Η(П)-распределения проективного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Елисеева Наталья Александровна

%{П) -распределения проективного пространства

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань-2004

Работа выполнена в Калининградском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, профессор Попов Ю.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Столяров А.В. доктор физико-математических наук, профессор Степанов СЕ.

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского

час. мин. на

Защита состоится « г. в

заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, конференц-зал научной библиотеки КГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ. - мат. наук, доцент

М.А. Малахальцев

200g-Ч

Общая характеристика диссертации

Постановка вопроса и актуальность темы. В данной работе представлены исследования по теории т -полосных распределений (т<п-1) проективного пространства Рп.

Определение. Пару распределений соответственно г -мерных плоскостей Л ( Л-распределение) и т -мерных плоскостей М (М-распределение) проективного пространства Рп с отношением инцидентности ХвАсМ (1<г</и<л — 1) их соответствующих элементов в каждом центре X назовем т -полосным распределением П (П-распределением), в котором Л-распределение назовем базисным, а М-распределение - оснащающим распределением. П-распределение, оснащенное полем гиперплоскостей Н, назовем Н(П) -распределением.

Теория П-распределений (точнее, -распределений) проективного

пространства Рп включается в общую теорию распределений в однородных пространствах. Дифференциальная геометрия распределений многомерных линейных элементов в однородных и обобщенных пространствах была предметом многочисленных исследований, причем во многих работах она именовалась геометрией неголономных многообразий. Геометрия распределений в однородных пространствах, восходящая к работам Г. Врэнчану, В. Гловатого, И.А. Схоутена (см. обзор в работе1), Е. Бомпьяни , А. Пантази3, Д.М. Синцова4, В.В. Вагнера5, в последние десятилетия интенсивно изучается с различных точек зрения. С одной стороны, это объясняется многочисленными связями данной теории с различными разделами геометрии, а также близостью теории распределений к теории подмногообразий однородных пространств. С другой стороны, теория распределений получила дальнейшее развитие благодаря новому подходу к исследованию распределений с применением современных теоретико-групповых методов исследования. Так, например,

1 Схоутен И.А., Стройк Д.Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии/Пер. с нем.-T. l.-M.;JI., 1939. - 182 е.; Т. 2. М., - 1948. - 346 с.

2 Bompiani Е. Sulbe varieta anolonome // Rend. Dei Lincei. 1938. - Vol. 27. - P. 37-52.

3 Pantazi A. Sur la déformation projective des surfaces non holomones de l'espace Ez // Bull. Math. Soc. Roum. Sci. - 1943. - Vol. 45. - P. 39-47; Opéra matematica // Ed. Acad. Rep. Popul. Roumaine. 1956. - 496 p.

4 Синцов Д.М. Работы по неголономной геометрии. - Киев,1972. - 294 с.

5 Wagner V. Sur la geometrie différentielle des multiplicités anholonomes // Тр. сем. по векг. и тенз. анализу. - 1935. - Вып. 2-3. - С. 269-314.

в работах Г.Ф. Лаптева и Н.М. Остиану1 при изучении теории распределений были применены инвариантные методы изучения дифференциально-геометрических структур.

При изучении структуры Н(П) -распределений главным направлением исследований являются двойственные нормальные связности T"i(IÏ) -распределения.

Теория связностей в различных расслоенных пространствах составляет важное направление исследований современной дифференциальной геометрии. Начало этой теории положила в 1917 г. работа Леви-Чивита2 о параллельном перенесении вектора в римановом пространстве. Эта идея нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. Для построения единой теории поля Г. Вейль3 дал понятие пространства аффинной связности.

Важное место в дифференциальной геометрии расслоенных пространств занимает теория связностей в однородных расслоениях и ее применение при изучении оснащенных многообразий, погруженных в различные пространства.

В.В. Вагнер4, а затем и Ю.Г. Лумисте5 с помощью теории связностей в однородных расслоениях исследовали геометрию многообразий плоскостей в классических пространствах.

Понятие нормальной связности в проективном пространстве независимо друг от друга ввели А.П. Норден6 (он называет такую связность внешней) и Чен'. А.В. Чакмазян8 изучает подмногообразия проективного, аффинного, проективно-метрического, евклидового пространств с привлечением

1 Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геометр. Семинара/ВИНИТИ АН СССР. -1971.- Т. 3.- С. 49-94.

2 Levi-Civita T. Nozioni di parallelismoin unavarieta qualunque e conséquente specificazione geometrica della curvature Riemanniana // Rend. circ. matem.-Palermo, 1917. - V. 42. - P. 173-205.

3 WeylH. Raum, Zeit, Materie. - Berlin, 1918.

4 Wagner V. Differential geometry of family of H;cf, in R. and of the family of totally geodesic s,.,, in of positive curvature // Матем. сб. - 1954. - T. 10(52). -С. 165-212.

5 Лумисте Ю.Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуск. ун-та. - 1965. - Вып. 177. - С. 6-42.

6 Норден А.П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976. - 432 с.

7 Chen B.Y. Geometry of submanifolds. - New York, 1973. - P. 308.

8Чакмазян A.B. Нормальная связность геометрии подмногообразий: Монография. - Ереван, 1990. - 116 с.

связностей в нормальных расслоениях. А.В. Столяров1 вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и гиперполосном распределении пространства проективной связности (проективного пространства). Конструкция двойственных пространств с проективной, аффинной и нормальными связностями, разработанная А.В. Столяровым2, позволяет существенно продвинуться в изучении (исследовании) геометрии оснащенных подмногообразий (в том числе и неголономных). П.А. Фисунов3 продолжает исследования двойственных нормальных связностей на гиперполосах, гиперполосных распределениях проективного пространства.

Предметом изучения настоящего диссертационного исследования является -распределение и нормальные связности, индуцируемые в

расслоениях нормалей на оснащенном базисном -подрасслоении распределения, погруженного в -мерное проективное пространство

Цель работы. Цель диссертационной работы - заложить основы построения проективно-дифференциальной геометрии т-полосных распределений (%(П)-распределений). Для достижения этой цели в диссертационной работе решены следующие задачи:

1) построение полей фундаментальных и охваченных объектов 7^(П) -распределения, построение инвариантных полей нормалей подрасслоения данного 7т£(П) -распределения;

2) построение двойственного образа -распределения;

3) построение инвариантных оснащений в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти Л-подрасслоения данного Н(П) -распределения;

4) построение двойственных центропроективных (нормальных) связностей, индуцируемых в расслоениях нормалей первого и второго рода базисного -подрасслоения данного -распределения.

Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований:

1 Столяров A.B. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространств проективной связности // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. - М., 1977. - Т. 8. - С. 25-46.

2 Столяров A.B. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности I // Изв. вузов. Мат. - 1980. - №1. - С. 79-82.

3 Фисунов П.А. Нормальные связности на оснащенном гиперполосном распределении // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. -Чебоксары: ЧПГИ, 1998. - Вып. 3. - С. 13-18; Фисунов П.А. Центропроекгивные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе. -Чебоксары, 1998. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 1998, №627-В98.

б

метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева1 и метод внешних дифференциальных форм Э. Картана2. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях высоких (до третьего) порядков.

В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно в репере первого порядка; это позволило получить их в инвариантной форме. Все рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими. Следует также заметить, что геометрия нормальных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф. Лаптевым.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше задач, являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что:

-распределение, его двойственный образ и двойственные нормальные связности -распределения ранее в геометрии

распределений не изучались;

- в работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных т -полосных распределениях проводится инвариантными аналитическими методами посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия.

