Геометрические, емкостные и модульные принципы в теории топологических отображений с первыми обобщенными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

й/д 1 ? с ^

МЗДЕШЯ ¡ЮТ УКРА1Ш ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЕШЕЙИ' ШЮТГГУГ МГШЛТЖСН

На правая рукописи ВДЬЯШН Владимир Семенович

517.53; 51>

ГШЛЗШ5ЧБСМ1Б, ИШОТШЕ И МОДУЛЬНЫЕ ПР1ШЦИШ В ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ОТОБРМЩМЙ О ПЕРШМИ ОБОЩЕШПШ ПРОИЗШДШШ

OI.OI.OI. - нм-ематичеякнй анализ

Апторзфэрат

диссертации иа соискпшш учянсП стапеш доктора физи[;0-;.тг'таптч!чпс:с:г<: V.'»"

Киев - 1991

Работа выполнена в ордена Трудосого Красного Бншшм Институте и'атеиатшш АН Украины.

Офщиальнка оппоненты: доктор физико-ыатеыатическкх наук, профессор ГАВРИДОВ В.И., доктор физико-математических наук, профессор БАРСЕГЯН Г.А., доктор физико-математических наук, профессор ТРОХШЧУК Ю.Ю.

Ведунья организация: Институт математики СО АН СССР

Зазцита диссертации состоится """ " — 159-2 г. в часов на заседания специализированного Совета Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул.Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан * " 1 - 199-^г.

Ученый секретарь специализированного Совета

Гусак Д.В.

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Различные классы функций и отображений, более общие, чем аналитические, интенсивно изучаются более полувека. Основы теории плоских квазиконформных отображений были заложены в конце двадцатых - середине тридцатых годов работами Г.Греча и М.А.Лаврентьева. Возникновение этой теории било обусловлено как внутренними потребностями комплексного анализа, так и практики. За годы своего существования теория плоских квазиконформных отображений стала хорошо разработанной областьв геометрической теории функций комплексного переменного и навит применение для рекения различных тэдач теории приближений, классических задач динамики сплошных сред. Достаточно полное изложение этой теории дало в монографиях Л.Альфорса, П.П.Белинского, Л.И.Волковыского, 0. Лехто и К.Виртанена, С.Л.Крушкаля.

Впервые пространственные квазиконформные отображения были рассмотрены Ц.А.Лаврентьевым в 193В году в работе " Об одном диф}«рэнциальном признаке гомеоморфяых отображений трехмерных областей". В этой работе не только впервые било введено определение квазиконформного отображения пространственной области, но и было отмечено качественное отличие про-странстренного случая от плоского. Трудности в исследовании пространственных квазиконформных отображений связаны, в общих чертах, с тон, что о системе уравнений в частных производных, определяющей свойство кзазиксцфордности отображения, с ростом размерности пространства непропорционально бистро растет число соотношений. При П/ такая спстеиа уравнений всегда разрешима, в то время как при П, > 3 соответствующая система оказывается переопределенной,

Это общее обстоятельство, на которое указал И.А.Лаврентьев, в пространгтп?ннон случае проявилось з том, что для ГЬ 3 не имеет места аналог известной тооркш Ркнана о конформных отображениях произвольной области на круг. Поэтому в пространственном случае, в отличие от плоского, исследования квазиконформных отображений уже нэ могли опереться на испытаний аппарат теории аналитических функций и конфоп;-

икх отображений. (В пространственном случае, как показал ещё Лиувилль, конфор.шые отображения сводятся к тривиальному классу, так называемых, мебиусовых отображений - суперпозиций сдвигов, инверсий, гомотетий).

Кстати, иыенно тривиальность класса конформных отображений в пространстве и некоторая бедность квазиконформных отображений создали дополнительные трудности в исследовании, но и одновременно стали причиной интереса к отображениям более общим, чем пространственные квазиконформные отображения.

Следующие за квазиконформными отображениями (плоскими и пространственными), Естественно, выделились сначала классы плоских, а затем пространственных отображений, квазиконформных в среднем и отображений с ограничении.«! интегралами Дирихле .

Плоские отображения, квазиконформные в среднем интенсивно изучались в работах П.П.Белинского, И.Н.Песина, Г.Д.Суворова, В.Ы.Миклпкова, В.И.Кругликова, П.А.Билуты.

Исследования по плоским и пространственна отображениям с ограниченны.!!! интегралами Дирихле принадлежат, в основном, Г.Д.Суворову и его ученикам (В.М.Миклкжов, Б.П.Куфарев, И.С. Овчинников). Из зарубежных работ по данной тематике можно отметить только работы Лелон-Ферран.

В последнее время проявился интерес и к пространственньы отображениям, квазиконформные в среднем. Первые работы в этом направлении были выполнены Л.Альфорсом, Ф.Герингом, С.Л.Круш-калем. В дальнейшем различные классы квазиконформных в среднем отображений исследовались в работах В.А.Зорича, М.ПероБича, Ю.Ф.Стругова, В.И.Кругликова, В.И.Пайкова, В.Э.Гейнемана, автора и др. Разнообразие классов отображений, квазиконформных в среднем породило и разнообразие методов и приемов их исследования. Общий метод, использующий емкостную технику, был разработан В.Н.Кругликовьм для введенных им классов отображений, квазиконформных в Ср>с1) - среднем.

