Емкости конденсаторов, простые концы и пространственные отображения, квазиконформные в среднем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Кругликов, Виктор Иванович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Новосибирск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1988
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
АКЛДШЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
На правах рукописп
КРУШКОВ Виктор Иванович
Ш 517.5
ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРОВ, ПРОСТЫЕ КОНЦЫ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, . КВАЗИКОНФОРМНЫЕ В СРЕДНЕМ
01.01.01 - математический авазшз
Автореферат диссертации из соискание ученой-степени доктора физико-математических яаук
Новосибирск - 1988
Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Донецкого государственного университета
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
професссор С.И.Пинчук
доктор физико-математических наук, профессор А.В.Сычев
доктор физико-математических наук, профессор ЩМ.Тамразов
Ведущая организация - Московский государственный университет ~шл. М.В.Ломоносова
Защита диссертации состоится "_" _198_ года
в часов на заседании специализированного совета Д 002.23.02 при Институте математики СО АН СССР (630030, Новосибирск, Университетский проспект, 4).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института натештшш СО /Л СССР.
Автореферат разослан "_"_198_ г.
Ученый секретарь специализированного совета •
доктор фпзико-штематичеоких наук' В.С.Белонооов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.Теория плоских квазиконформных отображений возникла в конце 20-х годов в работах Г.Грёча и М.АЛаврентьева. В настоящее время она представляет собой далеко продвинутый раздел теории функций комплексного переценного, имеющий ванные приложения как в саыой теории функций, так и з других областях математики, а также в прикладных вопросах. Достаточно полное изложение теории плоских квазиконформных отображений и ряда её приложений отражено а монографиях Л.Альфорса, П.П.Белинского, С.Д.Крушкаля, р.Кхшау, Ц;А.Лаврентьева, О.Лехто и К.Виртанена, В.Н.Монахова.
Понятие пространственного квазиконформного отображения было введено М.А.Лаврентьевым в 1938 г. Наиболее интенсивное развитие теории таких отобраяений приходится на конец 50-х и пачало 60-х годов. В это время в работах Ю Вяйсяяя, Ф.Геринга, Б.В.Шабата и др. создается один из фундаментальных методов исследования свойств квазиконформных отображений» который в своей сути вирапас-т характеристическое свойство квазиицвариантноети конформной ёмкости конденсатора и модуля семейства кривых или поверхностей при квазиконформных преобразованиях пространственных областей^ Сисмнатическоиу прииз-нении этого метода при построении теория пространственных квазиконформных отображений и некоторых её приложений посЕящены монографии Ю.Вяйсяля, Ф.Геринга, В.Ц.Гольдштейна а Ю»Г.Решетняка, А.В.Сычева» Подробный обзор различных эквивалентных условий квазиконформности, а также обширная библиография содержатся в монографии П.Карамаиа. !
Естественным обобщением квазиконформных отображений являются оюбражения, квазиконформные в среднем. При аналитическом определении таких отображений, ослабляя требование квазиконформности, предполагается ограниченность каких-либо интегральных средних от аналитических отклонений отображения. Различные классы отобракений, ♦ квазиконформных в среднем, рассматривались в работах П.П.Белинского, П.А.Билуты, В.А.Зорича, СЛ.Крушкаля, В.С.Кудьявина, В.Ы.Мик-лвкова^ н;с.Овчинникова, М.Перовйча, И.Н.Песина, Ю.Г.Реиетняка, Ю.Ф.Стругова, Г.Д.Суворова и других авторов. Как правило, каждый из »тих классов отображений, квазиконформных в среднем, отражает правде всего то или иное, качественное свойство, присущее классу ква-кояформных отобранений. Довольно большое количество различных классов отображений, квазико: формных в среднем, породило и самые разнообразные (порой ьосьма специфические) приёмы и методы исследования их-, свойств. Обпа методы, используодие ёмкостную или ыо-
дульную технику, здесь разработанг не были.
Сказанное диктует необходимость как развития общей теории отображений, квазиконформных в среднем, так и разработку общих-геометрических методов исследования свойств таких отображений.
Целв работы. Главная цель работы заключается в выделении класса отображений, квазиконформных в среднем, который по совокупности своих качественных свойств является, на наш взгляд, наиболее естественным и непосредственным расширением класса квазиконформных отобракений. Используя ёмкостную технику, нами предлагается общий геометрический метод исследования свойств отображений выделенного класса, призванный играть здесь ту ке роль, какую в теории квазиконформных отображений играет упоминавшееся выше свойство квазиинвариантности конформной ёмкости конденсатора* Дальнейшая цель работа состоит в иллюстрации систематического применения этого метода для получения целого рядч аналитических, нетрико-геометрических и граничных свойств отображений, квазиконформных в среднем. ..
Методика исследований» Широко используются общие свойства ёмкостей конденсаторов, метода современной теории функций действительного переменного, приёмы и методы теории квазиконформных-отображений, а такяе метод, основанный на предлагаемых в работе >геометрических характеристиках отобракений, квазиконформных-в среднем. 4
Научная новизна. В работе.исходя из понятия ёмкости конденсатора, вводятся геометрические определения средних отклонений гомеоморфизма. Требованием их ограниченности выделяется класс отображений, квазиконформных в среднем, являющийся непосредственным расширением класса квазиконформных отобракений. Описаны характеристические законы искажения ёмкостей.конденсаторов при отображениях, квазиконформных в среднем, представляющие собой основной инструмент при исследовании свойств таких отобракений. Указаны дифференциальные свойства и аналитическое описание класса отобракений, квазиконформных в среднем. Получена (точная по порядку) оценка искажения расстояний. Установлено свойство квазиконформности в среднем предельного отобракений, а также приведен ряд других метрических и геометрических свойств отобракений, квазиконформных в среднем. Построены новые теории простых концов пространственных областей (как фиксированных, так и с переменными границами) и на их основе решен вопрос о соответствии границ при отобракй-;;'.!.<х,- квазиконформных в среднем. Предложены классифи-
■ нации простых концов фиксированных и переменных пространственных областей.- -
Практическая ценность. Результаты и методы, изложенные в диссертации, могут быть использована или служить отправим пунктом при исследовании аналитических, нетриво-геаыетрических и топологических свойств отображений с обобщениями производимая первого порядка, а также в различных теоретических и прикладных задачах, гдз находит.приложение теория квазиконформных отобравший а их обобщений .
Апробация работы» Результаты диссертации докладывалась на Межвузовской сеишшре-совецании по геометрической теории Функций . комплексного переменного (Ташкент, 1975г.), Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных отображений, её обобщениям и прилснзкиян (1280, 1984, 1907 гг.), Кубанской школе-конференции по геометрической теории функций ^Геленджикt 1?8?г.), ряде итоговых научных конференций Донецкого научного центра АН УССР (1977-85 гг.), а Tasase На научных семинарах з Математическом институте им. В.А.Стек-лова -АН СССР (рук. - А.А.Гончар), Московской го су низз ер си те те (рук. - В.А.Зорич), Институте математики СО АН СССР (рук. - П.П. Белинский), Институте 'математики АН'УССР (рук. - П.УЛ'анризов), Волгоградской госуниверситете (рук, - В.Оиклвков), Донецкой госуняверситете (рук,. - Г.Д.Суворов), Институте прикладной математика й кеханики АЦ УССР (рук, - В.И.Белый) и др.
Публикации. Основные результата диссертации содержатся в 8 работах, опубликованных в академических изданиях.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы.. Каждая глаза-имеет своз нумерацию параграфов, некоторые из которых разбиты на пункты. Для ут-вервденяй типа леина,'теорема, замечание и т.п. в работе принята тройная нумерация (глава, параграф, порядковый номер).'Так, например, утверждение типа теорема 2.7.1 является первой, теоремой в § 7 главк 2. В список литература-включены лишь те публикации, на которые иыеетоя ссылка в тексте,-. Общий объём диссертации - 286 страниц, библиография - 96 наименований. '-'•■ -.
