Теоретико-функциональный подход к теории минимальных подмногообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

.рез

эйие от

ЖЖ^зШ

присудил ученую ст- ■ . Н^чадшкк ух

"ФА

VI Л ь? "О г' т т

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Волгоградский Государственный Университет

На правах рукописи УДК 517.95

Ткачев Владимир Геннадьевич

ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ

(01.01.01. - математический анализ)

Диссертация на соискание ученой степени доктора

Волгоград 1998

Содержание

0 Введение 4

1 Оценки интеграла Дирихле на римановых многообразиях 37

1.1 Вводные определения.................................37

1.2 Определение концов многообразия..........................41

1.3 Асимптотические тракты субгармонических функций . 46

1.4 Взвешенная фундаментальная частота и ее ТУ-средние . 51

1.5 Дифференциальное неравенство для интеграла Дирихле 55

1.6 Нижние оценки первого собственного значения на минимальных подмногообразиях..................................64

2 Проективный объем минимального подмногообразия 73

2.1 Проективный и логарифмический объемы................73

2.2 Взаимосвязь логарифмического и проективного объемов 75

2.3 Некоторые свойства проективного объема................83

3 Минимальные подмногообразия конечного проективного объема 90

3.1 Оценка числа концов минимальной поверхности..........91

3.2 Оценки проективного объема п-мерных минимальных графиков ......................................................96

3.3 Минимальные поверхности, конечнократные относительно сферы.........•..................105

3.4 Оценка индекса координатных функций на минималь-

• ных поверхностях......................109

4 Оценка времени существования минимальных трубок 118

4.1 Основные определения . ...................118

4.2 Трубки с ограниченной интегральной кривизной .... 125

4.3 Примеры минимальных трубок с бесконечным временем существования........................136

4.4 Гауссово отображение многомерных трубок..............137

5 р-минимальные поверхности и принцип сравнения 144

5.1 Определение р-минимальных поверхностей........145

5.2 Предварительные свойства р-минимальных поверхностей 149

5.3 Квазиконформность гауссова отображения........157

5.4 Трубчатые р-минимальные гиперповерхности......159

5.5 Радиус просвета р-минимальной поверхности......168

5.6 Теорема Йоргенсона-Калаби-Погорелова..................173

6 Звездные минимальные поверхности 178

6.1 Целые решения уравнения звездных минимальных поверхностей ..........................180

6.2 Асимптотические свойства целых решений................188

6.3 Строение допустимых областей..............194

6.4 Примеры звездных минимальных поверхностей.....198

Глава О Введение

А. Общая характеристика работы

По своей проблематике диссертационная работа выполнена на стыке нескольких разделов анализа: теории функций, теории уравнений в частных производных и геометрии "в целом". Основным объектом исследования являются поверхности нулевой средней кривизы (или минимальные подмногообразия) в евклидовом пространстве, а также их обобщение — р-минимальные поверхности. По своим теоретико-функциональным характеристикам поверхности данного класса можно рассматривать как подходящие обобщения комплексно аналитических множеств. Рассматриваемый круг задач и используемые методы большей, частью принадлежат теории функций.

Актуальность темы. В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией решений эллиптических уравнений в частных производных и внешней геометрией римановых многообразий, погруженных в евклидово пространство. Один из основных классов задач относится к минимальным поверхностям и рассматривался в работах С.Н. Бернштейна, Э. Бомбиери, Э. Джусти, Й. Ниче, Р. Оссермана, J1. Саймона, Р. Финна, А.Т. Фоменко, Ю.А. Аминова, A.A. Борисенко, В.М. Миклюкова, И.Х. Сабитова, Е.В. Шикина и других математиков.

