: £> —>От — последовательность отображений с т

Тогда / еГ(£>), доказана теорема об оценке модуля, теорема 3.1.6. Полученная оценка модуля указывает на непосредственную связь класса отображений с ^-усредненной характеристикой с теорией ^-гомеоморфизмов [14], [38], [50], [89], [90], [92], интенсивно развивающейся в последние годы.

Определение 3.1.2 Пусть ГсМ" - некоторое семейство кривых. Функцию р : К" —» К1 будем называть допустимой метрикой для Г и обозначать р а Г, если она неотрицательна, измерима по Борелю и | рdsx > 1 для V у е Г, где dsx~ dsl{\ +|х| ).

Определение 3.1.3 Для произвольного /, 1</<оо, определим модуль порядка / семейства кривых Г, как нижнюю грань

М, (Г) = inf ¡p'(x)d<jx, где dax =-——-, инфимум берется над классом всевозможных метрик

1+М2) р аГ.

Теорема 3.1.6 (об оценке модуля) Пусть f:D^>R" - отображение с ¿•-усредненной характеристикой. Тогда выполняется неравенство

М(Г) < inf J(p(*))" К, (x,f)dax, (1.3.6.1) D где Г - некоторое семейство кривых, в области D, Г* - образ семейства Г при отображении /.

На основании полученной оценки, в разделе 3.2 §§ 3.2.1, 3.2.2, доказаны теоремы о поведении исследуемых отображений в окрестности изолированной особой точки. Получены оценка искажения евклидовых расстояний, теорема 3.2.1.5 и теорема о порядке роста 3.2.2.1.

Определение 3.2.1.1 [93] Точка х0 е D называется особой для отображения / : D -> Е", если для Vs > 0 vrai max X (x, /) = со, xi=B"(x0,c)nD V ' где А.(х,/) = ^"/2|У/(х)|"|Лх,/)Г .

Если существует е>0 такое, что во множестве В"[х0,е)г\О других, отличных от х0 особых точек нет, то х0 называется изолированной особой точкой.

Теорема 3.2.1.5 Пусть /: И —» И* - отображение с ^-усредненной характеристикой. Тогда для всякой точки х0 е В и точки х е В" (х0,<3), а = р(х0,сЮ) справедлива следующая оценка

3.2.1.5.1) где 1С X - некоторая величина, зависящая только от х,х0) = о-\х\гп{\х-х,\,у)К1(у,/)асух й п, и - произвольная для семейства метрика, допустимая г([(м],у (Б^ауж (х0,а)),о

Теорема 3.2.2.1 Пусть / - отображение с К1 ^ -усредненной характеристикой, / отображает шар В" на себя, /(0) = 0 и (

К (0,^) < 1п— , где 0<а<1, 0 < ? < 1, постоянная с > е. Тогда V и х)|<А,|х где я(с,|х|) =

1пг

V К У г Лр

1пг

V 1Х1У

-Ы

1/(«-1) р = а(«-1) + 1.

В разделе 3.3 мы вводим геометрическое определение (3.3.6) отображений с ^-усредненной характеристикой и описываем геометрический метод для изучения свойств исследуемых отображений, - метод, основанный специальном характеристическом законе искажения модуля семейств кривых (теоремы 3.3.1, 3.3.2, 3.3.5). На основании этого закона мы устанавливаем л эквивалентность геометрического и аналитического определений исследуемых отображений, теорема 3.3.9.

Для гомеоморфных отображений с искажением, ограниченным в среднем, эквивалентность аналитического и геометрического определений доказана в работе В.И. Кругликова [20], для негомеоморфных отображений с искажением, ограниченным в среднем - в работе А.Н. Малютиной [29].

Теорема 3.3.1. Пусть £),£>' с Е" - области, /: £> —»£>' - отображение с К'0 3 -усредненной характеристикой, 5>1. Пусть А а И - борелевское множество такое, что N (/, А)< оо. Тогда существует ограниченная, неотрицательная, аддитивная, абсолютно непрерывная функция борелевских множеств в £> такая, что для любого семейства кривых Г а А выполнено неравенство

М'ЛГ) * ^ СМ • ■ М^ (/Г).

Теорема 3.3.2. Пусть £)с1" - ограниченная область, £>'с=Ел — область. Пусть /: Б —кО' - отображение с К'15 -усредненной характеристикой,

5 > \/{п-\). Пусть О с= £) - борелевское множество такое, что N(/, О) < оэ. Тогда существует ограниченная, неотрицательная, аддитивная, абсолютно непрерывная функция борелевских множеств в £) такая, что для любого семейства кривых Г а О выполнено неравенство: м;(г) > с-(дл) • ф ;/\о). м^+1)(/г), где с (Д К) — константа, зависящая от области £).

