Квазиконформные и гармонические экстремали функционалов на гомотопических классах деформаций и вложений римановых поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

? /] !

>?7 ' С/ С/ — <1 / ^ и £

•"У ч/ ч/ / / ^ О

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГРАФ Сергей Юрьевич

КВАЗИКОНФОРМНЫЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЭКСТРЕМАЛИ ФУНКЦИОНАЛОВ НА ГОМОТОПИЧЕСКИХ КЛАССАХ ДЕФОРМАЦИЙ И ВЛОЖЕНИЙ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

01.01.01 — математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Шеретов В.Г.

Тверь — 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................4

ГЛАВА 1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАЗИКОНФОРМНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ..........................19

§1. Предварительные сведения......................................19

§2. О квазиконформности гармонического продолжения квазисимметрической функции.............................................26

§3. Свойства квадратичных дифференциалов, ассоциированных с гармоническими квазиконформными автоморфизмами единичного

круга .........................................................34

§4. Квазиконформные экстремали интеграла Дирихле-Дугласа в классах нормированных гармонических автоморфизмов единичного

круга..........................................................46

§5. Теорема покрытия для одного класса гармонических отображений круга в полосу.................................................58

ГЛАВА 2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.....................................67

§6. Квазиконформные экстремали функционала Белинского в гомотопических классах вложений конечных римановых поверхностей ............................................................67

§7. Единственность экстремалей функционала Белинского в гомотопических классах вложений конечных римановых поверхностей .........................................................92

§8. Единственность экстремалей весовой дилатации в гомотопических

классах вложений конечных римановых поверхностей.......105

§9. Квазиконформные экстремали интегральной весовой дилатации в гомотопических классах вложений конечных римановых поверхностей ........................................................112

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................120

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

123

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования в настоящей диссертации являются локальные и глобальные свойства экстремальных квазиконформных и обобщенных гармонических отображений плоских областей и римановых поверхностей.

Понятие квазиконформного отображения возникло во второй четверти двадцатого века в ходе исследований, проводимых М.А.Лаврентьевым [83], Г.Гретчем [72] и Л.Альфорсом. В 1939 г. О.Тейхмюллер [97] применил теорию экстремальных квазиконформных отображений при изучении восходящей еще к Б.Риману проблемы модулей алгебраических кривых. Идеи, заложенные в работах М.А.Лаврентьева, Г.Гретча и О.Тейхмюл-лера, получили дальнейшее развитие в трудах Л.Альфорса [1] - [4], П.П. Белинского [5], [6], Л.Берса [8] - [10], Л.И.Волковыского [12], [13] и привели к созданию глубокой и разветвленной теории квазиконформных отображений с обширными приложениями в гидродинамике. На сегодняшний день на ее основе сформировалась самостоятельная теория пространств Тейх-мюллера, имеющая перспективные приложения в современной математической и теоретической физике (солитонике, конформной, калибровочной и струнной теории поля).

Не менее важное место в современной математике занимает теория гармонических отображений, возникшая на основе работ Т.Радо [89], Х.Кне-зера [78] (1926 г.), Г.Шоке (1945 г.). Заметную роль в формировании теории гармонических и обобщенных гармонических отображений сыграли такие математики, как Э.Райх [90], К.Штребель [93] - [95], Дж.Элс,

Л.Лемер, С.Бохнер, Ф.Хартман, И.Ниче, Р.Шен, С.Яо [92], Ю.Йост [76], [77], К.Уленбек, П.Дюрен, Г.Шобер, В.Хенгартнер [75], Дж.Клуни, Т. Шейл-Смолл [66].

В развитие теории квазиконформных и гармонических отображений, а также пространств Тейхмюллера большой вклад внесли отечественные математики М.А.Лаврентьев, И.Н.Векуа, Ю.Г.Решетняк, П.П.Белинский, Г.Д.Суворов, Б.В.Шабат, С.Л.Крушкаль, А.Т.Фоменко, В.А.Зо-рич, В.Я.Гутлянский, В.М.Миклюков, И.П.Митюк, Д.В.Прохоров, В.В. Горяйнов, А.Ю. Васильев, М.С.Иоффе (см. работы [5], [6], [33], [38] -[41], [45], [50]).