Исходя из вышесказанного^ можно сформулировать две проблемы.

I. Найти наиболее широкий класс отображений, по возможности объединяющий рассматриваемые ранее классы и

близкий к ним по дифференциальным и геометрическим свойствам.

2. Найти единый метод исследования сеойств рассматриваемых классов отображений.

Цель работы. Диссертация посвящена:

1. Построении класса пространственных гомеоморфньк отображений с ограниченными интегральными характеристиками. Зтот класс отображения зависит от нескольких действительных параметров так, что при частных значениях этих параметров мы получаем квазиконформные отображения, квазиконформные о среднем, отображения с ограниченными интегралами Дирихло.

2. Разработке геометрических, емкостных и модульных методов исследования введенного ¡масса отображений.

■ 3. Приложению разработанных методов для решения некоторых задач теорий отображений.

Методика исследований. Используются обцие методы геометрической теории функций и отображений. Разработан геометрический метод исследования довольно широких классов гоыеоморфных отображений, основанный на использовании регулярных систем окрестностей. Применен метод ; ув -• емкостей конденсаторов для изучения свойств отображения»

Научная новизна. Построены классы пространственных топологических отображений с Ь р - интегрируемыми первыми обобщенными производными, включающие в ссбя ксчэинзометрические отображения, квазиконформные отображения, отображения с ограниченными интегралами Дирихле, отображения, квазиконформные з среднем. В зависимости от значений действительных параметров изучены вопросы вложения классов. Построен геометрический метод исследования свойств отображении, введенных классов, сс-пованый на спец!!альных характеристических законах изменения радиусов окрестностей при таких отображениях.

Разработаны методы с< - емкостей гоиденсаторов и ^ модулей семейств кривых.

Используя зти методы, устанавливаются различные свойства изучаемых отобратгниП (дифференцируеность п.з., наличие

-А/' - свойства, принадлежность пространству 1А/0 ¿,с и т.д.). "

Доказал рад характеристических свойств отображений с ограниченными интегральными характеристикачи, квазиизометрических и квазиконформных отображений, отображений, квазиконфорл-ных в среднем.

Предложена новая постановка экстремальных задач теории квазиконформных отображений - нахождение средних коэффициентов квазиконформности пар областей в Я"1 , Л ? 2 . Разработан метод решения этих задач, основанный на изменении Ы. -модулей семейств кривых при квазиконформных отображениях. В качестве иллюстрации этого метода ■ найдены средние коэффициенты квазиконформности сферических колец.

Для класса гомеоморфизмов Каратеодори (класс С ) решены вопросы вложения в него некоторых классов квазиконформных отображений и отображений с неограниченными характеристиками. Установлен модульный критерий принадлежности классу С автоморфизмов шара.

Все результаты являются новьыи и снабжены достаточным количеством примеров отображений рассматриваемых классов.

Практическая и теоретическая ценность. Развитые в диссертации методы позволяет изучать широкие классы отображений с ограниченным и неограниченными характеристиками квазиконформности. Результаты диссертации могут найти применение в геометрической теории функций и отображений, теории дифференциальных уравнений в частных производных, в теории приближений и в пространственных задачах механики сплошной среды.

Совокупность приведенных в диссертации теорем и методов образует новое направление в теории пространственных отображений с ограниченным интегральными характеристиками.

Апробация работы. Результаты диссертации в течении ряда лет докладывались на научно-исследовательском семинаре отдела комплексного анализа и теории потенциала ИМ АН Украины (руководитель - проф. П.и.Тамразов); на научно-исследовательском семинаре (1984 г,) ИМ СО АН СССР, г.Новосибирск (руководитель

- проф. А.В.Сычев); на X и XI Докэцкик коллоквиумах по теории отображений; на всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, 1988 г.); на всесоюзной школе по теории потенциала (Коцивелн, 1991 г.) и раде других республиканских конференций.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах автора £1 - 15^ .

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения; предварительных сведений, обозначений и терминологии; трех глав, которые разбиты на 15 параграфов^!! составляет 215 страниц машинописного текста. Нумерация определений, леым, теорем и примеров следующая: первая цифра соответствует номеру главы, вторая - номеру параграфа, третья - номеру в параграфе.

Список литературы содержит 258 работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Перейдём к изложению результатов диссертации. Формулируемое ниже определения, леымы и теоремы имеют те ке номера, что и в диссертации.

Во введении дается обзор исследований по тематике диссертации, обоснование актуальности работы, излагается краткое содержание работы.

В предварительных сведениях, обозначениях и тератологии вводятся традиционные для теории функций определения и обозначения, указаны функциональные пространства, необходимые в диссертации^ приведены некоторые известные сведения из геометрической теории отображений.

Глава I. Геометрические..свойства топологических отображений, с первыми обобщенншн производными.,

Глава состоит из четырех параграфов. В § I вводятся кляс-

сы отображений с ограниченными интегралышлн линейными характеристиками.

Рассмотрим гомеоморфное отображение -'

<5), сЭ - ограниченные области в IR. , п. } Z .