Теорема 3.3.5 Пусть £> <= Е" - нормальная область, П с: Е" - область. Пусть / : И —»£>' отображение с К05 и ^ ^-усредненными характеристиками, 5>и-1. Пусть Гей - семейство кривых, причем любая кривая у*е /Г имеет, по крайней мере, т существенно различных поднятий, принадлежащих Г. Тогда справедливы неравенства

М'я(/Т)*К'оУМ%( Г), 24 где р =¿/(¿-1).

Под геометрическим определением отображений с ¿-усредненной характеристикой мы понимаем следующее.

Определение 3.3.6. Скажем, что открытое изолированное непрерывное отображение /:

- принадлежит классу где \/{п -1) < 5 < оо, если существует ограниченная квазиаддитивная функция Ф*5, заданная на открытых множествах области И, такая, что для любого семейства кривых Г из И и произвольного борелевского множества Сг с= £), содержащего все кривые из Г, выполняется неравенство

АСи (Г') * Ф^ (С)М'и (Г); (3.3.6.1)

- принадлежит классу (£>'), где (и -1) < < со, если существует ограниченная квазиаддитивная функция Ч^,, заданная на открытых множествах области £>', такая, что для любого семейства кривых Г' из £)' и произвольного борелевского множества С а £>', содержащего все кривые из Г', выполняется неравенство м; (г') < [ч>5, (с1) ]' • (г), (з.з.б.2) где 0' = /(в), Г' = /(Г) = {/(у):у еГ}, Р =¿/(¿-1);

- принадлежит классу (Г>), где (п -1) < < со, если выполняются оба закона (3.3.6.1), (3.3.6.2) искажения модулей любых семейств кривых Г из И и Г из I)'.

Через £/Д£>), (£>) обозначим, соответственно подклассы с: 0;(£>), отображений, для которых вышеопределенные функции Ф*5, Ч^, являются абсолютно непрерывными функциями борелевских множеств.

Теорема 3.3.9. Пусть > И' - непрерывное открытое изолированное отображение. 5' > и -1. Следующие условия эквивалентны:

1) /—отображение с К15-усредненной характеристикой и $К*0(х,/)с1а,< оо; о

2) /-1 <еЖп 1ос {р\В/), / е ЯГ11ос (В) - невырожденные в своих областях задания отображения и следующие интегралы конечны

3) /е011У(Г));

4) /е^СЯ).

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались конференции, посвященной 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера (апрель 2007 г., Томский государственный университет, г. Томск), на трех международных конференциях: «Студент и научно-технический прогресс» (МНТК-45, МНТК-48) (апрель 2007, 2010 г.„ Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск), на конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященной 110-летию академика М.А. Лаврентьева (август 2010 г., ИГИЛ СО РАН. - Новосибирск); на трех Всероссийских конференциях: «Всероссийская конференция по математике и механике» (сентябрь 2008 г., Томский государственный университет, г. Томск), «Молодежная научная конференция» и «Современные проблемы математики и механики», проведенные в рамках Всероссийского фестиваля науки (октябрь 2009 г., октябрь 2010 г., Томский государственный университет, г. Томск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в материалах и тезисах 3-х международных и 3-х Всероссийских научных конференциях, а также в виде четырех статей [32], [33], [34], [35].

В заключении автор выражает благодарность своему научному руководителю доценту Малютиной Александре Николаевне за постановку задач и полезные обсуждения.

Предварительные обозначения и терминология

В дальнейшем мы будем исходить из следующих общепринятых в вещественном и функциональном анализе и топологии сведений, обозначений и определений.

1. Множество вещественных чисел обозначим через М1. Открытый интервал (а,Ь) в К1 определяется как множество чисел (точек) /е!1, удовлетворяющих неравенству а<кЪ\ замкнутый интервал [ауЬ] в М1 определяется как множество точек ?еМ1, таких, что a<t<b.

Через К", п > 2, обозначим ю-мерное евклидово пространство. Элементы пространства М" называем точками или векторами х = (х,,:с2,.,хл), где х,,д;2,.,хп - координаты вектора х, х еМ' 1-\,п. В некоторых случаях эти индексы мы используем и в других целях. Например, последовательность точек из М" мы также обозначаем х,,х2,. или {х,.}, / = 1,2,.

Норма вектора х е М" есть число

Расстоянием между точками х^еМ" называем число — Под открытым «-мерным шаром в!"с центром в точке х0 и радиусом г > 0 понимаем множество

Если точка х0 совпадает с началом координат, точкой 0, то полагаем В"{г) = В"(0,г), 8"-1(г) = 5"-\0,г1 в частности, В" =Вп(0,1), У"1 =£-'(0,1).

Вп(х0,г) = {хеШ" :|х-х0|<г}. Границей шара В"(х0,г) является (и-1)-мерная сфера

Теоретико-множественные операции объединения, пересечения и разности множеств обозначаются, соответственно, символами

AkjB, An В, А\В.

Символом 0 обозначаем пустое множество.

Открытое множество G а Е" — это множество, каждая точка которого является внутренней точкой этого множества, то есть содержится в G вместе с некоторым шаром с центром в этой точке.