' . .* С0ДЕР2АШШ РАБОТЫ
Все рассуждения в работе проводятся в ft- мерном евклидовом пространстве R" при * Они иримешшы также и в случае размерности пространства Па2 . Этот случай мы, как правило, выделяем отдельно, дополнительно отмечая его специфичность.
Результаты работы поясняются соответствующими конкретными призерами и снабжены подробными комментариями в форме замечаний.
Переходя к краткому обсуждению содержания-диссертации, будем использовать общепринятые в теории квазиконформных отобраиений обозначения и терминологию. " .
В первой главе, исходя из понятия а - ёмкости конденсатора, ваий вводился геометрическое определение средних отклонений гомеоморфизма. Условием их ограниченности Выделяется класс отображений, квазиконформных в средней. Указывается аналитическое описание . средних отклонений и класса отображений, квазиконформных в' среднем. Устанавливается ряд аналитических м метрмко-геонетрическах свойств отображений, квазиконформных в среднем. В качестве приложений пригодятся новые геометрические определения квазиконформных отобра-вений» • ■ - '
Изложение главы I ведется, опираясь на содержание работ [I], -
Под конденсатором здесь мы понимаем пару < Е, &) , где Е -компактное, а & - открытое шюасестж в й" ,"а Ес& , Его о<-ёмкостью (при п ) называют величину
где точная нижняя грань берется до всей непрерывный ACL- функциям » равным единице.на £ и имеющим компактный носитель с расположенный в & . .
Используя определение . ы - ёмкости конденсатора, нами для гонеоыорфного отображения |: Ъ.А ограниченных, областей Ъ, Д <= R" вводятся новые геометрические понятия средних отклонений. .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1,3.1, При Pi^ i/(n-i^ внутренним р - средним и внешний оу - средний отклонениями гомеоморфизма | относи-гельно открытого множества G- с: В назовем, соответственно, ве- .
[2]3 [3],[6] о
&
личины
1 р
и
где точная верхняя грань берется по всевозможным конечным наборам
I I» 2»..., непересекающихся конденсаторов CEi>BO « лежащих в G- , так, чтобы имели смысл дроби у вцра-нений справа.
Некоторые из свойств средних отклонений оказываются вполне аналогичными соответствующим свойствам геометрических внутреннего и внешнего отклонений гомеоморфизма- в теории квазиконформных отображений. Сказанное относится, например, к неравенствам От) Ъ I . 1 , справедливым при p,q,>n-l , a тькке
к равенствам IpC^&VOpCtS?«^)" Q^.&McyCrU©)' йз ДРУ™х свойств средних отклонений отметим еще их монотонность по параметру: если .
Аналитическая характеристика средних отклонений такова.
ТЕОРЕМА 1.3.5, Для гомеоморфизма £:Х|-«-Д такого, что f и I"1 являются ACL- отобранениями, невыронденно даффзрэщкру-еиьши п.в. в своих'областях задания» при каадых 'р,«},» i/cn-i) на любой открытом множестве. G- с 3) имеют место равенства .
■w.&).
& .„-■ б-
в которых величины Н^С^} . НдС-^Д) и Т6^У""Сзначаит, соответственно," внутреннее и внешнее аналитические-отклонения я якобиан отобрааения , определенные для п.в, точек *<53) ,
Условившись в обозначениях и В), при-
ведем основное геометрическое-определение отображении, квазиконформных в среднем. .','■ -V. '■' ";;
. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1,4.1. 'Гомеоморфизм'-¿4Ъназовем отобракени- . ем, квазиконформным в <р,^,КУ-- средней (где р^л/Сп-О и К»1 ), -если •' -.:■''>'■-,-■-'•-■'■■•.-.•-"-
■,. 1рС4>> К _;.>:.;' К .
Под отображением, квазиконформным в (р,«р " среднем (при заданных р^ы/сл-и) понимаем гомеоморфизм ■ £ГЦ Д , являющийся отображением, квазиконформным в среднем, с неко-
Наконец, говорим, что гомеоморфизм является отобра-
жением, квазиконформным ? среднем, если существуют р.^'Я-Лп-ч') и К>1 так, что ( есть отображение, квазиконформное в (р^К) - среднем.
Обращая внимание на .формальное сходство данного.определения
с соответствующий геометрическим определением квазиконформного отображения, заметим, что зга аналогия нарушается уае в той, что требования ограниченности одного из средних отклонений 1рШ или 0^(0 » вообще говоря, недостаточно для ограниченности другого (теореыа 1.8,6).
Из общих свойств отображений, квазиконформных в среднем, вы-зекавщих непосредственно из определения 1Л.1, ответим следующие.
'Если 4 есть отобранеиие, квазиконформное в (pft/O- средней, го является отображением, квазиконформным среднем.
Гомеоморфизм £ , являясь отображением, квазиконформный в (р>Ч.,Ю - средней, будет в то se вреыя а отображением, квазиконформный в(«,р,К)- средне«, при всех i/Cn-ilíр к i/(n-i)4 íjiscj. *
Класс отображений, квазиконформных в (p,q,V- средней, инвариантен относительно квазиизометркческих преобразований, е класс, отображений, квазиконформных в(р>^,Ю - средней, инвариантен относительно ортогональных преобразований и сдвигов на постоянный воктор как области £ , так ir области Д ; Наиболее содержательными свойствами (о которых речь дойдет
| низе) отображении, квазиконформные в (р,<|Л- среднем, обладают, • когда p,o,>n-i« Аналитическое описание таких отображений ьиралает •
TEOPE.UA I.5.I. Пусть |>Л)ч-п - гомеоморфизм и p,<j > n-i , -К г-i - некоторые постоянные. Следующие условия эквивалентны:
Эта теорема приводит к следующему ..аналитическому определению отображений, квазиконформных в средней»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5.1. Гомеоморфизм £: 3 Д называется отобра-генмеы, квазиконформным среднем (где ц K>i),
если ACL" (Ю и f1 б при зтом
(1) 1?Ц)* К и ;
(2) ACL" (D} и ACL" {f) , при этой
В
Ъ '
;ГПЪ
Продолжая описание геомс рической природы отображений, квазиконформных в среднем, укажем еще на одно их эквивалентное определение. Для его формулировки напомним в нужной нам форме понятие квазиаддитивной функции множества.
Конечную неотрицательную фушецни Ч3 , заданную на открытых множествах & из некоторой области 1) , называют квазиаддитивной» если для каждого открытого множества (?с ]) и для любого конечного набора» к« 1,2ц...» непересекающихся открытых множеств &1 с & выполняется неравенство ^ ФС&) . ^ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6.1. Гомеоморфизм Ъ -» Д отзывается отобра-аением» квазиконформным в (р><ьК) - среднем (где р.а, > п-а 5 К Я ), если существуют квазиаддитивные функции ФР и „ заданные на открытых множествах из "В , такио» чтоФрСВН КргпД н € К^тБ , и для любого конденсатора СЕ>&) з лехэцого в области Э , выполнены неравенства
^ррп/ср^) №>.{<») 4 сар* (е,&)
Из других геометрических характеристик гомеоморфизма £ отметки гакже приводимое, в § 10 кольцзве-з определение его средних отклонений с последующим затеи ещё одним описанием класса .отображений, квазиконформных в средней (определенно
1.10.1). Соответствующие формулировки.здесь аналогична определениям 1.3.Х и 1.4.1, с той лишь разницей» что вместо участвующих в определении 1.3.1 произвольных коадзцеаторов СЕI>аз & рассматриваются только невырожденные кольцевые конденсаторы гакиз, что Ь^с. Всего в главо I содержится пять геометрических л два аналитических определений отображений-, квазиконформных в среднем. ' -
Эквивалентность всех этих определений (при р,^ > п -1 ) устанавливается в теоремах 1.5.1, 1.6,1 и 1.10.1являющихся главными результатами первой главы.