Если отображение - (ft (х), fn(х)) : 3) -*

имеет в точке ДС - (xf).. v jc л j е Л частные производные

L 1 i-i J- • *> п }то в этой точке определены величины: линейное отображение fL'1'—> R-*1, являющееся формальной производной £ , матрица Якоби J (^ ,-f) отображения ^ , а также максимальное f) - mctf. \f'cx)-L | и минимальное - rrUn. \f'(x) • к I - I - *

растяжения отображения / .

Пусть cL)ß>f, £ -действительные числа такие, что л-/ч< di$fi in,; n-l < fi, 6 £ гь . Для отображения f , кмекцего п.в. в области <0 частные производные ''/¿/ггл г i} fvу рассмотри:»! измеримые в

функции SJС Je )> О V

и Jf*Coc)> 0} ддя которых п.в. в о2> выполняются неравенства

jb(*-n + D f(jr-n*0

Назовет (d-)ß) - прямой и ( f, cO - обратной аналитическими характеристиками, соответственно, величины

где irc-f берется над вышеопределенными классами функций jS(OC) и

sS*(x). При

этом считаем, что «/V(х) - 00 > если О f но dC (x?f\ t о и, аналогично,

У *(ос)= ~ , если I 'х< t> - с 3 но оС Г)Фо. В частности, если f невырожденно дифферевд1руемо в точке sc , то

-Р;' >. '/.I

. d(>x, f) » JL(*,f)

W is

При P z >)~z ,b ^ ~ и зтса случае получаем

U fx: £) - U* Лг/i-п^гь п,п 0 ~ линейная характеристика

квазиконформности отображения f .

Пусть ¿'¿ftifi', £ - действительнив фиксированные числа п- I -f п , ГЪ-< S f4 1Г4 п> .

Определение 1.1.2. Гомеоморфюе отображение назовём отображением класса (<£>> • если ./ н

f f являются А О L » отображениям, невироздекно дифференцируемым п.в. в сбоях областях определения,н при зтси

Л

// Г/) = J Н О.

di,/

Вэличину ^ ^ будеы называть ^dj р> " сред-

ней характеристикой отображения / .

Определение I.I.3. Гомеоморфное отобршшгле ^ = оЭ <2>* назовем отображением класса Mf g ,

если / и являются /i С L .. отображения™, некырок-денно диффэренцируемьмм п.а. а своих областях определения и при этой

А/Д (!) = $

М ~ Г,*

од

и* *

Величину л (?) будем называть Н^ ^ -

средней характеристикой отображения / . _ '

Из определений следует, что / и £ обладают «V-

свойством, потому

Определение 1.1.4. Гомеоморфное отображение у = 3)* назовем отображением класса Н(ОЬ, оЭ*) , если отображение / принадлежит пересечению классов Ны ^ (Л/Л*)Г) И^ (Л) и) *) . При этом всегда предполагается известии, о каких параметрах <¿,/3,1 £ идет речь. Отображения этого класса будем называть отображениями с ограниченны«! интегральными линейными характеристиками.

Вопрос о вложении классов ^«х^уЗ и

// г ,ПРИ различных значениях параметров оС

/Г> «Г решается в леммах 1.1.1 - 1.1.7 и теоремой . 1.1,1.

Теорема 1.1.1. Пусть

- гомеоморфизм. 1°. Для любых фиксированных параметров °С таких, что

2°. 'Для любых фиксированных параметров р ) ^ таких, что

П--1 <> р < /"< По

3°. Для любых фиксированных параметров уз, £ таких, что А - 1 5 л. < уз $ у

Н^ H ja,л*) .

«у t

4°. Для любых фиксированных параметров Z таких, что

а-/

5°. Для любого фиксированного Ji , л~' i классы

ACL а (л) и Н Г-э,^';

совпадают;

Л -у3

js-n *t

6°, Для любого фиксированного £> п -1 < 6< го классы

ДСЬ /■/* ,2)*)

& ' ' и "д., g ^ / совпадают.

¿"-Л- 1* 1 '

Замечание. Построен соответствующий npimep, показывающий, что при П-2> 3 в первой части теоремы 1,1.4 имеет место строгое включение.

В § 2 вводятся вспомогательные классы отображений. Следуя Радо и Рейхельдерферу, под субаддитивной функцией понимаем конечную неотрицательную функцию Ф1 , заданную на открытых подмножествах G- из некоторой области о2) с JR^ так, что для каждого открытого множества G С сЭ и любого конечного набора &к непересекащихся открытых нно-яеств GK С Q , х - пл. , выполняется неравенство

к— /

Пусть Xе - произвольная точка в /!"' . Предположим, что для всякого ^ С 0> f ] определена некоторая замкнутая окрестность ^о) точки ха , Будем говорить,

что множество окрестностей

образует норлалжуг систему, если существует непр?ругная

ю.

функция J: такая, что W(x0):0, с/(х)> О

при ссФ х0} x°)z iX(= и множество (х=Jr

-f яе IRл i ¿^fo) = ^ }" является границей ^t Сх.с)

при каждом t <г (О, 1 ] . Функция I/ называется порождающей функцией нормальной системы /^ (xc)J ■

Полагаем

г (xc,i)= i^-x-ol, suf> '•

эсеГ£(х0) сci^,)

Верхний предел Г

называется параметром регулярности системы

Система окрестностей называется К - регулярной в точке Хс, если 5(х.0) < к < оо .