В работе [7] Бомбиери, Де Джорджи и Джусти исследовали качественные свойства минимальных поверхностей, относящиеся к известной проблеме Бернштейна, исходя из внутренних свойств таких поверхностей. Основой их рассуждений служило то обстоятельство, что сужением координатных функций погружения и гауссова отображе-

ния на минимальную поверхность являются (субгармонические функции. Такой подход позволяет рассматривать минимальные поверхности как римановы многообразия, на которых a priori определен запас (субгармонических функций, отражающих геометрическую структуру погруженного многообразия. С другой стороны, вопросы существования гармонических и субгармонических функций приводят к задачам, родственным проблеме униформизации римановой поверхности, а также задачам, связанным с поиском подходящих обобщений на римановы многообразия таких теорем классической теории функции, как теоремы сравнения решений эллиптических уравнений, теоремы Лиу-вилля, Данжуа-Альфорса и др. Решение подобных вопросов тесно переплетается с внутренней геометрией и топологией изучаемого класса многообразий. Такой подход реализуется в работах'Л. Альфорса, Ю.Г. Решетняка, A.B. Погорелова, Ш.Т. Яо, И. Холопайнена, С.К. Водопьянова, A.A. Григорьяна, и др.

Значительный в последние годы прогресс теории двумерных минимальных поверхностей был связан с тем, что для таких поверхностей существует ествественная параметризация в терминах голоморфных функций, называемая представлением Эннепера-Вейерштрасса. С этой точки зрения, многие, подходящим образом переформулированные, вопросы двумерной теории решаются с помощью применения методов классической теории функций. С другой стороны, в работах Й. Ниче, Р. Финна, В.М. Миклюкова был развит метод решения задач двумерной теории, не опирающийся на представление Эннепера-Вейерштрасса и основанный на использовании модульно-емкостной техники и обобщения понятия конформного типа поверхности.

В 1915 г. С.Н. Бернштейн [6] доказал свою знаменитую теорему о минимальных графиках. Именно, если f(x,y) — решение уравнения минимальных поверхностей, определенное во всей плоскости (т.е. целое решение), то f(x,y) — линейная функция. Развитие многомерной теории минимальных поверхностей прежде всего было связано с попытками обобщить теорему Бернштейна на случай больших размерностей. В 1968 г. Дж. Саймонзом было доказано, что в своей первоначальной формулировке теорема Бернштейна верна только для значений размерности, меньших 8. В остальных случаях, как отмечается в [56], вопрос о тривиальности целых решений должен рассматриваться

в более широком классе, например, в классе функций, имеющих полиномиальный рост. Глубокие результаты теории многомерных минимальных подмногообразий в евклидовом и римановых пространствах, базирующиеся на геометрической теории меры, получены в работах JI. Саймона, А.Т. Фоменко, Э. Джусти.

Хорошо известно также, что произвольное комплексное подмногообразие в Сп является (вообще говоря, локально) минимальным подмногообразием четной вещественной размерности. Специфика данного подкласса минимальных подмногообразий состоит в возможности применения прямых методов теории функций многих комплексных переменных. Изучению комплексно-аналитических множеств в их связи с геометрией посвящены работы Б. Лоусона, Дж. Саймонза, Г. Феде-рера, Е.М. Чирки, HI.T. Яо и др.

Методика исследования. В основе используемого метода лежит устанавливаемая связь вводимых нами понятий проективного и логарифмического объемов для минимальных многообразий с компактным краем. Отметим, что логарифмический объем отвечает за такие геометрические свойства минимального многообразия как скорость рост объема на бесконечности, а также асимптотические конформные характеристики многообразия; важным свойством данной величины является ее устойчивость к локальным изменениям многообразия. Проективный объем, по своей структуре, является величиной, учитывающей интегрально-геометрические свойства погруженного многообразия "в целом". Наряду с введением новых понятий, в работе также широко применяются модульные и емкостные методы, а также геометрический метод сравнения, подходящим образом адаптированные к разрабатываемой тематике. Значительный вклад в разработку модульной техники применительно к теории пространств с конформной и квазиконформной структурой внесли Ф. Геринг, Ю. Вяйсяля, Дж. Дженкинс, О. Мартио, С. Рикман, Б.В. Шабат, П.П. Белинский, В.А. Зорич, П.М. Тамразов, В.В. Асеев, A.B. Сычев.

