Квазиконформные отображения, экстремальные относительно своих граничных значений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

р

АКАДЕшИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТШЛТИКИ

На правах рукописи

¡ИЕРЕГОВ Вягтимир Георгиевич

УДК 517.54

КВАЗЖОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ» ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ОТНОСИТЖЬНО СВОИХ ШНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1988

Работа выполнена на кафедре теорш!. функций Кубанского государственного университета

Официальные

оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор С.Л.КРУШКАЛЬ

доктор физико-математических наук, профессор В.Я.ОТЛЯНСКИЙ

• доктор физико-математических наук, профессор В.А.ЗОРИЧ

Ведущая организация : Институт математики АН УССР

Защита состоится "_"_ 1989 г,

Б _____ часов на"заседании Специализированного совета • Д 002. 23. 02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики СО АН СССР по адресу:

630090, г. Новосибирск,.90, Университетский проспект, 4, С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР, Университетский проспект, 4.

Автореферат разослан "_"_198 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических наук Б.С.Белоносов

Вйиу

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посшщена современным проблемам геометрической теории функций, относящаяся к квазиконформным к гармоническим отображениям плоских областей и римановых поверхностей, деформациям клейновых групп.

Зарождение теорий квазиконформных и гармонических отображений относится к 20 - 30 -м годам текущего столетия ( М.А.Лаврентьев, Г.Грстч, Л.Альфорс, Т.Радо ). Достигнутый сегодня уровень их развития характеризуется глубоки,® и разветвленным связями с дифференциальной геометрией и топологией, уравнениями в частных производных и теорией функциональных пространств, математической физикой и теорией груш, вариационным исчислением и '"гениальными поверхностями.

Классическая теория римановых поверхностей тесно переплетена с алгебраической геометрией, теорией чисел, теорией многообразий и занимает важное место в комплексном анализе, являясь источником многочисленных идей и обобщений.

Традиционной областью приложений конформных, квазиконформных, гармонических отображений является механика деформируемых сред. В семидесятые годы были обнаружены фувдамен-талыше приложения римановых поверхностей в солитонике ( С.П.Новшсов ), а гармонические отображения'привлекли внимание как модели некоторых физических теорий, включая калибровочные. Новая волна приложений римановых поверхностей связана с теорией струн.

Первые -применения квазиконформных отображений в качестве аппарата теории римановых поверхностей связаны с именами Л.Альфорса, О.Тейхшшгера, Л.И.Волкошсшго. Развитие экстремальных квазиконформных отображений римановых поверхностей стимулировалось, главным образом," программой ■ исследований по классической проблеме модулей;, реализация которой привела к построению глубокой теории пространств Тейхдаллера. Мощным инструментом стали методы решения экстремальных задач, созданные Л.Аяьфорсом, П.П.Белянскнм, С.Л.Крушкалем, З.Я.ГУт-лянсккм, И.П.Ыитюяом, Р.Кккау.

В активе плоских квазиконформных отображений имеются важные приложения к геометрической теории приближения функций (В,И.Белый, В.М.Миклджов ), классификации диффеоморфизмов поверхностей ( У.Терстон, Л.Берс ), деформациям клейно-вых,групп ( Альфоро, Берс, С.Л.Крушкаль ), а также к комплексно-аналитической динамике, теории Сельберга автоморфных отображений, теории распределения значений. •

Впечатляюций прогресс достигнут и в теории пространственных отображений,.менее чем за три десятилетия прошедшей путь от набора изолированных частных результатов до раздела фундаментальных знаний с богатой естественной внутренней структурой. Труды Ю.Г.Решетняка, П.П.Белинского, Б.В.Шабата, В.А.Зорича, Г.Д.Суворова, В.М.Гольдатейна, А.В.Сычева, А.П. Копылова, В.В.Асеева раскрыли специфику пространственных отображений и привели к новым сферам приложений. Методы, основанные на оценках обобщенных интегралов Дирихле и свойствах их экстремалей, наряду с метрико-геометрическими ( модулей, симметризации ), занимают центральное место в теории пространственных квазиконформных отображений и отображений с ограниченным искажением. Вклад советских ученых в их разработку и совершенствование является определяющим,

В связи с построением теории тейхмкщлеровых пространств возникли вопросы экстремизации коэфициевда квазиконформности ( отклонения ) , интеграла энергии и других функцио-

налов на классах ОХ гомотопных по модулю идеальных грашч-ных кривых квазиконформных отображений произвольных римано-вых поверхностей. Выяснилось, что в некомпактном случае отображения с минимальным отклонением не всегда достаточно регулярны и единственны в классах ^Г . К началу семидесятых годов СД.Крушкаль и .Р.Гамильтон получили -необходимые условия экстремума в задаче о минимизации отклонения на открытых ри~ мановых поверхностях, а несколько позже Беро распространил их результаты на квазиконформные деформации клейновых групп.

Задачи, решаемые в реферируемой работе, группируются вокруг проблемы Берса о природе экстремального квазиконформного отображения открытой римановой поверхности, проблемы существования гармонических диффеоморфизмов с заданными граничными значениями и вопросов, связанных с построением теории

искажения в классах аналитических функций с квазиконформным продолжением. 11а протяжении двух последних десятилетий этот круг вопросов интенсивно исследовался, однако разработан еще с недостаточной полнотой. Актуальность очерченного направления обусловлена не только внутренними потребностями теории, но и наличием разнообразных связей с другими областями.

Цель работы - дальнейшее развитие теории экстремальных задач для квазиконформных отображений римановых поверхностей и клейновых групп, описание свойств отображений, экстремальных относительно своих граничных значений, исследование вопросов существования и свойств гармонических и слабо гармонических отображенийг развитие указанных нюхе методов.