Пусть /: ob JR^ - гомеоморфизм, dc0 е ¿Z), ~f ^ (3T0)J- - нормальная регулярная система окрестностей

точки . Положим

\x0,i)- R(xt,t) = SupIf(x.)-f(Xg)J _

Если гомеоморфное отображение в каждой точке области переводит некоторое К - регулярное семейство окрестностей в К * - регулярное, го отсюда уже следует дифференцируем ость п.в., суммируемость якобиана и-V - свойство на п.в. сечениях^ параллельных координатным осям. Для суммируемости производных с квадратом достаточно потребовать, чтобы п.в. К К*< с < оо, эти факты впервые были обнаружены Д.Е.Меньшовы* при доказательстве теоремы о том, что всякое гомеоморф-ное отображение, переводящее бесконечно малый круг в беско-

иочно ыалкЯ круг,осуществляется аналитической функцией.

Для гь >у 3 . Ю.Г.Реоятняком установлено, что свойство гомеоыорфного отображения переродить К - регулярное семейство в К * - регулярное семейство является характеристическим свойством квазиконформности этого отображения.

Мы рассмотрим специальный закон изменения К - регулярных окрестностей при гомеоморфных отображениях. Регулярные окрестности при этом не обязательно переходят в регулярные.

Пусть ^ \ од ой* - гомеоморфное отображение, & -произвольное открытое множество, £ С<3;' { ^ (хе)}

нормальная регулярная система окрестностей произвольной точки ос0 6 (х такая, что для любого £ С (0,1] (Х0)С £ >

Определение 1.2.1. Будем говорить, что топологическое отображение ¿) <£) * принадлежит классу

если для некоторых действительных чисел о<.,р (п-1 $ о( <_/з ^ п ) существует ограниченная субадцитивная функция ОЬ , заданная на открытых подмножествах области оЭ, и нормальная система окрестностей (х) С ¿0 такие, что и для эс€ сЭ

выполняется неравенство

^ «"Л)

где Ф3 - производная субаддитивной функции Ф .

Определение 1.2.2. Будем говорить, что топологическое отображение ¿Э-» * принадлежит классу Т^

если для некоторых действительных чисел £ ¿(л-/# <fin) существует ограниченная субаддитивная функция ф * , заданная на открытых подмножествах области ад , и нормальная система окрестностей (х.) с токая, что для х <г ы)

выполняется неравенство

/ , ¿«-Г* \

(+ <*>)- ц-2'2>

где

(эс ) - производная субаддитивной функции Из определений следует, что в)^'1 принадлежит классу Тл> р (3) * од) тогда и только тогда, когда £ принадлежит классу (<&> °0* ) ; б) / принадлежит классу

(<5Ь*, од) тогда и только тогда, когда ^ принадлежит классу (¿Ь'^*) .

Определение 1.2.3. Топологическое отображение/;^-?^* назовем отображением класса Т (3)/ 8)*) , если отображение ^ принадлежит пересечению классов Т,^ (<®,£>Г)С) 7^(^,5)*),

При этой всегда предполагается известным, о каких параметрах & идет речь.

Соотношение между введенными классами отображений устанавливает основная в этом параграфе

Теорема 1.2.3. Если /г-/$ сС</3 ¡.п., п-к, ¿~<£< п} щз то всякое гомеоморфное отображение /: 3) -> сЭ * класса Н (¿Ь> Л*) принадлежит классу Т(Л), £>*) .

Б § 3 мы изучаем дифференциальные свойства отображений класса 7 С&> <3*) . ^

Теорема 1.3.1. Пусть

Л - «Э*

- отображение

класса (п-1 $ и <уз , п-1 $п. ) .

Тогда . а

Л V« Щ,Ьс(л) ' р ~ "р^ТТ ' / 5

В $ 4 мы показываем, что теорема 1.2.3 допускает обращение. При этом мы получаем некоторую геометрическую характеристику отображений класса И (<£>,<£>*) . Следующая теорема является основнъы результатом первой главы.

Теорема 1.4.3. Пусть ^ : оЭ -=> од * - гомеоморфизм и 6 - некоторые постоянные; , п-ц

()~ < сГ } п, , п>г Z . Следующие условия эквивалентны: 1°. Существуют ограниченные субаддитивные функции и <&* , заданные на открытых подмножествах области >=2), и нормальные системы окрестностей , <3) такие, что для эсех -X £ «Э выполняются неравенства

Л(Л-ЛИ) Л^

- м ,■ . Л

¿^0 г \г*(х,-и) I //

тга ТО"/ < (^у,

где Ф fx) , Ф* (х) - производные субаддитивных функций и qbi1, соответственно .

2°, ^ и / являются AC L - отображениями, невырожденно дифференцируемыми п.в. в своих областях определениями при этом конечны интегралы

Л у «3 ^

t

3°. 3: являются отображением класса ^ д Г ^ являются отображение« класса

—-— ,Ссс

д- n+i

и при этом конечны интегралы, что и в условии 2°.

Каждый из пунктов 1°, 2°, 3° теоремы 1.4.3 может быть принят за определение отображений с ограниченными интегральными линейными характеристиками. При этом первые два определения (определения 1.4.1, 1,4.2) мы будем называть аналитическими определениями, а третье определение (определение 1.4.3) - геометрическим определением отображений с ограниченными интегральными линейньми характеристиками.

