Квазиконформные деформации в теоремах устойчивости и некоторых экстремальных задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГб од

РОССИЙСКАЯ

~ <■' )П . академия наук

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Семенов Владимир Иосифович »

КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ В ТЕОРЕМАХ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск-1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа Кемероьског государственного университета

Сфициады-ше оппонента: доктор Физико-математических

наук, профессор В.А.Ьорич доктор Физико-математических наук, профессор А.П.Копилов доктор фипико-матоматических наук, профессор Б.М.Мяклюков дедутее учреждение: Институт математики нН окраины,

Киев

/автореферат X___ разослан "_"_1993г.

Зе'икта Аиссертагши состоится "_" ___ 1093г.-

в " часов на заседании специализированного Совета Д 00Я.23.П2 при Институте математики иО ИАН (Ног.осиЛирск,. Университетскии проспект, 4) С диссертацией м^жпо ознакомиться в библиотеке Института математики.

Учони$ секретарь специализированного Совета доктор физико-математичиских

наук В. А.Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность теш. Устойчивость различных классов отоб-южений изучалась многими авторами. Поставленная М.А.Лаврен-ъевым в тридцатых годах задача об устойчивости конформных тобратаний, рассматривалась Л.Альфорсом 1', П.П.Белинским ^ |.Г.Решетняком Ф.Джоном ^в одном частном случае. Устой-:ивость, порядок устойчивости относительно параметра расша-•ывания в самой общей ситуации в пространстве с оценками для [роизводных-установлены Ю.Г.Решетняксм. Концепция устойчи-юсти классов отображений была построена А.П.Копыловнм 'стойчивость лоренцевых. отображений изучалась Л.Г.Гуровым Одним из вопросов, который неоднократно ставился М.А. [аврентьевым, в частности, в был следующий вопрос: :акова наилучшая постоянная в опенке устойчивости для квази-;онформных отображений единичного круга и шара?

^АльЛорс Л..Лекции по квазиконформным отображениям. М.Мир: 1969.

'1

'■'Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений.

Новосибирск, Наука, 1974. ^Белинский П.П. О порядке близости пространственного квазиконформного отображения к конформному.-Сиб.мат.яурн.-1973.-Т.14,ЯЗ.-С.475—183. ■

'^Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе.

Новосибирск, Наука, 1982. ;ЪоЬп F. Rotation and strain. -Comm .Pure (Vppl.Math. -1961•

V.Iif,3.-P.39I-W3. '^Копылов А.П. Устойчивость в С-норме классов отображений. Новосибирск, Наука, 19Э0.

Такая постановка вбпроса является интересной не только для "расшатанной" группы конформных отображений. Поставленная М.А,ЛаврёнтьевЫм|экстремальная задача, как и.рад других экстремальных задач теории квазиконформных отображений, является нелинейной задачей. .Линеаризация - естественный и пока единственный подход дс решению таких задач. Она тесно связана с подходящим "расшатыванием" алгебры Ли группы мебиусо-вых преобразований пространства, которое .изучалось в'ряде работ семидесятых годов Л.Апьфорсом, Г.Рейманном и автором. Однако первкм шагом в этом направлений следует считать работу Ю.Г.Решетняка ^.

"Расшатанный", класс отображений, образует так называемый класс квазиконформных деформаций, которые могут представлять интерес в теории пластичности при описании процессов деформирования, гидродинамике. С. точки зрения теории квазиконформных отображений интерес к квазиков^ю^мншл деформациям обус-г ловлен следующими причинами. Во-первых, традиционный подход с использованием метода модулей при решении экстремальных и рада других задач для квазиизсшэтриуаских отображений и

^Гуров Л.Г. Об устойчивости преобразований Лоренца.Оценки для производных, - ДА11 СССР. - 1975. -Т.220,¡г?..-С.273-276. Лаврентьев М.А.,Белинский П.П. Некоторые проблемы геометрической теории' Л-ункций.- Труды :.;.МАН.-1972.-Т.128.-С.34-4С

Ректтняк Ю.Г. Оценки-для дй^ферешяйльннх операторов с конечномерным ядром.-. Сиб.мат.зщ)Н.-1У70.-Т.:П С.414-->2Й. ■" '

пространственных квазиконформных отображений позволяет, как правило, получать информацию качественного характера. Это объясняется бедностью, класса конформных отображений в прост-, ранстпа. Во-вторых, квазиконформные деформации являются более гибким инструментом по сравнению с методом модулей при , решении ряда задач для плоских квазиконформных отображений. .В-третьих, используя квазиконформные деформации, можно свести экстремальную задачу к исследованию некоторого функционала на экстремум. Например, линеаризированный вариант об экстремальном отображении двух областей с гладкой границей изучался М.Ю.Васильчиком ^ .