В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий. Так, например, отметим, что проективно-дифференциальная геометрия -распределений находит

теоретическое применение при исследовании нормальных подрасслоений и подрасслоений касательного расслоения поверхностей полного или

1 Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. -1953. - Т. 2. - С. 275-382.

2 Фиников СП. Метод внешних форм Картана. - М.; Л., 1948. - 432 с.

неполного ранга, двухсоставных и трехсоставных распределений, скомпонованных распределений, специальных классов регулярных гиперполос, а также при изучении дифференциально-геометрических структур на распределениях проективного пространства.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно:

а) по теории полосных распределений проективного пространства;

б) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре высшей алгебры и геометрии Калининградского государственного университета (2000, 2003 гг.), на IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология» (Чебоксары, ЧТУ, 2001 г.), на Международном математическом семинаре «К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета» (Калининград, КГУ, 2002 г.), на IV Международной междисциплинарной научно-практической конференции «Современные проблемы науки и образования» (Ялта, 2003 г.), на третьей Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2003» (Казань, 2003 г.), на заседании научно-исследовательского семинара по геометрии Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2004 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (2004 г.), при подготовке отчета в рамках Санкт-Петербургского конкурса грантов для студентов, аспирантов и молодых специалистов (категория гранта: кандидатский проект, № гранта: М02-2.1К-739) по теме -распределения проективного пространства»

(диплом АСП №302176).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в 12 печатных работах [1] - [12] автора.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (общая характеристика работы), краткого изложения ее содержания, трех глав и списка использованной литературы, включающего 149 наименований. Полный объем работы составляет 117 страниц машинописного текста.

Краткое содержание диссертации

В первой главе изучается общая структура Н(П)-распределения.

В §1 дано задание П-распределения в репере нулевого порядка Л0 и доказано, что П-распределение проективного пространства Рп существует с произволом г(п-г) + (п — т)(т — г) функций п аргументов. Доказана

основная теорема I главы (теорема 1.1), что при с П-

распределением в первой дифференциальной окрестности относительно репера внутренним образом ассоциируется поле гиперплоскостей Н. П-распределение, оснащенное полем гиперплоскостей Я, назовем распределением. Далее приведено задание -распределения в репере

1-го порядка Л1 и доказана теорема 1.2: -распределение, заданное в

репере 1-го порядка , существует с произволом

2т(п-т-\) + г(2т-2г + \) функций п аргументов.

В §2 построены поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 7^(П) -распределения, в основном ассоциированные с базисным

-подрасслоением. Даны аналитические признаки взаимности М-подрасслоений и сопряженности систем (Л,£), (£,£), (Л,£), (М,Е) распределений, принадлежащих, соответственно, М-, Ф-, V-, Н-подрасслоениям Н(П) -распределения (теорема 1.3). Получены аналитические признаки голономности -подрасслоений и

выяснены их геометрические интерпретации (теоремы 1.5 - 1.8). Даны аналитические признаки плоских и конических Л-подрасслоений Н(П)-распределения.

§3 носит в основном реферативный характер, в нем для базисного подрасслоения введены двойственные нормализации в смысле Нордена -Чакмазяна в дифференциальных окрестностях 1-го - 3-го порядков, и в частности, нормализации Михэйлеску, Фубини, Вильчинского, внутренним образом присоединенные к Л -подрасслоению.

Вторая глава диссертации посвящена построению двойственного образа -распределения и построению инвариантных оснащений в

смысле Э. Картана и Э. Бортолотти базисного Л-подрасслоения ^(П) распределения.

В § 1 построен двойственный образ -распределения относительно

инволютивного преобразования структурных форм проективного пространства Доказано (теорема что регулярное

распределение проективного пространства во второй

дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует:

1) проективное пространство двойственное исходному проективному пространству относительно инволютивного преобразования форм,

2) регулярное распределение двойственное исходному Н(П)- распределению.

Показано (теорема 11.2), что нормализация одного из регулярных полосных распределений и равносильна

нормализации другого.

В §2 и §3 для базисного Л -подрасслоения построены оснащения в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти. Особую роль в дальнейшем изложении играет теорема П.З: оснащение в смысле Бортолотти распределения (базисного -подрасслоения данного

распределения) полем гиперплоскостей равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа полем -мерных

плоскостей Кг, принадлежащих полю вторых осей Кёнигса распределения

ЩА).

Выяснены аналитические и геометрические признаки неподвижности оснащающей плоскости Картана и оснащающей гиперплоскости Бортолотти -подрасслоения:

- на -подрасслоении оснащающая гиперплоскость Бортолотти неподвижна тогда и только тогда, когда она «вращается» вокруг нормали второго рода КГ^{А0) (теорема 11.4.);

- если на регулярном -подрасслоении оснащающая гиперплоскость неподвижна, то она в каждом центре является гиперплоскостью

Кёнигса нормали второго рода (теорема П.5).

Введены в рассмотрение сильно оснащенные и согласованно оснащенные -подрасслоения -распределения.

Третья глава диссертации посвящена изучению двойственных нормальных связностей, индуцируемых -распределением в

расслоениях нормалей первого и второго рода на оснащенном (в смысле Нордена - Картана и Нордена - Бортолотти) -подрасслоении.

В § 1 изучаются двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого рода на оснащенном в смысле Нордена -Картана Л-подрасслоении. Показано (теорема II. 1), что на оснащенном в смысле Нордена-Картана базисном -подрасслоении в расслоении его

нормалей первого рода индуцируются двадцать четыре нормальные связности V1, задаваемые системами слоевых форм {©",

__ФИ

(Ф = 0,1; Ч' = 0,11), причем связности V1 определены при Л^^О.

Ф5 Фб

Связности V И V будут совпадать:

- в случае голономного Л -подрасслоения,

- в случае голономности М-подрасслоения или если М-распределениенесет двухкомпонентную сопряженную систему (Л,Х),

- в случае голономности Н-распределения или взаимности Л-, Ь-, М -подрасслоений.

Доказано (теорема 111.2), что если на оснащенном в смысле Нордена -Картана Л -подрасслоений оснащающая плоскость Картана К„-г-\ неподвижна, то индуцируемая в расслоении его нормалей 1-го рода связность является плоской тогда и только тогда, когда она

полуплоская

Для нормальных связностей, индуцируемых на оснащенном в смысле Нордена - Картана Л -подрасслоений, найдены условия попарного совпадения и вырождения троек, четверок связностей в одну связность (теоремы Ш.З - Ш.6 и следствия из них):

1) нормальные связности V1 (Л = 1,3) И V1 совпадают тогда и только тогда, когда поле нормалей первого рода определяется, соответственно, полями квазитензоров второго порядка,

2) нормальные связности V1 И Vх совпадают тогда и только тогда, когда нормализация -подрасслоения является взаимной,

3) если Л-подрасслоение нормализовано полями нормалей Фубини

(в случае полями нормалей Михэйлеску Мрл, М"р или

Ф5

полями нормалей Вильчинского то нормальные связности V1

ФО

и совпадают,

4) каждая тройка нормальных связностей ^"^У^У1), где /4 = 1,3 вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда полем нормалей

1-ю рода являются, соответственно, поля квазитензоров Hpn, Н рп и

нормализация взаимная,

5) нормальные связности VA, V1, V1 вырождаются в одну связность тогда и только тогда, когда Л-подрасслоение нормализовано полями нормалей Фубини