Описываемые этим» теоремами характеристические законы искажения емкостей конденсаторов при отображения*, квазиконформных в' среднем, представляют собой основной инструмент в дальнейших наших исследованиях различных свойств таких отображений.
В случав, когда один из параметров р или ^ (или они оба) находится в промежутке [i/(п-1),п-1] , класс отображений, квазйконфорыных-в (p,9>K)- среднем, по своим свойствам ыалосо-деркателзн (в сравнении со случаем p,q>n-i ). Таким огоо'раке-шша ыы значительного внимания в работе не уделяем, ограничиваясь дяпь обсукденивы различных их эквивалентных определений (теорема ¿«5.2 и замечание 1.6,1). -
Изучая so свойства отображений, квазиконформных в (p,<j,>K)-среднец5 когда » мы исходим из их геометрического оп-
Р0Д0Л8ШШ 1.4.1.
Чашш отображения (как и им обратные) обладают N - свойством и для таких преобразований областей еправадлива классическая формула замены переменных в интеграле (теорена 1.4.I).
Дифференциальные в аналитические свойства этих отображений описаны б seopeue 1.4,2 (они отражены в условии (2) приведенной выше ааореш X.5.I). '
Разномерно ограниченное семейство отображений, квазиконформных в (рд»К)- среднем, обладает свойством равностепенной равномерной непрерывности внутри области (следствие 1.9.I), которое легко выводите.« из следующей оценки искажения евклидовых расстояний.
ТЕОРЕМА 1*9.1. Пусть f :])-«•& - отображение, квазиконформное в среднем (при п-1 ), и Fcí - произвольный -кои-
иакз, Тогда для любой пара точек о.,fes F , удовлетворяющих условию |а~!> 1 < $ , где } , справедлива оценка
l*Ga4CÄ>i< A[VJ)]'\Píi-nl/n(i/ia4l) ,
в которой ФР(3>)* J h£(*,$)} Jí^ild* , а постоянная А зависит только от п и р ,
На примере специально построенного семейства отображений (замечание 1.9.3) показало, что данную оценку искажения в классе отображений, квазиконформных в (p.^i- среднем, нельзя заменить более сильной по порядку оценкой вида С /la-ii") ни для
какого произвольно фиксированного ©<> p(n-i)/n.
Продолжая обсуждение изучаемых в главе I свойств отображений, квазиконформных в среднем, отметим, например, оценку искажения меры образа шара, условие равенства кольцевых средних отклонений со средними отклонениями в смысле определения I.3.I и др.
Более подробно остановимся на связи кольцевых средних отклонений равномерно сходящейся последовательности гомеоморфизмов
Ю -
С-?^!^ и ез предельного отображения , Эта связь вырааавтсй в § 10 гремя теоремами, две из,которых ии приводна пике. В их формулировках для обозначения кольцевых средних отклонении .(об их определения сказано выше) мы используем те не символы, что и в определении 1.3.1, дополнительно снабжая их звездочкой;
ТЕОРЕМА 1.20.3. Если последовательность (£гонзоиорфиз-иов ? 1>Д равномерно сходится внутри области I) к гоаео-морфизму |: В —• Д , то справедливы неравенства •
1р(|,1))4 Ьп I*,1)) и оХ*)**
ТЕОРЕМ 1.10.5. Пусть я -равномерно огра-
чешщо последовательности областей и I) - область, ваадоо-козлом:" нов инохество из которой содержится во всех областях » начиная с некоторого номера. Если последовательность гоаеснор-физиов ^ Ъ] равномерно сходится знутр.я области 1) к гомеоморфизму \ • ]) Д , го для любого открытого нножосгва 6- , & с В , имеют место неравенства
ip
а если, кроне того, mf.О , то второе г.з этих.неравенств • .можно зацепить более сильный неравенство«
i;. j•*•<*>, ...
В качестве следствий этих теорем в § II исследуется вопрос о наследовании свойства квазиконформности в среднем предельны*! отображением и обсуждается замкнутость классов отобрано пай, ¡свази-конформных в среднем, относительно операции равномерного предельного перехода внутри области. Связанное с эиши результатами свойство компактности классов отображений» квазиконформных в среднем, обсуждается нами позднее, в § I главы 3.
Уточнению основных положений первой главы в случае размерности пространства п«2. посвящен отдельный § ?, в котором, в частности, дается геометрическое (емкостное) истолкование интегралов Дирихле плоских ACL? - гомеоморфизмов (теорема 1.7.3), а также показано, что класс плоских отображений,' квазиконформных в
- среднем, совпадает с классом ACL2 - гомеоморфизмов 4 и « достаточно полно изученному в монографиях Г.Д.Суворова и Ж.Лелон-верран. Геометрическая характеристика ACLa - гомзо-иорфиэиов отражена вами в теореме 1.7.2.
Сравнение классов отображе"Лй, кве. -л^н^орнных i (р>£0 - среднем, между собой (в зависимости от значений параметров l/Cn-d.) )а s aascae с классом ACL"-гомеоморфизмов £ и , подробно проиллюстрированное конкретными примерами, проводится В § е.. . . .."
Мзгщ, собой'классы отображений, квазшсонфоршшх в средней, сршшивайзсйц, опираясь ца свойство mohotohhocsh средних отклоне-па& ПО' падаиетру (теорема 1.8 Л). -
Далеепри p,£^>n-t отобрааеяия, квазиконформные в -средней, гак это видно, например, из второго утверздення приводе.*. ной выае- теорема 1.5 Л, содераатся в классе АС!_П - гомеоморфизм нов и I"1 . • • . ^ , ' •
В свою очередь, класс- ACLr'- гомеоморфизмов | и пр* включается в самый широкий класс отображений, квазиконформная в (i/<n-i),t/Cn-iV)- среднем (теорема 1.8.2), совпадая с ниш в случае размерности пространства п =2 (теорема 1.8.3).
Если я,з один из параметров р или q, ' располонен в- шн-- . торвале(i/(n-i) ^ n-i)„ so класс отобраяений, квазиконформных в.-С р»су") - среднем, и класс ACL" - гомеоморфизмов £ и иыеют непустое пересечение и кавдый из этих классов в общей ощг~ чае содержит омбракения, не входящие, в другой класс (теорема! 1*8.4).,
В этом зе параграфе показывается (теорема 1,8.5), что для! отображений, квазиконформных в среднем, не могут иметь места, аналоги-теорем Б.В.Боярского и Ф.Геринга о принадлежности К\~ квазиконформного отображения классу AC Ln+ \ с некоторым поло»»*, тельным S. = ь С К), а именно; для произвольной парк параметров,
i Дn-s.'i существует гомеоморфизм | Д иаров D и L.,, являющийся отобракением, квазиконформным в - среднем, пр.в; этом, однако, \ 4 АС1_.П*Ь(Т>) для любого Е, > О
В заключительном § 12 главы I в качество приложений построент--ной элементарной теории отображений, квазиконформных в средней,, укрывается ряд новых, геометрических характеристик квазиконформных отображений и их аналитических отклонений.
Обоснование основных результатов первой главы существенно опирается на изученные в § 2 свойства следующего вспомогательного
класса отображений о искажением, ограниченный в. среднем, имеющего» на наш взгляд, и самостоятельный интерес.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.1« Скажем, что непрерывное открытое (ограниченное) отображение |: I) -*» R п принадлежит классуQp(T>) , где р > i/Cn-O » если при каадон i/Cn-t"^ ы < р существует конечная квазиаддитивная функция s,заданная иа открытых нно-^ествах из области D так, что.для всякого конденсатора (ег&) , лежащего в Э , выполняется неравенство
^ФыпДс^иСЕ^С&У) « сор* (е,.сО .
