Экстремальные задачи для квазиконформных и квазиконформных в среднем отображении тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Отображения, квазиконформные в среднем •

§ 1. Основные обозначения и определения.

§ 2. О равностепенной непрерывности класса отображений, квазиконформных в среднем. •

§ 3. Отображения с неограниченными на компактных множествах характеристиками.

ГЛАВА П. .Экстремальные задачи на различных множествах квазиконформных отображений.

§ 1. Экстремальные задачи на множестве В$> • -

§ 2. Экстремальные задачи на множестве отображений с ограниченной в интегральном смысле характеристикой.

Понятие квазиконформного отображения введено Г.Гречем в 1928 году и связано с известной задачей Греча. Идея Греча была воспринята как любопытная и предана забвению. Квазиконформные отображения вновь появились в 1S35 году в работах М.А.Лаврентьева, Л.Альфорса ( 1936 г.) и О.Тейхмюллера (1937 г.). Особешо интенсивное развитие теории квазиконформных отображений на плоскости началось в конце 40-х начале 50-х годов, а в начале 60-х годов активно развивается теория пространственных квазиконформных отображений. Наиболее существенный вклад в развитие теории квазиконформных отображений внесли советские, польские, румынские математики, математики ГДР, а также американские и финские математики. Из советских математиков основной вклад принадлежит школе М.А.Лаврентьева.

Наряду с квазиконформными отображениями рассматривались отображения, квазиконформные в среднем. Так как класс таких отображений существенно шире (класса квазиконформных отображений, то их изучение представляет несомненный интерес. Здесь можно отметить работы Л.Альфорса [2]» Г.Д.Суворова[211, П.П.Белинского Г43, В.А.Зорича Г15 , 16 ] , Й.Н.Песина [23] , С.Л.Крушкаля [18], В. М. Шклюкова [21] , П.А.Билуты [7] , М.Перовича [22] .

На протяжении всего времени изучения квазиконформных отображений рассматривались и решались экстремальные задачи в различных классах квазиконформных отображений. К числу основных экстремальных задач относятся две общие задачи.

Задача А. В заданном классе квазиконформных отображений найти отображение с наименьшим максимльным отклонением.

Задача В. В заданном классе квазиконформных отображений f найти максимум действительного функционала F(*f) , определенного на этом классе.

Вторая задача обобщает первую, но задачу А удобно вы^-делить отдельно. Задача в формулировке В восходит к П.П.Белинской, хотя и первоначальная задача Греча является по существу задачей такого же типа. П.П.Белинскому также принадлежит вариационный метод, являющийся основным методом решения экстремальных задач. В этом направлении отметим работы С. Л.Крушкаля [19] , В.Я.Гутлянского [13] , П.А.Билутн [7] , Р.Кюнау [37 , 38] .

Диссертация посвящена решению экстремальных задач в некоторых классах квазиконформных отображений и изучению свойств плоских отображений, квазиконформных в среднем.

Работа состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы и изложена на страницах машинописного текста. Список литературы содержит наименований советских и зарубежных авторов.

В первой глаЕе выделены два класса отображений, квазиконформных в среднем. В классе Н^ ( М ) имеют место теорема о равностепенной непрерывности и теорема искажения расето*-яний. В классе На(М ,Г) - теоремы о равностепенной непрерывности, замкнутости и существования.

В § 1 даны основные обозначения и определения.

В & 2 вводится класс Н,* ( М ) гомеоморфных отображений vc- -f(2) , f,f области SD , удовлетворяющих следующим условиям: oD р^ 2о 4 Z0)

2) -- £ cL( Z , Z0) для всех 2Се. SO , L где c^LZ t Zc) —fO при Z. —3- о универсальная для класса функция, о ) - усредненная характеристика, Zc - фиксированное число,

В теореме 1.1. доказывается, что класс отображений НЛ(М) круга на круг iv^M f , WL0)-0 f равностепенно шпрерывен.

В теореме 1.2 устанавливаются оценки искажения расстояний. А именно, пусть fЮ —** Ю* - гомеоморфизм f , f € "^y^eot » области SD на область . Если , г^Ю такие, что О < I - I < jj>( н^ , , то iftz^- I г (Л1/'*г/ JY^.pjd) ГПЭ fy^tlZi-Zd)* (г*, гад, к -- кгда), a fytty(-L) - модуль кольцевой области Тейхмюллера.