Ф4 Ф6 Ф1

6) тройка нормальных связностей (V^V^V1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда любые две из них совпадают; аналогичное утверждение имеет место для троек нормальных связностей

Ф4^ Ф7^ Ф4^ Ф8^ ФЗ^

На оснащенном в смысле Нордена - Картана Л -подрасслоении с полем симметрического тензора имеют место следующие утверждения

(теоремы Ш.7 - III. 11 и следствия из них):

ф4 ф6 ф1

1) любые две нормальные связности из каждой тройки (VA,V jV1),

Ф4 Ф7 Ф2 Ф4 Ф8 ФЗ ФО

совпадают со связностью тогда и только тогда, когда Л-подрасслоение нормализовано, соответственно, полями нормалей (Ял',Я°), {Н[,Н%

2) нормальные связности VA, V1, VA И V1 вырождаются в одну связность тогда и только тогда, когда -подрасслоение нормализовано полями нормалей i(Я',Я°); аналогичное утверждение имеет место для

ФО Ф4 Ф7 Ф2

каждой из четверок нормальных связностей

ФО Ф4 Ф8 ФЗ

в случае, когда -подрасслоение нормализовано, соответственно, полями нормалей (Я^,Я"),

3) любые две нормальные связности из тройки (V^V^V1) совпадают тогда и только тогда, когда полем нормалей 2-го рода является поле квазитензора

ф4 ф7 02

4) любые две нормальные связности в каждой из троек (V , V ), ф4 ф8 фз

(У^У^У1) совпадают тогда и только тогда, когда полем нормалей 2-го рода являются, соответственно, поля квазитензоров

ф4 ф6 ф1 ф4 ф7 ф2

5) любая из троек нормальных связностей (У1,У1,У1) (У1,У1,У1),

ф4 ф8 фз

(У1, У1, У1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда полем нормалей 2-го рода служат, соответственно, поля нормалей Нйр,

6) на оснащенном в смысле Нордена - Картана, регулярном Л-

ф4 фо

подрасслоении, нормальные связности совпадают, если полями

нормализующих объектов в первой дифференциальной

окрестности являются поля нормалей

7) на регулярном, оснащенном в смысле Нордена - Картана Л-подрасслоении с полем симметрического тензора нормальные

фи

связности V

ФО

и V1

совпадают тогда и только тогда, когда подмногообразие Л коинцидентное.

Приведены строения компонент тензоров кривизны-кручения R ^

ФУ

связностей V ,

Центральным результатом §2 является теорема III. 1 *: на оснащенном в смысле Нордена - Бортолотти Л-подрасслоении в расслоении нормалей

Фу

второго рода индуцируются двадцать четыре нормальные связности двойственные V 1, задаваемые системами слоевых форм {© ® ¡¡},

причем связности . определены при а связности

будут совпадать:

- в случае голономного Л -подрасслоения;

- в случае голономности М-подрасслоения или в случае, когда М-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л,£);

- в случае голономности -распределения или взаимности М -подрасслоении.

Справедливы утверждения, двойственные теоремам §1, гл. III:

1) если на оснащенном в смысле Нордена - Бортолотти Л-подрасслоении оснащающая гиперплоскость Бортолотти неподвижна,

то индуцируемая в расслоении нормалей второго рода связность является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская,

2) индуцируемая на оснащенном в смысле Нордена - Бортолотти

М и ф|

подрасслоении тройка нормальных связностей вырождается в

одну связность тогда и только тогда, когда любые две из них совпадают, аналогичное утверждение имеет место для троек нормальных связностей

3) на регулярном, оснащенном в смысле Нордена - Бортолотти подрасслоении с полем симметрического тензора нормальные

связности совпадают тогда и только тогда, когда

подмногообразие л коинцидентное,

4) на оснащенном в смысле Нордена - Бортолотти Л -подрасслоении с

ФТ

полем симметрического тензора подтензор тензора кривизны-

■у

кручения любой из нормальных связностей обращается в нуль тогда и только тогда, когда Л -подрасслоение голономно.

На оснащенном в смысле Нордена - Бортолотти, взаимном с полем симметрического тензора -подрасслоении имеем предложения,

двойственные теоремам §1 третьей главы:

1) нормальные связности совпадают тогда и только тогда, когда полем нормалей второго рода является, соответственно, поле нормалей Михэйлеску

2) нормальные связности совпадают тогда и только тогда, когда нормализация -подрасслоения является взаимной (например, таковой является нормализация Фубини Михэйлеску и

т. Д.),

фо фз ф?

3) тройка нормальных связностей , вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда -подрасслоение нормализовано полями нормалей Фубини

и

4) для того чтобы четверка нормальных связностей

фо ф4 ф1 ф6 ф5

вырождалась в одну связность, необходимо и достаточно, чтобы Л-подрасслоение было нормализовано полями нормалей Михэйлеску /И°,

ф4 ф] ф6 ф5

5) любые две связности из тройки (V1,V1,V1= V1) совпадают тогда и только тогда, когда полем нормалей первого рода служит поле нормалей Михэйлеску от',

6) нормальные связности V"1 И V1 совпадают, если полями нормализующих объектов {v^, V®} В первой дифференциальной окрестности являются поля нормалей

В §3 показано, что на сильно оснащенном Л-подрасслоении (т. е. на Л-подрасслоении, оснащенном в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти одновременно) в расслоении нормалей 1-го и 2-го рода индуцируется по

фч<

двадцать четыре нормальных попарно двойственных связностей и

фу

V (теорема III. 13).

Доказано (теорема III. 14), что если на сильно оснащенном Л-подрасслоении оснащающие плоскости Картана и Бортолотти

неподвижны, то нормальные связности являются полуплоскими,

а следовательно (см. теоремы Ш.2 и Ш.2*), плоскими тогда и только тогда, когда подмногообразие Л либо согласованно оснащено либо

является взаимным с полем симметрического тензора

В §4 рассмотрены поля плоскостей, являющиеся параллельными в исследуемых нормальных связностях. Показано (теоремы III. 15 - III. 17), что:

1) поле L-плоскостей (М-плоскостей) переносится параллельно в

каждой нормальной связности тогда и только тогда, когда

выполняются аналитические условия, имеющие следующую геометрическую интерпретацию:

- М-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему

- М-подрасслоение голономно;

-распределение представляет собой -параметрическое

семейство тангенциально вырожденных гиперполос

2) поле Е-плоскостей (¥ -плоскостей) переносится параллельно в

каждой нормальной связности V1 (V1) тогда и только тогда, когда

-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему

(А,Е);

¥ -подрасслоение голономно;

?^(П)-распределение представляет собой (и-г)-параметрическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос ;

3) пара распределений переносится параллельно в

каждой из нормальных связностей тогда и только тогда, когда

-распределение представляет собой -параметрическое

семейство регулярных гиперполос со скомпонованным полем

характеристик

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

Построены основы проективно-дифференциальной геометрии т-полосных распределений -распределений), что выражено в

следующих основных результатах:

1) построены поля фундаментальных и охваченных объектов И(П)-распределения, построены инвариантные поля нормалей -подраслоения данного Н{ Щ-распределения;

2) построен двойственный образ -распределения;

3) построены инвариантные оснащения в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти Л-подраслоения данного %(П)-распределения;

4) построены двойственные центропроективные (нормальные) связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго рода Л-подрасслоения данного Н(П) -распределения.

Работы автора, опубликованные по теме диссертации

1. Елисеева НА. Н(П) -распределения проективного пространства // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского: Материалы Междунар. молодежной школы-конф. «Лобачевские чтения». - Казань, 2001. - Т. 12 -С. 86.