Цель работы. Изучение- квазиконформных и квазиизометрических деформаций и их применение к решению некоторых экстремальных задач теории квазиконформных и квазиизометрическях отображений. Например, в плоском случав наилучшая постоянная в задаче М.А.Лаврентьева определяется с точностью большей,чем 0,09, а в пространственном случае наилучшая постоянная в оценке устойчивости описывается как экстремальное значение одного функционала с эффективной оценкой сверху. Найдена связь между оценками устойчивости и топологическими свойствами отображений с ограниченным искажением Даются оценки устойчивости квазиизсметрическгх отображений, рассматривается применение квазиконформных деформаций к исследованию искаже-"ния плоских кзазтсонформных отображений; Получены

• Фвасильчик М.Ю. Асимптотическое поведениедгаммалыпк ко эф-'

1 фицяентов квазиконформности.-ДАН £СС?,--Т. 249, Л4-С. 777-УРи. ^Бешетцшс Ю.Г. Пространственные отображения с ■огрвтиеччн.ч искажением. Новосибирск, Наука, 1982.:

¡(еобходимие условия для, экстремальных квазиконформных отображений произвольной области на шар. Указываются эффективные предоджеинч квазиконформных отображений плоскости на'пространство любой размерности.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные ре зультаты диссертации- являются новыми и могут быть использованы г> теории к-.пзкконформных отображений, в теории дифференциальных уравнений, в теории упругости и пластичности.

;.'•"? то д и ка 'и с с л е д ор, а ни я. В работе использованы методы теории функций действительного переменного, техника специальных интегральных представлений, геометрические методы теории ф>н-кций комплексного переменного.

Лиг овация работы. Результате диссертации- докладывались на се.тапарах Института Математики СО РАН, Московского государственного университета, на Донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям (Донецк. 1060), на конференциях по геометрии и анализу (Новосибирск, 1980,1989 ) , на Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, 1988 , на УУ Всесоюзной школе по теории операторов! Ульяновск,1'УО) , на международном коллоквиуме по комплексному анализу [Бухарест, 1ЭВЭ) .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации и объем. Диссертация состоит из введен:« и шести глав. Последняя, шестая глава посвящена некоторым открытым вопросам. Библиографических названий в диссертации,- 89. Объем - 200 с.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ■' На множество отображений V. ■' V- —» , , класса

^ определим дифференциальные операторы рь*>ш|ства:.м:

Ч'-{'г.....

Оператор Qt играет важную роль в оценках устойчивости ква-зиизоматрических отображений, а оператор Q4 -в оценках устойчивости квазиконформных-отображений. Опёраторн Qi и Qi интересны также и с точки зрения приложений. Например, (Qtit)c; представляет собой тензор деформаций в теории yirpy-

а . -

гости, -дввиатор тензора напряжений в теории ллаотич-

НОСТИ. ' ■

Отображение "2/:

масса

Wit&c(v) на-

зивается квазиконформное (или квазиизометрической) деформацией, если существенно ограничены характеристики (соответственно (Qtu.) ¿j ) , i.j-l.i,...,

Теорема 1.1. Пусть . в -открытый тар в R1"" . Тогда любая деформация г/в —> i? ^ квазиконформная при 1 * 3 и квазиизоматрическая при принадлежит классу

для любого ^ ^ 1

Отсюда имеем следующий результат.

Следствие 1.2. Квазиконформная деформация в размерности п*з и меазиизометричбекая в размориостп йзолирокац-

ннх ссобих точзк не имеет.

1 Теорзт 1,2. Деформация v:-Rn—t /2,v юзазикоктор.',«-над при п>, Ъ и кразкпэомвтрическая при с ir-FOTOpoii

постоянной С для «утек lzl> I уцовлетворяэт ьорав-э« •• ству ll'i'-ol ,lxjl _ Сцш'г.з hev.nдi'-'I i;i: rn:'";:,--

формных деформаций. .■.'■..':■•

В работе установлен также точный рост квазииэ.оме™ричес-" деформаций. Это - теорема. 1.3 первой главы.

В §4 главы 1 выясняются необходимые и достаточные условия для того, чтобы набор измеримых фунуций || (^iß л, п } z , tij ~ fji являлся набором характеристик квазикон-. формных деформаций, т.е. по сути дела устанавливаются необходимые и достаточные условия.разрешимости системы уравнений

y-t.i......