Не останавливаясь подробно на полученных в § 2 различных . метрико-геометричеоких свойствах отображений класса Qp СTj j , приведем лишь центральный результат этого параграфа»
ТЕОРИЯ 1.2.3« Непрерывное.открытое отображение |: В -о» R.n класса QPG>) при р >n-i есть ACL" - отображение, дкффзрспцп-руеиое п.в. в области Э , при атом
^ Hj 4* 4-<Фр'С11У<+00 >
а
где Фр -.квазиаддитивная функция, участвующая в определении класса Q.pCD) .
Из этой теоремы с использованием известной фораулн закены переменных в интеграле и результатов С.Д.Круикаля и й.Г.Решэтня-ка о свойствах ACLn- отобракений легко, в частности» выводится, что непрерывные открытые отображения класса Qp СО) при р>п-1 обладают N - свойством и для них имеет. Место интегральная ограниченность их краткости и степени.
Обратим здесь также внимание на пример I«2.I, показывающий, что для любых параметров р,<^> О монно построить непрерывное открытое ACL" - отображение Ъ , имеющее конечные интегралы ■''■■■'•■ '
и •¡Hjw^a* ,
D Ъ ' . ,
но не обладающее (в отличие от отображений с ограниченным искажением) свойством ограниченности на компактах из D своих кратности и степени. '
Во второй главе диссертации строится новая теория граничных элементов ограниченной области Dc и исследуется вопрос о соответствии границ при различных отобраяениях пар областей. Ис-
пользуя определение _ о<- емкости конденсатора, вводится понятие простого конца. Изучаются свойства и проводится сравнение пространств простых ы- концов при различных с< . Указывается классификация простых ы.-, концов. Отмечается простота рассуждений при решении вопроса о соответствии границ для квазиизометрических и квазиконформных отображений и анализируются трудности прй его решении в случае отображений, квазиконформных в среднем. В качестве приложений приводятся утверждения, характеризующие возможность непрерывного (гомеоморфного) продолжения . отображений на замкнутые области. '.
Основные результаты этой главы содержатся в работах 15] , 7[8] (смо также [41 , [?] ).
Прек^з, чем переходить к об суждению содержания главы 2, приведем краткую историю рассматриваемых здесь вопросов. ' ,
Впервые понятие простого конца (граничного элемента) было ■ введено ¡{.Каратеодорй в 1913 г. для случая плоской односвязной области 1) , в связи с задачей о продолжении конформного отображения на границу области. Оказалось, что всякое конформное отображение | : ■В2 2 единичного круга Вй на область В порождает бнекцию между множеством точек окружности "й Ь2 и множествоа простых концов области В . Наличие теоремы Римана о конформной эквивалентности единичному кругу всякой односвязной области с невырожденной границей позволило далее сделать заключение о биективном соответствии множеств простых концов произвольной пары таких односвязных-областей I) и Д , осуществляемым любым конформным отображением | :!)-«-&. В последующих исследованиях а.Л'елон-. . Ферран, Г.Д.Суворова и других математиков было показано, что понятие простого конца Каратеодорй пригодно и для положительного решения вопроса о биективном соответствии границ при плоских отображениях более общих, чем конформные, в частности, при отображениях, квазиконформных в среднем. ' ■
Первоначальные обобщения теории простых концов Каратеодорй на случай размерности пространства пз>5 проводилось Б.Кауфманом, С.МаауркевГ?чец и Г.Фройденталеы. Однако, эти обобщения не имели " приложений к вопросу о соответствии границ при отображениях пространственных областей.
Первая содержательная с этой, точки зрения теория простых концов пространственной области была построена В.А.Зоричем в 1962-65 гг.. Им же-было показано, что всякое квазиконформное отображение Вп-»1> единичного шара В" на область I) по-
рождает биекцига между множеством точек сферы S"-*1.» и множеством простых концов области 3> . Вопрос о соответствии границ при квазиконформных отображениях произвольной пары областей (гомеоморфных шару) В.А.Зоричем не рассматривался. К этому следует добавить, что попытка решения данного вопроса по аналогии с плоским случаем невозможна, из-за отсутствия пространственной формы теоремы Римана существования.квазиконформного отображения» Напомним к тому же, что класс конформных отображений и Р>п при п$з является бедным и, согласно классической теореме Лиувилля» исчерпывается иёбиусовыми преобразованиями.
Построении теории простых концов пространственной области посвящен также и ряд работ И.С.Овчинникова (1966-69 гг.)« в которых в качестве приложений доказано, что всякий ACL" - гомеоморфизм ВП-*Ъ порождает сюръекцин между множеством точек сферн S"'1 и множеством простых концов областй D . Для области, квазиконформно эквивалентной шару, понятия простых концов в. смысле В.А.Зорича и И.С.Овчинникова совпадают. ;
, Другой способ построения теории простых концов с её последующим приложением, к пространственным квазиконформным отображении« был предложен в конце 70-х годов С.К.Водопьяновым, В.М.Гольдштей-ном и Р.Някки. Понятие простого конца определяется ими (в отличие от определений В.А.Зорича и И.С.Овчинникова); при помощи конформных инвариантов ( п - емкости -"у С.К.Водопьянова'и В.Н-Гольдштейца и П. - модуля - у Р.Някки) и в случае области, квакояформно отображаемой на ыар, оно опять же эквивалентно понятию простого конца . в смысле В.А.Зорича. Идея применения конформных инвариантов при построении теории простых концов восходит к работе Е.Шлезингера 1958 года, в которой понятие простого конца:Каратеодори плоской односвязной области вводится при помощи экстремальной длины. Имеющееся для квазиконформных отображений овойство квазиинвариантности конформных инвариантов позволяет при таких построениях автоматически решить вопрос;о соответствии границ при квазиконформных преобразованиях произвольной пары областей. ..
Для отображений, квазиконформных в средней, свойство квазиинвариантности конформных инвариантов иметь места уже, вообще говоря, не будет, и во второй главе мы, ориентируясь на установленные в главе I законы искажения емкостей конденсаторов при таких отображениях, проводим построение теории простых концов ограниченной пространственной области, исходя из понятия емкости конденсатора. , ' % ;
- Чтобы привести определение простого ос- конца, нам потребуется напомнить следующее более вирокбе, чей в главе I, понятие
■ - емкости конденсатора» Понимая далее'под конденсатором тройку множеств FljG-) « гДа & - область, a F°,FlcG- непустые замкнутые относительно (у шшнества, его с<- емкость (при lifoii'n ) определим равенством
н b^rfdx,
• • ■ ' & '
в которой точная нияняя грань берется по всем непрерывный ACL-' функциям if>:&4.0,1]таким, что F°Aspti£ = 0 и F1A spt = 0 . Если saiuu функций но существует, то полагаемCcxpe4(F°,Fi,&)=tso .
Понятие простого а - конца вводится наш по схеме, идейно похожей на соответствующие построения Р.Писки, проводившиеся ьш дгя определения простого конца при помощи конформной ёмкости.
Понимая под относительным континуумом в области D • невыро®-дающееся б '¿очку связной замкнутое относительно Ъ ыноквство F с 3) такое„ что F (Л~ЬЪ $ 0 „ назовем (определение 2.3.1} убывающую по включению последовательность {е™}^ относительных континуумов Етс 3) . ос- фундаментальной последовательностью множеств (по отношению к некоторому континууму Kcj), если
При г.- i < сл i п все предельные точки и- фундаментальной последовательности шюжеств лежат на границе ~Ь Э области Ъ (теорема 2.3.7) и понятие ' и - фундаментальности не зависит от континуума КсЦ (теорема 2.3.6). Этими свойствами не обладают,, вообще говоря, о<- фундаментальные последовательности множеств npii.li.oC« n-i , и везде в дальнейшем предполагаем n-Koc« д .