2. Елисеева НА. Оснащенные полосные распределения проективного пространства // Труды Российской ассоц. «Женщины-математики». Математика. Образование. Экономика. Экология. Междисципл. семинар «Нелинейные модели в естественных и гуманитарных науках». - Ниж. Новгород, 2001. - Т. 9. - Вып. 1. - С. 49-54.

3. Елисеева НА. Введение проективных связностей на %(П)-распределении // Проблемы мат. и физ. наук: Материалы постоян. науч. семинаров. Калининград, 2001. - С. 11-14.

4. Елисеева НА. -распределения проективного пространства. -Калининград, 2002. - 49 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 01.02.2002, №206-В2002.

5. Елисеева НА. Двойственный образ -распределения проективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур.

- Калининград, 2002. - №33. - С. 29-34.

6. Елисеева НА. Инвариантные оснащения Н(П) -распределения в смысле Э. Бортолотти // Проблемы мат. и физ. наук: Материалы постоян. науч. семинаров. Калининград, 2002. - С. 31-33.

7. Елисеева НА. Полосные распределения проективного пространства // Доклады Междунар. матем. семинара: К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета.

- Калининград, 2002. - С. 105-115.

8. Елисеева Н.А. Двойственные нормальные связности Н(П)-распределения, ассоциированные с Л-подрасслоением. - Калининград, 2003. - 96 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 06.02.2003, №233-В2003.

9. Елисеева Н.А. Двойственные нормальные связности ?{(П)-распределения, ассоциированные с подрасслоениями L и М. -Калининград, 2003. - 117 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 23.07.2003, №1442-В2003.

10. Елисеева Н.А. Изучение двойственных нормальных связностей т-полосного распределения // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. -Казань, 2003. - Т. 21 - С. 105-107.

11. Елисеева Н.А. Изучение двойственных нормальных связностей распределения, ассоциированных с Л-подрасслоением //

Современные проблемы науки и образования: Матер. 4-й Междунар. междисципл. науч.-практ. конф., г. Ялта. - Харьков, 2003. - С. 27.

12. Елисеева Н.А. Пучки плоскостей Нордена - Тимофеева распределения // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 2003. - №34. - С. 42-49.

Елисеева Наталья Александровна

"Н(П) -распределения проективного пространства

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 10.IX.2004. Формат 60х901/]б. Бумага для множительных аппаратов. Ризограф. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ 189

Издательство Калининградского государственного университета, 236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14.

«197 9

РНБ Русский фонд

2005-4 17306

Общая характеристика работы.

1. Постановка вопроса.

2. Актуальность темы.

3. Цель работы.

4. Методы исследования.

5. Научная новизна полученных результатов.

6. Теоретическая и практическая значимость.

7. Апробация.

8. Публикации.

9. Вклад автора в разработку избранных проблем.

10. Структура и объем работы.

11 .Некоторые замечания.

Содержание диссертации.

ГЛАВА I. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов Н(П) -распределения.

§ 1. Дифференциальные уравнения Н(Т1) - распределения проективного пространства.

§2. Поля фундаментальных и охваченных объектов регулярного

Н(П) - распределения.

§3. Поля нормалей базисного А - подрасслоения данного

Н(Щ- распределения.

ГЛАВА II. Двойственный образ 7^(П) -распределения.

§1. Построение двойственного образа Н(П) -распределения.

§2. Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного

Н(П) -распределения в смысле Э. Картана.

§3. Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного

7-£(П) -распределения в смысле Э. Бортолотти.

ГЛАВА III. Двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго рода базисного А-подрасслоения данного 7^(П)-распределения.

§ 1. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на Л-подрасслоении.

§2. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на Л-подрасслоении.

§3. Двойственные нормальные связности сильно оснащенного

Л-подрасслоения.

§4. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях.

1. Постановка вопроса, В данной работе представлены исследования по теории т-полосных распределений (т<п-1) проективного пространства

Рп

Определение. Пару распределений соответственно г -мерных плоскостей Л (Л-распределение) и т-мерных плоскостей М (М-распределение) проективного пространства Рп с отношением инцидентности

ХеАсМ (\<г <т<п-\) их соответствующих элементов в каждом центре X назовем т -полосным распределением П или, короче, П-распределением, в котором А -распределение назовем базисным, а М-распределение — оснащающим распределением.

Показано, что к П-распределению в первой дифференциальной окрестности внутренним образом присоединяется распределение гиперплоскостей Н (//-распределение). П-распределение, оснащенное полем Н-плоскостей, назовем 7^(П)-распределением. Ясно, что теория Праспределений (точнее 7^(П) -распределений) проективного пространства Рп включается в общую теорию распределений в однородных пространствах.

Дифференциальная геометрия распределений многомерных линейных элементов в однородных и обобщенных пространствах была предметом многочисленных исследований, причем во многих работах она именовалась геометрией неголономных многообразий. Геометрия распределений в однородных пространствах, восходящая к работам Г. Врэнчану, В. Гловатого, И.А. Схоутена (см. обзор в работе [93]), Е. Бомпьяни [132], А. Пантази [142], Д.М. Синцова [77], В.В. Вагнера [148], в последние десятилетия интенсивно изучается с различных точек зрения. С одной стороны, это объясняется многочисленными связями данной теории с различными разделами геометрии, а также близостью теории распределений к теории подмногообразий однородных пространств. С другой стороны, теория распределений получила дальнейшее развитие благодаря новому подходу к исследованию распределений с применением современных теоретико-групповых методов исследования. Так, например, в работах Г.Ф. Лаптева и Н.М. Остиану [37], [41], [42], [56] при изучении теории распределений были применены инвариантные методы изучения дифференциально-геометрических структур. Кроме того, истолкование, например, распределения ш-мерных элементов в Рп как расслоенного многообразия специального типа расширяет и обновляет проблематику этой теории [57], превращая ее в одну из наиболее актуальных проблем дифференциальной геометрии.

При изучении структуры 7^(П)-распределений главным направлением исследований являются двойственные нормальные связности 7i( П) распределения. Теория связностей в различных расслоенных пространствах составляет важное направление исследований современной дифференциальной геометрии. Начало этой теории положила в 1917 г. работа Леви-Чивита [139] о параллельном перенесении вектора в римановом пространстве. Эта идея нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. Для построения единой теории поля Г. Вейль [149] дал понятие пространства аффинной связности. Р. Кениг [138] рассматривал линейные связности в векторном расслоении над областью числового пространства. В 1926 году Э. Картан ввел общее понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой G» [135]. Связь между концепциями Кенига и Картана установил И.А. Схоутен [143], [144]. В 1950 г. В.В. Вагнер [7], [8] и Ш. Эресман [137] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Дальнейшее развитие теории связностей с привлечением методов Э. Картана и теории геометрических объектов дано в работах Г.Ф. Лаптева [37], [38], [40], где он отождествил понятие связности, возникшее как обобщение понятия параллельного переноса, с понятием геометрического объекта специального вида. Объект связности, согласно теории Г.Ф. Лаптева [58], является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы соответствующего порядка (например, проективной дифференциальной группы [40]). Очерк дальнейшего развития теории связности приведен в работе Ю.Г. Лумисте [44].

Важное место в дифференциальной геометрии расслоенных пространств занимает теория связностей в однородных расслоениях и ее применение при изучении оснащенных многообразий, погруженных в различные пространства.

Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [37], [58] если на нем определено поле некоторого геометрического объекта ga (поле оснащающего объекта многообразия): где coh - главные (первичные) формы, а со"2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии, тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций (g), определяющих оснащающий объект ga. В зависимости от строения основных функций y/°2(g) получаем различные оснащения погруженного многообразия (например, в смысле А.П. Нордена [55], Э. Картана [134], Э. Бортолотти [133] и др.).

В.В. Вагнер [147], а затем и Ю.Г. Лумисте [43] с помощью теории связностей в однородных расслоениях исследовали геометрию многообразий плоскостей в классических пространствах.

Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразий евклидова пространства и пространства постоянной кривизны, рассматривал еще Э. Картан [134]. Понятие нормальной связности в проективном пространстве независимо друг от друга ввели А.П. Норден [55] (он называет такую связность внешней) и Chen B.Y. [136], далее отметим исследования А.В. Чакмазяна [46], [118], [121]. Значительная часть результатов изучения геометрии подмногообразий с помощью нормальной связности включена в монографию Chen B.Y. [136] и освещена в работе Ю.Г. Лумисте [45]. Обзор результатов более поздних исследований содержится в работе [46]. В работах [5], [121], [116], [117] изучаются оснащенные подмногообразия аффинного пространства с плоской нормальной связностью.

В настоящее время (в связи с актуальностью проблемы) продолжаются исследования по теории нормальных связностей на различных подмногообразиях классических пространств. Прежде всего, отметим цикл работ А.В. Чакмазяна [114] - [121] по изучению подмногообразий проективного, аффинного, проективно-метрического, евклидового пространств с привлечением связностей в нормальных расслоениях. Затем, ряд работ А.В. Столярова [78] - [92], который вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и гиперполосном распределении пространства проективной связности (проективного пространства). Конструкция двойственных пространств с проективной, аффинной и нормальными связностями, разработанная А.В. Столяровым [88], позволяет существенно продвинуться в изучении (исследовании) геометрии оснащенных подмногообразий (в том числе и неголономных).

П.А. Фисунов [97] - [106] и С.В. Фисунова [107] - [111], а так же в их совместных работах [112], [113] продолжают исследования двойственных нормальных связностей, соответственно, на гиперполосах, гиперполосных распределениях и на гиперплоскостных распределениях, гиперповерхностях проективного пространства. Работы Л.Ф. Филоненко [94], [95], А.В. Столярова [91], [92], А.Н. Михайловой [52] - [54] посвящены исследованиям линейных нормальных связностей на распределениях и гиперполосах конформного пространства.

Ассоциируя связность с полями плоскостей специального типа, А.К. Рыбников [75] изучает проективные и конформные связности (в частности, нормальную связность) на гладком многообразии.

Ю.И. Попов [65], [66] исследует нормальные аффинные связности на оснащенной гиперполосе аффинного пространства. Т.Ю. Максакова [47], [48] исследует двойственные нормальные аффинные и проективные связности на тангенциально вырожденной гиперполосе проективного пространства, а С.Ю. Волкова [13] - [16] - на скомпонованных трехсоставных распределениях (S-распределениях) проективного пространства. С.Н. Юрьева [131] изучает линейные аффинные связности, индуцируемые полями нормалей первого рода на гиперполосном распределении аффинного пространства. Ю.И. Шевченко [123] изучает связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями.

Предметом изучения настоящего диссертационного исследования является Н(П) -распределение и нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей на оснащенном базисном Л-подрасслоении Н{П)-распределения, погруженного в п -мерное проективное пространство Рп.

2. Актуальность темы. Актуальность исследуемой темы обусловлена с одной стороны тем, что в интенсивно развивающихся теориях расслоений и связностей, дифференциальной геометрии подмногообразий грассманова многообразия и многообразий пар фигур (при этом теория распределений трактуется как составная часть одной из указанных теорий, либо теснейшим образом с ней связана) исследование гиперполос, занимает исключительно важное место в связи с приложением в вариационном исчислении, в физике, в механике (например, [7], [19], [83]). Да и сама теория распределений (в различных пространствах), как это показано в работах [140], [146], [64], [145] связана с приложениями в механике, теоретической физике, вариационном исчислении и в динамике склерономных механических систем с нелинейными связями [7], [19]. С другой стороны, теория связностей в однородных расслоениях составляет одно из основных направлений исследования современной дифференциальной геометрии, особенно это касается исследований разнообразных структур на многообразиях. Эта теория в расслоенных пространствах находит широкое применение в современной теоретической физике. Это связано с прогрессом теории калибровочных полей, которые соответствуют связностям в главных расслоенных пространствах.

При изучении связностей широко применяются классические результаты известных ученых, таких как Э. Картан [33], [134], [135], Г.Ф. Лаптев [34], [36], [40] и А.П. Норден [55]. В частности, А.П. Норден разработал метод нормализации, позволяющий индуцировать аффинные связности в касательных расслоениях подмногообразий, погруженных в различные пространства. П.А. Широков и А.П. Широков [129] исследовали локальное строение подмногообразий в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении. Двойственную теорию оснащенных подмногообразий разработал А.В. Столяров [88].

В рамках теории связностей чаще всего находят приложение, например, линейные связности при изучении геометрии оснащенных подмногообразий (см., например, [5], [70], [46], [55], [116], [122], [130]). При этом в классических однородных пространствах исследования ограничивались, в основном, изучением связностей а) в касательных расслоенных пространствах оснащенного подмногообразия, б) в случае, когда данное подмногообразие является голономным, в) без привлечения теории двойственности.

Следует отметить, что нормальные связности на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства, рассматривались в работах ряда геометров (см., например, [45], [46], [55], [84], [121], [136]). Однако, с 90-х годов XX века усилились исследования геометрии связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях (распределениях) и двойственных нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях (как голономных, так и неголономных) благодаря работам А.В. Столярова [88], [89] и его учеников П.А. Фисунова [97] - [106], С.В. Фисуновой [107] - [111], А.Н. Михайловой [52], [53], Д.А. Абрукова [1], [2].

Все вышесказанное подтверждает актуальность темы исследования и раскрывает основные цели работы.

Цель работы. Цель диссертационной работы - заложить основы построения проективно-дифференциальной геометрии ш-полосных распределений (7^(П) -распределений). Для достижения этой цели в диссертационной работе решены следующие задачи: построение полей фундаментальных и охваченных объектов 7^(П) -распределения, построение инвариантных полей нормалей А-подраслоения данного 7^(П) -распределения; построение двойственного образа Н(П) -распределения; построение инвариантных оснащений в смысле Э. Картана и

3. Бортолотти Л-подраслоения данного 7i(П) -распределения; построение двойственных центропроективных (нормальных) связностей, индуцируемых в расслоениях нормалей первого и второго рода Л-подрасслоения данного 7^(П) -распределения.

4. Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [37] и метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [96]. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях высоких (до третьего) порядков.

В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно в репере первого порядка; это позволило получить их в инвариантной форме. Следует также заметить, что геометрия нормальных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф. Лаптевым [37].

5. Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше задач см. цель работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что:

7^(П)-распределение, его двойственный образ и двойственные нормальные связности 7i( П) -распределения ранее в геометрии распределений не изучались; в работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных т -полосных распределениях проводится инвариантными аналитическими методами [37], [96] посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия. В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

6. Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий. Так, например, отметим, что проективно-дифференциальная геометрия 7^(П) -распределений может найти и находит теоретическое применение при исследовании нормальных подрасслоений и подрасслоений касательного расслоения поверхностей полного или неполного ранга, двухсоставных [124] - [128] и трехсоставных [60] - [64] распределений, скомпонованных распределений [13] - [18], специальных классов регулярных гиперполос [10] -[12], [68], вырожденых гиперполос [47] - [49], а также при изучении дифференциально-геометрических структур на распределениях [67] проективного пространства.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно: а) по теории полосных распределений проективного пространства; б) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью.