В настоящее время квазиконформные и гармонические отображения превратились в гибкий мощный инструмент для решения широкого спектра актуальных проблем и задач как комплексного, так и действительного анализа, геометрии, теории клейновых групп, пространств Соболева, комплексно-аналитической динамики, а также задач в различных областях математической и теоретической физики. В частности, теория гармонических отображений находит свое применение в задачах динамики жидких кристаллов и теории минимальных поверхностей. При этом возможности развития теории гармонических и квазиконформных отображений далеко не исчерпаны, о чем свидетельствуют новые интересные результаты и задачи, возникающие в этих областях.

В реферируемой работе сделана попытка выработать общий подход к экстремальным задачам гармонического и квазиконформного анализа, основанный на исследовании свойств квадратичных дифференциалов, ассоциированных с экстремальными элементами. При этом значительная часть результатов продолжает исследования В.Г.Шеретова [32], [52] - [54], [57] - [59] по проблемам минимизации интеграла Дирихле-Дугласа в гомотопических классах квазиконформных гомеоморфизмов римановых поверхностей, граничного поведения гармонических гомеоморфизмов, проблеме существования и единственности в задаче П.П.Белинского. Впервые

исследуются аналогичные проблемы в новых гомотопических классах квазиконформных отображений и вложений системы конечных гиперболических римановых поверхностей в заданную конечную гиперболическую ри-манову поверхность. В частности, решаются задачи о минимизации интеграла Дирихле-Дугласа на классах нормированных квазиконформных гармонических автоморфизмов круга, о минимизации нового функционала интегральной весовой дилатации и задача П.П.Белинского на классах квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей. При этом во всех задачах выявляется роль поведения ассоциированных ме-роморфных квадратичных дифференциалов, что является развитием известного принципа Тейхмюллера. Многие доказательства опираются на работы С.Л.Крушкаля [38] - [41], М.С.Иоффе [33], недавние результаты А.А.Голубева [15] - [19].

Целью данной работы являются:

(а) получение решения задачи о минимизации интеграла Дирихле-Дугласа на классах квазиконформных обобщенных гармонических автоморфизмов единичного круга, нормированных конечным числом граничных соответствий, и описание характеристических свойств экстремальных элементов.

(б) решение задачи П.П.Белинского о максимизации действительного непрерывного функционала на гомотопических классах квазиконформных вложений системы конечных гиперболических римановых поверхностей в заданную конечную гиперболическую риманову поверхность.

(в) доказательство единственности экстремальных отображений типа Тейхмюллера в гомотопических классах т(г)— и т(ги)— квазиконформных вложений конечных римановых поверхностей.

При получении основных результатов использованы методы геометрической теории функций, прежде всего методы граничной и внутренней

вариации квазиконформного отображения, экстремальных метрик, принцип Дирихле для гармонических функций, принцип аналитического продолжения, теорема об униформизации римановых поверхностей, свойства аналитических квадратичных дифференциалов, метод соответствия траекторий пар аналитических квадратичных дифференциалов, ассоциированных с отображениями типа Тейхмюллера, компактность классов к— квазиконформных отображений.

Все представленные в диссертации результаты, за исключением материала §1 и пункта 0 в §6, носящего обзорный характер, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Основными в ней являются следующие результаты:

— получен критерий квазиконформности гармонического отображения единичного круга на выпуклую ограниченную жорданову область, заключающийся в свойстве квазисимметричности граничного гомеоморфизма.

— впервые поставлена и решена задача о минимизации интеграла Дирихле-Дугласа на классах квазиконформных обобщенных гармонических автоморфизмов единичного круга, нормированных конечным числом граничных соответствий.

— исследована роль голоморфных квадратичных дифференциалов, ассоциированных с обобщенными гармоническими автоморфизмами единичного круга в вопросе о возможности аналитического продолжения этих отображений по симметрии через дуги единичной окружности. Доказано, что дуги, через которые подобное продолжение осуществимо, являются траекториями либо ортогональными траекториями соответствующих квадратичных дифференциалов.