Общая методика исследования. В работе широко используются результаты и методы комплексного и функционального анализа, геометрии многообразий, теории клейновых груш. Иг вод 'необходимых условий экстремума в главах 1-3 базируется на вариационном методе для квазиконформных отображений в форме, предложенной С.Л.Крушкалем, с надлежащими.усовершенствованиями, обусловленными спецификой решаемых задач.

Созданы новые методы исследования квазиконформных отображений , экстремальных относительно своих граничных значений, с помощью которых доказаны утверждения о достаточности в кри-теориях экстремальности из главы I, изучены свойства слабо гармонических и локально экстремальных отображений в главах 3 и 4. Новым является также вариант метода площадей дош аналитических функций с квазиконформным продолжением, с помощью которого получены все результаты главы 5. Доказательство единственности экстремальных отображений типа Тейхмшлера в главе 2 проведено методом экстремальных метрик и синтезирует конструкции Л.Альфорса и К. Штребеля.

Научная новизна и теоретическая значимость. Результаты диссертации являются новыми. Евделим основные их них : - получены критерии экстремальности в задаче Гретча -Тейшвдлера о минимизации отклонения в наиболее общих ситуациях - на классах гомотопных по модулю идеальных

граничных кривых квазиконфоршых гомеоморфизмов произ-волышх гиперболических Романовых поверхностей и в соответствующей задаче дая плоских кленновых групп;

- аналогичные критерии получены дая квазиконформных экстремалей вещественных функционалов, имеющих комплексные производные Гато, в частности, - для функционалов Белинского, что обобщает результаты П.П.Белинского и С.Л.Кружкаля; тем самым дана редукция рассматриваемых задач к линейным экстремальным проблема!»! на единичной сфере банахова пространства голоморфных ( мероморфных ) квадратичных дифференциалов;

- исследованы экстремальные свойства отображений типа . Тейхмшлера в классах гомеоморфизмов с ограниченной весовой дилатацкей и доказано соответствующее обобщение классической теоремы Тейхмшлера, включая утверждения

о существовании, единственности и виде комплексной характеристики;

- решена вариационная задача Дирихле для квазиконформных отображений римановых поверхностей и дано обоснование комплексных вариантов принципа Дирихле дая функционалов энергии, Рейха-Штребеля и Альфорса;

- впервые введены и изучены классы слабо гармонических и локально экстремальных отображений и дана характеризация квазиокружностей с точки зрения экстремальных квазиконформных отражений;

- установлены глубокие связи мезду квазиконформными экстремалями отклонения и интеграла энергии, выраженные в теоремах о характере разрешимости уравнения гармонических отображений на компактной римановой поверхности к о свойствах локально экстремальных отображений;

- даны обобщения на классы многих утверждений из второй части известной монографии М.М.Мшшнч ( Однолистные функции и ортонормированию системы. ~ М.г Наука, 1971 ), в частности, - обобщения неравенств ГАГолузина, Гретча, Крауса-Нехари-Милина ; Часть полученных результатов дополняет теоремы В.Я.Гутлянского и ВД5Щештева0

Заметим, что теория исканения да аналитических функций с квазиконформным продолжением, наряду с критериями экс-трсг.'ллыгостя главы I, теоремами о локально экстремсиышх и слабо гармонических отображениях, тлеет глубокую связь с гиперболическими свойствами общзх пространств Тейхмаллора и инвариантными метриками на них.

Дня математических объектов нелинейной природа, возникающих в различшх областях науки, характерно наличие качественных эффектов, связанных с нелинейностью. В этом плане заслуживают внимания два новых эффекта, касающиеся изменения характера разрешимости квазилинейного уравнения гармошгчес -кнх отображений на римановой поверхности и "доменной структуры", вносимой в область локально экстремальным отображением. Еще один эффект, касапцийсг существования у нелинейных уравнений и систем уравнений эллиптического типа обобщенных решений, гладких на открытых множествах полной меры, но не всюду, известен из работ Ф.Альыгрена, Е.Дяусти, В.Г.Ыазьи и др. Слабо гарглоиические относительно гладких римановых метрик квазиконформные экстремали интеграла энергии даыт новые примеры подобного типа, относящиеся к уравнению гармонических отобрз,-таниЗ. Уместно отметить, что знание таких эффектов является жобходишм элементом при создании вычислительных методов, обслуживающих нелинейные уравнения.

Предложенные автором методы нашли применения в работах В.В.Думкшгя, В.В.Чуешева, А.Н.Вагина, А.З.Гриншпана, В.А.Ще-жтева.

Апробация -оаботн. Основные результаты диссертации докладывались автором на Донецких коллоквиумах по квазиконформным )тображениям ( I97S, 1978, 1980, 1987 гг.), Кубанских школах ю геометрической теории функций (1975,1985), на'конференциях го современным проблемам теории функций в Новосибирске (I97S) t Черноголовке ¡московской области { 1977,1979 ), на III Интернациональном симпозиуме по комплексному анализу и его при-гожениям в Херцег-Нови, СФРЮ (1988), а такке на научных семя-арах по теории функций в ШУ (1977, 1983, 1987) ,Ш СО АН ■ССР (1986, 1988), Ш АН СССР (I9S7), Ш АН УССР (1987), H УССР (1987). Регуля. ло, по мере получения, результаты od-улдалис:. на научьом семинаре по геометрической теорий функ-ий в Кубанском университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах £1J - /18^ , список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, главы 0, содержащей вспомогательный материал, пяти глав основного текста, заключения и описка литературы, включающего 218 наименований. Объем диссертации - 322 стр. машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Плоское квазиконформное отображение - это сохраняющий ориентацию гомеоморфизм £ некоторой области & с Сг на область 6* Си„ являющийся обобщенным решением уравнения Бельтраыи ^ ^-^Ч&л/ц 0 измеримым, существенно ограниченным коэффициентом - > называемым комшгексной ха-

рактеристикой отображения^ „ Ъот./учА, т0

называется ^-квазиконформным, а* также £-квазикон~ формным отображением, где ^ -£) функционал $(0

—(^/¡ое^-учЛв*)'* называется коаШпщентом квазиконформности или отклонением гомеоморфизма ^ .