В теоремах 1.4.4, 1.4.5 и 1,4.6 мы устанавливаем геометрические критерии принадлежности отображений к классам отображений, квазиконформных в средием^и с ограниченными интегралами Дирихле. Теоремы 1.4.4-1.4.6 являются следствиями теоремы 1.4.3.

Изложенный в первой главе геометрический метод позволяет изучать довольно широкие классы топологических отображений. По всей вероятности, он может быть использован и для изучения некоторых классов неоднолистных отображений с первыми обобщенными производньыи.

Глава П. Вариационные Ы. - ёмкости кондексаторов и некоторые классы топологических отображений.

В этой главе мы рассматриваем гонеоморфные отображения, координатные функции которых имеют первые обобщенные производные, суммируемые в некоторой степени. При аналитическом определении таких отображений предполагается ограниченность каких-либо интегральных средних от аналитических отклонений отображения. В первой главе мы построили классы таких отображений ( отталкиваясь от линейной аналитической характеристики, введенной М.А.Лаврентьевым.

Главная цель данной главы заключается в выделении классов отображений, которые по своим качественным свойствам являются естесгвенньм и непосредственнш расширением класса пространственных квазиконформных отображений. Классы отображений в этой главе выделяется,базируясь на внутренней и внешней аналитических характеристиках,введенных в рассмотрение Ф.У.Герингом и Ю.Вяйсяля. Соответственно и техника работы с такими отображениями отличается от техники, предложенной в первой главе.

Как известно, продвижение в исследованиях пространствен-

г.!« квазиконформных отображений, в значительной степени, связано с обобщением понятия модуля (конформной ёмкости) на пространственный случай. Это обобщение Сило осуществлено Б.Фог-леде и независимо Б.В.Шабатом.

В последние десдть-пятиадцать лет появились попытки изучения более общих классов отображений - классов ВЬ п^ } квазиконформных в среднем, с ограниченным потенциалом градиента и др. Поэтому появилась необходимость создания новых методов, в какой-то мере аналогичных методу конформной ёмкости.

Во второй главе мы предлагаем метод исследования свойств отображений, выделенных классов, основанный на характеристическом законе изменения ёмкостей различных порядков.- Далее мы систематически применяем этот метод для получения общих свойств таких отображений. В конце главы устанавливаем некоторые новые варианты "принципа длины и площади" и получаем емкостный критерий квазиизометричности пространственного отображения.

В § I определяются изучаемые далее классы отображений. Пусть ¿С*) ! ¿д* - невырожденно дифференцируемо в точке х. е «Э . Тогда величины

сГ

= Н^ , и

называются и - внутренней и <Г - внешней аналитическими характеристиками отображения £ , соответственно <п/

П-1 < ¿~( п.).

Пусть Р>*<Г> & - фиксированные действительные числа, л-1<ы. <рь п., /!•(</[•< сГ* п ,

Определение 2.1.1. Гомеоморфное отображение у - {(х)'. оЭой * назовём отображением класса (%>>

если / н / являются

лсь отображениями, невырожденно дифференцируемыми п.в. в своих областях определения^ при этом

<1) (x<P < 00 •

Определение 2.1.2. Гоыаоморфное отображение у - f fx) * назовем отображением класса (3), 3>*) ,

если f и f являются ACL - отображениями, невыровденно дифференцируемым п.в. в своих областях определения^ при

sto.m

Г

с2>

Определение 2.1.3. Гоцеоморфное отображение у - /f-^J'. ад •* оЗ* назовем отображением класса & (сд, 3) *) , если отображение / принадлежит пересечению классов Jj^ (£,2*) Л

3$ . При атом всегда предполагается известнш,

а каких параметрах <t, ft i ¿Г, идёт речь.

Класс £(¿¿>,3)*) будем называть классом отображений с ограниченными внутренними и внешними характеристиками.

В леммах 2.1.1 - 2.1.4 и теореме 2.I.I устанавливается вложение рассматриваемых классов отображений, в зависимости от соотношений между параметрами, их определяющих.

В § 2 мы вводам вспомогательный класс отображений, связанный с емкостями конденсаторов разных порядков.

Под конденсатором в /<? "" , д^ ,ыы понимаем пару множеств А = (В, G) где множество <? - открыто, а Е компактно в Я п и £ С Q ,

Если (?СеЭ, то говорим, что конденсатор (В, Q) лежит

В <2) .

Конденсаторы G«) и (Вz t Gj) не пересекаются,

если О, П<?2 = 0 . Конденсатор (£ ,0) ~ ограничен, если G- - ограниченное множество.

Для конденсатора A-(E,G) через W(A)S €, G) обозначим класс непрерывных ACL - функций f:(г to, f]

равных единице на £ и имеющих в & компактный носитель. При 1 4 и. < со величину

<ухрг<(£/0) = ¿-г

(у

где точная нижняя грань берется па всем функциям ^(Е, (т)/ назовем Ы. - емкостью конденсатора /1 .

Определение 2.2.1. Будем говорить, что топологическое отображение ^; с2-» принадлежит классу 6?^ (5Ь,Ъ*),

если для некоторых действительных чисел сс^ (п-хы, <_/3 4 п) существует ограниченная субаддитивная функция ОЬ , заданная на открытых поданожествах области <Л такая, что для всякого конденсатора У (?) , лежащего в <2) , выполняется неравенство

о /-«<

(Е, в) 4 Ф(^ £)■

где О* №.