— решена задача П.П.Белинского в свободных гомотопических классах квазиконформных вложений системы конечных гиперболических римановых поверхностей в заданную конечную гиперболическую риманову поверхность.

— доказана единственность экстремальных отображений типа Тейх-мюллера в свободных гомотопических классах квазиконформных вложений системы конечных гиперболических римановых поверхностей в заданную конечную гиперболическую риманову поверхность.

— расширен класс экстремальных задач, решениями которых являются отображения или вложения типа Тейхмюллера.

Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по геометрической теории функций, квазиконформным и гармоническим отображениям, римановым поверхностям, а также в соответствующих прикладных вопросах.

Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции, посвященной 25-летию Тверского государственного университета (1996 г., г.Тверь), международной конференции по теории приближений функций, посвященной памяти профессора П.П.Коровкина (июнь 1996 г., г.Калуга), Второй Казанской летней школе-конференции "Алгебра и анализ" (июнь 1997 г., г.Казань), 9-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (январь 1998 г., г. Саратов). По мере получения они регулярно в 1996-1998 гг. докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа ТвГУ (рук. проф. В.Г.Шеретов).

Результаты диссертационных исследований опубликованы в 9 статьях, список которых приведен в конце диссертации.

Работа состоит из введения, двух глав, включающих 9 параграфов, заключения и изложена на 131 странице. Нумерация параграфов сквозная, то есть не зависит от номеров глав. Нумерация формул и теорем идет по параграфам. Список использованной литературы включает 99 наименований.

Результаты первой главы связаны с изучением свойств квазиконформных гармонических в римановой метрике <72(т) \с1ги2\, где сг(и>) —непрерывная, положительная, исключая возможные изолированные нули,

функция в единичном круге Ы такая, что \\и а2(т) ¿шЬ < оо, однолистных автоморфизмов единичного круга Ы и решением на классе На (5) таких автоморфизмов, нормированных в конечном числе точек на единичной окружности, экстремальной задачи о минимизации интеграла Дирихле-Дугласа

ЕЛ/) = II Ш' + Ш2)о>от,Ыу.

и

В §1 вводятся понятия квазиконформного, гармонического в классическом смысле и гармонического в произвольной римановой метрике отображений, формулируются некоторые свойства квазиконформных и гармонических отображений, теорема Радо-Кнезера-Шоке и некоторые другие сведения, необходимые для решения задач первой главы.

В §2 вводится восходящее к Л.Альфорсу понятие р -квазисимметрического гомеоморфизма замкнутой жордановой кривой и рассматриваются классы НР(П) классических гармонических гомеоморфизмов единичного круга Ы с р -квазисимметрическими нормированными в одной точке единичной окружности граничными функциями, отображающими дЫ на границу выпуклой ограниченной жордановой области I), а также их компактные в топологии локально равномерной сходимости в круге Ы подклассы. Доказывается инвариантность классов ' Нр (И) относительно конформных преобразований аргумента специального вида М%ь(г) = Ф^1(аФи(г) + Ь), а > О, Ь Е М, где Фи — некоторое фиксированное конформное отображение единичного круга на верхнюю полуплоскость.

Основным результатом параграфа является

Теорема 2.3. Гармоническое однолистное отображение единичного круга Ы на выпуклую ограниченную жорданову область Б является квазиконформным в том и только том случае, когда его граничный гомеоморфизм является квазисимметрической функцией.

При доказательстве использовано известное условие Альфорса-Бер-линга квазисимметричности граничной функции квазиконформного автоморфизма верхней полуплоскости, а также равномерная на компактных подклассах класса Нр{В) оценка модуля комплексной характеристики гармонических отображений. Ранее достаточные условия квазиконформности интеграла Пуассона были получены О.Мартио [87] (1969 г.) и В.Г.Шеретовым [52] (1980 г.) в терминах свойств его граничного диффеоморфизма.