Две о! - фундаментальные последовательности множеств{е™}^ и считаем эквивалентными (определение 2.4.1), если су-
цествует а, -■ фундаментальная последовательность множеств
seicaa, что Am => ЕтиРтдля п.в. т (т.е. для всех .т, начиная с некоторого номера).
. Простыа о<- концом е* области 3) назовём (определение 2.4.2) класс эквивалентных о<- фундаментальных последовательностей множеств
Носителем простого ы - конца назовем (определение 2.4.6) множество . *
U А Ёт
msl
а котором объединение-берется по всей с<- фундаментальным после-довальностяы мноаеств {Е™}^^€ »
Носитель любого простого , ы- конца (при п-ио14п) расположен на границе области и является континуумом или точкой (теорема 2.4.1). Для шара Вп(а,г>) носитель любого его простого с<- конца является точкой сферы Б""1 (а,г) и, наоборот, всякая точка этой сферы представляет собой носитель простого с<- конца шара ^(.а.г^ (теорема 2.4.2). "
В следующем утверждении указывается геометрическая интерпре- . тацпя понятия п - фундаментальной последовательности мноаеств и описывается структура носителя простого г\- конца области, квазиконформно в среднем отображаемой на пар,
ТЕОРЕМА 2,8.1. Если область 1) квазиконформно в среднем эквивалентна пару , то в носителе её любого простого п- конца содержатся не более одной'доотиаимой относительно этого простого конца точки п для воякой п - фундаментальной последовательности мнокеств{бт}^>_1 из 1) существует п - фундаментальная последовательность {б-™}^ замкнутых относительно I) подобгас^ей с 3) так, что Етс:С-т и относительные границы ""^ЦГи)о-т подобластей & т при п.в. т связны и лезат, соответственно, на концентрических сферах 5п~1(а)гтч) с центром в некоторой еоч^.з ае^З) и убывающими радиусами гт-*- о при т• <х» ,
Из этой теоремы, в частности, вытекает, что для области.. зикоиформно в среднем отобракаекой на шар, понятие простого А-конца эквивалентно понятию простого конца в смысле В.А.Зоряча. Касаясь вопроса сравнения ыеаду собой мноаеств 2. ^ проц-тда с< - концов области 3) , сначала заметим, что в случае плоской односвязной области все эти множества (при 1< ы « 2 ' ) совпа-г дают (с точностью, до биекции) с множеством простых концов Кара-теодори (теорема 2,7.1)* Если зе размерность пространства ,
то, в частности, уне дане для гсордановых областей, гомеоморфных' пару, множества 21е* могут «езду собой не совпадать и в- этом случае при каадом < п имеется (вообще говоря, строгое) сюръектив-
ное вложение, мнокества X. п во множество ^^ (пример 2.6.1). Условие биективного равенства !Е.°<=2.П» п , для п-
компактных областей I) (в том числе и для областей, квазиконформно в среднем отображаемых на шар) эквивалентно тому, что область 3) обладает равномерно о< - непрерывной границей (теорема 2.7.2).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6.1. Скажем, что область 1) является областью
с равномерно ос - непрерывной границей (где п-1<с*<п) по отношению к некоторому континууму К с $ , если для произвольно заданного числа £>0 найдется число <Г > О так, что для любого относительного континуума Рсэ , , удовлетворяющего условию < 5" , выполнено неравенство ссирлСк,р,В) < ь . Изучая в § 6 свойства областей с равнрмерно непрерывными границами, отмечается, что при каждом п-кы * п это понятие не зависит от выбора континуума К с 3) (теорема 2.6.1) и является , инвариантным при квазиизометрических преобразованиях областей , (теорема 2.6;3).
Примерами областей с равномерно ' ©<-. непрерывными границами" на плоскости служат все односвязнне области (теорема 2.6.6). При п>, з такой Областью при каждом п-1<<*<п является единичный шар В" (теорёма £^¿4),- а также любая область, квазиизометрически эквивалентной з'тому шару. В то же время, рреди пространственных " жордановых областей, гомеоморфных шару, имеются области, не обладающие равномерно <* - непрерывной границей ни при какой п-к < «.< например 2.6.1). Среди жордановых областей, квазиконформно в среднем эквивалентных шару (и не являющихся ему квазиконформно эквивалентными), содержатся как области* ишощае "равномерно непрерывные границы (пример 2.9.1), так 'и области, но обладающие этим , свойством (пример 2.9.2). Нам, однако, неизвестно, обладает ли свойством иметь равномерно непрерывную границу всякая область, квазиконформно эквивалентная шару ? ,•_. ; _ .
Понятие области с равномерно непрерывкой границей играет : ванную роль при изучении вопроса о соответствий границ при отобра-. кенипх, квазиконформных в средней, к обсуждению которого мы сейчас и переходим. ■_"' , . _
Еелап подчеркнуть возникающие здесь трудности, обратим внимание на пример 2.10.1, показывающий, что при г\ьЪ для произвольно ааданных параметров > существует пара гомеоморфных шару Б" жордановых областей I) и & из и квазиконформное в среднем отображение |: 1)Д' «сак, что £ не осуществляет биек-ции между множествами простых о4 - концов областей I и Д ни при какой п ,
Условия, обеспечивающие наличие биективного или сюрьективного соотие.ствия границ по простым концам, при отображениях,' квазивон- • ■ формных в среднем, обсуждаются нами в §§ 9,10. Ниже мы приводим ■ лишь два утверждения о биективном соответствии.
ТЕОРЕМА 2.10.2. Если области Ъ и Д 'имеют равномерно
о( - непрерывные границы при любой п-к<*< п , то всякое квазиконформное в среднем отображение £:Ъ Д осуществляет биекцию множеств простых п - концов этих областей.
На конкретных примерах поясняется, что ограничения на области Б и & существенны, но не являются необходимыми условиями для справедливости этой теоремы.
В случае, когда одна из областей 3> или Д есть иар, то заключение теоремы 2.10.2 может быть получено без дополнительных ограничений на другую область.
ТЕОРЕМА 2.9Л. Всякое квазиконформное в среднем отображение б"-»]) единичного иара £>" на область Э осуществляет биекцию между множеством точек сферы Б""4, .илногествои простнх п - концов области В ,
Решение вопроса о соответствии границ при квазиизометрических и квазиконформных отображениях трудностей не вызызает и является простым следствием характеристических законов искажения емкостей конденсаторов при таких отображениях. Именно: понятие простого ы - конца для всех п-кы^п инвариантно при кзази-иаометриях'(теорема ¿.5.1), а понятие простого п- конца инвариантно при квазиконформных отображениях (теорема ¿.5.2). В данном случае теорема 2.5.2 представляет собой ещё один вариая* соответствующих теорем С.К.Водопьянова, В.Ы.ГольдштеПт и Р.йякки
Приложениям теорем о соответствии границ посвящен § /..', котором приводятся, теоретико-шгонественные критерии непрс]л.*вкг.:;> ¡1 гомеоморфного продолжения отображения на замкнутые области«. Общие утверждения этого параграфа подобны классическим формулировкам К.Каратеодори для конформных отображений. Используя их и цитированные выше, теоремы 2.8,1, 2.9.1 я 2.10.2, нами указываются-условия гомеоморфного'продолжения. на границу области отображения, квазиконформного в среднем, жордановых областей (теоремы • 2.11.^-6), а также отмечается пример 2.8.1 и замечание 2.11.3, показывающие невозможность такаго ¿омеоморфного продолжения, в случае произвольной пары жордановых'областей. Отметим здесь еще и теорему 2.11.7, в которой во^яность юмеоиорфного продолжения квазиконформного отображения на замыкания жордановых областей расширяется с класса областей, квазиконформно эквивалентных' иару (результат Ю.Вяйсяля), на более широкий класс областей, отображаемых на шар посредством гомеоморфизма, квазиконформного в среднем. ■
Другие, вопроси, рассматриваемые в главе 2, относятся к ыетри-
аадии пространства простых концов и к их классификации.