Квазиконформное отображение римановнх поверхностей £ и ^ - это гомеоморфизм ^ ; , каадое локальное

представление 1/(2.) которого реализует квазиконформное отображение соответствующих параметрических кругов. Если /¿^ и ~ гиперболические поверхности, то их универсальные на-крыващие конформно изоморфны кругу Т/- -{¿б {[■'и существуют такие фуксовы группы Ц и Г , что пространства орбит ШР9 и Х//Р , снабженные комплексными структурами, при которых проекции 1/ Ж'Х^-^и//1 голоморфны, представляют ркмановы поверхности, конформно изоморфные и ^ , соответственно. '

Каждый квазиконформный гомеоморфизм ^ г '(//^ имеет естественное поднятие до квазиконформного автоморфизма круга 1/ . Два таких гомеоморфизма £ , : и/Г^-*"^//7 условимся называть гомотопными по модулю идеальных граничных кривых, если существует гомотопия -~*"Х//Г ' » еотестветое поднятие

: -> (У которой, будучи продолженным не-

прерывным образом на постоянно по

множестве (д1/ X ¿] . где А (О)- предельное мно-

жество группы .

Квазиконформные отображения. экстремальные относительно своих гоаничных значений - это гомеоморфизмы, минимизирующие коэффициент квазиконформности в классах гомотопных по модулю идеальных граничных кривых квазиконформных отображений между заданными Романовыми поверхностями. В расширенном смысле этот термин мояно отнести к квазиконформным экстремалям других функционалов на классах „

Пусть - согласованная с комплексной структурой ри-манова метрика класса С* на поверхности ■ М- с локальными представлениями вида <?'г{ш)¡¿иг!^ нормированная условием С/^ Диффеоморфизм ^ г удовлетворяющий

уравнению

в кадцом локальном параметре, называется ¡гопническим, относительно метрики ё*' .

Ниже нумерация теорем тождественна принятой в диссертации, а нумерация форглул ~ независимая.

Глава I. "Критерии экстремальности квазиконформных отображений". Центральный результат главы - критерии экстремальности в задаче Гретча-Тейхмшлера на открытых римановых по-зерхностях - представляет собой обобщение на некомпактный злучай классической теоремы Тейхмшяера об экстремальных квазиконформных отображениях.

Теорема Г.З Для того, чтобы квазиконформный гомеоморфизм между произвольно заданными гиперболическими рима-гавыми поверхностями и $ ■ имел минимальное откяоне-ше ъ классе . гомотопных ему по модулю идеальных гра-шчных кривых квазиконформных отображений, не обходи,га я до-¡таточно, чтобы его комплексная характеристика уч удовлет-юряла следующим эквивалентным условиям :

л.

Здесь ¿^ - [Ю- единичная сфера банахова пространства Дголоморфных на ¿?0 квадратичных дифференциалов с нормой ИРЛ'-//^ /9/ «Ц. ,

Доказательство необходимости (2) является модификацией вариациошшх рассуждений С.Л.Крушкаля, получившего этот результат в 1969 г. при дополнительном предположении, что ¡/^(кЫ^&мЗ . Другое доказательство необходимости (2) принадлежит Р.Гамильтону, Эквивалентность (2) и (3) и их достаточность в случае Ме —установлена в 1973 г. Э,. Рейхом и К.Штребелем. В общем случае достаточность доказана в 1978 г. одновременно разными методами К.Штребелем и автором. Метод, развитый в диссертации, использует свойства финслеровой структуры на касательном расслоении

единичного шара ВС$с) банахова пространства ¿^"иР^) дифференциалов Бельтраш у?/ на с нормой

:2€эквивалентность (2) и (3), а также леммы Берса и автора о локально тривиальных дифференциалах на римановых поверхностях. Последняя представляет самостоятельный интерес :

Леша 1.4 Пусть - дифференциал Бельтраш на $ , для которого выполнено (2) , и ~ такая последова-

тельностьэлементов из С^ , что -¿¿л?//р /¡У;, •

Тогда для любого локально тривиального^дифферещнала Бельтраш. на выполняется соотношение

-йт // = &

/¿г && ^ •

Финслерова метрика на шаре вводится формулой

поднятия в круг X/ элементов , - неевкли-

дово расстояние между точками <£. , Символом

обозначим множество всех локально тривиальных дифференциалов Бельтрами на , то есть аннулятор подпространства $($») банахова 1фостранства суммируемых квадратич-

ных дифференциалов V о относитель-

Кд

но билинейного спаривают

Используя установлен]шй Р.Гамильтоном факт эквивалентности (2) каждому из условий

(4)

¿(Л*)* »)> Уу * К (5)

приходил к теореме 1.6, утверждающей, что (4) и (5) яатяют-ся критериями экстремальности отображения с комплексной характеристикой ^ относительно своих граничных значений.