Содержание §3 составляют результаты, описывающие свойства голоморфных квадратичных дифференциалов вида (р/(г) ¿г2 = а2 о /(¿г) /2(г) ассоциированных с квазиконформными гармоническими в ри-мановой метрике а2(т)\с11и\2, ст2(и1) с1ис1у < оо, автоморфизмами единичного круга Ы. Норма квадратичного дифференциала <р/(г) ¿г2, определяемая как /с1хс1у, конечна в силу квазиконформности функции /. Точка го = ега называется граничным полюсом порядка у функции (р Е Но1{и), если при х Е Ы и г -Л имеем | х \х — ¿о|_г/- Здесь символом Но1(Ы) обозначен класс функций, голоморфных в круге Ы. Исследуется вопрос существования граничных некасательных предельных значений у функций и при наличии лишь конечного числа граничных полюсов порядков V < 2 доказывается принадлежность этих функций пространству Харди .

Центральным вопросом параграфа является изучение возможности гармонического гомеоморфного продолжения по симметрии относительно дЫ квазиконформного гармонического автоморфизма круга через дуги единичной окружности. Возможность такого продолжения оказывается тесно связанной со свойствами квадратичных дифференциалов гармонических отображений. На расширенной комплексной плоскости рассматривается непрерывная риманова метрика

<т2(и!) \с1и>\2, если и> Е

а2(и)) |сЦ2

|ску|2, если ииеи:=С\и.

Аналитическая дуга на римановой поверхности 91 называется горизонтальной дугой (траекторией дифференциала ipjdz2 ), если вдоль нее выполняется дифференциальное неравенство tpf(z)dz2 >0, и вертикальной дугой (ортогональной траекторией дифференциала ip dz2 ), если вдоль нее имеем ipf(z)dz2 < 0 . Аналогично в терминах граничных локальных параметров вводятся понятия граничных траекторий и граничных ортогональных траекторий на конечной римановой поверхности 91.

Справедлива

Лемма 3.1. Функция /, гармоническая в метрике cr2(w) \dw\2 в единичном круге U, продолжается по симметрии относительно дЫ до гармонического в метрике a2(w) | dw |2 отображения конечной римановой поверхности С\(<9£ДГ), где Г — дуга или объединение дуг единичной окружности тогда и только тогда, когда множество Г представляет собой объединение граничных траекторий и ортогональных траекторий квадратичного дифференциала iff dz2, ассоциированного с функцией /, причем общими концевыми точками граничных траекторий с граничными отрогональными траекториями могут быть лишь граничные нули (р f dz2.

В случае когда функция cf{w), определяющая метрику a2(w) \dw\2, имеет специальный вид, справедлив следующий результат.

Теорема 3.3. Пусть f — гармоническое в метрике \A'(w)dw\2, где A(w) — мебиусов автоморфизм единичного круга, отображение круга U на себя, такое, что гармоническое отображение А о f имеет кусочно-линейную граничную функцию еш°(в\ Тогда f продолжается по симметрии до гармонического в метрике a2(w)\dw\2 отображения римановой поверхности 91 = С\{ега1/ где {au}™=l — множество точек разрыва функции и'0 (в) = duJo(6)/d9.

Граничная функция егш°^ является в этом случае квазисимметрическим гомеоморфизмом. Доказательство теоремы проводится методами геометрической теории функций, использует анализ бесконечно малых и свойства квадратичных дифференциалов гармонических отображений.

В §4 изложены результаты, касающиеся проблемы минимизации интеграла Дирихле-Дугласа Еа(/) на классах На(5) квазиконформных гармонических в метрике а2{и))\(1'ш\2 автоморфизмов единичного круга Ы, продолжимых до автоморфизмов замкнутого единичного круга Ы, и нормированных на единичной окружности конечным числом граничных условий вида /(ег^) = ега", V — 0, п — 1. Дивизор 5 — {егаг/}^1д выбирается таким образом, чтобы класс На(5) не содержал конформного отображения.

Доказывается аналог теоремы о среднем для функций, гармонических в метрике специального вида. Следствием полунепрерывности снизу функционала Есг(/) и компактности относительно локально равномерной сходимости в Ы семейств к -квазиконформных функций является теорема о существовании экстремали интеграла Дирихле-Дугласа (/) в непустых подклассах Н^{5) к -квазиконформных эле