Возможнооть метризации пространства Du устанавливается В § 12. Метрика здесь определяется по аналогии с уже упоминавшимися работай« О.К*Водопьянова» В.Ы.Гольдщтейна и Р.Някки.
классификация простых ос- -концов предлагается нами в § 14 . для областей Dg Й" » , являющихся образами шара при различных гомеоморфизмах | : &" -*• D , осуществляющих биекцию между множеством точек'Сферы S"*1 и множеством простых ^-концов области So .
Она опирается на изучаемую в-§ 13 теоретико-множественную Структуру носителя простого конца„ в котором различается три вида точек! главные, второстепенные и смежные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13Л. Точка ае|ек! называется главной точкой Простого конца е01 , еслмг
(1) существуем ос- фундаментальная последовательность {А"^ 6 С64 замкнутых "относительно D подобластей Атс 3) t
Относительные Границы Am - DA'S А"1 которых связны и лежат, соответственно, на концентрических сферах S^^Ca,^^ , где f*t> >г,>»">г>-.. и Гт = О; -
(2) для любой - фундаментальной последовательности множеств {Е^^ е имеет место включение {Ек} с {Ат} , т.е. каждая область А"* . содержи1!:'п.в. множества Ек . . '
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2Л3.2« Точка £> £ le0' I 'называется аторостепен- . ной точкой простого (й-конца е"* .¿-если: ' .'; ■
(1) существуем о{ - фундаментальная последовательность
замкнутых относительно $ подобластей Втс 5 , относительные границы Ьт которых связны и лежат, соответственно, на концентрических сферах , где
Pi>Pe>"'>Pm> И Pm«.0. ;
(2) точка t> не является главной точкой простого ы-ко'йца е* . » ~
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13.3. Точка С ele°4 называется .смежной точкой простого ее, - конца е 64 t если для этого простого конца она не является ни главной, ни второстепенной точкой.
Относительно топологических свойств множества главных точек простого ос - конца можно_утверждать, что оно замкнуто (теорема 2,13.1). В то же время, оно может оказаться как несвязным, так и пустым множеством.
Относительно топологических свойств множеств воторостёпенных и смежных точек сказать что-либо определенное не представляется .
возможным. Кавдое из этих мнояеств но обладает, вообще говоря, свойствами связности или замкнутости и мозет быть пусто.
Наиболее интересным утверкдением § 13 является следующая альтернатива мионестз главных и второстепенных точек.
ТЕОРЕМА 2.13.2. Носитель простого с<- конца не может содержать одновременно -главных и второстепенных точек.
Дальнейшее изучение в § 13 структуры носителя простого о<-конца состоит в исследовании вопроса достижимости его различных точек. Так, смежные точки простого а - конца всегда недостини-иы (из области) относительно этого простого конца (теорема 2Л3.4), а его второстепенные точки могут оказаться как достижимыми, так и недостижимыми относительно этого простого конца. Анализ условий достшшшсти главных точек содеряится.в теореме 2.13.3.
Приведем теперь классификацию простых ос - концов. В .своей основе она исходит из того, как устроено (замкнутое) множество главных точек (пустое, одноточечное, связное, несвязное), учитывает альтернативное свойство главных и второстепенных точек и исполь'зует информацию о достижимости граничных точек области.
ТЕОРЕМА 2.14.1. Простой с<- конец, е* области Т (.удовлетворяющей описанным"йоте условиям) монет быть одним из следующих девяти типов: ■ _
(I) носитель I еы I не содержит ни главных, на второстепенных точек, а содержит лиаь континуум сменных точек;'
(П) носитель 1е®4 не содеркит'главных точек, содерж-* континуум второстепенных точек и не содеряит смеяных точек;
(Ш) носитель I не содеркит главных точек, но содержи.? второстепенные и смежные точки; .
(IV) носитель I 1 состоит Из единственной точки, которая достиаима относительно простого ы-.конца еч и является его главной точкой;
(V) носитель 1 содержит одну достижимую.о эсительно простого «< - конца е** главную точку, но содерш ■ ззторосте-' пенных точек и содержит бесконечно много сменных то к;
(VI) носитель | е^ содержит одну недостижимую гносительно простого -л - конца главную точку, не содержи- второстепенных точек и содержит бесконечно много смежных точек
(УП) носитель I е«! содержит континуум недости: аых относительно простого с< -конца ё"* главных точек и не г держит второстепенных и смежных точек;
(УШ) носитель содеркит континуум недостш шх относи--
тельно. простого - конца главных тонок, не содераит вто-
ростепенных точек и содержит бесконечно иного снежных точек;
(IX) носитель |е°Ч содержит_несвязное замкнутое множество главных точек, каждая из которых- недостихшма относительно простого ос - конца г не содержит второстепенных точек и содер-, - кит бесконечно много сменных точек»
Реализация приведенной классификации поясняется примерами областей, содержащих простой - конец каждого из перечисленных девяти типов»
Для плоских односвлзных областей и для пространственных областей, квазиконформно эквивалентных пару, данная классификация при с<а п упрощается и сводится, Соответственно, к классической классификации К.Каратеодори и аналогичной ей классификации, описанной, например,-в работе Р.Някки. В общем случае пространственных областей наша классификация существенно отличается от предлагавшейся ранее классификации И.С.Овчинникова, как, впрочем, существенно отличается здесь и само понятие простого конца, опре--деляомое нами и И.С.Овчинниковым. .
В качестве одного из приложений приведенной в теореме 2.1'».I классификации простых концов можно получать различные' теоремы несуществования отображений того или иного заранее выделенного класса» В частности, не существует отображения» квазиконформного * - в среднем, шара на область,, имеющую простые п - концы одного из I, Л, Ш, У1, IX типов. Например, в не существует отобрав 'гения, квазиконформного в среднем, вара на "клин" 1) , представляющий собой множество, точек. У«(,У1>Уг*УзУ« удовлетворяющих условиям 0< 1, , 0<уг<у* , о< у^А 1 , где 2 произвольно. У этого "клина'' кал,дан точка на л> В , кроме "ребра" = о , 1,' , определяет носитель какого-либо простого г\ - конца 1У типа, а всё "ребро" о является носителем .одного простого г\ - конца П типа, все точки которого достижимы из 3> . ' ...
В третьей главе диссертации мы изучаем, в основном, те. не. вопросы, что и в главе 2, но уже для случая переменных пространственных областей и отображений. Здесь, используя опять понятие сл - ёмкости'конденсатора, строится теория простых о{-концов последовательности областей, сходящейся к невырожденному ядру. Решается задача о соответствии границ при отображениях (квазиизометрических, квазиконформных и квазиконформных в среднем) последовательностей областей. Указывается на возможность лриые-
неняя полученных результатов к исследованию вопросао-4 равномерной еходиыости последовательности отображений з заи&яжДОобласти- и др. . ■
Основные результаты главы 3 опу0Лйкованы.?в»работах- {Ч") ,[7] .