В § 1.3 проведено качественное исследование свойств квазиконформных экстремалей вещественных ¿Г-дифферегахиру-емых по Гато функционалов на открытых риманошх поверхностях. Пусть - подкласс класса , образованный р -квазиконформными отоб' гкештам,

Теорема 1.8 Пустьи непрерывный вещественный функционал {/) имеет в точка комплексную произ-

водную Гато относительно семейства , причем выполняется условие ^

0 < ffp / i (Ufo, «О)/Ж

у^р I ¡->1 Г (ро, и-^у/ ь**}^ -гг ОО

где

Максимум достигается на элементе^д^^л тогда и только тогда, когда либо- голоморфный дифференциал на > либо Д^) и комплексная характеристика 35 отображения удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:

ж * ¿"иг/-' = ,

/?......W ' г

Здесь «S^ - единичная' сфера вещественного банахова пространства квадратичных дифференциалов вида У я* & , ff голоморфный дифференциал, С £/ju>/j:= // /у>/¿¿м

II к

Далее эти критерии специализируются на случай функционалов Белинского ( теорема 1.1). В случае конечных поверхностей и свободных гомотопических классов отсюда следуют известные результаты П.П.Белинского и С.Л.Крушкаля. Теорема 1.10 - аналог теоремы 1.6 для экстремалей функционала ^С/)*

В § 1,4 критерии экстремальности (2) - (5) обобщаются на квазиконформные деформации клейновых групп. Обоснование необходимости условия типа (2) принадлежит Берсу.

Последний § 1.5 главы I посвящен приложениям экстремальных квазиконформных отображений к пространствам £ейх-мкшлера Т^ замкнутых римановых поверхностей рода В теореме 1.14 изучаются комплексно-аналитические подмногообразия в ! отвечающие поверхностш, допускающим конформные автоморфизмы простого порядка, и расслоения связанные с этими подмногообразиями. ®

Остальные утверждения главы I содержат различные следствия из критериев экстремальности. В частности, доказана дифференцируемость метрики Тейхмиллера -Кобаяси в простран* ствах квазиконформных деформаций клейновых групп и указан вид ее инфинитезимального элемента в терминах экстремальных коэффициентов Бельтрами.

Глава 2." Экстремальные отображения типа Тейхмюллера", Здесь исследуются экстремальные задачи на римановнх поверхностях, которые в компактном случае приводят к отображения^ типа Тейхмкилвоа. то есть квазиконформным отображениям с комплексными характеристиками вида, где -измеримая функция, &£&(%.)<4п.ъ„, ¡р> - голоморфный или меро-морфный квадратичный дифференциал» Постановка таких задач восходит к Тейхмшлеру и Л,И„Волковыскому, а решения в различных случаях даны Р.Кюнау, К. Андреян Казаку, СД.Крушка-лем, автором.

«мая функция на римановой го-

шровка ¡¡¿Н^Зь Прежде всего, решается задача о минимизации в классах &С весовой дилатации "С^): ~

ограничивает общности нор-

( в случае, когда дополнение С£ к максимальному открытому множеству £ , на котором > $ п.в., тлеет положительную меру Лебега ъ&у/СЕ-<?п.в., существенный супремум берется по множеству ; если при тех же условиях на некотором подмножестве Е&СС£? положительной меры юлеем/й, п. в., то полагаем 27/0— *•<>&),

Теорет 2.1 утверждает существование экстремалей в классах гомеоморфизмов с ограниченной весовой дила-тацией при условии, что в них имеются элементы^, для которых В отличие от результатов главы I, удаяось получить дата лишь необходтгое условие экстремума типа (2), которое шест вид :

"гПЯь/к* б**/-'?**?/**® (6)

где - единичная «пера банахова пространства голоморфных Есвадратичных дифференциалов р на с весовой нормой

/Р/^^г ( теорема 2.2).

С помощью теоремы 2.3 из § 2,2, утверадающей единственность экстремальных отображений типа Тейхмшлера, кшшми-зирупцпх^г/^ , снимается ограничение п„в, в слу-

1ае, когда ¿^ - свободные гомотопические классы квазикок-Еюргяшх отображений замкнутых римановых поверхностей. Придадим к следующее обобщению классической теоремы Тейхшшге->а.

Теорема 2.4 Пусть и Л - замкнутые римановы по-¡ерхности рода , <Г(-г) - произвольная нормированная ве-овая функция на и - такой свободный гомотопичес-ий класс квазиконформных гомеоморфизмов ^ ; , что

уществует элемент^ <£, на котором Тогда в

лассе существует единственная экстремаль весовой дила-ацил Т/^ , которая либо яе-тязтся конформным отображением, ибо отображением типа Тейхмшлера ^ с комплексной харак-еристикой вида!?//¥>/ , где 9>& .

Подобно теореме Тейшкилзра, этот результат обобщается а римановы поверхности конечного типа.

Широкий класс экстремальных задач, приводящих в кон-пактном случае к отображениям типа Тейхмкжлера, охватывается следущей постановкой. Пусть - непустой класс гомотопных по модулю идеальных граничных кривых М1з. - гомео~ морфизыов^ : Д, , дилатациикЛу}- - ¿/"^^которых п.в. ограничены сверху заданной измеримой функцией ^ /¿¡¿у ,

п.в, на $ , Рассмотрим на (/£, полунепрерывный снизу относительно локально равномерной сходимости обратных отображений функционал — /фо и вещественный ¿Г-дифференцируемый по Гато относительно функционал . Требуется найти максимум на классе , при условии существования в нем элемента ^ , для которо^-го

Теорема 2,6 Пусты-¿я//^/);и отлична от нуля п.в. на Р , Предположим та-ке, что комплексная производная Гато £($) функционалатакова, что в точкеимеем

о<//яИ КШм*

где определена выше. Тогда если

то либо ~ ¿,№С-£в1ш'))с1игг'- голоморфный дифференциал на у^,, либо тфи хдамплексная характеристика обратного "отображения ^"^удовлетворяет условию