Суть этих условий аналогична условиям совместности Сен-Венана в теории . упругости. Это делает соответствующую проверку легко доступной. Отметим,, что для одного частного случая необходимые и достаточные условия указаны Л.Альфорсом^, . которые для проверки затруднительны. В размерности п = 3 необходимость.некоторых условий показывается.в монографии ^ (см. с.86) . г

Глава 2 носит преимущественно вспомогательный характер. . Это прежде всего касается квазиконформных, квазиизометрических потоков и потоков отображений," удовлетворяющих условию Гельдора. Следует добавить, что связанные с этим результаты, имеют самостоятельный интерес, поскольку обнаруживается глу-. .бокая связь между дифференциальными уравнениями и различными классами отображений.

В §6 главы 2 доказывается теорема о множестве образующие в группе квазиконформных автоморфизмов круга и плоскости.

Ccniribui.vtis, io andlijüsrV. JS-Jf. Acdoric Яш, Mtf-iMonJon, Ш ■ 2' 'jshopvu A.A. Пластичность.-M. :Кзд-по ÄH СССР,. 19ü3. -

С помощью атой теоремы в §7 устанавливаются оценки в теоремах искажения для плоских квазиконформных отображений. Теорема 2.11. К квазиконформное отображение

» 8(°, 0 единичного круга на себя о нормировкой удовлетворяет неравенствам

Им « ч1'*

Постояш.ае 4 и 16 в.этих неравенствах уменьшить нельзя.

Отметим, что первое из неравенств в литературе известно. Оно встречается у П.П.Белинского, О.Лехто и К.Виртанена. Теорема. 2.14. К -квазиконформное отображение круга Б(о,1) на себя с нормировкой удовлетворяет неравен-

&С /тг

для любых ,ггее(о,/) , где <.

По сравнению о известной теоремой Мори теорема 2.14 дает существенное уточнение оценки модуля непрерывности для значений К , близких к единице. Гипотеза, высказанная О.Лехто и К. Виртаненом такова, что ^=16 . По крайней мере это справедливо, когда' I?* I |7А| - 1 .

В §8 главы 2 доказываются.необходимые условия для экстремальных квазиконфоршых отображений фиксированной области на единичный шар. .

Пусть ' В(0;Л)'- . -кварккогл|ормнаябиекция и '..;.'•'.■'

^с (о, I) . Пологам , «-<•, .-.■■:■•:.

где ко (4-) » -внешний и внутренний коэффициенты

квазиконформности.

Обозначим через- Е(ц-) эллипсоид, который задается1 уравнением (?, ^'[-х),где х =

Теорема 2,18. Для экстремального квазиконформного отображения : V —» В (0,1} относительно коэффициента

Ш (или соответственно) с необходимостью для каж-

дой прямой £ и произвольных чисел существуют

точки ^е (у е В^ ) - такие, что острый угол между любой наибольшей .(наименьшей) осью эллипсоида ЬС¿г) и прямой £ заведомо не меньше, чем сьгоПп-^ -£

Смысл этих необходимых условий очень прост. Эллипсоиды для точек (уе) должны "сильно" колебаться

относительно любой*фиксированной прямой.

Теорема 2.21 описывает необходимые условия для экстремального отображения относительно коэффициента квазиконформности, введенного М.А.Крейнесом.

Главы 3,4,5 - центральные в диссертации.

Глава 3 посвящена доказательству следующего утверядения.

Теорема 3.1. Для каждого Н - квазиконформного отображения С>(0^) —<кВ(о,1) круга б{о,1) на-себя существует кон г?/срмний ортоморфизм —♦ И(о,1) такой, что

I КО- <чт>| ¿^00

хл'т всех -точзк I П ^ 1 ,гд« наименьшая постоянная т ¿до 1-.";Тгопп-"-г гюг^г.енс-тьс*.-::

1,0942...' = < £ = 1,27.32... , .

где Ч а К (г) - полный эллиптический интеграл.

Теорема 3.2. Для каждого К - Квазиконформного отображен ния ^—н 8(0,4) круга В на себя с нормировкой. £го ,, существует ортогональное преобразование ^ такое, что

-ЧСО I * тО*У для всех. Сев , где наименьшая постоянная иг. удовлетворяет неравенствам:

2,1884... = = 2,3326... ■ , '

где О = 0,915965... - постоянная Кзталана.