Определение 2.2.2. Будем говорить, что топологическое отображение /: «Й-» £)* принадлежит классу £? (Э),2)*)

' <7/0

если для некоторых действительных чисел £,5 ( /г.)

существует ограниченная субаддитивная функция О/о данная на открытьяс подмножествах области О) , такая, что

для всякого конденсатора (£, О) , лежащего в Е **- f(z\ Q-* - f (G) < выполняется неравенство

/ ^ г

Cctp (£t Q) $ Фк (G) • cap (е* aV .

Г <У

Классы отображений

1швариантны относительно ортогональных преобразований и сдвигов на постоянный вектор в областях <5Ь и Л * , так как при таких преобразованиях сохраняются значения р - емкостей = ^) конденсаторов и свойство субамитивности

функции множества.

Из определений следует, что: а) f принадлежит классу з ('В*-'тогда и только тогда, когда £ принадлежит классу ; б) принадлежит классу (^(^.Э)

тогда и только тогда, когда £ принадлежит классу

Определение 2.2.я. Топологическое отображение 2)-"> ¿Ь* назовем отображением класса <? 3)*) , если отображение 4 принадлежит пересечению классов <3, С? * ¿д*) .

^Р о* С

При этом всегда предполагается известньм, о каких параметрах о/,/,<Г идет речь.

Основяш результатом 5 2 является следующая Теорема 2.2.1. Пусть ^ - фиксированные пара-

метра, п-ты. / /»-/</*< <■ п. , лЫ.

Тогда всякое гоыеоморфюе отображение /■'■£> <2> класса (од; £>*) принадлежит классу О. (<&,£>*)■ В § 3 ш изучаем дифференциальные свойства отображений класса $ (£>/ 2)* ).. Итог результатам параграфа подводит

Теорема 2.3.3. Пусть / : Л) -» «2> * принадлежит классу О (&,&*) ♦ Тогда

I. ' К*~<л) > .

В параграфе 4 мы показываем, что теорема 2.2.1 имеет обратную. В этом параграфе вводятся новые емкостные характеристики рассматриваемых классов отображений. Основным результатом параграфа будут емкостные условия принадлежности гомео-морфных отображений классу £(<£), 3)* ) . (теоремы 2.4.1, 2.4.2). #

Для каждого гомеоморфизма /'. -* с2> ^рассмотрим специальные функции множеств ) > р (

(п-<<н <■ л. , заданные на открытых под-

множествах <9 области ¿2) .

Будем полагать

£ „ (е) --

1

Сар^ (е* V*)

где точная верхняя грань берётся по всем конденсаторам С лежащим в (г и таким, что ( ^ 1 ^ ° ■

<г \Ч-

<*гг (е, V)

ю *

где точная верхняя грань берется по всем конденсаторам (Е/ Ч?)} лежащим в <? и таким, что ' Ф О.

В леммах 2.4.1 - 2.4.8 приводятся свойства вновь определенных ёмкостных характеристик

Результаты §§1-4 главы П позволяют нам сформулировать теорему об эквивалентности рассматриваемых классов отображений. Эта теорема является основным результатом 5 5 и второй главы.

Теорема 2.5.1. Пусть { \ 5) <5)*" - гомеоморфизм и -некоторые постоянные; п-г<<*-</з 4 /V , л_ ' <<Г< 0<К<сО}П>/г. Следующие условия эквива-

лентны:

1°. / и £ являются Л С Ь - отображениями, невырожденно дифференцируеыьми п.в. в своих областях определения,и при етоц

Р Г

Н1л сх,{)си <К, ] реи <К.

ой ' Э> '

I

2°. / является отображением класса ^ул ^

уз- /1-* / '

у является отображением класса Г^) при

этом ограничены 1штегралы, как и в условии 1°., 3°. Существуют ограниченные субаддитивные функции 9° /С и ф* 4 АС » заданные на открытых подмножествах области <2> так, что для всякого конденсатора (Е¿ОУ , лежащего в о& ^ выполняются неравенства

•Р

сГ ^ ^ *

сор « ^*г<?\■ (£*<?*),

в,

(?*- f(G) .

4°. Для'каждого открытого подмножества ¿г области еЭ функции

множества <5* л (&) и г (О ) имеют ограниченные

-'У Л о

вариации '

5°. Для любого конечного набора непересекагацихся конденсаторов \(ЕК , )}/."г /плежащих в 3) , одновременно выполняются условия: а) сл^ ,

_

£ * * " / сар^ (Ек , С«)

$ К

I

б) оар (£*/ £*) ф о , « =

!

¿■-Г $ к

I

к - <

сГ

са,рг (£к, )

<Г

(С,

Каждое из этих пяти условиР может быть принято за определение отображений с ограниченными интегральными внутренними и внешними характеристиками. Если выполняются условия 1°, 2°, то такие определения будем называть аналитическими. если 3°-5°, то емкостньми.

В § б получоны характеристичесго1е условия принадлежности плоских отображений классу отображений При этом,

специфика свойств плоскости позволяет во всех утверждениях неравенства * < О-, 1 < ¿Г< & заменить неравенствами 2 , 1$ < 6 $ 2..