Область в Е" есть открытое связное непустое множество D cz W.

Под окрестностью точки или множества в М" понимаем любое их содержащее открытое множество.

Множество, являющееся замыканием некоторой области, будем называть замкнутой областью.

Для произвольного множества D a Е" через D, dD, int D обозначаем, соответственно, замыкание, граница и внутренность. Множество D замкнуто, если D-D.

Под диаметром множества D понимаем величину diam D = sup \х - у\. x,yeD

Множество D ограничено, если diam D < +00.

Компакт в Е" - это замкнутое ограниченное множество D а Е".

Под евклидовым расстоянием между множествами А и В понимается число уеВ

Под кривой (гладкой, жордановой, непрерывной и др.), как ив [1], будем понимать класс соответствующий эквивалентных траекторий. При доказательстве результатов третьей главы также будем пользоваться определением кривой из [42].

2. Для произвольного множества Е cz Е" через тп (£) обозначаем его внешнюю «-мерную меру Лебега. Множества, измеримые относительно внешней меры Лебега, называются иначе множествами, измеримыми в смысле Лебега. Если множество измеримо в смысле Лебега, то его внешняя мера Лебега называется мерой Лебега и обозначается символом тп (2?). Иногда, если нет опасности разночтений, индекс п в обозначениях мер будем опускать. Совокупность всех множеств, пространства М", измеримых в смысле Лебега, обозначается Ь(Ш").

Следуя, например, [64], введем понятие борелевских множеств. Пусть - произвольное пространство и {Е} - некоторый непустой класс множеств, пространства X.

Класс {£} называется ст-кольцом если для него выполнены следующие условия:

1) для любых множеств Ех е {£} ,Ег е {£} множество \ Е2 е {£};

2) для всякой последовательности {Д}, /=1,2,., множеств,

00 являющихся элементами {£}, множество Е = также принадлежит {Е}.

1=1 с-кольцо, содержащее само пространство X, называется ст-алгеброй. Очевидно, что всякое а -кольцо является кольцом. сг-кольцо, порожденное классом всех открытых множеств произвольного метрического пространства М называется а-кольцом борелевских множеств пространства М и обозначается В(М). Множество Ес^М называется борелевским, если оно принадлежит В{М).

Поскольку само пространство МеВ(М), то сг-кольцо В(М) есть алгебра (а-алгебра). Согласно теореме 1.3. (см., например, [61], стр 7), ст-кольцо, порожденное классом всех замкнутых множеств метрического пространства М, совпадает с В(М). По теореме 1.5 [61], [64] всякое борелевское множество в М" измеримо в смысле Лебега, то есть

Как, например, в [61], объем единичного шара В" обозначим символом 0.п, площадь поверхности сферы обозначим через соЛ,. Известно, что

Пусть в пространстве X задана а-алгебра класса множеств {£} с мерой ц на {Е}. Пусть - непустое измеримое множество. Функция называется измеримой ({£}- измеримой), если для каждого ае!1 множество /(х)<а) измеримо. В случае, если ^ = и {£}

- а -алгебра борелевских множеств в М", то функция /: Е -» Ж1 называется ^-измеримой, или борелевской функцией. Функция /, измеримая относительно

М") , называется функцией, измеримой по Лебегу.

Говорят, что какое-либо свойство имеет место п.в. (почти всюду) на некотором множестве под этим понимаем, что данное свойство выполнено на множестве Е всюду, за исключением, разве лишь, подмножества Е0аЕ для которого тп (£0) = 0.

Для измеримой числовой функции /: Е —> М1, заданной на измеримом множестве Е с: М" ее интеграл Лебега по измеримому подмножеству АаЕ обозначается символом А

Пусть а > 0 и Е - множество из Е". Рассмотрим счетное покрытие {£,.},/ = 1,2,., множества Е открытыми множествами Еь такими что с1(Е() < г, г > 0. Пусть

К{Е)=ы±а{Ег)\

1=1 где инфимум берется над всеми такими покрытиями. Тогда Л^ (£) является невозрастающей функцией от г и величина Ла (£) = ПтЛ^ (£) называется а-мерной мерой Хаусдорфа множества Е. Ла(£) определена для всякого множества Е с М", причем 0<Ла(£)<оо.

Известно (см. напр., [61] теор.1.6), что а-мерная мера Хаусдорфа есть внешняя мера. Всякое борелевское множество в М" измеримо по Хаусдорфу, то есть Ьк

3. Пусть О и £>' - области из М". Тогда обозначение /:£>—>£>' означает, что область Б отображением / преобразуется в область £)'. Обозначение /:£)—»Я"7 означает отображение £> в пространство Ят, а обозначение /| - сужение отображения на множество Е. Любое отображение :£)—>11" можно рассматривать как отображение в М". Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение /: О —> £)' называется гомеоморфизмом.