' История затрагиваемых в этой главе вопр'осо»>вкратце- состоит з следующем,
ВперБые понятие простого конца пссЛодоват'е-йШст« плоских эдносвязнцх областей было введено Г»Д>Сувор"овым'э 1553 г, Возникновение- этого понятия связано, в частности-,.; со'следующим классический утверждением К.Каратеодори: если-'равномерно ограниченная последовательность плоских односвязных областей D = = i охо-д'аГтб'я относительно точки 0 к своему невырожденному ядру D0 , •Sö последовательность конформных отображений fj: ,
Йор)лфовашшх условиями Sj»• О и , ] = сходится
равномерно внутри единичного круга 5>г к'конформному отображения
-*»D0 » Выяснению различного рода условий,-при которых данное свойство равномерной сходимости последовательности отображений внутри круга ыояет бить распространено на заыкиууий (или 1 «кфытый) круг, поезядеш работа Д.Гайвра, К.Лелои-Фс'.-^ан, А.й.йор-^уиевича, Г.Д.Суворова и других математиков. Наиболее общее и йолнов решение этой задачи было-дано Г.Д.Суворовым в ¡качестве йрпложений-построенной им теории простых концов лослв;.оъъчълъ&пч-га йлоезшх .односвязнкх областей сходящейся к'ежчзд* ь-'.--
ЬЬ'рокденноыу ядру D0 „ Исследования Г.Д.Суворова обобщают {л йдейиои смысле) схему построения теории простых концов Карглесдг-Jf!t для фиксированной-области на случай переменных областей и з 'качестве основных элементов содержат в себе определение простого ■ конца последовательности областей н доказательство бнекции между множествами простых концов последовательности областей ( Dj^i и её ядра Э 0 с последующий изучением структуры носителя простого конца и основанной на тог.! классификации простых концов последовательности областей, включающей в себя восемь их типов. Вопрос о соответствии границ при отображениях переменных плоских ббластей был репей Г.ДеСуворовым для последовательностей A.CL2, - гомеоморфизмов» В частности, описанная выше последовательность конформных отображений ' й2'-«-'!^ осуществляет биекцию между множеством точек сферы "lib2 и множеством простых концов последовательности областей CDj^jl « Подробные построения и ряд приложений теории простых концов переменных плоских областей отражены Г.Д.Суворовым в двух его монографиях. -
Одна из мотивировок целесообразности введения понятия простого конца переменных пространственных областей, как л в плоском случае, связана с пространственной формой теоремы сходимости Ка-рат_еодорк, описанной нами в теореме 3.1.1 для последовательностей .отображений, квазиконформных в средьзм (аналогичное утверждение для квазиконформных отображений было доказано Ф.Герингом; другой аналог теоремы Каратеодори для ACLP- гомеоморфизмов был указан Овчинниковым).
Построение теории простых *■ концов переменных областей доводится нами для равномерно ограниченной последовательности 3) * (Dj")jl j. областей Dj <= Rn , сходящейся к своему невырожденному ядру Х)0 (относительно некоторой точки 0....), Эти построения ургут быть легко обобщены и на произвольные семейства областей, зависящие от одного или нескольких параметров.
Еелая добиться в главе 3 формального сходства основных положений в теориях простых. ы - концов переменных и фиксированных областей, мы вводим для этого (§§ 2, 5) в последовательности областей D^X^jti. специальную терминологию»
Б частности^под множеством в Ъ мы понимаем последовательное ть^ множеств A}CB|i „ Для пары шокеств
и Ь «C^j^i определяем яеоратико-нноЕаствен-цио операции, полагая, например, AU Б »(A¡Ubj)jU. Считаем к тому , если Aj ■••: для tus» J .,
Исходя из уае определенного висе,(яри Обсуждении главы 2) вонятия ёмкости конденсатора в фиксированной области и иона-» мая под конденсатором в D*»(l>j)j*i тройку (Aú,к\&) ипотсгв
, , где A J „ Aj с &j -
замкнутые относительно области c Dj шюкества, его oí- ёмкостью назовем величину
^P^CA^ASG) « & А^ , .
Из других общих понятий в последовательности областей наиболее вакны понятия континуума и относительного континуума (определения 3.2,1 и,3.2.2). Множество F ®C^j^J^i называем континуумом (Относительным континуумом) в T¡s(l>j^i , если ка»дое из множеств Fjс ьj , 3 = 1,2,.... , является континуумом (относительным континуумом) и существует континуум (относительный континуум) F, с так, что множестваDj"1«Fj , j = О, I, 2,..., суть, области и последовательность областей(bjNFj^jti сходится к области
как к ядру, относительно некоторой (а значит, и любой)
ТОЧКИ -X S D0N F0 .
Теперь аналогично : главе 2 могут быть сформулированы основные определения теории простых - концов переменных областей. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4.1. Убывающую по включению,последовательность относительных континуумов E-m«(Ep£t из D = (Dj^bi назовем " ы- фундаментальной последовательностью множеств , (по отношению-к некоторому континууму K^CKjlj^i из В ), если ' cap (• К я О .
го -» о? г сл. > ^ э ^ '
, -При условии n-i<oi4 п понятие фундаментальности
да:,зав!1сит от выбора континуума Kd3> (теорема 3.4.6) и все 'Предельные точки Ы - фундаментальной последовательности мно-'•¿ёстз1 располоненн вне ядра В0 (теорема 3.4.?).
.Далее, как и в глазе 2, мы ограничиваемся наиболее содержательным предположением n-Uci<n . ■ -
ОПРЕДЕЛЕНИЕ '3.5Л. Две с<. - фундаментальные- в D - последо-ват-елыюсти множеств и считаем эквивалг..л-
:5шми,, если существует ci- фундаментальная последовательность шюкеств такая, что Am=> EmU Fm для п.в. m .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.5.2. Простым ы - концом последовательности областей Ъ ~ (Sj^jt-i назовем класс эквивалентных с<- Шукдамип-тальннх последовательностей множеств.-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.5.4. Носителем простого с< - конца яс;л., -дователыюсти -областей назовем множество\e.°4«U UtV
в которой объединение берется по всем с<- фундаментальным последовательностям множеств , а1{ЕтМ = П Lb , где .Li> Е J* - верхний топологический предел последовательности ипокёств Em-
Носитель ie.^1 любого простого d. - конца 2.4 является континуумом или точкой и расположен вне ядра Ъ0 (теорема 3.5.1).
В частном случае последовательности B=C&j\j=i шаров Е>j = - s ]=1» 2,..., носитель любого её простого о< -
юнца является точкой сферы Sn*1CQ-Jr^ н» наоборот, всякая точка этой сферы представляет собой носитель простого о< - конца юследовательнооти шаров Ь (теорема 3.5.2)..
Классификация простых концов переменных областей предлагается нами в § 5 для гомеоморфных шару й'1 последовательностей збластей D , множество 2 й простых ы.- концов которых 5яективно сфере S, О таких последовательностях областей мы говорим, что их граница ot- эквивалентна сфере.
Если последовательность областей D имеет с>с - эквивалентную сфере границу, то её ядро D0 удовлетворяет условиям теоремы 2.14.1 (см.выше) и имеется биекции между множеством 51 * простых концов последовательности областей В и множеством 5.0- простых ot-, концов её ядра Db , при этом, еслие^е^* и£о€<Г£ - простые ос— концы, соответствующие друг другу по этой биекции, то выполнено (вообще говоря, строгое) включение ie^lcie^l (лемма 3.5Л и теорема 3.5.3). Сказанное позволяет в . носителе простого s>i- конца C^s X**. выделить следующие четыре вида точек.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.5.5. Точкуае|е°Ч назовем, соответственно, главной второстепенной или смежной точкой Простого .<*- конца .
» если она является таковой по отношению к простому, -oî-концу е* . Точки "множества i назовем дополнительными
точками простого и- конца » : , ,
Предлагаемая в теореме 3.5.4 классификация простых м - концов последовательности областей 3)' , (граница которой <ы-~ зкви-_ валентна сфере) включает.в себя шестнадцать типов простых -концов. Она опирается на классификацию простых с'> - концов фиксированной области (в нашем сяучае ядра Do ), каждый тип простого ы. - конца которой подразделяется здесь на два типа, в : зависимости от того, содержит соответствующий простой - конец последовательности областей дополнительные ючки или,нет, при . этом нами не учитывается информация о достижимости главных точек простого ос - конца. Реализация классификации простых о<- концов переменных областей поясняется на конкретных примерах в том же §5. - ":/.■■ "; :,//; V-- • .