В § 3 вводится класс характеристик F, Q) •

Пусть F - компактное относительно круга iZl^f множество и F имеет б* - конечную одномерную меру Хаусдор-фа. Пусть измеримая, определенная почти всюду в функция, обладающая следующими свойствами: а) ^ i М = con.st < оо, б) для любого компакта существует единая константа б С К) такая, что QCK) < со f к в) существует универсальная функция cLCZ. такая, что oL( Z , -Z0) при *с-*>0 и VzDi l2aUl, zcLLtbtc), p(E)\ct*l где St~- $(z[\-L) П 8 , В I E 1 < 1}.

Класс таких функций обозначим M,^ F, (2 ).

Вводится класс отображений Hd. ( М > F ) круга I 2. [ < i на круг ]\X/I <■ i с характеристиками иэ / , F, Q-)

Доказывается, что класс отображений Hci(M3 F) с нормировкой \Х/((Л г О равностепенно непрерывен. В теореме 1.5 устанавливается, что класс Hoi(M, F) замкнут относительно равномерной сходимости внутри В . В теореме 1.6 доказывается существование отображений класса H^tM, F) с заданными характеристиками

Во второй главе рассматриваются различные классы квазиконформных отображений единичного круга IZ( <= i на круг I\х/1 £ £ , с нормировкой %L0)-0 , . На этих классах решается задача В, то есть разыскивается экстремум действительном Функции ,. , -РС2*}-= U-ic f L при фиксированных Sк t f 2,с I <■ i f K = f,2,. •

В первом параграфе экстремальная задача ставится на классе квазиконформных отображений vx/.-fc^) круга 12 U 2 на круг I \x/U £ , -р(О) - О , - 1 , для которых характеристики обратных отобра?кений связаны соотношением где jk = ljul - коэффициент уравнения Бельтрами ~

-jia, - О . Класс таких отображений обозначим б <§>

Доказана следующая

ТЕОРЕМА 2.1.Если в классе Вф существует гладкое экстремальное отображение задачи В, то характеристики отображения обратного экстремально^ удовлетвордат соотношениям либ о в случае ф, , О , и

О - 9А-{А,(Ф) ^, Ф(1уи1,$) = 0, либо

ФаJUI,0) = -O, в случае фд ф О t - ijti* t * i^j*. ljut* +ZL i + lyu,* ■

Как частный случай из этой теоремы получается результат работы £43 t где рассматривается класс квазиконформных отображений с ограниченной характеристикой [jul й к < i #

Во втором параграфе рассматривается класс гомеоморфных отображений круга 1 2.1 £ t на круг 1\&1й£ , fi0)=0 , - i t f , f \X// с ограниченными интегралами

3) £ М* = C01S £ < оо и с/бл* £ Mz -COKSi * оо , i vX^/5 jC где p(20 = ---———r~ , p (nx/) - ——- .

- ivCgl 9 I I - t

На этом классе также решается задача В. Характеристики экстремального отображения удовлетворяют одному из трех условий : а) [{ Si ,

21*1 Wii. где зависит от р , 6 , £ . Для того, чтобы в этом случае приращение d F было неположительным, необходимо и достаточно выполнения условия б) Для экстремального отображения * [[ рмЫбъ'Мг. , 9--9а,

1*1 Si IWISA а также выполняется условие lACj) I г , ~- - со ьъь-Ь . pd) в) В этом случае для экстремального отображения

Iwlii

Полученные результаты могут найти применение в геометрической теории функций и в смежных областях.

Результаты диссертации докладывались на Донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям (Доюцк,1982 г.), на Омской областной математической конференции (Омск, 1881 г.), на семинаре по теории функций в Волгоградском государственном университете, на семинарах отдела теории функций комплексного переменного Института математики СО АН СССР,

Они опубликованы в работах автора [9] - [121 ,

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. Москва, Мир, 1962.

2. Альфорс Л., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. Москва, Иностранная литература, 1961.

3. Белинский П.П. Теорема существования и единственности квазиконформных отображений, УМН, 1951, У1, 2(42).

4. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск, Наука, 1974.

5. Белинский П.П. Решение экстремальных задач теории квазиконформных отображений вариационным методом. Сиб. матем. журн., т. 1, i 3, i960, с. 303-330.

6. Белинский П.П., Песин Й.Н. Мзтрические свойства -квазиконформных отображений. Матем,сборн., 1956, 40(82), с. 281-294.

7. Билута П.А. Некоторые экстремальные задачи для отображений, квазиконформных в среднем. Сиб.матем.журн., т.6, F 4, 1965.

8. Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения. Киев, 1954.

9. Гейнеман В.Э. Об одной экстремальной задаче в классе отображений, квазиконформных в среднем. Сиб. матем. журн., т.ХХШ, Р 6, 1982, с. 170-171.