Следующие определения приводятся по [45], [67], [83]. Пусть даны два произвольных топологических пространства X и У и непрерывное отображение / :Х->У. Отображение / называется открытым, если для всякого открытого множества И в X множество /(£)) является открытым в У. Если для всякого замкнутого ЛаХ образ /(А) замкнут, то / называется замкнутым отображением.

Изолированная точка множества А в топологическом пространстве X есть такая точка а е А, что пересечение некоторой ее окрестности с А состоит из единственной точки а. Если для всякой точки у е У ее полный прообраз у) состоит лишь из изолированных точек, то / называется изолированным отображением.

Пусть Б - область из Е". Отображение /: £> —» Мт дифференцируемо в точке хеИ, если существует линейное отображение /'(*):Е" ->, называемое производной / в точке х, такое, что х + Л) = / (*) + /'(*) -h + \h\-s(x,h), где s(x,/z)-»0 при /г —> 0. Отображение /:£>—»К™ называется дифференцируемым, если оно дифференцируемо в каждой точке xeD.

Если отображение / = (/|(x),^(x),.,/^(x)):D—имеет в точке х = (х(,х2,.,хл) eD частные производные dfj(x)/dxi, i,j = \,n, то в этой точке определены следующие выражения: линейное отображение f{x): R" -> Шт, матрица которого есть матрица Якоби отображения /, якобиан отображения J(x,/) = det а также для произвольного вектора h = (hl,h2,.,hn) df(x) определены следующие величины = 2-ht, норма производной i=i dx. г -| г\ п е 1 1—1 f w ах, v-7 j /

1/2

H+H-^'WH' '(/'(*)) = minИ*)й|, |V/M|:

Для отображения /, обладающего п.в. (почти всюду) в области D всеми частными производными dfj(x)/dxi, i,j = \,п, определим еще величины см. например [45], [59], [83]) K\{x,f) - внутреннюю дилатацию отображения /, К0 (х,/) - внешнюю дилатацию отображения /, полагая

К(х, /) = inf Щх), К, (х, /) = inf К(х), К0 (х, /) = inf Р(х), где точная нижняя грань берется, соответственно, по всем измеримым в D функциям #(х)>1, К{х)> 1, Р(х)>1, xeZ), для которых п.в. в D выполняются, соответственно, неравенства

J(x,/) < К{х)Г (fix)), |/'(х)|" < P(x)J(x,f), \f(x)\ < Щх). /(/'(х)).

Если якобиан J{x,f) Ф 0, то отображение / назовем невырожденным в точке х. Если /невырождено в точке х и дифференцируемо в этой точке, то говорим, что отображение / невырождено дифференцируемо в точке х.

4. Пусть А - измеримое множество в1",/ - измеримая вещественная функция, определенная на А. Полагаем для р > 1 у/р

1НЬ= Л«МГЛ

V А

Предположим, что П есть открытое множество в пространстве К." и и — измеримая функция, определенная в £>. Будем говорить, что и локально суммируема в £> со степенью р, и писать: и 1ос(Д), если р||;7Л<00 для любого компактного множества А с И. Совокупность всех измеримых функций и, таких, что ||г/||^0 <со, обозначим символом Ьр{Ц). В случае будем писать просто Ьр.

Мы предполагаем здесь известными основные свойства пространств Ьр(П), в частности неравенства Гельдера и Минковского, полноту пространства Ьр(П) и т.д. Пусть т = 1,2,., - произвольная последовательность функций класса ЬрЛос(В). Будем говорить, что последовательность (ит), т —1,2,. ограничена в ЬрЛой{Ц), или, иначе, локально ограничена в Ь Хос(Р), если для всякого компактного А с/) последовательность норм т = 1,2,. ограничена.

Будем говорить, что последовательность (ит), т = 1,2,., функций класса Ьр |0С(£>) сходится в Ьр1ос(И) к функции и0 еЬр>1ос(£>), если для всякого компактного множества ||мт - и0||^ А —.> О при т—>со.

Приведем некоторые необходимые определения и некоторые простейшие свойства функций с обобщенными производными [45], [52]. Понятие обобщенной производной введено С.Л.Соболевым [52].

Пусть Б - произвольное открытое множество в Е". Пусть и : £> —> Е1 -функция класса 1,1ос(£>). Предположим, что существует функция и 1ос(£)) такая, что для всякой функции ф е С0* (V) выполняется равенство

33 D D где к = |а|. В этом случае говорят, что о есть обобщенная производная Dau функции и, v = Dau.

Пусть / > О - целое число, р > 1. Будем говорить, что функция

Mei, 1ос(Ц) принадлежит классу Wp l0C(D), если и имеет в D все обобщенные производные Dau порядка /, причем каждая из них есть функция класса ¿р.ЮсФ)

Если функция и принадлежит классу С' (D), где / > 1, то и принадлежит также и классу W'pbü{D) для любого р> 1. При этом обобщенные производные и совпадают с ее обычными производными. Пусть и е WpXoc{D), где р> 1. Полагаем CCt] ОХ2 Со£и ^

Пусть ueWpl0C(A). Для произвольного измеримого множества AczD, мера которого конечна, полагаем w> = uÍZ^M

Р'2 dx

Un

Up

Совокупность всех функций ие1УрЬс(В), для которых Цм^ А < оо, обозначается через Жр(В). Множество Жр (£>) является векторным пространством и, после введения нормы, становится банаховым, то есть полным, нормированным векторным пространством. Элементы этого пространства, также как и пространства Ьр(П), есть классы функций, определенных с точностью до значений на множестве меры нуль.