где - единичная сфера вещественного банахова прост-

ранства XX, квадратичных дифференциалов вида ¡Р = ,

9- голоморфный дифференциал, С ДМ/^-'

Специализация на функционалы Белинского и свободные гомотопические классы - отображений римановых поверхностей конечного типа, обладающих конечной группой конформных автоморфизмов, приводит к утверждению о существовании и единственности экстремалей , которые либо конформны, либо имеют комплексные характеристики обратных отображений вида & у> где При этом ограничение

п.в. снимается ( теорема 2.7). Экстремальная задача для Т/'чглхионаяов Белинского в свободных гомотопических классах квазиконформных гомеоморфизмов между конечными рл-

маковыми поверхностями, имеющих ограниченную весовую дн.::.1 цию, исследована в соавторстве с В.В.Думкиным.

Заметим, что утверждения теорем 1.8 и 2.6 является ми и для квазиконформных отображений плоских облает й. Эвр-.- -стическяй принцип Тейхмвдлера о связи между. экстремальным:! проблемами геометрической теории функций И' аналитическими квадратичными дифференциалами получал: точные- формулировки в большом числе исследований по конформным и-квазиконформным отображениям ( Дкенкинс, П.М.Тамразов, Г.В.Кузылина, Аль-форс, Берс, П.П.Белинский, С.Л.Крушкаль, М.С.Иоффе и др.). Критерии экстремальности главы I, результаты об отображениях типа Тейхмншгера в главе 2, о слабо гармонических и локально экстремальных отображениях в главах 3 и 4 обнаруживают границы применимости принципа Тейхмшлера в теории квазиконформных и гармонических отображений римановых поверхностей.

Глава 3. " Интеграл энергии и гармонические отображения". Одной из важных для теории гармонических отображений является проблема существования и единственности гармонического диффеоморфизма с заданными граничными значениями. Т.Радо, Х.Кнезер и Г.Шоке доказали однолистность интеграла Пуассона для круга [/ с гомеоморфной на окружности Э(/ плотностью д? , отображащей с сохранением ориентации на границу выпуклой области с ЙГ. Другие достаточные условия однолистности интеграла Пуассона с гомеоморфной плотностью указаны Л.Д.Кудрявцевым.

• Для замкнутых римановых поверхностей рассматриваемая проблема упрощается в том отношении, что граница является пустым множеством. В 1982 г. Ю.Йост и Р.Шён положительно решили вопрос о существовании. Точнее, они решили более с1щую задачу для двумерных компактных римановых многообразий клас-

С^ Специализация их результата на риманош поверхности гласит: в любом свободном гомотопическом классе сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов мевду произвольно заданными замкнутыми ршлановыми поверхностями и $ рода^->^ и для любой согласованной с комплекс чой структурой римановой метрики класса существует диффеоморфизм,-удов-

летворяющий уравнению (I) в каждом ло—альном параметре.

Исходным пунктом наших исследований в главе 3 является варисдионная задача Дирихле для квазиконформных гомеоморфизмов в следующей постановке. Пусть - непрерывная, нормированная и, исключая возможные изолированные нули, положительная метрика на римановой поверхности гиперболического типа. Требуется найти отображение, минимизирующее интеграл анергии

± /г //^/Ь^м

в произвольно заданном классе ^ гомотопных по модулю идеальных граничных кривых £-квазиконформных отображений /2 Д > В § 3.1 методом вариаций с помощью критери-в экстремальности из главы I доказана

Теорема-3.1 В любом классе при су-

ществует элемент ¡£ , шнишзирувдий энергию % кото-

рый либо является конформным отображением, ( что возможно лишь в случае *7((л] £ )® либо таков, что выражение

^В^ определяет на ^ голоморфный квадратичный ди.к'ь'ренциал р с конечной нормой, .

В § этот результат обобщается на квазиконформные деформации плоских клейновых групп. Вопрос об единственности экстремалей остается открытым«

Непрерывное отображение # : «чкласса МЬ усло-

вимся называть слабо гармоническим Относительно метрики

если выражение ^е^Ф^^Цт й^г2, почти всюду на ^ совпадает с локальным представлением некоторого голоморфного квадратичного дифференциала . ^

В § 3.2 получен.следующий результат, который, принимая во внимание теорему йоста-Шёна можно интерпретировать как эффект спонтанного изменения характера разрешимости уравнения (I) при замене гладких римановкх метрик на /С особыми римадавыш метрика®! вида 4$ где : йр. Теорема 3.4 Пусть свободный гомотопический класс сохрани кхцих ориентацию -гомеоморфизмов ^ мездупроиз-вольно заданными замкнутыми Романовыми поверхностями и Д рода £ не содержит конформного отображения» Тогда существует одна и только одна особая риманова метрика вида ¿^ , где €¿(/2), такая, что задача минимизации интеграла^ (Д разрешима в классе . Указанное решение -

суть единственное в классе отображение Тейхмкилера, а

У - ассоциированный с ним квадратичный дифференциал единичной нормы на ,

Таким образом, любое гармоническое относительно метрики вида 4у , где уС;(Я), отображение класса & я_ляется тейхмюялеровым и единственно в классе ^ й Так как теш:-мшлеровн отображения обобщают аффинные, этот результат можно интерпретировать как аналог известной теоремы БернштеЙна для минимальных поверхностей и гармонических отображений. Напомним, что в случае гармонических отображений она гласит: любое однолистное отображение,^: ^ С , удовлетворяю-

щее уравнению Лапласа , я&ляется аффинным.