Научная новизна и практическая значимость. В настоящей работе предлагается новый подход к изучению геометрических и топологических свойств погруженных минимальных подмногообразий произвольной размерности, основанный на введении двух инвариантов — проективного и логарифмического объемов таких подмногообразий;

— л —

получена равномерная оценка числа концов минимальной поверхности произвольной размерности и коразмерности погружения в терминах некоторых ее интегрально-геометрических средних; установлена ограниченность индекса координатных функций на двумерных минимальных поверхностях произвольной коразмерности. Техника оценок логарифмического объема позволяет решить ряд задач для минимальных подмногообразий с компактным краем (так называемыми концами). Подчеркнем, что логарифмический и проективный объем тесно связаны с ростом объема поверхности на бесконечности; при этом применение первых характеристик позволяют более гибко решать задачи об оценках объема минимальных поверхностей. В частности, мы распространяем известную оценку роста объема минимальных графиков (Бомбиери, Альмгрен, Джусти) на широкий класс минимальных поверхностей с компактным краем, которые не являются глобально минимальными; для графиков полученная нами оценка значительно улучшает уже известные. С помощью введенного нами понятия вектор-потока минимальной трубки решена задача оценки времени существования двумерных минимальных трубок произвольного топологического типа. Указываются другие применения рассмотренных понятий в дифференциально-геометрических вопросах теории многомерных минимальных и ¿»-минимальных поверхностей.

Структура диссертации. Диссертация содержит 216 страниц и состоит из введения и шести глав. Главы разделяются на параграфы и пункты с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 105 наименований.

Апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в работах [46]—[48], [62], [72]—[84] и докладывались на российских и международных конференциях: Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 1989), Всесоюзной математической школе "Теория потенциала" (Киев, 1991), Международной конференции по неевклидовой геометрии (Казань, 1992), Международном симпозиуме по применениям голоморфных функций (Варшава, 1994), Международном математическом конгрессе (Цюрих, 1994), Геометрической конференции Тихоокеанского побережья (Сингапур, 1994), Международной конференции по геометрии в целом (Черкасск, 1995), Международной конференции по дифференциальной геометрии (Будапешт,

1996), Международной конференции по стохастическому и глобальному анализу (Воронеж, 1997), П-й Школе "Алгебра и анализ" (Казань,

1997); а также в разное время - на семинарах по теории функций и дифференциальной геометрии при Харьковском университете (рук. акад.

A.B. Погорелов), МГУ (рук. акад. А.Т. Фоменко), Банаховском математическом центре (Варшава), Институте математики им. Стекло-ва (Москва), Национальном Сингапурском университете (рук. проф. JI. Саймон), Институте математики СО РАН (рук. проф. Ю.Г. Ре-шетняк). Все результаты подробно докладывались на семинаре "Нелинейный анализ" ВолгГУ (рук. проф. В.М. Миклюков).

За цикл работ по. теории минимальных поверхностей автору присуждена 1-я премия Межвузовской конференции молодых ученых Волгоградской области (1995).

Охарактеризуем кратко содержание работы.

После того как в параграфе 1.1 излагаются определения емкости и модуля конденсатора, в § 1.2 вводится понятие конца (или бесконечно удаленной точки) некомпактного риманова многообразия. Главным отличием вводимого понятия от простых концов по Каратеодори состоит в требовании связности элементов цепей, порождающих конец многообразия. В предложении 1.2 и лемме 1.1 проясняется геометрический смысл данной терминологии.

Дальнейшая часть первой главы посвящена распространению теорем типа Лиувилля, Данжуа-Альфорса для субгармонических функций на общих римановых многообразиях. Метод доказательства основывается на специальных оценках интеграла Дирихле субгармонических функций с использованием понятия взвешенной основной частоты. Последняя характеристика, является подходящим обобщением первого собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа-Бельтрами. Емкостная техника широко применялась и применяется в теории уравнений с частными производными и теории функций (см.