Будем говорить, что произвольная последовательность функций (Л)*=1,2,„ класса СФ) сходится в ^ 1ос(£>) к функции /оЕ^ф), если для всякого компактного множества АаИ (||Л —/оЦ,^)-при к->ао. Будем говорить, что произвольная последовательность функций (/) класса ^1ос(£)) локально ограничена, или ограничена в й^71ос(Д) ,если для всякого компактного множества А а И последовательность норм (||Л||/р^)» & = 1>2,.„ является ограниченной.

Понятие обобщенной производной и определения классов распространяются также и на случай функций с векторными значениями.

Пусть И - произвольное открытое множество в М", /: £) -» Мт. Для всякого хб!) имеем /(х) = [/1(х),/2(х),.,/т(х)) и, следовательно, отображение / определяет т вещественных функций /,/,.,/ - компонент вектор-функции /.Будем говорить, что отображение / принадлежит классу ЬрЛоа(П) или ]^1ос(1)), если каждая из вещественных функций /,/,.,/, принадлежит классу 1ос(Ц), соответственно УР1рЛос(Р).

Говорят, что отображение есть локальный гомеоморфизм, если для всякой точки х е X можно указать окрестность и аХ этой точки такую, что сужение / на II, /^, есть топологическое отображение и в У.

Назовем гомеоморфизм / области И на область ГУ отображением класса если / е 1ос (£>), /"' еЖ„'1ос (£>'), и обладает ЛГ и тУ-1 -свойствами.

Назовем локальный гомеоморфизм / отображением класса

РГи, 1ос(£)), если для любого л:е£> существует V - окрестность точки хе£) такая, что /,и€.]¥1(и).

Будем говорить, что отображение /:D—принадлежит классу Wl, р> 1, если координатные функции f^,f2,.,fn вектор-функции / имеют обобщенные производные в смысле C.JI. Соболева, локально интегрируемые со степенью р в области D.

Наравне с изложенным выше подходом к введению отображений класса W1, используется и другой подход (см., например, [93], определение 26.2., стр. 88).

Пусть Q = {х е М" : а, < xt < Ъп i = l,w| замкнутый и-мерный интервал.

Будем говорить, что отображение /: / —> 1R"1 принадлежит классу ACL (или абсолютно непрерывно на линиях), если / абсолютно непрерывно на почти всех линейных сегментах в I, параллельных координатным осям. Более точно, пусть 7t((x) = x-x,e. - ортогональная проекция. Тогда множество Е. всех точек хе71,(7) таких, что отображение i—>/(х-Ц) не абсолютно непрерывно на интервале [<я,.,6;] имеет /нпЧ(Д) = 0 для всех 1 < / < п.

Если 1)есть область в М", то будем говорить, что отображение /: D —» Rm принадлежит классу ACL, когда сужение /^ принадлежит классу

ACL для каждого замкнутого интервала I cz D.

Отображение /(x) = (/(x),/2(x),.,/m(x)):D-»M" принадлежит классу

ACL(£>), / е ACL(D), если каждая компонента fk е ACL(D), к = \,п.

Пусть /: D -» М" - локально суммируемое ACL- отображение. Тогда почти всюду в D отображение/имеет частные производные dfj dXj, i,j = 1 ,п. Если, кроме того, каждая из этих частных производных принадлежит классу Lp(D), р> 1, для любой области D'ciD, то /:£>->М" называем

ACLP - отображением и будем писать / £ ACIf(D).

Дополнительно сведения из теории пространственных отображений, если потребуется, мы приводим в начале соответствующего раздела.

Заключение

Класс отображений с ¿'-усредненной характеристикой обобщает класс отображений с искажением, ограниченным в среднем на случай неограниченной области И с К".

Построен пример, показывающий, что класс отображений с ¿-усредненной характеристикой не пуст. Также показано, что построенное отображение не является отображением с ограниченным искажением. Найдены условия, при которых имеют место включения классов отображений с ¿-усредненной характеристикой в классы отображений с ограниченным интегралом Дирихле.

Установлены аналитические свойства: полунепрерывность снизу и дифференцируемость (найдены достаточные условия того, что

Описан метод модулей - получены: оценка модуля семейств кривых и законы искажения модулей семейств кривых для отображений с ¿-усредненной характеристикой.