в ¿^¿З

С помощью известных в теории пространств Соболева предложений о взаимосвязи дифференциальных свойств функций и их разностных отношений в § 3.3 доказана принадлежность слабо гармонических относительно нормированных метрик масса й - квазиконформных отображений соболевскому классу где /Г - множество нулей квадратичного дифференциала

"зО^^^г^, Я ( теорема 3.5 ), Отсвда сле-

дует, что такие слабо гармонические отображения являются обобщенными решениями уравнения гармонических отображений. Для интеграла Рейха-Штребеля

У /Л, Мял,-

где|а фиксированный элемент из доказан принцип Ди-

рихле в следующей форме.

Теорема 3.? Пусть Р - произвольный элемент из При ((70 в любом массе существует гомеоморфизм^ такой, что.: (а) обратный гомеожрфизм слабо гармоничен относительно метрики С^ ; (б) для лкшго элемента выполняется неравенство V) £ ФС^Ф•>

В § 3,4 установлена равностепенная непрерывность классов р непрерывно дифференцируемых отображений : $$ -^М » гомотопных по модулю идеальных граничных кривых заданному квазиконформному гомеоморфизму и имеющих ограниченные константой ^ интегралы „ ча - в случае ри-мановых поверхностей обобщает один результат ЖДелон-Ферран. В качестве следствия получаем предложение о существовании в

классаъСС^р не обязательно гомеоморфкых слабо гармонических экстремалей интеграла ( теорема 3.9 ).

Наши результаты показывают, что слабо гармонические относительно гладких римановых метрик и особых метрик вида е^ ^-квазиконформные отображения являются обобщенными решениями уравнения гармонических отображений (I), гладкими на отхфы-тых множествах полной меры. При этом поверхность относительно каждого слабо гармонического отображения класса

разбивается на максимальное открытое множество £Г<'— {& в.£ , в связных компонента* Л

которого^ "/Л - гармонические диффеоморфизмы, и дополнение

на котомок и, следовательно

Тейхмюллерово в каждой компоненте Л ¿^-¿{^

В § 3.5 доказана ^¡-квазиконформность интеграла Пуассона для круга с гомеоморфной на Э"(/ плотностью б£> , удовлетворяющей условиям теоремы Л.Д.Кудрявцева, причем получена формула"для С теорема 3.12 ). Это усиливает один результат О.Мартио. Кроме того, изучаются особенности Уктни многолистных гармонических относительно особых метрик вида ¿у отображений римановых поверхностей. Показано, что простыми точками сборки для таких отображений, язлявтся те и только те точки, в которых траектории голоморфного квадратичного дифференциала ¡^«^ортогонально пересекают нулевые линии якобиана ЗрСв) о

Остальные результата главы 3 связаны с исследованием слабо гармонических экстремалей функционала Альфорса

' г /А * /7 / | .

Отметим, что изложенные факты свойствах гармонических относительно метрик вида 4 у и слабо гармонических ^-квазиконформных экстремалей интеграла энергии дата? частичное решение проблем 2.6 и 8.2 из обзора Дж. Илса и Л.Лемера .

1 сем. -¿а. с а /иа^. - -/.6-0. - Р. ¿-2$-,

18

Глава 4. "Локально экстремальные квазиконформные отображения и отражения". Пусть О. (р) класс всех квазиконформных отражений относительно данной КЕазнокружности £ „ ~

подкласс, образованный элементами с минимальным отклонением. Представляет интерес охарактеризовать геометрически то квазиокружности, ДЛЯ которых подкласс состоит из одного элемента. В этом направлении получен следующий результат. _ Теорема 4.1 Пусть уЗ - отличная от окружности на С гладкая квазиокружность с натуральным уравнением 2 « -г/У) , , такая, что функция удовлетворяет в каж-доЗ: точке 6 условию Гельдера с, показателем I. Тогда множество состоит из единственного элемента -тейхмшлерова квазиотражекия с конечной нормой голоморфного на уу <»уЗ квадратичного дифференциала р .

Призеры показывает, что для кусочно гладких квазиокрун-ностей, имеющих угловые точки, утверждение теоремы 4.1, вообще говоря, не зерно. В общем случае задача описания , так же как и задача описания подкласса С%д всех экстремален отклонения в классе , остается предметом современных исследований. В силу общего характера, критерии экстремальности (2) - (5) в конкретных ситуациях не всегда эффективно проверяемы, поэтому сохраняет актуальность проблема получения удобных достаточных признаков экстремальности отображений относительно своих граничных значений. Известно, что множество (/Со может быть бесконечным, а дифференциальные свойства его элементов не лучше, чем у произвольных квазиконформных отображений.

С целью описания множеств в некомпактном случае

мы вводим и изучаем класс локально экстремальных отоб-

ражений . то есть таких, которые экстремальны относительно своих граничных значений в любой подобласти отображаемой области. Конформные отображения и тейхмюллеровы отображения с конечными нормами ассоциированных квадратичных дифференциалов являются локально экстремальными. В § 4.2 доказано сун;;-отвование локально экстремальных элементов в любом классе . Опираясь на критерии экстремальности и некоторые факты, установленные К.Штребелем и Ю.Йостом, получаем следующий результат.