B.А. Кондратьев [33], Е.М. Ландис [37], В.Г. Мазья [41], Решетняк [61] и цитированную там литературу). В случае евклидова пространства данный подход был реализован в работах В.М. Миклюкова [42], [44]. В настоящей главе мы следуем методу, развиваемому в совместной работе [48].

В §§ 1.3,1.4 изучаются свойства асимптотических трактов субгар-

ионических функций на римановых многообразиях. Из доказываемых там результатов упомянем обобщение теоремы Ченга и Яо о нижней оценке первого собственного значения »-оператора Лапласа. В § 1.6 мы даем точную нижнюю оценку первого собственного значения на многообразиях с предписанной средней кривизной, которая является точной для минимальных подмногообразий.

В главе 2 вводятся понятия проективного и логарифмического объема концов минимальных поверхностей. Логарифмический объем является аналогом плотности поверхности в окрестности бесконечно удаленной точки и относится к числу характеристик внутренней геометрии поверхности. В определении же проективного объема участвуют параметры внешней геометрии поверхности. Показывается, что оба понятия являются инвариантами минимальной поверхности относительно группы гомотетий и движений объемлющего пространства. Основой для дальнейших приложений служит устанавливаемое равенство этих характеристик для полных минимальных поверхностей. В этой же главе приведены примеры вычисления проективного объема для некоторых классов минимальных поверхностей. Упомянем также свойство мёбиусовой инвариантности логарифмического объема. Мы не акцентируем данное свойство в тексте диссертации, так как в настоящий момент мы не можем получить достаточно глубокие следствия из этого наблюдения.

В главе 3 изучаются минимальные подмногообразия конечного логарифмического объема. В частности, показывается, что такие многообразия всегда имеют конечное число концов. С другой стороны, разрабатываемая в этой главе техника оценок проективного объема в терминах различных интегрально-геометрических характеристик поверхности позволяет связывать количество концов минимальной поверхности и ее внешне-геометрические характеристики.

Заключительная часть главы 3 посвящена приложению основных результатов первой главы к оценкам индекса координатных функций на двумерных минимальных поверхностях конечного проективного объема. Доказаны оценки числа "горбушек", которые можно срезать с двумерной минимальной поверхности произвольной коразмерности. Как демонстрацию действенности полученных результатов, мы приводим новую версию доказательства теоремы Бернштейна, а также

даем оценки топологических характеристик поверхности в терминах кратности проекции на двумерные плоскости.

В главе 4 на основе применения модульной техники и вводимого автором инварианта минимальных трубок (вектор-потока) решается задача о времени существования двумерной минимальной трубчатой поверхности. Постановка такой задачи в общем виде была сделана в работе Ниче [53]; с другой стороны, актуальность данной задачи мотивируется интерпретацией минимальных трубок как евклидовых аналогов релятивистских струн. Вектор-поток трубки в этом случае соответствует импульсу струны. Мы показываем, что для трубок конечной интегральной кривизны время существования конечно при условии ненулевого угла наклона вектор-потока к оси времени. Условие конечности интегральной кривизны существенно, как показывают примеры, построенные в параграфе 4.3. В параграфе 4.4 мы получаем оценку на величину гауссова образа сечений многомерных минимальных трубок. Как приложение, мы даем другое доказательство предыдущего результата, не опирающееся на представление Эннепера-Вейерштрасса.

В главе 5 мы вводим и исследуем класс р-минимальных поверхностей, т.е. поверхностей, у которых одна из координатных функций является р-гармонической во внутренней метрике поверхности. Естественность данного класса основывается на следующих соображениях. Во-первых, мы доказываем (теорема 5.2), что гауссово отображение двумерных р-минимальных поверхностей является {р — 1)-квазиконформным (в частности, при р = 2 получаем из