Получена оценка искажения евклидовых расстояний и установлен порядок роста отображений с ¿-усредненной характеристикой в окрестности изолированной особой точки.

Введены аналитическое и геометрическое определения отображений с ¿-усредненной характеристикой и доказана эквивалентность этих определений.

1. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 2002. — 510 с.

2. Альфорс J1. О квазиконформных отображениях. В кн. Альфорс JL, Берс JL: Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ, 1961, С. 104-176.

3. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969, - 136 с.

4. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. 100 с.

5. Борчук С.М. О замкнутости класса отображений с искажением, ограниченным в среднем. Донецк: Донец, ун-т, 1990. - 28 с. (Рукопись деп. в УкрНИИНТИ, № 1493 - Ук90).

6. Борчук С.М. Преобразование емкостей и граничное продолжение для отображений с искажением, ограниченным в среднем. Донецк: Донец, ун-т, 1991. - 27 с. (Рукопись деп. в УкрНИИНТИ, № 715 - Ук91).

7. Борчук С.М. О полунепрерывности интегральных средних от аналитических отклонений пространственных отображений. Донецк: Донец, ун-т, 1991. - 47 с. (Рукопись деп. в УкрНИИНТИ, № 43 - Ук91).

8. Борчук С.М., Кругликов В.И. Отображения с искажением, ограниченным в среднем. // Докл. АН УССР. Сер. А. 1990. -№ 10. С. 6-9.

9. Борчук С.М., Кругликов В.И. Сходящиеся последовательности отображений с искажением, ограниченным в среднем // Докл. АН УССР. Сер. А. 1988.-№ 11. С. 3-5.

10. Гольдштейн В.М., Водопьянов С.И. Метрическое пополнение области при помощи конформной емкости, инвариантное при квазиконформных отображениях // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 5. - С.1040-1042.

11. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.-284 с.

12. Зорин В.А. Математический анализ. Ч. II. 3-е изд. - М.: МЦНМО, 2001.13.3орич В.А. Асимптотика коэффициента квазиконформности и граничноеповедение автоморфизма круга // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288, № 2. — С.283-285.

13. Игнатьев A.A., Рязанов В.И. Конечное среднее колебание в теории отображений // УкраГнський математичний вюник. 2005. Т. 2, № 3, С. 395-417.

14. Казимиров В.И. О полунепрерывности интегралов вариационного исчисления // УМН. 1956. Т. XI, вып. 3 (69).

15. Кругликов В.И. К теореме существования и единственности конформных отображений с неограниченными характеристиками // Докл. АН СССР. 1972.-Т. 238, №5.- С.1040-1042.

16. Кругликов В.И. Об одном характеристическом свойстве отображений, квазиконформных в среднем//Докл. АН СССР. 1976. Т. 205, № 6. -С. 1289-1291.

17. Кругликов В.И. Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в среднем// Мат. сборник. 1986. Т. 130, № 2. -С. 185-206.

18. Кругликов В.И., Пайков В.И. Непрерывные отображения с конечным интегралом Дирихле // Докл. АН СССР. 1979. Т. 249, № 5. -С. 1049-1052.

19. Кругликов В.И., Пайков В.И. Некоторые геометрические свойства отображений с искажением, ограниченным в среднем. Донецк, Донецк ун-т, 1982, 43с. (Деп. в ВИНИТИ 06.09.82 № 4747-82 Деп).

20. Крушкаль СЛ. Об отображениях, квазиконформных в среднем. // Докл. АН СССР. 1964. Т. 157,№3.-С. 517-519.

21. Крукшаль C.J1., Кюнау Р. Квазиконформные отображения новые методы и приложения. - Новосибирск: Наука, 1975. - 196 с.

22. Кудьявин В. С Поведение класса отображений, квазиконформных в среднем, в изолированной особой точке // ДАН СССР. 1984. Т. 277, № 5, С. 1056-1058.

23. Кудьявин B.C. Характеристическое свойство одного класса пространственных гомеоморфизмов // ДАН СССР. 1990, № 3. — С. 7-9.

24. Кудьявин B.C. Локальные граничные свойства отображений, квазиконформных в среднем // В сб. науч. тр. ин-та матем. СО АН СССР. -Новосибирск, 1981.-С. 116-119.

25. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: Изд-во АН СССР, 1962. — 136 с.

26. Лаврентьев М.А. Об одном дифференциальном признаке гомеоморфности отображений трехмерных областей // ДАН СССР. 1938. Т. 20, № 4. -С. 241-242.

27. Малютина А.Н. Об отображениях с ограниченным в среднем искажением // Экстремальные задачи теории функций. 5. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986.-С. 24-31.

28. Малютина А.Н. Об эквивалентности геометрического и аналитического определений отображений с ограниченным в среднем искажением // Экстремальные задачи теории функций 8. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990.-С. 64-70.

29. Малютина А.Н. Классы отображений с ограниченным в среднем искажением // Вестник ТГУ. Томск: Изд. ТГУ. 2000. № 269, С. 51-55.