Если размерность пространства- п = 2. , то последовательности областей î> , границы которых ot ~ эквивалентны кругуt представляют собой объект исследований Г.Д.Суворова. Множества 2 е* их простых <sc- концов при всох 1<$ои2 совпадают (с точностью до биекции) с множеством простых концов в смысле Г.Д.Суворова, а классификация проо$ых концов в этом случае упрощается и полностью отвечает классификации Г.Д.Суворова (замечание 3.8.3). .
Изучая в главе 3 вопрос о соответчик границ при отображениях переменных областей, мы под гомеоморфными преобразованиями пары последовательностей областей. D^Cbj'ijti и Л= (ûj^i, сходящихся к своим ядрам D0 . и Дс - , соответственно, понимаем последовательность |.= (ДДП1 гомеоморфизмов ^ : î)j , равно-
нерно сходящуюся внутри 1)0 к гомеоморфизму |0,.Ъ0-»Д0.
Заметим, что такие преобразования оставляют инвариак-гшми понятия континуума и относительного континуума в последовательности областей (теорема 3.2.1). ..
Если дополнительно каждый гомеоморфизм удовлетворяет долови» М - квазиизометричности* К - квазиконформности или квазиконформности в среднем (где. постоянные.М>1 , К>1
а п-1 не зависят от | . },, га-говори и», соотземязенно, о М - квазиизометрическойй - квазиконформной или: квазиконформной в Ср,£}, , К).среднем, последователвкостк аюбрааешЦ 1= С1Д}®Г *
В случае . И - квазиизометрической последовательности отображений £ понятие простого ы - конца инвариантно при всех п-1 < < п (теорема 3.6.1).
Для К - квазиконформных последовательностей отображений % инвариантно понятие простого п - конца (теорема 3.6.2).
Если жо Последовательность отображений | квазиконформ^-в среднем» то и здеоь вопрос о соответствии границ
решается вполне аналогично, преодолевая те же трудное1/л, как я для отображений фиксированной пары областей»,Проиллюстрируем это на следующих дзух утверждениях..
ТЕОРЕМА 3.7.1. Всякая квазиконформная в(рл,К)- средней последовательность . отображений Вп->- -Ул.--
личного кара на. последовательность областей А) = ( .'?».» осуществляет биекцию-между множеством точек сферы Б""1 и нно-аествои простых л - концов последовательности областей
. ТЕОРЕМА 3,7.3. Если последовательности областей В - ( и- А = имеют равномерно Ы- непрерывные границы при
всех п., то. всякая квазиконформная в (р>Ч*Ю- средней
последовательность Отображений осуществля-
ет биекцию множеств простых п ~ концов последовательностей областей .3). и А .
Участвующее в теореме 3.7.3 понятие последовательности областей с равномерно о<, - непрерывной границей определяется также, как и для фиксированной области (см. приведенное выше определение 2.6.1), используя понятия континуума и относительного континуума в переиенных областях.
В качестве приложения теорем о соответствии границ в § 9 обсуждаются условия возможности распространения свойства равномерной сходимости последовательности отображений внутри области
на её замыканий формулировки таких условий в идейном смысле аналогичны соответствующим теоремам Г.Д.Суворова для последовательностей плоских ACL? - гомеоморфизмов.
Из других утверждений, относящихся к вопросу о соответствии границ, отметим приводимый в теореме 3.IÜ.I достаточно общий критерий биективного соответствия границ по простым п - концам для"произБОЛ-ьдах гомеоморфных преобразований переменных областей.
Закаед$вд£ обсуждение результатов главы 3, укажем на достаточно наглдаое. геометрическое истолкование п - фундаментальной цо9Л9др,в$тельности множеств и.опишем отроение простого п-коцца для последовательности областей, квазиконформно в среднем 8щшваледтнай вару (т.е. такой последовательности областей В = = СРД^ Т когла существует некоторая квазиконформная вСрд^Ю-среднем последовательность = отобрааений bn~*-T)j
шард . $ на последовательности областей Э ).
■ ТЕОРЕМА 3.8.2. Ее ли. последовательность множеств
E^CEj^t - п- фундаментальна в квазиконформно в среднем эквивалентной шару последовательности областей ^«СЬ]^! , то в Ъ существует . п - фундаментальная последовательность множеств такая, что G"1 => Ет , т я X, 2,..., при этом для п.в. m каадый относительный континуум <rm« C&j1)^ вместе с соответствующим ему в ядре D,, , мнокествоа представляют собой относительно замкнутые подобласти S^frDj , j = О, I, 2,.., так, что при п.в. j' относительнее границы' <з™ - "DjA"^™ вместе с относительной границей tf^DoA^Gv связны и расположены на сфере S"'íCa,irrn) , где а, - некоторая точка на границе *с> Ъ0 ядра D0 ■, а последовательность радиусов (iV^t» монотонно убывая, стремится 'й нулю ери т.-*.ск? , .
ТЕОРЕМА 3.8.3. Если последовательность областей J^Cl^ji). квазиконформно в среднем эквивалентных шару-, то множество главных точек её любого простого П - конца £п непусто, и для произвольно выбранной главной точки aele"l найдется п- фундаментальная последовательность множеств {A*"}^^ еп, обладающая свойствами:
(I) каждый относительный континуум вместе с соот-
ветствующим ему в ядре 1>0 множеством A^V представляют собой относительно замкнутые подобласти Aj*cUj , j 9 О, I, 2,..., так, что для п.в. j относительные границы <ЗГJ* = X>j Г\"5 А™ вместе с относительной границей tf ™ = D0 А^1 связны и расположены на сфере (а^г^у , при этом последовательность радиусов
lrm}mai • строго убЫВЭЯ, СТрвМИТСЯ К НУЛЮ ПрИ m—$
(2) для любой п -фундаментальной посдедовательноети множеств е" имеет место включение каждое множество Ат содержит п.в. множества Ек ,
В случае размерности пространства п = £ те.орема 3,8,3 дает геометрическое описание простого конца последовательности длоских односвпзных областей. Оно более наглядно, чем .соответствующее описание Г.Д.Суворова, где при каждом m среди сечений tf™ областей- Dj , j = О, I, 2,..., круговым является лишь сечение б Г ядра .
ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Кругликов В.И. Об одной характеристическом свойстве отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН СССР»- 1976.- 228t ¡É 5,- С. I03I-IC7,3.
2. КругликовВ.й. Отобракения, квазиконформные в средней // Докл. АН СССР.- ¿985.-.283» Кгб.-С. I3Q9-I3II. . '
3. Кругликов В.й. Емкое*« конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные $ среднем//Ыатем.сборник.- 1986.130, & 2,- С. 185-206.
4. Кругликов В.й. Емкости конденсаторов и простые- концы последовательности пространственных областей.- Киев, 1986.- 48 с.-(Препринт / АН УССР. Ин-т математики, 86-60)«
5. Кругликоа В.И.Структура носителе простого конца пространственной области // Докл. АН УССР, Сер, Л*- 198?.- Ш 3.- С. 19-22.
6. Кругликов В.И, Кольцевое определение средних отклонений и . отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН УССР.
Сер. А.- 198?.- fô 9.- С. 21-23,
7. Кругликов В.11 ^ Простые концы пространственных областей о переменными границами // Докл. АН СССР.- 198?.- 297, й 5.
8. Кругликов В.И., Лайков В.И. Емкости и простые концы пространственной области // Докл. АН УССР. Сер. А.- 1987,- На 5,- С. 10-13.
Подписано к печати 29.12,88 ' Щ 086S5
Формат бумаги 60 х 84 I/I6 Объе^ч 1,75 п.л,, 1,5 уч.изд.я.
Заказ 5 ' Тираж 100 "
Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР 630090, Новосибирск, 90