Прямым следствием теоремы П.П.Белинского является Теорема 3.3. Для каждого К - квазиконформного отображения В(°,0 круга В на себя с нормировкой = ° , ' . • выполняется неравенство:

для всех Сев , где постоянная м = ^ И г0 /УЗ) являет-

тг

ся наилучшей.

Глава 4 посвящена оценкам устойчивости в пространстве. Функцию наибольшего уклонения для отображений с ограни- . ченннм искажением единичного пара опр-зделкм равенством: ,,'

где (х£ - совокупность всех отображений с ограниченным искажением единичного кара, для которых внешшп"! коэффициент

к0 < 1 - е. .

Теорема 4.4. Для функиии Д справедлива оценка:

С = &ДЛ ^О I + _— ■

п е-Гс, — £ 1 -тгт + г(а-п ЬСК-^)

- 2 -^0(^/fr^) ; ГДЙ 3 _ бета-функпня Эйлера.

; ■ Число Са■ - есть "наибольшее значение некоторого функционала, заданного на множестве квазико1 формных деформаций шара,

: ' Ключевую роль в доказательства теоремы 4.4 играют теорема. устойчивости Ю.Г.Решетняка и специальные интегральные 'представления через дифференциальный оператор Ог , различение варианты которых выводятся з §§1-3 главы 4. При выводе представлений по существу используются идеи Ю.Г.Решетняка и Л.Аяьфорса. Полученные здесь интегральные представления хотя и громоздкие имеют самостоятельный, интерес. Одно из них касается следа на сфере.

Теорема 4.1. Для каждого непрерывно дифференцируемого в замкнутом шаре векторного поля и : 6(о, —* К"" , п т, з, существует элемент из алгебры Ли группы мебиусовых преобразований пространства , такой, что для граничных Точек ; справедливо равенство:

«•л. 4

\utjtl

• ((^К^О^Х^-^Х (0*«^)*» «Г-*)(иГ-«) ц..

4 " ^

(п-2) 1ут-Х I" (и-ОСч-а^ • //ьг-!/"/"

>» I4 /иГ-*1 '

где ¿а-объем «-мерного единичного тара.

Интересная связь обнаруживается между оценками устойчивости и топологическими свойствами отображений с ограяпчен-шм искажением.

Топологические свойства-отобрзхзпиЯ с ограниченным искажением изучались в работах В.Л,Зор.ла,Б.М.Гольдттдйнз, Ю.Вяйсяля, О.Мартио,. С.Риктиа, ЮчСарваса.

В §7 главы 4 доказыгается сяеи>ю;чзе продление.

Творзт 4,Ь, Зела отоорач:г:; э с огр^ккче;а;?:гд исхеяозкем , /> •> 3 , с по^Ч-тцкоитом квазиконаор^слти

-14- -

к(|) иегомеоморфнс, то выполняется неравенство . •'

В формулировка теорем

-произвольный коэффициент квазиконформности, и, функция наибольшего уклонения строится,- естественно, с учетом этого коэффициента.

Так кьк фикция наибольшего уклонения либо не превосходит единицы, либо обращается в бесконечность, то нарушение топологических свойств происходит только при двух зна-чэниях функции ^ : /*(£)-I и /<(£) = »э В. частности, для отображений, удовлетворяющих неравенству < £ , радиус инъективности равен единице.

В §8 главы 4 выводятся оценки устойчивости отображений с ограниченным искажением в звездной относительно некоторого шара ограниченной области.

Глава 5 посвящена оценкам устойчивости квазиизометрических отображений.

В §1 получены различные интегральные представления через дифференциальный оператор . Вот некоторые из них.

Теорема 5.1. Если векторное поле Ь : "Ё> (о, 1}—ч> принадлежит классу С (в) ,то существует постоянный вектор О е С"1 к кососимметрическсе преобразование И'■ £ "—1 в"" такие, что для всех ■хе & справедливо равенство

ч-$ ( С^ы^Ы-х)-

- (О,«(.¡^О5"-Аиг--х)и)-

Ж 1иг-тГ

"I (I/ ^ '

1>де ¿„ -объем п -мерного единичного шара.

Теорема 5.2. В замкнутом круге Ъ(б,1) для векторного Йоля V.' 5 —» 4 клесса С "'Св) найдутся комплексное а. и действительное о< числа такие, что для всех справедливо равенство

I

77 1ищ ки^И

- .'ЦП).'

• Отметим, что интегральное представление, содержащееся А теореме 5.3-, имеет только объемный интеграл.