30. Малютина А.Н. Особенности отображений с ¿-усредненной характеристикой // Вестник ТГУ. Томск: Изд. ТГУ. 2003. № 280, С. 65-70.

31. Малютина А.Н., Елизарова М.А. Дифференциальные свойства отображений с ¿-усредненной характеристикой // Вестник ТГУ. Томск: Изд-во науч.-техн. лит. 2008. №>300(0,0. 124-129.

32. Малютина А.Н., Елизарова М.А. Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с ¿-усредненной характеристикой // Вестник ТГУ. Математика и механика. Томск: Изд-во науч.-техн. лит. 2009. № 4(8), С.46-52.

33. Малютина А.Н., Елизарова М.А. Оценки искажения модулей для отображений с s-усредненной характеристикой // Вестник ТГУ. Математика и механика, Томск: Изд-во науч.-техн. лит. 2010, № 2(10), С.5-15.

34. Малютина А.Н., Елизарова М.А. О связи классов отображений с ¿-усредненной характеристикой с некоторыми классами пространственных отображений // Вестник ТГУ. Математика и механика, Томск: Изд-во науч.-техн. лит. 2010. № 4(12) (в печати).

35. Малютина А.Н., Кривошеева И.И., Баталова H.H. Баталова H.H. Искажение сферического модуля семейства кривых // Исследования по математическому анализу и алгебре. Вып. 3, Томск.: Изд. ТГУ. 2001. -С. 179-195.

36. Малютина А.Н., Соколов Б.В. О равностепенной непрерывности класса отображений с (¿, а )-усредненной характеристикой // Вестник ТГУ. Томск: Изд. ТГУ. 2003, № 280, С. 70-73.

37. Мартио О., Рязанов В., Сребро У. и Якубов Э. К теории (2-гоме°морфизмов //ДАН России. 2001 -Т. 381, № 1, С. 20-22.

38. Миклюков В.М. Об искажении емкости при отображениях, квазиконформных в среднем // Материалы итог. науч. конф. по мат. и мех. за 1970 г. Т.1. Томск: Изд-во Томск, ун-та. 1970. - С. 43-45.

39. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. - 424 с.

40. Овчинников И.С., Суворов Г.Д. Преобразования интеграла Дирихле и пространственные отображения. // Сиб. мат. журнал. 1965. Т. 6, № 6, С. 1292-1314.

41. Песин И.Н. Отображения, квазиконформные в среднем // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187, № 4. с. 740-742.

42. Полецкий Е.А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений //Мат. Сборник. 1970. Т.83 (125), № 2 (10) С. 261-273.

43. Полецкий Е.А. О стирании особенностей квазиконформных отображений. // Мат. Сборник. 1973.'-Т. 92 (134), № 2 (10), С. 242-256.

44. Решетняк Ю.Г. Некоторые геометрические свойства функций и отображений с обобщенными производными // Сиб. мат. журнал. 1966. -Т.7, № 5. С. 886-919.

45. Решетняк Ю.Г. Об условии ограниченности индекса для отображений с ограниченным искажением // Сиб. мат. журнал. 1968. Т.9, № 2. -С. 368-374.

46. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982. - 288 с.

47. Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. -Новосибирск: Наука, 1982. 232 с.

48. Рязанов В.И. Об отображениях, квазиконформных в среднем // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37(2), С. 378-388.

49. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых ^-гомеоморфизмов // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48(6), С. 1361-1376.

50. Сакс С. Теория интеграла. Москва.: ИЛ, 1949. - 496 с.

51. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: Наука, 1988.-336с.

52. Соколов Б.В. О характеристическом свойстве отображений с ограниченным потенциалом градиента // Вестник ТГУ. Томск: Изд. ТГУ. 2000.-№269, С. 21-23.

53. Стругов Ю.Ф. Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // ДАН СССР. 1978. Т. 243 , № 4, С. 859-861.

54. Стругов Ю.Ф. Отображения, квазиконформные в среднем. Новосибирск: 1979. -39 с. (Препринт СО АН СССР. Ин-т математики).

55. Стругов Ю.Ф. Квазиконформные в среднем отображения и экстремальные задачи. Часть 1, Омск, 1994, 154 с. (Деп. в ВИНИТИ 05.12.94, № 2786-В94).

56. Стругов Ю.Ф. Квазиконформные в среднем отображения и экстремальные задачи. Часть 2, Омск, 1994, 114 с. (Деп. в ВИНИТИ 05.12.94, № 2787-В94.)

57. Стругов Ю.Ф., Сычев A.B. О различных классах отображений, квазиконформных в среднем // Вестник ПАНИ. 2002. № 7, С. 14-19.

58. Суворов Г.Д. Семейства плоских топологических отображений. — Новосибирск: Ред.-Изд. совет СО АН СССР, 1965. 264 с.