Тоопога 4.7 Экстремали функционалов вида

т¥ (£) -- \ р/Аt

где С^Л), в любом семействе существует и япляются

локально экстремальными отображениями. Пусть <4, - одна из таких экстремалей для ъ буи^/ос , и пусть макси-

мальное открытое множество / п.в^

не пусто. Тогда в любой связной компоненте (5* е. Л гомеоморфизм 0> является отображением Тейхмкмлера с комплексной характеристикой вэда ¿=■»■¿2 где £и - действительные константы, &„ Локально экстремальные гомеоморфизмы, минимизирующие в классе ^ , вносят в "доменную структуру", представляя ее в виде конечного или счетного объединения компонент связности { "домен" ) и перемежающихся с ниш ."доменных стенок" - компонент множества »'в которых характеристика^^»^^й^^^"шстоянна п.в., однако/^ разрывна. Заметим, что функционал связан с интегралом энергии от обратного отображения : ' Теорема '4.11 из § 4.3 устанавливает связь локально экстремальных отображений с существенным точками граничных. значений экстремальных квазиконформных отображений, изучаши-мкся Э.Рейхом и Р.Фельманом. Далее обсуждается случай локаль-' но экстремальных квазлотраяеиий. Пуст- - дуга на квазиок-ружностк ^ , Ор^) -^класс всех квазикон-Тюрших автоморфизмов ^ плоскости С^в изменяющих ориентации и таких, что;

(а) ^С2)р) где 3>7 - связные компоненты ынояествай'Ч!;

(б) ; для всех Е^ёгГ . Положим Ж № #¿#1» где инФ^л берется до_всему%

по всем*открнтым связным мнояествам/З^г содержащим ду-

гу,^ . Дяя любой точки полоним ¿к^. , где

инфимум борется по всем открытым дугам Р , одерканцщ точку £ . Точку назовем существенной точкой квазиок-

рушостиу* , еии к^^Лф^е^/^т/^^е&ф)} и несущественной - в противном случае. Квазиокружность^ отнесем к первому типу« если множество состоит из одного .

элемента - тейхмоллерова отражения с конечной нормой квадратичного дифференциала, и ко второму типу - в противном случае. Из результатов Фельмана следует, что на каждой квазиокружности второго типа имеется по крайней мере одна существенная точка.

Теорема 4.12 Пусть квазиокцужностьуЗ является границей кругового многоугольника с (£ с углами , и

имеет второй тип. Тогда существенными точка:®! уЗ могут быть лишь вершины Р^ ив классе существует локально экс-

тремальное квазиотраженке А. , для которого

Ш) ~ к - </*/

"У

Глава 5. "Метод площадей для аналитических функций с квазиконформным продолжением". Ыероиорфную однолистную в области функцию ^{Щ , допускакщщо продолжение до ^-квази-конформного автоморфизма сферы (£ , условимся называть однолистной в Д . Связь ^-однолистных функций с экстремальными квазиконформными отображениями и пространства:-® Тейх-шллера была открыта еще в конце пятидесятых годов Альфорсом и Берсом, однако систематическое изучение их свойств бшго начато почта десятилетие спустя С.Л.Крушкалем, Р.Кшау, О.Лехто и продолжено также В.Я.Гутлянским, Ю.Е.Алешщыным, И.П.Миткь ком и другими авторами.

Новый вариант метода площадей для аналитических функций с квазиконформным продолжением, развитый в диссертации, синтезирует два известных приема оценки снизу внешней площади ^-однолистной функции в метрике заданного аналитического квадратичного дифференциала $¿^Г2"* Первый прием, предложенный в 1971 г. О.Лехто, использует свойство унитарности в

двумерного преобразования Гильберта. Второй появился одновременно в работах Альфорса и автора в 1974 г, и использует принцип Дирихле для комплексных гармонических функций. Его достоинством является применимость к более широки.! классам аналитических функций с гомеоморфным продолжением. Эта возможность, отмеченная автором в 1976 г., недавно была успешно реализована А.З.Гришшаном. Предлагаемый вариант метода площадей, помимо сказанного, использует свойство квази-

инвариантности интеграла Дирихле при квазиконформных отображениях и метод контурного интегрирования.

Символом Зи^СЗ) обозначим класс всех гидродинамически нормированных ( ) ^-однолистных функ-

ций в произвольно фиксированной конечносвязной области 3 , компоненты дополнения СЗ которой - замкнутые односвязше области -¿у с аналитическими нордановыми граничными кривыми ГуС.€, уз¿¡Тк* Пусть^у? J - лорановская система функций в области О, , введенная И.Ы.Ыилиныгл, констан-

ты зацепления,.^, - емкостные константы области 0 » введенные М.Шифферои. Полиномы главные части лорановских разложений функций на бесконечности. Рассмотршл функцию Грина С^С^^^Л) области /3 с П0ЛЮС0{Л з ез. && и положим

гдэ й ¿/9^ со. С помощью лемм 5,1 - 5.3 из § 5.1 в § 5.2 доказана следующая теорема площадей.

Теорема 5.1 Пусть - произвольное отображение класса (3) у произвольная голоморфная на некотором шояеетвеу^*^"*^}, Д>>£ , (%ункщл, отличная постоянной в 1са;;сдой связной компоненте этого множества. Пусть ка кольцевом множества В^ а "В ^^Д кошоз1ЩИЯ представлена рядом тишОорана

« л: А» п, &+Лл Щ/щ*

где Су зависят лишь от номера компоненты связности множества ' Тогда выполнится следующие коэффициентные нера-

ТЭОТТАФРО •

Равенство в (?) достигается на тех и только на тех элементах в 2Ик(В), которые продолкимы до А -квазиконформных

автоморфизмов ^ßyсферы С таких, что композиция Qe'fizj является гармонической на .С функцией вида

¿гфз » £лмРа&>

у. »

JfitP причем для всех а € выполняется условие

Ö<S> _^

г-я // ZL О (Ю)

/ Oß f

Эти же условия достаточны для достижения равенств в неравенствах (8) и (9) и необходимы для одновременного достижения равенств в них.