Функцию наибольшего уклонения для квазиизометрических отображений единичного шара определим равенством

I

Где - совокупность квазиизометрических отображений

бдиничного шара с коэффициентом растяжения, удовлетворяющим Неравенству <

В выпуклой области коэффициент растяжения отображения есть наименьшая постоянная из неравенства

Теорема 5.4. Функция наибольшего уклонения ,

A (ej)

„>' имеет предел ß^ А (MV _ Сс

Е О £ Л '

i вря втои J в i4Q„42> для

В размерности 1 = 2. наилучшая постоянная в оценке ус-тойчтоости определена с точностью большей, чем 0,39. Добавим, "что качественный характер оценок устойчивости установлен ; Ф.Дконом.

^ ' ■ Если определить аналогичным образом функцию наибольше-' то уклонения для ограниченной областя Hs , то имеет мес-; то следующая

г. ¿орема 5.5. Пусаъ № «ограниченная и звездная относительно шара ß(otJ) область и Т> -внешний радиус об. ласти ZC . Тогда

. Ln hM)<-I>+nJ+»V\ £ d

Шестая глава посвящена некоторым открытым вопросам. Часть из них связана о исследованиями М,Вуоринена и A.D. Ко., пылова. '

- Список ребот автора по теме диссертации: -

, vi.' Л % *Ч ' . .iV г--Vi"- '■.■I':■v.V .'•'•'■•';"'.» '• - '.'-•. •. " . '.v . •'•"': '•: • • * .

ЩОштт В,И. -Квазюссвфорюне- потоки ? пространствах. Мобн~ 1 уса.-^т.сборниг.-; 982,<-T.119fB3.^.S? 5-5139» »Ji'f.jCa'MöHOB В*Ц?;Штеграяьлоо .представление следа на сфере " ■■хМ одного- ¡класса ■ йекторнух полей и равномерные оценки у(;той-Ч'.'- чввостл квазиконформных отображений шара,- tot. сборник,-

-17-

198?.-Т.133,№2.-0.238-253.

3. Семенов В.И. Оценки устойчивости для пространственных : квазиконформных отображений звездной области.-Сиб.мйт. журн.-1987.~Т.28Д€.-С.102-118. -

4. Семенов В.И. Об одной оценке в теореме устойчивости о конформных отображениях круга,-Сиб,мат.журн.-1986.-Т.27,

; Й2.-С.176-181.

5. Семенов В.И. О некоторых динамических системах и кваэи- . конформных отображениях.-Сиб.мат.журн.-1987.-Т.23■ С.196-206. " ; .

6. Семенов В.И. О необходимых условиях в экстремальных задачах для пространственных квазиконформных отображений.-Сиб.мат.Журн.-1980.-Т.21, №5.-0.70-77.

7. Семенов В.И. О равномерных оценках устойчивости для пространственных квазиконформных и каазиизометрических 4 отображений.-ДАН СССР.-1586.-Т.286,ЯЗ.-С.295-298.

8.. Семенов В.И. Равномерны« оценки устойчивости изомотрий. Сиб.мат. журн.-1986.-Т.27,№3.С.193-199.

9. Семенов В.И. Полугруппы некоторых классов отображений.-Сиб.шт.журн.-1977.-Т.18,"4.-0.877-889.

Ю.Семенов В.И. О достаточных условиях для экстремальных квазиконформных отображений в пространстве.-Сиб.мат. журн.-1981. -Т. 2273.-С. 222-224. •

11. Семенов В.И. Об однопчрт'отрических группах квазнкопфор-иных гомеоморфизмах в свкл^г.овом пространстве.-1976.- •• Т. 17,.VI.-С. 177-192. -

-1612. Семенов В.И. Об условиях Сей-Венана для квазиконформных деформаций.- Мат.сборник.-1990.-Т.181,У2.-С.269-278.

13. Семенов В.И. Некоторый принцип продолжения.квазиконформных деформаций плоскости.- Мат.сборник,-1992.-Т.183,ЯЗ.-С.147-159.

14. Семенов В.И..Оценки устойчивости, теоремы искажения и топологические свойства отображений с ограниченным иск$

° жением.-Мат.заметки.-1992.-Т«51Д5.-С.109-113.

15. SemenoT V.l. Certain applications of the quasiconformal and quasiisometrie deformations.-Rev.Roum.Math.Pures Appi,-

-1991.-V.36,9-10-.-P.-503-511. .

P

m

Подписана в печата 05,05.93 Форма® бумаги 60x84 I/I6 Объем 0,75 nwi.îi,8. УЧ.ИЗД.Л. З^каз 46 . Тираж 100 эюз,

Огаечагаяо п йаституви мштиа^дя СО РАН 630090. Новосибирск,, 90