59. Суворов Г.Д. Обобщенный «принцип длины и площади» в теории отображений. Киев: Наук, думка, 1985. - 280 с.

60. Сычев A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983. 152 с.

61. Сычев A.B., Малютина А.Н. Об отображениях с ограниченным в среднем искажением//Докл. АН СССР. 1985.-Т. 283, №2.-С. 317-320.

62. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. 8-е изд. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2001.

63. Халмош П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953. 291 с.

64. Чернавский A.B. Конечнократные открытые отображения многообразий // Мат. сб. 1964. Т. 65, № 3, 357-369 с.

65. Шабат Б.В. Метод модулей в пространстве // ДАН СССР. 1960. Т. 130, № 6. - С. 1210-1215.

66. Энгелькинг Общая топология. М.: Мир, 1965.

67. Astala К., Iwaniec Т., Koskela P. and Martin G. Mappings of BMO-bounded distortion // Math. Annalen. 2000. V. 317, p. 703-726.

68. Caraman P. Homeomorfisme cvasiconforme я-dimensionals. Bucharest : Edit. Acad. R.S.R. 1968.-516 p.

69. Iwaniec T. and V. Sverák On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc. 1993. V. 118, p. 181-188.

70. Iwaniec T., Koskela P., Martin G. and Sbordone C. Mappings of finite distortion: L" log* L-integrability 11 J. London Math. Soc. 2003. V. 67 (2), № l,p. 123-136.

71. Iwaniec T., Koskela P. and Onninen J. Mappings of finite distortion: compactness // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 2002. V. 27, № 2, p. 391-417.

72. Iwaniec T., Koskela P. and Onninen J. Mappings of finite distortion: monotonicity and continuity // Invent. Math. 2001. V. 144, № 35 p. 507-531.

73. Fuglede B. Extremal lenght and functional completion // Acta. Math. 1957. -vol. 98 №3 p. 171-219.

74. Gehring F.W. Quasiconformal mappings in M" // Gehring F.W. and Lehto O. Lectures on quasiconformal mappings. Maryland: Univ. Maryland, 1975. -p. 44-110.

75. Gehring F.W. and Iwaniec T. The limit of mappings with finite distortion //Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 1999. V. 24, p. 253-264.

76. Heinonen J. and Koskela P., Sobolev mappings with integrable dilatations // Arch.Rational Mech. Anal. 1993. V. 125, p. 81-97.

77. Hesse J. A /?-extremal length and /^-capacity // Arkiv for math. 1975. V. 13, № l,p. 131-144.

78. Kauhanen J., Koskela P. and Maly J. Mappings of finite distortion: discreteness and openness // Arch. Rational Mech. Anal. 2001. V. 160, p. 135-151.

79. Kauhanen J., Koskela P. and Maly J. Mappings of finite distortion: condition N // Michigan Math. J. 2001. V. 49, p. 169-181.

80. Koskela P. and Onninen J. Mappings of finite distortion: capacity and modulus inequalities // Dept. Math. Stat., University of Jyvaskyla, Preprint. 2002. -V. 257, p. 1-32.

81. Koskela P. and Rajala K., Mappings of finite distortion: removable singularities // Israel J. Math. 2003. V. 136, p. 269-283.

82. Lehto O. und Vurtanen K. Quasiconforme Abbildungen. Berlin a.o.: SpringerVerlag, 1965.-270 p.

83. Lelong-Ferrand J. Sur certaines classes de representation d'un domain plan variabl. J. Math. Pures et Appl., 1952.- V. 31, №> 2. p. 103-126; № 3, p. 245-252.

84. Lelong-Ferrand J. Representation conforme et transformation a integrale de Dirichlet bornee. Paris: Gouther - Villars, 1955. - 257 p.

85. Manfredi J.J. and Villamor E. Mappings with integrable dilatation in higher dimensions // Bull. Amer. Math. Soc. 1995. V. 32, № 2, p. 235-240.

86. Martio O., Rickman S. Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings. // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. Al. 1969. № 448, p. 1-40.

87. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. d'Anal. Math. 2004. V. 93, p. 215-236.

88. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. £>homeomorphisms, Contemporary Math. 2004. V. 364, p. 193-203.

89. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. On £>-homeomorphisms // Ann. Acad. Sei. Fenn. 2005. -V. 30, № 1, p. 1-21.

90. Rado T., Reichelderfer R.V. Continuous transformation in analisis. SpringerVerlag. Berlin - Göttingen - Heidelberg, 1955 - 442 p.

91. Ryazanov V. and Sevost'yanov E. Toward the theory of ring <2-homeomorphisms//Israel J. Math. 2008.-V. 168, p. 101-118.

92. Väisälä J. Lectures on «-dimentional quasiconformal mappings. — Lectures and Notes in Math. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York, 1971. 144 p.

93. Vuorinen M. Conformai geometry and quasiregular mappings. Lectures and Notes in Math (1319). Springer-Verlag. Berlin e.a., 1988. - 209 p.