Неравенство, эквивалентное (8), но выраженное в других терминах, ранее было получено В.Я.Гутлянским и ВД.Щепетевнм. С помощью теоремы 5Д в § 5.3 доказаны обобщения на классы

(ßj серии результатов из второй части цитированной вше монографии ИапЦМшшна, Наша формулировка коэффициентных неравенств позволяет производить оценки ряда функционалов в терминах ядерных функций области /5 о Такова, например, впервые введенная автором функция

¿х» /П _ _,

зависящая только от констант и Ау, и, следовательно, » от геометрии области /? .

Теорема 5.5 Пусть - произвольная функция класса ,ks{i>,i), т и - произвольные различные точки области В „ Тогда для разностного отношения^^-/^///^-^) и функций Мшшна ¿^¿tf, ассоциированных с j-faj* истинны неравенства

где Pfe^j и Д/kjtJ - известные ядерные функции области <S .

Условия достижения равенств получаются социализацией соответствуют!« условий в теореме 5.1.

В¥айшчйтельном § 5.4 рассмотрены приложения обсуждаемого метода ^кгощадёй к многолистннм аналитическим функциям с квазиконформным продолжением. Одно из полученных неравенств обобщает <?)*. Соответствующее обобщение (8) ранее было получено Я.В.Аленицыньйг, -Заметим, что условие типа (10), существенное для достижения равенств в неравенствах площадей для аналитических функций с квазиконформным продолжением в многосвязных областях', в работах предыдущих авторов отсутствовало.

Пусть~$£.¥"йЬ) - подкласс известного класса £ однолистных аналитических функций в единичном круге [/ , элементы 'которого являйся ограничениями на X/ Л- квазшашформных 'Автоморфизмов йлоскости . Конец § 5.4 содержит вывод ко-»отицйентййх -Неравенств для функций класса^/"**»}» асимптотически тоФйй: при 'Л- , Указан алгоритм получения счет-ййй сййтёмы точных неравенств, характеристической для области: Шз&тйЦиентов 2) С£)

-А СО * .

Публикации по теме диссертации

I; Шеретов В.Г. Об экстремальных квазиконформных отображениях с ограничением на характеристику // Докл. АН СССР. -£968* - Т-. 179, }Ь 5. - С. 1060-106?.

2. Шеретов В.Г. функционалы типа Дирихле и гармонические Квазиконформные отображения // Докл. АН СССР. - 1973. - Т. 209, й 4. - С. 808-810. -

3. Шеретов В.Г, Единственность экстремальных квг 5икон-формных отображений типа Тейхмюллера // Мат. заметки. - 1974. - Т. 16, гё 2. - С. 213 - 220.'.

4. Думкин В.В,, Шеретов В.Г. О задаче Теамлаллера для одного класса отлрытг-: римановых поверхностей // Мат. заметки. - 1970. - Т. 7, й 5. - С. 605-615.

5. Лумкин В.В., Шеретов В.Г. Об одной общей экстремальной задаче дая квазиконформных отображений // Метрические вопр. теории функций и отображений. Вып, 3. - К. ; Наукова думка, 1971. - С. 40-45. ■

6. Шеретов В^Г. Принцип Дирихле и экстремальные квазиконформные отображения открытых римановых поверхностей //. Докл. АН СССР. - 1974. - Т. 219, В 3. - С. 558-560.

7. Шеретов В.Г. К теории экстремальных квазиконформных отооражений // Мат. сб. - 1973. - Т. 107, 6 I. » С, 146-158,

8. Шеретов З.Г. Об экстремальных квазиконформных отображениях с заданным граничным соответствием //.Сиб^мат. ж.-1978. - Т. 19, & 4. - С. 942-952.

, 9. Шеретов З.Г. Вариационная задача Дирихле для квазиконформных гомеоморфизмов // Вопр, метрической.теории отоб-_ ражений.- К, : Наукова думка, 1978. - С. 157-160._

10. Шеретов В.Г. Ло1сально экстремальные квазиконформные,: отображения // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 250, гё 1338-1340.

11. Шеретов В.Г. Экстремальные квазиконформные отобра-_ жен- 1 с заданным граничным гомеоморфизмом // Метрические вопр. теории функций. - К.: Наукова думка, 1980. - С. 140 -146.

12. Шеретов В.Г, К методу площадей для К-однолистных функций // Изв. Северо-Кавказ, науч. центра высш. шк. Естествен, науки, -'1986. - 1 I. - С, 30-33.

13. Шеретов В.Г. Критерии экстремальности в одной задаче для квазиконформных отображений // Мат. заметки, - 1986, - Т. 39, а I. - С. 14-23,

14. Шеретов В.Г. Квазиконформные отображения, экстремальные относительно своих граничных значений // Саб. мат. я. — 1986. - Т. 27, 4. - С. 161-166.

15. Шеретов З.Г. Обобщенный интеграл Дирихле и слабо гармонические отображения // Динамика жидкости со свободными границами ( Динамика сплошн. среды. Вып. 76 ). -.Новосибирск: Институт гидродинатя-па СО АН СССР, 1986, - С. 157-165.

16. Шеретов В.Г, Квазиконформные экстремали гладких функционалов и интеграла энергии на римаковых поверхностях // Сиб. мат.,я, - 1988. - Т. 29, & 3. - С. 163-174,

17. ¡З-елебе^

у. Шяяа.: --./?

18. К (г.

_(__

Подписано в печать 25Л1,88» Ш 0861а

Формат бумаги 60 х 90 1/16 Объем 1,20 уч. изд. д.

Заказ 317 Тираж 100 экз.

Отпечатаю на ротапринте Института математики СО АН СССР 630090, Новосибирск -90, Университетский проспект, 4.