7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре высшей алгебры и геометрии Калининградского государственного университета (2000, 2003 гг.), на IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология» (Чебоксары, ЧТУ, 2001 г.), на Международном математическом семинаре «К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета» (Калининград, КГУ, 2002 г.), на IV Международной междисциплинарной научно-практической конференции «Современные проблемы науки и образования» (Ялта, 2003 г.), на третьей Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2003» (Казань, 2003 г.), на заседании научно-исследовательского семинара по геометрии Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2004 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (2004 г.), при подготовке отчета в рамках Санкт-Петербургского конкурса грантов для студентов, аспирантов и молодых специалистов (категория гранта: кандидатский проект, № гранта: М02-2.1К-739) по теме «Н(П)-распределения проективного пространства» (диплом АСП №302176).

8. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в 12 печатных работах [21] - [32] автора.

9. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

1. Абруков Д.А. Распределения гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. -Чебоксары: ЧПГУ, 2001. -В.9. -С. 9-15.

2. Абруков Д.А. О взаимном распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве. Чебоксары, 2001. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 2001 -№872-В2001.

3. Акивис М.А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1966. - Т. 1. - С.7-31.

4. Акивис М.А., Чакмазян А.В. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства, допускающих параллельное нормальное векторное поле // ДАН СССР.- 1975.- Т.60. №3. - С.137-143.

5. Акивис М.А., Чакмазян А.В. О подмногообразиях евклидова пространства с плоской нормальной связностью // ДАН АрмССР. 1976. - Т.62. - №2. -С.75-81.

6. Вагнер В.В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии // ДАН СССР. 1945. - Т.46. - №8. - С.335-338.

7. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. 1950. - Вып.8. - С. 197-272.

8. Вагнер В.В. Теория составного многообразия // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. 1950. - Вып.8. - С. 11-72.

9. Василян М.А. Проективная теория многомерных гиперполос // Изв. АН АрмССР. Мат. 1977. - Т.6. - №6. - С.477-481.

10. Волкова С.Ю. Касательно (/*,/)- оснащенные гиперполосы SHmпроективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1994. №25. - С.28-37.

11. Волкова С.Ю. Нормализации Нордена-Чакмазяна, ассоциированные с регулярной гиперполосой Hr(L) проективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1996. - №27. - С.24-33.

12. Волкова С.Ю. Инвариантные подпространства, ассоциированные с регулярной гиперполосой Hr{L) II Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1997. - №28. - С.23-21.

13. Волкова С.Ю. Двойственные аффинные связности S-распределения // Дифференц. геометрия, многообразий фигур. Калининград, 1999. - №30. -С.21-26.

14. Волкова С.Ю. Двойственные проективные связности S-распределения // Дифференц. геометр, многообразий фигур. Калининград, 2000. - №31-С. 17-24.

15. Волкова С.Ю. Двойственные аффинные и проективные связности S-распределения. Калининград, 2001. - 70 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 15.08.2001 -№1871-В2001.

16. Волкова С.Ю. О двойственных проективных связностях S-распределения // Дифференц. геометр, многообразий фигур. Калининград, 2001- №32-С.22-29.

17. Волкова С.Ю. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов S-распределения. Калининград, 2001 - 96 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 2001 -№343-В2001.

18. Волкова С.Ю. Скомпонованные распределения проективного пространства // Изв. вузов. Мат. 2001. - №7(470). - С.69-72.

19. Гохман А.В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1966. - T.l - С.111-138.

20. Домбровский Р.Ф. К геометрии касательно оснащенных поверхностей в Р„ // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1974. - Т.6. - С.171-188.

21. Елисеева Н.А. 7i{П) -распределения проективного пространства // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Материалы Межд. молодежной школы -конф. «Лобачевские чтения» Казань, 2001. - Т.12 - С.86.

22. Елисеева Н. А. Введение проективных связностей на 7^(П) -распределении // Проблемы мат. и физ. наук: Материалы пост. науч. семинаров. Калининград, 2001.-С.11-14.

23. Елисеева Н.А. "Н(П) распределения проективного пространства. -Калининград, 2002. - 49 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 01.02.2002 - №206-В2002.

24. Елисеева Н.А. Двойственный образ Н(П) -распределения проективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград,2002. -№.33. С.29-34.

25. Елисеева Н.А. Инвариантные оснащения 7i(Il)-распределения в смысле Э. Бортолотти // Проблемы мат. и физ. наук: Материалы пост. науч. семинаров. Калининград, 2002. С.31-33.

26. Елисеева Н.А. Полосные распределения проективного пространства // Доклады Межд. матем. семинара: К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кёнигсберга и 25-летию математического факультета. -Калининград, 2002. С. 105-115.

27. Елисеева Н.А. Двойственные нормальные связности ТС(П)~распределения, ассоциированные с А-подрасслоением. Калининград, 2003. -96 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 06.02.2003 - №233-В2003.

28. Елисеева Н.А. Двойственные нормальные связности 7^(П)-распределения, ассоциированные с подрасслоениями L и М. Калининград,2003. 117 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 23.07.2003 - №1442-В2003.

29. Елисеева Н.А. Изучение двойственных нормальных связностей ш-полосного распределения // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. -Казань, 2003. Т.21 - С.105-107.

30. Елисеева Н.А. Изучение двойственных нормальных связностей Л(ТГ)~распределения, ассоциированных с А-подрасслоением // Современные проблемы науки и образования: Матер. 4-й Межд. междисципл. науч.-практ. конф. г.Ялта. -Харьков, 2003. С.27.

31. Елисеева Н.А. Пучки плоскостей Нордена-Тимофеева Н(П) -распределения // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 2003. -№.34. - С.42-49.

32. Картам Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

33. Лаптев Г.Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности // ДАН СССР. 1943. -41. - №8. - С.329-391.

34. Лаптев Г.Ф. Аффинное изгибание многообразий с сохранением внутренних геометрий // ДАН СССР. 1945. - 58. - №4. - С.529-531.

35. Лаптев Г.Ф. О погружении пространства аффинной связности в аффинное пространство // ДАН СССР. 1945. - 47. - №8. - С.551-554.

36. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва. 1953. - Т.2. - С.275-382.

37. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всес. Мат. съезда. 1961, 1964. - Т.2. - С.226 - 233.

38. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Геометрия. 1963 / Итоги науки ВИНИТИ АН СССР. 1965. - С.5-64.

39. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР 1966.-Т.1.-С.139-189.

40. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. О распределениях m-мерных линейных элементов в n-мерном проективном пространстве. М., 1971. 16с. - Деп. в ВИНИТИ АН СССР. - №3683-71.

41. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения ш-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геометр. семинара/ВИНИТИ АН СССР 1971. - Т.З. - С.49-94.

42. Лумисте Ю.Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуск. Ун-та. 1965. - В.177. - С.6-42.

43. Лумисте Ю.Г. Теория связностей в расслоенных пространствах // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969 / ВИНИТИ АН СССР 1971 -С.123-168.

44. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР 1975. - Т. 13. -С.273-340.

45. Лумисте Ю.Г., Чакмазян А.В. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны II Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР 1980. -Т. 12.-C.3-30.