10. Гейнеман В.3. Экстремальная задача на некотором подмножестве отображений, квазиконформных в среднем. Сб. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1983, вып. 60, с. 151-156.

11. Гейнеман В. 3. Об одной экстремальной задаче на некотором подмножестве квазиконформных отображений. Сиб. матем. журн., т. ХХ1У, Ш 4, 1983, 199-201.

12. Гейнеман В.З. Экстремальная задача П.П.Белинского в компактной классе отображений, квазиконформных в среднем. Докл. АН СССР, 1983, т. 272, F- 6, с. 13011303.

13. Гутлянский В.Я. О методе вариаций для однолистных аналитических функций с квазиконформным продолжением. Сиб. матем. журн., т. XXI, В 2, 1980, с. 61-78.

14. Зорич В.А. Теорема М.А.Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства. Матем.сборн., 1967, 74(116), с. 417-433.

15. Зорич В.А. О некоторых открытых вопросах теории пространственных квазиконформных отображений. Сб« Матричес-кие вопросы теории функций и отображений, вып. Ш, НаукО' ва думка, Киев, 1971, с. 46-50.

16. Зорич В.А. О допустимом порядке роста характеристики квазиконформности в теореме М.А.Лаврентьева. Докл. АН СССР, 1968, т. 181, f 3, с, 530-533.

17. Кругликов В.И. О существовании и единственности отображений, квазиконформных в среднем. Сб. Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 1У, Наукова думка, Киев, 1973, с. 123-147.

18. Крушкаль С.Л. Об отображениях, квазиконформных в среднем. Докл. АН СССР, 1961, т. 157, Ш 3, с. 517-519.

19. Крушкаль С.Л. Квазиконформное отображения и римановы поверхности. Новосибирск, Наука, 1975.2С. Лаврентьев 1*1, A. Sur une classe de representationscontinues. • Матем.сб., 1935, 42, с. 407-423.

20. Миклюков В, М., Суворов Г. Д. 0 существовании и единственности квазиконформных отображений с неограниченными характеристиками. Сб. Исследование по теории функций комплексного переменного и ее приложениям, Киев, 1972, с. 45-53.

21. Перович н. О глобальном гомеоморфизме отображений, квазиконформных в среднем. Докл. А7 СССР, 1976, т.230, F 4, с. 761-763.

22. Лесин И. Н. Отображения, квазиконформные в среднем. Докл. АН СССР, 1S69, т. 167, В 4, с. 740-783.

23. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск, Наука, 1962.

24. Сакс С. Теория интеграла. Москва, ЙЛ, 1949.

25. СмирноЕ В.И. Курс высшей математики, т.У, ГШШ, Москва, 196 0.

26. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск, Издательство СО АН СССР, 1S62.

27. Суворов Г.Д. Семейства плоских топологических отображений. Новосибирск, 1956.

28. Сычев А.В. Пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск, НГУ, 1975.

29. ШабатБ.В. Нелинейные, гиперболические и пространственные задачи теории квазиконформных отображений. Докторская диссертация, гл. 1У, 1961.

30. Шабат Б. В. К теории квазиконформных отображений в пространстве. Докл. АН СССР, 1Ь60, т. 132, Р 5, с. 14С5-14С8.

31. Grotsch H. tiber moglichst konforme Abbildungen von schlichten Bereichen., Ber. Verh. Sachs. Akad., Leipzig, 84, 1932.

32. Kuhnau R. V/ertannahmenpr obi erne bei quasikonf ormen Abbil-dungen mit ortsabhangiger Dilatationsbeschrankung., Math. IJachr., 1969, Bd.40, H.1-3, S. 1-11.

33. Kuhnau R# В кн. * Krushkal S.L., Kiihnau R. Quasikonforme Abbildungen-neue Methoden und Abbildungen., Teubner-Text zur Math., Bd-54, Leipzig, Teubner 1983, t.2, Кар.5.

34. Lehto 0., Virtanen K. Quasiconforme Abbildungen. Berlin, Springer, 1966.

35. Teichmliller 0. Extremale quasikonforme Abbildunen und quadratische Differentiale., Preuss. Akad. Ber., 22, 1940.

36. Teichmuller 0. Bestimmung der extremalen quasikonformen Abbildungen bei geschlossenen orientierten Riemannschen Plachen., Press. Akad. Ber., 4, 1943»

37. Vaisala J. On quasiconformal mappings in space., Ann. Akad. Sci. Penn., Ser. A, 1965, p.1-12.43*Strebel К. Ein Konvergenzsatz fur Folgen quasikonfor-mer Abbildungen. Comment. Math. Helv. Vol. 44 (1969), 469-475