При разных значениях параметров р, сГ отображения класса 3" (¿1,2)*) совпадают с отображениями класса В Ь

и отображениями, квазиконформными в среднем. В этом параграфе иы предлагаем новые методы исследовшшя этих классов отображений (леммы 2.6.1, 2.6.2, теоремы 2.6.1 - 2.6.4).

В § 7 иы изменяем ограничения на параметры <£ ( n-K<*.</i s л. j £ s /г- ) и показываем, что, если

при л < <х </з < «*> , л <6 < о° выполняются неравенства главы 2, параграфа 2, даже в более общей ситуации, для ёмкостей пары компактных множеств, а не конденсаторов, то это приводит к квазиизометрическим отображениям.

Следующая теорема устанавливает критерий принадлежности гоыеоморфных отображений классу квазиизометрических.

Теорема 2.7.1. Пусть j ß' f / <F _ - фиксированные числа, /i<oi< p<*>yn<(j~<tF<00Jn:><-i' /'■£>-*- - гоыео-ыорфное отображение ограниченных областей в

Тогда следующие условия эквивалентны. 1°. 4 ~ квазиизометрическое отображение с постоянной К . 2°. Для любого открытого множества G с и для любых компактных множеств С G выполняются неравенства

Р f'U *

(; О * Ki-■ cß G*),

J,*; G*)$ ^

где ^° ~ f(-?<> \ - fC^i), & " }(&) ; постоянные Ki и K^ зависят только от n , К .

Глава И. Новые экстремальные задачи. Гомеоморфизмы класса Каратеодори.

В третьей главе ыы даем некоторые приложения и обобщения построенной в первых двух главах теории.

В § I ми показываем, что свойство £ - квазиконформности можно охарактеризовать в терминах U, - модулей семейств кривых.

Теорзиа 3.1,1, Гомооморфное отображение f '■ 3)-* 3)

будет О - квазиконформным, П < 00 : тогда и только тогда, когда для любой ограниченной кольцевой области ,

^ С £) , и ее образа Ч/* = $ №) , для любых фиксированных п-г<ы.;р < а. имеют место неравенства — — - /

Л/Г (< у/; г (»> V*/ 'М^Л;

/И7

При ы. - _/з г п. получаем известное характеристическое свойство у, - квазиконфорлности.

§ 2. Вводятся средние коэффициенты пар квазиконформно эквивалентных областей ы) у и)" С //2 ^ и формулируется экстремальная задача - нахождения таких коэффициентов. Пусть

Внутренней р - средней характеристикой для 5)3) мы назовем величину ^

«й 7

Внешний Ц, - средней характеристикой для £ '. £> 3) назовем величину

Величины

1 р Ф,. Ич (П

назовем соответственно внутренним р - средним и внешним - средним коэффициентами пар областей 2) и од * . Отображения, минимизирующие средние отклонения, назовем экстремальными для соответствующих средних коэффициентов.

В § 2 мы находим внутренний /а - средний и внешний ^ -средний коэффициенты квазиконформности пары сферических колец

~ |X б £'^: С<* 0 < I*I <'}, 3>г/у ■е к' '</о<у ■I<< ]

- сферические кольца, о<^с( г„ < /. Тогда

'^О^Г')]

Р

при о тон экстремальное отображение имеет вид (в сферическ1!х координатах)

Для

£И

п

УС* Я. .

п-г*

(еп±Т

Ко - 1

\ Т?

- /

Экстремальном является отображение

о.

гья"*~' - 1

~Р = , ^ " Я' , < г < /

Заметим, что

б* Г

о

Пусть ппах {с/гсс^^фх #7 ^(х, {) I

Я * гей

В классической теории пространственных квазиконформных отображений рассматривался случай К(£) < оэ .

В первых двух главах работы излагаются исследования, которые являются развитием этой теории на случай отображений с неограниченными характеристиками. Предполагается только ограниченность некоторого интегрального среднего от характеристик.

В § 3 мы рассмотрим иной подход к выполнению класса отображений с неограниченными характеристиками.

Точку Х- 0 , для которой существует ее окрестность, принадлежащая области за исключением, быть может, самой точки оса • назовем полюсом характеристики &(■*,{) отображения Л -? Й*1" , если для любого достаточно малого &>о

иГъ автоле Я(XJf) = =»,,

3"(х„.<?)- В^С*"*) \ .

Если существует <Г> о такое, что в & "О отличных и полюсов Л С/) нет, то ос0 назовем изолированны« полюсом характеристики & С>\ /) .

Пусть ос^ ) ¿г /, - изолированные полюсы харак-

тгристикп /2 (ж, . Возьмем достаточно малое ¿">0 . что все пары п 1 ¿~) , за исключением возможно их центров, принадлежат <Я и не пересекаются. - о2>\ (у /3 "Ул-у, ¡0.

Будем говорить, что принадлежит классу

если I) изолированных полюсов конечное число; 2) / - квазиконформно в оЗ^Г для любого достаточно малого сГ*> о

Если е , то в силу гомеоморфности и локаль-

ной связности юЭ \ ■/ х,,.. ■ , х. относительно каждой из точек , предельное множество СС/,*:); ¿'-^-ь, есть связноо замкнутое множество.