46. Максакова Т.Ю. Двойственные нормальные связности на вырожденной гиперполосе // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 2001. - №32. - С.65-69.

47. Максакова Т.Ю. Двойственные аффинные связности гиперполосы CHrm И Дифференц. геометрия, многообразий фигур. Калининград, 2002. - №33. -С.48-53.

48. Максакова Т.Ю. Двойственный образ центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы CHrm И Дифференц. геометр, многообразий фигур. -Калининград, 1999. №30. - С.50-54.

49. Малаховский B.C. К геометрии касательно оснащенных подмногообразий // Изв. вузов. Мат. 1972. - №9. - С.54-65.

50. Малаховский B.C. Введение в теорию внешних форм: Учеб. пособие. -Калининград, 1978. - 4.1. - 84 е.; - 1980. - 4.2. - 84 с.

51. Михайлова А.Н. Аффинные связности и сети на нормально оснащенной гиперполосе конформного пространства. Чебоксары, 2001. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 2001 -№ 1950-В2001.

52. Михайлова А.Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства. Чебоксары, 2001. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 2001 -№ 719-В2001.

53. Михайлова А.Н. Ортогональные сети на гиперполосе конформного пространства // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Материалы Межд. молодежной школы конф. «Лобачевские чтения». - Казань, 2001. - Т. 12 -С.103-104.

54. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. -432 с.

55. Остиану Н.М. Распределение m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. геометр. семинара/ВИНИТИ АН СССР. 1971.-Т.З.-С.95-114.

56. Остиану Н.М., Балазюк Т.Н. Многообразия, погруженные в пространства проективной структуры // Проблемы геометрии. М., 1978. Т.10. - С.75-115.

57. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1973. - Т.4. - С.7-70.

58. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности // Тр. геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР. 1966. - Т.1. - С.239-263.

59. Попов Ю.И. Трехсоставные регулярные распределения НТтпхпроективного пространства. Калининград, 1982. - 126 с. - Деп. в ВИНИТИ АН СССР 16.12.82 - № 6192-82.

60. Попов Ю.И. Инвариантные подпространства, ассоциированные с Н(М(А)) -распределением проективного пространства. I. Калининград, 1984. - 93 с. - Деп. в ВИНИТИ АН СССР 02.07.84. - №4481-84.

61. Попов Ю.И. Инвариантные подпространства, ассоциированные с Н(М(А)) -распределением проективного пространства // Тез. докладов VI Прибалтийской геометрической конференции. Таллинн, 1984. - С.96-97.

62. Попов Ю.И. О голономности Н(М(А)) -распределения // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1984. -№15. - С.71-77.

63. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства: Монография //Из-во С.-Петербургского ун-та, 1992. 172 с.

64. Попов Ю.И. Нормальная аффинная связность оснащенной гиперполосы аффинного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1998. №29. - С.53-59.

65. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос аффинного пространства.: Учеб. пособие. Калининград, 2001.- 112 с.

66. Попов Ю.И. Почти контактные структуры многообразия И Изв. вузов. Мат. 2002. - №1(476). - С.57-63.

67. Попов Ю.И. Кооснащенные гиперполосы проективного пространства. -Калининград, 2003. 40 е.- Деп. в ВИНИТИ РАН 22.12.2003 - №2223-В2003.

68. Попов Ю.И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства. Калининград, 2003. - 35 е.- Деп. в ВИНИТИ РАН 29.09.2003- №1743-В2003.

69. Попов Ю.И. О двойственности трехсоставных распределений. -Калининград, 2004. 17 е.- Деп. в ВИНИТИ РАН 26.01.04 - №131-В2004.

70. Попов Ю.И. Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос: Учеб. пособие. Калининград, 1992, -80 с.

71. Попова Т.Ю. Нормальная центропроективная связность гиперполосыCHrm проективного пространства // Дифференц. геометрия многобразий фигур. -Калининград, 1998. №29. - С.59-63.

72. Похша М.М. Обобщенные многомерные полосы // Тез. докладов 6-й Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. Вильнюс, 1975. - С. 198-199.

73. Похша М.М. Инвариантные оснащения многомерных полос проективного пространства // Тез. докл. Всес. конф. по неевклидовой геометрии «150 лет геометрии Лобачевского». Казань, 1976. - С.170.

74. Рыбников А.К. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Мат. 1986. - №7. - С.60-69.

75. Рыжков В.В. Сопряженные системы на многомерных поверхностях // Тр. Моск. матем. об-ва. 1958. - Т.7. - С.179-226.

76. Синцов ДМ. Работы по неголономной геометрии. Киев. -1972. - 294с.

77. Столяров А.В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат. 1975. - №10. - С.97-99.

78. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения ш-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. 1975. - Т.7. - С.117-151.

79. Столяров А.В. Условие квадратичности регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат. 1975. - №11. - С.106-108.

80. Столяров А.В. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространств проективной связности // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. -Т.8.- С.25-46.

81. Столяров А.В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе // Изв. вузов. Мат. 1977. -№8. - С.68-78.

82. Столяров А.В. Дифференциальная геометрия полосы // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.- М., 1978. Т.10. -С.25-54.

83. Столяров А.В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности I. // Изв. вузов. Мат. 1980. - №1. - С.79-82.

84. Столяров А.В. Двойственная теория гиперполосного распределения и ее приложения // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1982. -№ 13. - С.95-102.

85. Столяров А.В. Двойственная теория регулярной гиперполосы Нт а Рпп

86. Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1988. - №19. -С.88 -93.

87. Столяров А.В. Об оснащениях в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти регулярной гиперполосы // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1991. №22. - С.104-108.

88. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд. Чебоксары, 1994. - 290с.

89. Столяров А.В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). Чебоксары, 1996. - №6. - С.9-14.

90. Столяров А.В. Об оснащениях неголономной гиперповерхности // Изв. НАНИ ЧР (физ.-мат. науки). Чебоксары, 1997. - №4. - С.25-29.

91. Столяров А.В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных распределений. Чебоксары, 2000. - 21 с. -Деп. в ВИНИТИ РАН 2000 -№ 629-В00.

92. Столяров А.В. Линейные связности на распределениях конформного пространства // Изв. вузов. Мат. -2001. № 3(466). - С.60-72.

93. Схоутен И. А., Стройк Д.Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии // Пер. с нем. T.I. М.; Л., 1939. 182 е.; Т.П. М., 1948. - 346 с.

94. Фшоненко Л.Ф. Квадратичная гиперполоса и нормальные связности подмногообразия конформного пространства // Уч. зап. Тарт. ун-та. 1988. -№803.-С.115-131.

95. Фшоненко Л.Ф. Распределение m-мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1995. - №26. - С.89-102.

96. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М., JL, 1948. - 432 с.

97. Фисунов П.А. Связность в нормальных расслоениях на гиперполосном распределении // Сб. науч. тр. студентов и аспирантов. Чебоксары: 41 ПИ,1997. В.2. - С.59-63.

98. Фисунов П.А. Нормальные связности на оснащенном гиперполосном распределении // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. — Чебоксары: ЧПГИ, 1998. -В.З. С.13-18.

99. Фисунов П.А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперполосе. Чебоксары, 1998. - 20 с. -Деп. в ВИНИТИ РАН1998.-№3394-В98.

100. Фисунов П.А. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе. Чебоксары, 1998. - 17 с. -Деп. в ВИНИТИ РАН 1998.- №627-В98.

101. Фисунов П.А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов. Чебоксары, 1999. - 33 с. -Деп. в ВИНИТИ РАН 1999.-№1835-В99.

102. Фисунов П.А. Нормальные связности на плоских и конических гиперполосах // Сб. науч. тр. студ. и аспирантов. Чебоксары: ЧГПУ, 1999. -В.5.-С.14-17.

103. Фисунов П.А. Связности в нормальных расслоениях гиперполос специальных классов // XI Межд. летняя школа-семинар по совр. проблемам теоретич. и мат. физики: Тезисы докладов.- Казань, 1999. С.53.

104. Фисунов П.А. Связности в расслоениях нормалей второго рода на неголономной гиперполосе // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат. всеросс. школы-конф., посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. Казань, 1999. - С.234-235.

105. Фисунов П.А. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе. Чебоксары, 1998. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 1998 - №627-В98.

106. Фисунова С.В. Нормальные связности на распределениях гиперплоскостных элементов // Сб. науч. тр. студ. и аспирантов. Чебоксары, 1997. - В.2. - С.49-55.

107. Фисунова С. В. Двойственные нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов. Чебоксары, 1998. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 1998. - №1098-В98.

108. Фисунова С.В. Двойственные центропроективные связности в нормальных расслоениях на неголономной гиперповерхности // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. Чебоксары, 1998. - В.З. - Т.1. - С.3-8.

109. Фисунова С.В. Линейные связности на оснащенной регулярной гиперповерхности. Чебоксары, 1998. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 1998. -№2847-В98.

110. Фисунова С.В. Двойственные линейные связности на распределении гиперплоскостных элементов. // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1999, №30. - С.94-97.

111. Фисунова С.В., Фисунов П.А. Нормальные связности на оснащенном распределении m-мерных линейных элементов // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. Чебоксары, 1998. - В.4.-Т.1. - С. 1-5.

112. Фисунова С.В., Фисунов П.А. Связности в нормальных расслоениях распределения ш-мерных линейных элементов // Тез. докл. VII Межд. конф. «Математика. Экономика. Экология. Образование». Ростов-на-Дону, 1999. -С.108-109.

113. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР 1959. -Т.28. -№4.-С.151-157.

114. Чакмазян А.В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения // Тез. докл. Всес. геометр, конф. «150 лет неевклидовой геометрии». Казань, 1976. - С.209.

115. Чакмазян А.В. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства с плоской нормальной аффинной связностью // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1977. - С.120-129.

116. Чакмазян А.В. Об оснащениях с плоской нормальной связностью для подмногообразия аффинного пространства // Изв. вузов. Мат. -1978.-№1.-С.48-53.

117. Чакмазян А.В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Рп // Проблемы геометрии / Итоги науки и техникиВИНИТИ АН СССР. М., 1978. - Т. 10. - С.55-74.

118. Чакмазян А.В. Нормализованное по Нордену подмногообразие с параллельным полем нормальных направлений в Рп II Изв. вузов. Мат. 1980. -№1. - С.57-63.

119. Чакмазян А.В. О нормальной связности нормализованного многообразия плоскостей в проективном пространстве // Изв. вузов. Мат. 1984. - №7. -С.74-79.

120. Чакмазян А.В. Нормальная связность геометрии подмногообразий: Монография. Ереван, 1990. - 116с.

121. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М., 1983. -Т.15. - С.61-93.

122. Шевченко Ю.И. Связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Матер. Всеросс. школы-конф. Казань, 1999.-С.234-235.

123. Шейдорова Н.М. К геометрии двухсоставных распределений // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1983, - №14. -С.111-115.

124. Шейдорова Н.М. О нормализации двухсоставных распределений проективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1984. -№15. С. 111-114.

125. Шейдорова Н.М. Задание двухсоставных распределений ?^сРл // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1985. - №16. -С.110-112.

126. Шейдорова Н.М. Поле гиперплоскостей, ассоциированное с М(А)-распределением проективного пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. Калининград, 1986. - №17. - С.103-105.

127. Шейдорова Н.М. Введение проективных связностей в подрасслоениях М(Л)-распределения // Дифференц. геометрия многообразий фигур. -Калининград, 1987. №18. - С.121-123.

128. Широков ПЛ., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия. -М.: Физ.-мат. изд., 1959.

129. Шуликовкий В.И. Проективная теория сетей. Казань: Изд. Казанск.ун-та, 1964. - 78с.

130. Юрьева С.П. Гиперполосное распределение аффинного пространства // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Матер. Всеросс. школы-конф. Казань, 1999. - С.254-255.

131. Bompiani Е. Sulbe varieta anolonome // Rend. Dei Lincei.1938. Vol. XXVII. - P. 37-52.

132. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alia geometria metrica differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari. 1933. - V.3. - P. 81-89.

133. Cartan E. Les espaces £ connexion projective // Тр. семинара по векторн. и тензорн. Анализу. М., 1937. - Вып.4. - С.147-159.

134. Cartan Е. Les groups d'holonomie des espaces generalises 11 Acta math.-1926.-V.48. P. 1-42 (см. русск. перевод: Э. Картан. Группы голономии обобщенных пространств. Казань, 1939).

135. Chen B.Y. Geometry of submanifolds. New York, 1973. - P.308.

136. Ehresmann C. Les connectionsinfinitesimales dans espace fibre differentiable // Collque de Topologie. Bruxelles, 1950. - P.29-55.

137. Konig R. Beitrage zu einer allgemeiner Mannigfaltigkeitslehre. Jahresl // d. Deutsch. Math. Ver. 1920. - V.28. - P.213-228.

138. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismoin unavarieta qualunque e consequente specificazione geometrica della curvature Riemanniana // Rend. circ. matem.-Palermo, 1917. V.42. - P.l73-205.

139. LucrSrile conferinjei nationale de spafii neolonome, Ja§i, 28-30 mai 1976,-Bu6ure§ti // Ed. Acad. Rep. Popul. Roumaine. 1979. - 176 p.

140. Mihailescu T. Geometrie differentiala projectiva. Bucure§ti Acad. RPR, 1958.-494 p.

141. Pantazi A. Sur la deformation projective des surfaces non holomones de l'espace Ez // Bull. Math. Soc. Roum. Sci. 1943. - Vol.45. - P.39-47; Opera matematica // Ed. Acad. Rep. Popul. Roumaine. 1956. - 496 p.

142. Schouten J.A. Erlanger Programm und Ubertragunslehre. Neue Gesichtspunkte zur Grundlegung der Geometric // Rend. circ. matem.- Palerno, 1926.-V.50.-P. 142169.

143. Schouten J.A. Les connexions conformes et projective de E.Cartan et la connexion lineaire generale de la connexion lineaire generate de M.Konig // C. r. Acad. sci. 1924. - V.178. - P.2044-2046.

144. Schouten J.A., van Kampen E.R. Zur Einbettunge- und Krummungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Annal. Bd 103, H. 4-5. 1930. - S. 752-753.

145. Teodorescu Jon. D. Asupra teorici unitare eolonome // Stud. Si. Cer. Mat. 1981. Vol. 33. - # 6. - P.627-636.

146. Vagner V. Differential geometry of family of?1^ c: Pn in Rn and of the family of totally geodesic Skl s in of positive curvature // Матем.сб. 1954.-T. 10(52).-C.165-212.

147. Wagner V. Sur la geometrie differentiate des multiplicites anholonomes // Tp. сем. по вект. и тенз. анализу. 1935. - Вып. 2-3. - С.269-314.

148. Weyl Н. Raum, Zeit, Materie.-Berlin, 1918.