Если : 2) /Дкласса и продолжается до гомеоморфизма / .' од и хк ) -¡> /Лп' , то будем говорить, что ^ принадлежит классу -ТЪ 0 . В этом случае будем говорить, что XI - устранимые полюсы характеристики. Построен пример /<? J!1£ , но /4 УЪ о .

Относительные расстоянием (по Ь!азуркевичу) ^ , ^}

мевду точками х^ х, € 3) называется нижняя грань диаметров кривых., лежащих в области Л> и соединяющих , Обычным образом определяется относительное расстояние

между любыми множествами £1 и Е х С

Следуя В.А.Зоричу, классом (С (Каратеодори) назовем совокупность гомеоморфных отображений /.' 3)* таких, что для любых связных множеств £,, С 2) и их образов

£*' » В * соотношения 1

Ы* (В, о и и (Е? о

¿0 ■* ¿о*

выполняются одновременно.

Теорема 3.3.1. Всякое квазиконформное отобракение : £>¿0_ ^ : принадлежит классу (С , Теорема 3.3.2. Всякое отображение f: 3) /И*" класса

принадлежит классу (С . Построен пример /€ УЪ , но /ф • Следствие 3.3.2. Всякое квазиконформное в среднем отображение ¿о , не имеющее для характеристики других

особенностей, кроме конечного числа устранимых полюсов, принадлежит классу (JZ- • Пусть

К^ (X) z tsicilmaoi &(*,f)t v < г < ¿~.

( cl -ъ , -

Условие \ -- - 00 , с =• f, ь

J г. К ¿(г)

О

является достаточньм для принадлежности f классу 1

(С (Зорич В.А.). Построен пример f(ЭЪ. , показывающий, что это условие не является необходимым.

В заключении доказано характеристическое свойство класса <С для автоморфизмов шара.

Пусть оЭ - область в UL"' , Е< , Е^ С. 3) — произвольные связные множества. Через Г (¿д Е,, Ел ) обозначим свойство всевозможных кривых, соединяющих ¿у и в <2> , через М (/ Еf , Е - модуль этого семейства.

Теорема 3.3.3. Гомеоморфизм /: В"'В^ принадлежит классу С тогда и только тогда, когда для любых связных множеств £ i , £л С & ** и их образов Е* , Е* соотношения /у\ (а i/;fjj:oО, /И Е*, Ej) = «> выполняются одновременно.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. Кудьявин B.C. Последовательное вращение плоских квазикон-фор«кых отображений в ¡R"" //Дкнемика сплошной среды.- Новосибирск, 1979,- Вып.42.- С.110—115.

2. Кудьявин B.C. Поведение некоторого класса отображений, квазиконформных в среднем, в изолированной особой точке// Докл. АН СССР.- 1984.- 277, V» 5.- C.I056-I058.

3. Кудьявин B.C., Гейнеман В.Э. О допустимом порядке роста

S - средней дилатации в теореме М.А.Лаврентьева//,1!инами-ка сплошной среды.- Новосибирск, 1981.- Вып. 51,- С. 177183.

4. Кудьявин B.C., Сычев А.В. О принадлежности некоторых пространственных гомеоморфизмов классу Каратеодори//Некоторыз проблемы дифференциальных уравнений и дискретной математики: Сб.науч.тр;. Новосибирск: Н1У.-1986.-С.19-28.

5. Кудьявин B.C. Об одном характеристическом свойстве квази-иэометрлческих отобрал!ений//1!атериалы всесоюзной конференции по геометрической теории функций. 18-20 октября 1988г. - Новосибирск: Ш СО АН СССР, 1988.- С.56.

6. Кудьявин B.C. Характеристическое свойство одного класса пространственных гоыеоыорфизмов//Вопросы анализа и приближений: Сб.науч.тр.- Киев: ИМ АН Украины, 1989,- С.81-88.

7. Кудьявин B.C. Характеристическое свойство гомеоморфах отображений класса IV^ //Материалы респ. совещания-семинара по комплексному анализу, Алушта, 27сеж.-4 окт. 1989 г.- Киев: Ш АН Украины, ■ 1989.- С.27.

8. Кудьявин B.C. Характеристическое свойство одного класса пространственных гоыеоыорфизмов//Докл. АН Украины. Сер.А,-

1990.- » 3.- С.7-9.

9. Кудьявин B.C. О геометрии плоских топологических отображений с первдан обобщенными производньш//Вопросы анализа ¡I лриблинений: Сб.науч.тр.- 1{иев: ШЛИ Украины, 1990,- С, 73-78.

10. Кудьявин B.C. Характеристическое свойство одного класса плоских топологических отображений//Докл. АН Украшш. Сер. А.- 1990.- $ 4.- С.13-15.

11. Кудьявин B.C. Локальная структура плоских отображений, квазиконформных в среднем//Докд. АН Украины. Сер. А,-

1991.- № 3,- С.10-12.

12. Кудьявин B.C., Го:ьберг А.Л. Средние коэффициенты квазиконформности пары областей//Укр.мат.журн.- 1991,- 43,

№ 12,- C.I709-I7I2.

13. Кудьявин B.C. Модульные свойства некоторых классов пространственных гомеоморфизыов//Материалы I Всесоюзной школы по теории потенциала, Кацивели, 26 июня-З июля 1991г.Киев: Ш АН Украины, 1991,- С.22.